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ELECTROMAGNETISMO
Departamento de Física
Docente: Fís. Alexánder Contreras
Semestre I, 2014
Taller B, segundo corte.
(El presente taller es únicamente una guía de estudio para los estudiantes)
(No se conformen con la limitación de los presentes ejercicios, recuérdese que la Física es un
Universo de infinitas particularidades; siempre habrá algo nuevo que aprender…)
“No te empeñes en exigirte hacer un muro perfecto; más bien, cada día, pon un ladrillo
de la forma más perfecta posible en la que se pueda colocar. Así es como se
construye el muro del éxito… (Un personaje)”
“Lloraba porque no tenía zapatos, hasta que vi a alguien que no tenía pies… (Ahiman)”
[1] En las esquinas de un cuadrado de lado 𝑎, como se muestra en la figura, existen cuatro
partículas con carga.
(a) Determine el potencial eléctrico sobre la carga 4𝑞 en términos de 𝑞 y 𝑎.
(b) Hallar la energía potencial que experimenta ésta carga de referencia.
(c) Hallar el potencial eléctrico en el centro del cuadrado generado por las cuatro cargas;
(d) Hallar los valores numéricos para las anteriores cuando 𝑞 = −2𝜇𝐶 y 𝑎 = 12𝑐𝑚.
[2] Hallar el potencial eléctrico, en la esquina inferior izquierda de un trapecio, de base mayor y
menor, 𝐷 y 𝑑, respectivamente, y altura ℎ(separación entre bases). En todas las esquinas se
sitúan cargas idénticas 𝑞. En segunda instancia, hallar la energía potencial que experimenta
dicha carga en ese punto. Expresar sus respuestas algebraicas, únicamente en términos de los
parámetros citados anteriormente.
[3] El potencial a una cierta distancia de una carga puntual es de 60v y el campo eléctrico es
de 200N/C.
(a) Cuál es la distancia a la carga puntual?
(b) Cuál es la magnitud de la carga?
[4] Dos cargas positivas puntuales, cada una de magnitud 𝑞, están fijas sobre el eje Y en los
puntos 𝑦 = +𝑎 y 𝑦 = −𝑎. De acuerdo a ello:
a) Trazar el diagrama mostrando las posiciones de las cargas;
b) Cuál es el potencial en el origen?;
c) Probar que el potencial en cualquier punto sobre el eje X es:
2𝑞
√𝑎 2 + 𝑥 2
𝑉=
4𝜋𝜖0
[5] Siete partículas con carga, cada una de magnitud q, están situadas en las esquinas de un
cubo de arista s, como se observa en la figura. Determine el potencial total generado en el punto
P por dichas cargas.
[6] Dos cargas puntuales de 2 × 10−7 𝐶 y 3 × 10−7 𝐶 están separadas por una distancia de 0.1m.
Calcular el campo y potencial eléctrico resultantes en:
(a) El punto medio de la distancia entre ellas;
(b) Un punto situado a 0.04m de la primera, sobre la recta que pasa por ellas, pero fuera
del segmento que las une;
(c) Un punto ubicado a 0.1m de cada carga;
(d) En qué punto el campo eléctrico es cero?
[7] Una pequeña esfera de 0.2gr cuelga por medio de una cuerda entre dos placas paralelas
separadas una distancia de 5cm. La carga sobre la esfera es de 6 × 10−9 𝐶. Cuál es la diferencia
de potencial entre las placas si el hilo forma un ángulo de 10° con la vertical?
[8] La diferencia de potencial entre dos placas paralelas de la figura es de 100v, la separación
entre ellas es de 1cm y su longitud es de 2cm. Se lanza un electrón con una velocidad de 107 𝑚/𝑠
en la dirección perpendicular al campo. (a) Hallar su desviación transversal y su velocidad
transversal cuando emerge de las placas. (b) Si se coloca una pantalla a 0.5m a la derecha del
extremo de las placas, a qué posición vertical sobre la pantalla llega el electrón?, y a qué posición
vectorial (tomando el punto de lanzamiento de la partícula entre placas como origen de
coordenadas) llega el electrón sobre la pantalla?.
[9] Utilizando la definición de potencial para distribuciones de carga continua, calcular el
potencial eléctrico producido por un filamento infinito que porta una densidad de carga 𝜆 en un
punto a una distancia 𝑥 perpendicular al filamento.
[10] Hallar el potencial eléctrico producido por un anillo de radio R y densidad de carga 𝜆, en un
punto perpendicular al centro del anillo con altura h.
[11] Hallar el potencial eléctrico producido por un disco de radio R y densidad de carga 𝜎, en
un punto perpendicular al centro del disco con altura h.
[12] Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial no uniforme 𝜎 = 𝐶𝑟 , donde 𝐶
es una constante y 𝑟 se mide a partir del centro del disco a un punto en la superficie del disco.
Determine (por integración directa) el potencial en P.
[13] Hallar el potencial eléctrico generado por un cascarón cilíndrico de radio 𝑎 y longitud 𝐿 en
puntos perpendiculares al centro de uno de los extremos ubicados a una distancia h.
Sugerencia: ∫ sec(𝑥) 𝑑𝑥 = ln | sec(𝑥) + tan(𝑥)|
[14] Un capacitor que consta de dos placas paralelas muy cerca una de otra, tiene en el aire una
capacitancia de 1000𝑝𝐹. La carga sobre cada placa es de 1C. a) ¿cuál es la diferencia de potencial
entre placas?, b) Suponiendo que la carga se mantiene constante, cuál será la diferencia de
potencial entre las placas si la separación entre las mismas se duplica?, c) Qué trabajo es
necesario para duplicar la separación entre placas?
[15] Se desea construir un capacitor de placas paralelas usando goma como dieléctrico. Ésta
goma tiene una constante dieléctrica relativa (permitividad relativa) de 3 y una tensión de
ruptura de 20MV/m. La configuración debe poseer una capacitancia de 0.15𝜇𝐹 y soportar una
diferencia de potencial máxima de 6000v. ¿Cuál es el área mínima que debe tener las placas del
capacitor?
[16] Un capacitor en forma de cascarón esférico de radio externo 𝑏 y radio interno 𝑎, posee a
su interior una esfera conductora de carga 𝑄 concéntrica a él. Determinar la capacitancia de la
configuración para: a) 𝑎 < 𝑟 < 𝑏; b) 𝑟 > 𝑏 (para un sistema aislado de fuentes externas, 𝑉0 =
0).
[17] Un capacitor en forma de cascarón cilíndrico de: longitud 𝑙, radio externo 𝑏 y radio interno
𝑎, posee en su interior un filamento delgado conductor de carga 𝑄 ubicado en el eje del cilindro.
Determinar la capacitancia de la configuración para: a) 𝑎 < 𝑟 < 𝑏; b) 𝑟 > 𝑏 (para un sistema
aislado de fuentes externas, 𝑉0 = 0).
[18] Un capacitor en forma de cascarón esférico de radio externo 𝑏 y radio interno 𝑎 que cubre
entre radios un dieléctrico 𝜖; posee a su interior una esfera conductora (de radio 𝑟 < 𝑎) con
carga 𝑄, y en el exterior del capacitor existe un cascarón esférico envolvente (de radio 𝑟 > 𝑏)
con carga – 𝑄; ambos concéntricos al centro de la esfera. Determinar la capacitancia de la
configuración para 𝑎 < 𝑟 < 𝑏.
[19] Un capacitor está formado por dos cilindros paralelos de radios 𝑑 separados una distancia
𝐷 medida desde sus centros. Los cilindros tienen cargas iguales y opuestas. Demuestre que la
capacitancia por unidad de longitud del sistema está dada por:
𝐶
𝜋𝜖0
=
𝑙 𝐿𝑛 (𝐷 − 𝑑 )
𝑑
[20] Un capacitor, sumergido en un dieléctrico 𝜖, está formado por dos esferas de radios 𝑑
separados una distancia 𝐷 medida desde sus centros. Las esferas tienen cargas iguales y
opuestas. Halle una expresión que defina explícitamente la capacitancia del sistema.
[21] Un capacitor está formado por dos esferas de radios 𝑑 separados una distancia 𝐷 medida
desde sus centros. Las esferas tienen cargas iguales y opuestas. Halle una expresión que defina
explícitamente la capacitancia del sistema (análogo al ejercicio anterior).
[22] Un trozo de dieléctrico se introduce parcialmente entre las dos placas paralelas de un
capacitor, así como se observa en la figura. Calcular, en función de 𝑥, (a) la capacitancia del
sistema. Suponer que el potencial aplicado al capacitor es constante. [Sugerencia: se puede
considerar el sistema como dos capacitores en paralelo de profundidad 𝑏].
[23] Un capacitor de placas paralelas, con una separación de placa 3𝑑, tiene a su interior un
dieléctrico 𝜖 de altura 𝑑 con respecto a la placa superior, la región restante entre placas está en el
vacío electromagnético. ¿Cuál es la capacitancia del sistema?. [Sugerencia: se puede considerar el
sistema como dos capacitores en serie y de área transversal 𝐴].
[24] Un capacitor de placas paralelas, con placas de área LW y separación de placa d, tiene la
región entre sus placas llena con cuñas de dos materiales dieléctricos superior e inferior, 𝜖1 y 𝜖2 ,
respectivamente. Así como se muestra en la figura. Suponga que d es mucho menor que L y W.
a) Determine su capacitancia del sistema. b) ¿La capacitancia debe ser la misma si se
intercambian los dieléctricos? Demuestre que su expresión tiene o no esta propiedad. c)
Demuestre que, si 𝜖1 y 𝜖2 tienden igualmente a un valor común 𝜖, su resultado se vuelve el mismo
que la capacitancia de un capacitor que contiene un solo dieléctrico: C=𝜖LW/d.
[25] Calcule la resistencia para un conductor cilíndrico hueco de conductividad 𝜎, longitud 𝑙 y
radios interno 𝑅1 y externo 𝑅2 cuando la corriente 𝐼 fluye: a) paralelamente al eje del cilindro, b)
radialmente al eje del cilindro.
[26] Calcule la resistencia para un conductor esférico sólido hueco de radios externo 𝑅2 y radio
interno 𝑅1 , y de resistividad 𝜌; cuando la corriente fluye radialmente.
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Cultura General:
Estrella negra o agujero negro es un astro hipotético resultante del consumo completo de la
energía térmica de una estrella nova o supernova. Es un cuerpo frío e invisible en el espacio y
de impresionante campo gravitacional, el cual logra rasgar la tela del espacio-tiempo del
Universo. Encontrar una estrella de este tipo es muy difícil, ya que no emite luz y su emisión de
energía es indetectable (a excepción de la radiación de Hawking), y lo más visible sería a
travésde campos gravitacionales.
Éxitos…
Labren su destino a su gusto; pero, siempre recuerden que vale más ser persona, en lugar de
ser hombres y mujeres de éxito…. (Albert Einstein)