1. Educación

F´ısica II
Primer Parcial - Comisi´on Ma˜
nana - Resoluci´
on
Ejercicio 1. Un cuerpo de masa m= 0, 2 kg. est´a suspendido del techo mediante un resorte. La fuerza
que realiza el resorte al ser estirado una longitud z a partir de su longitud sin deformar es F = −kz, donde
N
. El cuerpo est´
a sumergido en un fluido viscoso que amortigua el movimiento con una fuerza
k = 29 m
proporcional a la velocidad: Fv = −bv. Tener en cuenta el peso del cuerpo, tomando g = 9, 80 sm2 .
(a) Escribir la ecuaci´
on diferencial que rige el movimiento z(t) del cuerpo, y la soluci´on general de esta
ecuaci´
on, considerando todos los casos posibles en funci´on del valor de b.
(b) Si b = 0, 4 N.seg
on z(t) y representarla gr´aficamente, describiendo los par´ametros
m , hallar la expresi´
mas importantes, si las condiciones iniciales son z(0) = −3, 27 cm y v(0) = 0, 424 m
s .
(c) Si el valor del coeficiente de la fuerza viscosa es b = 8 N.seg
, hallar el movimiento del cuerpo si las
m
condiciones iniciales son z(0) = −6, 8 cm y v(0) = 0, 6 m
s .
(d) Si se considera el sistema sin gravedad y con una fuerza sinusoidal externa, de valor m´aximo 20 N
N.seg
y frecuencia angular 25 rad
s . El valor del coeficiente de amortiguacion es es 0,4 m . Calcular la
amplitud de las oscilaciones, a qu´e frecuencia se producir´a la resonancia y cu´al ser´a la amplitud de
la oscilaci´
on resonante.
Soluci´
on:
(a) Las fuerzas que act´
uan sobre el cuerpo, tomando el sentido positivo de las z hacia arriba, son:
Fe = −kz ; Fv = −bv ; p = −mg, todas en la direcci´on z. Seg´
un la segunda ley de Newton
m
dz 2
+ kz + bv + mg = 0
dt2
(1)
La soluci´
on de la ecuaci´
on diferencial con amortiguador y resorte, soluciones del homog´eneo, son las
soluciones de los casos: subamortiguado, sobreamortiguado y critico, con ω0 = 12, 04 rad/seg.
La soluci´
on particular es
g
ω02
= 0,068 m.
Sin b < 4,81 entonces estoy en el caso subamortiguado:
z(t) = 0,068 m+Ae−bt/0,4 cos( (1 − (b/4,8)2 )12,04 + φ) m.
Sin b > 4,81 entonces estoy en el caso sobreamortiguado: z(t) = 0,068 m+Ces1 t + Des2 t m,
con s1 = (−b/4,8 + (1 − (b/4,8)2 ))12,04 y s2 = (−b/4,8 − (1 − (b/4,8)2 ))12,04
Sin b = 4,81 entonces estoy en el caso critico: z(t) = 0,068 m+(C1 + C2 t)e−12,04t .
Donde las constantes A, φ, C, D, C1 y C2 se determinan de las condiciones iniciales.
(b) Para b = 0,4 Ns/m estamos en el caso submortiguado entonces la soluci´on aplicando las condiciones
iniciales es z(t) = 0,068 m+0,052e−t cos(12t − 48) m.
(c) Para b = 8 Ns/m estamos en el caso sobreamortiguado entonces la soluci´on aplicando las condiciones
iniciales es z(t) = 0,068 m+0,019(e−4t − e−36t ) m.
(d) La amplitud de las oscilaciones es 0,207 m usando la siguiente expresi´on ( con ω = 25 rad/seg,
m = 0,2 Kg, F0 = 20 N, k = 29 N/m y b = 0,4 Ns/m):
A=
F0
(−ω 2 m
+ k 2 )2 + (ωb)2
(2)
La resonancia se cumple cuando ω = ω0 = 12,04 rad/seg. La amplitud m´axima de oscilaci´on es en
la resonancia y es de 0,34 m.
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nana - Resoluci´
on
Ejercicio 2. Una cuerda de viol´ın de L = 31, 6 cm de longitud y ν = 0, 065 g/m de densidad lineal,
se coloca pr´
oxima a un altavoz alimentado por un oscilador de frecuencia variable. La cuerda solo oscila
apreciablemente a las frecuencias de 880 y 1320 Hz. Determinar la tensi´on a la que est´a sometida la cuerda.
Soluci´
on:
Suponiendo que la cuerda del viol´ın se rige con los conceptos de ondas estacionarias con extremos fijos
la longitud de onda cumple λn = 2L/n. Como a velocidad de propagaci´on cumple v = f λ, se obtiene que
nv
. Por lo tanto se plantea esta relaci´on para las frecuencias de fn = 880 y fn+1 = 1320. Teniendo
L = 2f
n
en cuenta estas dos relaciones de llega a que v = 2L(fn+1 − fn ) y como tambi´en v =
tensi´
on como T = 5,026 N.
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T
ν
, hallamos la
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Ejercicio 3. Se cuelga una viga de 2000 kg de 2 cables de la misma secci´on, uno de aluminio y otro
de acero. Al suspenderla, ambos cables se estiran lo mismo. Calcular la tensi´on que soporta cada uno.
M´
odulos de Young: acero = 20.1010 N/m2 , aluminio = 7.1010 N/m2 .
Soluci´
on:
Si los cables inicialmente tienen la misma longitud y la viga esta horizontal, ambos cables han experimentado el mismo alargamiento. Suponiendo que la tensiones (T1 y T2 )cumplen la ley hooke y est´
an
dentro del r´egimen el´
astico, se cumple que = T1 /E1 A y = T2 /E2 A, es el alargamiento relativo que
es el mismo, A es el ´
area del cable que es la misma y E1 es el modulo de young del aluminio y E2 es el
T1
T2
modulo de young del acero. Como el es el mismo se llega a la relaci´on E
=E
. Planteado las ecuaciones
1
2
de Newton para la viga en equilibrio, T1 + T2 − M g = 0, donde M es la masa de la viga y g es la aceleraci´
on
de la gravedad y teniendo en cuenta la relaci´on entre las tensiones se encuentra que T2 = 14518, 5 N y
T1 = 5081, 5 N.
Fin de la parte Pr´
actica
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