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HACES FIBRADOS Y FIBRACIONES MINIMALES
Carles Broto, Ramón Flores y Carlos A. Giraldo
Departamento de Matemáticas, Universitat Autònoma de Barcelona
Departamento de Geometrı́a y Topologı́a, IMUS-Universidad de Sevilla
[email protected],[email protected], [email protected]
XXII Encuentro de Topologı́a, Valencia (España)
RESUMEN
Empleando la estructura de categorı́a de modelos simplicial cofibrantemente generada sobre la categorı́a SC de los C-diagramas de conjuntos simpliciales (donde C es una categorı́a pequeña), formulamos una definición de
minimalidad para C-diagramas que son libres. Cuando C es una EI-categorı́a finita descendente es posible demostrar que cada diagrama libre X tiene un modelo minimal con buenas propiedades. Al generalizar los conceptos
de producto cartesiano torcido y haz fibrado al contexto de los C-diagramas, es posible determinar una ruta para la clasificación de fibraciones en SC cuyo espacio base es un diagrama constante. Más aún, cuando la categorı́a C
es un árbol con raı́z, es posible clasificar fibraciones en SC , siendo el espacio base un C-diagrama arbitrario.
C-fibraciones minimales
INTRODUCCIÓN
Históricamente, la clasificación de fibraciones p : X → B con base fija B y fibras del tipo de homotopı́a de un espacio fijo F viene dada en términos de de aplicaciones desde la
base B al espacio clasificador de cierto monoide obtenido a partir de F . John Milnor, en
su artı́culo Universal Bundles II (1955), fue el primero en establecer un resultado en esta
dirección: si G es un grupo topológico, entonces el conjunto de clases de equivalencia de
fibrados principales con grupo G y espacio base B está en correspondencia biyectiva con el
conjunto de clases de homotopı́a [B, BG] de aplicaciones de B al espacio clasificador BG
del grupo G. Posteriormente Barratt, Guggenheim y Moore en su trabajo On Semisimplicial
Fibre Bundles (1959), establecieron un resultado en la misma dirección para las fibraciones
de Kan (dentro de un contexto simplicial).
Si C es una categorı́a pequeña y S es la categorı́a de los conjuntos simpliciales, nuestro objetivo es clasificar C-fibraciones, es decir, fibraciones en la categorı́a SC de los C-diagramas de
conjuntos simpliciales, o equivalentemente la categorı́a de los C-diagramas de espacios. Para
ello hemos extendido la estrategı́a empleada por los citados Barratt, Guggenheim y Moore,
en el caso en que C consta de un único punto y una único morfismo, un método de clasificación que utiliza sucesivamente productos cartesianos torcidos, haces fibrado y fibraciones
minimales.
En el caso de las C-fibraciones, es necesario tanto encontrar la definición apropiada de minimalidad como extender acertadamente los conceptos de producto cartesiano torcido y haz
fibrado. Esto es posible utilizando la estructura de categorı́a de modelos simplicial cofibrantemente generada sobre SC . En este ámbito se definen los C-productos cartesianos torcidos y
los C-haces fibrados, y el empleo ulterior de diagramas libres posibilita definir C-diagramas
minimales. Cuando en la categorı́a C todo endomorfismo es un automorfismo (es decir, C
es una EI-categorı́a) y además C es finita descendente, entonces es posible establecer la
siguiente secuencia al considerar C-fibraciones con diagrama base constante:
F _ o
[B, Baut(F )] o
/
P CTFC (B)/ ' o
/
HFFC (B)/ '
Xo
p
'
'
?_
o
QF
_
?_
QX o
p0
B o id B
(1)
{
'
'
?_
M F
_
p00
(2)
Primero se establece una correspondencia biyectiva entre las clases de homotopı́a de aplicaciones de B al espacio clasificador Baut(F ) del grupo aut(F ) de automorfismos de la fibra
F , con el conjunto de clases de equivalencia de C-productos cartesianos torcidos P CTFC (B),
con espacio base B y fibra F ; a la vez, se prueba que este conjunto está en correspondencia
biyectiva con el conjunto de clases de equivalencia de C-haces fibrados HFFC (B), con espacio base B y fibra F . En un segundo paso, y dada una fibración p, se emplea el argumento
del objeto pequeño de Quillen para obtener una fibración p0 cuyo espacio total es libre. A
partir de ella, nuestros métodos permiten extraer de p0 una fibración minimal p00. Finalmente,
la verificación de que cada C-fibración minimal es un C-haz fibrado permite completar la
secuencia de clasificación; es interesante destacar que el argumento del objeto pequeño de
Quillen no era necesario en el caso clásico. También podremos clasificar C-fibraciones, cuyo
espacio base es un diagrama no constante, si dotamos a C de estructura de árbol con raı́z. En
esta situación hay que realizar algunas factorizaciones adicionales en la segunda secuencia
antes de llegar al modelo minimal.
Diagramas libres
Los diagramas libres son los bloques a través de los cuales podemos construir cualquier
C-diagrama en SC .
Definición 1. Sea C una categorı́a pequeña, c un objeto de C, M una categorı́a cocompleta y
X un objeto de M. El diagrama libre FcX sobre X, generado en C, es el C-diagrama en M
definido por FcX (a) = q X sobre objetos, y de modo que para cada flecha f : a → b ∈ C
[c,a]
se tiene
FcX (f : a → b) = q 1X : q X → q X.
[c,a]
C-productos cartesianos torcidos
Los productos cartesianos torcidos son un modelo combinatorio de las fibraciones, y están
basados en la noción de función de torcido. Se construyen partiendo de un espacio base B y
una fibra F , cuyo producto B × F se deforma con el objetivo de conseguir un objeto fibrado
B ×t F no trivial.
Definición 3. Sean F y B C-diagramas y G un C-diagrama de grupos simpliciales que
actúa a la izquierda de F . Si t : B → G es una C-función de torcido, entonces el C-producto
cartesiano torcido con base B, fibra F y grupo G es el C-diagrama B ×t F definido por
(B ×t F )c = Bc ×tc Fc, para cada c ∈ C, y (B ×t F )f = Bf × Ff , para cada morfismo f ∈ C.
Teorema 4. Sea C una categorı́a pequeña, B y F dos C-diagramas y G un C-diagram de
grupos, que actúa a la izquierda de F . Entonces el conjunto de clases de homotopı́a de
aplicaciones [B, BG] de B to BG esta en correspondencia biyectiva con el conjunto de
clases de equivalencia de C-productos cartesianos torcidos con base B, fibra F y grupo
G.
MX
B
[c,a]
Teorema 2. Sea C una EI-categorı́a finita descendente. Si p : X → B es una fibración en
SC para la cual X es un diagrama libre, entonces p tiene un retracto fuerte de deformación
q : X̂ → B que es minimal.
C-haces fibrados
?_
Como cada C-diagrama X es un colı́mite sobre la categorı́a Γ ↓ X, es posible estudiar X
en términos de las aplicaciones de los diagramas libres δnc en X. Por ello diremos que un
morfismo v c : δnc → X es un n-C-sı́mplice.
Definiendo una relación apropiada entre n-C-sı́mplices podemos afirmar de manera informal que es posible determinar cuales de ellos ‘estan ya representados en homotopı́a’ por
medio de otro n-C-simplice, permitiendonos ası́ eliminarlo sin alterar el tipo de homotopı́a
de nuestra fibración inicial. Ésta es la idea subyacente del concepto de minimalidad.
Definición 5. Sea F un C-diagrama y p : X → B una aplicación en SC . Decimos que p es
un C-haz fibrado con fibra F y base B, si p es un epimorfismo que satisface: para cada n-Csimplice v c en B existe un isomorfismo αp(v c) de δnc × F en δnc ×B X, tal que (I) conmuta,
y tal que si v a es un n-C-sı́mplice y f : a → b es una flecha en C, entonces (II) conmuta:
δnc ×
pr
(I)
αp (v c ) c
/
F ∼
δ
= n
/
X
y
pr
δnc
×B X
−
/
δnb ×
jf ×1
p
δnc
vc
/
B
(II)
αp (v b ) b
F / δn
δna × F α
/
p
×B X
j]
f ×1
δ a ×B X
(v a )n
v b = Bf (v a)
Teorema 6. Si B es un C-diagrama libre, entonces el conjunto de clases de equivalencia
de C-haces con fibra F , grupo G y espacio base B está en correspondencia biyectiva con
el conjunto de clases de equivalencia de C-productos cartesianos torcidos con fibra F ,
grupo G y espacio base B.
Restringiendo la categorı́a C, podemos demostrar que cada fibración minimal es un haz
fibrado, lo cual nos permite unir los teoremas 2, 4 y 6 para clasificar fibraciones:
Teorema 7. Sea C una EI-categorı́a finita descendente y sean B y F dos C-diagramas,
donde B es un diagrama constante. Entonces el conjunto [B, BhautC (F )] de clases de
homotopı́a de aplicaciones de B en BhautC (F ), está en correspondencia biyectiva con
el conjunto de clases de equivalencia de fibraciones sobre B cuya fibra es débilmente
equivalente a F .
Teorema 8. Sean B y F dos C-diagramas, donde B es cofibrante y C es un árbol con raı́z.
Entonces el conjunto [B, Bhaut−↓C (F )], de clases de homotopı́a de aplicaciones de B en
Bhaut−↓C (F ) está en correspondencia biyectiva con el conjunto de clases de equivalencia
de fibraciones sobre B cuyas fibras son débilmente equivalentes a F .
[c,b]
En SC se define Γ como la subcategorı́a cuyo conjunto de objetos está dado por los diagramas libres δnc := Fc4[n] sobre el n-simplice estándar 4[n] y cuyos morfismos son los
inducidos por C, los morfismos cara y los morfismos degeneración.
Proposición 1. El funtor de inclusión i : Γ ,→ SC es denso. Es decir, X = colim(i ◦ θX ).
i↓X
Bibliografı́a
M.G. Barratt,V.K. Guggenheim y J.C. Moore, On Semisimplicial Fibre Bundles, Amer.
J. Math. 81, (1959), 639-657.
P. Hirschhorn, Model Categories and Their Localization, Mathematical Surveys and Monographs 99, A.M.S., (2003).