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MATEMÁTICA EN VIVO
PROBLEMAS DE PRUEBA MATEMÁTICA
NIVEL 3° BÁSICO
Problema 1
Mónica escribe todos los números de dos cifras en los cuales, la suma de los dos dígitos que
forman el número es 8. Luego suma todos los números que escribió. ¿Cuál es el resultado
que obtiene Mónica?
Problema 2
Coloca los números
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y ubícalos en cada uno de los cuadraditos de la figura, de manera que los números da cada
fila, cada columna y cada diagonal siempre sumen quince.
Problema 3
A Rosa le gusta calcular la suma de los dígitos que ve en su reloj digital (por ejemplo, si el
reloj marca las 21:17 Rosa obtiene 11). ¿Cuál es la máxima suma que puede obtener?
Problema 4
Un pedazo de papel que tiene la forma de hexágono regular, como el que se muestra, se
dobla de manera que las tres esquinas marcadas se tocan en el centro de hexágono. ¿Qué
figura se forma?
Problema 5
Javiera lee todos los días 9 páginas de un libro, pero el último día lee 5 páginas más que en
los días anteriores, esto porque quería saber el final de la historia que se contaba en el libro.
Si el libro tiene 149 páginas, ¿cuántos días leyó el libro?
NIVEL 4° BÁSICO
Problema 1
El cuadrado de la figura está dividido en dos rectángulos iguales. Cada rectángulo tiene
60 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?
Problema 2
Alex, leo, Adrián y su perro Rex se pesan en las siguientes balanzas.
Pero además sabemos que:
¿Cuánto pesa el perro Rex?
Problema 3
Si la separación del punteado en que se dibujaron las siguientes figuras es de 1 cm, ¿cuál es
el área de cada una de ellas?
Problema 4
Se tienen 21 vasijas:
7 llenas de agua
7 con agua hasta la mitad
7 vacías
Se desea repartir esas vasijas entre tres personas: Macarena, Martina y Marcela, pero con
la siguiente condición: Macarena, Martina y Marcela deben recibir la misma cantidad de
vasijas y la misma cantidad de agua. ¿Cómo lo harías?
Problema 5
Coloca los números
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16
y ubícalos en cada uno de los cuadraditos de la figura, de manera que los números da cada
fila, cada columna y cada diagonal siempre sumen treinta y cuatro.
NIVEL 5° BÁSICO
Problema 1
¿Cuántos minutos faltan para el mediodía, si hace 8 minutos faltaban
9
5
de lo que le falta
ahora?
Problema 2
En el mes de enero de cierto año hubo exactamente cuatro lunes y cuatro viernes. ¿Qué día
de la semana fue el 17 de enero?
Problema 3
Juan armó esta figura con tres fichas cuadradas congruentes y dos fichas rectangulares
congruentes. Las tres fichas cuadradas forman una rectangular. La ficha rectangular tiene
56 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura que armó Juan?
Problema 4
El rectángulo ABCD tiene 88 cm de perímetro. Al trazar una paralela al lado AB, el rectángulo
ABCD queda partido en un cuadrado y un rectángulo más pequeño. El perímetro del
rectángulo más pequeño es 14 cm menos que el perímetro del cuadrado. ¿Cuánto miden
los lados del rectángulo ABCD?
D
C
A
B
Problema 5
Un paquete de galletas cuesta $1.000, pero por cada paquete de galletas te regalan otro
paquete. ¿Cuántos paquetes a los más se pueden conseguir con $150.000?
Problema 6
Dos números de dos dígitos cada uno multiplicados dan como resultado 850, además uno
de ellos es 9 unidades mayor que el otro número. ¿Cuáles son los números?
Problema 7
¿Cuál es el cociente entre las palabras, con o sin sentido, que se pueden formar con las
letras 𝑚 𝑜 𝑟 𝑎, de manera que la 𝑚 esté siempre antes de 𝑟, y todas las palabras, con o
sin sentido que se pueden formar con estas letras?
NIVEL 6° BÁSICO
Problema 1
En una caja hay monedas cuya cantidad oscila entre 200 y 300.
Hay tres personas: Marcelo, Javier y Juan
Marcelo es el primero que ve las monedas y decide repartirla entre los tres en partes
iguales, por lo que divide la cantidad en tres, pero sobra una, que bota para evitar conflictos.
Javier es el segundo que ve las monedas, sin saber que Marcelo ya la vio, y decide repartirla
entre los tres en partes iguales, por lo que divide la cantidad en tres, pero sobra una, que
también bota para evitar conflictos.
Juan es el tercero que ve las monedas, sin saber que Marcelo y Javier ya la vieron, y decide
repartirla entre los tres en partes iguales, por lo que divide la cantidad en tres, pero sobra
una, que también bota para evitar conflictos.
Una persona que encuentra la caja y a Marcelo, Javier y Juan divide las monedas que
encontró en la caja en tres partes iguales, da cada parte a cada uno de ellos y la moneda
que sobró se la deja para él.
¿Cuántas monedas había en la caja antes que Marcelo la encontrara?
Problema 2
El rectángulo AEFG tiene 72 cm de perímetro y el ABCD tiene 48 cm de perímetro, AB=15cm
y BE=2.DG. ¿Cuál es la longitud de AG?
Problema 3
En figura se tiene que llegar del círculo A al círculo B siguiendo las flechas. En cada camino
se calcula la suma de los números por los cuales se pasó. ¿Cuántas sumas diferentes se
pueden obtener?
Problema 4
Un recipiente está con agua hasta 1/3 de su capacidad. Se echan 10 litros y falta 1/4 de
estanque por llenar. ¿Cuál es la capacidad del estanque?
Problema 5
Un bus que se dirige desde Santiago a Puerto Montt por la ruta 5 sur a 100 Km/hr de manera
constante, adquirió está velocidad a 150 Km de Santiago a las 9:00 horas. ¿A cuántos
kilómetros de Puerto Montt alcanza al bus un automóvil que a las 10:00 horas adquiere la
velocidad constante de 120 Km/hr en el kilómetro 150 de esa misma ruta y que también se
dirige a Puerto Montt? La distancia entre Santiago y Puerto Montt es de 950 Km.
Problema 6
Dos números de dos dígitos se dividen y el resultado de la división es 0,2. El dividendo es un
número que está entre 10 y 20 mientras que el divisor es un número mayor que 85 pero
menor que 95. ¿Cuál es el dividendo y divisor?
Problema 7
Los ángulos interiores 𝛼, 𝛽, 𝛾 de un triángulo satisfacen 𝛼: 𝛽 = 2: 5 y 𝛽: 𝛾 = 5: 2 . Si el lado
que se opone al ángulo 𝛼 mide 5 cm, ¿cuántos centímetros mide el ángulo que se opone a
𝛾?
NIVEL 7° BÁSICO
Problema 1
En un triángulo cuyos lados miden 10 cm, 12 cm y 15 cm. ¿Cuál es la razón entre la altura
mayor y la altura menor?
Problema 2
En una pradera la grama crece continua y uniformemente. Se sabe que 70 vacas se comerían
la grana completamente en 24 días, y que 30 vacas se la comerían en 60 días. ¿Cuántas
vacas serían necesarias para acabar con la grana en 96 días?
Problema 3
Con pedazos de madera cuyas bases (arriba y abajo) son triángulos equiláteros de lado 4
cm, Juan construyó una pirámide de cuatro pisos. Desde arriba la pirámide se ve como se
muestra en la figura (en el nivel de más arriba solo hay una pieza). ¿Cuántas piezas usó
Juan?
Problema 4
En un edificio se numeraron todas las puertas de las oficinas utilizando placas que contenían
un dígito cada una (por ejemplo, al numerar la 14° puerta se usaron dos placas, una con el
número 1 y otra con el 4). Si se utilizaron 35 placas, ¿cuántas puertas hay?
Problema 5
Marcos, en lugar de ir desde A hasta B y desde B hasta C decide ahorrar camino y va directo
desde A a C. Al hacerlo camina 4 metros menos, ¿cuántos metros recorre?
C
5m
B
A
NIVEL 8° BÁSICO
Problema 1
Se tienen dos figuras de papel: un triángulo equilátero y un rectángulo. La altura del
rectángulo es igual a la altura del triángulo y la base del rectángulo es igual a la base del
triángulo. Divide el triángulo en tres partes y al rectángulo en dos, mediante cortes rectos,
de modo que con los cinco pedazos se pueda armar, sin huecos ni superposiciones, un
triángulo equilátero. Para armar la figura, cada parte se puede girar y / o dar vuelta.
Problema 2
Un segmento AB de longitud 100 está dividido en 100 segmentitos de longitud 1 mediante
99 puntos intermedios. Al extremo A se le asigna el 0 y al extremo B el 1. Gustavo asigna a
cada uno de los puntos intermedios un 0 o un 1, a su elección, y luego colorea cada
segmento de longitud 1 de azul o de rojo, respetando la siguiente regla: Son rojos los
segmentos que tienen el mismo número en sus extremos y son azules los segmentos que
tienen diferentes números en sus extremos. Determina si Gustavo puede asignar los 0 y los
1 de modo de obtener exactamente 30 segmentos azules
Problema 3
¿Cuál es el perímetro de la estrella si se sabe que la estrella está formada por cuatro círculos
congruentes de radio 4 cm, un cuadrado y cuatro triángulos equiláteros?
Problema 4
Andrés, Esteban, Roberto y Marco se encontraron en un concierto en Zacatecas. Ellos
vienen de distintas ciudades: Puebla, Durango, DF y Veracruz. Se sabe que Andrés y el
muchacho de Veracruz llegaron a Zacatecas temprano en la mañana el día del concierto y
ninguno de ellos venía de Puebla ni del DF. Roberto no es de Veracruz y llegó a Zacatecas al
mismo tiempo que el muchacho de Puebla. A Marco y al muchacho de Puebla les gustó
mucho el concierto. ¿De dónde venía Marco?
Problema 5
La diagonal de un cubo mide 5√3 cm. El cubo de divide en 27 cubitos de volúmenes iguales.
La diferencia entre la suma de las áreas de todas las caras de los cubitos y la suma de las
áreas de las caras del cubo inicial es:
Problema 6
La altura correspondiente a la base que mide 29 cm en un triángulo de lados 20 cm, 21 cm
y 29 cm es:
Problema 7
La figura muestra un cuadrado y un triángulo equilátero que está inscrito en él. ¿Cuál es el
valor de 𝛼 − 𝛽 ?
𝛼
𝛽
NIVEL 1° MEDIO
Problema 1
Una anciana parte al amanecer del pueblo A hacia el pueblo B. Simultáneamente otra
anciana parte del pueblo B hacia el pueblo A. cada una de ellas camina a velocidad
constante. Al mediodía se cruza. La primera llega a su destino a las 4 de la tarde pm,
mientras que la segunda lo hace a las 9 pm. ¿A qué hora amaneció ese día?
Problema 2
Imagina un cubo de queso de 7 cm de arista, dividido en 7 3 cubitos de 1 cm de arista cada
uno. Un gusanito está inicialmente en el cubito central, come el queso y se mueve a uno de
los seis cubitos adyacentes (es decir, a uno que tenga una cara común con el primero).
Continúa de esta manera hasta acabar con todo el queso, sin pasar dos veces por el mismo
cubito. ¿Es posible que su trayectoria finalice en un vértice?
Problema 3
Un punto de coordenadas (𝑎, 𝑏) se rota respecto al punto (1, 1) en 90° obteniéndose el
punto 𝑃. Al rotar 𝑃 respecto al origen en 180° se obtiene el punto de coordenadas
(−3, −2). Los valores de 𝑎 y 𝑏 son:
Problema 4
a) Demuestra de manera geométrica que 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏))𝑎 − 𝑏)
b) Muestra los dos cubos y seis paralelepípedos que se obtienen al desarrollar (𝑎 + 𝑏)3
Problema 5
La figura muestra dos circunferencias de radio 4 cm cada una y de centros O y O’. Si cada
una de ellas pasa por el centro de la otra, ¿cuál es el área achurada?
O
O’
Problema 6
Eran cinco, dos chicas y tres chicos. No tenían nada que hacer. Era primavera. Se sentaron
sencillamente en un banco, al sol, unos al lado de otros, ocupando los lugares al azar. ¿Hay
más posibilidades de encontrar las dos chicas separadas o bien de que estén sentadas uno
al lado de otra?
Problema 7
Tres hermanos, Pedro, Juan y Jaime, reúnen a sus hijos durante sus vacaciones en una casa
de campo. Cada primo habla a su turno y dice:
Isabel: Tengo tres años más que Juan
Teresa: Mi padre se llama Jaime
Julián: Tengo dos años más que Isabel
María: Prefiere jugar con uno de mis primos antes que con mi hermano
Catalina: Mi padre se llama Pedro
Ana: Con quién me llevo mejor son con los hijos del tío Jaime
Juan: Mi padre y sus hermanos han tenido cada uno menos de cuatro hijos
Francisco: Y mi padre es el que ha tenido menos
¿Sabrías deducir de esta conversación el nombre del padre de cada primo?
NIVEL 2° MEDIO
Problema 1
El número
3
3
√20 + 14√2 + √20 − 14√2
¿es o no es entero?
Argumenta tu respuesta.
Problema 2
Sea ABC un triángulo con AB=AC y sean M el punto medio de BC, P el pie de la perpendicular
desde M hasta AC y N el punto medio de MP. Pruebe que BP⊥AN.
Problema 3
Si 𝑥 − 𝑦 = 𝑢, 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑣, expresa en función de 𝑢 y 𝑣 la expresión 𝑥 3 − 𝑦 3 .
Problema 4
Demuestra que:
a) Si 𝑏 > 1, entonces log 𝑏 𝑝 < log 𝑏 𝑞 ⇔𝑝 < 𝑞, para 𝑝, 𝑞 > 0
b) Si 𝑏 < 1, entonces log 𝑏 𝑝 < log 𝑏 𝑞 ⇔𝑝 > 𝑞, para 𝑝, 𝑞 > 0
Problema 5
Sean A, B y C eventos de un espacio muestral E.
Demostrar que la probabilidad 𝑃 de que ocurran 𝐴 o 𝐵 o 𝐶 es:
𝑃(𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)
+ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
Problema 6
Demostrar que si A y B son eventos independientes, entonces A y Bc son independientes,
donde Bc es el complemento del evento B. Es decir, si P(A∩B)= P(A)∙P(B), entonces se
cumple que si P(A∩Bc)= P(A)∙P(Bc).
Problema 7
Un dado está arreglado de manera que cada número par tiene el triple de probabilidad de
ocurrir que un número impar. Encuentra P(G), donde G es el evento que un número menor
que 4 ocurra en un solo tiro del dado.
Problema 8
Una urna contiene 5 bolas blancas y 5 bolas negras. Se extraen al azar tres bolas una a una,
primero volviéndolas a meter cada vez en la urna (método 1), después sin volverlas a meter
(método 2). ¿De qué manera tendremos más probabilidad de obtener una bola blanca y dos
bolas negras?
Problema 9
Demuestra que en todo triángulo, la bisectriz de un ángulo coincide con la del ángulo
formado por la altura y el diámetro del círculo circunscrito que pasa por el mismo vértice.
A
En la figura, el triángulo es
ABC, AA’ es el diámetro del
círculo y AH es la altura.
B
H
A'
C
Problema 10
El triángulo que tiene por vértices los pies de las alturas de un triángulo dado ABC se llama
triángulo órtico del ABC.
¿Son semejantes los triángulos EDC, AEF, BDF y ABC?
Argumenta acerca de tu respuesta
C
D
E
A
F
B
NIVEL TERCERO MEDIO
Problema 1
Si 𝑥 + 𝑦 = 1 y 𝑥 5 + 𝑦 5 = 31, los valores reales y complejos de 𝑥 e 𝑦 que satisfacen las
ecuaciones anteriores son:
Problema 2
Sea L la recta de ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, y sea P un punto de coordenadas (𝑥0 , 𝑦0 )
exterior a L. Demuestra que la distancia entre L y P: d (L, P), se encuentra mediante la
fórmula
d (L, P)=
∣𝑎𝑥0 +𝑏𝑦0 +𝑐∣
√𝑎2 +𝑏2
Problema 3
Halle todos los enteros positivos que son menores que 1.000 y cumplen con la siguiente
condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.
Problema 4
Demuestre que el ángulo que forma el radio de una circunferencia con la recta tangente en
un punto P de ella es 90°.
O
P
Problema 5
Encuentra una fórmula para la distribución de probabilidad del número total de caras
obtenidas en cuatro lanzamientos de una moneda balanceada. Es decir, encuentra la
función 𝑔(𝑥) tal que 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
16
, donde 𝑓(𝑥) es la función pedida.
Problema 6
La figura muestra cinco circunferencias. Las de menor radio son congruentes y de radio 𝑟,
las de radio medio también son congruentes y tienen radio 𝑅. ¿Cuál es el valor de 𝑟: 𝑅 ?
Problema 7
Demuestra que el vértice de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con 𝑎 ≠ 0 es
𝑏
𝑏2 −4𝑎𝑐
(− , −
)
2𝑎
4𝑎
NIVEL 4° MEDIO
Problema 1
Sea 𝑎 un entero impar mayor que 17, tal que 3𝑎 − 2 es un cuadrado perfecto. Demostrar
que existen enteros positivos distintos 𝑏 y 𝑐, tales que 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑐 y 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
son cuatro cuadrados perfectos.
Problema 2
Supongamos que una variable aleatoria 𝑋 tiene una distribución binomial, donde su
distribución de probabilidad está dada por
𝑛
𝑏(𝑛; 𝑛, 𝑝) = ( ) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 para 𝑥 = 0, 1, 2, … , 𝑛
𝑥
Demuestra que:
a) Su media 𝜇 satisface: 𝜇 = 𝑛𝑝
b) Su desviación estándar 𝜎 satisface: 𝜎 = √𝑛𝑝(1 − 𝑝)
Problema 3
Demuestra que el área 𝐴 de un triángulo de lados 𝑎, 𝑏, 𝑐 se puede determinar mediante la
fórmula
𝐴 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
donde 𝑠 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
es el semiperímetro del triángulo.
Problema 4
Encuentra todas las soluciones del sistema:
𝑥+𝑦+𝑧=5
1 1 1
+ + =2
𝑥 𝑦 𝑧
𝑥𝑦𝑧 = 4
Problema 5
𝑥
𝑢
Si ( ) = 161700 y ( ) = 16 ∙ 25 ∙ 49 , entonces el valor de 𝑥 es
𝑘
𝑘
Problema 6
Un grupo de jóvenes se compone de tres chicas y tres chicos. Cada uno de ellos está
enamorado de una de las tres personas del sexo opuesto al azar. Una de las chicas se da
cuenta melancólicamente, de que, en el grupo, nadie es amado por la persona que ama.
¿Era tan imprevisible este triste fenómeno?
Problema 7
Juan y Pedro mienten de vez en cuando. Juan dice a Pedro: “Cuando yo no miento, tú no
mientes”. Y Pedro le responde: “Y cuando yo miento, tú mientes”.
¿Puede ser que en esta conversación uno mienta y el otro no?