CURSILLOS Y RESÚMENES DE CHARLAS TALLER: MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES J.C. ARIAS, F. ARIAS, J. BORJA, C. RENGIFO CURSILLOS Generalidades sobre las superficies de Riemann Pedro Hernandez Rizzo Universidad de Antioquia El objetivo principal del cursillo es el de tratar las construcciones de estos objetos (grosso modo, análisis y Edp), los principales teoremas clásicos (grosso modo, análisis complejo y topología), su relación con las curvas algebraicas (grosso modo, análisis complejo) y, finalmente, introducir el espacio moduli de curvas (en el sentido de la geometría algebraica). Positroides y la Grassmanniana positiva Felipe Rincón Universidad de los Andes Las positroides son objetos combinatorios introducidos por Postnikov hace algunos años para investigar la parte no negativa de la variedad de Grassmann. En este cursillo daré una introducción a las positroides y su combinatoria, y también a la variedad de Grassmann y su parte no negativa. También hablaré de trabajo reciente en el que estudiamos el papel que juegan las particiones que no se cruzan en el estudio de las positroides, y de cómo se pueden usar estas ideas para probar una conjetura de Da Silva de 1987 sobre la realizabilidad de matroides orientadas positivamente 1 2 J.C. ARIAS, F. ARIAS, J. BORJA, C. RENGIFO CHARLAS Analiticidad en el tiempo de las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes Julio Montero Universidad de los Andes Se pretende discutir las ideas de Foias, Temam y Cannone que usan la teoría de la variable compleja para probar la analiticidad en el tiempo de las soluciones periódicas de la ecuación de Navier-Stokes en el espacio de Sobolev Homogeneo H˙ 1 (T3 ) y su relación con el problema de backward uniqueness. Fibraciones por curvas elípticas singulares de género aritmético 2 Alejandro Simarra Univesidad Federal Fluminense En el año 1944, Zariski publicó un ejemplo de una fibración inducida por un morfismo f : T → B entre variedades algebraicas proyectivas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica tres tal que las fibras son genericamente singulares (cuspidales) y el espacio total T es regular en la parte formada por tales fibras. Es decir, el obtuvo un contraejemplo para el Teorema de Bertini– Sard que afirma que un morfismo de variedades algebraicas complejas (regulares) tiene fibras genericamente regulares. Fibraciones por curvas cuspidales aparecieron también de manera natural en la clasificación de Enriques–Kodaira para superficies algebraicas definidas sobre cuerpos de característica positiva publicada por Bombieri y Mumford. Se sabe que para este tipo de fibraciones el género de la fibra genérica impone restricciones en el tipo de singularidad de las fibras y, más aún, dicho género es también una obstrucción para la característica del cuerpo donde las variedades estan definidas. Por tal motivo, Stöhr y Salomão comenzaron un programa de clasificación de este tipo de fibraciones. El objetivo de nuestra charla es mostrar que fibraciones por curvas singulares de tipo separable y género dos definidas sobre un cuerpo de característica dos son necesariamente fibraciones por curvas singulares que tienen modelo no singular elíptico. Presentaremos también una clasificación birracional de estas fibraciones. BC-permutaedros generalizados y funciones bisubmodulares David Arcila Universidad Nacional de Colombia El BC-permutahedro en dimensión n es la envolvente convexa de los puntos dados por las permutaciones de [n] cada una con sus 2n posibles cambios de signo en cada coordenada. Si a este BC-permutahedro le movemos sus caras de forma paralela obtenemos BC-permutahedros generalizados. La idea es ver como estos BC-permutahedros están caracterizados por unas funciones especiales llamadas funciones bisubmodulares, todo esto basado en los trabajos de S. Fujishige y en un Greedy Algorithm para optimizar sobre ciertas familias de polihedros. CURSILLOS Y RESÚMENES DE CHARLAS TALLER: MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 3 Marco Matemático para un efecto Aharonov-Bohm no abeliano Diego Lopez Universidad de Antioquia En esta charla presentaremos una generalización del modelo geométrico del efecto AharonovBohm abeliano propuesto por Katanaev en su artículo .On geometric interpreation of the AharonovBohm effect". Daremos unas pautas que permitir llevar dicha propuesta a un contexto donde el grupo de simetrías del campo de Yang-Mills sea un grupo no abeliano del tipo SU(n) . Por último, realizaremos el cálculo del efecto usando el formalismo de la integral de Feynman. Optimización de portafolios en el mercado colombiano Mónica Ribero Universidad de los Andes En 1952, Harry Markowitz planteó la búsqueda de un portafolio de inversión como un problema de optimización convexa donde se quería minimizar el riesgo y maximizar las ganancias del inversionista. La charla estudia el comportamiento de estos modelos en el mercado colombiano, mercado pequeño y poco eficiente, donde intervienen otros factores como la periodicidad del mercado y los volúmenes de transacción de las acciones. Decaimiento de soluciones de ecuaciones de evolución no lineales Jose Manuel Jimenez Univesidad Nacional de Colombia - Sede Medellín En esta charla estudiaremos propiedades de decaimiento y persistencia de soluciones para el problema de Cauchy asociado a algunas ecuaciones de evolución no lineales que aparecen en diferentes contextos de la matemática y la física. Presentaremos algunos resultados recientes y describiremos algunas de las técnicas y herramientas usadas en este tipo de problemas. Cohomología Racional de LSn y LCP n Diego Duarte Universidad de los Andes La teoría de homotopía racional tuvo sus inicios en los años 60 con los trabajos de Dennis Sullivan y Daniel Quillen. La idea de la teoría de homotopía racional es clasificar los espacios topológicos salvo homotopía olvidando por completo la torsión de sus grupos de homotopía. Los tipos de homotopía racional de espacios simplemente conexos se pueden identificar con ciertos objetos algebraicos denominados álgebras minimales de Sullivan. La idea de esta charla es presentar una breve introducción a los modelos minimales y calcular explícitamente el modelo minimal y la cohomología racional del espacio de lazos libres de las esferas y los espacios proyectivos complejos. 4 J.C. ARIAS, F. ARIAS, J. BORJA, C. RENGIFO El Teorema de Szemerédi via ultraproductos Dario Garcia Universidad de los Andes El propósito general de esta charla es exponer métodos usados recientemente en Teoría de Modelos para probar resultados en combinatoria asintótica. Para esto, explicaré las principales definiciones y propiedades de los ultraproductos de estructuras finitas, y expondré algunos detalles de una demostración dada por Henry Towsner en donde se hace uso de los ultraproductos para probar el Teorema de Szemerédi: Todo subconjunto de los enteros de densidad positiva contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. Sumas de números figurados usando algoritmos de diferenciación de poset Pedro Fernández Espinosa Universida Distrital Francisco José de Caldas La teoría de representaciones de Poset ha sido un campo de investigación estudiado ampliamente desde 1972 cuando Nazarova y Roiter introdujeron la representación para poset ordinarios. En la actualidad el mayor impacto de la teoría de representaciones de poset se evidencia en su relación con otras áreas como la teoría de particiones y criptografía visual. Recientemente los profesores Claus M. Ringel y Philipp Fahr presentaron una estrecha relación entre la teoría de representaciones de quivers y las particiones de algunos números de Fibonacci. En esta charla presentaremos en detalle esta relación y comentaremos algunos resultados donde se relaciona la teoría de representación de poset y particiones de números figurados. Departamento de Matemáticas, Universidad de los Andes, Carrera 1 N. 18A - 10, Bogotá, COLOMBIA. Tel: +571 3394999 ext. 2710 Fax: +571 3324427 E-mail address: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
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