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Modalidad virtual
Matemática
INTEGRALES
Hasta aquí estudiamos el concepto de derivada, donde se desarrolló cómo, a partir de una
función f ( x ) ,es posible buscar otra función f 
( x ) a la que se denomina su función
derivada. En este apartado plantearemos el problema inverso.
Dada una función f ( x ) , determinaremos (cuando sea posible) otra función F ( x ) de modo
tal que la derivada de F ( x ) sea f ( x ) , es decir: F 
( x ) f ( x ) .
Por el hecho de estar procediendo en forma inversa es que muchos llaman a este
proceso antiderivación. También se dice que F ( x ) es una primitiva de f ( x ) , expresión
que nosotros adoptaremos.
Definición
Si para todos los puntos de un intervalo real 
a , b se verifica que F 
( x ) f ( x ) , entonces
F( x ) es una primitiva de f ( x ) sobre dicho intervalo.
Ejemplo 1.
Calcular una primitiva de f ( x ) cos x
Solución
De la definición se desprende que es necesario encontrar una función F ( x ) tal
que,
F
( x ) cos x
Sabemos que la función seno tiene por derivada a la función coseno, de modo
que
( senx )cos x
F( x ) senx
Luego
Pero, senx no es la única primitiva de cosx, ya que cualquier función como
senx + 2 ; senx - 10
da la función cos x al ser derivada.
Y en general, lo será cualquier expresión de la forma
F( x ) senx k ,
con k una constante numérica arbitraria.
Ejemplo 2
Hallar una primitiva de f(x) = 2x
Solución
Usando nuevamente la definición, queremos encontrar una función F(x) tal que
F
( x ) 2 x
2
2
Sabemos que F(x) = x cumple con esta condición pues (x )’ = 2x.
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Luego es
F(x) = x
2
2
Nuevamente observamos que F(x) = x no es la única primitiva de 2x, pues
también lo son,
2
2
F(x) = x + 5 ; F(x) = x – 10
2
Y, en general, lo será cualquier expresión de la forma F(x) = x + k, con k una
constante numérica arbitraria.
De los ejemplos, se deduce que si F(x) y G(x) son dos primitivas distintas de f(x),
entonces existe un número real k, distinto de cero, tal que F(x) = G(x) + k.
Es decir, que si F y G son dos primitivas distintas de f, sólo difieren en una constante.
Lo enunciamos mediante:
Propiedad 1:
Si F ( x ) y G( x ) son dos funciones primitivas distintas de la misma función f ( x ) sobre el
intervalo real 
a, b
, su diferencia es una constante.
Definición
Si F( x ) es una primitiva de f ( x ) , la expresión F( x ) k se denomina integral indefinida
de la función f ( x ) .
Indicamos la integral indefinida de f(x) en la forma siguiente
f ( x ) dx

De acuerdo con la definición resulta
f ( x ) dx

En la expresión
F ( x ) k
f ( x ) dx


se denomina integrando a la función f(x)

d(x) se lee diferencial x y sirve para identificar a x como la variable de integración.
Así, escribimos
2x

dx  x 2 k
para indicar la integral indefinida de la función f(x) = 2x
integrando.
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y la función f(x) = 2x es el
2
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Ejemplo 3
Verificar si F ( x ) es o no una primitiva de f ( x ) en cada caso.
1
e x
x
a) F ( x ) ln x e x
f( x) 
b) F( x ) senx x 3
f ( x ) cos x x 2
Solución
Para verificar que F ( x ) es primitiva de f ( x ) es necesario probar que
F
( x ) f ( x ) .
F ( x ) ln x e x ;
a)
f( x ) 
1
x
e
x
1
x
e  F' ( x ) f ( x )
x
Luego; F( x ) es primitiva de f ( x ) .
F' ( x ) 
F ( x ) senx x 3 ; f ( x ) cos x x 2
b)
F' ( x ) cos x 3 x 2  F' ( x ) f ( x )
Luego; F( x ) es primitiva de f ( x ) .
Observación:

No toda función f ( x ) definida sobre un intervalo real 
a , b admite primitiva, ya
que dada una función puede no existir otra que la tenga por derivada.

Por otra parte la integral indefinida
representa una familia de funciones
y F ( x ) k , cuyas gráficas se
obtienen mediante desplazamientos
(verticales) de la curva y F ( x )
sobre el eje de ordenadas y.
En el gráfico mostramos algunos
2
ejemplos de la familia F(x) = x + k.
2
f(x) = 2x  F(x) = x + k
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3
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Como las primitivas de una función difieren solo en una constante, a veces es posible,
determinar una solución particular, conocido el valor de F(x) para un x0 determinado.
Por ejemplo,
Ejemplo 4
2
En la familia F(x) = x + k sólo una de estas curvas pasa por el punto (1; 3).
Para determinar esta curva utilizamos la siguiente información
2
F(x) = x + k y F(1) = 3
Podemos entonces escribir:
2
F(1) = 3  1 + k = 3  k = 2
Por tanto obtenemos la solución particular:
2
F(x) = x + 2
Propiedades
de la integral
indefinida
1. La derivada de una integral indefinida es el integrando f ( x ) .
f ( x ) dx '  F ( x ) k ' f ( x )
2. La integral indefinida de la suma algebraica de dos o varias funciones es igual a la
suma algebraica de sus integrales indefinidas.
f ( x ) g ( x ) dx 
f ( x ) dx 
g ( x ) dx

3. La integral indefinida del producto de una constante por una función es igual al
producto de dicha constante por la integral indefinida de la función.
a f ( x ) dx a 
f ( x ) dx

A partir de la reglas de derivación, es posible elaborar una tabla de primitivas.
La validez de esta tabla puede verificarse inmediatamente, solo se trata de mostrar que la
derivada de las funciones que aparecen en la columna correspondiente a la primitiva es
igual a la función correspondiente en la columna denominada función.
FUNCIÓN
PRIMITIVA
FUNCIÓN
PRIMITIVA
0
k
cosx
senx
1
x
senx
- cosx
x n 1
n 1
sec 2 x
tgx
xn
( n 1 )
1
x
ln | x |
ex
ex
a
x
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x
a
ln a
1

1 x
1
2
1 x 2
1
1 x 2
arc senx
arc cosx
arc tgx
4
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
Tanto las propiedades como la tabla nos permiten hallar la integral indefinida de
algunas funciones.

Al proceso mediante el cual se obtiene la integral indefinida se denomina
integración.
Mostramos algunos ejemplos en los que, salvo cálculos algebraicos, podemos integrar,
utilizando directamente las propiedades y la tabla de primitivas.
Ejemplo 5.
Hallar las primitivas de las siguientes funciones:
a) f(x) = 3x
b)
1
g( x )  3
x
c)
h( x ) 3 x cos x
Solución
a) f(x) = 3x
Observamos que f(x) es el producto de una constante por una función.
Integramos usando la propiedad
3x

Para hallar
a f ( x ) dx

a 
f ( x ) dx
dx 3 
x dx
x dx , tenemos en cuenta que x = x
1
por lo que una de sus primitivas
es
1
1 1
x
1 1
1 2
 x
2
Entonces
3x

dx 3 
x dx = 3.
1 2
3
x C  x 2 C
2
2
1
b) g ( x ) 
x3
1
x 3 dx .
Buscamos G(x) =
anterior, escribimos.
Por lo que es
1
x3
Para poder usar la misma regla que en el ejemplo
x 3
1
x 3 dx
x 3 dx 
Y resolvemos:
1
3
3 dx x
x

1
2
1
x
1
3 1
dx 
x
C
3 1
2
C

C
2
2x
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5
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c) h( x ) 3 x cos x
Como h es una suma de funciones usamos la propiedad,
f ( x ) g ( x ) dx


f ( x ) dx 
g ( x ) dx
Podemos escribir:
( 3 x cos x ) dx


3 x dx 
cos x dx
La integral del primer sumando la resolvimos en el ejemplo 1,
Y como una primitiva de cos x es sen x, nos queda:
( 3 x cos x ) dx


3 x dx 
cos x dx
3
 x 2 senx C
2

Recordemos que se puede comprobar si el resultado es correcto con solo
derivarlo.
En los siguientes ejemplos, es necesario realizar transformaciones algebraicas antes de
integrar.
Ejemplo 6.
Calcular las integrales:
a)
x 2 1
 x dx
b)

1
x 


x

2

dx


Solución
a)
x 2 1
 x dx
Para poder usar las propiedades, escribimos el integrando, distribuyendo el
denominador:
x 2 1 x 2 1
1
  x 
x
x
x
x
Entonces es;
x 2 1

x
 1
dx 
x  
dx
 x
Como el integrando es una suma de funciones hacemos;
x 2 1
1
x dx  dx
 x dx 
x
La integral del primer sumando ya la encontramos y la del segundo es ln|x|
Luego:
x 2 1
1
x2
dx 
x dx  dx 
ln x C
x
x
2

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6
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2
b)

1 
x  dx



x

Como no tenemos ninguna regla que nos dé la primitiva de una función de este
tipo, primero desarrollamos el cuadrado.
2
2

1 
1 
1
x 
 x 2   2 x


 
x 
x

x 
1
x
 x 2  2
x
x
1
1
 x 2  2 x 2
x
(Recordar que
x
x
1
1
x .x 2 x 2 )
De este modo podemos escribir;
2
1
2

x 1 2 x 2
dx = 


x



1
x 


x


dx


Y como el integrando es ahora una suma de funciones, resulta:


x2



1 
1
1
1
 2 x 2 dx 
x 2 dx  dx 
2 x 2 dx

x
x

Integramos cada sumando y obtenemos:
1
2
x 1 2 x 2


x

1 1

dx 1 x 3 ln x 2 1 x 2
C

1
3

1
2

3
1 3
4
x ln x  x 2 C
3
3
Ejemplo 7
Calcular las primitivas de las siguientes funciones.
a) h( y ) y
3
y
2
4 x
b) m( t ) cos t sent t
2
2
c) g(y) = y y  
 3
Solución
Observamos que estas funciones no están definidas para “x”, lo que debemos tener en
cuenta en el momento de integrar.
3
2
a) h( y ) y y
4 x
En este caso la variable de integración es y, “x” opera como una constante.
Luego vamos a calcular:
(y

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3
y 2 4 x ) dy
7
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Como es una suma de integrales, escribimos:
y 2 4 x ) dy 
y 3 dy 
y 2 dy 
4 xdy
(y3

E integramos:
1
1
1
y 3 dy 
y 2 dy 
4 xdy  x 4 
x 1 ( 2 ) 4 xy C

4
1 ( 2 )

1 4 1
x  4 xy C
4
x
b) m ( t ) cos t sent t
La función m está definida para t, luego al integrar lo haremos respecto a esta
variable.
(cos t sent t ) dt

Aplicamos la propiedad de la integral para la suma de funciones:
(cos t

sent t ) dt 
cos t dt 
sent dt 
t dt
Y directamente usando la tabla de integrales:
cos t dt 
sent dt 
t dt sent cos t

 2
c) g(y) = y 2 y  
 3
Buscamos:
2
2
y  dy
y 
 3
Para poder resolver, distribuimos y
y
1
 t 2 C
2
2
2
3 2 
y  dy 
y  y dy
3 
 3

2
Y usamos las propiedades de la integral para la suma de funciones y del producto
de una constante por una función. Luego, podemos integrar usando la tabla.

2

2 
 y dy
3 
2

y 3 dy  
y dy
3
1
2 1
 y 4  . y 2 C
4
3 2
1 4 1 2
 y  y C
4
3
3
y  dy 
y
y 2 
 3

Observación:
En este ejemplo, el integrando es el producto entre dos funciones. Como no existe
una propiedad que nos permita calcular directamente la integral del producto,
tenemos que transformarlo realizando las operaciones indicadas.
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8
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Ya hemos visto que conocida una familia de primitivas, podíamos encontrar una solución
particular conociendo el valor de una de ellas en un punto particular de su dominio
(ejemplo 4).
En los siguientes ejemplos, utilizamos nuevamente este concepto.
Ejemplo 8.
Si f es una función de x tal que f’(x) = 8x – 4 y además es f(2) = 5. Encontrar f.
Solución.
Como nos dan la derivada de f, para encontrarla tenemos que integrar 8x – 4.
f ( x ) 
( 8 x 4 )dx 8 
x dx 4 
dx
8 .
1 2
x 4 x C
2
f ( x ) 4 x 2 4 x C
Para determinar el valor de C, usamos que f(2) = 5 reemplazando en la expresión
que encontramos para f.
f ( 2 ) 5  4 2 2 4 .2 C 5
 16 8 C 5
 C 5 16 8
 C 3
Al reenlazar C por – 3 en f hallamos la función que buscamos:
f ( x ) 4 x 2 4 x 3
Si recordamos que conocida la ecuación de la trayectoria de un móvil podemos calcular,
mediante derivadas sucesivas, la velocidad y la aceleración en un tiempo t, veremos
ahora cómo conocida la aceleración o la velocidad del móvil, podemos determinar su
trayectoria en cada instante t.
Ejemplo 9
Desde una altura de 144 metros se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad inicial
2
de 60 m/seg y con aceleración a(t) = -10 (donde a se mide en m /seg)
Encontrar la función que expresa la altura (h) en función del tiempo.
Solución
Para encontrar la función que expresa la altura (h) en función del tiempo,
veamos qué datos tenemos y cómo los relacionamos.
o
La altura desde donde se lanza el objeto, altura inicial, h 0 = 144 metros.
En este momento t = 0
o
Velocidad inicial: v 0 = 60 m/seg. En este momento t = 0
o
La función que nos da la aceleración: a(t) = -10
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9
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Luego para encontrar la altura en función del tiempo, h(t) debemos primero calcular la
velocidad, integrando a y evaluarla en v0 (esto es para cuando es t = 0) y luego volver a
integrar para encontrar h(t)
Lo hacemos.

Calculamos primero la velocidad v(t)
v ( t ) 
a( t )dt 
12 dt 12t C
Como para t = 0 es v0 = 60 reemplazando podemos hallar el valor de C.
v ( 0 ) 60  12.0 C 60  C 60
Luego es v(t) = -12 t + 60

Buscamos h(t)
h( t ) 
v ( t ) dt 
( 12 t 60 ) dt
12 2
 t 60 t C
2
6 t 2 60 t C
Como sabemos que para t = 0 es h0 = 144, hallamos C.
h( 0 ) 144  6.0 2 60.0 C 144  C 144
Resulta que la altura que alcanza el objeto en el tiempo t está dada por:
h( t ) 6 t
2
60 t 144
También hemos estimado la velocidad de crecimiento de una población utilizando la
derivada de la función que nos da el número de individuos en un instante dado.
Ahora, nos ocuparemos del problema inverso, conocida la velocidad de crecimiento eb un
instante dado, determinar la población inicial.
Ejemplo 10
La velocidad de crecimiento de una población de bacterias está dada por la función
v(t) = 800 + 200 e
t
donde v representa el número de bacterias (por miles) después de t horas.
Si la población (N) es de 40000 bacterias cuando han transcurrido 5 horas, determinar la
función que permita calcular el número de bacterias en cada instante de tiempo t.
Solución:
Como la velocidad de crecimiento la encontramos derivando la función que nos da el
número de individuos al transcurrir el tiempo (N (t)), para encontrar N(t) debemos integrar
la función expresada por v(t).
Además conocemos que a las 5 horas de iniciado el proceso es v(5) = 40000. Esto nos
permite determinar N(t) para cualquier instante t.
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10
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
Entonces integramos v(t) para hallar N(t)
t
N( t ) 
v ( t ) dt 
( 800 200 e )dt .
t

800 dt 
200 e dt
800 t 200 e t C
Con lo que resulta que la expresión que nos permite calcular la cantidad de
bacterias en un tiempo t es:
t
N(t) = 800 t + 200 e + C .
Pero en esta expresión, debemos hallar C.
Por lo que utilizamos el dato N(5) = 40000
5
N(5) = 40000  800 .5 + 200 e + C = 40000
 4000 + 200 e + C = 40000
5
 C = 40000 – 4000 – 200 e
5
 C  36000 – 148
 C 35852
Por lo que N(t) es
t
N(t) = 800 t + 200 e +35852 .
Vemos finalmente algunas aplicaciones a la economía.
Ejemplo 11.
Si el costo marginal, como función de las unidades producidas x, está dado por
C' 10 40 x 12 x2 , hallar la función de costo total, sabiendo que $100 es el costo fijo.
Solución
Para determinar la función costo total calculamos la integral indefinida siguiente:


C( x )  
10 40 x 12 x 2 dx
(Recordemos que el costo marginal es la derivada de la función costo total)
C ( x ) 
10 dx 40 
x dx 12 
x 2 dx
10 x 40
x2
2
12
x3
3
k
10 x 20 x 2 4 x 3 k
Debemos determinar k. Para ello usamos el dato del costo fijo, esto es para
x = 0, C(0) = 100
Por lo tanto:
C(0) = 100  10.0 20.0
2
4.0
3
k = 100
 k = 1’00
Luego, la función que nos da el costo total es
C ( x ) 10 x 20 x2 4 x 3 100
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales
11
Modalidad virtual
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Ejemplo 12.
'
Si la función de ingreso marginal está dada por I ( x ) 200 30 x
función de ingreso total y la función de demanda.
2
4 x
3
determinar la
Solución
'
Nuevamente debemos integrar la función de ingreso marginal I ( x ) para
encontrar el ingreso total I(x).
I(x) =
=
I ( x )dx = 
200 30 x2

'
200 dx


4 x 3 dx
30 
x2 dx 4 
x3 dx
3
4
= 200x – 10 x + x + k
Como se sabe que si se demandan 0 unidades el ingreso es cero (I(0 = 0)
entonces podemos encontrar la constante k.
I(0) = 0  0 
0 10 0 3 0 4 k 0
Por lo que k = 0
Luego,
3
I(x) = 200x – 10 x + x
4
Para encontrar la función de demanda, recordemos que I(x) = p(x) . x donde p es
el precio por unidad y x es la cantidad demandada.
Por lo tanto
3
4
I(x) = 200x – 10 x + x = p(x) . x
De donde
p( x ) 
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200 x 10 x3 x4
 p ( x ) 200 10 x 2 x 3
x
12
Modalidad virtual
Matemática
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Nos ocuparnos ahora del problema de calcular
f ( x )dx

cuando no es factible encontrar,
en forma más o menos inmediata, la función primitiva F( x ) .
Para ello, desarrollaremos algunos métodos de integración que consisten en reducir la
integral buscada a una integral más sencilla.
Método de
sustitción
En ciertos casos es posible efectuar una sustitución de la variable de integración por una
función de otra variable.
Comenzamos planteando algunos ejemplos.
Ejemplo 1.
Calculamos
(x

2
2
1 ) 2 x dx
Solución
2
Observamos que la derivada de x + 1 es 2x. luego si hacemos:
g ( x ) x 2 1 se obtiene g ' ( x ) 2 x
Por lo que
2
2
(x + 1) 2x = f(g(x)).g’(x)
2
2
Analicemos f(g(x)) = (x +1) ya que g’(x) = 2x
Vemos que la función f toma las imágenes de g y las eleva al cuadrado.
2
1 3
x es una primitiva de f resulta:
3
1
( x 2 1 )2 2 x dx F ( g ( x )) C  ( x2 1 )3 C
3
Luego f(x) = x y como F(x) =

Ejemplo 2
Calculamos ahora
5 cos 5 x dx

Solución
'
Como es (5x) 5 , podemos hacer: g(x) = 5x y g’(x) = 5dx
Por lo que 5 cos 5 x = f(g(x)).g’(x)
Como 5 es la derivada de g; f(g(x)) = cos 5x.
¿Y cuál es la función f? No es más que f(x) = cosx
Por lo que una primitiva de f es F(x) = senx
UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
1
Modalidad virtual
Matemática
Luego
5 cos 5 x dx

F( g ( x )) C sen5 x C
En general, una forma más sencilla de resolver integrales en donde el integrando es una
función compuesta, consiste en efectuar una sustitución de la variable de integración por
una función de otra variable.
Veamos cómo hacerlo, retomando el ejemplo anterior.
Ejemplo 3.
Calcular
5 cos 5 x dx

Solución.
Si hacemos 5x = u, podemos expresar cos 5x como cos u.
Y además sabemos que
cos u du senu C

Con lo que para calcular la integral pedida podemos sustituir 5x por u.
Pero como la nueva variable es u, en la integral resultante debe figurar du y no dx.
Asumiendo que, si u = g(x), entonces es du = g’(x) dx, es;
’
du = (5x) dx = 5 dx
Luego, sustituyendo resulta:
5 cos 5 x dx 
cos u du senu C

Pero, debemos expresar el resultado en función de x.
Como u = 5x, reemplazando,
5 cos 5 x dx  sen5 x C

Ejemplo 4
Calcular
a)
e 4 x dx

b)
ln x
x
dx
Solución
Como la integral
e u du

Con lo que:
u e
4x
e u C podemos hacer u = e 4x
 du 4 e
4x
dx 
Sustituyendo en la integral dada, resulta:
1 u
1
e 4 x dx 
e du 
4
4
4x
Y reemplazando u = e
1 4x
4x
e dx  e
C
4


du
4x
e dx
4
1
e u du  e u

4
C

UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
2
Modalidad virtual
Matemática
(ln x )2
dx
x

b)
Empecemos por escribir la integral de la siguiente manera
(ln x )2
x
1
x (ln x )
dx 
2
dx
De este modo es fácil advertir la presencia de la función ln x y su derivada
1
.
x
Lo cual nos sugiere hacer el cambio de variable:
1
u ln x  du  dx
x
Luego es:
2
(ln x )
1
1 3
2
2
dx 
(ln x ) dx  u du  u C
x
x
3
Y volviendo a sustituir, es;



2
(ln x )
1
3
dx  (ln x ) C
x
3

Observación: Podemos generalizar los resultados hallados en este ejemplo y utilizarlos
en la resolución de integrales.

eax dx 
e ax
k
a
n 1
(ln x )n
(ln x )
dx 
x
n 1

C
(Recordar que (ln x ) n ln n x )
Veamos otro ejemplo:
Ejemplo 5
Calcular
x 2e x

3
dx
Solución
Si elegimos z  x 3 , tenemos que dz 3 x 2 dx 
dz
x 2 dx .
3
A partir de lo cual es posible sustituir en la integral dada y resulta que:

x2 e x
3
3
dz
dx  e z  ,
3

1
e z dz .
3
3
1
Por lo tanto:
x 2 e x dx  e z C .
3
Ahora solo queda volver a la variable original.
3
3
1
x 2 e x dx  e x C
3
es decir:

x 2 ex
dx 



UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
3
Modalidad virtual
Matemática
Generalicemos este procedimiento.
Sea x g ( t ) , con g una función derivable. Luego su diferencial es: dx g 
( t ) dt .
Al sustituir en la integral obtenemos:
f ( x ).dx 
f ( g ( t )).g 
( t ).dt

Observación: es importante recordar que una vez resuelta la integral en función de la
nueva variable (“t” o cualquier otra), es necesario volver a sustituir dicha variable en la
primitiva para que esta quede expresada en función de la variable original.

Para aplicar el método de sustitución en integrales de la forma f ( g ( x )).g 
( x ).dx , es
conveniente seguir los siguientes pasos.
1. Elegir una sustitución u = g(x).
2. Hallar du = g’(x) dx
3. Reescribir la integral dada en términos de u.
4. Hallar la integral resultante en u.
5. Sustituir u por g(x) para obtener la primitiva en términos de x
6. Verificar la respuesta por derivación
Ejemplo 6
Resolver mediante una conveniente sustitución las siguientes integrales indefinidas.
a)

sent cos 3 t dt
b)
4z

5 2
z 2
3t
dz
c)
e
e3 t 2 4
dt
Solución:
En la resolución de este ejemplo, seguiremos los pasos enunciados. Les dejamos
la tarea de verificar la respuesta por derivación.
En cada caso, usamos distintas variables de integración y de sustitución.
a)
sent cos


3
t dt
Elegimos z = cost por lo que dz = - sent dt
Al sustituir resulta.
3
3
sen t cos t dt 
z 
dz 

3

z dz
Y usando las reglas de integración,
z 2
z 2

k 
k
2
2
Por lo que encontramos la integral en función de z. Debemos volver a
sustituir z por cost:
sent cos 3 t dt

UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
1
1
2
 (cos t )
k 
k
2
2
2 cos t
4
Modalidad virtual
Matemática
b)
4z

5 2
z
dz
2
Hacemos la sustitución y  z 2 2 , por lo que es dy 2 z dz 
dy
dz
2
Y sustituimos en la integral original
4z
1 dy
dz 4
5 y 2
5 2
z 2


1
1
1
 1 y 5 reemplazamos para poder aplicar las reglas de
5 y
y5
integración inmediatas.
Como es
4z

5 2
z
dz 4
2
1 dy
dy
4 y 5
5y 2
2
1


1
4
 1
1
1
y 5
C 2 . y 5 C
1
4
 1
5
5
4

2
4
4
1 5
5
y C  y 5 C
4
2
5
2 .
Volvemos ahora a hacer la sustitución y z 2 2 .

5 2
z 2
c)
e3t
e3 t 24

4

4
5
55 2
dz  ( z 2 2 ) 5 C 
z 2 C
2
2
4z
dt
Si elegimos z e
3t
2 entonces es: dz 3 e
3t
dt 
dz
3
e
3t
dt
Reemplazando resulta:
e 3 t dt
e3 t
2

4

1
dz
1

3
3
5
5
z 4
z

4 dz
1 z
z

C 
C
3 5
15
Ahora, hacemos nuevamente el cambio de variables y llegamos al resultado.
e 3 t dt

e3t
UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
2

4

1
( e 3 t 2 ) 5 C
15
5
Modalidad virtual
Matemática
Podemos usar el método de sustitución para hallar la integral de funciones conocidas.
Ejemplo 7.
Calcular:
tgx dx

a)
b)
sen2 t dt

Solución
a)
tgx dx

senx
Como tgx 
, hacemos
cos x
senx
tgx dx 
dx


cos x
Y si z cos x  dz senx dx
Sustituyendo:
senx
1
tgx dx 
dz

cos x dx 
z
ln z C
Volviendo a nuestra variable original:
tgx dx  ln(cos x ) C

b)
sen2 t dt

Hacemos la sustitución u = 2t, por lo que es du = 2dt y
du
dt
2
Sustituyendo::
1
1
sen 2 t dt 
sen u du   cos u C

2 
2
Y cambiando nuevamente la variable:
cos 2 t
sen 2 t dt 

UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
2
C
6
Modalidad virtual
Matemática
Metodo de
Integrración
por partes
Este método se utiliza a menudo cuando el integrando está compuesto por el producto de
dos funciones, aunque esta condición no es necesaria ni suficiente.
Consideremos la función producto w, donde w ( x ) u ( x ) 
v( x )
Entonces:
u ( x ) v ' ( x ) dx u( x ) 
v ( x ) 
v ( x ) u' ( x )dx

Habitualmente se utiliza una expresión equivalente a esta que resulta de hacer los
siguientes cambios de variables:
u( x ) u
u' ( x ) dx du
v( x ) v
v' ( x ) dx dv
Por lo que la expresión anterior también suele escribirse:
u dv u 
v 
v du

Apliquemos el método a un ejemplo:
Ejemplo 8
Calcular
x.e 2 x

dx
Solución
Observemos primero que para resolver esta integral no podemos hacerlo
inmediatamente usando la tabla de integrales, y tampoco podemos usar el método
de sustitución.
Vamos a resolverla utilizando el método de partes.
El problema está en decidir cuál es la función que consideramos u(x) (la función
’
que queremos derivar) y cuál la que consideramos v (x) (la función que queremos
integrar).
2x
Vemos que si derivamos o integramos e no modificamos, salvo en una
constante, la integral que nos dan (¿por qué?).
’
Pero no sucede lo mismo con x ya que si la derivamos, es (x) = 1 y si la
1 2
integramos, una primitiva es
x .
2
Parece entonces que podemos simplificar el cálculo haciendo:
u =x
2x
dv = e dx
Por lo que es:
du 1
Entonces, remplazando en

v  e 2 x dx 
e2 x
2
u dv u 
v 
v du ,

nos queda
e2 x
e 2x
x e 2 x dx  x 

dx
2
2


Y en consecuencia:

x e
2x
2x
e 2x 1 e2x
e
dx x 

C 
2
2 2
2
UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
 1
x  C
 2
7
Modalidad virtual
Matemática
Ejemplo 9
Hallar
x ln x dx

2
Solución
En este caso no tenemos muchas dudas, ya que si bien sabemos derivar la
función ln x no sabemos integrarla.
Nos convendrá entonces, hacer:

1
u = lnx con lo que du  dx
x
x3
2
dv = x dx con lo que v  x 2 dx 
3
Luego; es;



x
2
ln x dx  ln x
3
3
x
x
1

. dx
3
3 x
3

ln x
x
1

3
3
ln x
x
1 1 3

x C
3
3 3
x dx

2
3
Resulta:

x 2 ln x dx  ln x
¿Y cuál es la
x3 1 3
 x C
3
9
ln x dx ? Veamos cómo calcularla.

Ejemplo 10
Calcular
ln x dx

Solución.
Como hicimos antes, y ya que nos dio resultado, hagamos:
1
 u = lnx con lo que du  dx
x


Y llamemos dv = dx con lo que v  dx x
Con lo que es;
1
ln x dx x ln x 
x. dx

x
x ln x 
dx
x ln x x C
Resulta entonces;
ln x dx x ln x x C

UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
8
Modalidad virtual
Matemática
En la práctica el proceso de elegir una expresión para u y otra para dv no es siempre
sencilla y no existe una técnica general para efectuar dicho proceso. Sin embargo, existe
una regla que establece una especie de prioridad entre las distintas clases de funciones.
La regla es conocida comúnmente con el nombre de ILPET (iniciales de Inversa
1
Trigonométrica, Logarítmica, Potencial, Exponencial, Trigonométrica) .
Se aplica de la siguiente forma:
Si en el integrando aparece

una función exponencial y otra logarítmica, se asigna u a la función logarítmica.

una función trigonométrica y una potencial, se asigna u a la función potencial.

En general, elegimos siempre u como la función situada más a la izquierda en
ILPET.
De todos modos, si nos equivocáramos en la elección, al utilizar la regla nos
encontraríamos (en el segundo miembro) con una integral mucho más difícil o
imposible de resolver.
Ejemplificamos su uso:
Ejemplo 11
Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes.
a)
( 5 3 x )e x dx

b)
( z 1 ) cos

z dz
c)
y arc tg

y dy
Solución
Recordemos que queremos usar la regla ILPET. De acuerdo con ello, siempre tomaremos
como u la función cuya inicial está más a la izquierda en la sigla.
a)
( 5 3 x ) e

x
dx
Vemos que tenemos en el integrando;
La función potencial está más a la izquierda en ILPET. Por lo que nos conviene
hacer:

u = 5 – 3x con lo que du = -3

dv e x dx con lo que v  e x dx e x

Luego es;
( 5 3 x ) e

x

dx ( 5 3 x )  ( 
e x )( 3 )dx ( 5 3 x ) 3
e

x
dx
Por lo que;
( 5 3 x ) e x dx ( 5 3 x ) 3 e x C

1
Existen otras reglas nemotécnicas similares LIATE, ALPES, que pueden ayudar en la elección de u y dv.
UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
9
Modalidad virtual
Matemática
b)
( z 1 ) cos

z dz
Nos conviene tomar:

u = z+ 1 por lo que es du = dz

dv = cos z dz por lo que es v  cos z dz senz

De este modo es;
c)
y arc tg

( z 1 ) cos

z dz ( z 1 ) senz  senz dz

( z 1 ) cos

z dz ( z 1 ) senz cos z k
y dy
Elegimos

1
u = arc tg y con lo que es; du 
dy
2
1 y

1 2
dv = y dy con lo que es v  y
2
Luego:
1
1
y arc tg y dy  y 2 .arc tg y 
2
2

Observemos que la
1
2
y
y2
dy

1 y 2
2
dy no tiene una integral inmediata.

2
1 y
Vamos a calcularla, haciendo una transformación algebraica.
Si escribimos el numerador sumando y restando 1, así:
y 2 y 2 1 1  (1 y 2 ) 1
Luego;
1
2
y2
1
dy 
2
2
1 y

UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
y 2 1 1
1
dy 
2
2
1 y

(1 y 2 ) 1
dy
1 y 2

10
Modalidad virtual
Matemática
Y distribuyendo el denominador.
1

2

1
2
( 1 y 2 )
1


1 y 2
1 y 2





dy



1


1
dy

 1 y 2 



1
1
  dy 
dy 

2

2
1 y


 
De este modo las integrales que nos quedaron en el paréntesis son inmediatas:
Luego es:
1
2
y
1
2
1
dy   dy 

2
 
2
2
1 y
1 y

 1
dy  ( y arc tg y )
 2

Reemplazando en
1
1
y arc tg y dy  y 2 .arc tg y 
2
2

y2
dy

1 y 2
Tenemos que:
y arc tg

1 2
1
y dy  y .arc tg y  ( y arc tg y ) C
2
2
Algunas integrales requieren integrar por partes más de una vez.
En estos casos hay que tener cuidado en mantener las sustituciones en las sucesivas
aplicaciones.
Ejemplo 12
x 2 senx dx

Calcular
Solución
Para resolver hacemos la sustitución
2

u = x , du = 2x dx

dv = senx dx; v  senx dx cos x

Entonces,
x senx dx x

2
2

cos x 2 x cos x dx

( cos x )  ( cos x ) 2 x dx
x
2
La integral que nos queda como sumando no es inmediata y debemos usar
nuevamente el método de integración por partes.
UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
11
Modalidad virtual
Matemática
Respetamos las sustituciones hechas con anterioridad (la función potencial sigue
siendo u y la trigonométrica el dv )

u = x; du = dx

dv = cos x dx; v  cos x dx senx

Sustituyendo en
x senx dx  x

2
cos x 2 x cos x dx
 x
2
cos x 2 x senx  senx dx
2




 x 2 cos x 2 
x senx cos x C
x 2 cos x 2 x senx 2 cos x C
Resulta entonces;
x senx dx  x

2
2
cos x 2 x senx 2 cos x C
Ejemplo 13
e cos x dx

x
Calcular
Solución
Sea,
x
x
 u = e ; du = e dx

 dv = cos x ; v  cos x dx senx
Luego:
e cos x dx e

x
x

senx  e x senx dx
Volvemos a integrar por partes la integral que nos quedó en el segundo
miembro.
x
x

u = e ; du = e dx

dv = sen x ; v  senx dx cos x

Por lo que;
x
x
x
x
e cos x dx e senx 
e ( cos x ) 
( cos x )e dx 

e x cos x dx e x senx e x cos x  cos x e x dx


Por lo que nuevamente, deberíamos integrar por partes.
Pero, en vez de seguir, observamos que
UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
12
Modalidad virtual
Matemática
Por lo que no nos conviene seguir integrando, ya que volveríamos a tener las
mismas integrales, una y otra vez.
En vez de hacerlo, sumamos
cos x e xdx = 
e x cos x dx

a ambos miembros
de la igualdad y obtenemos:
e cos x dx 
e cos x dx

x
x
e x senx e x cos x
Operando:

2 e x cos x dx e x senx e x cos x
Si dividimos miembro a miembro por 2, encontramos la integral que queríamos
calcular.

e x cos x dx 
x
x
e senx e cos x
C
2
Otras integrales que se resuelven en forma similar son:

e x senx dx


e x sen 2 x dx


e x cos 2 x dx

A veces, al integrar por partes, necesitamos hacer una integración por sustitución.
Ejemplo 14
x cos ec 2 x dx

Calcular
Solución
Elegimos:

u = x; du = dx

dv = cosec x dx; v  cos ec 2 x dx  cot g x
2

Sustituyendo resulta:
x cos ec 2 x dx x cot g x 
cot g x dx

x cos ec

2
cos x
senx
x dx x cot g x 
dx
(1)
La integral que nos queda sumando no es una integral inmediata. Debemos
resolverla por sustitución. Calculémosla.
UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
13
Modalidad virtual
Matemática

cos x
senx
dx
Hacemos la sustitución z senx  dz cos x dx
cos x
senx
1
dz ln z C

z
dx 
Volviendo a la variable x:
cos x
senx
dx  ln | senx | C
Listo!!! Ahora reemplazamos en (1)
x cos ec

2
x dx  x cot g x ln | senx | C
Observación
Como pueden ver a través de los ejemplos que les hemos propuesto, integrar es un
poco más difícil que derivar y requiere de bastante práctica. La ventaja que tiene, es
que podemos verificar si los resultados a los que se llega son correctos, con solo
derivarlo. Esta es una buena práctica, que les dejamos para hacer.
UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración
14
Modalidad virtual
Matemática
INTEGRAL DEFINIDA
En esta sección vamos a trabajar con el concepto de integral definida. Si bien su cálculo
está muy ligado con la integral indefinida, su origen y desarrollo son anteriores y se
encuentran estrechamente relacionados con la noción de área. Es este camino el que
usaremos para introducir su definición.
Ejemplo 1.
Consideremos la función f dada por f(x) = x y sea A(x) para x > 0, el área encerrada entre
la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta vertical que tiene por abscisa el valor x.
Utilizando la fórmula que nos da el área del
triángulo, tenemos
x2
A( x ) 
2
Observamos que en este caso
A’(x) = x = f(x)
Esto es, el área A es una primitiva de f.
En particular si b = 3, es A(2) =
32
4 ,5
2
Ejemplo 2
Consideremos ahora la función dada por
1
f ( x )  x 1 y consideremos A(x) siendo
2
x > -2, el área encerrada por la gráfica de f,
el eje de abscisas y la recta vertical que
tiene por abscisa el valor x.
El área de la región es:
1
1

A( x )  ( x 2 )  x 1 
2
2


De donde operando obtenemos;
x2
A( x ) 
x 1
4
Aquí también encontramos que el área es
una primitiva de f, es decir:
'
x 2
 1
A' ( x )  x 1   x 1 f ( x
4
 2


En los dos ejemplos, vemos que el área de la región limitada por la gr áfica de f, el eje de
abscisas y una recta vertical de abscisa x, es una primitiva de f.
A(x) = F(x) es decir A’(x) = f(x)
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
1
Modalidad virtual
Matemática
En los ejemplos anteriores, el área A, la calculamos simplemente aplicando la fórmula que
da el área de un triángulo, pues la gráfica de f era una recta.
Podemos ahora preguntarnos, si podemos calcular el área cuando la gráfica de la función
no es una recta. El siguiente teorema nos da la respuesta.
Terorema
fundamental
del cálculo
Consideremos una función continua y positiva f: [a; b]  .
Para cada x [a; b], definimos A(x) como el área comprendida entre el gráfico de f y el eje
de abscisas en el intervalo [a; b]
Gráficamente,
En estas condiciones podemos enunciar el siguiente teorema:

Definción de
integral
definida
'
La función A(x) es una primitiva de f. Es decir A ( x ) f ( x )
Definimos la integral definida mediante el número A
b

a
A  f ( x )dx
Donde a “a” y “b” se los llama límites de integración.
Nos planteamos ahora el problema de calcular la integral definida. Nos ayudamos con un
ejemplo.
Ejemplo 3.
Calculemos el área que encierra la función
f(x) = x, las rectas x = 1 y x = 3 y el eje de
abscisas.
Vimos en el ejemplo 1, que el área
encerrada por f(x) = x, el eje de abscisas y
la recta vertical que tiene por abscisa x es
x2
A( x ) 
2
Si la recta vertical es x = 3 tenemos el
siguiente gráfico:
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
2
Modalidad virtual
Matemática
El área la calculamos reemplazando en
A(x) por x = 3.
32
A( 3 ) 
4 ,5
2
Si a este triángulo le restamos el triángulo
en rojo, obtenemos el trapecio del que
partimos.
Y podemos también calcular el área de este
triángulo, haciendo x = 1
12
A (1 )  0 ,5
2
De este modo el área del trapecio es:
A(3) – A(1) = 4, 5 – 0,5 = 4
Es decir que el área limitada por f(x) = x y el eje x en el intervalo [1; 3] es el incremento de
la función A al pasar de x = 2 a x = 4.
Si recordamos que el área de la región es una primitiva de la función f este es, A(x) = F(x)
podemos escribir:
F(3) – F(1) = A(3) – A(1) = 4, 5 – 0,5 = 4
Si generalizamos para un intervalo [a; b] tendremos:
A = F(a) – F(b)
b
Como además dijimos que A =
f ( x ) dx

a
Tendremos que el área del trapecio en el intervalo [a; b] es
b
A=
f ( x ) dx F( b ) F ( a )

a
Generalizamos, lo hecho en el ejemplo, mediante la siguiente regla, que nos permite
calcular la integral definida en un intervalo [a; b]
Regla de
Barrow
Si F( x ) es una primitiva de la función continua f ( x ) , se verifica que:
b
f ( x ) dx F ( b ) F ( a )

a
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
3
Modalidad virtual
Matemática
Usamos la regla de Barrow en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4
2
Calcular
x dx

1
Solución:
x2
Ya sabemos que una primitiva de x es F ( x ) 
2
Luego por la regla de Barrow, podemos escribir:
2
2 2 12 3
 
2
2
2

x dx = F(2) – F(–1) =
1
Al aplicar la regla de Barrow es conveniente la siguiente notación.
b
f ( x ) dx F( x )

b
a
F( b ) F ( a )
a
Propiedades
de la integral
definida
1. El factor constante se puede extraer fuera del signo de la integral definida.
b
b

a

a
a.f ( x )dx a. f ( x )dx
2. La integral definida de la suma algebraica de dos o más funciones es igual a la suma
algebraica de las integrales definidas de cada una de las funciones sumandos.
b
b
b
a
a
a
( f ( x ) g ( x )).dx 
f ( x )dx 
g ( x )dx

3. Si se invierten los límites de integración, la integral definida cambia de signo.
a
b


f ( x )dx  f ( x )dx
b
a
4. Si f está definida para x = a entonces,
a
f ( x )dx 0

a
5. Para tres números arbitrarios a, b y c se verifica la igualdad:
b
c
b
a
a
c
f ( x )dx  f ( x )dx  f ( x )dx



6. Si en el segmento [a, b] se verifica que f ( x ) g ( x ) , entonces:
b

b

f ( x )dx  g ( x )dx
a
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
a
4
Modalidad virtual
Matemática
Para calcular las integrales definidas se procede en forma similar a las integrales
indefinidas.
Ejemplo 5
Calcular las siguientes integrales definidas.

3
a)
(6 x

2
5 ) dx
b)
2
(1 senx ) dx

8
c)
0
x x 1dx

2
3
1
Solución
Resolvemos las integrales aplicando la regla de Barrow.
3
a)
(6 x

2
5 ) dx
2
3

(6 x 2
2
3
6 x 3

5 ) dx 
5 x 
3


2
6 .3 3
 6 ( 2 ) 3


5 .3 
5( 2 )
3
  3


 

( 54 15 ) ( 16 10 ) 45
3
Luego,
(6 x

2
5 ) dx 45
2

b)
( 1 senx ) dx

0

(1 senx ) dx ( x cos x )

0

( cos )
0
( 0 cos 0 )
( 1 ) 1 2
Resulta:

(1 senx ) dx =  2

0
8
c)
x x 1 dx

2
3
1
Comencemos tratando de escribir el integrando de otra manera.
1
7
x 2 ( 3 x 1 )  x 2 ( x 3 1 ) x 3 x 2
Por lo que es
8

x
2
3

 x 1 dx
1
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
8
7
 x 3 x 2


1


dx


5
Modalidad virtual
Matemática
8
 10

8
 3
3 
x
x
3 3 10
1


  
x
 x3 
10
3 
3
10
1


3
1
3

10

3
1
 3 3 10
1

8 10  8 3 
1  13 
3
10
3
 

3
1
 3
1 
 2 10  8 3  .1  .1 
10
3
10
3 

 
3.1024 512
3
1


 
10
3
10 3
3072 512
3
1




10
3
10 3
3.3072 10.512 3.3 10

30
4097

30
8
Luego;
 
1

4097
x 2 3 x 1 dx 
30
Ejemplo 6
Sabiendo que
5
3
5
0
1
3
f ( x )dx 6 ; f ( x )dx 1 y
f ( x )dx 3 calcular;



1
a)
f ( x )dx

0
3
b)
3 f ( x )dx

1
c)
5
4
3
0
f ( x )dx 
f ( x )dx


2
1
Solución
En este ejercicio, interesa que usemos las propiedades de la integral definida.
Consideremos el intervalo en que está definida la integral y la información que
tenemos sobre ella en ese intervalo.
Nos ayudamos con un gráfico:
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
6
Modalidad virtual
Matemática
Si usamos la propiedad 5, podemos escribir
5
1
3
5
0
0
1
3
f ( x )dx  f ( x )dx  f ( x )dx  f ( x )dx

  
De esta suma, sólo nos falta conocer la integral en el intervalo [0; 1]. La
calculamos.
1
a)
f ( x )dx

0
Si reemplazamos los datos que tenemos en la suma, nos queda:
1

6  f ( x )dx 1 3
0
Con lo que es:
1
1


6 1 3  f ( x )dx  2  f ( x )dx
0
0
3
b)
3 f ( x )dx

1
Ya que el factor constante se puede extraer fuera del signo de la integral definida,
podemos escribir:
3
3
3 f ( x )dx 3 f ( x )dx


1
1
3
Conocemos que la integral
f ( x )dx 1 es:

1
3
3
1
1
3 f ( x )dx 3 f ( x )dx = 3.1 = 3


c)
5
4
3
0
f ( x )dx 
f ( x )dx


2
1
Reescribimos la integral, utilizando propiedades:
5

3
4

1
f ( x )dx 
f ( x )dx
2
0
3
1
1 
 f ( x )dx 
f ( x )dx  f ( x )dx
2
0
3

1
5








De este modo podemos usar los datos del problema y el resultado del ítem a).
Luego:
5

4
f ( x )dx

2
f ( x )dx 
3
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
0
1
1
3 9
3  ( 2 1 ) 3  
2
2 2
7
Modalidad virtual
Matemática
Cambio de variable en integrales definidas.
Recordemos que dada
f ( g ( x )).g' ( x )dx , si F es una primitiva de f, y

F( g ( x ) ) es una
primitiva de f ( g ( x )).g' ( x ) entonces es:
f ( g ( x )).g' ( x )dx = F(g(x)) + C

Recordemos además que para resolver este tipo de integrales, recurrimos al método de
sustitución o cambio de variables.
Nuestro problema consiste ahora en calcular la integral definida
b
f ( g ( x )).g' ( x )dx

a
prestando atención a los límites de integración.
Vamos a ver que podemos hacerlo de dos maneras:

La primera consiste en calcular la integral definida
f ( g ( x )).g' ( x )dx = F(g(x)) + C

Y evaluarla en los límites de integración, con lo que es:
b
f ( g ( x )).g' ( x )dx F ( g ( b )) F ( g ( a ))

a

La segunda, consiste en cambiar los límites de integración.
En este caso, al hacer la sustitución u = g(x) y du = g’(x) dx, también se cambian
los límites de integración teniendo en cuenta:
o
Si x = a; es u = g(a)
o
Si x = b; es u = g(b)
Por lo que resulta:
b
g( b)
a
g( a)
f ( g ( x )).g ' ( x )dx  f ( u ) du F ( g ( b ) ) F ( g ( a ))


El siguiente ejemplo lo resolvemos utilizando las dos formas.
Ejemplo 7
3
Calcular
x (x

2
3
5
2 ) dx
2
Solución.
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
8
Modalidad virtual
Matemática
Si usamos la primera forma, debemos calcular la integral indefinida y luego evaluarla en
los limites de integración:
Entonces calculamos:
x (x

2
3
2 ) 5 dx
3
2
Haciendo u = x + 2 es du = 3x dx;
du
x 2 dx
3
Por lo que:
x (x

2
1
5
2 ) dx 
3
3
u du  . u

3 6
1 1
5
6
1 6
C  u C
18
Volviendo a la variable x,
x (x

2
3
1
2 ) 5 dx  ( x 3 2 )6 C
18
3
2 ) dx =
Así;
3

2
x (x
5
2
3
1
( x3 2 ) 6
18
2
1
1
3
6
3
6
 ( 3 2 )  (( 2 ) 2 )
18
18
1
6
6
 ( 29 ( 6 ) )
18
1
 ( 594823321 46656 )
18
594776665

18
Luego:
3
x (x

2
3
2
594776665
2 ) 5 dx 
18
Si usamos la segunda forma, hacemos el cambio de variables y cambiamos los límites
de integración.
3
x (x

2
3
2 )
5
2
3
2
Haciendo u = x + 2 es du = 3x dx;
du
3
2
x dx , y además:
3
Si x = 3; u = 3 + 2 = 29
3
Si x = -2; u = (-2) + 2 = - 6
Por lo que es:
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
9
Modalidad virtual
Matemática
3

2
x (x
3
2 )
1

3
5
2
29

6
1
u 5 du  u 6
18
1
 ( 29 6 ( 6 ) 6 )
18
594776665

18
3
x (x

2
29
6
Luego:
594776665
2 ) 5 
18
3
2
Como se ve, cualquiera sea la forma que elegimos, llegaremos al mismo resultado.
Si se elige la segunda forma de resolución, hay que ser cuidadosos y hacer la sustitución
de los límites de integración. Si esto no se hace, el ejercicio está mal resuelto.
Ejemplo 8:
/ 2
ctg y dy

Calcular
/ 4
Solución:
Comencemos rescribiendo el integrando
/ 2
/ 2

ctg y dy 
/ 4

cos y
dy
seny
/ 4
De este modo podemos hacer la sustitución u = sen y ; du = cos y dy
Lo resolvemos de las dos formas:
En la primera, comenzamos calculando la integral indefinida y después evaluamos
en los límites de integración:
dy 
du ln u C


seny
u
cos y
1
Por lo que es:
dy  ln( seny ) C

seny
cos y
Luego es;
/ 2

/ 2
ctg y dy 
/ 4
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
/ 2
cos y
dy  ln( seny )
seny
/ 4

/ 4
10
Modalidad virtual
Matemática

 

ln
sen lnsen 
2 
4

2
2
ln 1 ln
0 ln 2
1
 ln 2
2
1
2
Por lo que
/ 2
ctg y dy  ln 2

2
1
/ 4
/ 2
Resolvemos
/ 2
ctg y dy 

seny dy
cos y
/ 4
por la segunda forma.
/ 4
Esto es, haciendo la sustitución u = sen y ; du = cos y dy, lo que implica reemplazar
los limites de integración.



Si x  ; u sen 1
2
2



2
Si x  ; u sen 
4
4
2
Luego,
/ 2

/ 2
ctg y dy 
/ 4

seny
cos y
1
dy 
/ 4
ln 1 ln
 0 ln 2
1
 ln 2
2

u
1
2 /2
du  ln u
1
2 /2
2
2
1
2
Por lo que
/ 2
ctg y dy  ln 2

2
1
/ 4
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
11
Modalidad virtual
Matemática
El método de integración por partes y la integral definida.
Para integrar una función expresada como producto de otras dos, y donde no podemos
aplicar el método de sustitución,usamos el método de integración por partes.
En el caso de las integrales definidas también podemos hacerlo, prestando nuevamente
atención a los límites de integración.
b
u ( x ) v ' ( x ) dx u ( x ).v ( x )

b
a
b

 u' ( x) v ( x ) dx
a
a
Resolvemos algunos ejemplos.
Ejemplo 9
1
Calcular
( x 2 ).e

x
.dx
0
Solución
Usando el método de partes, buscamos una primitiva.
Elegimos,
u = x + 2, por lo que es du = dx
 dx e
x
dv = e dx , por lo que es v  e
x
x
Calculamos ahora la integral definida:
1
(x

2 ).e x .dx

( x
0
1
 
e dx
 e
1
2 ).e x
0
x
0

 ( x 2 ).e x
1
x 1
0
0
Y ahora sustituimos por los límites de integración
1
0
1
0
= (1 + 2) e – (0 + 2) e – (e – e )
= 3e – 2 – e + 1
= 2e – 1
Por lo que es:
1
( x 2 ).e .dx 2 e 1

x
0
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
12
Modalidad virtual
Matemática
Ejemplo 10.
2
Calcular
x
ln x
2
dx
1
Solución
Escribamos la integral de esta manera:
2
2
ln x dx
x dx 
x
ln x
2
1
2
1
1
Luego buscamos la primitiva de
x
ln x
2
dx utilizando el método de partes, y una
vez que la hallamos, reemplazamos por los límites de integración.
Vimos que en las funciones que contienen logaritmos, nos conviene llamar u a la
función logaritmo.
Luego:
u = ln x, es
1
dv =
x2
du =
1
dx
x

dx entonces v 
1
x2
1
dx x 1 
x
Entonces, buscamos la primitiva de la función y evaluamos.
 1 1
ln x dx 
   dx
x dx 

x
 x x
x
ln x
1


dx

x
x
ln x
2
1
ln x
2

ln x
x
1

x
1
 (ln x 1 )
x
Y volviendo a la integral definida:
2
x
ln x
2
1
2
1
1
 1

dx  (ln x 1 ) 
 (ln 2 1 )
 (ln 1 1 )
x
2
1

 

1
 1


 (ln 2 1 )1
 2

1
1
 ln 2  1
2
2
1
1
 ln 2 
2
2
Luego:
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
13
Modalidad virtual
Matemática
2
x
ln x
2
1
1
1
dx  ln 2 
2
2
Observación: en este ejemplo, preferimos calcular la integral indefinida y luego aplicar la
regla de Barrow al resultado de la misma.
Ejemplo 11.
1
Calcular
arcsenx dx

0
Solución
Nuevamente utilizamos el método de integración por partes. Primero vamos a
buscar una primitiva y luego reemplazamos por los límites de integración.
Como conocemos la derivada de arcsenx, a esta función la llamamos u.
Hacemos:
1
u = arcsenx, por lo que du =
dv = dx; por lo que es v =
1 x 2
dx
dx x

Luego tenemos;

1 x
x
arcsenx dx x . arcsenx 
2
dx
(1)
Observemos que en el segundo miembro, la integral no es inmediata, nos
conviene resolverla por sustitución.
Luego, en
1 x
x
2
dx hacemos;
t = 1 – x , por lo que es dt = -2xdx; 
2
dt
 x dx
2
Sustituyendo en la integral,
1 x
x
2
1
dx 
2

1
 .
2
1
1
dt 
2
t
1
2
 dt
t
1
 1
1
t 2
C
1
 1
2
1
1
 .2 t 2 C
2
 t C
Volviendo a la variable x, es:
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida
14
Modalidad virtual
Matemática
1 x
x
2
dx  1 x 2 C
Ahora, en la integral indefinida que dejamos en (1) reemplazamos,
arcsenx dx x . arcsenx (  1 x

2
)
x .arcsenx  1 x 2
Ya tenemos una primitiva, ahora podemos escribir:
1

arcsenx dx ( x.arcsenx  1 x 2 )
1
0
0
Y sustituimos,
1
arcsenx dx = (1. arcsen1 +

1 1 ) – (0. arcsen 0 +
1 0 )
0
(arcsen1 quiere decir el ángulo cuyo seno es 1. En el dominio de la función, esto
ocurre si el ángulo es  y arcsen 0 es el ángulo cuyo seno es cero, esto ocurre si
2
el ángulo es cero)
1

arcsenx dx =
0
UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida

1
2
15
Modalidad virtual
Matemática
CALCULO DE ÁREAS
Recordemos que
Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado {a; b] el área
de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas
verticales x = a y x = b es:
b

a
Área  f ( x ) dx
Recordemos también que el área es siempre mayor o igual que cero. Por lo que, buscar el
área de una región en un intervalo dado, a veces, no significa calcular directamente la
integral definida en ese intervalo.
Ejemplo.
Dibujar la gráfica asociada a cada integral definida y calcular el área de la región que queda
delimitada.
3
a)
3

4 dx
b)
1
( x 2 ) dx
0
Solución
3
a)
4 dx

1
La expresión de la función f, es f(x) = 4. Su gráfica es una recta paralela al eje de
abscisas.
Además, la integral está definida en el intervalo [1; 4] por lo que la región está
limitada por las rectas
x=1yx=4
Por lo que la gráfica de f es la que se muestra.
Como f es positiva en todo el intervalo, calculamos el
área, resolviendo la integral definida.
3

3
A ( x )  4 dx 4 x 1
1
4( 3 1 )
8
Luego el área de la región es de 8 unidades.
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1
Modalidad virtual
Matemática
3
b)
( x 2 ) dx
0
La función f tiene por fórmula f(x) = x + 2. Su
gráfica es una recta.
Además la región está limitada por las rectas
x = 0 y x = 3.
Al ser f positiva en el intervalo [0; 3]
calculamos el área mediante:
A( x ) 
3
3
1

( x 2 ) dx   x 2 2 x 
2
0
0

1

 3 2 2.3 0
2

9
21
 6  10,5
2
2
Luego el área de la región es A = 10, 5 unidades.
Ejemplo 2
Calcular el área limitada por la curva de f(x) = x, el eje x en el intervalo [-1; 1]
Solución
1
En este caso es erróneo apresurarse y calcular el área mediante
x.dx . Si lo hacemos

1
1
obtendríamos que
x.dx = 0

1
Sin embargo, si graficamos la función, observamos
que en el intervalo [-1; 0] la función es negativa.
En este caso, al ser la función identidad (f(x) = x)
simétrica respecto al origen de coordenadas,
podemos calcular el área en el intervalo [0; 1] y
multiplicar por 2.
1
A 2.

0
2
x
x .dx 
2
1
0 1
2
2

1
0 
2.  
2 

2

1

1
2 . 0 2. 1
2
2

Luego, el área del la región es A = 1.
Vemos otro ejemplo, en el que si nos apresuramos podemos calcular mal el área.
UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas
2
Modalidad virtual
Matemática
Ejemplo 3
2
Calcular el área de la región limitada por f(x) = x – x – 2, el eje de abscisas y las rectas
x = -1 y x = 2.
Solución
2
Podríamos pensar que A =
(x

2
x 2 )dx . Veamos qué pasa si calculamos
1
directamente esta integral.
2
(x

2
1
2
1
1

x 2 )dx  x 3  x 2 2 x 
2
3
1
1
1
 1
1

 .2 3  .2 2 2.2  ( 1 )3  ( 1 ) 2 2( 1 ) 
2
2
3
 3

8
  1 1


 2 4   2 
3
3
2

 

10 7
13
  
3 6
6
Al calcular directamente la integral vemos que llegamos a un número negativo,
lo que contradice que debe ser A 0 en ese intervalo.
Para entender lo qué pasó, nos ayudamos
con un gráfico.
Como vemos en el intervalo [-1; 2] la función
es negativa.
Pero si consideramos la función g(x) = -f(x)
en el mismo intervalo, resulta que la gráfica
de g es positiva y simétrica de f respecto al
eje de abscisas.
Por lo que el área de la región es:
2

A  g ( x ) dx
1
2

 ( x 2 x 2 )dx
1
 13  13
 
 6  6
En definitiva, calcular el área de una región en un intervalo, no es simplemente calcular la
integral definida en ese intervalo.
En los siguientes ejemplos, procederemos a calcular el área de una región limitada por la
gráfica de una función y uno o más ejes (rectas horizontales y/o verticales)
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3
Modalidad virtual
Matemática
Ejemplo 4. Calcular el área de las regiones limitadas por las gráficas de las funciones y los
ejes indicados.
1

3
a) f(x) = 6x – 6x en el intervalo 
 ; 2
 2 
b) y  ln x ; x = e y el eje x
Solución
3
a) f(x) = 6x – 6x en el intervalo
1 
 ; 1

2 
Comenzamos por dibujar la región.
1 
Observamos que en el intervalo 
 ; 1
2 
la gráfica corta al eje de abscisas en x = 0
y x = 1.
1

Además en el intervalo 
 ; 0  f es negativa, por lo que en este intervalo,
2

1
calculamos el área de la región limitada por g(x) = - f(x) y las rectas x =  ; x = 0
2
0
( 6 x 6 x

A1 =
3
)dx
1 / 2
Mientras que en el intervalo [0; 1] la función es mayor o igual que cero. En este
intervalo es:
1
A2 =
( 6 x 6 x

3
)dx
0
Entonces el área de la región es
0
A = A1 + A 2 =
( 6 x 6 x

1
3
)dx +
1 / 2
( 6 x 6 x

3
)dx
0
Calculamos entonces el área:
0
( 6 x 6 x

A=
1
3
)dx +
1 / 2
( 6 x 6 x

)dx
1
3

3
)dx  ( 6 x 6 x )dx
1 / 2
0
0
1 4
 1 2
6 x 6 x 
4
 2
1 /
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3
0
0
A 
( 6 x 6 x

1
2
1 4
1 2

6 x 6 x 
4
2
0
4
Modalidad virtual
Matemática
0
1

6

 2 6 4
 3 x 2  x 4 

3x  x 
4
4

1 / 2 
0
 21  3
 
 32  2
69

32
Luego el área de la región es A =
69
unidades de área (aproximadamente 2, 15625
32
unidades de área)
b) y ln x ; x = 1; x = e y el eje x
Comenzamos por graficar la región.
La función f(x) = ln x es no negativa en el intervalo [1; e] por lo que el área de la
región es:
e

A  ln x dx
1
Ya hemos visto que para resolver la integral
ln x dx

se usa el método de
integración por partes (ver anexo) y además que es
ln x dx = x ln x – x + C

Luego podemos escribir:
e

A  ln x dx 
x ln x x 
1
e
1
Sustituyendo:
A ( e ln e e ) (1 ln 1 1 )
 ( e .1 e ) ( 0 1 )
1
Por lo que el área de la región es
A=1
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5
Modalidad virtual
Matemática
Ejemplo 5
Calcular el área limitada por el eje x y la gráfica de
2

x 4
f ( x ) 

x 2 6
x 0
x 0
Solución
Representemos la región
Para hallar los puntos de intersección de f (x) con el eje x (y = 0) se intersecan cada una de
las funciones que son parte de la definición de f(x) y se toman los valores de x que
corresponden a x 0 o x < 0 respectivamente.
1. x
2
4 0  x
2
4  x 2  x 2 x 2
Se descarta x 
2 pues no es x 0
2. x 2 6 0  x 2 6  x 2 6 x 2 6  x 4 x  
8
Se descarta x 4 pues no es x < 0.
0
Por lo tanto: A 
2
0 x 2 6 dx 
0 x


2
8
4 dx
0
Como la función valor absoluto no es integrable directamente se descompone la
integral en dos partes.
Si
x 2 
x 2  x 2 0  x 2 
x 2  x 2  x 2 6 x 2 6  x 2 6  x 8
Si
x 2  x 2 0  x 2 x 2
 x 2 6  x 2 6  x 2 6 x 4
Resulta entonces,
2
A 
0

x 8 dx  

x

x 4dx 
2
8
2
A 
2
2
0
0
2
x
x 8 dx  
x 4 dx 

8
UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas
2

4 dx 
2

4 dx 
0
6
Modalidad virtual
Matemática
2
0
2
x 2

 x2

 x3

A  8 x  
4 x  
4 x  
2






8  2
2  3
0
( 2 )2
 ( 8 )2
  02

A 
8 ( 2 ) 
8 ( 8 ) 
4 0 
 2
  2
  2


 
 

 ( 2 )2
  23
  03


4 ( 2 ) 4 2 
4 0 
 2
  3
  3


 
 

8
100
A 2 16 32 64 2 8  8 
3
3
Luego es:
100
A 
3
Observación
Para calcular el área de la región limitada por curvas o segmentos de rectas es posible
dividir a la región en dos (o más) sectores, cada uno de los cuales tiene por medida del área
. Por lo tanto puede calcularse el área total mediante una suma de integrales
A y A 
definidas (área de cada sector) y por la propiedad de aditividad del área tendremos el área
de la región total.
Además, en el caso de que la función sea simétrica respecto del origen de coordenadas o
del eje de ordenadas y, es posible calcular el área de la región cuya área es Ay multiplicar
por dos siempre que el intervalo de integración sea también simétrico:[-a; a].
A continuación calcularemos el área de regiones limitadas por las gráficas de dos o más
funciones.
UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas
7
Modalidad virtual
Matemática
ÁREA ENTRE DOS CURVAS
El cálculo del área de un recinto limitado por dos curvas
como las que muestra la figura puede pensarse como la
diferencia de dos áreas.
La primera corresponde al área del recinto limitado por la
curva que está por encima (y=g(x)), el eje x y las rectas x
= a, x = b y la segunda es el área del recinto limitado por
la curva que está por debajo (y=f(x)), el eje x y las rectas
x = a, x = b.
b
A 

g ( x ) f ( x ) dx

a
Obsérvese que g ( x ) está por encima de f ( x ) , y es por eso que la diferencia en la integral
es g ( x ) f ( x ) .
Ejemplo 6
Calcular el área de las regiones limitadas por las gráficas de las funciones indicadas.
a)
b)
y  x ; y 2 x y eje y.
y senx , y cos x y eje y
c)
y  x 1 e y 2 x
Solución
a)
y  x ; y 2 x y eje y .
Calculamos la intersección de ambas gráficas igualando las funciones:
x 2 x  x ( 2 x ) 2  x 4 x 2 4 x  x 2 4 x 4 4 0 
x 2 5 x 4 0  x 1  x 4 pero x 4 no es solución.
Por lo que el intervalo en que está definida la región es [0; 1].
Hacemos el gráfico de la región. Vemos
que en ese intervalo, la recta queda por
encima de la gráfica de x .
Por lo que el área es:
1
A 
( 2 x )  x )dx

0
UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas
8
Modalidad virtual
Matemática
La calculamos
1
A 


0
3

1
1
2
( 2 x )  x ) dx 2 x  x 2  x 2
2
3
0
3

1 2 
1 2 2
2   2.0  .0  0 2
2 3 
2
3

12 3 4

 
6
6 6
5

6
5
Luego es A =
6





b) y senx , y cos x y eje y
Calculamos la intersección de las dos curvas:
senx cos x 
senx

1  tgx 1  x 
arctg 1  x 
cos x
4
Y graficamos la región
Luego:
/ 4
A 
(cos x senx ) dx

0
/ 4
A ( senx cos x ) 0



 sen cos 
sen 0 cos 0 
4
4


2
2

( 0 1 )  2 1
2
2
Luego es A  2 1
c) y  x 1 e y 2  x
Comencemos por graficar la región.
Para hallar a y b igualamos ambas
funciones:
x 1 2  x
Recordamos que:
UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas
9
Modalidad virtual
Matemática
|x + 1|
|x|
x + 1 0
x+1<0
x 0
x< 0
x -1 
|x+1| = x+1
x < -1 
|x+1| = -(x+1)
x 0 
|x| = x
x<0
|x| = -x
Entonces para resolver la ecuación debemos plantearnos los siguientes casos:
1. x -1  |x+1| = x+1 y x 0  |x| = x
2. x -1  |x+1| = x+1 y x < 0  |x| = -x
3. x < -1  |x+1| = -(x+1) y x 0  |x| = x
4. x < -1  |x+1| = -(x+1) y x < 0  |x| = -x
Resolvemos:
1. x -1  |x+1| = x+1 y x 0  |x| = x.
En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser:
x -1 y x 0  x 0  x [0; +)
Luego:
|x+1| = 2 - |x|  x + 1 = 2 – x  2x = 2 -1  x =
Como x =
1
2
1
[0; +) es una solución de la ecuación.
2
2. x -1  |x+1| = x+1 y x < 0  |x| = -x
En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser:
x -1 y x < 0  -1 x < 0  x [-1;0)
Luego:
|x+1| = 2 - |x|  x + 1 = 2 – (– x)  x + 1 = 2 + x  1 = 2
Concluimos que en el intervalo [-1;0) la ecuación no tiene solución.
3. x < -1  |x+1| = -(x+1) y x 0  |x| = x
En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser:
x < -1 y x  0
Pero, no existe ningún número real que cumpla simultáneamente ambas
condiciones.
4. x < -1  |x+1| = -(x+1) y x < 0  |x| = -x
En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser:
x < -1 y x < 0  x (; -1)
Luego:
3
|x+1| = 2 - |x|  -(x+1) = 2 - (-x)  -x -1 = 2 +x  2x = -3  x = 
2
3
Como x =  (; -1) entonces es solución de la ecuación.
2
3
1
Luego, encontramos: a =  y b =
2
2
UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas
10
Modalidad virtual
Matemática
Por lo tanto se divide al recinto en
tres:
 el primero desde
3
x  a x 1 ,
2
 el segundo desde
x 1 a x 0
 y el último de
1
x 0 a x  .
2
Resulta entonces:
1
A 
0
2 xx 1 
dx  
2 x x 1 dx
2 x x 1dx 
3 / 2
1

1
0
0
1/2
( 2 x x 1 ) dx  ( 2 x x 1 ) dx
( 2 x x 1) dx  

3 / 2
1

1/ 2
1
0
0
1/ 2
1
0
1 dx  (1 2 x ) dx
( 3 2 x ) dx  

3 / 2
2
( 3 x x )
1
3 / 2
x
0
1
2 1/2
0
( x x )
 9 9
1 1 
( 3 1 )   ( 0 ( 1 ))   
 2 4
2 4 
9
1
3
 2  1   A 
4
4
2
Luego el área de la región es;
A 
3
2
El siguiente ejemplo, se resuelve en forma similar a las anteriores. Interesa ver que no
necesariamente la curva superior es la misma en todo el intervalo de integración.
Ejemplo 7
3
2
Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de f(x) = 3x – x – 10x y
2
g(x) = -x + 2x
Solución
Comencemos buscando la intersección de las curvas. Resolvemos la ecuación:
3
2
3
2
2
3x – x – 10x = – x + 2x
Igualando a cero:
2
3x – x – 10x + x – 2x =
UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas
0  3x3 – 12 x = 0
11
Modalidad virtual
Matemática
Podemos escribir:
2
3x (x – 4) = 0
De donde es:
x = 0; x = 2; x = -2
Así las curvas se cortan en x = 0; x = 2 y x = -2
Al hacer el gráfico de la región, vemos
que

g(x) f(x) en [-2; 0]

f(x) g(x) en [0; 2]
Por lo que, para calcular el área,
necesitamos dos integrales,

una en [-2; 0] y

otra en [0; 2].
Planteamos:
0
2


A  ( f ( x ) g ( x )) dx  ( g ( x ) f ( x )) dx
2
0
Sustituyendo por f(x) y g(x);
0
A
( 3 x

2
3
x
2
10 x ) ( x
2
0

A  (3 x
2
 
( x
2 ) dx 
2
2 ) ( 3 x
3
x
2

10 x ) dx
0
2
3

12 x ) dx  ( 3 x
2
3
12 x ) dx
0
0
2
3

 3 4

A  x 4 6 x 2   
 x 6 x 2 
4
2
 4
0
3
4
2  3
4
2 
0  ( 2 ) 6 ( 2 )  ( 2 ) 6 .2 0
4
  4


12 24 ( 12 24 )
12 12 24
Por lo que el área de la región es A = 24.
UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas
12
Modalidad virtual
Matemática
INTEGRALES
PARA RECORDAR: Integrales inmediatas
x n 1
xn dx 
C; n 1
n 1
1

8
cot gx dx ln senx C

2

9

3
senx dx cos x C

10
e dx e

4
cos x dx senx C

11

a x
5
sec

12
k
dx k x  C

6
cos ec x dx 
dx cot gx C


sen x
13
k f( x ) dx k f( x) dx


7
tgx dx ln cos x C

14
( f( x ) g( x)) dx  f ( x) dx  g( x) dx

 
1
dx ln x C
x
2

cos
x dx 
2
1
2
dx tgx C
x
1
2
x
a
a x dx 
C
ln a
x
1
2
2
x
C
1
x
dx  arctg C
a
a
Propiedad de linealidad de la integral indefinida:
( f( x) g( x)) dx  f( x ) dx  g (x ) dx



METODOS DE INTEGRACIÓN
Integración por sustitución
f( g( x)) g' ( x) dx  f(u ) du


Integración por partes
u( x ) 
v ' (x ) dx u(x ) 
v ( x )  u' ( x ) 

 v(x) dx
 F( u) C
F( g( x)) C
Práctico 6 – Integrales - N OTAS
1
Modalidad virtual
Matemática
UN EJEMPLO PARA TENER EN CUENTA
INTEGRALES DEL TIPO

Cálculo de
sen x dx

2
sen x dx  senx senx dx


2
Usamos el método de integración por partes:
u = senx
v’ = senx
u’ = cosx
v = -cosx
Así:
sen x dx  senx senx dx senx cos x  cos x (cos x ) dx



senx cos x  cos x dx senx cos x  (1 sen x) dx


senx cos x  dx  sen x dx
 
senx cos x x  sen x dx

2
2
2
2
2
Luego:
sen x dx  sen x dx senx 
cos x x


1
2
sen x dx senx 
cos x x  
sen x dx  ( senx 
cos x x ) C
2
2
2
2
2
Procediendo de manera análoga es posible resolver integrales como:
e cos x dx

e senx dx

cos x dx

x
x
2
Práctico 6 – Integrales - N OTAS
2
Modalidad virtual
Matemática
INTEGRAL DEFINIDA
Integral definida. Regla de Barrow:
b
f ( x) dx F(b ) F(a )

a
PROPIEDADES
a
1
b

f( x) dx 0

4
a
b
2

a
a
f ( x) dx  f( x ) dx ; si a b


a
b
b

( f( x ) g( x )) dx  f( x) dx  g( x ) dx
a
b
c
b
a
a
c
a
f( x) dx  f (x ) dx  f( x ) dx

 
5
b
Observación
b
3

Tener en cuenta que el resultado de la integral
definida es un número real y por lo tanto puede
tomar valores negativos mientras no estemos
calculando áreas.
b

k f( x ) dx k f( x ) dx
a
a
CALCULO DE AREAS
1. Cuando la región está limitada por los ejes coordenados, se nos pueden presentar situaciones
similares a las siguientes:
b
La función es siempre
positiva en el intervalo.
A (R)  f ( x ) dx
f(x) 0 en [a; b]
a

a y b son los puntos entre los que
queremos calcular el área (límites
de la integral).
b
La función es siempre
negativa en el intervalo.
f(x)0 en [a; b]

A(R )  f (x ) dx
o
a
Habitualmente son los puntos de
intersección de la función con el
eje x.
B

bien A (R)  f (X ) dx
A
La función es a veces
positiva y a veces
negativa en el intervalo.
En la figura:
b
c


A (R )  f ( x) dx  f ( x ) dx
a
Se calculan los puntos
intersección y se calculan
integrales sucesivas
de
las
Se
de
b
En la figura:
Uno de los límites de
integración es x = 0
a

A (R)  f ( x ) dx
calcula
el
punto
intersección con el eje x
0
Práctico 6 – Integrales - N OTAS
3
Modalidad virtual
Matemática
En todos estos casos es necesario buscar la intersección de la gráfica de la función con el eje x. De este
modo obtenemos los límites de integración.
Para hallar el área de estas regiones, procedemos de la siguiente manera:
1. Calculamos los puntos de intersección de la función con el eje x.
Esto nos da el intervalo donde calculamos el área y constituyen los límites de integración.
2. Estudiar el signo de la función entre los puntos de intersección.
Esto nos permite saber si el gráfico de f se encuentra por encima del eje x (f(x) 0) o por debajo del
mismo (f(x) 0).
3. Calcular las integrales correspondientes, o bien utilizar siempre el valor absoluto para asegurarnos que el
resultado sea positivo.
Desde luego, si es posible, es mejor hacer un dibujo para saber como se comporta la gráfica en el
intervalo y así determinar área a calcular.
2. Cuando la región está limitada por la gráfica de una función, el eje de abscisas y las rectas x = a y
x = b se nos pueden presentar situaciones similares a las siguientes:
b
La función es siempre
positiva en el intervalo.
A (R)  f ( x ) dx
f(x) 0 en [a; b]
a

a y b son los puntos entre los que
queremos calcular el área (límites
de la integral)
b
La función es siempre
negativa en el intervalo.
f(x)0 en [a; b]

A(R )  f (x ) dx
o
a
B

bien A (R)  f (X ) dx
A
La
función
toma
valores positivos y
negativos
en
el
intervalo [a; b]
En la primer figura:
m

c

A (R )  f ( x) dx  f ( x) dx
a
Se calculan los puntos de
intersección, y se suman las áreas
de cada región.
m
En todos estos casos es necesario buscar la intersección de la gráfica de la función con el eje x. De este
modo obtenemos los límites de integración.
Para hallar el área de estas regiones, procedemos de la siguiente manera:
1. Calcular los puntos de intersección de la función con el eje x en el intervalo [a,b].
2.
Ordenar de menor a mayor las soluciones que están en el intervalo [a,b] . Supongamos que son
a<x1<x 2<x 3<b. Estudiar el signo de la función en los subintervalos [a,x 1], [x1 ; x2 ], [x 2; x 3 ], [x3 ; x b],
Esto nos permite saber si el gráfico de f se encuentra por encima del eje x (f(x) 0) o por debajo del
mismo (f(x) 0) en cada subintervalo.
4. Calcular las integrales correspondientes en cada subintervalo.
Desde luego, si es posible, es mejor hacer un dibujo para saber como se comporta la gráfica en el intervalo y
así determinar área a calcular.
Práctico 6 – Integrales - N OTAS
4
Modalidad virtual
Matemática
3. Cuando la región está limitada por la gráfica de dos o más funciones y/o las rectas x = a y x = b.
Se nos pueden presentar gran variedad de situaciones. Por ejemplo:
En todos los casos procedemos de esta manera:
1. Buscamos los puntos de intersección entre las curvas, que utilizaremos como límites de integración.
2. Si hay más de un punto de intersección el intervalo de integración queda dividido en subintervalos.
3. Determinar en cada subintevalo qué función queda por encima y cuál por debajo.
4. En un intervalo el área será:
b
A(R) =
( f( x ) g( x)) dx si f queda por encima de g en todo ese intervalo

a
5. Si tenemos varios subintervalos, calculamos el área en cada uno de ellos y las sumamos:
A(R) = A(R1) + A(R 2 ) +…+ A(RN )
Práctico 6 – Integrales - N OTAS
5
Modalidad virtual
Matemática
Unidad 6
INTEGRACIÓN
 Temas de la unidad
Integración. Primitivas. Métodos de integración: sustitución, partes. Cálculo de integrales
definidas. Regla de Barrow. Aplicación al cálculo de áreas y a problemas de mecánica.
 Bibliografía obligatoria
AA.VV .,
Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia
S.R.L., 1995; Capítulo IX. INTEGRALES.
 Práctico 6: Integración.
UBA XXI
Modalidad virtual
Matemática
PRACTICO 6. INTEGRALES
1. Hallá, en cada caso, una función G(x) que verifique que su
derivada es g(x):
a. g(x) = x
c. g( x) 
 CAPITULO IX
INTEGRALES
1
b. g(x) 
3
x
6
1
2
d. g(x) = 3x + x - 1
2x
3x 3  x
e. g( x ) 
x
g. g( x) e
x
f. g( x ) cos x 2
3 x
h. g( x) cos x senx x
2. Verificá si F(x) es o no una primitiva de f(x).
Recordar que F(x) es
una primitiva de f(x) si
F’(x) = f(x).
x3
a. F( x)  x 1
12
x2
f ( x)  1
4
b. F( x) senx cos x
f ( x) cos x senx
c. F( x) ln x e x
1
f ( x)  e x
x
d. F( x) senx x3
f ( x) cos x x 2
e. F( x) e 5x cos 2 t
f ( x) 5e 5 x
f. F( x) ln 6 ln e
1 1
f ( x)  
x e
3 x x
f ( x) 
ex
3
2
x
g. F( x) 
ex
3
3. Hallá g tal que:
a. g’(x) = 3x -1 y g(0) = -2
b. g’(x) = cos x y g() = 1
-1
c. g’(x) = x
y g(1) = 0
4. Resolvé, usando propiedades, las siguientes integrales directas.

a.
2x
c.
e
e.
3
x
3 x
2
 dx
x
3 senx 
t 6t
3
2
4
Practico 6. Integrales


dx
cos x 
 
1
2
1 : t6 dt
bx dx
d.
x x x x dx
b.
3
5
3
f.

e
2x
2
e
e
6x
2x
e
x
dx
2
UBA XXI
Modalidad virtual
Matemática
5. La rapidez de cambio de la temperatura T (en ºC) de una solución química se expresa
1
mediante r(t)  t 10 , donde t es el tiempo en minutos. Suponiendo que T = 5ºC en t = 0,
4
encontrá una fórmula para la temperatura T en función del tiempo.
6.a. Si el costo marginal, como función de las unidades producidas x, está dado por
C' 10 40x 12x 2 , hallá las funciones de costo total, sabiendo que 100 es el costo fijo.
b. Si la función de ingreso marginal está dada por: I' 200 30x 4 x
de ingreso total y la función de demanda.
2
3
determiná la función
7. Resolvé las integrales usando una sustitución.
a.

c.
x
e.
ex
x
2
e
cos x
2
dx
dx
2
1 e x x dx

5 2
z 2
2 y
2
e
1
y
ln2 x
b.
x
d.

3 seny 1
dx
sent cos

f.
dz
h.
dy
j.
3
ln(x 2 )
x 2
e
e3t
3t
2
CAPITULO IX

INTEGRALES
Método de
sustitución
cos y dy
4
4z
g.
i.
x3

4
t dt
dx
dt
8. Resolvé por el método por partes las siguientes integrales.
a.
e x dx

b.
ln ( x 1) dx

c.
x ln x dx

d.
( z 1) cos z dz

e.
x cos ec x dx

f.
e cos 2x dx

g.
z ln z dz
h.
(e

i.
2x
4
2

CAPITULO IX
INTEGRALES
Integración por
partes
x
2x
2 2
x ) dx
( x cos x) dx

2
Practico 6. Integrales
3
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Matemática
9. Resolvé las siguientes integrales utilizando el método de integración que sea conveniente.
a.
d.
sen2x
10 - cos x
b.
dx
1 - cos2x
(2 cos x)
3
ex
dx

e2x 4 ex 5
e.
e

senx
c.
dx
4
e (2 x 1)dx

x
senx. cos x dx
10. El ingreso marginal de una empresa está dado por la función I' 
3
x
x 2 1000
, se pide:
a. Hallá la función de ingreso, sabiendo que I(0) = 0.
b. Hallá la función de demanda.
11. La aceleración (en m/seg ) de un objeto que se mueve se expresa por a( t) sen 2 t cost .
2
En t = 0 el punto se encuentra en el origen y su velocidad es 10 m/seg. Calculá su posición
en función del tiempo.
12. Calcular las siguientes integrales definidas.
 
8
a.
/ 2

x 2 3 x 1 dx
b.
1
27
c.
1
1


3 x 

dx
3x


1

d.
2
e.

/ 2
ln ( t

0
x ln x dx

e
4

CAPITULO IX
Teorema fundamental
del cálculo.
Integral definida.
Regla de Barrow.
24
sen2 y dy
f.
1
g.
cot g y dy

/ 4
z 1 
z dz

0
5
2
1) dt
h.
x e

2
3
x
dx
13. Calculá el área de la región limitada por la gráfica de la función f y los ejes indicados:
a. f ( x) 2 x 2 4 x 6
eje x
b. f ( x) 4 x 2
eje x
c. f( x)  x 4
eje x
eje y
d. f( x ) cos x 1
eje x
eje y , x [0; ]
e. f ( x) 2 x 4
eje x
eje y
f. f( x) x 3 -x
eje x
2

x 4
g. f( x ) 

x 2 6
Practico 6. Integrales
x 0
x 0
eje x
4
UBA XXI
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Matemática
14. Calculá el área de la región limitada por las siguientes curvas.
a. y x 2 1
y x 1
eje y
b. y  x
y 2 x
eje y
c. y senx
y cos x
eje y
d. y ln x
x e
eje x
e. y x 1
y 2 x
f. y e
y e 2
x 1
y 2
x e
h. y = sen x
y=0
x = 0;
i. y = sen x cos x
y=0
x = 0;
x
x 2

g. f ( x) 1

x
x 1
x 1
2
x=

2
x=

2
2
j. y = x + 1; la recta tangente a esta curva en x = -1 y el eje y
2
k. y = -x + 15 y la recta y = -2x + 12
15. Calculá mediante integrales el área de las regiones sombreadas
Región 1
Región 3
Practico 6. Integrales
Región 2
Región 4
5
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Matemática
16. Sea la curva y = ax - x
2
a. Determiná el valor de a para que el área encerrada entre la curva y el eje de las abscisas
sea 36.
b. Representá la curva.
17. Encontrá k , k>0, para que el área de la región encerrada entre x = 0; x = k, el gráfico
7
1
de f ( x )  x 2 y el eje x sea igual a .
2
2
1
18. Calculá el área comprendida por la gráfica de f( x ) 
, x = 0; x = 1 y su asíntota
1 x 2
horizontal.
19. Sea la función f ( x) x senx y sea T la recta tangente a su gráfica en x . Determiná:
a. La ecuación de T.
b. El área encerrada entre T y los ejes coordenados
t
20. Una partícula se mueve sobre una recta coordenada con aceleración a(t) e 2 (con a en
2
cm/seg y t en seg). En t = 0 la partícula se encuentra en el origen y su velocidad es de
6cm/seg. ¿Qué distancia recorre en el intervalo [0; 4]?
21. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a
una tasa de 4000 t e 0,5 t juegos por semana, en donde t es el número de semanas
desde el lanzamiento del juego.
a. Exprese las ventas totales como una función de t
b. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras cuatro semanas?
(Tasa = velocidad o rapidez de crecimiento)
22. En una pared de 8 metros de altura, se quiere pintar de blanco la figura que encierran las
2
2
funciones f(x) = –x + 3x + 4 y g(x) = 2x - 3x + 4 ambas definidas en metros.
¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar de blanco?
Practico 6. Integrales
6
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Matemática
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 6
EJ.
RESPUESTA
EJ.
En los ejercicios 1 a 3 tenemos en cuenta que:
F(x) es una primitiva de f(x) si F’(x) = f(x).
7
1.a
x
C
7
1.b
1
1.c

2x 2
2 x
6.a
6.b
C
I(x) = x. Q(x), donde x es el precio y Q(x), la
cantidad demandada.
Q
x 200 10x 2 x 3
C
x2
x 3  x C
2
1.e
x3 2 x C
1.f
senx 2 x C
3
e x  x2 C
2
2
3. a
3.b
3.c
Integrales por sustitución
7.a
1
3
e
x3
C
3
(hacer u = x )
3
7.b
7.c
x2
senx cos x 
C
2
7d
2.a
SI
2.e
SI
2.b
NO
2.f
NO
2.c
SI
2.g
SI
2.d
NO
------
------
3 2
x x 2
2
g
x  senx 1
7.e
7.f
7.g
g
x 
7.h
g
x ln x
ln x
C
3
(hacer u = lnx)
2
sen x C
3 3
2

seny 1 C
2
(u=
1
( u e
(e
3
x2
3
1) C

7.i
7.j
1 4 3
x  2 ln x C
2
x
1
2
e
e
3t
2 y
1 )
2
(u = z +2)
5
C
( u ln( x 2 ) )
 y C
( u e
 C
2
15
x2
( u cos t )

4 4 ln(x 2)
x)
( u seny 1 )
1
C
2 cos 2 t
5 5 2
4
 z 2 C
2
5
En los ejercicios 4, 5 y 6 usamos:
 la tabla de integrales inmediatas, y
 la propiedad de linealidad de la integral indefinida:
4.a

I(x )  I' ( x)dx
IT(x) 200 x 10x 3 x 4
1.d
1.h

C( x)  C' ( x)dx
C( x ) 10 x 20 x 2 4 x 3 100
2
1.g
RESPUESTA
2 y
)
5
( u e 3t 2 )
Integración por partes
8
4.b
4.c
4.d
4.e
4.f
5
33 b 3
x C
8
8.a
e x 3 cos x tgx C
11
6 6
3
x  x
11
10
10
3
2
 x
5
5
2
1
 x 4 C
4
1
6
1
 2   5 C
t
2t
5t
1 4x
1
x  e  x C
4
e
1
T
t  t 2 10 t 5
8
Matemática - Respuestas Práctico 6
8.b
8.c
8.d
8.e
1 2x  1 
2x
e x  C
(u = x; v’= e )
2
 2
x ln( x 1)  x ln(x 1) C
(u = ln (x+ 1); v’= 1)
1 5
1
x ln x  C
5
5

(z+1).sen z + cos z + C
(u = ln x; v’= x 4)
(u = z+1; v’= cos z)
x(cot gx ) ln(senx) C
1
( u = x; v' cosec 2 (x) 
)
sen 2 x
1
UBA XXI
EJ.
8.f
EJ.
RESPUESTA
12.e
1 x
(e cos 2x 2 ex sen2x)C
5
(u = cos 2x; v’ = ex)
8.g
2
3
3
z2
4

ln z 
9
3
z2
e
x e
4x
2
RESPUESTA
3

4
17504
15
(Ver en notas
sen x dx )

2
(hacer la sustitución z+1 = u con lo
que z = u -1)
x e
2x
12.f
C
(u = ln z; v’ =
8.h
Modalidad virtual
Matemática
2x
1
z 2
z
)
1
1
 e 2 x  x 5 C
2
5
12.g

ln 2 2 
2
12.h
74e 5 2 e 2
Cálculo de áreas
Sugerencia: Resolver el cuadrado.
1 3
1 1

x 2 x senx 2 cos x   sen2 x xC
3
2 2

8.i
9.a
9.b
Sugerencia: Resolver el cuadrado y usar la
cos 2x 1
sustitución:
 cos 2 x
2
10 cot g x 
3 (2 cos
1

x) 3
1
C
senx
64
(R ) 
3
13.b
32
(R ) 
3
13.c
16
(R ) 
3
+C
-x
9.c
- e (2x+3) + C
9.d
arctg ( e
9.e
13.a
senx
e
x
2 ) C
(senx – 1) + C

I( x )  I' (x )dx
10.a
13.d
2
3
I (x) = ( x 2 1000) 3 75
4
(R) 
I(x) = x. p(x), donde x es el precio y p(x) la
función de demanda.
10.b
p 
11
3
4x
2
(x
2
1000) 3 
13.e
75
x
3
(R) 
8
ln 2
1 
1
2

e( t)  cos t  cos t 10 t 
3 
3
9

Integral definida. Regla de Barrow
4097
12.a
12.b
Sugerencia: Distribuir x
30
ln
13.f
2
1
(R) 
2
2
2
12.c
-48
12.d
1 
4 5
 e  
25
25


Sugerencia: Considerar
b
a
a
b
13.g
100
(R) 
3
f( x) dx  f ( x) dx ; si a b


Matemática - Respuestas Práctico 6
2
UBA XXI
EJ.
Modalidad virtual
Matemática
RESPUESTA
EJ.
RESPUESTA
14.a
1
(R) 
6
14.j
1
( R) 
3
5
(R) 
6
14.k
32
( R) 
3
(R)  2 1
15.a
20
( R) 
3
15.b
9
( R) 
2
15.c
( R) 2 ln 3
14.b
14.c
14.d
(R) 1
14.e
14.f
14.g
14.h
3
(R) 
2
( R) 2e 2 e 1
15.d
4
( R) 
15
16
a=6
5
4
(R)  2 2e 
3
3

( R) 
4
17
k=
18
14.i
1
( R) 
2
Matemática - Respuestas Práctico 6
3
21

( R) 
4
3
UBA XXI
EJ.
19.a
19.b
20
Modalidad virtual
Matemática
RESPUESTA
T : y 
x 2
EJ.
RESPUESTA
21.b
Aproximadamente 16 juegos.
22
2
Hay que pintar 4m de blanco.
3
(R) 
2
4e 2 12 41,56
En el intervalo [0; 4] recorre aproximadamente 41,56
cm.
21.a
V(t) = 2 e 0,5t ( t 1)
Matemática - Respuestas Práctico 6
4