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Ejercicios Propuestos
Campos en la materia.
1. Un dipolo eléctrico es un par de cargas de la misma magnitud y signos opuestos,
situadas en puntos diferentes. Así, la carga total del dipolo es cero.
(a) Demuestre que el potencial eléctrico medido a distancias mucho mayores que el
brazo � está dado por:
�·�
V (��) = � 3
(5.144)
�
(b) Demuestre, usando el gradiente, que el campo eléctrico está dado por:
� · �)
� � ) = −� � + 3� (�
ˆ�
E(�
2
�
�3
(5.145)
(c) Suponiendo que las dimensiones del dipolo son despreciables, demuestre que la
energía potencial puede escribirse como
� �)
U(��) = −�
� · E(�
(5.146)
2. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas de igual magnitud, pero de signo
contrario, separadas por una distancia 2�. Determine el campo eléctrico en el punto
P debido al dipolo eléctrico mostrado en la figura 5.16.
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Figura 5.16: (Problema 02).
3. Suponga que una molécula de agua (H2 O) tiene un momento bipolar eléctrico igual
� = 6� 3 × 10−30 (ˆ� + ˆ�) [C �]. Si colocamos la molécula en la presencia de un
dado por P
� = 2� 5 × 105ˆ� [N/C ], encuentre:
campo eléctrico dado por E
(a) El torque ejercido sobre la molécula de agua,
(b) La energía potencial,
(c) La fuerza resultante sobre el dipolo.
4. Suponga un dieléctrico como el de la figura 5.17, el que está polarizado uniformemente
� Encuentre la densidad superficial de polarización sobre las caras
con polarización P.
1, 2 y 3.
Figura 5.17: (Problema 04).
� �� �) = (5� 2 + �)ˆ� + 20�ˆ� − 10�.
ˆ
5. Suponga una polarización inhomogénea dada por P(��
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Calcule la densidad volumétrica de carga de polarización ρP (�� �� �). Evalúe en el punto
(�� �� �) = (2� 0� 3).
6. A un capacitor de placas paralelas se le introduce una placa conductora de espesor
� y área A, si las placas del capacitor tienen la misma área A y una separación �
entre ellas, como se muestra en la figura 5.18. ¿Cuál es el valor de la capacitancia del
sistema?.
Figura 5.18: (Problema 06).
7. Un capacitor con placas paralelas cuya área es 200 [��2 ] tiene un relleno de caucho
(neopreno con κ = 6� 7 y E��� = 13 × 106 [V /�]) que tiene 12 [��] de espesor.
(a) Calcule la capacitancia.
(b) Calcule el voltaje máximo.
8. Un capacitor tiene placas paralelas cuya área es 0� 12 [��2 ]. Cuando las placas están
en el aire, la capacitancia es de 16 [�F ].
(a) Calcule el valor de la capacitancia si el espacio entre las placas se llena con mica
de rubí (κ = 5� 4 y la rigidez dieléctrica es E��� = 160 × 106 [V /�]).
(b) ¿Cuál es la máxima diferencia de potencial que se puede aplicar a las placas sin
causar la ruptura eléctrica? (sin dieléctrico).
9. Un capacitor cilíndrico relleno de teflón (κ = 2� 1) tiene una capacitancia por unidad
de longitud de 60 [�F /�]. Si el diámetro interior del conductor exterior es de 2 [��],
¿cuál es el diámetro del conductor interior?.
10. Un capacitor de placas paralelas y dieléctrico de aire (κ = 1� 0 y la rigidez dieléctrica
es E��� = 3 × 106 [V /�]) puede almacenar una energía máxima U�. ¿Cuál es la
máxima energía que puede almacenar el capacitor si el espacio se llena con vidrio
pyrex (κ = 5� 6 y la rigidez dieléctrica es E��� = 14 × 106 [V /�])?.
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11. Un capacitor con placas paralelas y dieléctrico de aire (κ = 1� 0 y la rigidez dieléctrica
es E��� = 3 × 106 [V /�]) se puede cargar hasta Q0 sin que ocurra una descarga
eléctrica. Al introducir una placa de vidrio pyrex (κ = 5� 6 y la rigidez dieléctrica es
E��� = 14 × 106 [V /�]), la carga máxima es Q sin que ocurra una descarga. ¿Cuál es
la razón Q/Q0 ?.
12. Un capacitor con placas paralelas se llena con dos materiales dieléctricos diferentes
del mismo espesor, como se ilustra en la figura 5.19. Calcular su capacitancia.
Figura 5.19: (Problema 12).
13. A un capacitor con placas paralelas, de separación � y capacitancia C0 , se le introduce
una placa dieléctrica de espesor �(� < �). Encuentre la expresión de la nueva
capacitancia. Evalúe la expresión para � = 0� 5 [��], C0 = 16 [�F ], κ = 6� 9 y
� = 0� 2 [��].
14. Un condensador de placas paralelas es construido usando un dieléctrico cuya
constante varía con la posición. Las placas tienen un área A. La placa inferior está
en � = 0 y la placa superior está en � = �0. La constante dieléctrica es una función
de la posición y de acuerdo a
� �
3
κ =1+
�
(5.147)
�0
(a) ¿Cuál es la capacitancia?
(b) Use la ley de Gauss para encontrar la densidad de carga volumétrica inducida
ρ(�) dentro del dieléctrico.
15. Determine la fuerza con que se repelen dos cargas positivas puntuales �1 y �2 que se
encuentran sumergidas en el interior de un dieléctrico de permitividad ε.
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16. Consideremos un ión esférico de carga Q sumergido en un líquido dieléctrico lineal,
homogéneo e isotrópico, siendo ε la permitividad del medio. Calcule el valor del campo
eléctrico a una distancia � del centro del ión.
17. Considerando el átomo de Bohr, demuestre que le momento magnético está dado por
� = γ� , donde γ es la razón giromagnética clásica.
�
18. Defina materiales diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos. Identifique
algunos ejemplos para cada tipo de material, diferencias con respecto a los otros
y grafique esquemáticamente magnetización versus campo.
19. Identifique en la curva de histéresis de un material ferromagnético:
(a) La magnetización de saturación.
(b) La magnetización remanente.
(c) El campo coercitivo o coercividad.
(d) Comente que significa cada uno de los valores identificados.
20. Un imán está constituido por una barra cilíndrica de 15 [��] de largo. Podemos
obtener un solenoide equivalente enrollando sobre un cilindro de cartón, de las mismas
dimensiones, 150 espiras y haciendo pasar por ellas una intensidad de corriente de
3 [A]. Determine la magnetización M del imán.
21. Por un hilo conductor recto y muy largo circula una corriente de 10 [A]. Calcule la
inducción magnética B, la intensidad del campo magnético H y la magnetización M
en un punto que se encuentra a 20 [��] de él, según se encuentre sumergido:
(a) En el vacío.
(b) En un medio con permeabilidad magnética m.
22. Un anillo de Rowland de 8 [��] de radio medio está constituido por un enrollado de
800 vueltas de un hilo conductor sobre un núcleo de permeabilidad relativa 1000. Si
se hace pasar una corriente de 5 [A],
(a) Calcule el valor de la inducción magnética B en su interior.
(b) Calcule el valor de la intensidad de campo magnético H en su interior.
(c) Calcule la magnetización M del anillo.
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