Modalidad virtual Matemática INTEGRALES Hasta aquí estudiamos el concepto de derivada, donde se desarrolló cómo, a partir de una función f ( x ) ,es posible buscar otra función f ( x ) a la que se denomina su función derivada. En este apartado plantearemos el problema inverso. Dada una función f ( x ) , determinaremos (cuando sea posible) otra función F ( x ) de modo tal que la derivada de F ( x ) sea f ( x ) , es decir: F ( x ) f ( x ) . Por el hecho de estar procediendo en forma inversa es que muchos llaman a este proceso antiderivación. También se dice que F ( x ) es una primitiva de f ( x ) , expresión que nosotros adoptaremos. Definición Si para todos los puntos de un intervalo real a , b se verifica que F ( x ) f ( x ) , entonces F( x ) es una primitiva de f ( x ) sobre dicho intervalo. Ejemplo 1. Calcular una primitiva de f ( x ) cos x Solución De la definición se desprende que es necesario encontrar una función F ( x ) tal que, F ( x ) cos x Sabemos que la función seno tiene por derivada a la función coseno, de modo que ( senx )cos x F( x ) senx Luego Pero, senx no es la única primitiva de cosx, ya que cualquier función como senx + 2 ; senx - 10 da la función cos x al ser derivada. Y en general, lo será cualquier expresión de la forma F( x ) senx k , con k una constante numérica arbitraria. Ejemplo 2 Hallar una primitiva de f(x) = 2x Solución Usando nuevamente la definición, queremos encontrar una función F(x) tal que F ( x ) 2 x 2 2 Sabemos que F(x) = x cumple con esta condición pues (x )’ = 2x. UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales 1 Modalidad virtual Matemática Luego es F(x) = x 2 2 Nuevamente observamos que F(x) = x no es la única primitiva de 2x, pues también lo son, 2 2 F(x) = x + 5 ; F(x) = x – 10 2 Y, en general, lo será cualquier expresión de la forma F(x) = x + k, con k una constante numérica arbitraria. De los ejemplos, se deduce que si F(x) y G(x) son dos primitivas distintas de f(x), entonces existe un número real k, distinto de cero, tal que F(x) = G(x) + k. Es decir, que si F y G son dos primitivas distintas de f, sólo difieren en una constante. Lo enunciamos mediante: Propiedad 1: Si F ( x ) y G( x ) son dos funciones primitivas distintas de la misma función f ( x ) sobre el intervalo real a, b , su diferencia es una constante. Definición Si F( x ) es una primitiva de f ( x ) , la expresión F( x ) k se denomina integral indefinida de la función f ( x ) . Indicamos la integral indefinida de f(x) en la forma siguiente f ( x ) dx De acuerdo con la definición resulta f ( x ) dx En la expresión F ( x ) k f ( x ) dx se denomina integrando a la función f(x) d(x) se lee diferencial x y sirve para identificar a x como la variable de integración. Así, escribimos 2x dx x 2 k para indicar la integral indefinida de la función f(x) = 2x integrando. UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales y la función f(x) = 2x es el 2 Modalidad virtual Matemática Ejemplo 3 Verificar si F ( x ) es o no una primitiva de f ( x ) en cada caso. 1 e x x a) F ( x ) ln x e x f( x) b) F( x ) senx x 3 f ( x ) cos x x 2 Solución Para verificar que F ( x ) es primitiva de f ( x ) es necesario probar que F ( x ) f ( x ) . F ( x ) ln x e x ; a) f( x ) 1 x e x 1 x e F' ( x ) f ( x ) x Luego; F( x ) es primitiva de f ( x ) . F' ( x ) F ( x ) senx x 3 ; f ( x ) cos x x 2 b) F' ( x ) cos x 3 x 2 F' ( x ) f ( x ) Luego; F( x ) es primitiva de f ( x ) . Observación: No toda función f ( x ) definida sobre un intervalo real a , b admite primitiva, ya que dada una función puede no existir otra que la tenga por derivada. Por otra parte la integral indefinida representa una familia de funciones y F ( x ) k , cuyas gráficas se obtienen mediante desplazamientos (verticales) de la curva y F ( x ) sobre el eje de ordenadas y. En el gráfico mostramos algunos 2 ejemplos de la familia F(x) = x + k. 2 f(x) = 2x F(x) = x + k UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales 3 Modalidad virtual Matemática Como las primitivas de una función difieren solo en una constante, a veces es posible, determinar una solución particular, conocido el valor de F(x) para un x0 determinado. Por ejemplo, Ejemplo 4 2 En la familia F(x) = x + k sólo una de estas curvas pasa por el punto (1; 3). Para determinar esta curva utilizamos la siguiente información 2 F(x) = x + k y F(1) = 3 Podemos entonces escribir: 2 F(1) = 3 1 + k = 3 k = 2 Por tanto obtenemos la solución particular: 2 F(x) = x + 2 Propiedades de la integral indefinida 1. La derivada de una integral indefinida es el integrando f ( x ) . f ( x ) dx ' F ( x ) k ' f ( x ) 2. La integral indefinida de la suma algebraica de dos o varias funciones es igual a la suma algebraica de sus integrales indefinidas. f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx 3. La integral indefinida del producto de una constante por una función es igual al producto de dicha constante por la integral indefinida de la función. a f ( x ) dx a f ( x ) dx A partir de la reglas de derivación, es posible elaborar una tabla de primitivas. La validez de esta tabla puede verificarse inmediatamente, solo se trata de mostrar que la derivada de las funciones que aparecen en la columna correspondiente a la primitiva es igual a la función correspondiente en la columna denominada función. FUNCIÓN PRIMITIVA FUNCIÓN PRIMITIVA 0 k cosx senx 1 x senx - cosx x n 1 n 1 sec 2 x tgx xn ( n 1 ) 1 x ln | x | ex ex a x UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales x a ln a 1 1 x 1 2 1 x 2 1 1 x 2 arc senx arc cosx arc tgx 4 Modalidad virtual Matemática Tanto las propiedades como la tabla nos permiten hallar la integral indefinida de algunas funciones. Al proceso mediante el cual se obtiene la integral indefinida se denomina integración. Mostramos algunos ejemplos en los que, salvo cálculos algebraicos, podemos integrar, utilizando directamente las propiedades y la tabla de primitivas. Ejemplo 5. Hallar las primitivas de las siguientes funciones: a) f(x) = 3x b) 1 g( x ) 3 x c) h( x ) 3 x cos x Solución a) f(x) = 3x Observamos que f(x) es el producto de una constante por una función. Integramos usando la propiedad 3x Para hallar a f ( x ) dx a f ( x ) dx dx 3 x dx x dx , tenemos en cuenta que x = x 1 por lo que una de sus primitivas es 1 1 1 x 1 1 1 2 x 2 Entonces 3x dx 3 x dx = 3. 1 2 3 x C x 2 C 2 2 1 b) g ( x ) x3 1 x 3 dx . Buscamos G(x) = anterior, escribimos. Por lo que es 1 x3 Para poder usar la misma regla que en el ejemplo x 3 1 x 3 dx x 3 dx Y resolvemos: 1 3 3 dx x x 1 2 1 x 1 3 1 dx x C 3 1 2 C C 2 2x UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales 5 Modalidad virtual Matemática c) h( x ) 3 x cos x Como h es una suma de funciones usamos la propiedad, f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx Podemos escribir: ( 3 x cos x ) dx 3 x dx cos x dx La integral del primer sumando la resolvimos en el ejemplo 1, Y como una primitiva de cos x es sen x, nos queda: ( 3 x cos x ) dx 3 x dx cos x dx 3 x 2 senx C 2 Recordemos que se puede comprobar si el resultado es correcto con solo derivarlo. En los siguientes ejemplos, es necesario realizar transformaciones algebraicas antes de integrar. Ejemplo 6. Calcular las integrales: a) x 2 1 x dx b) 1 x x 2 dx Solución a) x 2 1 x dx Para poder usar las propiedades, escribimos el integrando, distribuyendo el denominador: x 2 1 x 2 1 1 x x x x x Entonces es; x 2 1 x 1 dx x dx x Como el integrando es una suma de funciones hacemos; x 2 1 1 x dx dx x dx x La integral del primer sumando ya la encontramos y la del segundo es ln|x| Luego: x 2 1 1 x2 dx x dx dx ln x C x x 2 UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales 6 Modalidad virtual Matemática 2 b) 1 x dx x Como no tenemos ninguna regla que nos dé la primitiva de una función de este tipo, primero desarrollamos el cuadrado. 2 2 1 1 1 x x 2 2 x x x x 1 x x 2 2 x x 1 1 x 2 2 x 2 x (Recordar que x x 1 1 x .x 2 x 2 ) De este modo podemos escribir; 2 1 2 x 1 2 x 2 dx = x 1 x x dx Y como el integrando es ahora una suma de funciones, resulta: x2 1 1 1 1 2 x 2 dx x 2 dx dx 2 x 2 dx x x Integramos cada sumando y obtenemos: 1 2 x 1 2 x 2 x 1 1 dx 1 x 3 ln x 2 1 x 2 C 1 3 1 2 3 1 3 4 x ln x x 2 C 3 3 Ejemplo 7 Calcular las primitivas de las siguientes funciones. a) h( y ) y 3 y 2 4 x b) m( t ) cos t sent t 2 2 c) g(y) = y y 3 Solución Observamos que estas funciones no están definidas para “x”, lo que debemos tener en cuenta en el momento de integrar. 3 2 a) h( y ) y y 4 x En este caso la variable de integración es y, “x” opera como una constante. Luego vamos a calcular: (y UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales 3 y 2 4 x ) dy 7 Modalidad virtual Matemática Como es una suma de integrales, escribimos: y 2 4 x ) dy y 3 dy y 2 dy 4 xdy (y3 E integramos: 1 1 1 y 3 dy y 2 dy 4 xdy x 4 x 1 ( 2 ) 4 xy C 4 1 ( 2 ) 1 4 1 x 4 xy C 4 x b) m ( t ) cos t sent t La función m está definida para t, luego al integrar lo haremos respecto a esta variable. (cos t sent t ) dt Aplicamos la propiedad de la integral para la suma de funciones: (cos t sent t ) dt cos t dt sent dt t dt Y directamente usando la tabla de integrales: cos t dt sent dt t dt sent cos t 2 c) g(y) = y 2 y 3 Buscamos: 2 2 y dy y 3 Para poder resolver, distribuimos y y 1 t 2 C 2 2 2 3 2 y dy y y dy 3 3 2 Y usamos las propiedades de la integral para la suma de funciones y del producto de una constante por una función. Luego, podemos integrar usando la tabla. 2 2 y dy 3 2 y 3 dy y dy 3 1 2 1 y 4 . y 2 C 4 3 2 1 4 1 2 y y C 4 3 3 y dy y y 2 3 Observación: En este ejemplo, el integrando es el producto entre dos funciones. Como no existe una propiedad que nos permita calcular directamente la integral del producto, tenemos que transformarlo realizando las operaciones indicadas. UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales 8 Modalidad virtual Matemática Ya hemos visto que conocida una familia de primitivas, podíamos encontrar una solución particular conociendo el valor de una de ellas en un punto particular de su dominio (ejemplo 4). En los siguientes ejemplos, utilizamos nuevamente este concepto. Ejemplo 8. Si f es una función de x tal que f’(x) = 8x – 4 y además es f(2) = 5. Encontrar f. Solución. Como nos dan la derivada de f, para encontrarla tenemos que integrar 8x – 4. f ( x ) ( 8 x 4 )dx 8 x dx 4 dx 8 . 1 2 x 4 x C 2 f ( x ) 4 x 2 4 x C Para determinar el valor de C, usamos que f(2) = 5 reemplazando en la expresión que encontramos para f. f ( 2 ) 5 4 2 2 4 .2 C 5 16 8 C 5 C 5 16 8 C 3 Al reenlazar C por – 3 en f hallamos la función que buscamos: f ( x ) 4 x 2 4 x 3 Si recordamos que conocida la ecuación de la trayectoria de un móvil podemos calcular, mediante derivadas sucesivas, la velocidad y la aceleración en un tiempo t, veremos ahora cómo conocida la aceleración o la velocidad del móvil, podemos determinar su trayectoria en cada instante t. Ejemplo 9 Desde una altura de 144 metros se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad inicial 2 de 60 m/seg y con aceleración a(t) = -10 (donde a se mide en m /seg) Encontrar la función que expresa la altura (h) en función del tiempo. Solución Para encontrar la función que expresa la altura (h) en función del tiempo, veamos qué datos tenemos y cómo los relacionamos. o La altura desde donde se lanza el objeto, altura inicial, h 0 = 144 metros. En este momento t = 0 o Velocidad inicial: v 0 = 60 m/seg. En este momento t = 0 o La función que nos da la aceleración: a(t) = -10 UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales 9 Modalidad virtual Matemática Luego para encontrar la altura en función del tiempo, h(t) debemos primero calcular la velocidad, integrando a y evaluarla en v0 (esto es para cuando es t = 0) y luego volver a integrar para encontrar h(t) Lo hacemos. Calculamos primero la velocidad v(t) v ( t ) a( t )dt 12 dt 12t C Como para t = 0 es v0 = 60 reemplazando podemos hallar el valor de C. v ( 0 ) 60 12.0 C 60 C 60 Luego es v(t) = -12 t + 60 Buscamos h(t) h( t ) v ( t ) dt ( 12 t 60 ) dt 12 2 t 60 t C 2 6 t 2 60 t C Como sabemos que para t = 0 es h0 = 144, hallamos C. h( 0 ) 144 6.0 2 60.0 C 144 C 144 Resulta que la altura que alcanza el objeto en el tiempo t está dada por: h( t ) 6 t 2 60 t 144 También hemos estimado la velocidad de crecimiento de una población utilizando la derivada de la función que nos da el número de individuos en un instante dado. Ahora, nos ocuparemos del problema inverso, conocida la velocidad de crecimiento eb un instante dado, determinar la población inicial. Ejemplo 10 La velocidad de crecimiento de una población de bacterias está dada por la función v(t) = 800 + 200 e t donde v representa el número de bacterias (por miles) después de t horas. Si la población (N) es de 40000 bacterias cuando han transcurrido 5 horas, determinar la función que permita calcular el número de bacterias en cada instante de tiempo t. Solución: Como la velocidad de crecimiento la encontramos derivando la función que nos da el número de individuos al transcurrir el tiempo (N (t)), para encontrar N(t) debemos integrar la función expresada por v(t). Además conocemos que a las 5 horas de iniciado el proceso es v(5) = 40000. Esto nos permite determinar N(t) para cualquier instante t. UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales 10 Modalidad virtual Matemática Entonces integramos v(t) para hallar N(t) t N( t ) v ( t ) dt ( 800 200 e )dt . t 800 dt 200 e dt 800 t 200 e t C Con lo que resulta que la expresión que nos permite calcular la cantidad de bacterias en un tiempo t es: t N(t) = 800 t + 200 e + C . Pero en esta expresión, debemos hallar C. Por lo que utilizamos el dato N(5) = 40000 5 N(5) = 40000 800 .5 + 200 e + C = 40000 4000 + 200 e + C = 40000 5 C = 40000 – 4000 – 200 e 5 C 36000 – 148 C 35852 Por lo que N(t) es t N(t) = 800 t + 200 e +35852 . Vemos finalmente algunas aplicaciones a la economía. Ejemplo 11. Si el costo marginal, como función de las unidades producidas x, está dado por C' 10 40 x 12 x2 , hallar la función de costo total, sabiendo que $100 es el costo fijo. Solución Para determinar la función costo total calculamos la integral indefinida siguiente: C( x ) 10 40 x 12 x 2 dx (Recordemos que el costo marginal es la derivada de la función costo total) C ( x ) 10 dx 40 x dx 12 x 2 dx 10 x 40 x2 2 12 x3 3 k 10 x 20 x 2 4 x 3 k Debemos determinar k. Para ello usamos el dato del costo fijo, esto es para x = 0, C(0) = 100 Por lo tanto: C(0) = 100 10.0 20.0 2 4.0 3 k = 100 k = 1’00 Luego, la función que nos da el costo total es C ( x ) 10 x 20 x2 4 x 3 100 UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales 11 Modalidad virtual Matemática Ejemplo 12. ' Si la función de ingreso marginal está dada por I ( x ) 200 30 x función de ingreso total y la función de demanda. 2 4 x 3 determinar la Solución ' Nuevamente debemos integrar la función de ingreso marginal I ( x ) para encontrar el ingreso total I(x). I(x) = = I ( x )dx = 200 30 x2 ' 200 dx 4 x 3 dx 30 x2 dx 4 x3 dx 3 4 = 200x – 10 x + x + k Como se sabe que si se demandan 0 unidades el ingreso es cero (I(0 = 0) entonces podemos encontrar la constante k. I(0) = 0 0 0 10 0 3 0 4 k 0 Por lo que k = 0 Luego, 3 I(x) = 200x – 10 x + x 4 Para encontrar la función de demanda, recordemos que I(x) = p(x) . x donde p es el precio por unidad y x es la cantidad demandada. Por lo tanto 3 4 I(x) = 200x – 10 x + x = p(x) . x De donde p( x ) UBA XXI – MÁTEMATICA - Integrales 200 x 10 x3 x4 p ( x ) 200 10 x 2 x 3 x 12 Modalidad virtual Matemática MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Nos ocuparnos ahora del problema de calcular f ( x )dx cuando no es factible encontrar, en forma más o menos inmediata, la función primitiva F( x ) . Para ello, desarrollaremos algunos métodos de integración que consisten en reducir la integral buscada a una integral más sencilla. Método de sustitción En ciertos casos es posible efectuar una sustitución de la variable de integración por una función de otra variable. Comenzamos planteando algunos ejemplos. Ejemplo 1. Calculamos (x 2 2 1 ) 2 x dx Solución 2 Observamos que la derivada de x + 1 es 2x. luego si hacemos: g ( x ) x 2 1 se obtiene g ' ( x ) 2 x Por lo que 2 2 (x + 1) 2x = f(g(x)).g’(x) 2 2 Analicemos f(g(x)) = (x +1) ya que g’(x) = 2x Vemos que la función f toma las imágenes de g y las eleva al cuadrado. 2 1 3 x es una primitiva de f resulta: 3 1 ( x 2 1 )2 2 x dx F ( g ( x )) C ( x2 1 )3 C 3 Luego f(x) = x y como F(x) = Ejemplo 2 Calculamos ahora 5 cos 5 x dx Solución ' Como es (5x) 5 , podemos hacer: g(x) = 5x y g’(x) = 5dx Por lo que 5 cos 5 x = f(g(x)).g’(x) Como 5 es la derivada de g; f(g(x)) = cos 5x. ¿Y cuál es la función f? No es más que f(x) = cosx Por lo que una primitiva de f es F(x) = senx UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 1 Modalidad virtual Matemática Luego 5 cos 5 x dx F( g ( x )) C sen5 x C En general, una forma más sencilla de resolver integrales en donde el integrando es una función compuesta, consiste en efectuar una sustitución de la variable de integración por una función de otra variable. Veamos cómo hacerlo, retomando el ejemplo anterior. Ejemplo 3. Calcular 5 cos 5 x dx Solución. Si hacemos 5x = u, podemos expresar cos 5x como cos u. Y además sabemos que cos u du senu C Con lo que para calcular la integral pedida podemos sustituir 5x por u. Pero como la nueva variable es u, en la integral resultante debe figurar du y no dx. Asumiendo que, si u = g(x), entonces es du = g’(x) dx, es; ’ du = (5x) dx = 5 dx Luego, sustituyendo resulta: 5 cos 5 x dx cos u du senu C Pero, debemos expresar el resultado en función de x. Como u = 5x, reemplazando, 5 cos 5 x dx sen5 x C Ejemplo 4 Calcular a) e 4 x dx b) ln x x dx Solución Como la integral e u du Con lo que: u e 4x e u C podemos hacer u = e 4x du 4 e 4x dx Sustituyendo en la integral dada, resulta: 1 u 1 e 4 x dx e du 4 4 4x Y reemplazando u = e 1 4x 4x e dx e C 4 du 4x e dx 4 1 e u du e u 4 C UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 2 Modalidad virtual Matemática (ln x )2 dx x b) Empecemos por escribir la integral de la siguiente manera (ln x )2 x 1 x (ln x ) dx 2 dx De este modo es fácil advertir la presencia de la función ln x y su derivada 1 . x Lo cual nos sugiere hacer el cambio de variable: 1 u ln x du dx x Luego es: 2 (ln x ) 1 1 3 2 2 dx (ln x ) dx u du u C x x 3 Y volviendo a sustituir, es; 2 (ln x ) 1 3 dx (ln x ) C x 3 Observación: Podemos generalizar los resultados hallados en este ejemplo y utilizarlos en la resolución de integrales. eax dx e ax k a n 1 (ln x )n (ln x ) dx x n 1 C (Recordar que (ln x ) n ln n x ) Veamos otro ejemplo: Ejemplo 5 Calcular x 2e x 3 dx Solución Si elegimos z x 3 , tenemos que dz 3 x 2 dx dz x 2 dx . 3 A partir de lo cual es posible sustituir en la integral dada y resulta que: x2 e x 3 3 dz dx e z , 3 1 e z dz . 3 3 1 Por lo tanto: x 2 e x dx e z C . 3 Ahora solo queda volver a la variable original. 3 3 1 x 2 e x dx e x C 3 es decir: x 2 ex dx UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 3 Modalidad virtual Matemática Generalicemos este procedimiento. Sea x g ( t ) , con g una función derivable. Luego su diferencial es: dx g ( t ) dt . Al sustituir en la integral obtenemos: f ( x ).dx f ( g ( t )).g ( t ).dt Observación: es importante recordar que una vez resuelta la integral en función de la nueva variable (“t” o cualquier otra), es necesario volver a sustituir dicha variable en la primitiva para que esta quede expresada en función de la variable original. Para aplicar el método de sustitución en integrales de la forma f ( g ( x )).g ( x ).dx , es conveniente seguir los siguientes pasos. 1. Elegir una sustitución u = g(x). 2. Hallar du = g’(x) dx 3. Reescribir la integral dada en términos de u. 4. Hallar la integral resultante en u. 5. Sustituir u por g(x) para obtener la primitiva en términos de x 6. Verificar la respuesta por derivación Ejemplo 6 Resolver mediante una conveniente sustitución las siguientes integrales indefinidas. a) sent cos 3 t dt b) 4z 5 2 z 2 3t dz c) e e3 t 2 4 dt Solución: En la resolución de este ejemplo, seguiremos los pasos enunciados. Les dejamos la tarea de verificar la respuesta por derivación. En cada caso, usamos distintas variables de integración y de sustitución. a) sent cos 3 t dt Elegimos z = cost por lo que dz = - sent dt Al sustituir resulta. 3 3 sen t cos t dt z dz 3 z dz Y usando las reglas de integración, z 2 z 2 k k 2 2 Por lo que encontramos la integral en función de z. Debemos volver a sustituir z por cost: sent cos 3 t dt UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 1 1 2 (cos t ) k k 2 2 2 cos t 4 Modalidad virtual Matemática b) 4z 5 2 z dz 2 Hacemos la sustitución y z 2 2 , por lo que es dy 2 z dz dy dz 2 Y sustituimos en la integral original 4z 1 dy dz 4 5 y 2 5 2 z 2 1 1 1 1 y 5 reemplazamos para poder aplicar las reglas de 5 y y5 integración inmediatas. Como es 4z 5 2 z dz 4 2 1 dy dy 4 y 5 5y 2 2 1 1 4 1 1 1 y 5 C 2 . y 5 C 1 4 1 5 5 4 2 4 4 1 5 5 y C y 5 C 4 2 5 2 . Volvemos ahora a hacer la sustitución y z 2 2 . 5 2 z 2 c) e3t e3 t 24 4 4 5 55 2 dz ( z 2 2 ) 5 C z 2 C 2 2 4z dt Si elegimos z e 3t 2 entonces es: dz 3 e 3t dt dz 3 e 3t dt Reemplazando resulta: e 3 t dt e3 t 2 4 1 dz 1 3 3 5 5 z 4 z 4 dz 1 z z C C 3 5 15 Ahora, hacemos nuevamente el cambio de variables y llegamos al resultado. e 3 t dt e3t UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 2 4 1 ( e 3 t 2 ) 5 C 15 5 Modalidad virtual Matemática Podemos usar el método de sustitución para hallar la integral de funciones conocidas. Ejemplo 7. Calcular: tgx dx a) b) sen2 t dt Solución a) tgx dx senx Como tgx , hacemos cos x senx tgx dx dx cos x Y si z cos x dz senx dx Sustituyendo: senx 1 tgx dx dz cos x dx z ln z C Volviendo a nuestra variable original: tgx dx ln(cos x ) C b) sen2 t dt Hacemos la sustitución u = 2t, por lo que es du = 2dt y du dt 2 Sustituyendo:: 1 1 sen 2 t dt sen u du cos u C 2 2 Y cambiando nuevamente la variable: cos 2 t sen 2 t dt UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 2 C 6 Modalidad virtual Matemática Metodo de Integrración por partes Este método se utiliza a menudo cuando el integrando está compuesto por el producto de dos funciones, aunque esta condición no es necesaria ni suficiente. Consideremos la función producto w, donde w ( x ) u ( x ) v( x ) Entonces: u ( x ) v ' ( x ) dx u( x ) v ( x ) v ( x ) u' ( x )dx Habitualmente se utiliza una expresión equivalente a esta que resulta de hacer los siguientes cambios de variables: u( x ) u u' ( x ) dx du v( x ) v v' ( x ) dx dv Por lo que la expresión anterior también suele escribirse: u dv u v v du Apliquemos el método a un ejemplo: Ejemplo 8 Calcular x.e 2 x dx Solución Observemos primero que para resolver esta integral no podemos hacerlo inmediatamente usando la tabla de integrales, y tampoco podemos usar el método de sustitución. Vamos a resolverla utilizando el método de partes. El problema está en decidir cuál es la función que consideramos u(x) (la función ’ que queremos derivar) y cuál la que consideramos v (x) (la función que queremos integrar). 2x Vemos que si derivamos o integramos e no modificamos, salvo en una constante, la integral que nos dan (¿por qué?). ’ Pero no sucede lo mismo con x ya que si la derivamos, es (x) = 1 y si la 1 2 integramos, una primitiva es x . 2 Parece entonces que podemos simplificar el cálculo haciendo: u =x 2x dv = e dx Por lo que es: du 1 Entonces, remplazando en v e 2 x dx e2 x 2 u dv u v v du , nos queda e2 x e 2x x e 2 x dx x dx 2 2 Y en consecuencia: x e 2x 2x e 2x 1 e2x e dx x C 2 2 2 2 UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 1 x C 2 7 Modalidad virtual Matemática Ejemplo 9 Hallar x ln x dx 2 Solución En este caso no tenemos muchas dudas, ya que si bien sabemos derivar la función ln x no sabemos integrarla. Nos convendrá entonces, hacer: 1 u = lnx con lo que du dx x x3 2 dv = x dx con lo que v x 2 dx 3 Luego; es; x 2 ln x dx ln x 3 3 x x 1 . dx 3 3 x 3 ln x x 1 3 3 ln x x 1 1 3 x C 3 3 3 x dx 2 3 Resulta: x 2 ln x dx ln x ¿Y cuál es la x3 1 3 x C 3 9 ln x dx ? Veamos cómo calcularla. Ejemplo 10 Calcular ln x dx Solución. Como hicimos antes, y ya que nos dio resultado, hagamos: 1 u = lnx con lo que du dx x Y llamemos dv = dx con lo que v dx x Con lo que es; 1 ln x dx x ln x x. dx x x ln x dx x ln x x C Resulta entonces; ln x dx x ln x x C UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 8 Modalidad virtual Matemática En la práctica el proceso de elegir una expresión para u y otra para dv no es siempre sencilla y no existe una técnica general para efectuar dicho proceso. Sin embargo, existe una regla que establece una especie de prioridad entre las distintas clases de funciones. La regla es conocida comúnmente con el nombre de ILPET (iniciales de Inversa 1 Trigonométrica, Logarítmica, Potencial, Exponencial, Trigonométrica) . Se aplica de la siguiente forma: Si en el integrando aparece una función exponencial y otra logarítmica, se asigna u a la función logarítmica. una función trigonométrica y una potencial, se asigna u a la función potencial. En general, elegimos siempre u como la función situada más a la izquierda en ILPET. De todos modos, si nos equivocáramos en la elección, al utilizar la regla nos encontraríamos (en el segundo miembro) con una integral mucho más difícil o imposible de resolver. Ejemplificamos su uso: Ejemplo 11 Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes. a) ( 5 3 x )e x dx b) ( z 1 ) cos z dz c) y arc tg y dy Solución Recordemos que queremos usar la regla ILPET. De acuerdo con ello, siempre tomaremos como u la función cuya inicial está más a la izquierda en la sigla. a) ( 5 3 x ) e x dx Vemos que tenemos en el integrando; La función potencial está más a la izquierda en ILPET. Por lo que nos conviene hacer: u = 5 – 3x con lo que du = -3 dv e x dx con lo que v e x dx e x Luego es; ( 5 3 x ) e x dx ( 5 3 x ) ( e x )( 3 )dx ( 5 3 x ) 3 e x dx Por lo que; ( 5 3 x ) e x dx ( 5 3 x ) 3 e x C 1 Existen otras reglas nemotécnicas similares LIATE, ALPES, que pueden ayudar en la elección de u y dv. UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 9 Modalidad virtual Matemática b) ( z 1 ) cos z dz Nos conviene tomar: u = z+ 1 por lo que es du = dz dv = cos z dz por lo que es v cos z dz senz De este modo es; c) y arc tg ( z 1 ) cos z dz ( z 1 ) senz senz dz ( z 1 ) cos z dz ( z 1 ) senz cos z k y dy Elegimos 1 u = arc tg y con lo que es; du dy 2 1 y 1 2 dv = y dy con lo que es v y 2 Luego: 1 1 y arc tg y dy y 2 .arc tg y 2 2 Observemos que la 1 2 y y2 dy 1 y 2 2 dy no tiene una integral inmediata. 2 1 y Vamos a calcularla, haciendo una transformación algebraica. Si escribimos el numerador sumando y restando 1, así: y 2 y 2 1 1 (1 y 2 ) 1 Luego; 1 2 y2 1 dy 2 2 1 y UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración y 2 1 1 1 dy 2 2 1 y (1 y 2 ) 1 dy 1 y 2 10 Modalidad virtual Matemática Y distribuyendo el denominador. 1 2 1 2 ( 1 y 2 ) 1 1 y 2 1 y 2 dy 1 1 dy 1 y 2 1 1 dy dy 2 2 1 y De este modo las integrales que nos quedaron en el paréntesis son inmediatas: Luego es: 1 2 y 1 2 1 dy dy 2 2 2 1 y 1 y 1 dy ( y arc tg y ) 2 Reemplazando en 1 1 y arc tg y dy y 2 .arc tg y 2 2 y2 dy 1 y 2 Tenemos que: y arc tg 1 2 1 y dy y .arc tg y ( y arc tg y ) C 2 2 Algunas integrales requieren integrar por partes más de una vez. En estos casos hay que tener cuidado en mantener las sustituciones en las sucesivas aplicaciones. Ejemplo 12 x 2 senx dx Calcular Solución Para resolver hacemos la sustitución 2 u = x , du = 2x dx dv = senx dx; v senx dx cos x Entonces, x senx dx x 2 2 cos x 2 x cos x dx ( cos x ) ( cos x ) 2 x dx x 2 La integral que nos queda como sumando no es inmediata y debemos usar nuevamente el método de integración por partes. UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 11 Modalidad virtual Matemática Respetamos las sustituciones hechas con anterioridad (la función potencial sigue siendo u y la trigonométrica el dv ) u = x; du = dx dv = cos x dx; v cos x dx senx Sustituyendo en x senx dx x 2 cos x 2 x cos x dx x 2 cos x 2 x senx senx dx 2 x 2 cos x 2 x senx cos x C x 2 cos x 2 x senx 2 cos x C Resulta entonces; x senx dx x 2 2 cos x 2 x senx 2 cos x C Ejemplo 13 e cos x dx x Calcular Solución Sea, x x u = e ; du = e dx dv = cos x ; v cos x dx senx Luego: e cos x dx e x x senx e x senx dx Volvemos a integrar por partes la integral que nos quedó en el segundo miembro. x x u = e ; du = e dx dv = sen x ; v senx dx cos x Por lo que; x x x x e cos x dx e senx e ( cos x ) ( cos x )e dx e x cos x dx e x senx e x cos x cos x e x dx Por lo que nuevamente, deberíamos integrar por partes. Pero, en vez de seguir, observamos que UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 12 Modalidad virtual Matemática Por lo que no nos conviene seguir integrando, ya que volveríamos a tener las mismas integrales, una y otra vez. En vez de hacerlo, sumamos cos x e xdx = e x cos x dx a ambos miembros de la igualdad y obtenemos: e cos x dx e cos x dx x x e x senx e x cos x Operando: 2 e x cos x dx e x senx e x cos x Si dividimos miembro a miembro por 2, encontramos la integral que queríamos calcular. e x cos x dx x x e senx e cos x C 2 Otras integrales que se resuelven en forma similar son: e x senx dx e x sen 2 x dx e x cos 2 x dx A veces, al integrar por partes, necesitamos hacer una integración por sustitución. Ejemplo 14 x cos ec 2 x dx Calcular Solución Elegimos: u = x; du = dx dv = cosec x dx; v cos ec 2 x dx cot g x 2 Sustituyendo resulta: x cos ec 2 x dx x cot g x cot g x dx x cos ec 2 cos x senx x dx x cot g x dx (1) La integral que nos queda sumando no es una integral inmediata. Debemos resolverla por sustitución. Calculémosla. UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 13 Modalidad virtual Matemática cos x senx dx Hacemos la sustitución z senx dz cos x dx cos x senx 1 dz ln z C z dx Volviendo a la variable x: cos x senx dx ln | senx | C Listo!!! Ahora reemplazamos en (1) x cos ec 2 x dx x cot g x ln | senx | C Observación Como pueden ver a través de los ejemplos que les hemos propuesto, integrar es un poco más difícil que derivar y requiere de bastante práctica. La ventaja que tiene, es que podemos verificar si los resultados a los que se llega son correctos, con solo derivarlo. Esta es una buena práctica, que les dejamos para hacer. UBA XXI – MÁTEMATICA - Métodos de integración 14 Modalidad virtual Matemática INTEGRAL DEFINIDA En esta sección vamos a trabajar con el concepto de integral definida. Si bien su cálculo está muy ligado con la integral indefinida, su origen y desarrollo son anteriores y se encuentran estrechamente relacionados con la noción de área. Es este camino el que usaremos para introducir su definición. Ejemplo 1. Consideremos la función f dada por f(x) = x y sea A(x) para x > 0, el área encerrada entre la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta vertical que tiene por abscisa el valor x. Utilizando la fórmula que nos da el área del triángulo, tenemos x2 A( x ) 2 Observamos que en este caso A’(x) = x = f(x) Esto es, el área A es una primitiva de f. En particular si b = 3, es A(2) = 32 4 ,5 2 Ejemplo 2 Consideremos ahora la función dada por 1 f ( x ) x 1 y consideremos A(x) siendo 2 x > -2, el área encerrada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta vertical que tiene por abscisa el valor x. El área de la región es: 1 1 A( x ) ( x 2 ) x 1 2 2 De donde operando obtenemos; x2 A( x ) x 1 4 Aquí también encontramos que el área es una primitiva de f, es decir: ' x 2 1 A' ( x ) x 1 x 1 f ( x 4 2 En los dos ejemplos, vemos que el área de la región limitada por la gr áfica de f, el eje de abscisas y una recta vertical de abscisa x, es una primitiva de f. A(x) = F(x) es decir A’(x) = f(x) UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 1 Modalidad virtual Matemática En los ejemplos anteriores, el área A, la calculamos simplemente aplicando la fórmula que da el área de un triángulo, pues la gráfica de f era una recta. Podemos ahora preguntarnos, si podemos calcular el área cuando la gráfica de la función no es una recta. El siguiente teorema nos da la respuesta. Terorema fundamental del cálculo Consideremos una función continua y positiva f: [a; b] . Para cada x [a; b], definimos A(x) como el área comprendida entre el gráfico de f y el eje de abscisas en el intervalo [a; b] Gráficamente, En estas condiciones podemos enunciar el siguiente teorema: Definción de integral definida ' La función A(x) es una primitiva de f. Es decir A ( x ) f ( x ) Definimos la integral definida mediante el número A b a A f ( x )dx Donde a “a” y “b” se los llama límites de integración. Nos planteamos ahora el problema de calcular la integral definida. Nos ayudamos con un ejemplo. Ejemplo 3. Calculemos el área que encierra la función f(x) = x, las rectas x = 1 y x = 3 y el eje de abscisas. Vimos en el ejemplo 1, que el área encerrada por f(x) = x, el eje de abscisas y la recta vertical que tiene por abscisa x es x2 A( x ) 2 Si la recta vertical es x = 3 tenemos el siguiente gráfico: UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 2 Modalidad virtual Matemática El área la calculamos reemplazando en A(x) por x = 3. 32 A( 3 ) 4 ,5 2 Si a este triángulo le restamos el triángulo en rojo, obtenemos el trapecio del que partimos. Y podemos también calcular el área de este triángulo, haciendo x = 1 12 A (1 ) 0 ,5 2 De este modo el área del trapecio es: A(3) – A(1) = 4, 5 – 0,5 = 4 Es decir que el área limitada por f(x) = x y el eje x en el intervalo [1; 3] es el incremento de la función A al pasar de x = 2 a x = 4. Si recordamos que el área de la región es una primitiva de la función f este es, A(x) = F(x) podemos escribir: F(3) – F(1) = A(3) – A(1) = 4, 5 – 0,5 = 4 Si generalizamos para un intervalo [a; b] tendremos: A = F(a) – F(b) b Como además dijimos que A = f ( x ) dx a Tendremos que el área del trapecio en el intervalo [a; b] es b A= f ( x ) dx F( b ) F ( a ) a Generalizamos, lo hecho en el ejemplo, mediante la siguiente regla, que nos permite calcular la integral definida en un intervalo [a; b] Regla de Barrow Si F( x ) es una primitiva de la función continua f ( x ) , se verifica que: b f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) a UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 3 Modalidad virtual Matemática Usamos la regla de Barrow en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4 2 Calcular x dx 1 Solución: x2 Ya sabemos que una primitiva de x es F ( x ) 2 Luego por la regla de Barrow, podemos escribir: 2 2 2 12 3 2 2 2 x dx = F(2) – F(–1) = 1 Al aplicar la regla de Barrow es conveniente la siguiente notación. b f ( x ) dx F( x ) b a F( b ) F ( a ) a Propiedades de la integral definida 1. El factor constante se puede extraer fuera del signo de la integral definida. b b a a a.f ( x )dx a. f ( x )dx 2. La integral definida de la suma algebraica de dos o más funciones es igual a la suma algebraica de las integrales definidas de cada una de las funciones sumandos. b b b a a a ( f ( x ) g ( x )).dx f ( x )dx g ( x )dx 3. Si se invierten los límites de integración, la integral definida cambia de signo. a b f ( x )dx f ( x )dx b a 4. Si f está definida para x = a entonces, a f ( x )dx 0 a 5. Para tres números arbitrarios a, b y c se verifica la igualdad: b c b a a c f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx 6. Si en el segmento [a, b] se verifica que f ( x ) g ( x ) , entonces: b b f ( x )dx g ( x )dx a UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida a 4 Modalidad virtual Matemática Para calcular las integrales definidas se procede en forma similar a las integrales indefinidas. Ejemplo 5 Calcular las siguientes integrales definidas. 3 a) (6 x 2 5 ) dx b) 2 (1 senx ) dx 8 c) 0 x x 1dx 2 3 1 Solución Resolvemos las integrales aplicando la regla de Barrow. 3 a) (6 x 2 5 ) dx 2 3 (6 x 2 2 3 6 x 3 5 ) dx 5 x 3 2 6 .3 3 6 ( 2 ) 3 5 .3 5( 2 ) 3 3 ( 54 15 ) ( 16 10 ) 45 3 Luego, (6 x 2 5 ) dx 45 2 b) ( 1 senx ) dx 0 (1 senx ) dx ( x cos x ) 0 ( cos ) 0 ( 0 cos 0 ) ( 1 ) 1 2 Resulta: (1 senx ) dx = 2 0 8 c) x x 1 dx 2 3 1 Comencemos tratando de escribir el integrando de otra manera. 1 7 x 2 ( 3 x 1 ) x 2 ( x 3 1 ) x 3 x 2 Por lo que es 8 x 2 3 x 1 dx 1 UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 8 7 x 3 x 2 1 dx 5 Modalidad virtual Matemática 8 10 8 3 3 x x 3 3 10 1 x x3 10 3 3 10 1 3 1 3 10 3 1 3 3 10 1 8 10 8 3 1 13 3 10 3 3 1 3 1 2 10 8 3 .1 .1 10 3 10 3 3.1024 512 3 1 10 3 10 3 3072 512 3 1 10 3 10 3 3.3072 10.512 3.3 10 30 4097 30 8 Luego; 1 4097 x 2 3 x 1 dx 30 Ejemplo 6 Sabiendo que 5 3 5 0 1 3 f ( x )dx 6 ; f ( x )dx 1 y f ( x )dx 3 calcular; 1 a) f ( x )dx 0 3 b) 3 f ( x )dx 1 c) 5 4 3 0 f ( x )dx f ( x )dx 2 1 Solución En este ejercicio, interesa que usemos las propiedades de la integral definida. Consideremos el intervalo en que está definida la integral y la información que tenemos sobre ella en ese intervalo. Nos ayudamos con un gráfico: UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 6 Modalidad virtual Matemática Si usamos la propiedad 5, podemos escribir 5 1 3 5 0 0 1 3 f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx De esta suma, sólo nos falta conocer la integral en el intervalo [0; 1]. La calculamos. 1 a) f ( x )dx 0 Si reemplazamos los datos que tenemos en la suma, nos queda: 1 6 f ( x )dx 1 3 0 Con lo que es: 1 1 6 1 3 f ( x )dx 2 f ( x )dx 0 0 3 b) 3 f ( x )dx 1 Ya que el factor constante se puede extraer fuera del signo de la integral definida, podemos escribir: 3 3 3 f ( x )dx 3 f ( x )dx 1 1 3 Conocemos que la integral f ( x )dx 1 es: 1 3 3 1 1 3 f ( x )dx 3 f ( x )dx = 3.1 = 3 c) 5 4 3 0 f ( x )dx f ( x )dx 2 1 Reescribimos la integral, utilizando propiedades: 5 3 4 1 f ( x )dx f ( x )dx 2 0 3 1 1 f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx 2 0 3 1 5 De este modo podemos usar los datos del problema y el resultado del ítem a). Luego: 5 4 f ( x )dx 2 f ( x )dx 3 UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 0 1 1 3 9 3 ( 2 1 ) 3 2 2 2 7 Modalidad virtual Matemática Cambio de variable en integrales definidas. Recordemos que dada f ( g ( x )).g' ( x )dx , si F es una primitiva de f, y F( g ( x ) ) es una primitiva de f ( g ( x )).g' ( x ) entonces es: f ( g ( x )).g' ( x )dx = F(g(x)) + C Recordemos además que para resolver este tipo de integrales, recurrimos al método de sustitución o cambio de variables. Nuestro problema consiste ahora en calcular la integral definida b f ( g ( x )).g' ( x )dx a prestando atención a los límites de integración. Vamos a ver que podemos hacerlo de dos maneras: La primera consiste en calcular la integral definida f ( g ( x )).g' ( x )dx = F(g(x)) + C Y evaluarla en los límites de integración, con lo que es: b f ( g ( x )).g' ( x )dx F ( g ( b )) F ( g ( a )) a La segunda, consiste en cambiar los límites de integración. En este caso, al hacer la sustitución u = g(x) y du = g’(x) dx, también se cambian los límites de integración teniendo en cuenta: o Si x = a; es u = g(a) o Si x = b; es u = g(b) Por lo que resulta: b g( b) a g( a) f ( g ( x )).g ' ( x )dx f ( u ) du F ( g ( b ) ) F ( g ( a )) El siguiente ejemplo lo resolvemos utilizando las dos formas. Ejemplo 7 3 Calcular x (x 2 3 5 2 ) dx 2 Solución. UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 8 Modalidad virtual Matemática Si usamos la primera forma, debemos calcular la integral indefinida y luego evaluarla en los limites de integración: Entonces calculamos: x (x 2 3 2 ) 5 dx 3 2 Haciendo u = x + 2 es du = 3x dx; du x 2 dx 3 Por lo que: x (x 2 1 5 2 ) dx 3 3 u du . u 3 6 1 1 5 6 1 6 C u C 18 Volviendo a la variable x, x (x 2 3 1 2 ) 5 dx ( x 3 2 )6 C 18 3 2 ) dx = Así; 3 2 x (x 5 2 3 1 ( x3 2 ) 6 18 2 1 1 3 6 3 6 ( 3 2 ) (( 2 ) 2 ) 18 18 1 6 6 ( 29 ( 6 ) ) 18 1 ( 594823321 46656 ) 18 594776665 18 Luego: 3 x (x 2 3 2 594776665 2 ) 5 dx 18 Si usamos la segunda forma, hacemos el cambio de variables y cambiamos los límites de integración. 3 x (x 2 3 2 ) 5 2 3 2 Haciendo u = x + 2 es du = 3x dx; du 3 2 x dx , y además: 3 Si x = 3; u = 3 + 2 = 29 3 Si x = -2; u = (-2) + 2 = - 6 Por lo que es: UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 9 Modalidad virtual Matemática 3 2 x (x 3 2 ) 1 3 5 2 29 6 1 u 5 du u 6 18 1 ( 29 6 ( 6 ) 6 ) 18 594776665 18 3 x (x 2 29 6 Luego: 594776665 2 ) 5 18 3 2 Como se ve, cualquiera sea la forma que elegimos, llegaremos al mismo resultado. Si se elige la segunda forma de resolución, hay que ser cuidadosos y hacer la sustitución de los límites de integración. Si esto no se hace, el ejercicio está mal resuelto. Ejemplo 8: / 2 ctg y dy Calcular / 4 Solución: Comencemos rescribiendo el integrando / 2 / 2 ctg y dy / 4 cos y dy seny / 4 De este modo podemos hacer la sustitución u = sen y ; du = cos y dy Lo resolvemos de las dos formas: En la primera, comenzamos calculando la integral indefinida y después evaluamos en los límites de integración: dy du ln u C seny u cos y 1 Por lo que es: dy ln( seny ) C seny cos y Luego es; / 2 / 2 ctg y dy / 4 UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida / 2 cos y dy ln( seny ) seny / 4 / 4 10 Modalidad virtual Matemática ln sen lnsen 2 4 2 2 ln 1 ln 0 ln 2 1 ln 2 2 1 2 Por lo que / 2 ctg y dy ln 2 2 1 / 4 / 2 Resolvemos / 2 ctg y dy seny dy cos y / 4 por la segunda forma. / 4 Esto es, haciendo la sustitución u = sen y ; du = cos y dy, lo que implica reemplazar los limites de integración. Si x ; u sen 1 2 2 2 Si x ; u sen 4 4 2 Luego, / 2 / 2 ctg y dy / 4 seny cos y 1 dy / 4 ln 1 ln 0 ln 2 1 ln 2 2 u 1 2 /2 du ln u 1 2 /2 2 2 1 2 Por lo que / 2 ctg y dy ln 2 2 1 / 4 UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 11 Modalidad virtual Matemática El método de integración por partes y la integral definida. Para integrar una función expresada como producto de otras dos, y donde no podemos aplicar el método de sustitución,usamos el método de integración por partes. En el caso de las integrales definidas también podemos hacerlo, prestando nuevamente atención a los límites de integración. b u ( x ) v ' ( x ) dx u ( x ).v ( x ) b a b u' ( x) v ( x ) dx a a Resolvemos algunos ejemplos. Ejemplo 9 1 Calcular ( x 2 ).e x .dx 0 Solución Usando el método de partes, buscamos una primitiva. Elegimos, u = x + 2, por lo que es du = dx dx e x dv = e dx , por lo que es v e x x Calculamos ahora la integral definida: 1 (x 2 ).e x .dx ( x 0 1 e dx e 1 2 ).e x 0 x 0 ( x 2 ).e x 1 x 1 0 0 Y ahora sustituimos por los límites de integración 1 0 1 0 = (1 + 2) e – (0 + 2) e – (e – e ) = 3e – 2 – e + 1 = 2e – 1 Por lo que es: 1 ( x 2 ).e .dx 2 e 1 x 0 UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 12 Modalidad virtual Matemática Ejemplo 10. 2 Calcular x ln x 2 dx 1 Solución Escribamos la integral de esta manera: 2 2 ln x dx x dx x ln x 2 1 2 1 1 Luego buscamos la primitiva de x ln x 2 dx utilizando el método de partes, y una vez que la hallamos, reemplazamos por los límites de integración. Vimos que en las funciones que contienen logaritmos, nos conviene llamar u a la función logaritmo. Luego: u = ln x, es 1 dv = x2 du = 1 dx x dx entonces v 1 x2 1 dx x 1 x Entonces, buscamos la primitiva de la función y evaluamos. 1 1 ln x dx dx x dx x x x x ln x 1 dx x x ln x 2 1 ln x 2 ln x x 1 x 1 (ln x 1 ) x Y volviendo a la integral definida: 2 x ln x 2 1 2 1 1 1 dx (ln x 1 ) (ln 2 1 ) (ln 1 1 ) x 2 1 1 1 (ln 2 1 )1 2 1 1 ln 2 1 2 2 1 1 ln 2 2 2 Luego: UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 13 Modalidad virtual Matemática 2 x ln x 2 1 1 1 dx ln 2 2 2 Observación: en este ejemplo, preferimos calcular la integral indefinida y luego aplicar la regla de Barrow al resultado de la misma. Ejemplo 11. 1 Calcular arcsenx dx 0 Solución Nuevamente utilizamos el método de integración por partes. Primero vamos a buscar una primitiva y luego reemplazamos por los límites de integración. Como conocemos la derivada de arcsenx, a esta función la llamamos u. Hacemos: 1 u = arcsenx, por lo que du = dv = dx; por lo que es v = 1 x 2 dx dx x Luego tenemos; 1 x x arcsenx dx x . arcsenx 2 dx (1) Observemos que en el segundo miembro, la integral no es inmediata, nos conviene resolverla por sustitución. Luego, en 1 x x 2 dx hacemos; t = 1 – x , por lo que es dt = -2xdx; 2 dt x dx 2 Sustituyendo en la integral, 1 x x 2 1 dx 2 1 . 2 1 1 dt 2 t 1 2 dt t 1 1 1 t 2 C 1 1 2 1 1 .2 t 2 C 2 t C Volviendo a la variable x, es: UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 14 Modalidad virtual Matemática 1 x x 2 dx 1 x 2 C Ahora, en la integral indefinida que dejamos en (1) reemplazamos, arcsenx dx x . arcsenx ( 1 x 2 ) x .arcsenx 1 x 2 Ya tenemos una primitiva, ahora podemos escribir: 1 arcsenx dx ( x.arcsenx 1 x 2 ) 1 0 0 Y sustituimos, 1 arcsenx dx = (1. arcsen1 + 1 1 ) – (0. arcsen 0 + 1 0 ) 0 (arcsen1 quiere decir el ángulo cuyo seno es 1. En el dominio de la función, esto ocurre si el ángulo es y arcsen 0 es el ángulo cuyo seno es cero, esto ocurre si 2 el ángulo es cero) 1 arcsenx dx = 0 UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 1 2 15 Modalidad virtual Matemática CALCULO DE ÁREAS Recordemos que Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado {a; b] el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b es: b a Área f ( x ) dx Recordemos también que el área es siempre mayor o igual que cero. Por lo que, buscar el área de una región en un intervalo dado, a veces, no significa calcular directamente la integral definida en ese intervalo. Ejemplo. Dibujar la gráfica asociada a cada integral definida y calcular el área de la región que queda delimitada. 3 a) 3 4 dx b) 1 ( x 2 ) dx 0 Solución 3 a) 4 dx 1 La expresión de la función f, es f(x) = 4. Su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas. Además, la integral está definida en el intervalo [1; 4] por lo que la región está limitada por las rectas x=1yx=4 Por lo que la gráfica de f es la que se muestra. Como f es positiva en todo el intervalo, calculamos el área, resolviendo la integral definida. 3 3 A ( x ) 4 dx 4 x 1 1 4( 3 1 ) 8 Luego el área de la región es de 8 unidades. UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 1 Modalidad virtual Matemática 3 b) ( x 2 ) dx 0 La función f tiene por fórmula f(x) = x + 2. Su gráfica es una recta. Además la región está limitada por las rectas x = 0 y x = 3. Al ser f positiva en el intervalo [0; 3] calculamos el área mediante: A( x ) 3 3 1 ( x 2 ) dx x 2 2 x 2 0 0 1 3 2 2.3 0 2 9 21 6 10,5 2 2 Luego el área de la región es A = 10, 5 unidades. Ejemplo 2 Calcular el área limitada por la curva de f(x) = x, el eje x en el intervalo [-1; 1] Solución 1 En este caso es erróneo apresurarse y calcular el área mediante x.dx . Si lo hacemos 1 1 obtendríamos que x.dx = 0 1 Sin embargo, si graficamos la función, observamos que en el intervalo [-1; 0] la función es negativa. En este caso, al ser la función identidad (f(x) = x) simétrica respecto al origen de coordenadas, podemos calcular el área en el intervalo [0; 1] y multiplicar por 2. 1 A 2. 0 2 x x .dx 2 1 0 1 2 2 1 0 2. 2 2 1 1 2 . 0 2. 1 2 2 Luego, el área del la región es A = 1. Vemos otro ejemplo, en el que si nos apresuramos podemos calcular mal el área. UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 2 Modalidad virtual Matemática Ejemplo 3 2 Calcular el área de la región limitada por f(x) = x – x – 2, el eje de abscisas y las rectas x = -1 y x = 2. Solución 2 Podríamos pensar que A = (x 2 x 2 )dx . Veamos qué pasa si calculamos 1 directamente esta integral. 2 (x 2 1 2 1 1 x 2 )dx x 3 x 2 2 x 2 3 1 1 1 1 1 .2 3 .2 2 2.2 ( 1 )3 ( 1 ) 2 2( 1 ) 2 2 3 3 8 1 1 2 4 2 3 3 2 10 7 13 3 6 6 Al calcular directamente la integral vemos que llegamos a un número negativo, lo que contradice que debe ser A 0 en ese intervalo. Para entender lo qué pasó, nos ayudamos con un gráfico. Como vemos en el intervalo [-1; 2] la función es negativa. Pero si consideramos la función g(x) = -f(x) en el mismo intervalo, resulta que la gráfica de g es positiva y simétrica de f respecto al eje de abscisas. Por lo que el área de la región es: 2 A g ( x ) dx 1 2 ( x 2 x 2 )dx 1 13 13 6 6 En definitiva, calcular el área de una región en un intervalo, no es simplemente calcular la integral definida en ese intervalo. En los siguientes ejemplos, procederemos a calcular el área de una región limitada por la gráfica de una función y uno o más ejes (rectas horizontales y/o verticales) UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 3 Modalidad virtual Matemática Ejemplo 4. Calcular el área de las regiones limitadas por las gráficas de las funciones y los ejes indicados. 1 3 a) f(x) = 6x – 6x en el intervalo ; 2 2 b) y ln x ; x = e y el eje x Solución 3 a) f(x) = 6x – 6x en el intervalo 1 ; 1 2 Comenzamos por dibujar la región. 1 Observamos que en el intervalo ; 1 2 la gráfica corta al eje de abscisas en x = 0 y x = 1. 1 Además en el intervalo ; 0 f es negativa, por lo que en este intervalo, 2 1 calculamos el área de la región limitada por g(x) = - f(x) y las rectas x = ; x = 0 2 0 ( 6 x 6 x A1 = 3 )dx 1 / 2 Mientras que en el intervalo [0; 1] la función es mayor o igual que cero. En este intervalo es: 1 A2 = ( 6 x 6 x 3 )dx 0 Entonces el área de la región es 0 A = A1 + A 2 = ( 6 x 6 x 1 3 )dx + 1 / 2 ( 6 x 6 x 3 )dx 0 Calculamos entonces el área: 0 ( 6 x 6 x A= 1 3 )dx + 1 / 2 ( 6 x 6 x )dx 1 3 3 )dx ( 6 x 6 x )dx 1 / 2 0 0 1 4 1 2 6 x 6 x 4 2 1 / UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 3 0 0 A ( 6 x 6 x 1 2 1 4 1 2 6 x 6 x 4 2 0 4 Modalidad virtual Matemática 0 1 6 2 6 4 3 x 2 x 4 3x x 4 4 1 / 2 0 21 3 32 2 69 32 Luego el área de la región es A = 69 unidades de área (aproximadamente 2, 15625 32 unidades de área) b) y ln x ; x = 1; x = e y el eje x Comenzamos por graficar la región. La función f(x) = ln x es no negativa en el intervalo [1; e] por lo que el área de la región es: e A ln x dx 1 Ya hemos visto que para resolver la integral ln x dx se usa el método de integración por partes (ver anexo) y además que es ln x dx = x ln x – x + C Luego podemos escribir: e A ln x dx x ln x x 1 e 1 Sustituyendo: A ( e ln e e ) (1 ln 1 1 ) ( e .1 e ) ( 0 1 ) 1 Por lo que el área de la región es A=1 UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 5 Modalidad virtual Matemática Ejemplo 5 Calcular el área limitada por el eje x y la gráfica de 2 x 4 f ( x ) x 2 6 x 0 x 0 Solución Representemos la región Para hallar los puntos de intersección de f (x) con el eje x (y = 0) se intersecan cada una de las funciones que son parte de la definición de f(x) y se toman los valores de x que corresponden a x 0 o x < 0 respectivamente. 1. x 2 4 0 x 2 4 x 2 x 2 x 2 Se descarta x 2 pues no es x 0 2. x 2 6 0 x 2 6 x 2 6 x 2 6 x 4 x 8 Se descarta x 4 pues no es x < 0. 0 Por lo tanto: A 2 0 x 2 6 dx 0 x 2 8 4 dx 0 Como la función valor absoluto no es integrable directamente se descompone la integral en dos partes. Si x 2 x 2 x 2 0 x 2 x 2 x 2 x 2 6 x 2 6 x 2 6 x 8 Si x 2 x 2 0 x 2 x 2 x 2 6 x 2 6 x 2 6 x 4 Resulta entonces, 2 A 0 x 8 dx x x 4dx 2 8 2 A 2 2 0 0 2 x x 8 dx x 4 dx 8 UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 2 4 dx 2 4 dx 0 6 Modalidad virtual Matemática 2 0 2 x 2 x2 x3 A 8 x 4 x 4 x 2 8 2 2 3 0 ( 2 )2 ( 8 )2 02 A 8 ( 2 ) 8 ( 8 ) 4 0 2 2 2 ( 2 )2 23 03 4 ( 2 ) 4 2 4 0 2 3 3 8 100 A 2 16 32 64 2 8 8 3 3 Luego es: 100 A 3 Observación Para calcular el área de la región limitada por curvas o segmentos de rectas es posible dividir a la región en dos (o más) sectores, cada uno de los cuales tiene por medida del área . Por lo tanto puede calcularse el área total mediante una suma de integrales A y A definidas (área de cada sector) y por la propiedad de aditividad del área tendremos el área de la región total. Además, en el caso de que la función sea simétrica respecto del origen de coordenadas o del eje de ordenadas y, es posible calcular el área de la región cuya área es Ay multiplicar por dos siempre que el intervalo de integración sea también simétrico:[-a; a]. A continuación calcularemos el área de regiones limitadas por las gráficas de dos o más funciones. UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 7 Modalidad virtual Matemática ÁREA ENTRE DOS CURVAS El cálculo del área de un recinto limitado por dos curvas como las que muestra la figura puede pensarse como la diferencia de dos áreas. La primera corresponde al área del recinto limitado por la curva que está por encima (y=g(x)), el eje x y las rectas x = a, x = b y la segunda es el área del recinto limitado por la curva que está por debajo (y=f(x)), el eje x y las rectas x = a, x = b. b A g ( x ) f ( x ) dx a Obsérvese que g ( x ) está por encima de f ( x ) , y es por eso que la diferencia en la integral es g ( x ) f ( x ) . Ejemplo 6 Calcular el área de las regiones limitadas por las gráficas de las funciones indicadas. a) b) y x ; y 2 x y eje y. y senx , y cos x y eje y c) y x 1 e y 2 x Solución a) y x ; y 2 x y eje y . Calculamos la intersección de ambas gráficas igualando las funciones: x 2 x x ( 2 x ) 2 x 4 x 2 4 x x 2 4 x 4 4 0 x 2 5 x 4 0 x 1 x 4 pero x 4 no es solución. Por lo que el intervalo en que está definida la región es [0; 1]. Hacemos el gráfico de la región. Vemos que en ese intervalo, la recta queda por encima de la gráfica de x . Por lo que el área es: 1 A ( 2 x ) x )dx 0 UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 8 Modalidad virtual Matemática La calculamos 1 A 0 3 1 1 2 ( 2 x ) x ) dx 2 x x 2 x 2 2 3 0 3 1 2 1 2 2 2 2.0 .0 0 2 2 3 2 3 12 3 4 6 6 6 5 6 5 Luego es A = 6 b) y senx , y cos x y eje y Calculamos la intersección de las dos curvas: senx cos x senx 1 tgx 1 x arctg 1 x cos x 4 Y graficamos la región Luego: / 4 A (cos x senx ) dx 0 / 4 A ( senx cos x ) 0 sen cos sen 0 cos 0 4 4 2 2 ( 0 1 ) 2 1 2 2 Luego es A 2 1 c) y x 1 e y 2 x Comencemos por graficar la región. Para hallar a y b igualamos ambas funciones: x 1 2 x Recordamos que: UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 9 Modalidad virtual Matemática |x + 1| |x| x + 1 0 x+1<0 x 0 x< 0 x -1 |x+1| = x+1 x < -1 |x+1| = -(x+1) x 0 |x| = x x<0 |x| = -x Entonces para resolver la ecuación debemos plantearnos los siguientes casos: 1. x -1 |x+1| = x+1 y x 0 |x| = x 2. x -1 |x+1| = x+1 y x < 0 |x| = -x 3. x < -1 |x+1| = -(x+1) y x 0 |x| = x 4. x < -1 |x+1| = -(x+1) y x < 0 |x| = -x Resolvemos: 1. x -1 |x+1| = x+1 y x 0 |x| = x. En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser: x -1 y x 0 x 0 x [0; +) Luego: |x+1| = 2 - |x| x + 1 = 2 – x 2x = 2 -1 x = Como x = 1 2 1 [0; +) es una solución de la ecuación. 2 2. x -1 |x+1| = x+1 y x < 0 |x| = -x En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser: x -1 y x < 0 -1 x < 0 x [-1;0) Luego: |x+1| = 2 - |x| x + 1 = 2 – (– x) x + 1 = 2 + x 1 = 2 Concluimos que en el intervalo [-1;0) la ecuación no tiene solución. 3. x < -1 |x+1| = -(x+1) y x 0 |x| = x En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser: x < -1 y x 0 Pero, no existe ningún número real que cumpla simultáneamente ambas condiciones. 4. x < -1 |x+1| = -(x+1) y x < 0 |x| = -x En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser: x < -1 y x < 0 x (; -1) Luego: 3 |x+1| = 2 - |x| -(x+1) = 2 - (-x) -x -1 = 2 +x 2x = -3 x = 2 3 Como x = (; -1) entonces es solución de la ecuación. 2 3 1 Luego, encontramos: a = y b = 2 2 UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 10 Modalidad virtual Matemática Por lo tanto se divide al recinto en tres: el primero desde 3 x a x 1 , 2 el segundo desde x 1 a x 0 y el último de 1 x 0 a x . 2 Resulta entonces: 1 A 0 2 xx 1 dx 2 x x 1 dx 2 x x 1dx 3 / 2 1 1 0 0 1/2 ( 2 x x 1 ) dx ( 2 x x 1 ) dx ( 2 x x 1) dx 3 / 2 1 1/ 2 1 0 0 1/ 2 1 0 1 dx (1 2 x ) dx ( 3 2 x ) dx 3 / 2 2 ( 3 x x ) 1 3 / 2 x 0 1 2 1/2 0 ( x x ) 9 9 1 1 ( 3 1 ) ( 0 ( 1 )) 2 4 2 4 9 1 3 2 1 A 4 4 2 Luego el área de la región es; A 3 2 El siguiente ejemplo, se resuelve en forma similar a las anteriores. Interesa ver que no necesariamente la curva superior es la misma en todo el intervalo de integración. Ejemplo 7 3 2 Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de f(x) = 3x – x – 10x y 2 g(x) = -x + 2x Solución Comencemos buscando la intersección de las curvas. Resolvemos la ecuación: 3 2 3 2 2 3x – x – 10x = – x + 2x Igualando a cero: 2 3x – x – 10x + x – 2x = UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 0 3x3 – 12 x = 0 11 Modalidad virtual Matemática Podemos escribir: 2 3x (x – 4) = 0 De donde es: x = 0; x = 2; x = -2 Así las curvas se cortan en x = 0; x = 2 y x = -2 Al hacer el gráfico de la región, vemos que g(x) f(x) en [-2; 0] f(x) g(x) en [0; 2] Por lo que, para calcular el área, necesitamos dos integrales, una en [-2; 0] y otra en [0; 2]. Planteamos: 0 2 A ( f ( x ) g ( x )) dx ( g ( x ) f ( x )) dx 2 0 Sustituyendo por f(x) y g(x); 0 A ( 3 x 2 3 x 2 10 x ) ( x 2 0 A (3 x 2 ( x 2 ) dx 2 2 ) ( 3 x 3 x 2 10 x ) dx 0 2 3 12 x ) dx ( 3 x 2 3 12 x ) dx 0 0 2 3 3 4 A x 4 6 x 2 x 6 x 2 4 2 4 0 3 4 2 3 4 2 0 ( 2 ) 6 ( 2 ) ( 2 ) 6 .2 0 4 4 12 24 ( 12 24 ) 12 12 24 Por lo que el área de la región es A = 24. UBA XXI – MÁTEMATICA - Cálculo de áreas 12 Modalidad virtual Matemática INTEGRALES PARA RECORDAR: Integrales inmediatas x n 1 xn dx C; n 1 n 1 1 8 cot gx dx ln senx C 2 9 3 senx dx cos x C 10 e dx e 4 cos x dx senx C 11 a x 5 sec 12 k dx k x C 6 cos ec x dx dx cot gx C sen x 13 k f( x ) dx k f( x) dx 7 tgx dx ln cos x C 14 ( f( x ) g( x)) dx f ( x) dx g( x) dx 1 dx ln x C x 2 cos x dx 2 1 2 dx tgx C x 1 2 x a a x dx C ln a x 1 2 2 x C 1 x dx arctg C a a Propiedad de linealidad de la integral indefinida: ( f( x) g( x)) dx f( x ) dx g (x ) dx METODOS DE INTEGRACIÓN Integración por sustitución f( g( x)) g' ( x) dx f(u ) du Integración por partes u( x ) v ' (x ) dx u(x ) v ( x ) u' ( x ) v(x) dx F( u) C F( g( x)) C Práctico 6 – Integrales - N OTAS 1 Modalidad virtual Matemática UN EJEMPLO PARA TENER EN CUENTA INTEGRALES DEL TIPO Cálculo de sen x dx 2 sen x dx senx senx dx 2 Usamos el método de integración por partes: u = senx v’ = senx u’ = cosx v = -cosx Así: sen x dx senx senx dx senx cos x cos x (cos x ) dx senx cos x cos x dx senx cos x (1 sen x) dx senx cos x dx sen x dx senx cos x x sen x dx 2 2 2 2 2 Luego: sen x dx sen x dx senx cos x x 1 2 sen x dx senx cos x x sen x dx ( senx cos x x ) C 2 2 2 2 2 Procediendo de manera análoga es posible resolver integrales como: e cos x dx e senx dx cos x dx x x 2 Práctico 6 – Integrales - N OTAS 2 Modalidad virtual Matemática INTEGRAL DEFINIDA Integral definida. Regla de Barrow: b f ( x) dx F(b ) F(a ) a PROPIEDADES a 1 b f( x) dx 0 4 a b 2 a a f ( x) dx f( x ) dx ; si a b a b b ( f( x ) g( x )) dx f( x) dx g( x ) dx a b c b a a c a f( x) dx f (x ) dx f( x ) dx 5 b Observación b 3 Tener en cuenta que el resultado de la integral definida es un número real y por lo tanto puede tomar valores negativos mientras no estemos calculando áreas. b k f( x ) dx k f( x ) dx a a CALCULO DE AREAS 1. Cuando la región está limitada por los ejes coordenados, se nos pueden presentar situaciones similares a las siguientes: b La función es siempre positiva en el intervalo. A (R) f ( x ) dx f(x) 0 en [a; b] a a y b son los puntos entre los que queremos calcular el área (límites de la integral). b La función es siempre negativa en el intervalo. f(x)0 en [a; b] A(R ) f (x ) dx o a Habitualmente son los puntos de intersección de la función con el eje x. B bien A (R) f (X ) dx A La función es a veces positiva y a veces negativa en el intervalo. En la figura: b c A (R ) f ( x) dx f ( x ) dx a Se calculan los puntos intersección y se calculan integrales sucesivas de las Se de b En la figura: Uno de los límites de integración es x = 0 a A (R) f ( x ) dx calcula el punto intersección con el eje x 0 Práctico 6 – Integrales - N OTAS 3 Modalidad virtual Matemática En todos estos casos es necesario buscar la intersección de la gráfica de la función con el eje x. De este modo obtenemos los límites de integración. Para hallar el área de estas regiones, procedemos de la siguiente manera: 1. Calculamos los puntos de intersección de la función con el eje x. Esto nos da el intervalo donde calculamos el área y constituyen los límites de integración. 2. Estudiar el signo de la función entre los puntos de intersección. Esto nos permite saber si el gráfico de f se encuentra por encima del eje x (f(x) 0) o por debajo del mismo (f(x) 0). 3. Calcular las integrales correspondientes, o bien utilizar siempre el valor absoluto para asegurarnos que el resultado sea positivo. Desde luego, si es posible, es mejor hacer un dibujo para saber como se comporta la gráfica en el intervalo y así determinar área a calcular. 2. Cuando la región está limitada por la gráfica de una función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b se nos pueden presentar situaciones similares a las siguientes: b La función es siempre positiva en el intervalo. A (R) f ( x ) dx f(x) 0 en [a; b] a a y b son los puntos entre los que queremos calcular el área (límites de la integral) b La función es siempre negativa en el intervalo. f(x)0 en [a; b] A(R ) f (x ) dx o a B bien A (R) f (X ) dx A La función toma valores positivos y negativos en el intervalo [a; b] En la primer figura: m c A (R ) f ( x) dx f ( x) dx a Se calculan los puntos de intersección, y se suman las áreas de cada región. m En todos estos casos es necesario buscar la intersección de la gráfica de la función con el eje x. De este modo obtenemos los límites de integración. Para hallar el área de estas regiones, procedemos de la siguiente manera: 1. Calcular los puntos de intersección de la función con el eje x en el intervalo [a,b]. 2. Ordenar de menor a mayor las soluciones que están en el intervalo [a,b] . Supongamos que son a<x1<x 2<x 3<b. Estudiar el signo de la función en los subintervalos [a,x 1], [x1 ; x2 ], [x 2; x 3 ], [x3 ; x b], Esto nos permite saber si el gráfico de f se encuentra por encima del eje x (f(x) 0) o por debajo del mismo (f(x) 0) en cada subintervalo. 4. Calcular las integrales correspondientes en cada subintervalo. Desde luego, si es posible, es mejor hacer un dibujo para saber como se comporta la gráfica en el intervalo y así determinar área a calcular. Práctico 6 – Integrales - N OTAS 4 Modalidad virtual Matemática 3. Cuando la región está limitada por la gráfica de dos o más funciones y/o las rectas x = a y x = b. Se nos pueden presentar gran variedad de situaciones. Por ejemplo: En todos los casos procedemos de esta manera: 1. Buscamos los puntos de intersección entre las curvas, que utilizaremos como límites de integración. 2. Si hay más de un punto de intersección el intervalo de integración queda dividido en subintervalos. 3. Determinar en cada subintevalo qué función queda por encima y cuál por debajo. 4. En un intervalo el área será: b A(R) = ( f( x ) g( x)) dx si f queda por encima de g en todo ese intervalo a 5. Si tenemos varios subintervalos, calculamos el área en cada uno de ellos y las sumamos: A(R) = A(R1) + A(R 2 ) +…+ A(RN ) Práctico 6 – Integrales - N OTAS 5 Modalidad virtual Matemática Unidad 6 INTEGRACIÓN Temas de la unidad Integración. Primitivas. Métodos de integración: sustitución, partes. Cálculo de integrales definidas. Regla de Barrow. Aplicación al cálculo de áreas y a problemas de mecánica. Bibliografía obligatoria AA.VV ., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L., 1995; Capítulo IX. INTEGRALES. Práctico 6: Integración. UBA XXI Modalidad virtual Matemática PRACTICO 6. INTEGRALES 1. Hallá, en cada caso, una función G(x) que verifique que su derivada es g(x): a. g(x) = x c. g( x) CAPITULO IX INTEGRALES 1 b. g(x) 3 x 6 1 2 d. g(x) = 3x + x - 1 2x 3x 3 x e. g( x ) x g. g( x) e x f. g( x ) cos x 2 3 x h. g( x) cos x senx x 2. Verificá si F(x) es o no una primitiva de f(x). Recordar que F(x) es una primitiva de f(x) si F’(x) = f(x). x3 a. F( x) x 1 12 x2 f ( x) 1 4 b. F( x) senx cos x f ( x) cos x senx c. F( x) ln x e x 1 f ( x) e x x d. F( x) senx x3 f ( x) cos x x 2 e. F( x) e 5x cos 2 t f ( x) 5e 5 x f. F( x) ln 6 ln e 1 1 f ( x) x e 3 x x f ( x) ex 3 2 x g. F( x) ex 3 3. Hallá g tal que: a. g’(x) = 3x -1 y g(0) = -2 b. g’(x) = cos x y g() = 1 -1 c. g’(x) = x y g(1) = 0 4. Resolvé, usando propiedades, las siguientes integrales directas. a. 2x c. e e. 3 x 3 x 2 dx x 3 senx t 6t 3 2 4 Practico 6. Integrales dx cos x 1 2 1 : t6 dt bx dx d. x x x x dx b. 3 5 3 f. e 2x 2 e e 6x 2x e x dx 2 UBA XXI Modalidad virtual Matemática 5. La rapidez de cambio de la temperatura T (en ºC) de una solución química se expresa 1 mediante r(t) t 10 , donde t es el tiempo en minutos. Suponiendo que T = 5ºC en t = 0, 4 encontrá una fórmula para la temperatura T en función del tiempo. 6.a. Si el costo marginal, como función de las unidades producidas x, está dado por C' 10 40x 12x 2 , hallá las funciones de costo total, sabiendo que 100 es el costo fijo. b. Si la función de ingreso marginal está dada por: I' 200 30x 4 x de ingreso total y la función de demanda. 2 3 determiná la función 7. Resolvé las integrales usando una sustitución. a. c. x e. ex x 2 e cos x 2 dx dx 2 1 e x x dx 5 2 z 2 2 y 2 e 1 y ln2 x b. x d. 3 seny 1 dx sent cos f. dz h. dy j. 3 ln(x 2 ) x 2 e e3t 3t 2 CAPITULO IX INTEGRALES Método de sustitución cos y dy 4 4z g. i. x3 4 t dt dx dt 8. Resolvé por el método por partes las siguientes integrales. a. e x dx b. ln ( x 1) dx c. x ln x dx d. ( z 1) cos z dz e. x cos ec x dx f. e cos 2x dx g. z ln z dz h. (e i. 2x 4 2 CAPITULO IX INTEGRALES Integración por partes x 2x 2 2 x ) dx ( x cos x) dx 2 Practico 6. Integrales 3 UBA XXI Modalidad virtual Matemática 9. Resolvé las siguientes integrales utilizando el método de integración que sea conveniente. a. d. sen2x 10 - cos x b. dx 1 - cos2x (2 cos x) 3 ex dx e2x 4 ex 5 e. e senx c. dx 4 e (2 x 1)dx x senx. cos x dx 10. El ingreso marginal de una empresa está dado por la función I' 3 x x 2 1000 , se pide: a. Hallá la función de ingreso, sabiendo que I(0) = 0. b. Hallá la función de demanda. 11. La aceleración (en m/seg ) de un objeto que se mueve se expresa por a( t) sen 2 t cost . 2 En t = 0 el punto se encuentra en el origen y su velocidad es 10 m/seg. Calculá su posición en función del tiempo. 12. Calcular las siguientes integrales definidas. 8 a. / 2 x 2 3 x 1 dx b. 1 27 c. 1 1 3 x dx 3x 1 d. 2 e. / 2 ln ( t 0 x ln x dx e 4 CAPITULO IX Teorema fundamental del cálculo. Integral definida. Regla de Barrow. 24 sen2 y dy f. 1 g. cot g y dy / 4 z 1 z dz 0 5 2 1) dt h. x e 2 3 x dx 13. Calculá el área de la región limitada por la gráfica de la función f y los ejes indicados: a. f ( x) 2 x 2 4 x 6 eje x b. f ( x) 4 x 2 eje x c. f( x) x 4 eje x eje y d. f( x ) cos x 1 eje x eje y , x [0; ] e. f ( x) 2 x 4 eje x eje y f. f( x) x 3 -x eje x 2 x 4 g. f( x ) x 2 6 Practico 6. Integrales x 0 x 0 eje x 4 UBA XXI Modalidad virtual Matemática 14. Calculá el área de la región limitada por las siguientes curvas. a. y x 2 1 y x 1 eje y b. y x y 2 x eje y c. y senx y cos x eje y d. y ln x x e eje x e. y x 1 y 2 x f. y e y e 2 x 1 y 2 x e h. y = sen x y=0 x = 0; i. y = sen x cos x y=0 x = 0; x x 2 g. f ( x) 1 x x 1 x 1 2 x= 2 x= 2 2 j. y = x + 1; la recta tangente a esta curva en x = -1 y el eje y 2 k. y = -x + 15 y la recta y = -2x + 12 15. Calculá mediante integrales el área de las regiones sombreadas Región 1 Región 3 Practico 6. Integrales Región 2 Región 4 5 UBA XXI Modalidad virtual Matemática 16. Sea la curva y = ax - x 2 a. Determiná el valor de a para que el área encerrada entre la curva y el eje de las abscisas sea 36. b. Representá la curva. 17. Encontrá k , k>0, para que el área de la región encerrada entre x = 0; x = k, el gráfico 7 1 de f ( x ) x 2 y el eje x sea igual a . 2 2 1 18. Calculá el área comprendida por la gráfica de f( x ) , x = 0; x = 1 y su asíntota 1 x 2 horizontal. 19. Sea la función f ( x) x senx y sea T la recta tangente a su gráfica en x . Determiná: a. La ecuación de T. b. El área encerrada entre T y los ejes coordenados t 20. Una partícula se mueve sobre una recta coordenada con aceleración a(t) e 2 (con a en 2 cm/seg y t en seg). En t = 0 la partícula se encuentra en el origen y su velocidad es de 6cm/seg. ¿Qué distancia recorre en el intervalo [0; 4]? 21. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa de 4000 t e 0,5 t juegos por semana, en donde t es el número de semanas desde el lanzamiento del juego. a. Exprese las ventas totales como una función de t b. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras cuatro semanas? (Tasa = velocidad o rapidez de crecimiento) 22. En una pared de 8 metros de altura, se quiere pintar de blanco la figura que encierran las 2 2 funciones f(x) = –x + 3x + 4 y g(x) = 2x - 3x + 4 ambas definidas en metros. ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar de blanco? Practico 6. Integrales 6 UBA XXI Modalidad virtual Matemática RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 6 EJ. RESPUESTA EJ. En los ejercicios 1 a 3 tenemos en cuenta que: F(x) es una primitiva de f(x) si F’(x) = f(x). 7 1.a x C 7 1.b 1 1.c 2x 2 2 x 6.a 6.b C I(x) = x. Q(x), donde x es el precio y Q(x), la cantidad demandada. Q x 200 10x 2 x 3 C x2 x 3 x C 2 1.e x3 2 x C 1.f senx 2 x C 3 e x x2 C 2 2 3. a 3.b 3.c Integrales por sustitución 7.a 1 3 e x3 C 3 (hacer u = x ) 3 7.b 7.c x2 senx cos x C 2 7d 2.a SI 2.e SI 2.b NO 2.f NO 2.c SI 2.g SI 2.d NO ------ ------ 3 2 x x 2 2 g x senx 1 7.e 7.f 7.g g x 7.h g x ln x ln x C 3 (hacer u = lnx) 2 sen x C 3 3 2 seny 1 C 2 (u= 1 ( u e (e 3 x2 3 1) C 7.i 7.j 1 4 3 x 2 ln x C 2 x 1 2 e e 3t 2 y 1 ) 2 (u = z +2) 5 C ( u ln( x 2 ) ) y C ( u e C 2 15 x2 ( u cos t ) 4 4 ln(x 2) x) ( u seny 1 ) 1 C 2 cos 2 t 5 5 2 4 z 2 C 2 5 En los ejercicios 4, 5 y 6 usamos: la tabla de integrales inmediatas, y la propiedad de linealidad de la integral indefinida: 4.a I(x ) I' ( x)dx IT(x) 200 x 10x 3 x 4 1.d 1.h C( x) C' ( x)dx C( x ) 10 x 20 x 2 4 x 3 100 2 1.g RESPUESTA 2 y ) 5 ( u e 3t 2 ) Integración por partes 8 4.b 4.c 4.d 4.e 4.f 5 33 b 3 x C 8 8.a e x 3 cos x tgx C 11 6 6 3 x x 11 10 10 3 2 x 5 5 2 1 x 4 C 4 1 6 1 2 5 C t 2t 5t 1 4x 1 x e x C 4 e 1 T t t 2 10 t 5 8 Matemática - Respuestas Práctico 6 8.b 8.c 8.d 8.e 1 2x 1 2x e x C (u = x; v’= e ) 2 2 x ln( x 1) x ln(x 1) C (u = ln (x+ 1); v’= 1) 1 5 1 x ln x C 5 5 (z+1).sen z + cos z + C (u = ln x; v’= x 4) (u = z+1; v’= cos z) x(cot gx ) ln(senx) C 1 ( u = x; v' cosec 2 (x) ) sen 2 x 1 UBA XXI EJ. 8.f EJ. RESPUESTA 12.e 1 x (e cos 2x 2 ex sen2x)C 5 (u = cos 2x; v’ = ex) 8.g 2 3 3 z2 4 ln z 9 3 z2 e x e 4x 2 RESPUESTA 3 4 17504 15 (Ver en notas sen x dx ) 2 (hacer la sustitución z+1 = u con lo que z = u -1) x e 2x 12.f C (u = ln z; v’ = 8.h Modalidad virtual Matemática 2x 1 z 2 z ) 1 1 e 2 x x 5 C 2 5 12.g ln 2 2 2 12.h 74e 5 2 e 2 Cálculo de áreas Sugerencia: Resolver el cuadrado. 1 3 1 1 x 2 x senx 2 cos x sen2 x xC 3 2 2 8.i 9.a 9.b Sugerencia: Resolver el cuadrado y usar la cos 2x 1 sustitución: cos 2 x 2 10 cot g x 3 (2 cos 1 x) 3 1 C senx 64 (R ) 3 13.b 32 (R ) 3 13.c 16 (R ) 3 +C -x 9.c - e (2x+3) + C 9.d arctg ( e 9.e 13.a senx e x 2 ) C (senx – 1) + C I( x ) I' (x )dx 10.a 13.d 2 3 I (x) = ( x 2 1000) 3 75 4 (R) I(x) = x. p(x), donde x es el precio y p(x) la función de demanda. 10.b p 11 3 4x 2 (x 2 1000) 3 13.e 75 x 3 (R) 8 ln 2 1 1 2 e( t) cos t cos t 10 t 3 3 9 Integral definida. Regla de Barrow 4097 12.a 12.b Sugerencia: Distribuir x 30 ln 13.f 2 1 (R) 2 2 2 12.c -48 12.d 1 4 5 e 25 25 Sugerencia: Considerar b a a b 13.g 100 (R) 3 f( x) dx f ( x) dx ; si a b Matemática - Respuestas Práctico 6 2 UBA XXI EJ. Modalidad virtual Matemática RESPUESTA EJ. RESPUESTA 14.a 1 (R) 6 14.j 1 ( R) 3 5 (R) 6 14.k 32 ( R) 3 (R) 2 1 15.a 20 ( R) 3 15.b 9 ( R) 2 15.c ( R) 2 ln 3 14.b 14.c 14.d (R) 1 14.e 14.f 14.g 14.h 3 (R) 2 ( R) 2e 2 e 1 15.d 4 ( R) 15 16 a=6 5 4 (R) 2 2e 3 3 ( R) 4 17 k= 18 14.i 1 ( R) 2 Matemática - Respuestas Práctico 6 3 21 ( R) 4 3 UBA XXI EJ. 19.a 19.b 20 Modalidad virtual Matemática RESPUESTA T : y x 2 EJ. RESPUESTA 21.b Aproximadamente 16 juegos. 22 2 Hay que pintar 4m de blanco. 3 (R) 2 4e 2 12 41,56 En el intervalo [0; 4] recorre aproximadamente 41,56 cm. 21.a V(t) = 2 e 0,5t ( t 1) Matemática - Respuestas Práctico 6 4
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