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MATEMÁTICA
-1-
EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I
ACADEMIA PITÁGORAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
MATEMÁTICA
21
35
29
31
23
22
28
33
01. Sea el número E = 2
+ 3
.
Calcule el residuo de dividir E entre 7.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
28
25
31
26
24
27
27
33
37
29
19
36
23
18
46
12
26
41
30
18
39
15
24
4
02. ¿Cuántos números de la forma
(4a3)(3b)(4a3) son primos?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
25
33
10
28
20
27
17
31
2001
2001
Ð
Ð
Ñ
0,a b - 0,b a = 0,4 4
Entonces la suma de todos los valores
Ð
posibles de 0,a b que satisfacen la
ecuación anterior es:
Ð
A) 0,6 1
Ð
D) 3,1 1
Ð
B) 1,3 3
Ð
06. Indique la alternativa correcta después
de determinar si cada proposición es
verdadera (V) o falsa (F) según el
orden dado:
( ) Sean A  B  C  D, entonces la
probabilidad
P(D) = P(D\A) + P(C\A) + P(B\A) + P(A)
( ) Se lanzan dos dados normales,
entonces la probabilidad que su
1
suma sea 7 es .
2
( ) Se lanzan dos dados normales,
uno cada vez, entonces la
probabilidad de que salga 3 dado
1
que antes salió 1 es
.
36
A) VVV
B) VFV
C) FVV
D) FFV
E) FFF
C) 2,1 6
Ð
E) 4,1 6
04. Se tiene la siguiente igualdad:
(aaa1(9))1/3  1(a2) (9)
Entonces podemos decir que el
conjunto.
{a  {1, 2, 3, ...., 8} / (aaa1(9))1/2 existe}
A) No posee elementos
B) Posee un solo elemento
C) Posee dos elementos
D) Posee tres elementos
E) Posee cuatro elementos
05. Semanalmente, un trabajador ahorra
cierta cantidad en soles, y durante 40
semanas ahorra las siguientes
cantidades:
07. Sabiendo que K = ab(4) = cd(5)
y
a+b+c+d = 11 en el sistema decimal
-3-
-2-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
con a  0, c  0. Determine K en el
sistema decimal.
A) 14
B) 23
C) 32
D) 41
E) 51
Se construye una tabla de frecuencias
de 7 intervalos de igual longitud fija
A. Si F5 es la frecuencia acumulada
del quinto intervalo (ordenados los
extremos de los mismos de forma
creciente), determine el valor de
(A+F5) - 1.
A) 30
B) 32
C) 37
D) 38
E) 39
03. En la expresión siguiente, b0
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después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa
(F).
I. f(x + y)  f(x) + f(y); x, y  
2
II. Si hacemos g(x) = x - 2x - 3
entonces el conjunto solución de
g(x) = f(x) es  3; 3
2
III. Si hacemos h(x) = x - 3x + 5
entonces el conjunto solución de
h(x) = f(x) es vacío.
A) VFV
B) VFF
C) VVV
D) FVV
E) FVF
08. Se sabe que en una división entera el
divisor en 50 y el residuo es 15.
¿Cuántas unidades como mínimo se
le debe disminuir al dividendo, para
que el cociente disminuya en 13
unidades?
A) 614
B) 615
C) 616
D) 617
E) 618
12. Indique el intervalo al cual pertenece
el valor de m, para que la inecuación:
4  x 4x 2
<m
x 2  x 1
se cumpla para todo x  
13
A) ; 
3
B) <1; ->
C) <2; +>
D) <3; 9>
E) <5; +>
09. En el primer cuadrante del plano se
forma el conjunto A con los puntos con
coordenadas enteros positivos, esto
es:
A = {(m, n) / m  , n  }
A cada punto (m, n) de A se le asigna
1
el valor
. Calcule la suma de
mn
2
todos los valores de los puntos (m, n)
de A con coordenadas m  n.
1
2
A)
B)
C) 1
3
3
D) 2
E) +
13. Sea una función f:   <0; +> que
cumple f(a + b) = f(a).f(b)  a, b  .
Calcule el valor de f(a).f(-a)
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
10. Si S es el conjunto solución de la
inecuación:
|x 1|  |x 2| < 2
se afirma:
I. <1/4; +>  S
II. S  <1/3; +>
III. S  <-; 1/2>  Φ
¿Cuáles son afirmaciones correctas?
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) lI y III
14. Considere la siguiente función f: 
2
definida por f(x) = ax + bx + c, a > 0,
b > 0. Si f(0) = 2 y Rang(f) = [b; +>,
determine el siguiente valor:
8ab 2
M=
ab
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
11. Respecto a la función f(x) = |x| - x,
indique la secuencia correcta,
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15. Sea f una función cuya regla de
correspondencia está dada por:
respectivamente, para maximizar su
utilidad?
A) (160, 320)
B) (140, 340)
C) (340, 140)
D) (320, 160)
E) (180, 300)
f(x) = loga (x x 2  1)
Encuentre su función inversa.
a x  a x
x
-x
x
-x
A) a + a
B)
C) a - a
2
19. Considere la sucesión:
1 1
1
1,
,
, ....,
, ...
2
2
2 3
n2
Determine el menor valor de n  , de
modo que se cumpla:
1
< 1 × 107
2
n
A) 2 081
B) 2 091
C) 2 991
D) 3 001
E) 3 163
x
a
a x  a x
D)
E)
2
2
16. Si A es una matriz invertible, despeje
la matriz X a partir de la expresión.
(AX)1 t  0,5 B 1
-1 t
A) X = 0,5 A B
t -1
B) X = 0,5 B A
-1
C) X = 2A B
-1 t
D) X = 2B A
-1 t
E) X = 2A B
20. Halle el menor grado del polinomio
n
x + ax + b, a  0, (n > 1) para que
2
x - 1 sea un divisor.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
17. Determine el conjunto solución del
sistema de ecuaciones no lineales:
x 2  y 2  2x 2y  1  0
x 2  2x y  1  0
A) {(3, 1), (1, 1), (-1, -1)}
B) {(2, -2), (2, 1), (1, 1)}
C) {(-1, 0), (1, 1), (1, 2)}
D) {(1, 0), (0, 1), (2, 1)}
E) {(1, -1), (1, 0), (2, -1)}
21. El punto P se encuentra situado sobre
la altura de un tetraedro regular de
lado a. Si P equidista de cada vértice,
calcule esta distancia.
a 3
a 2
a 3
A)
B)
C)
4
3
3
D)
18. Un granjero tiene 480 acres de tierra
en la que puede sembrar maíz o trigo.
Él calcula que tiene 800 horas de
trabajo disponible durante la estación
de verano. En el caso del maíz, el
trabajo demora 2 horas por acre y se
obtiene una utilidad de S/. 40 por acre,
mientras que en el trigo el trabajo es
de 1 hora por acre y la utilidad es de
S/. 30 por acre. ¿Cuántos acres de
maíz y trigo debe plantar,
a 6
4
E)
-4-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
6
A) 3
B) 3 3
3
D) 3 3
entonces el volumen de una esfera
tangente a las bases del tronco de
3
cono (en cm ) es:
4
C) 3 3
E) 3 3
23. En un cilindro de revolución de 5 cm
de altura se inscribe un paralelepípedo
rectangular con superficie lateral de
2
250 cm . Una de sus aristas, ubicada
en la base del cilindro, mide 16 cm.
Calcule la razón (en cm) entre el
volumen y el área lateral del cilindro.
337
337
337
A)
B)
C)
4
2
4
337
D)
E) 337
2
30
π
3
33
D)
π
3
A)
31
π
3
34
E)
π
3
B)
C)
32
π
3
26. En una pirámide cuadrangular regular
la arista básica mide 8 u y su altura
mide 15 u. ¿A qué distancia (en u) de
la base de la pirámide se debe trazar
un plano paralelo a dicha base, para
que el volumen del prisma recto, que
tiene por base a dicha sección y por
altura la distancia de la sección al
3
vértice de la pirámide, sea los
del
8
volumen de la pirámide?
24. En la Panamericana cerca de Casma
se ha formado una duna en forma de
tronco de cono de revolución. Las
longitudes de las circunferencias son
4π m y 2π m. Ver figura. Halle el
volumen de la duna en metros
cúbicos.
A) 9,5
D) 6,5
B) 8,5
E) 5,5
C) 7,5
27. En el gráfico AB = AD = DC, calcule α
(en grados).
a 2
2
22. Un vaso de forma de prisma recto
exagonal con diagonal mayor de la
base que mide 6 cm, contiene agua “al
tiempo”. Para enfriarla se coloca un
cubo de hielo y se observa que el nivel
del agua sube 2 cm. Calcule la
longitud de la arista del cubo de hielo
(en cm).
-5-
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A) 3π
D) 10π
B) 5π
E) 11π
C) 7π
25. En un tronco de cono de revolución el
radio de la base mayor es el doble del
radio de la base menor. Si el volumen
3
del tronco de cono es 336π cm y el
radio de la base menor es 6 cm,
A) 8
D) 12
-6-
-5-
B) 9
E) 13
C) 10
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28. En la figura las circunferencias tienen
radios r = 3 u y R = 6 u,
respectivamente, C es punto de
tangencia y D es centro. Calcule
2
producto DA.DB (en u )
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A) 2
D) 5
3
2
D) ArcTg(2)
5
E) ArcTg
2
C) ArcTg
33. Si x  π,
A) 8
D) 11
B) 9
E) 12
C) 10
31. En la figura AC = CD, AD = 6 u y área
(∆BCD) = r (área ∆ABD). Halle r.
3π
2
B) 24
E) 40
x3
ArcTg(x)x
Dadas las siguientes proposiciones:
I. La función f es impar
II. Si x  Dom(f), entonces
-x  Dom(f)
III. La gráfica de f corta a la curva
2
y=x
Son correctas
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) II y III
entonces determine
los valores de y = 4 - 9 Csc
2
x
2π
3
A) <-, -12> B) <-, -11> C) <-, -10>
D) <-, -9> E) <-, -8>
C) 30
k = Cos 2
A) B)
A) 1 + 3
B) 2 + 3
C) 2 - 3
D) 1 + 2 3 E) 2 3 - 1
A) 2,14
D) 2,56
B) 2,16
E) 2,82
37. Si ABCD es un cuadrado de lado 2 u y
T es un punto de tangencia, entonces
2
el área sombreada (en u ) es igual a:
(O centro de la circunferencia que
pasa por A, T y D)
π
π
3
x Cos 2 x 
(1Sen(2x))
3
3
2
se obtiene:
29. En la figura se muestra el triángulo
rectángulo ABC recto en B. Si
AB = 5 cm y AD = 3 cm, entonces la
medida (en cm) del segmento EF es:
32. ABCD es un cuadrado y desde su
centro O se traza un segmento OE
perpendicular al plano ABC, si
OE = AB entonces la medida del
diedro E - DC - B es:
1
A) ArcTg
2
B) ArcTg(1)
C) 2,25
30. En la siguiente figura, I es el incentro
del triángulo ABC, BI = 6 u, DE = 1 u.
Calcule BE (en u)
-7-
-6-
C) -
C) 4
36. Sea la función f(x) =
34. Al simplificar la expresión:
A) 18
D) 36
B) 3
E) 6
3
2
Cos (2x)
2
3
2
Sen (2x)
2
3
Sec(2x)
2
D)
3
Csc(x)
2
E)
3
2
35. Si x  0,
A) 0,57
D) 0,81
C) 0,79
38. En todo triángulo ABC la suma de los
cuadrados de sus lados es igual a:
K(bcCosA + acCosB + ab CosC)
donde K vale:
1
1
A)
B)
C) 1
4
2
D) 2
E) 4
π
y
2
1Sen(x)
= Tg
1Sen(x)
2
valor de (a + 1).
B) 0,68
E) 0,92
x π
, calcule el

a 2a
-8-
-7-
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39. Al resolver la ecuación:
Sen(2x) - 12(Sen(x) - Cos(x)) + 12 = 0
obtenemos como soluciones:
A) kπ , k  Z
1
B) 2kπ y k π , k  Z
2
C) 2kπ y kπ, k  Z
1
D) (2k + 1)π y 2k
π,kZ
2
E) (3k + 1)π y k
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Ð
RESOLUCIÓN
40. Del gráfico mostrado, el resultado de:
E = Tgθ + Tgβ + TgΦ, es:
3
o
01. 2 = 7 +12
3
o
2001
3 = 7 -13
3 667
=(2 )
2001
o
1
π, k  Z
2
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o
o
=( 7 +1)
3 667
=(3 )
B) -2
E) 4
C) 0
Ð
o
= ( 7 -1)
8a - 8b = 40
a-b=5
 
6 1
7 2
8 3
9 4
o
667
= 7 +1
667
o
= 7 -1
o
E = ( 7 +1)-( 7 -1) = 7
A) -4
D) 2
Ð
03. 0,a b - 0,b a = 0,4 4 ; b  0
Ð
Ð
Ð
 Resto = 0
04. aaa19
02.
o
1/3
= 1(a2)9 ; a + 2 < 9
o
( 9 +1) = ( 9 +a+2)
3
Luego, son primos:
Verificando la igualdad, sólo cumple
para a = 5
101; 131; 151; 181; 191; 313; 353;
373; 757; 797; 919 y 929
 El conjunto posee un elemento
Rpta. B
 Hay 12 números NO HAY CLAVE
Observación: Suponiendo que a y b
son enteros, los números primos son:
101; 131 y 191
 Hay 3 números
05. De acuerdo a la tabla:
A=
Rpta. C
-8-
Ð
Rpta. D
Rpta. A
-9-
Ð
 0,6 1 + 0,7 2 + 0,8 3 + 0,9 4 = 3,1 1
- 10 -
-9-
42
=6
7
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Luego:
Entonces:
Ahorro
[Li; Ls>
Número de
semanas
fi
4; 10
1
10; 16
3
16; 22
6
22; 28
12
28; 34
12
34; 40
4
40; 46
2
6
1
P(A) =
=
36 6
III. Falso
Sean los eventos:
A: En el 2do dado salió 3
B: En el 1er dado salió 1
1
P(AB)
1
36
P(A/B) =
=
=
6
P(B)
6
36
Rpta. E
 F5=34
09. Como:
(m; n) se le asigna el valor de
1
S2 =
24
1
S3 =
26


1
25
1
27


1
26
1
28
 .... 
 .... 
Para: K = 14 = 32(4) = 24(5)
Obs: a + b + c + d = 3 + 2 + 2 + 4 = 11
 K = 14
Rpta. A
Falso
| P(D\ A) + P(C\ A) + P(B\A) + P(A) P(D)
..... (1)
..... (2)
Restando (1) - (2):
x = 15 + 650 - 49
 x = 616
II. Falso
: se lanzan dos dados
 n() = 6 × 6 = 36
A : La suma es 7
 n(A) = 6
- 11 -
2
|x + 1|  |x - 2|
2
1
8
1
32
.... (θ)
C.S =
1
; 
2
S
1
; 
3
Rpta. B
1
2
1
1
4

11. Como f(x) = |x| - x
I. Verdadero
f(x + y)  f(x) + f(y);  x; y  
|x + y| - x - y  |x| - x + |y| - y
 |x + y|  |x| + |y|
II. Verdadero
2
x - 2x - 3 = |x| - x
2
|x| = x - x - 3
2
2
x = x - x - 3  x = -x + x + 3
2
3
0 = (x  3)(x + 1)  0 = (x + 3 )(x 3 )
x = 3  x = -1  x = - 3  x = 3
no cumplen x = -1; x = 3
2
C.S = {3; - 3 }
2
x +2x+1x -4x+4  x 
x
x
Finalmente α  β  θ
10. Como:
II. 2  0 
Rpta. C
-10-
 |x + 1| - |2 - x| < 4
Rpta. B
I.
Se cumple:
D = 50q + 15
D - x = 50(q-13) + 49
2m n
|x 1|  |x 2| < 2
se cumple:
|x+1| - |x-2|  0  2  0  |x+1|-|x-2|<4
08. Se tiene:
AB CD
P(D\A) = P(D) - P(A)
P(D\A) + P(A) = P(D)
P(C\A)  0
P(B\A)  0
Se cumple:
|x + 1| - |2 - x|  |x + 1 + 2 - x|
|x + 1| - |2 - x|  3
1
al reemplazar se forman las siguientes
series:
1 1 1
1
   .... 
S1 =
2
3
4
2
2 2 2
S = S1 + S2 + S3 + .... =
Se cumple:
Rpta. E
06. I.
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
finalmente:
07. K = ab (4) = cd (5)
a + b + c + d = 11
 A + F5 - 1 = 39
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1
2
III. Verdadero
2
x - 3x + 5 = |x| - x
2
|x| = x - 2x + 5
2
∆ = (-2) - 4(1)(5)  ∆ < 0
 No hay soluciones reales.
... (α)
.... (β)
III. |x + 1| - |x - 2| < 4
es equivalente “a”:
|x + 1| - |2 - x | < 4
Rpta. C
- 12 -
-11-
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12.
4  x 4x 2
2
x  x 1
2
14. Se tiene f:   /f(x) = ax + bx + c
siendo f(0) = 2  Ran(f) = [b; +>
del dato f(0) = 2 resulta que c = 2
Luego la función queda así:
2
f(x) = ax + bx + 2
Completando cuadrados:
<m
2
Como x - x + 1 > 0, entonces:
2
2
4 + x - 4x < mx - mx + m
2
0 < (m + 4)x - (m + 1)x + m - 4
2
∆ = [-(m+1)] -4(m+4)(m-4)<0m+4> 0
2
0 < 3m - 2m - 65
0 < (3m + 13)(m-5)  m > -4
f(x) = a x
b
2a
2

8a  b 2
4a
Además como Ran(f) = [b; +> se
tiene:
8a  b 2
b=
4a
Luego m  <5; +>
 <5; +>
4=

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16. Tenemos A inversible con:
-1 t
18. Del enunciado tenemos el cuadro:
-1
((AX) ) = 0,5B
-1
Como tenemos (AX) en la igualdad,
podemos concluir que X también es
una matriz inversible. Luego, tomemos
transpuesta a ambos miembros:
-1
t -1
(AX) = 0,5(B )
Multiplicando por AX a la derecha:
t -1
I = 0,5(B ) (AX)
Finalmente multiplicando a la derecha
-1 t
por la matriz 2A B resulta:
y = f(x) Loga(x+ x 21 )
Notamos que f es una función
inversible. Luego, despejando x en
función de y.
17. Completando cuadrados
ecuaciones se tiene:
en
Graficando:
- 13 -
1
Total = 800 h
Total = 480
x, y  0
2x  y  800
x  y  480
f(320; 160) = 40(320) + 30(160)
= 12 800 + 4 800
= 17 600 soles
2y
Rpta. D
19. Tenemos la sucesión:
1 1
1
;
; ...;
; ....}
{an} = {1;
22 32
n2
la condición es:
1
-7
< 1 × 10
n2
Aquí los cortes nos representan las
soluciones
| C.S. = {(1; 0); (0; 1); (2; 1)}
Rpta. D
-12-
1h
El máximo ocurre en (320; 160)

Rpta. C
Trigo
y
 2xa = a - 1
a 2y1
x=
2a y
a ya y
x=
2
x
a
a y
-1
 f (x) =
2
 f(a)f(-a) = 1
1
(x1)2(y1)21 .... Ec. de circunferencia
y(x1)2 ..... Ec. de parábola
y
hacemos b = -a
f(0) = f(a)f(-a)
È
1
2h
las
 x 21 = a - x
y
Maíz
f(x; y) = 40x + 30y
-1 t
Rpta. E
15. Tenemos:
f(0) = 1
Terreno
Las condiciones son:
Rpta. D
x + x 21 = a
Horas
Función objetivo:
2A B = X
8a  b 2
ab
Rpta. E
13. Sea f:   <0; +>
Como:
f(a + b) = f(a)f(b) :  a; b  
hacemos:
a=b=0
f(0) = f(0).f(0)  f(0) = 0  f(0) = 1
pero f(0) = 0 no cumple:
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Rpta. D
- 14 -
-13-
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Se tiene luego de operar:
n > 3 162, 2 ....
 El menor valor de n es 3 163 (n  )
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21.
sumergido
=
ÆÉÉÉÈÉÉÉÉÇ
Vprisma
2
3
x =
Rpta. E
Luego, del dato:
desplazado
ÆÉÉÉÈÉÉÉÇ
Vcubo
3 3
6×2
4
3
x = 27 3
20. Se tiene el polinomio:
6
2
2
2
2
(2r) = 16 + a = 16 + 9
x=3 3
n
2
r = 337
p(x) = x + ax + b con a  0  n > 1
2
Por condición x - 1 es un divisor de
p(x), es decir:
n
x + ax + b = (x+1)(x-1)q(x)
Si x = 1:
a + b = -1 ............... (I)
Si x = -1:
n
(-1) + a(-1)+b = 0
n
 -a+b = -(-1) ...... (II)
Como n > 1, supongamos que n = 2,
entonces se tendría en (II):
Rpta. B
En la figura:
“P” es el centro del tetraedro regular,
cuyo circunradio mide R.
Luego: R =
R=
Reemplazamos en (I):
 x
23.
337
4
3h
a 6
;h=
4
3
Rpta. A
a 6
4
-a + b = -1
que al combinar con (I) resulta:
ab1
 a = 0  b = -1
ab1
24.
Rpta. D
22.
Pero por dato a  0. Por consiguiente
n  2.
Entonces, si suponemos que n = 3
tenemos en (II):
-a + b = 1
Combinando con (I)
ab1
 a = -1  b = 0
ab1
Se pide:
x
Conclusión: el menor valor de n es 3.
En la figura:
2L = 6  L = 3
Luego:
=
Vsólido
Rpta. B
- 15 -
-14-
Vcilindro
SL(cilindro)
Del dato:
L1 = 2π = 2πr; r = 1
L2 = 4π = 2πR; R = 2
π r 2g
x=
2π rg
x=
Vlíquido
r
..... (I)
2
Por Pitágoras en
2
2
2
:
h + 1 = ( 10)  h = 3
- 16 -
-15-
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Luego:
26.
π(3)
[4  1  2]
V
3
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27.
BDC ~
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 V = 7π
EDA
AD 2R

r
DB
AD . DB = 2Rr
Rpta. C
25. Dato:
AD . DB = 2(6)(3)
Vtronco = 336π

Al trazar el plano paralelo a la base de
la pirámide, la pirámide parcial que se
forma será semejante a la pirámide
inicial. Luego en la pirámide parcial:
Se traza BD y se prolonga BA hasta
“E”.
En ∆ABD: mABD = mADB = 6α
 mDBC = α
Luego: ∆BDC: Isósc: BD = DC
 ∆ABD: equilátero: 6α = 60
AD.DB = 36
Rpta. D
29.
 α = 10
a = 8k  h = 15k
Rpta. C
Por dato:
Por dato:
π(2R) 2
(6  122  6 × 12)  336π
3
VPrisma =
2
(8k) . 15k =
k=
 VEsfera =
4
32π
3
π.R =
3
3
28. Calcular: DA.DB. Datos:
r = 3 u; R = 6 u
Vpirámide
3 1 2
. . 8 . 15
8 3
1
15
h=
2
2
x=
Rpta. C
3
8
15
= 7,5
2
- 17 -
ABD: BD = 4
En
ABC: 5 = (AC)(3)  AC = 25/3
En
ABC: 4 = (DC)(3)  DC = 16/3
Luego:
ABC ~
DEC:
x 16/3
64

x
4 25/3
25
2
2
 x = 2,56
Rpta. C
-16-
En
En la circunferencia mayor se traza el
Rpta. D
diámetro DE y se traza AE . Luego:
- 18 -
-17-
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30.
Sea P un punto interior al triángulo
DBC, tal que el triángulo PCD sea
congruente con el triángulo BCA.
Luego BC = PC= b, mBCP = 2α 
mBDP = α
Por propiedad en el cuadrilátero
DBCP:
mDBC = 120 - α
En ∆DBC : α = 15
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| Csc x
32.
Csc
Rpta. B
2k.k
k( 31).k
r
2
2
31.
x
2
3
 Csc x
2π
>2
3
4
3
>
2π
3
x
2
< -12
2π
3
< -8
Rpta. E
2
2
3
](1Sen2x)
2
2
2
3
](1Sen2x)
2
34. k = [Cos (60°+x)Cos (60°x)
k = [Sen (60°x)Sen (60°+x)
k = [Sen120° Sen2x 
3π
2
3π
π<x<
2
5π
2π
13π
<x+
<
3
3
6
33. x  π,
k=
3
](1Sen2x)
2
3
(1+Sen2x)(1-Sen2x)
2
k=
3
2
Cos 2x
2
Rpta. A
35. 0 < x <
2
π
2
x π
1Senx
= Tg

1Senx
a 2a
31
1Cos
Rpta. A
- 19 -
2
2π
3
 y < -8
y  <-, -8>
 r = 3 +1
-18-
x
4 - 9Csc
De donde:
r=
2
-9Csc
Rpta. D
Observe que AB//DC , del gráfico
reemplazamos en el dato:
S(BCD) = rS(ABD)
<-
Luego:
Sea: AB = OE = 2a
Se traza:
OM  DC y se traza: EM
| OM = a  EM  CD
mOME = x
En
OME:
Tgx = 2
 x = ArcTg(2)
Del gráfico:
AE = EI = x - 6
(mIAE = mAIE = α + β)
En el triángulo AEB, por propiedad:
2
(x - 6) = x . 1
x9
x 2  13x 36  0
x4
De donde: x = 9 (x = 4 no es solución)
2π
3
π
x
2
π
1Cos
x
2
- 20 -
-19-
= Tg
x π

a 2a
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Ctg
π x

4 2
= Tg
Por lo tanto las funciones:
x3
f(x) =
 y = x2
ArcTgxx
no se cortan
Contestando las proposiciones:
I. Falso
II. Verdadero
III. Falso
x π

a 2a
x π
x π
= Tg


2 4
a 2a
|a=2
Lo pedido:
2
a +1=5
Tg
Rpta. D
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38. Condición:
2 2 2
a +b +c = K(bcCosA + acCosB + abCosC)
2 2 2
2(a +b +c )=K(2bcCosA+2acCosB+2abCosC)
(Por el T. cosenos)
2 2 2
2
2
2
2(a +b +c ) = K(a +b +c )
K=2
40.
Rpta. D
Rpta. B
36. Sea la función:
f(x) 
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De la figura:
2
3
x
ArcTgx  x
39. Sen2x = 1 - (Senx - Cosx)
Sen2x - 12(Senx - Cosx) - 12 = 0
2
(Senx-Cosx) + 12(Senx-Cosx)-13=0
37.
 Su dominio:  - {0}
 f(-x) = f(x)
(x)3
x3

ArcTg(x)  (x) ArcTgx x
 Tgθ =
1
2
 Tg (-β) =
 TgΦ = 2
 Tgθ + Tgβ + TgΦ = 2
I.
Senx - Cosx = 13 (No hay
solución)
II. Senx - Cosx = 1
 x = (2k + 1)π
Es una función par, por lo tanto si
x  Dom(f), entonces -x  Dom(f)
Graficando:
x = 2k 
Ssombreada
= Strapecio - Ssemicírculo
APCD
Rpta. D
1
π
2
Rpta. D
=
5π
2
53,1416
=
2
= 0,92
=
La gráfica:
Rpta. E
- 21 -
-20-
1
1
| Tgβ = 2
2
- 22 -
-21-
-22-