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Tarea Geometría Agosto 2015
Problema 1. Dos tiras rectangulares tienen 30 cm de largo,
mientras cada una tiene 11 cm y 5 cm de ancho. Se colocan
una tira sobre otra, como en la figura de la derecha, de
manera que los lados largos son perpendiculares. ¿Cuál es el
perímetro de la figura resultante?
Problema 2. En el triángulo isósceles ABC, mostrado a la izquierda, las rectas AI
y BI son bisectrices y AD es la altura sobre el lado BC. Se sabe que los ángulos
DAI y CBI son iguales. Calcule la medida de los ángulos del triángulo ABC.
A
Problema 3. En la figura de la derecha, AB = AC, AE = AD y el
ángulo BAD mide 30o. ¿Cuál es el valor del ángulo x?
30
E
x
B
D
Problema 4. Cuatro piezas iguales con forma de
triángulo rectángulo se acomodan de dos maneras
diferentes, como en las figuras de la izquierda. Se
sabe que las áreas de los cuadrados ABCD y EFGH
son 9 y 81. Calcule las áreas de los cuadrados IJKL
y MNOP.
Problema 5. En la figura de la derecha, los triángulos ABD y ACE
son equiláteros y ABC es un triángulo con AB=12, AC=19. Si
CD=25, ¿cuál es la longitud de BE?
Problema 6. Sobre una semicircunferencia de diámetro PS, de
longitud 4, se eligen dos puntos Q y R tales que QR es paralela
a PS, y tales que la circunferencia de diámetro QR es tangente
a PS. ¿Cuál es el valor del área sombreada?
Problema 7. Las figuras muestran a la izquierda un
cubo cuyas caras tienen área de 8 cm2, y a la
derecha una circunferencia de centro O y radio 2
cm. Los puntos L, M, N son puntos medios de
aristas del cubo, mientras que ABC es un triángulo
equilátero. Calcule las longitudes de los lados de los
triángulos LMN y BOC y muestre que son
congruentes. Concluya que
.
C
Tarea Teoría de Números Agosto 2015
Problema 1.- Se escriben 2015 números en fila de izquierda a derecha, de tal manera que la suma
de cualesquiera 3 de ellos en posiciones consecutivas es igual a 2015. Si el número en la posición
tres es 46, y el número en la posición 2015 es 1960, ¿Qué número aparece en la posición mil?
Problema 2.- ¿Cuál es el menor entero positivo por el cual se debe multiplicar a 1 584 para que el
resultado sea un cubo perfecto?
Problema 3.- ¿Cuántas parejas
de números enteros satisfacen
?
Problema 4.- Dentro de una caja están colocadas doce fichas numeradas del 1 al 12. Cuantas fichas
debes sacar, para poder asegurar que el producto de los números en las fichas sacadas sea un
múltiplo de 32?
Problema 5.- Sea n un entero positivo. Al dividir 1005 entre n, el residuo es 4. ¿Cuál es el residuo
de la división de 2015 entre n? Enliste todas las posibilidades.
Problema 6.- Muestra que no existe ningún entero positivo de tres cifras que sea igual al cuadrado
de la suma de sus dígitos.
Tarea Combinatoria Agosto 2015
Problema 1.- Se tienen tres dados diferentes. De todos los posibles resultados que se obtienen al
tirarlos, ¿cuál es la suma de dados que más aparece?
Problema 2.- ¿Cuántos números enteros positivos menores o iguales a 2015 son divisibles por 3
pero no por 4 ni por 5?
Problema 3.- Determine el número de enteros positivos menores o iguales a 1000 que contienen al
menos un 1 en sus dígitos.
Problema 4.- Una placa de automóvil del estado de Sonora consiste de una secuencia de 3 letras
mayúsculas, seguida de una secuencia de 4 dígitos. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer si no
se pueden usar el dígito 0 ni la letra O al mismo tiempo?
Problema 5.- ¿De cuántas maneras se pueden dividir 30 alumnos de la olimpiada de matemáticas
en 3 salones de 10 alumnos cada uno? ¿Y en 10 salones de 3 alumnos cada uno?
Problema 6.- De 200 concursantes de la olimpiada 2011 de matemáticas, 75 toman café, 85 toman
té y 100 toman refresco. Entre los 200, 30 toman café y té, 50 toman té y refresco y 40 toman café y
refresco. Finalmente, 10 toman las 3 bebidas ¿Cuántos de estos 200 concursantes no toman ninguna
de las 3 bebidas?
Problema 7.- En la lotería de la UNISON, cada boleta se forma con tres números distintos entre 1 y
100. Aparecen todas las permutaciones posibles de tres números distintos y hay exactamente una
boleta con cada permutación. Esta semana recibirán premio todas las boletas tales que la
multiplicación de sus tres números sea múltiplo de 6. ¿Cuántas boletas son las premiadas?
Tarea Álgebra Agosto 2015
Problema 1.- En un pizarrón En un pizarrón están escritos todos los enteros del 1 al 29. Alonso
desea borrar números de la lista, de tal manera que si calcula la suma de los que quedaron sin
borrar, el resultado sea un cubo perfecto. ¿Cuántos números deberá borrar Alonso, si quiere borrar
la menor cantidad de números posibles?
Problema 2.- Determine todas las soluciones enteras de la ecuación
Problema 3.- El entero positivo n y el primo p satisfacen que
Determine la razón
Problema 4.- Determine el menor valor de x tal que
Problema 5.- Encuentre todos los valores
tales que la fracción
es entero.
Problema 6.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones
¿Cuánto vale
?
Problema 7.- Determine la suma de los primeros 20 términos que ocupan un lugar par en la
siguiente sucesión