1. Educación

Universidad Autonoma
´
Metropolitana-A
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Evaluaci´on global (trimestre 13-I)
Turno matutino
Nombre:
Profesor:
Grupo:
La evaluaci´on global consta de los ejercicios con **.
Todas las respuestas necesitan desarrollo o justificaci´on.
Primera Parte
Resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes:
1. (**)
x 2 y 0 C xy D e x y
2. (**)
.x
3. (**)
e x dx C .e x cot y C 2y csc y/ dy D 0 .
4.
e x y dy
2
; con y(1)=1 .
2y/ dx C .2x C y/ dy D 0 .
e
y
C e 2x
y
dx D 0 .
5. (**) Un tanque con capacidad para 50 m3 contiene inicialmente 10 m3 de agua pura. Una soluci´on salina que contiene
1 kg de sal por m3 entra al tanque a razo´ n de 3 m3/min y la soluci´on, uniformemente mezclada, sale del tanque con
una rapidez de 2 m3 /min. Calcular la concentraci´on de sal en la soluci´on que hay en el tanque cuando este se llena.
Segunda Parte
1. (**)
Aplicando variaci´on de par´ametros, resolver la ecuaci´on diferencial
y 00 C 4y D cos2 2x:
2. (**)
Aplicando coeficientes indeterminados, resolver la ecuaci´on diferencial
y 00
5y 0 C 6y D .2x C 1/e 3x :
3. (**) Obtener la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial xy 00
soluci´on de ella.
4.
.x C 1/y 0 C y D 0, conociendo que y1 D e x es una
Obtener la soluci´on del problema
4y 00
considerando que yp .x/ D
homog´enea.
4y 0 C y D 53 sen 2x C 9 cos 2xI
y.0/ D 3;
y 0 .0/ D
2;
3 sen 2x C cos 2x es una soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial ordinaria no-
Tercera Parte
1. (** 15) Un resorte de constante k D 8 N/m est´a conectado en uno de sus extremos a un cuerpo de masa m D 2 kg y
en el otro a una pared. El sistema masa-resorte descansa sobre una mesa horizontal sin fricci´on. Considera la posici´on
inicial x0 D 0:4 m y la velocidad inicial v0 D 4 m/s.
a. Calcular la posici´on x.t/ de la masa m en la forma x.t/ D A sen.wt C / y determinar la amplitud, el a´ ngulo de
fase, el periodo y la frecuencia del movimiento resultante.
b. ¿En qu´e instantes pasa m por la posici´on de equilibrio?¿Con qu´e rapidez?
2.
Un cuerpo de masa m D 2 kg est´a unido a un resorte de constante k D 2 N/m y a un amortiguador de constante
c D 4 Ns/m. Considera la posici´on inicial x0 D 1 m y la velocidad inicial v0 D 3 m/s.
a. Calcular la posici´on x.t/ de la masa m y decir que tipo de movimiento amortiguado resulta.
b. Calcule el tiempo t2 para el cual la masa se detiene.
c. ¿En qu´e instante m por la posici´on de equilibrio?¿Con qu´e velocidad?