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SOLUCIONARIO
Examen UNI 2015 – I
Matemática
Pregunta 01
Dato: (# intervalos) =7
Semanalmente, un trabajador ahorra cierta
cantidad en soles, y durante 40 semanas
ahorra las siguientes cantidades:
21
28
37
26
25
35
25
29
41
33
29
31
19
30
10
31
26
36
18
28
23
24
23
39
20
22
27
18
15
27
28
27
46
24
17
33
33
12
4
31
Se construye una tabla de frecuencias de 7
intervalos de igual longitud fija A. Si F5 es
la frecuencia acumulada del quinto intervalo
(ordenados los extremos de los mismos de
forma creciente), determine el valor de
(A+F5)-1
(Alcance)=[4; 46]
(Rango)=46-4=42
A=
42
=6
7
Tabla de Frecuencias
Intervalos
[4,10>
[10,16>
[16,22>
[22,28>
[28,34>
[34,40>
[40,46]
fi
1
3
6
12
12
4
2
Fi
1
4
10
22
34
38
40
Pide:
A) 30
(A+F5)–1=39
B) 32
C) 37
6 34
D) 38
E) 39
Rpta: 39
Resolución 01
Estadística
Sabemos que:
(alcance)=[Dato menor; Dato mayor]
(rango)=(Dato mayor) – (Dato menor)
^Rangoh
(Ancho de clase)=
^# int ervalosh
Indique la alternativa correcta después de
determinar si cada proposición es verdadera
(V) o falsa (F) según el orden dado:
I.
A
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Sean A ⊂ B ⊂ C ⊂ D, entonces la
probabilidad
P(D)=P(D\A)+P(C\A)+P(B\
A)+P(A)
1
PROHIBIDA SU VENTA
Pregunta 02
Tabla de distribución de frecuencias
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
II. Se lanzan dos dados normales,
entonces la probabilidad que su suma
sea 7 es
E={(1,3)} P(E)=
1
.
12
1
6
∴ La proposición P(E) =
Recuerde que:
III. Se lanzan dos dados normales, uno cada
vez, entonces la probabilidad de que
1
.....(F)
36
El espacio muestral se reduce a 6 casos,
para el 2do dado.
1
salga 3 dado que antes salió 1 es
.
36
A) V V V
Rpta: F F F
B) V F V
Pregunta 03
C) F V V
Sabiendo que K = ab(4)= cd(5) y
a+b+c+d= 11 en el sistema decimal con
a≠ 0, c≠ 0. Determine K en el sistema decimal.
D) F F V
E) F F F
Resolución 02
A) 14
Probabilidades
B) 23
Probabilidad condicional
I.
Sean los eventos:
entonces
B
A
C
A 1 B 1 C 1 D,
C) 32
D) 41
E) 51
D
Resolución 03
Numeración
Cambio de base
K = ab(4) = cd(5)
Porque P(D)=P(D\C)+P(C\B)+P(B\A)+P(A)
II. A={obtener una suma 7, al lanzar dos
dados normales}
A={(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)}
` P(A)=
1
6
=
36 6
1
es falsa (F)
12
III. Piden la probabilidad de obtener el
evento: Obtener 3 dado que antes
salió 1.
la proposición P(A)=
Los números que se representan con dos cifras
tanto en base 4, como en base 5 son del:
{5, 6, 7, ... , 15} y de estos el número 14 cumple
que: 14 = 32(4) = 24(5)
K
donde: a + b + c + d = 11 (DATO)
3
∴K= 14
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2
2
4
Rpta.: 14
2
PROHIBIDA SU VENTA
P(D): P(D\A)+P(B\A)+P(A)......(F)
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Pregunta 05
Pregunta 04
Se sabe que en una división entera el divisor es
50 y el residuo es 15. ¿Cuántas unidades como
mínimo se le debe disminuir al dividendo, para
que el cociente disminuya en 13 unidades?
A) 0
B) 1
A) 614
C) 2
B) 615
D) 3
C) 616
E) 4
D) 617
Resolución 05
E) 618
Divisibilidad
Resolución 04
Restos potenciales
Cuatro operaciones
E=22001+32001
División
E=(23)667+(33)667=8667+27667
Sea la división original
Aplicando cocientes notables esta expresión
siempre será divisible por la suma de:
8+27=35
D 50 → D=50q+15
q
15
Luego:
o
Ñ E = 8667 + 27667 = 35 1
D-XMÍN 50
R
q-13
5c
7c
=
E 7c=
" Re sto 0
D - XMÍN = 50(q - 13) + R
Rpta.: 0
50q + 15 - XMÍN = 50q - 650 + R
665 - R=XMÍN
Pregunta 06
49 (MÁX)
616 =XMÍN
¿Cuántos números de la forma (4a-3)(3b)(4a-3)
son primos?
Rpta.: 616
PROHIBIDA SU VENTA
•
Sea el número E = 22001 + 32001. Calcule el
residuo de dividir E entre 7.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
CENTRAL: 6198–100
3
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Resolución 06
1
0
1
Números primos y compuestos
1
3
1
Clasificación de los Z+
1
9
1
Sabemos que:
Rpta: 3
Un número es primo, si solo posee 2 divisores, la
unidad y el mismo número.
Sí hay clave
}
Hay 3 primos
que cumplen
Rpta.: 3
Ejemplo:
•
2 es primo, ya que sus divisores son 1 y 2
•
19 es primo, ya que sus divisores son 1 y 19
Pregunta 07
Sea la expresión
!=
!
0, a!b − 0, ba
0, 4 4 ; con b≠ 0
Dato: (4a-3)(3b)(4a-3) es primo.
10
1
13
1
15
1
A) 0, 61
18
1
B) 1, 33
19
1
Hay 15 primos
31
3
capicúas de 3
35
3
cifras
37
3
Rpta: 15
38
3
∴ No hay
72
7
75
7
Números decimales
78
7
0,a b –0,b a =0, 4
79
7
^ ab − ah
91
9
92
9
Entonces la suma de todos los valores posibles
!
!=
!
de 0, a b −que
satisfacen
0, ba
0, 4 4 la ecuación anterior es
!
!
(4a-3) (3b) (4a-3)
q
q q
(4 - 3) 3 (4 - 3)
!
D) 3, 1 1
E) 4, 16
Resolución 07
Números racionales
!
!
!
^ ba − bh 4
−
=
90
90
9
^9a + bh ^9b + ah 4
−
=
90
90
9
8a − 8b = 4
90
9
a – b=5
6
7
8
9
PROHIBIDA SU VENTA
Nota: Asumiento a, b ∈ Z.
Clave
!
C) 2, 1 6
1
2
3
4
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4
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
!
2221(9) = (14(9)) 3
S S
Luego piden la suma de valores de 0,a b
!
!
!
0, 61 + 0, 72 + 0, 83 + 0, 94
1 4 4 4 4 44! 2 444444
3
!
3, 1 = 3, 1 1
!
•
Si: a = 5
5551(9) = (17(9)) 3
S S
Rpta: 3, 11
4096
•
Pregunta 08
= 4096
1/3
{5}
Rpta.: Posee un solo elemento
= 1 _a + 2 i_9i
Entonces podemos decir que el conjunto
1/2
( a ! #1, 2, 3, ...8 - / a aaa1_9ik
A) No posee elementos
B) Posee un solo elemento
C) Posee dos elementos
D) Posee tres elementos
E) Posee cuatro elementos
existe 2
Pregunta 09
Indique el intervalo al cual pertenece el valor de
m, para que la inecuación
4 + x − 4x 2
<m
x2 − x + 1
Se cumpla para todo x∈ R .
13
A) - 3, - 3
B)
1, + 3
Resolución 08
C)
2, + 3
Potenciación
D)
3, 9
E)
5, + 3
Cubo perfecto
3
aaa1(9) = _1 (a + 2) (9)i
S
q
9+1
q
= (9 + (a + 2)) 3
.
2
5
•
Luego
•
Si: a = 2
(sí cumple)
Luego: el conjunto es unitario.
Se tiene la siguiente igualdad
_ aaa1_9ii
(no cumple)
≠ 2197
1639
Resolución 09
Inecuaciones
Desigualdades
4 + x − 4x 2
<m; ∀x∈R
x2 − x + 1
O < ^m + 4h x2 − ^m + 1h x + ^m − 4h ; ∀x∈R
1 4 4 44444 2 4444444 3
P^ x h
CENTRAL: 6198–100
5
PROHIBIDA SU VENTA
!
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
↔ m+4>0 ∧ T < O
m>– 4 ∧ ^m + 1h2 − 4^m + 4h^m − 4h < 0
Para b=–a
f(0) = f(a) f(–a)=1
Rpta: 1
2−
0 < 3m 2m − 65
0 < ^3m + 13h^m − 5h
Pregunta 11
- 13
3
–4
Considere la siguiente función: f: R→R definida
por f(x) = ax2 + bx + c, a > 0, b > 0.
5
Si: f(0) = 2 y Rang (f) = 6b ; + 3 , determine el
` m∈ 5; 3
siguiente valor M =
Rpta: <5,+∞>
8a − b 2
ab
A) 1
B) 2
Pregunta 10
C) 3
Sea una función f: R →<0,+3> que cumple
D) 4
f(a+b)=f(a).f(b) ∀a, b∈ R . Calcule el valor de
f(a).f(-a)
E) 5
Resolución 11
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Resolución 10
Funciones
Funciones
Función cuadrática
Dado: f(x)= ax2+bx+c; a>0
→ f(0)= c= 2
Se sabe:
fmin= –
3
=b
4a
–(b2–8a)= 4ab
8a–b2= 4ab
Regla funcional
Dato: f(a+b)= f(a) f(b); 6a; b∈ R
Reemp. en M:
Para a=0; b=0
M=
f(0)= f(0).f(0)
pero
4ab
=4
ab
Rpta: 4
f(0) > 0 → f(0)=1
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6
PROHIBIDA SU VENTA
A) –1
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Pregunta 12
Pregunta 13
Sea f una función cuya regla de correspondencia
está dada por: f(x) = loga _x +
x2 + 1 i
((AX)-1)t = 0,5 B–1
Encuentre su función inversa
A) X = 0,5 A-1Bt
A) ax + a–x
ax + a
B)
2
B) X = 0,5 Bt A-1
−x
C) X = 2 A-1B
C) ax - a-x
ax
2
E)
D) X = 2 B-1 At
x - -x
2
E) X = 2 A-1 Bt
a
Resolución 13
Matrices
Resolución 12
Matriz inversa
Funciones
6^ AXh−1 @t = 0, 5B −1
Función inversa
Tomando la transpuesta
y = loga ^ x + x2 + 1 h
Notamos que la función es creciente, luego la
inversa existe.
•
Despejando “x”
x + x2 + 1 = a y
x2 + 1 = a y − x
2
2y −
y
x +1 = a
2a x + x
2 a y x = a 2y − 1
x=
` f^ x h =
ax − a
2
a
Aplicando la inversa
−1
AX = ^0, 5B −th
AX = 2B t
Multiplicando por A 1
2
A −1 . AX = A −1 . 2B t
X = 2 A −1 B t
y − −y
2
−
^ AXh 1 = 0, 5B −t
a
−
Rpta: X = 2 A 1 B t
−x
Rpta:
PROHIBIDA SU VENTA
a
D)
Si A es una matriz invertible, despeje la matriz
X a partir de la expresión.
a x - a -x
2
CENTRAL: 6198–100
7
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Pregunta 14
Pregunta 15
Determine el conjunto solución del sistema de
ecuaciones no lineales:
x 2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0
x 2 − 2x − y + 1 = 0
*
A) {(3,1), (1,1), (-1,-1)}
B) {(2,-2), (2,1), (1,1)}
C) {(-1,0), (1,1) (1,2)}
D) {(1,0), (0,1), (2,1)}
E) {(1, -1), (1,0), (2,-1)}
Un granjero tiene 480 acres de tierra en la que
puede sembrar maíz o trigo. Él calcula que
tiene 800 horas de trabajo disponible durante
la estación de verano. En el caso del maíz, el
trabajo demora 2 horas por acre y se obtiene
una utilidad de S/.40 por acre, mientras que
en el trigo el trabajo es de 1 hora por acre y la
utilidad es de S/.30 por acre. ¿Cuántos acres
de maíz y trigo debe plantar respectivamente,
para maximizar su utilidad?
A) (160, 320)
Resolución 14
B) (140, 340)
Sistema de ecuaciones
C) (340, 140)
D) (320, 160)
Sistema no lineales
E) (180, 300)
de (2):
(x-1)2=y
Resolución 15
en (1):
Programación lineal
(x-1)2+y2-2y=0
Máximos y mínimos
y+y2-2y=0
y2-y=0
x-1=-1
x=0
Acre
Horas
Utilidad
ÑCS= {(1;0);(2;1);(0;1)}
Rpta.: {(1,0),(0,1),(2,1)}
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Maíz
x
2x
40x
Trigo
y
y
30y
Total
480
800
U(x;y)=40x+30y
PROHIBIDA SU VENTA
∨
y=0
y=1
2
(x-1) =0
(x-1)2=1
x=1
x-1=1 ∨
∨
x=2
Por datos:
Z
]] x + y G 480
S = [ 2x + y G 800
]x H 0;y H 0
\
8
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Resolución 16
y
Sucesiones
Sucesión acotada
(0,480)
1 <10-7 → n2>107
2
n
→n>103 10 → n>3162,2...
(320,160)
(400,0)
x
→ Menor valor; n∈N : 3163
Rpta: 3163
Pregunta 17
Umáx = 40 _320i + 30 _160 i
= 12800 + 4800
= 17600
Halle el menor grado del polinomio xn+ax+b,
a≠0, (n>1) para que x2–1 sea un divisor.
A) 2
Rpta: Debe plantar 320 acres de maíz y 160
acres de trigo
Rpta.: (320, 160)
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Pregunta 16
Resolución 17
Considere la sucesión
Polinomios
1 1
1
'1, 2 , 2 , ... , 2 , ... 1 .
2 3
n
Divisibilidad
Determine el menor valor de n∈ N , de modo
que se cumpla
A) 2081
B) 2091
C) 2991
D) 3001
E) 3163
→P(x)=(x2–1)q(x)
P(1)=0
^
1+a+b=0…(1)
P(–1)=0
(–1)n–a+b=0…(2)
Restando (1) y (2)
1–(–1)n+2a=0
2a=(–1)n–1
Se tiene a≠0 → (–1)n–1≠0
entonces n es impar
min(n)=3
Rpta: 3
CENTRAL: 6198–100
9
PROHIBIDA SU VENTA
1
<1×10–7
n2
Si P(x)=xn+ax+b es divisible (x2–1)
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Pregunta 18
Pregunta 19
En el primer cuadrante del plano se forma el
conjunto A con los puntos con coordenadas
enteros positivos, esto es
Si S es el conjunto solución de la inecuación
x + 1 – x–2 <2 se afirma
I.
<1/4,+∞>⊂S
II. S⊂<1/3,+∞>
A= {(m,n)/m∈ N , n∈ N }.
A cada punto (m,n) de A se le asigna el valor
1
. Calcule la suma de todos los valores de
2m + n
los puntos (m,n) de A con coordenadas m $ n.
III. S∩<–∞,1/2>≠φ
¿Cuáles son afirmaciones correctas?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
1
3
2
B)
3
Resolución 19
D) 2
Inecuaciones
E) +∞
Valor absoluto
A)
E) II y III
C) 1
0 ≤|x+1|-|x-2|<4
Resolución 18
Series
|x-2|≤|x+1|
Convergencia
Sm =
Sea Sm la suma de todos los valores de los
puntos (m;n) con coordenadas m≥n
n=m
/
n=1
1
+
2m n
=
1
+
2m 1
+
1
+
2m 2
+
1
+
2m 3
+ ..... +
3
x-2>x-3 ∨ x-2<-x+3
x$
1
∧(x ∈ R ∨ x < 5/2)
2
luego CS = 8 ; + 3
1
1− m
2
1
2
analizando las proposiciones
1
1
c m − mm=
2
4
m=1
1
1
2 − 4 = 1− 1 = 2
1
3 3
1
1−
1−
4
2
|x-2|>x-3
1
/ Sm = /
m=1
.
x+1 - |x-2| < 4
+
2m n
1 1 1
1
1
1
Sm = m ( + 2 + .... + m ) = m − 2m
2 2 2
2
2
2
1 4 4 44 2 4 4 44 3
3
1
x$
2
x+1 − x−2 < 4
S
PROHIBIDA SU VENTA
•
∧
elevando al cuadrado
I.
F
II. V
III. F
Rpta:
2
3
Solo II es correcta
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Rpta: Solo II
10
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Pregunta 20
•
Respecto a la función f(x)=|x|–x, indique la
secuencia correcta, después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I.
f(x+y) # f(x)+f(y); ∀x,y∈ R .
II. Si hacemos g(x)= x2–2x–3 entonces
el conjunto solución de g(x)= f(x) es
{– 3 ,3}.
x<0 ∧ x2–3x+5= –2x ⇒ x∈φ
C. S.= φ
(V)
Rpta: V V V
Pregunta 21
En el gráfico AB = AD = DC, calcule a (en
grados)
III. Si hacemos h(x)= x2–3x+5 entonces
el conjunto solución de h(x)= f(x) es
vacío.
B
7a
D
A) V F V
2a
A
B) V F F
a
C) V V V
C
D) F V V
A) 8
E) F V F
B) 9
Resolución 20
C) 10
Funciones
D) 12
Regla de correspondencia
E) 13
f(x)=|x|–x
Resolución 21
Sabemos ∀x,y∈ R : |x+y| # |x|+|y|
Triángulos
|x+y| – (x+y) # |x|–x+|y|–y
Propiedades
14444244443
f(x+y) # f(x)+f(y) (V)
Piden: a
B
II. g(x)= x2–2x–3= |x|–x
x2–2x–3=0
•
x>0 ∧
•
x<0 ∧ x2–2x–3= –x–x ⇒ x=– 3
C. S.= {– 3 ,3}
⇒ x=3
a
(V)
III. x2–3x+5= |x|–x
•
x>0 ∧
x2–3x+5=
7a
6a
0 ⇒ x∈φ
a
–12
180
A
2a
S
a
6a
a
D
a
a
2a
C
*mD C A=2a.
CENTRAL: 6198–100
11
PROHIBIDA SU VENTA
I. f(x+y)= |x+y|–(x+y)
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
S
Resolución 22
*
∆ ABD: mB AD =180–12a
*
En ∆ Isósceles ABD: m ABD =m ADB
%
%
%
=6a ⇒ D BC =a
Luego: BD=DC=a
∴
∆ ABD Equilátero
Semejanza
Semejanza de triángulos
Piden: DA . DB
6a = 60
∴
C
B
r
A
a = 10
D
r=3
Rpta.: 10
Pregunta 22
En la figura las circunferencias tienen radios
r =3u y R =6u respectivamente, C es punto
de tangencia y D es centro. Calcule producto
DA.DB (en u2).
B
C
R=6
Por el teorema de producto de lados en el
∆ ABD.
(AD)(DB)=2Rr=2(6)(3)
A
D
∴(AD)(DB)=36
Rpta.: 36
r
Pregunta 23
En la figura se muestra el triángulo rectángulo
ABC recto en B. Si AB = 5 cm y AD=3cm,
entonces la medida (en cm) del segmento EF
es:
B
E
A) 18
B) 24
C) 30
D) 36
E) 40
A
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D
F
C
12
PROHIBIDA SU VENTA
R
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Pregunta 24
A) 2,14
B) 2,16
En la siguiente figura, I es el incentro del triángulo ABC, BI = 6u, DE = 1u. Calcule BE (en u).
C) 2,25
D) 2,56
B
E) 2,82
Resolución 23
I
Triángulos
Triángulo notable
B
53
3
E
4 16/5
D
53
A) 8
B) 9
x
F
C) 10
C
Piden: x
BED (NOT 53° y 37°)
DE= 16
5
DFE(NOT 53° y 37°)
x= 64 =2,56
25
D) 11
E) 12
Resolución 24
Semejanza y puntos notables
Propiedades
B
Rpta: 2,56
6
I
θ
θ
A
θ
α
α+
x
x-6 D
x-6
C
1
E
Piden x
I: Incentro del ∆ ABC
CENTRAL: 6198–100
13
PROHIBIDA SU VENTA
A
37 53
E
α
α
5
C
D
A
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Por teorema
A) 1+ 3
B) 2+ 3
B
(AB)2 = (AD)(AC)
C) 2– 3
D) 1+2 3
α
E) 2 3 –1
Resolución 25
α
A
C
D
Áreas
Áreas de regiones triangulares
En el ∆ ABE
Piden: r
(x - 6)2 = x.1
C
∴ x=9
Rpta.: 9
a
Pregunta 25
2a
a a
En la figura AC=CD, AD= 6u y área
(∆BCD)=r (área ∆ABD). Halle r.
S
C
B
a 2a
120°-2a
3
3a
2a
3
3 3
A
a
2a
30º
3a
6
D
Dato: Área(DBCD)=Área(DABC)
Calculando: a
B
2a
A
PROHIBIDA SU VENTA
sea: DCSD ≅ DCBA
Por teorema
3a
D
mB CBD=120º-2a
→ a=15º; mB BDA=30
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14
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Del dato:
En el
(3 + 3 3 ) 2 r (3 + 3 3 ) 3
=
2
2
∴ r=1+ 3
x=arc tg(2)
EOM:
Rpta: arc tan(2)
Rpta: 1+ 3
Pregunta 26
ABCD es un cuadrado y desde su centro O
se traza un segmento OE perpendicular al
plano ABC, si OE=AB entonces la medida del
diedro E–DC–B es:
Pregunta 27
El punto P se encuentra situado sobre la altura
de un tetraedro regular de lado a. Si P equidista
de cada vértice, calcule esta distancia.
A)
a 3
4
B)
a 2
3
B) arc tan (1)
C)
a 3
3
3
2
D)
a 6
4
E)
a 2
2
1
A) arc tan ` j
2
C) arc tan ` j
D) arc tan (2)
5
E) arc tan ` j
2
Resolución 27
Resolución 26
Poliedros regulares
Geometría del espacio
Volumen
Ángulo diedro
Piden: PA
Piden: x
A
l=3r
P
2a
B
2a
A
C
O
a
x
a
a
l
r
B
l
M
D
CENTRAL: 6198–100
a
D
C
15
PROHIBIDA SU VENTA
E
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Dato: PA=PB=PD=PC
l
Consecuencia: “P” centro de la esfera
circunscrita al tetraedro regular, r: inradio.
=
( 4r
2cm
A
3cm
VCubo=l3
Pregunta 28
Un vaso de forma de prisma recto hexagonal,
con diagonal mayor de la base que mide 6 cm,
contiene agua “al tiempo”. Para enfriarla se
coloca un cubo de hielo y se observa que el
nivel del agua sube 2 cm. Calcule la longitud
de la arista del cubo de hielo (en cm).
3
3
a 6
Rpta:
4
l3=6. 9 3 .2
l=3 6
4
3
3
3cm
VPrisma= 6 c 3
2
4
3 m .2
⇒ l3=27 3
Rpta.: 3 6 3
Pregunta 29
A) 3
En un cilindro de revolución de 5 cm de altura
se inscribe un paralelepípedo rectangular
con superficie lateral de 250 cm2. Una de
sus aristas, ubicada en la base del cilindro,
mide 16 cm. Calcule la razón (en cm) entre el
volumen y el área lateral del cilindro.
B) 3 6 3
C) 3 4 3
D) 3 3 3
E) 3 3
Resolución 28
A)
Prismas
Volumen
337
4
337
2
337
C)
4
337
D)
2
B)
Piden: l
El volumen del cubo es equivalente al volumen
del agua que sube 2 cm,
E)
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PROHIBIDA SU VENTA
a 6
a 6
=
( 3r
3
4
a 6
∴ PA =
4
l
337
16
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Resolución 29
Prisma – Cilindro
10 m
Volumen – Área
5
5
A
2R
16
B
A) 3 π
a=9
B) 5 π
C
C) 7 π
V
Piden: C
AL
D) 10 π
E) 11 π
Dato: AL=250
Resolución 30
2[16 . 5+5a]=250
Tronco de cono
a=9
En el
•
2R= 337
VCilindro
Volumen
ABC
Piden: Vtronco
=πR2.5
Vtronco =
AL=2πR.5
VC
=
AL
r3 2 + 2 +
(1 2 2.1)
3
∴ Vtronco = 7p
337
4
1
Rpta:
337
4
1
3
Pregunta 30
En la Panamericana cerca de Casma se ha
formado una duna en forma de tronco de
cono de revolución. Las longitudes de las
circunferencias son 4 π m y 2 π m. Ver figura.
Halle el volumen de la duna en metros cúbicos.
CENTRAL: 6198–100
2
10 m
3
1
1
Rpta: 7p
17
PROHIBIDA SU VENTA
•
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Pregunta 31
6
En un tronco de cono de revolución, el radio de
la base mayor es el doble del radio de la base
menor. Si el volumen del tronco de cono es
336 p cm3 y el radio de la base menor es 6 cm,
entonces el volumen de una esfera tangente a
las bases del tronco de cono (en cm3) es:
30
r
3
31
B)
r
3
32
C)
r
3
33
D)
r
3
34
E)
r
3
r
h
r
12
A)
Rpta.:
32
r
3
Pregunta 32
En una pirámide cuadrangular regular, la arista
básica mide 8 u y su altura mide 15 u. ¿A qué
distancia (en u) de la base de la pirámide se
debe trazar un plano paralelo a dicha base,
para que el volumen del prisma recto, que
tiene por base a dicha sección y por altura la
distancia de la sección al vértice de la pirámide,
3
sea los
del volumen de la pirámide?
8
Resolución 31
Sólidos geométricos
Tronco de cono
A) 9,5
Piden: Vesfera
B) 8,5
Dato VTC= 336p
rh _62 + 122 + 12 . 6i = 336r
3
C) 7,5
h= 4
2r= 4
E) 5,5
r= 2
D) 6,5
PROHIBIDA SU VENTA
V= 4 r (2) 3
3
` V= 32 r
3
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18
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Resolución 32
D
C
Pirámide
Semejanza de pirámides
O
8k x
8k
15
T
B
A
8
A) 0,57
Piden: x
B) 0,68
Condición
C) 0,79
3
Vprisma= Vpirámide
8
3 ^8.8.15h
8k.8k.15k= .
8
3
1
15
k=
15k=
2
2
15
∴ x=
2
D) 0,81
E) 0,92
Resolución 33
Áreas
Áreas circulares
Rpta: 7,5
2
B
53/2
53/2
1
Pregunta 33
Si ABCD es un cuadrado de lado 2u y T es
un punto de tangencia, entonces el área
sombreada (en u2) es igual a: (O centro de la
circunferencia que pasa por A, T y D)
C
2
1
1
53°
53
2
A
CENTRAL: 6198–100
1/2
PROHIBIDA SU VENTA
15k
D
19
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Pregunta 35
Pide: área sombreada
Al resolver la ecuación
=
sen (2x)–12( sen(x)–cos(x))+12= 0,
obtenemos como soluciones:
Rpta: 0,92
A) kp, k∈ Z
1
j r , k∈ Z
2
C) 2kp y kp, k∈ Z
1
D) (2k+1)p y `2k + j r , k∈ Z
2
1
E) (3k+1)p y ` k + j r , k∈ Z
2
B) 2kp y ` k +
Pregunta 34
En todo triángulo ABC, la suma de los cuadrados de
sus lados es igual a K(bc cosA+ac cosB+ab cosC)
donde K vale:
A)
B)
C)
D)
E)
Resolución 35
1
4
1
2
1
2
4
Ecuaciones trigonométricas
De la ecuación
1 − Sen2x + 12 (Senx − Cosx) − 13 = 0
1 44 2 44 3
(Senx − Cosx) 2 + 12 (Senx − Cosx) − 13 = 0
Factorizando:
(Senx − Cosx + 13) (Senx − Cosx − 1) = 0
Resolución 34
Resolución de triángulos oblicuángulos
Teorema de coseno
i) Senx - Cosx=-13
no cumple - 2 # Senx - Cosx # 2
ii) Senx - Cosx=1  Senx=1+Cosx
Por condición:
a2+b2+c2= k(bc CosA+ac CosB+ab CosC)
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc CosA
Por teoría: b 2 = a 2 + c 2 − 2ac CosB 4 sumando
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab CosC
2bc CosA+2ac CosB+2ab CosC= a2+b2+c2
Igualando con la condición nos da K= 2
Rpta: 2
2
x
x
x
Cos = 2 Cos
2
2
2
x
a) Cos =0
2
r
x
=(2k+1)  x=(2k+1)π; K d Z
2
2
2 Sen
b) tg
x
=1
2
r
x
=kπ+
4
2
r
x= 2kπ + ; K d Z
2
Rpta: (2k+1)p y `2k +
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1
j r , kd Z
2
20
PROHIBIDA SU VENTA
1
2
`2 + 2 j
r (1)
2–
.Y
Y
2
2
AREG 5 r
=
–
=
0,92
SOMB
2 2
A
REG
SOMB
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Pregunta 36
Obtenemos:
Del gráfico mostrado, el resultado de:
1
2
tgθ=
E= tgθ+tgβ+tgΦ, es:
tg(–b)=
y
θ
tgb= –
4
=2
2
tgφ=
(-1;2)
1
2
Piden:
x
E=
β
1 1
–
+2
2 2
E= 2
Φ
Rpta: 2
(4;-2)
(-4;-2)
A) –4
Pregunta 37
B) –2
Si x∈ r; 3r entonces determine los valores
2
de y= 4 – 9csc2 `x + 2r j .
3
C) 0
D) 2
E) 4
A) <–∞,–12>
Resolución 36
B) <–∞,–11>
R. T. de un ángulo de cualquier magnitud
C) <–∞,–10>
Razones trigonométricas
D) <–∞,–9>
Graficando:
E) <–∞,–8>
y
Resolución 37
1
Circunferencia trigonométrica
Dato:
2
5r
2r
13r
1 x+
1
3
3
6
4
x
–b
2
Como el seno es creciente
Sen
φ
PROHIBIDA SU VENTA
θ
2
1
2
5r
2r
13r
< Sen(x+
)< Sen
3
3
6
4
CENTRAL: 6198–100
21
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
3
2r
1
< Sen (x +
)<
2
3
2
3
2 + 2r
0 # Sen (x
)<
3
4
4
2 + 2r
) <+3
< Csc (x
3
3
−
Luego:
− 3 < 4 − 9Csc2 (x + 2r ) < − 8
3
Rpta: <–∞,–8>
3
2r
K = <Sen a 3 k Sen _ − 2xi − 2 F_1 − Sen2xi
3
3
K = <− 2 Sen2x − 2 F_1 − Sen2xi
3
K = − 2 _1 + Sen2xi_1 − Sen2xi
3
K = − 2 Cos2 2x
3
Rpta: - 2 Cos2 _2xi
Pregunta 39
Pregunta 38
Si x∈ 0; r y
2
Al simplificar la expresión
K=;cos2 ` r + x j − cos2 ` r − x j − 3 E(1 − sen (2x))
3
3
2
se obtiene:
1 + sen (x)
= tan ` x + r j
1 − sen (x)
a 2a
Calcula el valor de (a2+1)
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
A) – 3 cos2(2x)
2
3 sen2(2x)
2
Resolución 39
I.T. para el ángulo mitad
C) – 3 sec(2x)
2
D)
E)
De la condición
3 csc(x)
2
x r
Tg a a + 2a k =
3
2
Resolución 38
I.T. para la suma resta de dos ángulos
Identidades auxiliares
Recordemos:
Sen(A+B)Sen(A-B)=Cos2B–Cos2A
r
1 + Cos a 2 − x k
= Ctg a r − x k
r
4 2
1 − Cos a 2 − x k
x r
r x
Tg a a + 2a k = Tg a 4 + 2 k como:
r r+x r
a r + x k _ +i
4 < 4 2 < 2 " Tan 4 2 :
x r
x r
Tg a a + 2a k = Tg a 2 + 4 k
a= 2 nos piden a2+1
∴ a2+1= 5
Aplicando:
Rpta: 5
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22
PROHIBIDA SU VENTA
B)
E) 6
Examen UNI 2015 – I
SOLUCIONARIO – Matemática
Pregunta 40
Sea la función f(x)=
Resolución 40
3
Funciones trigonométricas inversas
x
arctan (x) - x
Hallando el dominio
ArcTg(x)–x≠0
Dadas las siguientes proposiciones:
I.
ArcTg(x)≠x→x∈<-∞;0>∪<0;+3>
La función f es impar.
II. Si x∈Dom(f), entonces –x∈Dom(f).
III. La gráfica de f corta a la curva y=
Son correctas:
x2
Luego:
I.
3
A) Solo I
F_ − xi =
B) Solo II
C) Solo III
_ − xi
ArcTg _ − xi − _ − xi
F(–x)=F(x) es función par
D) I y II
III.
x3
= x2
ArcTg _ x i − x
,x!0
x= ArcTg(x)–x
2x= ArcTg(x)
→x= 0 pero como x≠0 no hay solución las
gráficas no se cortan
Rpta: Solo II
PROHIBIDA SU VENTA
E) II y III
x∈Domf entonces –x∈Domf
II. Hallando
CENTRAL: 6198–100
23