CÓMO SUPERAR LAS MATEMÁTICAS DE

CÓMO SUPERAR LAS
MATEMÁTICAS DE
SECUNDARIA
LOS 100 ERRORES, DESPISTES Y OLVIDOS
QUE PUEDES EVITAR
JORGE CALANDRA REULA
a mi mujer
1
© Jorge Calandra Reula, 2006.
© De la primera edición, Consejería de Educación del Gobierno de
Cantabria, 2007
© De la presente edición, Jorge Calandra Reula, 2009
I.S.B.N.: 978-84-96920-35-4
Depósito legal: SA-86-2009
Imprime: América Grafiprint
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(Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita
fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.
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ÍNDICE
Presentación ........................................................................................................
Cómo manejar este libro .....................................................................................
Capítulo 0. Consideraciones iniciales .................................................................
Capítulo 1. Si te encuentras cursando 1º de ESO o un curso superior ... ............
Capítulo 2. Si te encuentras cursando 2º de ESO o un curso superior ... ............
Capítulo 3. Si te encuentras cursando 3º de ESO o un curso superior ... ............
Capítulo 4. Si te encuentras cursando 4º de ESO o un curso superior ... ............
Capítulo 5. Si te encuentras cursando 1º de bachillerato o un curso superior ... .
Capítulo 6. Si te encuentras cursando 2º de bachillerato o un curso superior ... .
Capítulo 7. Conclusiones ....................................................................................
Soluciones a los ejercicios propuestos ................................................................
Anexo 1. Sistema métrico decimal ......................................................................
Anexo 2. Unidades usuales .................................................................................
Anexo 3. Conversión de unidades .......................................................................
Anexo 4. Sistema de numeración romano ...........................................................
Anexo 5. Propiedades y elementos para las operaciones ....................................
Anexo 6. Fórmulas de geometría ........................................................................
Anexo 7. Fórmulas de potencias .........................................................................
Anexo 8. Fórmulas de logaritmos .......................................................................
Anexo 9. Fórmulas de radicales ..........................................................................
Anexo 10. Fórmulas de sucesiones .....................................................................
Anexo 11. Fórmulas de trigonometría ................................................................
Anexo 12. Fórmulas de matemáticas financieras ................................................
Anexo 13. Fórmulas de límites ...........................................................................
Anexo 14. Fórmulas de derivadas .......................................................................
Anexo 15. Fórmulas de integrales .......................................................................
Anexo 16. Métodos de integración .....................................................................
Anexo 17. Integrales definidas ............................................................................
Anexo 18. Cálculo vectorial ................................................................................
Anexo 19. Propiedades de los espacios vectoriales ............................................
Anexo 20. Propiedades de las matrices ...............................................................
Anexo 21. Propiedades de los determinantes ......................................................
Anexo 22. Fórmulas de estadística unidimensional ............................................
Anexo 23. Fórmulas de estadística bidimensional ..............................................
Anexo 24. Fórmulas de probabilidad ..................................................................
Anexo 25. Fórmulas de combinatoria .................................................................
Anexo 26. Variables aleatorias discretas ............................................................
Anexo 27. Variables aleatorias continuas ...........................................................
Anexo 28. Criterios de divisibilidad ...................................................................
Anexo 29. Unión e intersección de intervalos y conjuntos .................................
Anexo 30. Fórmulas para números complejos ....................................................
Anexo 31. Fórmulas para rectas en el plano .......................................................
Anexo 32. Ecuaciones de la recta en el espacio ..................................................
Anexo 33. Ecuaciones del plano .........................................................................
Anexo 34. Fórmulas para rectas y planos en el espacio ......................................
Anexo 35. Cónicas ..............................................................................................
Anexo 36. Cambio de sistemas de coordenadas .................................................
Anexo 37. Otras fórmulas de interés ...................................................................
Anexo 38. Números usuales ................................................................................
Anexo 39. Tabla asociada a una distribución N(0,1) ………………………......
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PRESENTACIÓN
La obra que tienes entre tus manos es una recopilación de los errores, despistes y
olvidos más frecuentes cometidos por el alumnado de secundaria en la materia de
matemáticas, desde el primer curso de ESO hasta el segundo curso de bachillerato. La
selección que propongo la he obtenido a partir de la corrección de numerosas pruebas
escritas realizadas por los alumnos, así como de su participación en clase,
fundamentalmente durante sus actuaciones en la pizarra.
A lo largo de mi dilatada experiencia como profesor, he podido observar año tras año
que los principales fallos cometidos por el estudiantado en la resolución de los
ejercicios son siempre los mismos. Muy a menudo recomiendo a mis alumnos que
realicen un pequeño listado de sus fallos más habituales para que los tengan presentes
posteriormente y puedan evitarlos más fácilmente. Pues bien, el libro que te presento es
un compendio de todas estas listas.
No es este un libro de texto, y por tanto no se explican detallada y formalmente los
elementos matemáticos; tampoco se dan definiciones precisas salvo que sean
necesarias. Este libro presupone en el lector unos conocimientos previos, su objetivo es
comentar detalladamente los fallos que suelen cometerse en el trabajo diario. No he
pretendido desarrollar un compendio de ejercicios resueltos, pues no se contemplan
todos los contenidos de secundaria. Sólo he incluido los ejercicios necesarios que deben
realizarse para comprobar que son desarrollados correctamente, sin cometer los fallos a
los que se hace referencia en cada apartado.
En algunos casos, no debe hablarse de errores de cálculo o de aplicación incorrecta de
fórmulas usuales, sino de procedimientos poco adecuados que, aún dando resultados sin
error, no conducen a la solución del problema, sino que más bien la dificultan. En
muchos casos, los fallos son debidos también a despistes u olvidos en la resolución del
problema. Es importante considerar que la presente obra ofrece un tratamiento muy
general y sencillo, nunca exento de rigor, de las matemáticas, pues no busca enseñar
nada nuevo, sino evitar los fallos que se cometen una vez aprendidos una serie de
contenidos. Para evitar que las ramas no dejen ver el bosque se ha profundizado
únicamente cuando ha sido imprescindible.
En algunas situaciones, lo único que sorprende a los alumnos son los resultados
extraños. Acostumbrados a ejercicios preparados para obtener soluciones con números
redondos, se preguntan dónde está el error cuando obtienen números negativos o con
decimales. Por ello, los ejercicios planteados no tienen necesariamente soluciones
bonitas.
Ha sido tarea arriesgada escribir un libro como este, plagado de fallos, aunque el
objetivo está bien claro: evitarlos. Esta obra puede servir para poner sobre aviso a los
alumnos. Puede acompañarles durante las etapas de ESO y bachillerato y aplica la
técnica de aprendizaje basada en aprender de los errores. Este trabajo puede
complementar capítulos sobre técnicas de resolución de problemas. Además, como en
muchas ocasiones el alumnado no afronta un problema por no conocer o no saber
donde encontrar las fórmulas adecuadas, se adjuntan unos anexos con todas las
fórmulas que tendrá que manejar en el instituto.
En general, en cada apartado del libro trato varios aspectos: realizo un comentario
referente al título del apartado, indico el fallo o los fallos usuales que cometen los
alumnos, presento la forma de resolución correcta, razono el modo de evitar dichos
fallos, doy pistas del motivo por el que se cometen los errores y propongo un ejercicio
de autoevaluación cuya solución se da más adelante.
4
Evidentemente, para superar las matemáticas de secundaria no basta con leer
someramente este trabajo, sino profundizar en el significado de los diferentes
elementos que componen la materia.
En esta segunda edición se han ampliado muchos de los detalles comentados en la
versión anterior. Se han añadido unos 15 errores más y se han fusionado algunos de los
que formaban la edición anterior. Por ejemplo, en el caso de la regla de Ruffini, se
realizan comentarios en 3 apartados y en la presente edición esos apartados se han
agrupado bajo uno solo. Se mantiene así el número redondo de 100 errores.
Se han añadido los dibujos que se echaban en falta antes y se han mejorado algunos de
los que ya existían. En particular, se han añadido los dibujos de las diferentes figuras
geométricas en el anexo de fórmulas de geometría.
Se han añadido al final algunas fórmulas que cayeron en el olvido en el libro anterior, y
otros detalles como el de las principales indeterminaciones, importantes en el cálculo
de límites.
Pero el cambio principal en la presente tirada es la reordenación de todos los errores.
Anteriormente la clasificación era por temas, pero resulta más conveniente una
ordenación por cursos. De esta manera, el alumnado encuentra más rápidamente los
apartados a los que debe dirigirse.
El autor, Barcenilla 2009
5
CÓMO MANEJAR ESTE LIBRO
Este libro puede utilizarse principalmente de cuatro formas diferentes.
Primero podemos leerlo por completo, de principio a fin, a modo de repaso general de
los contenidos de las matemáticas de secundaria.
También podemos ir asimilando los diferentes apartados por separado, sin importar el
orden en el que los he presentado, pues son prácticamente independientes unos de
otros. El lector puede dirigirse a aquellos aspectos que más le interesen en cada
momento.
Por otro lado, podemos ceñirnos a los fallos que se relacionan en el curso en el que se
encuentre el alumno, pero empezando por el capítulo 0, con unas consideraciones
iniciales. Por ejemplo, si estamos en 3º de ESO deberemos leer el capítulo 3 referente a
dicho curso y será conveniente hacer un repaso a los capítulos anteriores.
Independientemente del curso en el que nos encontremos, será bueno referirse también
al capítulo 7, de conclusiones finales.
Finalmente, podemos realizar directamente los ejercicios de autoevaluación propuestos
en cada apartado. De esta manera podremos comprobar si cometemos los fallos
habituales comparando nuestras soluciones con las que presento antes de los anexos.
Aunque los cien apartados abordan fallos habituales, he optado por clasificarlos en tres
tipos con los nombres, la simbología y los criterios siguientes:
Un olvido típico es algo que debe escribirse o considerarse pero que habitualmente es
pasado por alto, como omitir el signo ± en la respuesta a una raíz cuadrada.
Un despiste típico consiste en expresar algo de forma incorrecta al olvidar algún
aspecto del procedimiento como, por ejemplo, no cambiar el sentido de una
desigualdad al multiplicar una inecuación por un número negativo.
Un error típico es un fallo que cometen habitualmente los alumnos, como aplicar una
fórmula diferente de la adecuada.
Hay además otras indicaciones marginales de la forma:
CONVIENE RECORDAR...
que tienen por objeto recordar algún aspecto al que se hace mención en las
explicaciones, como una definición, una fórmula o alguna regla.
6
CAPÍTULO 0
CONSIDERACIONES INICIALES
1. Las pruebas escritas: exámenes y controles
En este primer apartado comenzamos dando unos consejos sencillos para mejorar los
resultados de las pruebas escritas, controles o exámenes.
Dejando a un lado el hecho de que debes hacer una buena presentación del examen,
cuidar la caligrafía y la ortografía, hay una serie de aspectos concretos que has de
cuidar especialmente en la materia de matemáticas. Vamos a repasarlos detenidamente.
En primer lugar, lee atentamente el problema imaginando la situación que te plantea,
extrae los datos que te proporciona el enunciado y trata de recordar ejercicios o
problemas similares que se hayan hecho en clase.
Elabora el procedimiento prestando cuidado de no confundirte en las operaciones y
observando el uso correcto de la jerarquía de las operaciones y de las unidades que se
estén utilizando. Averigua si el problema posee más de una solución, ya que resolver
un problema obliga a proporcionar todas las soluciones del mismo.
Comprueba el procedimiento; observa si la solución o soluciones, incluyendo las
unidades, tienen sentido y lee el problema una última vez para ver si has respondido a
las preguntas y no has dejado el ejercicio incompleto.
Analicemos esto con un ejercicio sencillo. Una parcela de terreno tiene forma
rectangular y mide 20 m de ancho por 50 m de largo. Escribe en forma de potencia la
superficie que podemos sembrar.
Este problema se resuelve calculando la superficie de la parcela y escribiendo el
resultado como potencia, sin olvidar la unidad, así:
superficie = base ⋅ altura = 20 ⋅ 50 = 1000 = 10 3 m 2
Sin embargo, el alumnado presenta las diferentes soluciones siguientes. En primer
lugar, algunos dan como respuesta lo siguiente:
superficie = 1000
Lo que es incorrecto, porque además de no indicar la unidad, no se ha respondido al
problema, que pide escribir la solución en forma de potencia.
Otra solución no válida es:
superficie = 1000m 2
En este caso, se añade la unidad, pero tampoco se ha respondido al problema, ya que la
respuesta no está en forma de potencia.
Otra respuesta es:
superficie = 10 3
En esta solución, el resultado está como potencia, pero el alumnado no ha escrito la
unidad.
Podemos también encontrarnos con lo siguiente:
superficie = 10 3 m
7
En este caso, se presenta la solución con una unidad incorrecta.
Por último, las chicas y chicos podrían haber utilizado una fórmula incorrecta para
obtener el área de la parcela.
Estos errores son debidos a una falta de atención cuando se lee el problema, a una
lectura rápida del enunciado y a querer acabar el ejercicio lo antes posible.
Todos estos fallos, pueden corregirse prestando atención. La concentración a la hora de
resolver un ejercicio, y sobre todo si estamos ante un examen, debe ser máxima. Con
los consejos dados al principio, leeremos el enunciado una vez resuelto el problema y
nos daremos cuenta de que no hemos escrito la solución como nos piden, que es en
forma de potencia, o también, habremos de recordar la unidad adecuada, que, por
tratarse de superficie serán unidades cuadradas y al estar multiplicando metros, la
solución deberá presentarse en metros cuadrados.
Ejercicio de revisión
Indica, en metros, cuál es el perímetro de un cuadrado de lado 90 cm.
2. Los apuntes mal tomados
En las clases de matemáticas se utiliza constantemente la pizarra. Gran parte de las
cosas que el alumnado escribe en el cuaderno lo copia de la pizarra. Es por ello por lo
que las chicas y chicos deben prestar atención a lo que trasladan de la pizarra a su
cuaderno. Así, si en la pizarra aparece escrita una expresión como la que sigue:
3+ 2
5
Los alumnos podrían copiarla equivocadamente así: 3 + 2 / 5
Con lo que ya estarían escribiendo algo que no se ajusta a lo que se está haciendo, ya
que en la pizarra se hace primero la suma y luego la división por 5, sin embargo, los
alumnos estarían indicando que se hace primero la división 2 / 5 y seguidamente la
suma con el 3, cumpliendo con la jerarquía de las operaciones.
Casos reales detectados son los siguientes:
) 372 − 37
Otro caso puede ser cuando en la pizarra se presenta lo que sigue: 3,72 =
90
Pero el alumnado escribe: 3,72 =
372 − 37
90
Es decir, olvida escribir el arco, con lo que ya no tiene sentido la expresión escrita en el
cuaderno. Quizá, escriba el arco abarcando todo el 72, en lugar de sólo al 2, con lo que
se estaría aplicando mal el método de obtención de fracciones generatrices y cuando el
alumnado estudie el ejercicio en su casa, no sabrá de dónde sale el 0 o por qué se
escribe solo un 9.
( )
4
4
De la misma manera, escribiendo en la pizarra a 3 , el alumnado escribe: a 3 ,
pensando que los paréntesis son indiferentes, sin embargo, las dos expresiones
anteriores son bien distintas.
Ejercicio de revisión
En este ejercicio debes contrastar tus apuntes con los de tu compañero y observar
posibles diferencias en cuanto a paréntesis, fórmulas, etc.
8
CAPÍTULO 1
SI TE ENCUENTRAS CURSANDO 1º DE ESO
O UN CURSO SUPERIOR...
3. Operaciones con números enteros: jerarquía de las operaciones
El capítulo de los números enteros es uno de los que más cuesta dominar a los alumnos
de primero de ESO y como consecuencia, es un tema en el que nos encontramos una
gran cantidad de fallos.
CONVIENE RECORDAR...
De forma natural o inconsciente, al realizar una serie de operaciones consecutivas,
operamos de izquierda a derecha. Por ejemplo:
1º Paréntesis
2º Potencias y radicales
3º Productos y divisiones
4º Sumas y restas
2 + 3 − 5 + 1 + 4 − 7 = 5 − 5 + 1 + 4 − 7 = 0 + 1 + 4 − 7 = 5 − 7 = −2
Por otro lado, sabemos que el paréntesis puede cambiar esta situación, estando
obligados a realizar primero las operaciones que se encuentran entre paréntesis. La
duda surge cuando no aparecen los citados paréntesis, por ejemplo, veamos el siguiente
ejercicio mal resuelto:
2 + 3 ⋅ 5 = 25
El error cometido ha consistido en realizar primero la suma (2 + 3) y el resultado
multiplicarlo por 5. En este caso la solución correcta es:
2 + 3 ⋅ 5 = 2 + 15 = 17
ya que debemos realizar primeramente el producto y posteriormente la suma.
Lo mismo ocurre con el caso 12 − 8 ÷ 2 = 2 , donde la respuesta correcta es 12 − 4 = 8 .
El error cometido puede ser debido a que realizamos inconscientemente las operaciones
de izquierda a derecha, de la misma forma en la que realizamos la lectura de textos.
Para evitar este problema bastará con que aprendamos el orden en el que debemos
realizar las operaciones y, por supuesto, no olvidarlo en la práctica.
Otra situación es:
4 + 6 − 8 + 5 = 10 − 13 = −3
Aquí, lo que ha hecho el alumno es sumar por un lado el 4 con el 6 y por otra parte
sumar el 8 y con el 5, restando después ambos resultados. Esto es incorrecto porque no
podemos separar el signo negativo del 8 para sumarlo al 5. La respuesta correcta es:
4+6−8+5 = 7 .
Resolvamos ahora un caso con paréntesis y corchetes: 4 − [5 − (9 − 4)] , aquí, utilizando
el método de quitar paréntesis y corchetes, suele pasar que el alumnado puede saber
que un signo menos, delante de un paréntesis cambia el signo de lo que va en el
interior, sin embargo, lo que habitualmente pasa en este nivel, es que el alumno cambia
el signo del primer elemento del paréntesis, pero no el del segundo, es decir, dan como
respuesta:
4 − [5 − 9 − 4] = 4 − 5 − 9 − 4 = −14
Siendo, la respuesta correcta: 4 − [5 − 9 + 4] = 4 − 5 + 9 − 4 = +4
Toda la variedad de errores es debida en primer lugar, a la propia dificultad del tema, y
en segundo lugar a la gran diversidad de formas que tenemos los profesores de explicar
este tema. Esas diferentes explicaciones llegan a confundir a los pupilos.
9
La jerarquía de las operaciones
es la que sigue:
Esto es un pequeño barrido de los fallos que habitualmente se cometen, pero en
realidad hay muchos más despistes. Cuando se propone un ejercicio con unas cuantas
operaciones combinadas, es muy difícil conseguir, en un grupo numeroso de alumnos,
dos respuestas iguales.
Ejercicio de revisión
Realiza la operación: 2 ⋅ 3 4−2 ÷ 6 + 4 ⋅ 3
4. La descomposición en factores primos
Hay muchas situaciones en las que conviene descomponer un número en factores
primos, es decir, escribirlo como producto de números que son todos ellos primos. Una
técnica habitual es la de escribir el número a la izquierda de una línea vertical e ir
haciendo divisiones sucesivas entre números primos. Como ejemplo:
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
Se observa que en la columna de la derecha sólo se escriben números primos. Puedes
ver los primeros números primos en el anexo 38. Con éste método, el número 120
puede escribirse como 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 , o utilizando las potencias como 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 .
Analicemos ahora cuáles son los problemas con los que se encuentran los alumnos.
El primero de ellos es no tener claro cuáles
con el siguiente caso:
870
435
87
1
son los números primos, como se muestra
2
5
87
Con lo que tendríamos una descomposición en factores primos errónea: 870 = 2 ⋅ 5 ⋅ 87 ,
ya que el 87, según la regla de divisibilidad del 3, no es número primo.
Otro problema se produce cuando se escribe el 1 en la derecha:
20
10
5
1
1
2
2
5
1
Con lo que escribiríamos la descomposición 20 = 2 2 ⋅ 5 ⋅ 1 , que aunque es una igualdad
cierta, no es una descomposición en factores primos porque no debemos olvidar que el
1 no es número primo.
Otro fallo es considerar que los números han de ir de menor a mayor, cuando el orden
de los factores no altera el producto como se ve a continuación:
30
15
5
1
2
3
5
30
6
3
1
5
2
3
Se puede comprobar que los números de la izquierda son diferentes, pero los factores
primos que aparecen en la derecha son los mismos. Obtenemos el mismo resultado
haciendo 2 ⋅ 3 ⋅ 5 que 5 ⋅ 2 ⋅ 3 . Sin embargo, puede ser conveniente ir de menor a mayor
10
para ir de forma ordenada aplicando los criterios de divisibilidad y para no saltarnos
algún factor primo.
Para evitar todos estos errores, conviene saber cuáles son los primeros números primos,
las reglas de divisibilidad y no olvidar que el número 1 no es ni número primo ni
número compuesto.
Ejercicio de revisión
Descompón en factores primos el número 5220.
5. El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor
En la obtención del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor, en adelante
MCM y MCD respectivamente, se observa el error de confundir ambos conceptos, de
no saber qué factores se toman para determinarlos y de realizar mal los productos y las
potencias implicadas en el proceso. Si necesitamos obtener el MCM y el MCD de los
números 8, 20 y 50, procederemos en primer lugar con la descomposición en factores
primos de todos ellos:
8 2
20 2
50 2
4 2
10 2
25 5
2 2
5 5
5 5
1
1
1
Con lo que se tiene: 8 = 2 3 , 20 = 2 2 ⋅ 5 y 50 = 2 ⋅ 5 2 .
Para determinar el MCM se toman los factores primos comunes y no comunes con el
mayor exponente, y para determinar el MCD se toman los factores primos comunes con
el menor exponente, por lo tanto:
MCM = 2 3 ⋅ 5 2 = 8 ⋅ 25 = 200
MCD = 2
Varios son los errores que comete el alumnado en estos ejercicios. El primero de ellos
consiste en no hacer una descomposición factorial con números primos, así, podríamos
hacer lo que sigue:
50 2
8 4
20 2
25 25
2 2
10 2
1
1
5 5
1
El error ha sido, en la primera descomposición, dividir el 8 entre 4, ya que el 4 no es
número primo; en la tercera descomposición se ha dividido el 25 entre 25, que tampoco
es número primo. Utilizando las reglas de divisibilidad, el 8, que es par, iría dividido
por 2 y el 25, que acaba en 5 aparecería dividido por 5.
Otro error es confundirse en las divisiones, así, podríamos escribir:
8
4
2
1
2
2
2
20
10
5
1
2
2
5
50
10
5
1
2
2
5
Aquí, el error ha sido al dividir 50 entre 2, que no es 10 sino 25.
Un tercer error es tomar, para el mínimo y para el máximo, todos los factores, comunes
y no comunes, con el menor exponente para el mínimo y con el mayor exponente para
el máximo. Así en el ejemplo anterior:
MCM = 2 ⋅ 5
MCD = 2 3 ⋅ 5 2
Otro error es intercambiar el mínimo por el máximo indicando:
11
MCM = 2
MCD = 2 3 ⋅ 5 2 = 8 ⋅ 25 = 200
Otro fallo es aprender mal los procedimientos, indicando equivocadamente que para el
mínimo se toman sólo los comunes con el mayor exponente, o que para el máximo se
toman sólo los comunes con el mayor exponente.
Por último, se observan errores en la realización de las operaciones finales, como los
siguientes:
MCM = 2 3 ⋅ 5 2 = 6 ⋅ 25 = 150
Donde se ha operado mal la potencia de 2; o bien:
MCM = 2 3 ⋅ 5 2 = 8 ⋅ 25 = 340
Donde se ha operado mal el producto de 8 con 25.
Los errores comentados son debidos a que hay que realizar numerosos cálculos:
divisiones, potencias y productos; deben manejarse varios conceptos como las reglas de
divisibilidad, números primos, múltiplos y divisores. Además, los términos mínimo y
máximo confunden a los pupilos haciéndoles tomar, para el mínimo el menor
exponente y para el máximo el mayor exponente. En este contexto, al mínimo se le
llama mínimo porque es el menor de una serie de valores relativamente grandes, y al
máximo se le llama así porque es el mayor de una serie de valores relativamente
pequeños, por ello, es habitual que el mínimo sea mayor que el máximo.
Al finalizar todo el procedimiento debe observarse que el MCM no puede ser menor
que ninguno de los números del enunciado y que el MCD no puede ser mayor que
ninguno de ellos. Debe prestarse atención al realizar las operaciones, es conveniente
recordar una pequeña lista con los primeros números primos y es importante memorizar
las reglas de divisibilidad y de formación del MCM y del MCD. Los errores, en este
nivel, también podrían ser debidos a problemas con las tablas de multiplicar, con lo que
puede ser aconsejable repasarlas hasta tenerlas bien aprendidas.
Ejercicio de revisión
Obtén el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 18, 60 y 1800.
6. Multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros
Para realizar la multiplicación de un número por la unidad seguida de ceros
desplazaremos la coma de dicho número hacia la derecha tantas posiciones como ceros
tenemos después de la citada unidad. Por ejemplo: 35 ⋅100 = 3500 . Si la operación es
de división, debemos desplazar la coma hacia la izquierda. Por ejemplo:
285 ÷ 100 = 2,85 .
El olvido típico que presenta una buena parte del alumnado es la de no recordar hacia
dónde hay que desplazar la coma. Así, el siguiente ejercicio estaría mal resuelto:
352,7842 ÷ 100 = 35278,42
ya que debemos desplazar la coma hacia la izquierda. De esta manera:
352,7842 ÷ 100 = 3,527842
Para poder evitar este problema se nos ofrecen dos opciones. La primera de ellas es
memorizar bien hacia dónde debemos trasladar la coma. La segunda opción es aplicar
el sentido común, pues al multiplicar por la unidad seguida de ceros, la cantidad debe
hacerse mayor, por lo tanto el desplazamiento debemos hacerlo hacia la derecha.
Este error se debe básicamente a una falta de concentración en las operaciones que
realizan los alumnos. En muchos casos, el alumnado solo desea realizar lo antes posible
12
los ejercicios que el profesor le ha mandado y por ello se confunde; además de no
reflexionar sobre el resultado.
Ejercicio de revisión
Realiza las siguientes operaciones: 3750 ⋅ 1000 , 3750 ÷ 1000 , 37,28 ⋅ 1000 ,
37,28 ÷ 1000 .
7. El sistema métrico decimal
Este sistema consiste en tomar, para una magnitud, una unidad de referencia.
Posteriormente, trabajamos con múltiplos y submúltiplos de dicha unidad. Por ejemplo,
para la longitud, la unidad de referencia en el llamado sistema internacional es el metro;
aunque para medir distancias entre ciudades utilizamos el kilómetro y para hacer
pequeñas manualidades utilizamos el centímetro. ¿Cuántos centímetros tenemos en 3
metros? Para ello, multiplicamos el 3 por el 100, puesto que en un metro tenemos 100
centímetros. El resultado será 300 centímetros. Puedes ver los anexos 1, 2 y 3,
relacionados con el sistema decimal.
La duda surge cuando queremos hacer conversiones entre múltiplos y submúltiplos:
¿hay que multiplicar o dividir por la unidad seguida de ceros?
Observemos el siguiente ejercicio que está mal resuelto: ¿cuántos decámetros hay en
350 centímetros?
350 ⋅1000 = 350000 dam
En este caso en lugar de multiplicar por mil debemos dividir entre mil, así:
350 ÷ 1000 = 0,35 dam
Podemos evitar este error de dos formas distintas. La primera es conociendo bien el
nombre con su abreviatura y el orden de los múltiplos y submúltiplos con referencia a
la unidad fundamental. La segunda es utilizando la técnica de multiplicar por la unidad,
técnica que se describe a continuación:
Es sabido que si multiplicamos una cantidad por uno, queda intacta dicha cantidad, es
decir: 7 ⋅1 = 7 . Ahora bien, en lugar del uno podemos escribir un cociente en el que
sean iguales numerador y denominador. El resultado seguirá siendo el mismo, es decir:
7⋅
3
=7
3
por último, podemos escribir valores diferentes pero que representen lo mismo; es
decir, como 3 km es lo mismo que 3000 m, tendremos que:
CONVIENE RECORDAR...
3km
=1
3000m
Las abreviaturas de las
unidades han ido cambiando
con el tiempo. Actualmente, el
dam es el decámetro. No se
escribe dm para no confundirlo
con el decímetro.
y debido a esto, podemos usar este cociente para multiplicarlo por una cantidad
manteniéndola intacta. Esto es lo que aplicamos en la conversión de unidades. Así, en
el caso anterior:
350cm = 350cm ⋅
1dam
1dam
= 350 ⋅
= 0,35dam
1000cm
1000
donde la fracción representa la unidad, ya que 1 dam es igual que 1000 cm, pero nos
permite simplificar los centímetros y expresar el resultado en decámetros.
Nuevamente, este error es debido a una falta de concentración del alumnado y a una
falta de comprobación de los resultados obtenidos. Es claro que en el caso indicado
anteriormente, si el decámetro es mayor que el centímetro no pueden salir más
decámetros que centímetros.
13
Ejercicio de revisión
¿Cuántos miligramos hay en 6750 microgramos?
8. ¿Onceavo o undécimo?
Este segundo apartado es meramente anecdótico. Según el Diccionario de Dudas de la
Real Academia Española en su primera edición de 2005, los numerales partitivos o
fraccionarios (que expresan cada una de las partes iguales en que se divide un todo) son
los formados por el sufijo –avo (a excepción del adjetivo partitivo octavo –a, que
coincide en cuanto a la forma con el ordinal octavo -a y sus compuestos decimoctavo,
vigesimoctavo, etc.).
Por lo tanto no es correcto decir el quinceavo piso o el diecinueveavo cumpleaños.
Otros diccionarios de reconocido prestigio coinciden con el parecer académico.
La forma de evitar este error es teniendo un conocimiento adecuado de la lengua
castellana, en este caso, aprendiendo la norma dada en el primer párrafo de este
apartado.
Este error se debe a que hay matemáticos que confunden los ordinales con los
partitivos. Así por ejemplo, el conocido académico Manuel Seco, en una de sus más
vendidas y reeditadas obras asegura que los matemáticos emplean a veces este sufijo
para formar ordinales, si bien no se considera aceptable en la lengua general. Según
este autor, ordinales y partitivos podrían ser sinónimos en el ámbito de las matemáticas:
sería lo mismo decir, por ejemplo, el término veintidosavo y el término vigésimo
segundo. Como podemos observar, una vez más se produce la habitual divergencia
entre el uso y la norma.
Ejercicio de revisión
¿En qué posición acabó Fernando Alonso, piloto de fórmula 1, el gran premio de
Hungría en 2005?
9. Potencias y productos
Una potencia es el producto de un número por sí mismo tantas veces como nos indica
el exponente. Por ejemplo: 5 4 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 .
Un despiste muy habitual es cambiar una potencia por el producto de la base con el
exponente, así, el siguiente resultado es incorrecto:
37 = 21
donde se ha multiplicado la base por el exponente. Lo correcto sería:
3 7 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2187
CONVIENE RECORDAR...
Existen infinitas formas de
expresar una cantidad, así:
81 = 80 + 1
81 = 82 − 1
81 = 9 ⋅ 9
Para evitar este problema, basta con prestar atención a la operación que se está
realizando. Es habitual que cuando el alumno comete este fallo y se insiste con la
pregunta inicial enseguida se da cuenta de su error. El alumnado puede aprenderse que
el producto es a la suma (un producto es la suma de uno de los factores consigo mismo
tantas veces como indica el otro factor) lo que la potencia es al producto.
Quizá este despiste sea debido a que en algún caso la potencia y el producto coinciden,
como en 11 o 2 2 .
Ejercicio de revisión
Escribe el número 81 en forma de potencia y en forma de producto.
14
10. Trabajo con raíces cuadradas
En la aplicación del algoritmo para calcular una raíz cuadrada, una gran cantidad de
alumnos se despista cuando la cifra que ha de buscarse es un cero, como por ejemplo:
1965604 = 1402
En el momento en el que los chicos tienen que colocar el 0, lo que suele ocurrir es que
bajan las dos cifras siguientes, pero no colocan el 0 correspondiente en el resultado.
Otro error muy frecuente, es confundir la raíz de una suma con la suma de las raíces,
pudiendo encontrar en algunos casos lo siguiente:
81 + 121 = 81 + 121
que no es cierto, ya que
81 + 121 = 202 = 14,21... , pero
81 + 121 = 9 + 11 = 20 .
Se presenta seguidamente un despiste curioso. En la rutina de las clases, siempre se
muestran ejemplos con números redondos y con soluciones exactas. De hecho, cuando
queremos recordar el significado de una raíz cuadrada realizamos una que sea exacta o
cuyo radicando es un número natural.
El problema se presenta en un ejercicio de aplicación de raíces en el que aparece la
siguiente: 8,97 . La reacción del alumnado es decir que no puede hacerse porque hay
decimales en el radicando.
La incertidumbre puede surgir porque los ejercicios están casi siempre preparados para
que salgan raíces exactas. De esta manera el alumnado no se acostumbra a realizar
raíces de números extraños. El problema se resuelve remitiendo a los alumnos al
momento en el que aprendieron a realizar raíces cuadradas y ejercitarse nuevamente
con alguna cuyo radicando tenga decimales.
Ejercicio de revisión
Realiza la raíz siguiente:
20,5209
11. La descomposición en suma o resta de fracciones
Cuando nos interesa separar un cociente de la manera siguiente:
4+5 4 5
= +
3
3 3
estamos aplicando en sentido contrario el método que permite sumar dos fracciones con
denominadores comunes: obtenemos otra fracción cuyo numerador es la suma de
numeradores y como denominador el mismo que el de las fracciones que sumamos.
Algo análogo sucede si realizamos una resta en lugar de una suma.
El error se comete cuando la suma aparece en el denominador. Así, los siguientes
resultados son inexactos:
3
3 3
= +
2+7 2 7
O también cuando aparecen letras:
1
1 1
= +
1+ x 1 x
ya que estamos aplicando el citado método confundiendo el numerador con el
denominador.
15
Para evitar este error, el alumnado debe habituarse a comprobar las soluciones ya que
puede hacerse una comprobación rápida siguiendo el camino al revés, es decir, desde la
solución obtenida hasta el enunciado original. Observaremos de este modo que existe
algún error en la resolución, pues no llegaremos al mismo enunciado de partida.
Ejercicio de revisión
Escribe el número 50 como suma y como resta de 2 fracciones con el mismo
denominador
12. Multiplicación y división de fracciones
Para multiplicar dos fracciones hacemos uso del siguiente procedimiento:
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
Lo que indica que el resultado es otra fracción que tiene en el numerador el producto de
los numeradores y en el denominador el producto de los denominadores.
Sin embargo, para dividir fracciones operamos de la forma siguiente:
a c a⋅d
÷ =
b d b⋅c
Lo que quiere decir que en el numerador final aparece el producto del primer
numerador con el segundo denominador y en el denominador final aparece el producto
del primer denominador con el segundo numerador.
Sirvan como ejemplos los dos casos que se muestran:
5 7 35
5 7 15
⋅ =
y
÷ =
2 3
6
2 3 14
En este contexto, el error más frecuente es confundir los dos procedimientos realizando
las operaciones de forma incorrecta:
5 7 15
⋅ =
y
2 3 14
5 7 35
÷ =
2 3
6
Una forma de evitar esta confusión consiste en memorizar bien los dos procedimientos.
Otra forma de corregir el error es cambiando la división por un producto; en este caso,
lo que debemos hacer es intercambiar, en la segunda fracción, el numerador por el
denominador y realizar el producto con las dos fracciones en lugar de la división.
Veámoslo con la división anterior:
5 7 5 3 15
÷ = ⋅ =
2 3 2 7 14
De esta manera, aprendemos únicamente a multiplicar y cuando nos encontremos con
una división la transformaremos en una multiplicación.
Ejercicio de revisión
Realiza las operaciones siguientes:
1 1
1 1
1 1
+ ,
− ,
⋅
5 6
5 6
5 6
y
1 1
÷
5 6
13. Longitud de la circunferencia y área encerrada
Para calcular la longitud de una circunferencia de 3 cm de radio aplicaremos la
conocida fórmula obteniendo:
16
L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅ 3 ≈ 18,85cm
Por otro lado, la superficie será de:
S = π ⋅ r 2 = π ⋅ 3 2 ≈ 28,27cm 2
Pero habitualmente el alumno confunde y mezcla las dos fórmulas, aplicando la del
área para calcular la longitud y la de la longitud para calcular el área; así, si el radio es
de 5 m, operaciones como las siguientes son incorrectas:
L = 2 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 157,08m
o bien:
S = 2 ⋅ π ⋅ 5 ≈ 31,42m 2
Estas dos situaciones son despistes típicos que podemos evitar conociendo bien las
fórmulas y aplicando el sentido común: una longitud debe darse con unidades de
longitud como el metro, y una superficie debe darse con unidades de superficie como el
metro cuadrado.
Ejercicio de revisión
Calcula el área encerrada por una circunferencia de 26 cm de diámetro.
14. La división entre cero
La división entre cero es una operación no definida y por tanto no puede realizarse. De
hecho, cuando se define la división de números reales, se tiene especial cuidado en
mencionar que el divisor no puede ser nulo. Las siguientes respuestas son por tanto
incorrectas:
5
5
=∞ ó
=0
0
0
siendo lo correcto indicar que esta división no está definida.
Para evitar este fallo conviene tener en cuenta que no es lo mismo dividir entre cero
que dividir entre algo que tiende a cero. Así mismo, no es lo mismo calcular un
cociente de números reales que el límite de un cociente cuando una variable tiende a
una determinada cantidad.
Quizá este error sea debido a que las alumnas y alumnos creen que es posible realizar
todas las operaciones, aunque es suficiente pedir a una buena calculadora que haga 3÷0
para que nos presente un mensaje de error en pantalla. Un problema añadido es que
existen calculadoras, habitualmente las más simples como las de algunos teléfonos
móviles, que presentan la solución incorrecta de 0.
Ejercicio de revisión
Si a = 2 y b = 0 , realiza las operaciones:
a
b
y
b
a
15. Mediana y mediatriz
Siguiendo con definiciones de geometría, la mediana es la recta que une el vértice de
un triángulo con el punto medio del lado opuesto; una mediatriz, en un triángulo, es la
recta que pasa por el punto medio de un lado y lo atraviesa perpendicularmente.
En este contexto, puede producirse un fallo debido a un mal aprendizaje de las
definiciones. Para los alumnos, la mediatriz es la “recta que pasa por el punto medio de
un segmento”, lo que resulta una definición incompleta.
17
Así, la forma de evitar este error consiste en el aprendizaje preciso de las definiciones
de estos dos conceptos. También podemos considerar las diferencias que existen entre
estas dos rectas. Por ejemplo, una mediatriz se define para un segmento mientras que
una mediana tiene sentido en el estudio de triángulos.
Ejercicio de revisión
Dibuja un triángulo y traza una mediana y una mediatriz; indica qué condición debe
cumplir un triángulo para que estas rectas coincidan.
16. Los símbolos < y >
En el contexto de la notación matemática existen varios símbolos de desigualdad. Por
ejemplo, 4 < 11 se lee así: “el número 4 es menor que el número 11”, o también, en el
caso de tener 8 > 1 , leeríamos: “ el número ocho es mayor que el número uno”.
Sin embargo, por olvido o también quizá por despiste, los alumnos leen la expresión
a > b de la forma siguiente: “a es menor que b”; lo que es incorrecto porque
justamente se lee de forma contraria.
Este error se corrige fácilmente memorizando correctamente las siguientes expresiones:
a > b “a es mayor que b”
a ≥ b “a es mayor o igual que b”
a ≠ b “a es distinto de b”
a < b “a es menor que b”
a ≤ b “a es menor o igual que b”
Ejercicio de revisión
Lee las siguientes expresiones: 100 ≤ 150 , 12 ≥ 12 , 2 ≠ 3 , 6 < 9 y 4 > 0 .
17. Escritura de cantidades en números romanos
Los números romanos expresan, con unos símbolos y reglas que puedes consultar en el
anexo 4, las cantidades que habitualmente representamos en el sistema de numeración
decimal. Así, la cantidad 17 puede escribirse como XVII.
El error surge en algunas cantidades, como ocurre con el número 99, que representamos
de forma equivocada así: IC. Algunos alumnos lo hacen así porque restan una unidad a
la cantidad 100. Sin embargo hay que aprender bien que una de las letras I, X, C escrita
a la izquierda de V o X, de L o C y de D o M, respectivamente, le resta a ésta su valor.
Así, observamos que sólo podemos restar V o X a la cantidad C, lo que implica que a la
letra C no le podemos restar la letra I.
Si seguimos las reglas, la forma correcta para el 99 es XCIX, que sería 90 + 9 .
Esta confusión se debe a dos motivos. El primero es la comodidad, ya que resulta más
corto escribir IC que XCIX. El segundo es la no asimilación de las 4 reglas para formar
números romanos, que deben cumplirse cuando se escriben estos números.
Ejercicio de revisión
Escribe en números romanos la cantidad 299.
18
CAPÍTULO 2
SI TE ENCUENTRAS CURSANDO 2º DE ESO
O UN CURSO SUPERIOR...
18. Error absoluto
En la medición de magnitudes definimos como error absoluto la diferencia, con signo
positivo, existente entre el valor considerado exacto para esta magnitud y el
aproximado que obtenemos al realizar la medición. Si una determinada magnitud mide
3,87 y nosotros la medimos como 3,8, el error absoluto será:
E a = 3,87 − 3,8 = 0,07
CONVIENE RECORDAR...
El módulo o valor absoluto de
un número es el mismo número
si es positivo, o el opuesto si es
negativo:
3 =3
−3 = 3
Así, el error absoluto es siempre una cantidad positiva.
En ocasiones, si nos olvidamos de encerrar la resta entre las barras verticales de valor
absoluto, podemos obtener un signo negativo, cometiendo de esta manera el error. Por
ejemplo, el siguiente resultado para el error absoluto con los datos anteriores sería
incorrecto:
E a = 3,8 − 3,87 = −0,07
Para evitar este error, lo mejor es aprender el significado y notación de valor absoluto y
aprender la expresión del error absoluto dada por la fórmula:
E a = valor exacto − valor aproximado
CONVIENE RECORDAR...
con lo cual, al incluir las barras que denotan valor absoluto, obtenemos el signo
positivo de forma natural aun cuando intercambiemos los dos datos.
Este error puede ser debido a una falta de atención cuando se explica este concepto; si
el alumnado está distraído durante las explicaciones puede pasar por alto que el error
absoluto tiene siempre signo positivo.
Ejercicio de revisión
Si la distancia entre dos puntos es de 26,35 cm, ¿calcula cuál es el error absoluto que
se comete si tomamos una medida de 26,38 cm?
19. El signo menos delante de una fracción
Un signo menos delante de una fracción puede escribirse únicamente en el numerador o
en el denominador, pero no en uno y otro sitio a la vez. Así, deberemos escribir:
−
10 −10
= −5
=
2
2
−
10 10
=
= −5
2 −2
o bien:
Como podemos advertir, el resultado final es idéntico. Esto es debido a la regla de los
signos. Da lo mismo más entre menos que menos entre más, y por ello el signo lo
podemos poner donde más nos convenga. Ahora bien, debe quedar claro que el signo es
para todo el numerador o para todo el denominador. Por lo tanto, lo siguiente es
incorrecto:
2 − 5 −2 − 5
−
=
7
7
19
El error absoluto es la
diferencia, con signo positivo,
entre el valor exacto y el
aproximado.
El error relativo es el cociente
que resulta de dividir el error
absoluto entre el valor exacto
tomado también con signo
positivo.
Ya que el signo menos debe afectar a todo el numerador, no solo al primer número del
numerador; lo correcto será:
2 − 5 −2 + 5
−
=
7
7
de la misma manera, el siguiente ejercicio estaría mal operado:
−
3(2 x − 3) − 6 x − 9
=
12
12
ya que el signo menos debe afectar a todo el numerador, y no solo al primer término del
polinomio que hay en el numerador. El ejercicio correctamente operado sería:
−
3(2 x − 3) − 6 x + 9
=
12
12
Para evitar este error conviene hacer ejercicios de eliminación de paréntesis,
observando que un signo menos delante de los mismos afecta a todos los términos del
interior del paréntesis. Para no confundirnos podemos escribir el signo menos en el
denominador:
3(2 x − 3) 6 x − 9
−
=
12
− 12
También podemos añadir un paso intermedio que deje claro que el signo menos afecta
también al segundo término del paréntesis:
−
3(2 x − 3) − 3(2 x − 3) − 6 x + 9
=
=
12
12
12
Ejercicio de revisión
Simplifica la expresión: −
− 3 x + 5(2 + 4 x ) + 1
8 − 3(2 − 3 x ) + 4 x
20. Sumas y restas con fracciones
CONVIENE RECORDAR...
Para calcular el mínimo común
múltiplo de una serie de
números, se escriben como
producto de números primos y
se toma el producto de los
factores comunes y no
comunes con el mayor
exponente.
Sabemos que para sumar o restar fracciones, calculamos el mínimo común múltiplo y
escribimos como resultado una fracción que tiene como denominador ese mínimo y en
el numerador vamos escribiendo lo que obtenemos al dividir el mínimo entre cada
denominador multiplicado por cada numerador. Así:
2 1 4 21 ⋅ 2 + 15 ⋅1 − 7 ⋅ 4 42 + 15 − 28 29
+ − =
=
=
5 7 15
105
105
105
Sin embargo, se da el error, o quizás el despiste, de escribir la solución final sin el
denominador, es decir, se eliminan erróneamente los denominadores. Así, la siguiente
operación es incorrecta:
2
1
15 8 84 3 12 90
+ 7 − +1− =
+
− + −
= 8 + 84 − 3 + 12 − 90 = 11
3
4
2 12 12 12 12 12
pues no existen motivos para eliminar los denominadores.
El problema viene originado por el recuerdo que tiene el alumnado de procesos en que
una vez calculado el mínimo común múltiplo, este no se escribe. Por ejemplo, en la
mecánica que nos permite resolver una ecuación con denominadores, obtenemos el
mínimo común múltiplo para eliminarlos como sigue:
2
1
15
8 84 x
3 12 x 90
+ 7x = − + x − ⇒ +
=− +
−
3
4
2
12 12
12 12 12
20
quedando la ecuación equivalente:
8 + 84 x = −3 + 12 x − 90
ya que se multiplica en los dos miembros de la ecuación por 12 y así desaparecen todos
los denominadores.
Además de no olvidando el procedimiento correcto, la realización de gran cantidad de
ejercicios ayudará a adquirir seguridad en los métodos de cálculo con fracciones.
También, un análisis de la solución obtenida puede ayudar a detectar que se ha
cometido un error. Por ejemplo, es evidente que la siguiente operación está mal hecha:
1 1 3 2
+ = + = 3+ 2 = 5
2 3 6 6
ya que no puede ocurrir que al sumar dos fracciones menores que la unidad, el
resultado sea 5.
Correctamente realizada, la suma sería así:
1 1 3 2 3+ 2 5
+ = + =
=
2 3 6 6
6
6
Ejercicio de revisión
Realiza el cálculo:
x 7x + 1 5
+
−
2
3
4
21. La simplificación de fracciones
El proceso consistente en simplificar una fracción es uno de los que más quebraderos
de cabeza produce a los estudiantes de matemáticas. Sin embargo, la idea que subyace
en la simplificación de expresiones algebraicas es la misma que la de la obtención de
fracciones equivalentes por reducción de términos: de una fracción podemos obtener
otra equivalente si dividimos el numerador y el denominador por el mismo número real
distinto de cero. Veamos los siguientes ejemplos:
3 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 13 3 ⋅ 7
=
5 ⋅ 2 ⋅ 13
5
y con letras:
a ⋅ b ⋅ c3 ⋅ d ⋅ e2 a ⋅ c 2 ⋅ d
=
b ⋅ c ⋅ e4
e2
En el primer caso, hemos simplificado los números 2 y 13, lo que equivale a decir que
se ha dividido el numerador y el denominador entre 2 y también entre 13. En el
segundo se ha simplificado la b, una c y e 2 , lo que es lo mismo que decir que se ha
dividido “arriba” y “abajo” entre b, entre c y entre e 2 .
El problema surge cuando el alumno se encuentra ante la siguiente simplificación, que
es correcta:
2⋅3 + 3⋅7 2 + 7
=
5⋅3
5
En este caso aparece una suma en el numerador y esto desorienta al alumnado, ya que
se le suele decir que sólo se hacen simplificaciones cuando hay productos. A partir de
aquí, el matemático principiante ya no sabe cuándo pueden simplificarse las fracciones
y comienza a simplificar todos los términos iguales, realizando simplificaciones
erróneas como la siguiente:
2 ⋅ 3 + 5 ⋅ 11 2 + 5 ⋅ 11
=
3 ⋅ 17
17
21
Y el fallo ha quedado patente: parece que se ha dividido el numerador y el
denominador entre 3, pero lo que hemos hecho realmente es dividir entre 3 la parte que
queda a la izquierda del signo más en el numerador y no todo el numerador que es lo
que debería hacerse. En este caso, no es posible la simplificación porque el 3 no
aparece como factor en la parte derecha del segundo sumando en el numerador.
Es correcto indicar que sólo se simplifica cuando hay productos, pero es que la suma
2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 7 puede convertirse en el producto 3 ⋅ (2 + 7 ) . Para evitar este fallo, lo mejor
es ver si el término que queremos simplificar es un factor común a todos los sumandos
que aparezcan, como sucede en el supuesto anterior que detallamos así:
2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 7 3 ⋅ (2 + 7 ) 2 + 7
=
=
5⋅3
5⋅3
5
Para terminar este apartado, conviene dejar claro que no pueden eliminarse términos
iguales en cualquier tipo de expresiones. Por ejemplo, la siguiente simplificación es
errónea:
x3 1 x3
1
14 ⋅
− ⋅
= 14 −
3
3 3 3
Lo que sí podríamos hacer aquí es sacar factor común.
Veamos un último caso:
( x − 5) − ( x + 5) = − ( x + 5)
( x − 5)
(x − 5)2
donde hemos simplificado erróneamente el término (x − 5) , ya que no aparece en todos
los términos del numerador.
Otra simplificación incorrecta es la siguiente:
2 ⋅ (5 ⋅ 9 )3 2
=
5⋅9⋅7
7
Donde se ha eliminado el producto 5 ⋅ 9 en el numerador y en el denominador. Esto es
incorrecto porque en el numerador aparece dicho producto elevado al cubo, con lo que
en realidad tenemos 3 veces el producto 5 ⋅ 9 , la simplificación correcta es:
2 ⋅ (5 ⋅ 9 )3 2 ⋅ (5 ⋅ 9 )2
=
5⋅9⋅7
7
Una manera clara de ver que esta es la forma correcta es desarrollando la potencia:
2 ⋅ (5 ⋅ 9 )3 2 ⋅ (5 ⋅ 9 ) ⋅ (5 ⋅ 9 ) ⋅ (5 ⋅ 9 ) 2 ⋅ (5 ⋅ 9 ) ⋅ (5 ⋅ 9 ) 2 ⋅ (5 ⋅ 9 )2
=
=
=
5⋅9⋅7
5⋅9⋅7
7
7
Ejercicio de revisión
abh
bd
Simplifica la expresión:
abe + cde
cde
22. Las soluciones de una raíz cuadrada y el cálculo de la hipotenusa
Una vez aprendida la mecánica para realizar raíces cuadradas se pregunta al alumno
cuál es la del 9. El alumno responde 3. El error es olvidar añadir el símbolo ±.
22
Conviene tener en cuenta la teoría, tantas veces menospreciada en matemáticas. Si nos
vamos a la definición de raíz cuadrada, la respuesta para el problema anterior es
encontrar los números que elevados a 2 nos den 9, y hay evidentemente dos respuestas:
3 y -3.
En un triángulo rectángulo, el cálculo de la hipotenusa se realiza con la expresión del
conocido teorema de Pitágoras. Por ejemplo, si los dos catetos miden 3 y 4 mm,
escribiremos:
h 2 = 32 + 4 2
Ahora bien, la hipotenusa, como toda longitud, es una cantidad positiva y por ello el
resultado final siguiente sería incorrecto:
h 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 ⇒ h 2 = 25 ⇒ h = 25 = ±5mm
ya que aquí, el signo más-menos carece de sentido; debemos indicar únicamente la
solución positiva.
Ejercicio de revisión
Calcula la apotema de un hexágono regular de 10 m de lado.
23. El opuesto y el inverso de un número
A la hora de manejar ciertas propiedades con números, debemos considerar los
conceptos opuesto e inverso. En primer lugar, se explica al alumnado cuál es el opuesto
de un número. Posteriormente se le indica cuál es el inverso de un número. Por último,
se le puede explicar de forma genérica cuál es el significado del elemento simétrico.
Si pasados unos días, se les plantea a los chicos y chicas cuál es el opuesto de 7
observaremos que rápidamente se entabla un debate sobre si es el –7 o el 1/7.
Es este un problema que se evita teniendo claras las definiciones. De forma general se
tiene el concepto de elemento simétrico de un número como aquel que operado con
dicho número nos da el elemento neutro para la operación realizada.
Por ejemplo, para la suma, el elemento simétrico de 3 es –3 porque sumando estos dos
números obtenemos el 0 que es el elemento neutro para la suma. En cambio, para el
producto, el elemento simétrico de 3 es 1/3, ya que el producto de ambos números nos
da 1, que es el elemento neutro del producto.
CONVIENE RECORDAR...
La suma de un número con su
opuesto es 0:
3 + (−3) = 0
El producto de un número con
su inverso es 1:
Vemos que el término elemento simétrico es válido para cualquier operación pero
cuando estamos ante una suma, al elemento simétrico se le llama también opuesto y,
ante un producto, al elemento simétrico se le llama también inverso.
1
3⋅ =1
3
La respuesta final a la cuestión inicial es que el opuesto del 7 es el –7. Además, el
inverso de 7 es 1/7. Pero hay que tener en cuenta que tanto el –7 como el 1/7 serían
elementos simétricos para las operaciones correspondientes.
CONVIENE RECORDAR...
Este error puede ser debido a un conocimiento poco preciso del vocabulario castellano
teniendo por sinónimos términos que no lo son como contrario, opuesto, inverso o
enfrentado; o el conocido ejemplo de ver y mirar, que son verbos que no indican la
misma acción.
3+0 = 3
En la suma, el elemento neutro
es el cero:
En el producto, el elemento
neutro es el uno:
3 ⋅1 = 3
Ejercicio de revisión
Indica cuál es el opuesto y el inverso del número real –3,2 y explica cuál de ellos es el
elemento simétrico.
23
24. Las unidades y los valores absurdos
En todos los problemas de matemáticas y también en otras áreas como la física o la
química, se hace mención a las unidades de medida con las que se está trabajando. Por
otro lado, los problemas didácticos suelen estar preparados para tener como resultado
un valor adecuado a lo que sucede en la vida real. Esto último, no siempre es obvio
como en el problema que sigue: calcula el área de un rectángulo de lados 20 m y 80 m.
La solución es 1600 m2. Por el enunciado, no hay forma de saber si el resultado es
coherente y se ajusta a la vida real.
En este apartado hacemos referencia a problemas planteados en ejercicios más cercanos
a la vida cotidiana.
Veamos el siguiente ejercicio de geometría:
La habitación de David mide 30 decímetros de largo y 290 centímetros de ancho. ¿Qué
cantidad de baldosas tendríamos que comprar para cubrir todo el suelo si cada baldosa
tiene una superficie de 900 cm2? Un planteamiento inicial incorrecto podría ser:
superficie = base ⋅ altura = 3 ⋅ 29 = 87m 2
Obviamente, si conocemos las medidas normales de las dependencias de nuestras
viviendas nos damos cuenta de que este resultado no se ajusta a la realidad, es una
habitación bastante grande. Parece acertado pensar en un posible error, por ejemplo en
el cambio de unidades.
El ejercicio estaría bien resuelto de la siguiente forma:
superficie = base ⋅ altura = 3 ⋅ 2,9 = 8,7m 2
Analicemos ahora el siguiente problema de álgebra:
La edad de Juan es el doble que la de Pedro. Calcula las edades de ambos sabiendo que
suman 30 años. El planteamiento y resolución con un fallo puede ser:
Edad de Juan : x 
 ⇒ x + 2 x = 30 ⇒ 3 x = 30 ⇒ x = 10
Edad de Pedro : 2 x 
con lo que resulta que la edad de Juan es de 10 años y la de Pedro 20 años, por lo que
no se cumple el enunciado que indica que la edad de Juan debe ser el doble de la que
tiene Pedro.
Un análisis de los resultados muestra que hay algún error, y este puede estar en el
planteamiento de la ecuación.
El ejercicio bien resuelto consiste en intercambiar los datos iniciales:
Edad de Juan : 2 x 
 ⇒ 2 x + x = 30 ⇒ 3 x = 30 ⇒ x = 10
Edad de Pedro : x 
por ello es Juan el que tiene 20 años y Pedro 10 años.
Por último, acabamos estos comentarios con un problema característico:
¿Qué cantidad de patatas tenemos en total en 7 mallas de 5 kilogramos y 3 mallas de 3
kilogramos?. La solución podemos plantearla del siguiente modo:
Cantidad: 7 ⋅ 5 + 3 ⋅ 3 = 44
Con lo que la solución al problema queda confusa porque no queda explicitado si
tenemos 44 patatas, 44 kilogramos o incluso 44 mallas.
24
Deberemos escribir:
Cantidad: 7 ⋅ 5 + 3 ⋅ 3 = 44 kg
Para evitar estos problemas, podemos hacer las siguientes consideraciones: la respuesta
a un problema de áreas vendrá dada en unidades cuadradas como cm2 o m2; la respuesta
a un problema de volúmenes será cm3 o m3. Por otro lado, el resultado obtenido deberá
ser coherente con el enunciado y casi siempre con la vida real así que será conveniente,
una vez resuelto el ejercicio, volver a leer el texto para ver que se ajusta a la situación
planteada.
Existe una gran tipología de ejercicios cuyas soluciones pueden comprobarse
mecánicamente. Desde la tradicional prueba de la división, hasta la comprobación de
fracciones generatrices, máximo común divisor, ecuaciones y sistemas.
Por ejemplo, si se pide obtener la fracción generatriz de 1,33333... operaremos como
sigue:
) 13 − 1 12 4
1,333.... = 1,3 =
=
=
9
9 3
y bastará con coger la calculadora para comprobar que el resultado es el adecuado.
Estos errores pueden ser debidos a que dedicamos poco tiempo a repasar la tarea
realizada: operaciones correctas, unidades añadidas o a que en un examen sentimos
ciertas prisas o nervios. Quizá se deba también a no saber como comprobar el resultado
y por ello si en la resolución de una ecuación obtenemos que el valor de la incógnita es
x = 7 debemos saber que la comprobación implica sustituir este valor en la ecuación
dada y ver que satisface la igualdad.
Ejercicio de revisión
Resuelve el sistema:
3x − y = 1

 y comprueba el resultado.
− 2 x + 5 y = 8
25. Exactitud versus precisión
Estos conceptos aparentemente sinónimos tienen un significado distinto en el contexto
matemático.
La exactitud hace referencia a la cercanía con la que la lectura de un instrumento de
medida se aproxima al valor verdadero de la magnitud medida. La precisión hace
referencia a la repetibilidad de las mediciones, es decir, dado un valor fijo de una
magnitud, la precisión es la medida del grado con el cual mediciones sucesivas difieren
unas de otras.
Sin embargo, cuando pedimos al alumnado un sinónimo del término precisión algunos
responden exactitud.
Para evitar la confusión entre estos dos términos conviene ver claramente en qué se
diferencian. Si tuviéramos un reloj con la hora correcta y que no se retrasara o
adelantara nunca, este reloj daría las horas con total exactitud y precisión. Si el reloj no
se atrasa ni se adelanta, pero no tiene la hora correcta, daría las horas con precisión
pero sin exactitud. Si el reloj se adelanta o atrasa, daría las horas sin precisión y sin
exactitud.
Observamos así, que puede existir mucha precisión sin existir exactitud.
Ejercicio de revisión
Si medimos la longitud de un tubo, ¿es lo mismo decir que tiene 17,3 m ó que tiene
17,30 m?
25
CONVIENE RECORDAR...
La fracción generatriz de un
número periódico puro se
realiza escribiendo en el
numerador la parte entera y la
parte periódica menos la parte
entera y en el denominador
tantos nueves como cifras tiene
el período.
CAPÍTULO 3
SI TE ENCUENTRAS CURSANDO 3º DE ESO
O UN CURSO SUPERIOR...
26. La notación científica
Como sabemos, la notación científica es un método que, entre otras aplicaciones,
permite la representación de cantidades o bien muy grandes en valor absoluto o bien
muy próximas a cero. El proceso consiste en dar un número con pocos decimales y con
una sola cifra distinta de cero en la parte entera seguida de una potencia de base diez.
Una confusión típica es considerar que las cantidades 57 y 5 ⋅10 7 son iguales, cuando
son cantidades bien distintas. En el primer caso tenemos la potencia habitual:
57 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 78125 mientras que en el segundo caso tenemos:
5 ⋅10 7 = 5 ⋅10000000 = 50000000 .
El fallo es quizá debido a la representación que de estos números hacen algunas
calculadoras, ya que las pantallas muestran algo así como:
y el fallo en el alumnado es pensar que la calculadora nos está dando el número 3,2372,
en donde no aparece la base 10 porque se sobreentiende. Realmente, el valor que nos
está proporcionando es 3,23 ⋅ 10 72 .
La forma de evitar este error pasa por leer las instrucciones de las calculadoras, donde
queda reflejada la forma en que hacen aparecer en pantalla las diversas cantidades. Por
otro lado, la forma habitual con que introducimos las cantidades en notación científica
es pulsando la tecla EXP, que nos hace pensar en el exponente de una potencia normal
y no en la notación exponencial.
Ejercicio de revisión
Recordando que la velocidad de la luz es de aproximadamente 300000 km/s, ¿Cómo
podemos escribir este dato en notación científica?
27. Simplificación de exponentes
En cuanto a la simplificación de las fracciones, hay que recordar que los exponentes no
se simplifican como si fueran factores, pues de hecho son exponentes. En la expresión:
15 4
34
no podemos eliminar los exponentes porque sean iguales en el numerador y
denominador. La operación válida, si deseamos simplificar, es dividir el numerador y
denominador por el mismo número distinto de cero, y en el ejemplo mostrado, no
podemos hacerlo. Lo que si podemos efectuar, en virtud de las fórmulas de potencias,
es lo siguiente:
15 4
34
4
 15 
=   = 5 4 = 625
 3
Por todo lo dicho, en el siguiente ejercicio, la simplificación realizada no es correcta:
26
(2 ⋅ 3 ⋅ 7 )3
4
6⋅ 
3
−6
2⋅3⋅7
=
4
6⋅ 
3
−3
donde se han dividido los dos exponentes entre 3. Correctamente se hace así:
(2 ⋅ 3 ⋅ 7 )3
4
6⋅ 
3
−6
=
=
(2 ⋅ 3 ⋅ 7 )3
3
6⋅ 
4
2 3 ⋅ 33 ⋅ 7 3
=
6
2⋅3⋅
22 ⋅ 73 ⋅ 46
=
34
36
=
2 3 ⋅ 33 ⋅ 7 3 ⋅ 4 6
2 ⋅ 3 ⋅ 36
=
46
2 2 ⋅ 7 3 ⋅ 212
34
=
7 3 ⋅ 214
34
Este error puede evitarse prestando atención a lo que se está haciendo y distinguiendo
claramente lo que son factores de lo que son exponentes.
Ejercicio de revisión
Simplifica al máximo:
(2 ⋅ 7 )4 ⋅ 5−3
112 ⋅ (7 ⋅ 5)2 ⋅ 23
28. Cociente de potencias con la misma base
Cuando dividimos dos potencias que tienen en común la base, el resultado es otra
potencia que tiene esa misma base y como exponente la diferencia del exponente del
numerador y el exponente del denominador, una idea que se refleja con la expresión:
am
an
= a m−n
Como ejemplo, veamos el cociente siguiente:
75
73
= 7 5−3 = 7 2 = 49
Esta fórmula se aplica siempre de la misma manera, sin embargo, al encontrarnos con
ejercicios como el siguiente, el alumno tiende a ignorar los signos. Por ejemplo, el
siguiente ejercicio está mal resuelto:
97
9 −5
= 9 2 = 81
El resultado correcto es el que sigue:
97
9
−5
CONVIENE RECORDAR...
= 9 7−(−5 ) = 912 = 282429536481
Para evitar este error, conviene no olvidar lo que se ha dicho: deben restarse los
exponentes, incluyendo los signos que tengan. La realización de un gran número de
ejercicios, ayudará a manejar esta fórmula con soltura. Si es necesario se realizará
inicialmente con todo detalle así: restar al exponente del numerador, que es el 7, el
exponente del denominador, que es el –5, es decir: 7 − (− 5) = 7 + 5 = 12 .
Este error es debido a la consideración que el alumnado hace de los números negativos.
Los chicos y chicas ven el número –5 como si fueran dos cosas: un signo y una cifra,
cuando –5 es en sentido estricto un número y por tanto el símbolo – no puede separarse
27
Para restar una cantidad
negativa, se suma dicha
cantidad como positiva:
3 − (−5) = 3 + 5
Esta es una forma de aplicar la
regla de los signos: menos por
menos es más.
del símbolo 5. Es por ello por lo que puede ser conveniente recordar cuál es el conjunto
Z, de los números enteros, que incluye a los números negativos.
Ejercicio de revisión
Simplifica el cociente siguiente haciendo desaparecer la fracción:
32 ⋅ 5 −4 ⋅ 2 −5 ⋅ 7 3
35 ⋅ 5 − 6 ⋅ 2 − 2 ⋅ 7 2
29. Una potencia menor que su propia base
Cuando se hacen varios ejercicios de potencias, los pupilos adquieren la idea errónea de
que el valor final de una potencia es mayor que la base. Hecho que se refleja con
ejemplos sencillos como 2 5 = 32 .
CONVIENE RECORDAR...
El intervalo (0,1) se denomina
intervalo abierto de extremos 0
y 1 y comprende a los infinitos
números que están entre el 0 y
el 1 ambos excluidos.
Sin embargo, en casos más extraños como una potencia que tiene como base un
número perteneciente al intervalo (0,1), puede no suceder lo mismo. Al estudiante le
sorprende un resultado como el que sigue:
0,5 2 = 0,25
Y se pregunta cómo es posible que el cuadrado de 0,5 sea menor que el propio 0,5.
Esto, que no es realmente una paradoja, sucede también cuando consideramos que el
producto de dos números es mayor que cualquiera de ellos, lo que es incorrecto como
se muestra a continuación:
0,3 ⋅ 0,4 = 0,12
Para evitar este desacierto conviene tener presente algo tan básico como la forma de
multiplicar números con decimales: el resultado final tiene tantos decimales como la
suma de los decimales que tienen los números que estamos multiplicando.
Este error se debe a que casi todos los ejercicios se realizan con números exactos y
mayores que la unidad, con lo que el alumnado se acostumbra a que el resultado de una
potencia sea mayor que su base.
Ejercicio de revisión
Calcula: 0,8 4
CONVIENE RECORDAR...
Una fórmula que nos permite
cambiar el signo del exponente
es aquella en la que aparecen
fracciones:
3
 
2
−4
2
= 
3
4
30. Exponentes negativos
1
. Puede
an
observarse que si la base de la potencia es positiva, el resultado final siempre será
positivo:
1
1
3 −2 = 2 =
9
3
Consabida es la fórmula de potencias con exponente negativo: a −n =
Pero la tendencia del alumnado suele ser la de calcular la potencia como si el exponente
fuera positivo para después cambiar de signo el resultado. Así, la siguiente solución es,
por tanto, incorrecta:
3−2 = −9
Para evitar este error, debemos tratar de aplicar bien las fórmulas de potencias o
quedarnos con la siguiente afirmación: toda potencia de base positiva equivale siempre
a un número positivo, independientemente de si el exponente es positivo, negativo o
nulo. Otro modo de evitar este fallo es aplicar la definición: si 3 2 es multiplicar por 3
28
dos veces, 3 −2 será “deshacer” la multiplicación dos veces, lo que equivale a dividir
entre 3 dos veces.
Este error puede ser debido a una mala aplicación de la regla de los signos. Cuando
hacemos un producto ocurre que un número positivo por otro negativo proporciona un
número negativo, pero hay que recordar que no son lo mismo los productos que las
potencias.
Ejercicio de revisión
Calcula: 2 3 + 2 −3
31. Problemas con las identidades notables
Cuando se proporciona una colección de fórmulas, como ocurre con las potencias,
puede darse el caso de confundir unas fórmulas con otras, o incluso de inventar nuevas
fórmulas que son incorrectas. Un ejemplo típico es el caso de la expresión que nos da la
potencia de un producto:
(a ⋅ b ⋅ c )n = a n ⋅ b n ⋅ c n
que puede aplicarse a ejercicios como el siguiente:
(2 ⋅ 3 ⋅ 5)4 = 2 4 ⋅ 34 ⋅ 54 = 16 ⋅ 81 ⋅ 625 = 810000
El problema viene cuando en lugar de tener un producto tenemos, por ejemplo, una
suma. No se puede generalizar la expresión anterior, pero es típico que el alumnado lo
haga. Así, el siguiente ejercicio está mal resuelto:
(3 + 5)2 = 32 + 52 = 9 + 25 = 34
La forma válida es la que sigue: (3 + 5)2 = 32 + 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + 5 2 = 9 + 30 + 25 = 64
en donde hemos aplicado el primero de los productos notables dados al margen.
CONVIENE RECORDAR...
Evidentemente, la mejor forma de evitar estos fallos es la memorización de las
fórmulas, dejando de utilizar aquellas que no nos presentan en clase o que no aparecen
en los libros. Aplicar la definición de potencias puede ayudar en muchos casos. En el
anexo 7 puedes encontrar las fórmulas de potencias usuales.
Para poner a prueba una adecuada memorización de las fórmulas puedes probar a
escribir las que te sepas y ver posteriormente si has puesto alguna inventada. Puedes
comprobar la veracidad de las expresiones que has escrito dando valores concretos a
las variables y operando con la calculadora para ver si se da la igualdad propuesta. Por
ejemplo, en el caso anterior, para comprobar el resultado podemos operar el interior del
paréntesis y seguidamente elevar al cuadrado:
(3 + 5)2 = 8 2 = 64
El error comentado es debido a que el alumno desea aplicar lo que le sugiere su
intuición para facilitar y acelerar los cálculos. En otras ocasiones, las comparaciones
son las responsables de estos problemas; como es cierto que (a ⋅ b )n = a n ⋅ b n los chicos
creen que sucederá lo mismo con (a + b )n aunque en este caso la intuición les fallará.
Otro problema frecuente con las identidades notables sucede en el caso del cuadrado de
la diferencia. La expresión es la que sigue:
(a − b )2
= a 2 − 2ab + b 2
29
Los principales productos o
identidades notables son:
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
En esta situación, el error típico consiste en duplicar el signo menos. Veámoslo con un
ejemplo:
(3 − 5)2
= 3 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ (− 5) + 5 2 = 9 + 30 + 25 = 64
El fallo ha sido escribir el signo menos del término (− 5) , ya que este signo se ha
tenido en cuenta en el signo menos que precede al 2. La solución correcta es la
siguiente:
(3 − 5)2
= 3 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + 5 2 = 9 − 30 + 25 = 4
Si el alumnado no queda convencido de cuál es la respuesta correcta, puede operarse en
primer lugar la resta (3 − 5) y seguidamente elevar a dos:
(3 − 5)2 = (− 2)2
=4
Este error se debe a considerar que b = −5 , cuando lo correcto es ignorar el signo
menos y sustituir la b por el número 5. Otra forma de corregir el error es considerando
que la resta es una suma con un opuesto, es decir, transformando la resta en una suma y
aplicando la fórmula (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 , así:
(3 − 5)2 = [3 + (− 5)]2
= 3 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ (− 5) + (− 5)2 = 9 − 30 + 25 = 4
Sin embargo, lo mejor es ignorar el signo central y aplicar la fórmula del cuadrado de la
diferencia.
Conviene notar que cuando se aplica la fórmula para resolver la ecuación de segundo
grado, las letras a, b y c van con su signo correspondiente y este puede ser otro motivo
para cometer el fallo que estamos considerando.
Ejercicio de revisión
De las siguientes expresiones, copia en tu cuaderno aquellas que consideres correctas:
a n ⋅ b m = ab mn
,
n
n
n
( a + b) = a + b
a n ⋅ b m = ab m + n
,
a n + a m = a n+ m
,
(a ⋅ b )2
= a2 + b2
,
32. El exponente de un número
En una expresión algebraica o aritmética la aparición de una potencia indica que el
exponente es solo para la base.
Vamos a analizar un problema de jerarquía en las operaciones. Si nos encontramos con
una expresión como la que sigue: 5 ⋅ 32 , lo que debe hacerse primero es la potencia (el
tres elevado a dos) y seguidamente multiplicar por el número cinco. Así, el siguiente
ejercicio estaría mal operado:
5 ⋅ 3 2 = 15 2 = 15 ⋅ 15 = 225
La forma correcta es la que se ha explicado antes:
5 ⋅ 3 2 = 5 ⋅ 9 = 45
Este error se debe al desconocimiento de la jerarquía de operaciones y por lo tanto
podrá evitarse conociendo dicha jerarquía. En este caso se hace en primer lugar la
potencia y seguidamente el producto. Esto sería diferente si aparecen paréntesis:
(5 ⋅ 3)2 = 15 2 = 225
30
ya que los paréntesis tienen la máxima prioridad.
En este apartado podríamos incluir también el siguiente caso:
51 / 2 = 5 ⋅ 2 ≈ 5 ⋅ 1,41 ≈ 7,07
Este error puede ser debido a memorizar frases erróneas como la siguiente: “el 1/2 es
como la raíz cuadrada”. La frase correcta sería: “la potencia con exponente 1/2 equivale
a una raíz cuadrada cuyo radicando es la base de dicha potencia”. Así, en la situación
anterior podemos hacer:
51 / 2 = 5 ≈ 2,24
La forma de evitar este error pasa por no abreviar las frases que nos dan una regla.
Asimismo, pueden realizarse comprobaciones rápidas con la calculadora científica, ya
que permite escribir exponentes fraccionarios.
Ejercicio de revisión
2
Calcula: 3 ⋅  
9
CONVIENE RECORDAR...
Para escribir fracciones con la
calculadora, podemos usar la
tecla marcada con a/b. Esta
función, junto con la de
potencias,
nos
permitirá
obtener cualquier radical.
2
33. Sacar factor común
La técnica de sacar factor común consiste en ver en todos los términos de una expresión
uno o varios factores comunes. Por ejemplo, si se pide sacar factor común en el
polinomio:
a 4 b 2 c + 2a 3bc − 3a 2 bd
Se observa que en este polinomio de tres términos, aparece la a por lo menos dos veces
en cada monomio y la b al menos una vez en todos ellos, pudiendo escribir:
a 4 b 2 c + 2a 3bc − 3a 2 bd = a 2 b(a 2 bc + 2ac − 3d )
El problema viene cuando parece no haber un factor común o el factor común aparece
incluso con forma de polinomio. Analicemos estas dos situaciones.
En primer lugar, en el caso del polinomio ab + a , el alumno parece detenerse en el
segundo término, en qué hacer con la segunda a: ab + a = a(b + ?) . Para ello conviene
recordar que el 1, como elemento neutro en la multiplicación, está presente como factor
en todos los términos, así, 7 = 7 ⋅ 1 y, de la misma forma, a = a ⋅ 1 , con lo que
detalladamente:
ab + a = ab + a ⋅ 1 = a (b + 1)
Para evitar este error conviene tener en cuenta el significado de factor común. Un factor
es algo que aparece multiplicando. Además conviene tener presente el factor 1 que está
ligado a todos los términos de un polinomio, aunque nos pasa desapercibido porque no
es necesario escribirlo.
En el segundo caso de los planteados, el siguiente ejercicio estaría incompleto:
3 xy + 6 x + y + 2 = 3 xy + 3 ⋅ 2 x + y + 2 = 3 x( y + 2) + y + 2
ya que todavía se puede seguir operando. Si consideramos que el binomio y + 2 es un
término por sí mismo, podemos considerarlo como un factor común ya que podemos
poner lo anterior como:
3 x( y + 2) + y + 2 = 3 x( y + 2) + 1 ⋅ ( y + 2)
31
CONVIENE RECORDAR...
Una de las aplicaciones
prácticas del elemento neutro
del producto se encuentra en
los ejercicios en los que
debemos sacar factor común.
Aunque el 1 no se vea, está
presente multiplicando a todos
los números.
y dar la solución definitiva como:
3 x( y + 2) + y + 2 = 3 x( y + 2 ) + 1 ⋅ ( y + 2 ) = (3 x + 1)( y + 2)
Para evitar este problema conviene ver los términos de manera más general, y no solo
ver los productos de números con letras.
Ejercicio de revisión
Factoriza la expresión: 2ac-8ad+6bc-24bd
34. Eliminación de paréntesis
Recordando el uso del paréntesis, la regla de los signos y la prioridad con que deben
realizarse las operaciones matemáticas, la forma que sigue es la forma en la que debe
operarse:
3 − 6 ⋅ (x + 1) = 3 − 6 ⋅ x − 6 ⋅ 1 = 3 − 6 x − 6 = −6 x − 3
En donde se ha multiplicado el –6 (no hay que olvidar el signo menos) por todos los
términos que hay dentro del paréntesis, ya que debe hacerse antes el producto que la
resta. Seguidamente se ha terminado de simplificar el polinomio resultante.
Sin embargo, el alumnado opera en la situación anterior cometiendo tres tipos de fallos.
Veámoslos uno por uno.
En el primero de los fallos, se realiza erróneamente la resta antes que el producto:
3 − 6 ⋅ (x + 1) = −3(x + 1)
lo que es incorrecto si atendemos a la prioridad de las operaciones: debe hacerse en
primer lugar el producto, o lo que es lo mismo en este caso, quitar el paréntesis
aplicando la propiedad distributiva.
En el segundo de los fallos, se multiplica todo lo que está fuera del paréntesis por todo
lo que está dentro:
3 − 6 ⋅ (x + 1) = 3 x + 3 − 6 x − 6
lo que es incorrecto por que lo único que multiplica al paréntesis es el número que le
precede, en este caso, el –6. Este procedimiento hubiera sido el correcto si la resta 3-6
hubiera estado entre paréntesis.
En el tercero de los fallos, se ignora el signo negativo que tiene el 6:
3 − 6 ⋅ (x + 1) = 3 − 6 x + 6
lo que es incorrecto porque el 6 está unido a su signo y forma con él el número entero
−6 , que multiplica a la x y al 1 que tenemos dentro del paréntesis.
CONVIENE RECORDAR...
La propiedad distributiva es la
que permite quitar paréntesis
en la forma habitual:
3 ⋅ (5 − 2 x ) =
= 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ (−2 x ) = 15 − 6 x
Si queremos evitar estos errores, conviene tener bien aprendida la prioridad de las
operaciones y cómo se aplica la propiedad distributiva, considerando que los números
negativos son, al igual que los positivos, cantidades que van con su signo de forma
inseparable. Por otra parte, en el caso que nos ocupa, realizar una buena colección de
ejercicios nos ayudará a aplicar con soltura todo lo comentado en este apartado.
Ejercicio de revisión
Realiza el cálculo: − [5(3 − x ) − 8(− 2 + x )]
32
35. El cero en uno de los miembros de la ecuación
El cero es el elemento neutro en la suma pero no en el producto. Así: 3 + 0 = 3 , pero:
3 ⋅ 0 = 0 . Por ello, la siguiente ecuación estaría mal resuelta:
0=
x2 − 4
⇒ x = x2 − 4
x
ya que la x del denominador se multiplica con el cero del miembro de la izquierda.
Correctamente escribimos:
0=
x2 − 4
⇒ 0 = x2 − 4
x
La forma de evitar este error es considerar el cero como un número más,
multiplicándolo por los números por los que corresponda.
Ejercicio de revisión
Resuelve la ecuación:
5(x + 2 ) − 5 x − 10 6 x 5
=
−
4
3 7
36. Despejando la incógnita de una ecuación
Para resolver una ecuación de primer grado, la técnica usual consiste en dejar un solo
coeficiente en x en uno de los miembros y el término independiente en el otro.
Seguidamente obtenemos el valor de la incógnita x mediante un cociente. Ejemplo:
5 x + 2 = 2 x + 11 → 5 x − 2 x = 11 − 2 → 3 x = 9 ⇒ x =
9
=3
3
Para desarrollar estos pasos el alumno aprende frases como esta: “para pasar un término
de un lado de la ecuación al otro se le cambia el signo”. Esta frase es incorrecta y da
lugar a uno de los errores más frecuentes a la hora de despejar la x.
Por ejemplo, lo siguiente es incorrecto:
− 3x = 6 ⇒ x =
6
=2
3
donde el –3 que acompaña a la x, en el lado izquierdo, ha pasado a ser un 3 en el
miembro derecho.
Como hemos señalado, la frase anterior es muy poco precisa. En general, el mecanismo
que se aplica en la resolución de ecuaciones es el de realizar en ambos miembros la
misma operación, así, podemos sumar el número que queramos en el miembro derecho,
si también lo hacemos en el miembro izquierdo.
Realmente no se pasa un término de un lado al otro, sino que se realiza la misma
operación con el mismo número en las dos partes. Veámoslo:
5 x + 2 = 2 x + 11 ⇒ 5 x + 2 − 2 = 2 x + 11 − 2 ⇒ 5 x = 2 x + 9
donde lo que se ha hecho para “pasar” el 2 de la izquierda a la derecha ha sido restar 2
en las dos partes de la igualdad, lo que produce el efecto de que “lo que está sumando
pasa a restando”.
Estos fallos podemos evitarlos prestando atención en los pasos, así, en el caso que nos
ocupa:
6
6
−3 x
=
⇒x=
= −2
− 3x = 6 ⇒
−3 −3
−3
33
CONVIENE RECORDAR...
Al resolver una ecuación no
todo está permitido. Por
ejemplo,
no
podemos
multiplicar por 0 en el
miembro derecho aunque lo
hagamos también en el
izquierdo.
donde hemos aplicado la misma técnica: hacer la misma operación en las dos partes de
la ecuación, con el fin de dejar la x “sola”. En este caso hemos dividido los dos
miembros de la ecuación entre -3. El efecto es que “lo que está multiplicando pasa a
dividiendo”. El –3 que multiplica a la x ha pasado dividiendo al 6.
Otro caso es cuando se nos presenta una ecuación como:
x 2 = 1,43
la forma de despejar la x es mediante la raíz cuadrada. Es decir, que tendríamos:
x 2 = 1,43 ⇒ x 2 = 1,43 ⇒ x = 1,43
En definitiva, para despejar la x cuando esta aparece elevada al cuadrado, debemos
hacer la raíz cuadrada del otro miembro. Por ello, la siguiente forma de proceder es
incorrecta:
x 2 = 1,43 ⇒ x =
1,43
2
Para evitar este error debemos tener presente la diferencia que existe entre multiplicar
por 2 y elevar a 2. La operación inversa de la multiplicación es la división y la de la
potenciación es la radicación.
Como ha quedado dicho, cuando nos encontramos con la forma reducida de una
ecuación, ax = b , despejamos la incógnita formando el cociente b / a . De este modo:
18 x = 12 ⇒ x =
12
18
Sin embargo el alumnado comete el despiste de escribir el cociente con los términos
cambiados, por lo que el siguiente procedimiento no es correcto:
18 x = 12 ⇒ x =
18
12
Para evitar estos fallos, conviene tener presente que para despejar la incógnita, lo que
se hace realmente es dividir los dos miembros de la ecuación por el coeficiente de la x:
18 x = 12 ⇒
18 x 12
18
=
⇒x=
18 18
12
Quedando la x despejada.
Ejercicio de revisión
Realiza los siguientes apartados:
1. Calcula y comprueba el valor de x en las siguientes expresiones:
5x=10; -4x=-12; 3x=-18; -7x=21
(
)
2. Resuelve la ecuación: 3 x 3 + x + 2 = 3x + 83
3. Escribe una ecuación en la que no pueda despejarse la incógnita con el
procedimiento habitual.
34
37. Eliminando los denominadores de una ecuación
Cuando queremos eliminar los denominadores de una ecuación, obtenemos el mínimo
común múltiplo de todos los denominadores que aparecen en ella y multiplicamos
todos los términos de la ecuación por dicho mínimo. Así, podemos simplificar las
fracciones si hacemos desaparecer el denominador.
Como ejemplo:
x
4
+ 3 = 7x −
3
2
como el mínimo común múltiplo es 6, tenemos lo siguiente:
6⋅
x
4
+ 6 ⋅ 3 = 6 ⋅ 7 x − 6 ⋅ ⇒ 3 x + 18 = 42 x − 8
3
2
y ya tenemos una ecuación equivalente sin denominadores.
El problema puede surgir cuando la ecuación tiene otros elementos que complican su
resolución, como paréntesis o corchetes. Suele ocurrir entonces algo parecido al paso
realizado en la siguiente ecuación, que es erróneo:
x−
3
1

+ 3 x = 4(x − 3) + 2 x − 
6
2

6 x − 3 + 18 x = 24(6 x − 18) + 12(6 x − 3)
ya que algunos términos de la ecuación han quedado multiplicados por el mínimo
común múltiplo dos veces. Es correcto utilizar el 6 como mínimo común múltiplo, pero
3

el término 4(x − 3) es solo uno, y lo mismo ocurre con 2 x −  , por ello lo correcto
6

es:
3

6 x − 3 + 18 x = 24(x − 3) + 12 x − 
6

Por lo tanto, debemos multiplicar el mínimo común múltiplo por el número que
multiplica al paréntesis o por los términos que se encuentran encerrados por ellos, pero
no por ambas cosas simultáneamente. También sería correcto lo siguiente:
6 x − 3 + 18 x = 4(6 x − 18) + 2(6 x − 3)
El fallo que estamos comentando se debe a que no está bien entendida la frase “el
mínimo común múltiplo afecta a todos los términos de la ecuación”.
Para poder evitar este error, debemos tener claro lo que se entiende por término, que es
una expresión en la que sus elementos aparecen ligados únicamente por la
multiplicación o división. Por ello, 3x es sólo un término en donde el 3 y la x aparecen
3

multiplicados. En el ejemplo anterior, 2 x −  es un único término, donde los dos
6


elementos, el 2 y el paréntesis, aparecen multiplicados.
Como último recurso, antes de eliminar los denominadores podemos quitar los
paréntesis, así:
3
1

x − + 3 x = 4(x − 3) + 2 x − 
6
2

x−
1
6
+ 3 x = 4 x − 12 + 2 x −
2
6
35
y eliminar los denominadores en esta última ecuación. Evidentemente la solución es la
misma para cualquiera de los tres procedimientos planteados.
Vamos a tratar con otro error relacionado con la eliminación de los denominadores en
una ecuación. Ha quedado dicho que las fracciones pueden simplificarse haciendo
desaparecer el denominador.
Como ejemplo:
2 x x 5
− = +
3 4 3 2
donde el mínimo común múltiplo es 12, por lo que tendremos:
12 ⋅
5
2
x
x
− 12 ⋅ = 12 ⋅ + 12 ⋅ ⇒ 8 − 3 x = 4 x + 30
2
3
4
3
y así, han desaparecido los denominadores.
En este ejemplo, las fracciones han aparecido en los dos términos de la ecuación, pero
los despistes u olvidos surgen cuando no aparecen fracciones en uno de los términos.
Así, el siguiente ejercicio está mal resuelto:
5x
2
+ 7x − 2 +
= −4
2
3
4 + 42 x − 12 + 15 x = −4
ya que el mínimo común múltiplo afecta a toda la ecuación, incluido el –4 del miembro
derecho. Lo correcto sería:
4 + 42 x − 12 + 15 x = −24
Como hemos explicado, el fallo puede ser debido a que no aparecen denominadores en
el segundo miembro de la ecuación, motivo por el cual nos olvidamos de operar con el
mínimo común múltiplo en dicho miembro.
Para evitar este despiste, conviene realizar gran número de ecuaciones que tengan
fracciones únicamente en uno de los dos miembros.
Ejercicio de revisión
Resuelve las ecuaciones:
3x 1
2(4 x − 3)


2  x − (5 x + 2) +
− (5 x − 2) = 2 − 3 x +
2 3
4


5x − 4 = 8 −
2 x 1 1 + 5x
+ −
3 5
4
38. Problemas con las ecuaciones de segundo grado
CONVIENE RECORDAR...
La fórmula que resuelve la
ecuación de segundo grado es:
Una ecuación de segundo grado se resuelve con la conocida fórmula que recordamos al
margen. Por ejemplo:
2 x 2 + 30 x + 5 = 0 ⇒ x =
2
ax + bx + c = 0 ⇒
⇒x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
− 30 ± 30 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5
2⋅2
que, como es sabido, da lugar a dos soluciones.
36
El problema surge cuando la ecuación tiene uno o varios coeficientes negativos. Por
ejemplo, para la ecuación:
3x 2 − 6 x − 1 = 0
dos son los fallos que suelen cometerse:
El primero de ellos se comete en la escritura:
x=
6 ± − 6 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ −1
2⋅3
donde observamos un doble error, ya que falta el paréntesis que encierra al –6 dentro de
la raíz y además tenemos dos signos aritméticos que no pueden ponerse seguidos: el
punto del producto seguido del signo menos.
El segundo de los fallos radica en los signos, así:
x=
− 6 ± 62 − 4 ⋅ 3 ⋅ 1
2⋅3
pues si el valor del coeficiente b es –6, el término –b de la fórmula será 6.
Las sustituciones correctas en la fórmula son:
x=
− (− 6 ) ±
(− 6)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 1)
2⋅3
o más directamente:
x=
6 ± 6 2 + 4 ⋅ 3 ⋅1
2⋅3
Para evitar estos problemas debemos realizar muchos ejercicios para coger soltura.
Inicialmente, podemos probar a escribir los valores de las letras de la fórmula para que
no nos olvidemos de los signos:
a = 3

3 x 2 − 6 x − 1 = 0 ⇒ b = −6
c = −1

Ejercicio de revisión
Resuelve la ecuación: 6 = −2 x + 5 x 2
39. Método de reducción para resolver sistemas
El método de reducción es uno de los numerosos métodos de resolución de sistemas.
Consiste en reducir el número de incógnitas sumando ecuaciones en las que los
coeficientes de una misma incógnita son opuestos, por ejemplo:
2 x + 7 y = 15
⇒
5 x − 7 y = 11 
+
2 x + 7 y = 15
5 x − 7 y = 11
⇒ 7 x + 0 = 26
donde hemos eliminado la incógnita y, para poder despejar la incógnita x.
El problema surge cuando debemos hacer alguna operación previa para conseguir que
los coeficientes sean números iguales pero cambiados de signo, es decir, opuestos. Así,
la siguiente resolución es incorrecta:
37
x + 5 y = 13 2 x + 10 y = 26
⇒

x − y = 7  − 2x + 2 y = 7 
donde la primera ecuación se ha multiplicado por 2 y la segunda por –2. Sin embargo,
por despiste, el 7 no ha variado. El siguiente paso también es incorrecto:
x + 5 y = 13
x + 5 y = 13
⇒

x − y = 7  − x + y = 7
ya que en la segunda ecuación debemos cambiar el signo del 7. Correctamente quedaría
así:
CONVIENE RECORDAR...
En el método de reducción
podemos eliminar en primer
lugar la incógnita que más
convenga. Una vez obtenido el
valor de una de las incógnitas
es también indiferente la
ecuación que se utilice para
obtener la otra incógnita.
Lógicamente, la solución final
será la misma en cualquier
caso.
x + 5 y = 13 2 x + 10 y = 26 
⇒
 ⇒ 12 y = 12 ⇒ y = 1
x − y = 7  − 2 x + 2 y = −14
o bien:
x + 5 y = 13
x + 5 y = 13 
⇒
 ⇒ 6y = 6 ⇒ y = 1
x − y = 7  − x + y = −7 
Esta situación se corresponde con un despiste que evitaremos realizando gran número
de sistemas y recordando que una ecuación es una igualdad, por lo tanto, lo que
hacemos en un miembro de la ecuación debemos hacerlo también en el otro.
Ejercicio de revisión
Resuelve por el método de reducción:
6x + 7 y = 8 

− 4 x + 6 y = −1
40. Curvas que representan funciones
Una función es una aplicación de R en R donde a cada valor de la variable
independiente x le corresponde un único valor de la variable dependiente y.
Podemos observar la siguiente gráfica que representa una función cualquiera:
CONVIENE RECORDAR...
Recuerda que curvas como la
elipse, la circunferencia, o la
hipérbola, no están definidas
como funciones sino como
lugares geométricos.
Así
por
ejemplo,
una
circunferencia es el lugar
geométrico de los puntos que
equidistan de uno fijo llamado
centro.
Observaremos que para cada valor de x existe un único valor de y.
El problema aparece cuando es el alumno quien tiene que representar una gráfica
cualquiera. El siguiente no es un ejemplo válido de representación de una función:
38
El error se debe a tener presentes curvas como las espirales u otras, pero conviene
aclarar que en las coordenadas cartesianas no hablaríamos de funciones elementales
sino de funciones multiformes o de lugares geométricos. En una espiral, por ejemplo,
para cada valor de x, tenemos varios valores de y.
Ejercicio de revisión
Realiza la representación gráfica de una función con tres puntos de discontinuidad que
sea siempre creciente en su dominio de definición.
41. Cálculo de los cuartiles
Cuando tenemos una serie de datos estadísticos ordenados de menor a mayor, podemos
encontrar tres valores de la variable que dividen las observaciones en cuatro partes
iguales o prácticamente iguales. El primero de esos valores se llama primer cuartil, el
segundo es la mediana o segundo cuartil y el tercero es el tercer cuartil. Calculémoslos
en el ejemplo siguiente:
Obtén la mediana, el primer y el tercer cuartel, para los siguientes valores de una
determinada variable estadística: 2, 3, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 29, 30, 32, 35, 37,
38, 40, 42. Para verlo claramente, los disponemos en una fila en la que los datos han
sido divididos en cuatro grupos iguales:
2 3 6 7
8
10
11
12
Primer
cuartil
15
16
segundo
cuartil o
mediana
18
29
30
32
35
37
38
40
42
tercer
cuartil
El problema que pretendo comentar se nos presenta cuando los datos aparecen
agrupados, o sea, cuando los datos aparecen repetidos varias veces, como en la
siguiente tabla:
Valor de la variable
Frecuencia absoluta
2
14
3
10
4
8
5
5
6
3
7
2
8
1
En este caso, el alumnado responde erróneamente que los cuartiles son 3, 5 y 7
respectivamente, puesto que son los valores de la variable que dividen los datos en
cuatro partes iguales:
2 3 4 5 6 7 8
↑
↑
↑
El error que se comete estriba en no tener en cuenta que los valores no aparecen el
mismo número de veces. Así, el 2 aparece realmente 14 veces, el 3 aparece 10 veces,
etc. Sumando todas las frecuencias absolutas, observaremos que disponemos de un total
de 43 valores; si escribiéramos los 43 datos que aparecen resumidos o agrupados en la
tabla, el valor central sería el que ocupa la posición número 22, que es el valor central
en una colección de 43 datos: deja 21 datos por delante y otros 21 datos por detrás. En
este caso, la posición central la ocupa el valor 3, ya que los 14 primeros valores son
para el 2, y los 10 siguientes, es decir del 15 al 24, son para el 10. Esto se ve en una
tabla como la anterior en la que representamos también la frecuencia absoluta
acumulada, así:
Valor de la variable
Frecuencia absoluta
F. a. acumulada
2
14
14
3
10
24
4
8
32
5
5
37
6
3
40
7
2
42
8
1
43
Igualmente obtendríamos el primer cuartil, que es el que ocupa la posición 11 y el
tercer cuartil, que es el que está en la posición 33. Es decir que el primer cuartil vale 2 y
el tercer cuartil vale 5.
39
Para superar este error, conviene que comprendamos a la perfección el significado de
datos agrupados y de frecuencia acumulada; de hecho, la forma de evitar este error
será fijándonos en la columna de la frecuencia absoluta acumulada. Con esta columna,
los tres cuartiles son los valores de la variable que se corresponden, redondeando
siempre hacia arriba, con las posiciones n ⋅ 0,25 , n ⋅ 0,5 y n ⋅ 0,75 .
Otras veces, el error cometido nos mueve a indicar que la mediana es 22, ya que es el
valor central. Es decir, se da como resultado la posición que ocupa la mediana en lugar
del valor de dicha mediana.
Para evitar esta confusión conviene recurrir a la definición de mediana, que comienza
diciendo: “es el valor de la variable...”. De esta forma, la mediana y los otros cuartiles,
son siempre valores de la variable, no posiciones de las mismas en una tabla. Una cosa
es la posición 22 y otra es el valor que se encuentra en esa posición número 22.
Ejercicio de revisión
Calcula los cuartiles para la distribución siguiente:
Valor de la variable
Frecuencia absoluta
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
2 4 8 15 16 15 13 7 4 3
42. Fórmula para la desviación típica y para la varianza
Una de las expresiones utilizada para calcular la desviación típica de una variable x, si
los datos no están agrupados, es:
σX =
∑x
2
i
N
− x2
donde xi son los valores de la variable y x es la media aritmética de dichos valores.
El inconveniente aparece cuando el alumnado quiere utilizar una fórmula más
abreviada pero incorrecta, así:
σX =
∑x
2
i
N
−x
donde, de forma errónea, se ha extraído la media aritmética de la raíz a costa de quitar
su exponente.
CONVIENE RECORDAR...
Las calculadoras científicas
básicas son capaces de realizar
muchos cálculos estadísticos
por nosotros sin más que
teclear los datos de partida.
Para evitar este problema, bastaría con memorizar la fórmula tal y como la presentamos
en la pizarra. Pero podemos ir más allá y razonar por qué el paso anterior está mal.
Cuando nos explican la extracción de términos de un radical, nos insisten en que dichos
términos deben ser factores, es decir, que para extraer un término, este debe estar
multiplicando, de ahí que hablemos de extracción de factores. En cambio, en la fórmula
de la desviación típica, la media está sumando y por ello no podemos extraerla de la
raíz.
En otros casos, el alumnado ha utilizado la siguiente expresión, también incorrecta:
σX =
∑x
N
2
i
− x2
En este caso, la raíz cuadrada no abarca al término x 2 . Lo que ha ocurrido es,
nuevamente, una mala memorización de las expresiones que proporcionan los
parámetros estadísticos.
40
Evidentemente, un cálculo incorrecto de la desviación típica proporcionará una
solución errónea de la varianza, ya que estos dos parámetros están estrechamente
relacionados al ser el primero la raíz cuadrada del segundo. Para la varianza usamos la
fórmula:
xi2
− x2
σX2 =
N
∑
Que no debe confundirse con la siguiente fórmula incorrecta:
σX
2
∑x
=
2
i
N
−x
En definitiva, debemos tener en cuenta dos afirmaciones: que la media está dentro de la
raíz en la desviación típica y que la media está siempre elevada al cuadrado.
Ejercicio de revisión
Calcula la desviación típica y la varianza de cierta variable x para la que hemos
obtenido los valores 1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 11, 13 y 14.
41
CAPÍTULO 4
SI TE ENCUENTRAS CURSANDO 4º DE ESO
O UN CURSO SUPERIOR...
43. Intervalos y conjuntos
En el apartado de notaciones matemáticas, los símbolos de las llaves sirven para
representar conjuntos, mientras que los paréntesis y corchetes denotan intervalos, que
son un tipo de conjuntos. El conjunto A formado por las vocales puede escribirse así:
A = {a, e, i, o, u} . El intervalo de números que comprende a todos los mayores o iguales
que 2 y que además son menores que 7 se escribe así: [2,7).
Sin embargo, es usual que el alumno represente el intervalo [-1,1] como {-1,1}. Para
evitar esto hay que tener bien claras las notaciones matemáticas. Si queremos denotar
únicamente la pareja de valores formada por el uno y el menos uno, sin incluir los
valores comprendidos entre ambos, hablaremos del conjunto {-1,1}. Si queremos
hablar de los infinitos valores que existen entre el menos uno y el uno usaremos [-1,1] o
(-1,1) según que incluyamos o no los valores –1 y 1.
Para evitar estos fallos quedémonos con que las siguientes representaciones se refieren
todas a conjuntos distintos:
{− 1,1} , (− 1,1) , [− 1,1] , [− 1,1)
y (− 1,1]
El error suele cometerse por despiste.
Ejercicio de revisión
Representa el conjunto de los números enteros menores que 5.
44. Unión e intersección de conjuntos.
Los conceptos matemáticos de unión e intersección hacen referencia a conjuntos
cualesquiera, sin embargo, los conjuntos que consideramos en la enseñanza secundaria
son conjuntos numéricos y más concretamente, intervalos. Los intervalos, tratados en el
error anterior, son conjuntos de números comprendidos entre dos números dados. La
unión de dos o más conjuntos será otro conjunto que posee los elementos de todos los
conjuntos considerados, pero sin repetirlos. La intersección será otro conjunto que
contendrá únicamente los elementos que son comunes a todos esos conjuntos. La unión
se representa con el símbolo ∪ y la intersección con el símbolo ∩ .
Así, considerando que:
A = {1,2,3,4,5,10,15,20} y B = {4,5,10,30,40,50}
La unión y la intersección de los conjuntos A y B serán:
A ∪ B = {1,2,3,4,5,10,15,20,30,40,50} y
A ∩ B = {4,5,10}
Se observa que todos los elementos del conjunto unión están en el conjunto A o en el B;
sin embargo, en el conjunto intersección sólo están los elementos que son comunes a A
y a B. El alumnado comete fallos como el siguiente:
A ∪ B = {1,2,3,4,5,10,15,20,4,5,10,30,40,50}
El error reside en haber escrito algunos elementos más de una vez, como el 4 o el 5.
Esto es debido a que las chicas y chicos escriben todos los elementos de A y
seguidamente todos los de B. Para que no ocurra esto, los pupilos pueden escribir todos
42
los elementos de A y después ir añadiendo los de B comprobando que no se han escrito
antes.
Un error cometido al formar la intersección es:
A ∩ B = {1,2,3,15,20,30,40,50}
Aquí, el error está en haber tomado justamente los elementos que no son comunes. Para
que esto no ocurra, los pupilos tienen que tener bien aprendida la definición de
intersección de conjuntos.
Ejercicio de revisión
Considerando los conjuntos A = {12,14,16,18,20} y B = {4,8,12,16,20,24} , escribe los
conjuntos unión e intersección.
45. Simplificación de índices
En el apartado de cocientes con radicales, los índices no se simplifican unos con otros,
se comportan como los exponentes de las potencias. Así, la siguiente simplificación de
índices es incorrecta:
3
125
3
27
=
125
27
donde se han eliminado las raíces por poseer el mismo índice. Además de conocer las
técnicas de simplificación en fracciones, para darse cuenta del error cometido puede
hacerse un cálculo rápido de las dos formas posibles de hacer la operación (la correcta
y la incorrecta) y comprobar que hay dos soluciones distintas en función del método
empleado:
de la forma errónea presentada, el resultado es 4,63:
3
125
3
27
=
125
≈ 4,63
27
Y de forma correcta el resultado es 1,67:
3
125
3
27
=
5
≈ 1,67
3
CONVIENE RECORDAR...
Un radical es en esencia
equivalente a una potencia ya
donde lo que se ha hecho es obtener las raíces cúbicas y efectuar la división.
Como es evidente que solo hay una solución correcta, el alumno intuye que hay alguna
idea mal aplicada.
Para evitar este error, no deben confundirse los índices de las raíces con los factores
que aparecen en las fracciones y que son los términos que sí podríamos simplificar. El
conocimiento de las fórmulas con radicales también puede ayudar, así, también
podríamos haber hecho:
3
125
3
27
=3
125
=≈ 3 4,63 ≈ 1,67
27
Este error puede ser debido a una falta de concentración del alumnado junto con un
deseo de simplificar rápidamente, aunque de forma incorrecta, las expresiones que se le
presentan.
43
que, por ejemplo, 3 7 = 71 / 3 .
Ejercicio de revisión
Simplifica:
3
4
3
2
46. Invención de fórmulas
Cuando se da una serie de fórmulas, por ejemplo en el caso de radicales, puede darse el
caso de confundir unas con otras, o incluso de inventar fórmulas incorrectas si tratan de
aplicarse mecánicamente. Por ejemplo, la fórmula n a ⋅ n b = n a ⋅ b permite englobar
bajo un solo radical el producto de a con b. Sin embargo, advertimos algún caso como
el que sigue:
3+ 5 = 8
Cuya resolución correcta obliga a coger la calculadora:
3 + 5 ≈ 1,73 + 2,24 ≈ 3,97
De nuevo, para poner a prueba tu capacidad de memorización, puedes probar a escribir
las fórmulas que te sabes y comprobar si se ponen algunas de las inventadas
seguidamente. Para terminar, puede comprobarse la veracidad de las expresiones que
has escrito dando valores concretos a las variables y operando con la calculadora para
ver si se da la igualdad propuesta. En el anexo 9 puedes encontrar las fórmulas de
radicales usuales.
Evidentemente, la mejor forma de evitar estos fallos es la memorización correcta de las
fórmulas que nos proporcionan los libros.
Este error puede ser debido a que los alumnos toman por verdadero lo que les parece
intuitivo, cosa que no siempre es correcta.
Ejercicio de revisión
De las siguientes expresiones, copia en tu cuaderno aquellas que sean correctas:
n
a + m b = n+ m a + b
y
n
a ⋅n b = n a +b
47. Potencias de funciones típicas
El cuadrado de la función coseno, que tan frecuentemente aparece en los problemas de
trigonometría, equivale a calcular el valor de la función coseno para el argumento y
elevar a dos el resultado obtenido. Por ejemplo: cos 2 40 = 0,77 2 = 0,59 .
El problema surge cuando el exponente aparece en el argumento, así, cuando un
alumno está resolviendo un problema puede encontrase con la siguiente expresión:
cos 40 2 . Y aquí esta la duda: ¿qué es lo que está elevado al cuadrado? ¿el 40 o el
coseno? La duda surge igualmente, aunque en mucha menor medida, con la forma:
(cos 40)2 .
Desafortunadamente algunos alumnos optan por lo siguiente: cos 40 2 ≈ 0,77 2 ≈ 0,59
Sin embargo la escritura no da lugar a dudas: en la forma cos 40 2 , el exponente 2 es
para el 40, por tanto la respuesta es: cos 40 2 = cos1600 = −0,94 . En la expresión
(cos 40)2 , el exponente
(cos 40)2 = 0,77 2 = 0,59 .
44
es para el
coseno de
40 y la
solución es:
Para evitar estos problemas, en estas situaciones, lo que debemos aprender con
seguridad son las fórmulas tales como el teorema fundamental de la trigonometría:
sen 2α + cos 2 α = 1 , donde el cuadrado es para las funciones trigonométricas. Por tanto
podríamos escribirlo también así: (senα )2 + (cos α )2 = 1 , se suele utilizar la primera
expresión para “escribir menos” evitando el uso de los paréntesis.
Otra manera de evitar esta confusión puede ser utilizar de forma abusiva los paréntesis,
en el ejemplo anterior podríamos escribir cos 40 2 que no dejaría lugar a ninguna duda
sobre la operación que debe realizarse en primer lugar.
( )
Todos estos comentarios valen igualmente para otras funciones como las logarítmicas,
por ello se propone el siguiente ejercicio.
Ejercicio de revisión
Calcula: log 20 2 + log 2 20 + (log 20)2
CONVIENE RECORDAR...
48. Paso de forma radical a forma potencial
Existe una fórmula que permite expresar un radical como potencia o viceversa, y
aplicándola podemos hacer transformaciones como la siguiente:
Un radical se puede escribir
como potencia y viceversa:
a = an / m
m n
3
52 = 52 / 3
El radical con la potencia de exponente entero que estaba como radicando se ha
convertido en una potencia con exponente fraccionario. Si en lugar de tener una sola
potencia como radicando, tuviéramos varios términos, ya sean sumandos, factores, etc,
deberíamos usar los paréntesis en la base resultante. Un olvido de los mismos daría
lugar a una expresión incorrecta como esta:
3
2 x = 2 x1 / 3
ya que el exponente 1/3 figura solo para la x y debe ser también para el 2. La forma
correcta sería:
3
2 x = (2 x )1/ 3
Este es más bien un despiste a la hora de escribir que puede evitarse revisando lo que
vamos haciendo y prestando atención.
Ejercicio de revisión
Escribe la expresión siguiente como potencia:
3
5 + x2
49. El paréntesis en la extracción de factores de una raíz
Tenemos nuevamente un caso que muestra la importancia de los paréntesis.
Recordemos que cuando queremos extraer un factor de un radical debemos dividir, sin
obtener decimales, el exponente del factor entre el índice del radical y poner ese factor
multiplicando a la raíz con el cociente obtenido; el factor también queda dentro de la
raíz con el resto obtenido como exponente. Por ejemplo:
4
x7 ⋅ y9 ⋅ z 4 ⋅ s 2 = x ⋅ y 2 ⋅ z ⋅ 4 x3 ⋅ y ⋅ s 2
Pero si el factor que queremos extraer es una expresión polinómica, todo el polinomio
es el que sale de la raíz y por tanto todo el polinomio debe ponerse entre paréntesis.
Así, el siguiente ejercicio es incorrecto por estar mal escrito:
( x + 2) 3 = x + 2 ⋅ x + 2
45
ya que solo se expresa que lo que multiplica a la raíz es el 2 y no el polinomio x + 2 .
Correctamente deberíamos ponerlo así:
( x + 2) 3 = ( x + 2 ) ⋅ x + 2
Podemos considerar que en lugar de ser un error es un despiste a la hora de escribir,
que puede evitarse revisando lo que vamos haciendo poco a poco.
Este error puede ser debido a que los alumnos no tienen asimilado el significado de los
paréntesis y el trabajo con expresiones algebraicas.
Ejercicio de revisión
Factoriza y extrae de la raíz lo que se pueda:
x3 − 4x 2 + 4x
50. El índice de una raíz cuadrada y trabajo con raíces
En ocasiones, para multiplicar dos expresiones, debemos multiplicar todos los términos
de una por todos los de la otra. Tal es el caso del producto de polinomios. Como
ejemplo veamos el siguiente:
(2 + x ) ⋅ ( y − 3) = 2 y − 6 + xy − 3x
Sin embargo, no siempre debe procederse así, como ocurre con los radicales. En un
radical, el índice es el número que se pone en la parte superior izquierda del símbolo de
la raíz. Así, una raíz cúbica, de índice 3, se expresa así:
3
. El siguiente ejercicio está
mal hecho:
3 ⋅ 5 = 4 15
ya que se han multiplicado tanto los índices como los radicandos entre sí. Lo correcto
sería multiplicar sólo los radicandos, ya que los índices coinciden:
3 ⋅ 5 = 15
CONVIENE RECORDAR...
En un número que no tiene
escrito el exponente, éste vale
la unidad, así, el exponente de
5 es 1, ya que:
Para evitar este problema, debe entenderse bien la siguiente fórmula:
5 = 25
a ⋅n b = n a ⋅b
Que indica que al multiplicar dos raíces con el mismo índice el resultado es otra raíz
con ese mismo índice. Pero además de conocer y entender las fórmulas relacionadas,
puede buscarse la solución del ejercicio operando de otra forma, como la que sigue:
3 ⋅ 5 = 31 / 2 ⋅ 51 / 2 = (3 ⋅ 5)1 / 2 = 151 / 2 = 15
5 = 51
En una raíz que no tiene escrito
el índice, éste vale 2, por ello:
n
donde se han transformado los radicales en potencias para operarlos como tales y al
final se ha realizado el proceso contrario, transformar la potencia en radical.
La dificultad también surge cuando no aparece el índice en un radical. En ocasiones, el
alumno se despista y supone que dicho índice es la unidad. Es el caso de los problemas
típicos de modificación de los índices en las raíces. La fórmula que sigue nos
proporciona la forma en que debe procederse:
n
am =
n⋅ p
a m⋅ p con p ≠ 0
Esto quiere decir que si multiplicamos el índice por un número cualquiera distinto de
cero, el exponente o los diferentes exponentes de los factores del radicando deben
multiplicarse por ese mismo número, así:
3
46
2 ⋅ 3 2 = 9 2 3 ⋅ 36
Donde lo que se ha hecho es multiplicar por 3 el índice y los exponentes. Es importante
recordar que cuando no se escribe el exponente, éste vale 1, pero cuando no se escribe
el índice, éste vale 2.
En este caso se producen errores como considerar que la igualdad siguiente es cierta:
ab 3 = 4 a 4 b12
donde se ha pretendido multiplicar por 4 el índice de la raíz y los exponentes del
radicando; aquí se ha considerado que el índice es la unidad, al igual que el exponente
de la a que en este caso sí que es la unidad.
Lo correcto, para la expresión anterior es:
ab 3 = 8 a 4 b12
ya que el índice inicial es 2 por tratarse de una raíz cuadrada.
Evidentemente, este es un despiste que desaparece cuando nos concentramos en el
ejercicio que realizamos.
Este error se debe a que al no aparecer el dos como índice, el alumnado considera que
es la unidad. Por ello, este error se evita también sabiendo qué números son los que se
consideran cuando no se escribe nada.
Como se ha dicho, una raíz en la que no se escribe el índice es una raíz cuadrada; un
número en el que no se escribe exponente es porque el exponente es la unidad; en una
fracción en la que simplificamos todos los términos del numerador queda la fracción
con un uno en dicho numerador. En el caso que nos ocupa, también puede recurrirse a
lo que significaría un radical con índice uno: el resultado sería el radicando.
En este contexto, el alumnado tiende a cometer los siguientes errores:
3
a 2 ⋅ b5 = 6 a 5 ⋅ b8
Donde se ha cometido el error de sumar 3 a todos los números, en lugar de
multiplicarlos por 3.
Otro error es hacer:
a 3 ⋅ b 4 = 2 a 6 ⋅ b8
Aquí se ha multiplicado todo por 2 pero se ha cometido el error de considerar que el
índice es la unidad.
Otro fallo es realizar lo siguiente:
a 2 ⋅ b 7 = 6 m 5 ⋅ b10
Donde se ha multiplicado el índice por 3 pero a los exponentes se les ha sumado el 3.
Estos errores pueden evitarse asemejando el proceso al de obtención de fracciones
equivalentes por simplificación o por reducción: en una fracción puede multiplicarse el
numerador y el denominador por el mismo número siempre que dicho número sea
distinto de cero.
Ejercicio de revisión
Reduce a índice común los radicales siguientes:
3
7a ,
4
4b 2 y
b 2c
51. Confusiones en las expresiones con logaritmos
En ocasiones, ciertas propiedades se expresan de forma parecida a un trabalenguas. Por
ejemplo, la fórmula:
log a + log b = log(a ⋅ b )
47
se expresa diciendo que la suma de logaritmos es el logaritmo del producto.
Cuando el alumno trata de repetir esta frase corre el riesgo de cambiar su sentido. Así,
la siguiente frase sería incorrecta para la fórmula anterior: el logaritmo de la suma es el
producto de logaritmos.
Este tipo de errores se corrigen reteniendo las fórmulas que correspondan en cada caso
y haciendo un uso correcto del lenguaje. Con la calculadora podemos realizar las
operaciones de las dos formas y ver que se obtienen cosas distintas, por ejemplo:
log 5 + log 25 ≈ 0,699 + 1,398 ≈ 2,097
log(5 + 25) = log 30 ≈ 1,477
El fallo comentado se debe a lo parecidas que son las frases, el alumnado cree expresar
lo mismo diciendo suma de logaritmos que logaritmo de la suma; pero son cosas
diferentes.
Veamos otro error similar, en este caso cambiando la suma de logaritmos por la
diferencia de los mismos. Sabemos que la diferencia de logaritmos de idéntica base es
igual al logaritmo, con esa misma base, del cociente de los argumentos. Así, por
ejemplo:
75
log 75 − log 5 = log
= log15
5
El problema llega cuando tenemos que resolver un ejercicio con una expresión parecida
a la anterior, por ejemplo, el siguiente ejercicio es incorrecto:
log 2 225
225
= log 2
= log 2 15
log 2 15
15
ya que no es lo mismo el cociente de logaritmos que el logaritmo del cociente. La
forma correcta de operar en este caso sería:
log 2 225
= log15 225 = 2
log 2 15
Dejando a un lado que esta confusión puede evitarse sabiendo bien las fórmulas de
logaritmos, se puede realizar una comprobación rápida haciendo las operaciones
anteriores de dos maneras y ver que los resultados no coinciden, con lo que aseguramos
que uno de los caminos seguidos no es el correcto.
Ejercicio de revisión
Indica con una frase las propiedades siguientes:
log a − log b = log
a
b
y log n a =
log a
n
52. Invención de fórmulas
Como en el caso de potencias y radicales, en el apartado de logaritmos también existe
el riesgo de inventar fórmulas incorrectas.
Así, el siguiente ejercicio está mal hecho:
log 20 + log 30 = log 50
48
ya que la suma de logaritmos no es el logaritmo de la suma. La resolución correcta
conlleva hacer uso de la calculadora:
log 20 + log 30 ≈ 1,301 + 1,477 ≈ 2,778
Para evitar este problema, hay que conocer bien las fórmulas o hacer un cálculo rápido
con calculadora para realizar una comprobación. En el anexo 8 puedes encontrar las
fórmulas de logaritmos usuales.
Este problema, como algunos otros comentados anteriormente, es debido a una mala
memorización de las fórmulas o a no saber lo que quiere expresarse con ellas; por esto,
conviene no solo aprenderlas correctamente, sino saber expresar de palabra lo que
quieren decir y cuáles son las situaciones en las que deben aplicarse.
Ejercicio de revisión
Comprueba que la siguiente expresión es incorrecta: log a + log b = log a ⋅ log b
53. Sustitución de valores
Uno de los ejercicios clásicos de logaritmos es el de calcular el valor de una expresión
con logaritmos a partir de una serie de datos. Por ejemplo, sabiendo que log 2 A = 3,5 y
log 2 B = −1,4 calcula log 2
2 A
B3
.
Estos ejercicios se resuelven aplicando las fórmulas para transformar las expresiones
dadas en otras que contengan los datos del enunciado. Por ello trataremos de llegar a
expresiones en las que aparezcan, de forma aislada, el logaritmo de A y el logaritmo de
B para proceder a la sustitución de valores. Por ejemplo, el ejercicio presentado se
resolvería así:
log 2
2 A
B
3
( )
A − log 2 B 3 = log 2 2 +
= log 2 2 + log 2
= 1+
1
log 2 A − 3 log 2 B =
2
1
⋅ 3,5 − 3 ⋅ (− 1,4 ) = 6,95
2
Sin embargo, la forma incorrecta de proceder es la siguiente:
log 2
2 A
B
3
=
2 3,5
(− 1,4)3
donde el fallo radica en el hecho de haber cambiado A por 3,5 y B por -1,4, lo que no
puede ser porque el valor de 3,5 es el de log 2 A y el valor -1,4 es el de log 2 B .
La forma de evitar estos fallos es aprendiendo con seguridad la forma en que podemos
sustituir expresiones por datos dados, debiendo ajustarnos con precisión a lo que nos
dice el enunciado. Por otro lado, un dominio de las fórmulas nos permite vislumbrar el
camino a seguir.
Este error se debe quizá a no comprender cuál es el dato que nos proporciona el
enunciado del problema. Una lectura atenta del ejercicio propuesto puede ayudar
mucho a erradicar este extendido despiste.
Ejercicio de revisión

B2
Sabiendo que: log A = 2 , log B = 3 y log C = 4 , calcula log A ⋅
3
C





49
54. La factorización de polinomios de segundo grado
Veamos cómo hay que proceder cuando se descompone un polinomio de grado dos
utilizando la fórmula de la ecuación de segundo grado. Por ejemplo, se pide factorizar
el polinomio: x 2 − 5 x + 6 . Averiguamos las raíces de este polinomio con la fórmula de
la ecuación de segundo grado:
x=
5 ± 25 − 24 5 ± 1  x1 = 3
=
=
2
2
x2 = 2
y por lo tanto, podemos factorizar el polinomio así:
x 2 − 5 x + 6 = ( x − 3) ⋅ ( x − 2 )
Este proceso es válido cuando el coeficiente de segundo grado es 1, por lo tanto el
problema aparece cuando el término de segundo grado tiene un coeficiente distinto de
la unidad. Por ejemplo, el siguiente polinomio estaría mal factorizado:
6 x 2 − 30 x + 36 ⇒ x =
30 ± 900 − 864 30 ± 6  x1 = 3
=
=
⇒
12
12
x2 = 2
⇒ 6 x 2 − 30 x + 36 = (x − 3) ⋅ (x − 2)
como puede comprobarse multiplicando los dos polinomios que aparecen entre
paréntesis.
Para evitar este problema, bastará con tener claro que esta técnica de factorización solo
es válida para polinomios con coeficiente 1 en el término de segundo grado. Esto
siempre lo podemos conseguir sacando factor común en el polinomio. Así, en el caso
anterior la forma correcta sería:
(
)
6 x 2 − 30 x + 36 = 6 x 2 − 5 x + 6 = 6(x − 3) ⋅ (x − 2 )
Ejercicio de revisión
Factoriza el polinomio:
x2
+ 10 x − 6
2
55. La técnica de Ruffini y la factorización de polinomios
Al descomponer un polinomio en factores, una de las técnicas usuales es la técnica de
Ruffini cuyos pasos recordamos con el ejemplo siguiente. Debemos factorizar el
polinomio x 4 + x 3 − 19 x 2 + 11x + 30 , así que aplicamos la conocida técnica:
1
2
1
3
1
-1
1
-5
1
1
2
3
3
6
-1
5
-5
0
-19
6
-13
18
5
-5
0
11
-26
-15
15
0
30
-30
0
Con lo que nos queda finalmente:
x 4 + x 3 − 19 x 2 + 11x + 30 = (x − 2)(x − 3)(x + 1)(x + 5)
50
El primer error que puede cometerse es olvidar cambiar los signos, como se presenta en
la siguiente solución incorrecta:
x 4 + x 3 − 19 x 2 + 11x + 30 = (x + 2 )(x + 3)(x − 1)(x − 5)
Otro problema viene al factorizar el polinomio siguiente: 3 x 3 + 6 x 2 − 15 x − 18 . A
simple vista parece un ejercicio similar al anterior, pero la diferencia se encuentra en el
coeficiente del término de mayor grado. Antes era 1 y ahora es 3. Esta diferencia va a
generar un error habitual, ya que si aplicamos la técnica, será incorrecto dar como
solución la siguiente:
(x + 3)(x − 2)(x + 1)
aunque el proceso sea este:
3
-3
3
2
3
-1
3
6
-9
-3
6
3
-3
0
-15
9
-6
6
0
-18
18
0
El error cometido ha sido ignorar el último 3 obtenido, considerando sólo los tres
valores que dan el resto nulo. El resultado correcto será el obtenido antes multiplicado
por ese último 3:
3(x + 3)(x − 2 )(x + 1)
Para evitar este fallo puede actuarse de varias maneras. En primer lugar, una
comprobación de la solución, multiplicando los paréntesis, habría puesto de manifiesto
que hay algo mal hecho. En segundo lugar, debe considerase el significado del último
número obtenido y tener en cuenta que no puede ser lo mismo obtener un tres que un
dos u otro valor. En tercer lugar, puede acabarse el ejercicio un paso antes escribiendo
el binomio final de forma correcta, así:
3
-3
3
2
3
6
-9
-3
6
3
-15
9
-6
6
0
-18
18
0
(x + 3)(x − 2)(3x + 3)
y solo quedaría sacar el factor común 3 en el tercer paréntesis.
Por último, en cuarto lugar, puede sacarse inicialmente el factor común 3, y
descomponer el polinomio resultante:
(
3 x 3 + 6 x 2 − 15 x − 18 = 3 x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6
)
con lo que bastaría escribir la descomposición resultante acompañada del tres que ha
salido como factor común.
Sigamos con la técnica de Ruffini para factorizar polinomios con el ejemplo que sigue.
Factoriza el polinomio: x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 7 x + 6 .
51
CONVIENE RECORDAR...
Los
polinomios
cuyo
coeficiente de mayor grado es
la unidad reciben el nombre de
polinomios mónicos.
1
2
1
-1
1
-1
1
3
1
-3
2
-1
-1
-2
-1
-3
3
0
-3
-2
-5
2
-3
3
0
7
-10
-3
3
0
6
-6
0
Con lo que el polinomio factorizado quedaría:
(x − 2)(x + 1)(x + 1)(x − 3) = (x − 2)(x + 1)2 (x − 3)
El problema surge cuando falta en el polinomio algún término, incluyendo la posible
ausencia del término independiente. En estos casos los coeficientes serían nulos, pero al
no estar presentes, el alumnado los olvida con facilidad. Al escribir todos los
coeficientes, desde el de mayor grado al de menor grado, nos olvidamos de dichos
coeficientes nulos. Por ejemplo, el siguiente planteamiento inicial para aplicar Ruffini
está mal:
Factoriza el polinomio: x 4 − 5 x 2 + 3 x
1
-5
3
Como vemos, el error es doble porque faltan dos ceros: el correspondiente al término
de grado tres y el independiente. Para conseguir un término independiente podemos
sacar factor común:
x 4 − 5 x 2 + 3x = x x 3 − 5 x + 3
(
)
Seguidamente factorizamos el polinomio que hay entre paréntesis, sin olvidar escribir
el cero del término que falta, en este caso el de segundo grado:
1
0
-5
3
Se trata de un despiste antes que de un error. Para evitarlo conviene practicar con
ejercicios en los que falten términos. Por supuesto, no deberemos olvidar escribir la x
que obtuvimos inicialmente como factor común.
Una vez bien aprendida la técnica de Ruffini se nos plantea un nuevo inconveniente. En
la factorización del polinomio x 4 − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18 , el alumno da la siguiente
solución: x = 2 , x = 3 , x = −1 y x = −3 . El error o, más bien, el olvido ha consistido
en aplicar la técnica de Ruffini sin presentar la solución final al ejercicio, que realmente
pide factorizar un polinomio. La solución que debe presentarse es la siguiente:
(x − 2)(x − 3)(x + 1)(x + 3)
En otras ocasiones, las chicas y chicos se limitan a seguir el método, escribiendo las
líneas y los números pero olvidan indicar la solución definitiva del ejercicio, que es
escribir el polinomio factorizado, es decir como producto de 2 o más polinomios.
El error puede ser debido a una confusión entre lo que significa factorizar y lo que
significa obtener las raíces de un polinomio. Factorizar un polinomio es ponerlo en
forma de producto de polinomios, que en el ejemplo son los binomios que escribimos
entre paréntesis. Obtener las raíces de un polinomio es obtener los valores de x que lo
anulan, los cuales son directamente, sin cambiarlos de signo, los números que hacen
que los restos vayan siendo cero y que nos los proporciona la técnica de Ruffini.
52
Si nos pidieran obtener las raíces del polinomio x 4 − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18 o resolver la
ecuación:
x 4 − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18 = 0
habríamos de responder dando:
x = 2 , x = 3 , x = −1 y x = −3
Resumiendo, cuando nos piden aplicar la técnica de Ruffini a un polinomio debemos
hacer las tablas anteriores probando los números que correspondan. Cuando nos pidan
resolver una ecuación polinómica o, lo que es lo mismo, encontrar las raíces de un
polinomio, debemos dar las soluciones para la x, que serán los números encontrados
con la técnica de Ruffini sin cambiar los signos. Por último, cuando nos pidan
factorizar un polinomio, deberemos escribirlo como producto de paréntesis en donde
intervienen esos números cambiados de signo.
Ejercicio de revisión
Factoriza los tres polinomios siguientes y obtén las raíces del último de ellos:
x 5 − 2 x 3 + x 2 ; 2 x 4 − 6 x 3 − 22 x 2 + 6 x + 20 ; − 5 x 4 − 40 x 3 − 45 x 2 + 90 x
56. La técnica de Ruffini y el teorema del resto
La técnica de Ruffini puede utilizarse para dividir polinomios por binomios del tipo
(x − a ) , así, la división x 3 + 2 x 2 − 4 x + 3 ÷ (x − 3) puede hacerse así:
(
)
1
3
1
2
3
5
-4
15
11
3
33
36
El resultado sería x 2 + 5 x + 11 y el resto daría 36.
Sin embargo, después de esta aplicación de la regla, algunos alumnos pretenden hacer
la división por el binomio x n − a de la misma forma, aunque esta división sería
incorrecta.
(
)
Para evitar este error hay que tener presente que la división, con este método,
únicamente debe realizarse cuando el divisor es un binomio de primer grado cuyo
coeficiente de grado 1 es la unidad. Así, este método no debe aplicarse directamente
para dividir polinomios entre binomios como (2 x − 1) o x 2 − 4 .
(
)
Por otro lado, el teorema del resto establece que en la división de un polinomio por el
binomio (x − a ) , el resto coincide con el valor de ese polinomio para x = a . Así, en el
(
)
caso presentado al inicio, para calcular el resto de x 3 + 2 x 2 − 4 x + 3 ÷ (x − 3) , puede
sustituirse la letra x por el 3 y operar para determinar el resto:
x 3 + 2 x 2 − 4 x + 3 → 33 + 2 ⋅ 3 2 − 4 ⋅ 3 + 3 = 27 + 18 − 12 + 3 = 36
En la aplicación de este teorema son usuales dos tipos de errores. El primero de ellos
ocurre con las operaciones con potencias. Así, en el siguiente ejercicio el resto está mal
obtenido:
(− x
2
)
+ 3 x − 5 ÷ (x − 3) → resto = −3 2 + 3 ⋅ 3 − 5 = 9 + 9 − 5 = 13
El fallo reside en haber eliminado el signo menos del primer término porque el
exponente es par, sin embargo, el exponente es para el 3 y no para el signo menos, por
ello, el ejercicio correctamente resuelto es:
53
(− x
2
)
+ 3 x − 5 ÷ (x − 3) → resto = −3 2 + 3 ⋅ 3 − 5 = −9 + 9 − 5 = −5
El segundo de los errores se produce cuando en el binomio del divisor aparece una
suma en lugar de una resta, como en el siguiente caso:
(x
3
)
+ x 2 + 2 x − 5 ÷ (x + 4 ) → resto = 4 3 + 4 2 + 2 ⋅ 4 − 5 = 64 + 16 + 8 − 5 = 83
Que está mal hecho porque se ha cambiado la x por 4 cuando realmente debe cambiarse
por -4. La forma correcta será:
(x
3
)
+ x 2 + 2 x − 5 ÷ (x + 4 ) → resto = (− 4 )3 + (− 4 )2 + 2 ⋅ (− 4 ) − 5 = −64 + 16 − 8 − 5 = −61
Para no cometer estos errores, las alumnas y alumnos deben tener claro la forma de
operar con potencias teniendo en cuanta la prioridad de los exponentes, es decir, que el
exponente es lo primero que interviene y luego el signo que está fuera de la potencia,
salvo que se utilicen los paréntesis. De otro lado, cambiar la x por a al tener el binomio
(x − a ) obliga a sustituir la x por el número que aparece después de la x pero con signo
cambiado. Si tenemos (x − 5) cambiaremos la x por 5, pero si tenemos (x + 5)
cambiaremos la x por -5.
Ejercicio de revisión
(
)
Calcula el resto de la división − x 4 + 3x 3 − x 2 − x + 1 ÷ (x + 2)
57. Las infinitas soluciones de algunos sistemas
En la resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado, podemos encontrarnos con
sistemas incompatibles que son los que no poseen solución, sistemas compatibles
determinados que poseen una solución y sistemas compatibles indeterminados que
poseen infinitas soluciones. Un caso dentro de este último tipo es el siguiente:
− 2 x + 3 y = 1

4 x − 6 y = −2
Que posee infinitas soluciones como los pares x = 1 e y = 1 , o x = 10 e y = 7 , como
puede comprobarse por sustitución.
En esta situación, algunos alumnos cometen el error de indicar que todos los pares de
números son solución. Sin embargo, es fácil comprobar que hay pares de valores que
no satisfacen las ecuaciones del sistema, como el par x = 2 e y = 5 .
El fallo ha sido considerar que como hay infinitos pares que son solución, cualquier par
es solución, cosa que, como se ha visto, no es cierta. Para eliminar este error hay que
tener en cuenta que un conjunto con infinitos números no posee necesariamente todos
los números que existen; así, el conjunto de números naturales tiene infinitos números:
el 0, 1, 2, 3... pero hay números que no se encuentran en el conjunto de los naturales,
como los negativos o los decimales periódicos, que a su vez también son infinitos.
Ejercicio de revisión
Comprueba que el siguiente sistema tiene infinitas soluciones y determina 3 pares de
números que no sean solución:
x + 2y = 0


− 2 x − 4 y = 0
54
58. Cuando queda un 0 o un 1 en el numerador...
El valor de una fracción que tiene cero por numerador es cero, siempre que el
denominador no sea también cero. Esto es evidente si recurrimos al significado de
división:
0
=0
3
El problema suele aparecer cuando operamos con fracciones algebraicas y todos los
términos del numerador desaparecen. Por ejemplo, el resultado final en el ejercicio que
sigue es incorrecto:
x(x − 1) − x(x − 2 ) − x x 2 − x − x 2 + 2 x − x
1
=
=
(x − 2)
(x − 2 )
(x − 2)
ya que si desaparece todo lo del numerador, no nos debe quedar nada, lo que equivale a
decir que queda cero. Lo correcto es:
x(x − 1) − x(x − 2 ) − x x 2 − x − x 2 + 2 x − x
0
=
=
=0
(x − 2)
(x − 2 )
(x − 2)
Este problema viene motivado porque el alumno no quiere dejar el numerador en
blanco y se obliga a poner un número neutral, en este caso, la confusión consiste en
tomar como elemento neutro el 1 en lugar del 0.
Sabemos que tanto el 1 como el 0 son elementos neutros, siendo el primero para la
operación de multiplicar y el segundo para la operación de sumar. En la situación que
nos ocupa debemos escribir 0, ya que estamos realizando sumas y restas en el
numerador.
Estos fallos podemos evitarlos si realizamos un gran número de ejercicios. También
debemos quitar el miedo al número cero que, por poseer propiedades especiales, los
alumnos parecen no manejarlo con corrección.
Veamos ahora qué ocurre cuando simplificamos términos en una fracción algebraica.
Lo que debemos hacer es dividir numerador y denominador por el mismo valor distinto
de cero. Por ejemplo:
a ⋅ b7 ⋅ c3 ⋅ d
b2 ⋅ c5 ⋅ d
=
a ⋅ b5
c2
donde se ha dividido el numerador y el denominador entre b 2 c 3 d , por ser un elemento
común en ambos lugares.
El error puede aparecer cuando se simplifican todos los términos y parece no quedar
nada. Así, el siguiente ejercicio estaría mal acabado:
ab 2 c
2 2 3
a b c
=
0
ac 2
=0
ya que al simplificarse todas las letras del numerador, parece no quedar nada. El fallo
está en considerar que desaparece todo, y esto no es así porque siempre existe un factor
que no se escribe y que es el 1. Para aclararlo, visualicemos ese 1 en el caso anterior:
ab 2 c
2 2 3
a b c
=
1 ⋅ ab 2 c
2 2 3
a b c
=
1
ac 2
Como queda dicho, el 1 y el 0 son elementos neutros: el primero para la operación de
multiplicar y el segundo para la operación de sumar. En la situación que estamos
55
CONVIENE RECORDAR...
Es claro que cero entre
cualquier número distinto de
cero es cero: si repartimos cero
caramelos entre tres niños,
tocará a cero caramelos por
niño.
tratando ahora, debemos escribir 1, ya que estamos realizando divisiones en el
numerador para realizar la simplificación.
Ejercicio de revisión
3(2 x + 6 ) − 6(x + 3)
Simplifica las expresiones: −
5(4 x − 3)
y
ab d
+
bc c
a+d
59. Ecuaciones exponenciales
Las ecuaciones exponenciales se caracterizan por tener la incógnita en los exponentes
de las potencias que aparecen. Por ejemplo:
2 x = 16
Si tenemos solamente un término en cada miembro de la ecuación, una de las técnicas
de resolución consiste en tratar de conseguir que las potencias tengan la misma base
para poder plantear una nueva ecuación igualando los exponentes. En el ejemplo
presentado, como la base de la potencia es 2, tratamos de poner el 16 como una
potencia con base 2, es decir: 16 = 2 4 , resultando:
2 x = 16 ⇒ 2 x = 2 4
por lo que los exponentes deben ser iguales y obtenemos:
x=4
teniendo ya el valor de la incógnita.
El problema surge cuando los exponentes no se pueden igualar tan claramente.
Tomemos por ejemplo el siguiente caso:
( )
2 x +3 + 4 x + 1 = 129 → 2 x +3 + 2 2
x
= 128 → 2 x +3 + 2 2 x = 2 7
Escribir ahora lo siguiente sería incorrecto:
x + 3 + 2x = 7
donde lo que hemos hecho es agrupar las potencias del miembro izquierdo como una
sola, lo cual es incorrecto porque se están sumando. La diferencia fundamental entre
esta ecuación y la anterior es que en esta aparecen varios términos en el mismo
miembro. Estas ecuaciones se resuelven con otras técnicas como la del cambio de
variable:
2 x +3 + 4 x + 1 = 129
( )
2 x ⋅ 23 + 2 x
2
− 128 = 0
CONVIENE RECORDAR...
Cuando se resuelve un ejercicio
con la técnica del cambio de
variable, no debe olvidarse
acabar
el
problema
deshaciendo dicho cambio.
y haciendo 2 x = t nos queda:
t 2 + 8t − 128 = 0
con lo que la ecuación ya no es exponencial, sino de segundo grado en la variable t.
El ejercicio seguiría así:
t=
56
− 8 ± 64 − 4 ⋅ (− 128)
2
=
t1 = 8
− 8 ± 576
⇒
2
t 2 = −16
Finalmente, el primer valor de t nos proporcionará una solución para la ecuación:
2 x = t1 ⇒ 2 x = 8 → 2 x = 2 3 ⇒ x = 3
Con el otro valor de t no se obtiene ninguna otra solución.
Para evitar este error debemos tener bien asimiladas las fórmulas correctas de
potencias, ya que no es lo mismo 2 2 + 2 3 que 2 5 , como puede comprobarse con un
sencillo cálculo: 2 2 + 23 = 4 + 8 = 12 y 2 5 = 32 . Debemos tener bien claras las
diferencias entre la suma y el producto, dado que con el producto sí que se da la
igualdad mencionada:
2 2 ⋅ 2 3 = 2 5 = 32
Y de otra forma:
4 ⋅ 8 = 32
Así, la causa del error es la confusión o mezcla de las fórmulas con sumas y productos.
Ejercicio de revisión
Resuelve la ecuación: − 16 x + 1 = 4 x−1
60. Problemas con las ecuaciones bicuadradas
Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado en la que no aparecen
términos de grado tres ni de grado uno. Para resolverlas utilizaremos el conocido
cambio de variable x 2 = t , con lo que la ecuación se transformará en otra de segundo
grado que, aunque no es equivalente, permite llegar a la solución de la ecuación
original. Veamos un ejemplo:
Resuelve la ecuación x 4 − 13x 2 + 36 = 0
CONVIENE RECORDAR...
El concepto de ecuaciones
equivalentes hace referencia a
ecuaciones que tienen las
mismas soluciones.
Esta ecuación la reducimos a otra de segundo grado con el cambio indicado:
 x 2 = t 
2
x 4 − 13 x 2 + 36 = 0 ⇒ 
 ⇒ t − 13t + 36 = 0
 x 4 = t 2 
Y ya puede resolverse esta ecuación con la fórmula típica para las ecuaciones de grado
dos. El alumnado suele dejar inacabado este ejercicio, por un olvido típico, escribiendo:
t = 4
13 ± 13 2 − 4 ⋅ 36
⇒1
2
t 2 = 9
Pero la resolución no acaba aquí, el mencionado olvido que tienen los alumnos es
justamente no dar la solución final, pues el ejercicio no está acabado todavía. Debemos
deshacer el cambio hecho, así:
t=
t1 = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = 4 = ±2

t 2 = 9 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = 9 = ±3
CONVIENE RECORDAR...
Con el fin de evitar este despiste, el alumno puede hacerse dos preguntas. La primera:
¿cuántas soluciones puede llegar a tener una ecuación de grado cuatro? La respuesta es
4, por tanto, es posible que las dos soluciones para t (el 4 y el 9) no sean las únicas
soluciones de la ecuación bicuadrada original. La segunda: ¿cuál es la incógnita de la
ecuación que debe resolverse? Como la incógnita es la x, debemos finalizar el problema
dando la solución para x, no para t.
Este sería un problema mal hecho por inacabado o incompleto.
57
La solución o solución general
de una ecuación o de un
sistema es el conjunto de todas
las soluciones.
Dar uno de los valores de dicho
conjunto es dar una solución
particular.
Otro aspecto a tener en cuenta es que el cambio x 2 = t no es equivalente al cambio
x 4 = t 2 . Veámoslo con un ejemplo: si planteamos la ecuación x 4 + 3 x 2 + 2 = 0 y
utilizamos el cambio x 2 = t , obtendremos:
t = −1 ⇒ x = ± − 1
x 4 + 3 x 2 + 2 = 0 → t 2 + 3t + 2 = 0 ⇒ 
t = −2 ⇒ x = ± − 2
Se observa que estamos ante una ecuación que no posee soluciones en el campo de los
números reales. Sin embargo, si usáramos el cambio x 4 = t 2 obtendríamos:
t = −1 ⇒ x 4 = (− 1)2 ⇒ x 4 = 1 ⇒ x = ±1
t 2 + 3t + 2 = 0 ⇒ 
t = −2 ⇒ x 4 = (− 2 )2 ⇒ x 4 = 4 ⇒ x = ±2
Que son soluciones reales, y esto es distinto de lo obtenido antes. El error cometido se
debe a la doble solución que posee una raíz cuadrada y esto también tiene que ver con
que dos cantidades diferentes pueden tener el mismo cuadrado; así, 5 y -5 poseen el
mismo cuadrado, que es 25. Por todo ello el cambio siguiente es incorrecto:
x4 = t 2 ⇒
x4 = t 2 ⇒ x2 = t
ya que una raíz cuadrada aporta 2 soluciones; así, con el cambio x 4 = t 2 el paso
incorrecto ha sido realmente sustituir el x 2 por la t. El cambio correcto es válido,
porque cuando 2 cantidades son iguales, sus cuadrados también lo son. En este caso, sí
es correcto el paso:
x2 = t ⇒ x4 = t 2
Ejercicio de revisión
Resuelve la ecuación: x 4 − 20 x 2 + 64 = 0
61. Cambio del sentido del símbolo de la desigualdad
En el proceso de resolución de una inecuación, al multiplicar toda la expresión por una
cantidad negativa, debemos cambiar el sentido de la desigualdad de este modo:
2 x − 3 y + 8 > 3 x + 5 y − 10
−6 x + 9 y − 24 < −9 x − 15 y + 30
donde hemos multiplicado todo por –3.
Al olvidar esto suelen producirse fallos como:
2 x − 2 < 3 − 5x
−2 x + 2 < −3 + 5 x
o también:
−3 x < 9
x < −3
Este olvido es debido a que el alumno equipara las inecuaciones con las ecuaciones, ya
que, de hecho, muchas de las operaciones que hacemos con las primeras las hacemos
de igual manera con las segundas.
Para superar este despiste bastará aprender bien las diferencias entre la resolución de
las ecuaciones y las inecuaciones. También podemos recordar el siguiente caso
sencillo: 3 < 5 , pero si cambiamos los signos, deberemos cambiar también el sentido
de la desigualdad: −3 > −5 .
58
Ejercicio de revisión
Resuelve la inecuación: 5 x − 3(2 x + 1) < 2(x − 1) + 7
62. La importancia de la conjunción copulativa “y”
En un sistema de ecuaciones, las soluciones son los valores de las incógnitas que
verifican todas y cada una de las ecuaciones. Lo mismo sucede con las inecuaciones y
los sistemas de inecuaciones. Busquemos por ejemplo la solución al sistema de dos
inecuaciones con una incógnita:
x > 3

x < 5
La primera inecuación nos obliga a considerar todos los valores que son mayores que el
3 y la segunda inecuación nos obliga a considerar todos los números menores que el 5.
Así, la solución será el conjunto formado por todos los números mayores que el 3 y que
a la vez son menores que el 5, es decir, los números que pertenecen al intervalo (3,5).
El problema surge cuando nos enfrentamos a situaciones aparentemente paradójicas
como la siguiente:
x < 7

x > 9
El alumno, posiblemente por miedo a decir que el sistema planteado no tiene solución,
indica que la respuesta es el intervalo (7,9).
Tanto en esta como en la situación anterior, debemos considerar que la solución es el
conjunto formado por los números reales menores que el 7 y simultáneamente mayores
que el 9, lo que equivale a decir que no existe solución. Para evitar estos miedos a los
problemas sin solución, conviene recordar otros que claramente no la tienen, como las
raíces cuadradas de números negativos.
En este tipo de problemas conviene tener clara la diferencia entre el símbolo > (mayor
que) y el símbolo < (menor que). También es importante distinguir las dos expresiones
siguientes:
x>3 y x<5
x>3 o x<5
La conjunción “y” obliga a encontrar valores que verifiquen simultáneamente todas las
inecuaciones que entran en juego, lo cual puede ser imposible.
Por otra parte, la conjunción “o” nos obliga a encontrar valores que verifiquen alguna
de las inecuaciones, aunque podrían verificarse todas.
Estas cuestiones podemos estudiarlas en relación con la asignatura de lenguaje o de
filosofía.
Ejercicio de revisión
Resuelve el sistema de inecuaciones siguiente:
2x − 3 < 5 − 4x 

− x + 1 < 8 x + 6
63. Valores posibles de las funciones trigonométricas
Al comenzar el temario de trigonometría se presenta un triángulo rectángulo para
definir sobre él las razones trigonométricas. El coseno de uno de los ángulos agudos,
por ejemplo, se define como el cociente entre el cateto contiguo al ángulo y la
hipotenusa. Así, en el siguiente triángulo:
59
CONVIENE RECORDAR...
Resolver un triángulo es
averiguar la medida de todos
sus lados y ángulos.
tendremos que:
cos A =
4
= 0,8
5
No obstante, a la hora de resolver los variados ejercicios sobre resolución de triángulos
o mediciones de longitud, los alumnos confunden las fórmulas invirtiendo las
fracciones o cambiando los catetos. Llegan a resultados como el siguiente:
cos A =
4
= 1,333...
3
que es una solución imposible, ya que el valor del coseno no puede superar a la unidad.
Para evitar este problema, podemos optar por memorizar y aplicar correctamente las
definiciones de las razones trigonométricas; comprobar los resultados finales, sabiendo
que los valores del seno y del coseno están dentro del intervalo [-1,1]; aplicar el sentido
común, fijándose en que el cociente entre un cateto y una hipotenusa no puede dar más
de uno, al ser el cateto menor que la hipotenusa; recordar que el seno y el coseno se
pueden dibujar dentro de la circunferencia goniométrica, de radio unidad, y que por
tanto las dos razones comentadas no pueden medir más de la unidad.
Ejercicio de revisión
Resuelve el triángulo rectángulo que tiene por catetos 10 y 14 unidades de longitud.
CONVIENE RECORDAR...
El orden de los factores no
altera el producto.
64. Producto de funciones por números
La multiplicación de una razón trigonométrica por un número se realiza de forma
natural calculando el valor de la razón y multiplicando el resultado por dicho número.
Por ejemplo:
5 ⋅ cos 60 = 5 ⋅ 0,5 = 2,5
Sin embargo, en ocasiones se comete el error de multiplicar el argumento del coseno
por el número que aparece fuera y seguidamente obtener la razón del producto
resultante. Esto ocurre cuando en el transcurso de una serie de operaciones escribimos
algo como lo siguiente:
cos 60 ⋅ 5 = cos 300 = 0,5
Esta expresión es como la anterior, y por ello el resultado debería ser el mismo. Si el 5
está “fuera” del coseno, la operación está mal realizada. Si el 5 estuviera “dentro” del
coseno, deberíamos escribir los dos números entre paréntesis:
cos(60 ⋅ 5) = cos 300 = 0,5
Una forma de evitar este error es acostumbrándose a escribir las funciones después de
los números, así:
5 ⋅ cos 60 = 5 ⋅ 0,5 = 2,5
con lo que ya no volvemos a cometer el error.
Ejercicio de revisión
Realiza el cálculo: tg 45 ⋅ 5 − cos(2 ⋅ 25) + 7 ⋅ sen 20 ⋅ 4
60
65. Aplicación correcta de la fórmula fundamental de la trigonometría
El teorema fundamental de la trigonometría nos permite, entre otras cosas, conocer el
valor de unas razones trigonométricas conociendo previamente otras. En dicha
expresión, aparecen el seno y el coseno elevados al cuadrado, por lo que los tres
términos que aparecen en la ecuación son siempre positivos en la representación
habitual. Así, suponiendo que cos α = −0,9 , serían incorrectas expresiones como la que
sigue:
sen 2α + cos 2 α = 1 ⇒ sen 2α + − 0,9 2 = 1
(
)
pues el exponente 2 del coseno es tanto para el 0,9 como para el signo menos, y no solo
para el 0,9. La forma correcta sería:
sen 2α + cos 2 α = 1 ⇒ sen 2α + (− 0,9)2 = 1
CONVIENE RECORDAR...
Es claro que en la sustitución de valores obtendremos todos los términos positivos en
virtud de la regla que nos indica que toda potencia de exponente par es positiva:
− 0,92 = −0,81
(− 0,9)2 = 0,81
sen 2α + 0,81 = 1 ⇒ senα = 1 − 0,81 = 0,19 = ±0,44
− 0,43 = −0,064
Este error podemos evitarlo fácilmente porque al cometerlo obtenemos un resultado
absurdo. Como no es posible que el seno o el coseno tengan un valor mayor que la
unidad no podremos dar solución al problema. En la situación incorrecta planteada
inicialmente tendríamos:
(
Fíjate como se realizan las
siguientes operaciones:
)
sen 2α + − 0,9 2 = 1 ⇒ sen 2α − 0,81 = 1 ⇒ sen 2α = 1,81 ⇒ senα = 1,81 = ±1,35
lo cual, como se ha dicho, no es posible.
Ejercicio de revisión
Conociendo que el seno de un ángulo del tercer cuadrante es –0,3, calcula el coseno
del mismo ángulo. Comprueba el resultado con la calculadora.
66. Solución completa en el cálculo de razones trigonométricas
Ya hemos mencionado en otro apartado anterior que resolver un problema en
matemáticas consiste en dar todas las soluciones posibles y no únicamente una parte de
ellas. Según el teorema fundamental de la trigonometría: sen 2α + cos 2 α = 1 . Esta
expresión se utiliza entre otras muchas cosas para conocer el valor del coseno de un
ángulo, conocido el seno del mismo ángulo (o viceversa). El problema se presenta en el
momento de aplicar esta expresión a un ejercicio práctico.
Por ejemplo, sabiendo que el seno de un ángulo es 0,25, calcula el coseno. La respuesta
es habitualmente la siguiente:
sen 2α + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1 − sen 2α ⇒
⇒ cos α = 1 − sen 2α ⇒ cos α = 1 − 0,25 2 ⇒
⇒ cos α = 1 − 0,0625 ⇒ cos α = 0,9375 ⇒ cos α = 0,97
El error cometido ha sido olvidar que una raíz cuadrada tiene dos signos. Por tanto la
solución anteriormente dada está incompleta. Lo adecuado sería dar todas las
soluciones, por tanto:
cos α = ±0,97
Para evitar es error, basta con no olvidar que una raíz cuadrada tiene dos soluciones,
aunque la calculadora nos presente solamente una de ellas.
61
(− 0,4)3 = −0,064
CONVIENE RECORDAR...
Un asunto diferente ocurre cuando se nos indica el cuadrante en el que se encuentra el
ángulo. Así, si en el ejemplo presentado α pertenece al segundo cuadrante, tendríamos:
Los signos de las razones
trigonométricas son:
cos α = −0,97
Primer cuadrante:
Seno, coseno y
positivos.
tangente
Segundo cuadrante:
Seno positivo, coseno
tangente negativos.
Tercer cuadrante:
Seno y coseno
tangente positiva.
y
Ejercicio de revisión
Conociendo que el coseno de un ángulo vale –0,2, calcula el valor de la tangente de
dicho ángulo.
67. Producto escalar de vectores
negativos,
Cuarto cuadrante:
Seno y tangente negativos,
coseno positivo.
Para realizar el producto escalar de dos vectores sumamos los productos que se
obtienen al multiplicar componente a componente, es decir:
(3,2) ⋅ (6,1) = 3 ⋅ 6 + 2 ⋅ 1 = 18 + 2 = 20
Cuando posteriormente se explica otra forma de realizar este producto (fórmula en la
que aparece el coseno) o se citan otras definiciones de productos (como el vectorial o el
mixto), el alumno comienza a confundir los conceptos realizando operaciones como las
que siguen:
(3,2) ⋅ (6,1) = (18,2)
o bien:
CONVIENE RECORDAR...
En secundaria se trabaja con
cuatro tipos de productos en
los que intervienen vectores:
En ESO:
Producto de un número real por
un vector en el que se obtiene
un vector.
Producto escalar, en el que
multiplicamos dos vectores
para obtener un número real.
Y en bachillerato:
Producto vectorial, en el que
multiplicamos dos vectores
para obtener otro vector.
Producto mixto, en el que se
combinan el producto escalar y
vectorial para dar un vector.
(3,2) ⋅ (6,1) = 18 ⋅ 2 = 36
Corregiremos estos errores si aprendemos bien los tipos y definiciones de productos
con vectores y recordamos claramente a cuál nos referimos con el término de producto
escalar. Para evitar la primera de las respuestas erróneas es suficiente con acostumbrase
a repasar los resultados conociendo el significado del término escalar. En secundaria,
por escalar entendemos un número real. También puede recurrirse a otras materias
como la física recordando cómo se obtienen algunas magnitudes escalares, como el
trabajo, que resulta de hacer el producto escalar del vector fuerza con el vector espacio.
Para evitar el segundo error mostrado antes, basta con tener bien aprendida la mecánica
de realización del producto escalar.
Ejercicio de revisión
r
r r
r
Siendo a = (1,−20 ) y b = (− 5,3) , obtén: a ⋅ b .
68. Producto de un escalar por un vector
Uno de los diferentes productos definidos en los que intervienen vectores es el producto
de un escalar por un vector. Para realizar esta operación, multiplicamos el escalar por
r
cada una de las componentes del vector. Si el escalar es –7 y el vector es a = (−1,4) ,
tendremos:
r
− 7 ⋅ a = −7 ⋅ (−1,4) = (7,−28)
Sin embargo, una vez definidos otros productos con vectores, el alumno los confunde
realizando operaciones incorrectas como la que sigue:
3 ⋅ (2,7 ) = (6,21) = 27
en donde hemos terminado sumando las componentes. Este error es debido a la
confusión con el producto escalar de vectores, donde la operación de multiplicar dos
vectores acaba sumando diferentes partes.
Para poder evitar este error, tenemos que tener bien claras las definiciones de los
productos típicos con vectores.
62
Ejercicio de revisión
r
r
Si n=5, a = (2,0 ) y b = (− 1,5) , realiza las operaciones siguientes:
r
a) Producto del escalar n con a .
r r
b) Producto escalar de a y b .
69. Rectas, semirrectas y segmentos
Este apartado está relacionado con la teoría de rectas, donde se definen con claridad y
precisión los tres conceptos del título, que a veces se mezclan y confunden. Definamos
estos tres términos.
Una recta es la línea que resulta de la intersección de dos planos, es ilimitada en ambos
sentidos. Una semirrecta es cada una de las dos porciones en que queda dividida una
recta por cualquiera de sus puntos, es ilimitada en uno de sus sentidos. Un segmento es
la parte de una recta comprendida entre dos de sus puntos.
Así pues, es incorrecto decir que el intervalo [2,4] es la recta comprendida entre el 2 y
el 4, ambas inclusive.
Lo acertado consiste en asegurar que el intervalo [2,4] es el conjunto de números que
viene representado en la recta real por el segmento que va del 2 al 4, en el que se
incluyen los extremos.
Ejercicio de revisión
Indica tres diferencias entre rectas, semirrectas y segmentos.
70. Punto por el que pasa una recta
Como bien sabemos, la ecuación de la recta en forma continua nos da directamente un
punto por el que pasa dicha recta y uno de sus vectores directores. Si aprendemos que
uno de los puntos por los que pasa la recta es “lo que restamos a la x y a la y” en los
numeradores, tendremos que la recta:
x−5 y −2
=
3
−1
pasa por el punto (5,2 ) . Además, un vector director es el vector (3,−1) . Una vez
asimilado esto, y quizá conociendo la explicación, proponemos el mismo ejercicio para
la recta:
x + 3 y −1
=
2
−3
La respuesta desafortunada en este caso es afirmar que la recta pasa por el punto (3,1) y
no advertir que el número 3 no aparece restando a la x sino sumándolo. La respuesta
correcta es indicar que la recta pasa por el punto (− 3,1) .
La explicación para este error y la forma de corregirlo pasa por prestar más atención a
los signos y recordar la conocida regla de los signos para la multiplicación.
Preguntémonos, por ejemplo, qué aparece restando a la x en la expresión x + 3 . Para
ello cambiamos el signo positivo por el producto de dos signos negativos:
x + 3 = x − (− 3) , con lo que la expresión no cambia y queda patente que lo que
restamos es un –3.
63
Ejercicio de revisión
 x = 2 + 3t
y escríbela en forma continua
Indica en qué forma está dada la recta: 
 y = −5 − 4t
indicando, sin hacer operaciones, un punto por donde pasa.
71. Dominio de las funciones con radicales
El dominio de una función es el conjunto de valores para los que está definida, es decir,
en una típica tabla de valores, los números que podemos poner en la columna de las x
que nos obtienen un valor para y. En la típica tabla de valores, serían los números que
podemos poner en la zona coloreada de gris:
X
Y
Por ejemplo, el dominio de la función + x 2 + 10 es todo el conjunto de los números
reales, ya que podemos sustituir la x por cualquier número, ya sea positivo, nulo o
negativo, muy grande o muy pequeño, y obtener un valor para la función.
En cambio, el siguiente ejercicio está mal respondido. Se nos pide averiguar el dominio
de la función f ( x) = + x .
El error habitual reside en decir que el dominio es el intervalo (0,+∞ ) , ignorando el
cero.
Así pues, la respuesta adecuada sería el intervalo [0,+∞ ) . Este desacierto se debe al
comportamiento del cero en otras funciones. No podemos efectuar, por ejemplo, la
división 3 / 0 o calcular el logaritmo de 0; pero sí podemos operar la raíz cuadrada de
cero o el coseno de cero. Para prevenir estos errores podemos recurrir a la definición de
la propia función: ¿Qué significa calcular la raíz cuadrada de cero? o, ¿qué número
elevado a dos nos da cero? La respuesta es claramente cero. Podemos recurrir también
a la calculadora para comprobar que 0 equivale a cero. En cambio, si tratamos de
3
calcular , veremos que la calculadora nos muestra algún mensaje de error.
0
Ejercicio de revisión
Obtén el dominio de definición de la función: f ( x) = x 2 − 4
72. Olvido de algunos puntos del dominio
Uno de los métodos para abordar ejercicios consiste en tratar de simplificar el
enunciado. Por consiguiente, si tenemos que resolver la ecuación de segundo grado
siguiente:
32 x 2 − 100 x + 24 = 0
antes de aplicar la consabida fórmula, podemos trabajar con números más pequeños. Si
dividimos todos los términos de esta ecuación entre 4, obtendremos:
8 x 2 − 25 x + 6 = 0
64
Sin embargo, esta técnica puede inducirnos a cometer fallos a la hora de buscar el
dominio de una función. Así, para calcular el dominio de la función siguiente:
f (x ) =
x2 −1
x +1
sería incorrecto hacer la simplificación siguiente para sostener que el dominio es todo
el conjunto de los números reales:
f (x ) =
x 2 − 1 (x + 1)(x − 1)
= x −1
=
x +1
x +1
Como f (x ) resulta ser un polinomio, el dominio es todo R.
Aún siendo la simplificación correcta, debemos apuntar que solo es válida si el término
(x + 1) es distinto de cero, para lo cual hace falta que x sea diferente de –1. De modo
que la solución oportuna estriba en indicar que el dominio es todo el conjunto de
números reales a excepción del –1.
El estudiante puede darse fácilmente cuenta de que la función definida de forma
original no es la misma que el polinomio obtenido por simplificación, puesto que no
tienen el mismo valor cuando x = −1 .
Para aclarar esta idea un poco más, conviene recordar el concepto de obtención de
200
podemos dividir el
fracciones equivalentes por simplificación. En la fracción
300
numerador y el denominador por cualquier número distinto de cero, obteniendo, por
40
2 100
ejemplo, las fracciones ,
, pero lo que no está permitido es usar el cero
ó
3 150
50
para simplificar. Pues bien, si en el ejercicio de la función anterior dividimos el
numerador y el denominador entre (x + 1) , obtenemos una fracción equivalente, salvo
cuando x vale –1, en cuyo caso estaríamos realizando la operación incorrecta de
simplificar con el cero.
Ejercicio de revisión
Calcula el dominio de definición de la función siguiente: f (x ) =
(x + 1)(x − 2)
x(x + 3)(x − 5)
73. El signo de una función
Analizar el signo de una función es indicar en qué intervalos la función es positiva o
negativa. Así es que para la función f ( x) = x + 4 , el intervalo donde f (x ) es positiva
resulta ser (− 4,+∞ ) .
El problema se manifiesta cuando se dan otras características para las funciones: puntos
singulares, recorrido, etc. El alumnado se pregunta en definitiva sobre el eje de
coordenadas que conviene considerar para indicar los intervalos donde la función es
positiva. Por ello confunde la zona positiva del eje X con los valores de x en los que la
función es positiva.
A fin de evitar este error, es conveniente realizar gran cantidad de ejercicios y ver todas
las situaciones que se nos pueden presentar. Por poner algún ejemplo, podemos buscar
una función que sea negativa en la zona del eje X positivo o que sea positiva en un
intervalo dentro de la zona negativa del eje X, etc.
Ejercicio de revisión
Encuentra los intervalos en donde la función f ( x) = x 4 − 20 x 2 + 64 es negativa.
65
74. Obtención del vértice de una parábola
Una parábola es la representación gráfica de una función dada por un polinomio de
segundo grado. La fórmula con la que debemos trabajar para obtener su vértice es la
siguiente: V x = −b / 2a , donde x es la abscisa del vértice, es decir, la coordenada x del
vértice de la parábola; a es el coeficiente del término de grado dos y b el coeficiente del
término de grado uno. Por ejemplo, calculemos el vértice de la parábola
x 2 + 10 x − 7 = 0 :
b
10
Vx = −
=−
= −5
2a
2 ⋅1
El problema surge cuando los coeficientes a o b o ambos tienen signo negativo. Por
ejemplo, el siguiente vértice está mal calculado. Se nos pide determinar el vértice de la
parábola x 2 − 10 x + 8 = 0 :
b
10
=−
= −5
Vx = −
2a
2 ⋅1
El fallo es debido a considerar que b = 10, cuando realmente b = -10. En efecto, el
cálculo correcto sería:
−10
b
Vx = −
=−
=5
2a
2 ⋅1
No podemos olvidarnos de calcular V y sustituyendo la x por V x en el polinomio:
V y = 5 2 − 10 ⋅ 5 + 8 = 25 − 50 + 8 = −17
El error se debe no pocas veces a querer resolver el problema rápidamente y sin
detenernos a pensar. Para evitar este descuido, el estudiante puede trabajar con
tranquilidad, preguntándose detenidamente ante un polinomio quién es a, b y c.
Podemos relacionar esto con la fórmula utilizada para resolver la ecuación de segundo
grado, donde a y b tienen el mismo significado. También debemos tener siempre
presente la regla de los signos en las multiplicaciones y divisiones.
Ejercicio de revisión
Calcula las coordenadas de los vértices de las parábolas dadas por las funciones:
f (x ) = x 2 + 5 y f (x ) = −2 x 2 + 32 x + 1
75. ¿Probabilidad superior a la unidad?
A partir de la definición de probabilidad establecida por Laplace, queda claro que la
probabilidad de que ocurra un suceso es siempre menor o igual que la unidad. Si p es la
probabilidad de que se produzca un suceso, definimos probabilidad así:
p=
número de casos favorables al suceso
número de casos posibles
Y como el número de casos favorables no puede superar al de casos posibles, se
verificará que:
número de casos favorables al suceso
≤1
número de casos posibles
En cambio, al utilizar fórmulas más complejas, el alumno puede encontrarse con
resultados incoherentes, debido a un error en las operaciones, en el planteamiento del
problema o a una aplicación incorrecta de las fórmulas. Por ejemplo, si nos piden
calcular la probabilidad de que al lanzar un dado el número obtenido sea mayor que 2 o
menor que 5, lo siguiente estaría mal:
66
p (dado > 2 ∨ dado < 5) =
)
4 4 8
+ = = 1,3 ≥ 1
6 6 6
pues ya se ha indicado que la probabilidad no puede superar la unidad. El fallo, en este
caso, ha sido debido a que hemos contado algún suceso dos veces. Así, el caso en el
que obtenemos un 3 está contado en el supuesto de que obtengamos un valor superior a
2, y también está contado en el caso de que obtengamos un valor menor que 5. La
solución correcta pasa por aplicar la fórmula adecuada en la que se resta una vez los
valores que se encuentran repetidos dos veces:
p (dado > 2 ∨ dado < 5) =
4 4 2
+ − =1
6 6 6
el 2/6 se debe a que hay dos valores contabilizados dos veces: el 3 y el 4.
En este caso concreto, podemos darnos cuenta de que el enunciado siempre va a
cumplirse, ya que los valores obtenidos por los dados son o bien mayores que 2, o bien
menores que 5, por tanto tendremos:
p (dado > 2 ∨ dado < 5) =
6
=1
6
ya que, como hemos indicado, todas las caras del dado son favorables. Se trata por lo
tanto de un suceso seguro al ser imposible que no se dé.
Este error puede deberse a la confusión entre la y (conjunción copulativa) y la o
(conjunción disyuntiva). No es lo mismo pensar en valores superiores a 2 y también
menores que 5 que pensar en valores mayores que 2 o inferiores a 5.
Para evitar estos errores, conviene leer atentamente el enunciado del problema para ver
qué experimento se está realizando y así tener claros cuáles son todos los sucesos
posibles, en qué situaciones pueden darse y cuáles son los sucesos favorables.
Es interesante observar que si en un problema debemos considerar dos situaciones por
separado que nos dan probabilidades de 0,7 y 0,9, la unión de ambas situaciones no
puede dar una probabilidad de 0,7 + 0,9 = 1,6 . Quizá lo que debamos hacer sea
multiplicar los valores obteniendo 0,7 ⋅ 0,9 = 0,63 o realizar alguna resta. Dependerá de
la naturaleza del problema.
Otro motivo que puede inducir a pensar en probabilidades superiores a la unidad es
que, de forma incorrecta, suele multiplicarse la probabilidad por 100 para expresarla en
tanto por ciento; de esta manera, una probabilidad de 0,35 se escribiría como una
probabilidad del 35%. Sin embargo, esta forma de escritura no se ajusta a la definición
dada al principio. Indicar ese porcentaje es expresar cuántos casos son favorables por
cada 100 casos, pero no es expresar una probabilidad. Por ello, un 35% debería darse
escribiendo que el 35 por ciento de los casos son favorables.
Ejercicio de revisión
Calcula qué probabilidad existe de acertar la matrícula del coche de un amigo si
tenemos tres oportunidades. Se supone que en las matrículas se imprime un número de
cuatro cifras seguido de tres letras. En el sistema actual de matriculación se utilizan
veinte letras. Un ejemplo de matrícula puede ser: 0489RJM.
67
CAPÍTULO 5
SI TE ENCUENTRAS CURSANDO
1º DE BACHILLERATO
O UN CURSO SUPERIOR...
CONVIENE RECORDAR...
La técnica que comento en este
apartado se llama erróneamente
técnica del conjugado, pero
realmente no tratamos con un
conjugado; el concepto de
conjugado aparece en el
contexto de números complejos
y realmente es incorrecto el uso
tan extendido que se hace en
este
caso
del
término
conjugado.
76. Uso de la diferencia de cuadrados para racionalizar
Racionalizar es quitar las raíces del denominador. Una de las técnicas más utilizadas
para racionalizar es la de multiplicar el numerador y el denominador por la misma
expresión que aparece en el denominador pero cambiando uno de sus signos,
usualmente el signo que separa los dos términos. Por ejemplo:
1
2− 7
=
2+ 7
(2 − 7 )(2 + 7 )
=
2+ 7
22 −
( 7)
2
=
2+ 7 2+ 7
=
4−7
−3
El problema aparece cuando uno o varios de los radicales aparecen multiplicados por
un número. Así, el siguiente ejercicio estaría mal resuelto.
Racionaliza la expresión
1
2 3− 5
El procedimiento sería:
(2
2 3+ 5
)(
3− 5 ⋅ 2 3+ 5
=
2 3+ 5
) (2 3 ) − ( 5 )
2
2
2 3+ 5
=2 3+ 5
6−5
=
ya que se ha cometido el error de no elevar al cuadrado el número 2 que aparece
multiplicando a la primera raíz. Lo correcto es:
(2
2 3+ 5
)(
3− 5 ⋅ 2 3+ 5
=
2 3+ 5
) (2 3 ) − ( 5 )
2
2
=
2 3+ 5 2 3+ 5
=
12 − 5
7
Para evitar este problema, conviene tener presente el uso correcto del paréntesis y tener
en cuenta que debemos aplicar las fórmulas de potencias, en este caso la fórmula a
tener en cuenta sería:
(a ⋅ b ⋅ c )n = a n ⋅ b n ⋅ c n
CONVIENE RECORDAR...
Los conceptos de convexidad y
concavidad para funciones
pueden ser distintos según los
autores.
Así, para evitar dudas se puede
adoptar el concepto de
concavidad hacia arriba si
todas las tangentes a la función
quedan por debajo de ella. La
función será cóncava hacia
abajo cuando las tangentes a la
gráfica quedan por encima de
ella.
Este error se debe a pensar que elevamos al cuadrado únicamente para eliminar las
raíces cuadradas dejando el resto de factores intactos. Pero como se expresa en la
fórmula anterior, todos los factores quedan afectados por el exponente.
Ejercicio de revisión
Racionaliza:
−3 6
5 +7 8
77. Dónde se encuentran los máximos y los mínimos
Un máximo es un valor que supera a todos los de su entorno. Así, todas las parábolas
convexas tienen un máximo en su vértice.
68
La dificultad aparece cuando debemos señalar dónde se encuentra dicho máximo. Si
queremos calcular dónde se encuentra el máximo de la función f (x ) = − x 2 +6 x − 10 , el
alumno puede ejecutar los cálculos habituales como:
Vx = −
b
6
=−
= 3 ⇒ V y = f (3) = −1
2a
2 ⋅ (− 1)
y sostener, de forma errónea, que el máximo está en –1.
Para evitar este error debemos diferenciar entre la coordenada x del máximo y su
coordenada y. En tanto que la coordenada x serviría para indicar dónde se encuentra el
máximo, la coordenada y serviría para señalar el valor de dicho máximo. Por otra parte,
podemos evitar estos problemas si se proporcionan las coordenadas del punto máximo.
Así, en el caso estudiado, el máximo sería el punto de coordenadas (3,−1) .
Ejercicio de revisión
Localiza los puntos singulares de la función: f ( x) = x 4 − 20 x 2 + 64
78. La inversa de una función
En la notación para expresar la función inversa de otra usamos: g ( x) = f −1 ( x) , donde
denotamos que g (x ) es la función inversa de f (x ) . Por inversa de una función
entendemos la recíproca.
Por ejemplo, la función inversa o recíproca de la tangente es el arco tangente, lo que
quiere decir que si la tangente de 20º es 0,36, el arco tangente de 0,36 es 20º. No debe
confundirse la inversa de una función con el inverso de un número. El siguiente
desarrollo es incorrecto:
f ( x) = 3 x − 1 ⇒ f −1 (5) =
1
1
=
3 ⋅ 5 − 1 14
en donde lo que hemos calculado no es la inversa de la función f (x ) en x = 5 , sino la
inversa del valor de f (x ) en x = 5 . Para obtener el resultado f −1 (5) , debemos
averiguar el valor de x que hace que f (x ) valga 5; este valor es 2 ya que f (2 ) = 5 . La
mecánica consiste en despejar la x en la función f (x ) y considerar que esta x es la
nueva función pasando a ser f (x ) la variable; es decir, se intercambian los papeles de
x y f (x ) :
f ( x) = 3x − 1 ⇒ f ( x) + 1 = 3x ⇒ x =
f ( x) + 1
⇒ f
3
−1
( x) =
x +1
3
donde la nueva función es la inversa de f (x ) . Como comprobación, obtengamos el
valor anterior:
5 +1
f −1 (5) =
=2
3
Aquí tenemos un ejemplo de la precisión con que debemos utilizar el lenguaje
castellano en esta materia.
Para corregir este problema, puede utilizarse el concepto de recíproco y así hablar de
función recíproca de otra dada. Como ejemplo, la función recíproca del coseno es el
arco coseno y no la secante. Hay que tener en cuenta que existen 6 funciones
trigonométricas asociadas a 6 razones trigonométricas: las 3 razones directas, seno,
coseno y tangente, y las 3 razones inversas, cotangente, secante y cosecante.
69
Este error se debe al significado que tiene el –1 como exponente de un número distinto
de cero ya que se cumple que:
1
a −1 =
a
Pero no debe confundirse la base de una potencia con una letra que represente a una
función. Es decir, no es lo mismo el exponente -1 para una letra que representa un
número, que el exponente -1 para una letra que representa una función.
Ejercicio de revisión
Calcula la función inversa de f (x ) = e x y el valor de dicha función inversa en x = 2 .
Calcula igualmente el valor inverso de dicha función en x = 2 .
79. Uso de la diferencia de cuadrados
CONVIENE RECORDAR...
Todas las expresiones se
pueden poner como fracción,
ya que el uno es siempre un
denominador válido.
Al explicar uno de los métodos para el cálculo de límites, el de multiplicar en un
cociente el numerador y el denominador por la misma expresión que aparece en el
denominador pero cambiando el signo central del mismo, un ejercicio correctamente
resuelto sería el siguiente:
Así,
lím
2x3
f (x ) = 2 x 3 =
1
x → +∞
(
)
x − 1 − x + 2 = lím
(
x −1 − x + 2
)(
x −1 + x + 2
)
x −1 + x + 2
x → +∞
y por la fórmula de la diferencia de cuadrados este límite queda:
lím
x → +∞
(x − 1) − (x + 2)
x −1− x − 2
= lím
x −1 + x + 2
x → +∞
x −1 + x + 2
−3
= lím
x → +∞
x −1 + x + 2
=0
ya que el denominador tiende a infinito.
Sin embargo, al aplicarlo a un ejercicio como el que sigue, no llegamos a un
planteamiento más sencillo, aunque la expresión obtenida sea correcta:
[(
)]
) (
lím ln 2 x 2 + 4 − ln x 2 − 5 =
x →∞
= lím
[ln(2 x
2
x →∞
) (
ln (2 x
)] [ (
+ 4 ) + ln (x
) (
− 5)
+ 4 − ln x 2 − 5 ⋅ ln 2 x 2 + 4 + ln x 2 − 5
= lím
x →∞
2
(
(
2
) (
) (
ln 2 2 x 2 + 4 − ln 2 x 2 − 5
ln 2 x 2 + 4 + ln x 2 − 5
)
)] =
)
Este problema surge al no saber por qué se usa la técnica comentada. Esta técnica se
utiliza cuando aparecen raíces cuadradas, como en el primer ejercicio presentado. De
este modo, la fórmula de la diferencia de cuadrados permite eliminar las raíces y con
ello la indeterminación del límite. Sin embargo, esto no tiene sentido con logaritmos ya
que, aunque elevemos a dos un logaritmo, seguiremos teniendo presente dicho
logaritmo.
El límite de la función con logaritmos se obtiene fácilmente aplicando las propiedades
de estos:
[(
) (
)]
lím ln 2 x 2 + 4 − ln x 2 − 5 = lím ln
x →∞
x →∞
2x 2 + 4
x2 − 5
= ln lím
x →∞
2x 2 + 4
x2 − 5
= ln 2
donde hemos aplicado que la diferencia de logaritmos es el logaritmo del cociente y
que el límite del logaritmo es el logaritmo del límite.
70
Para evitar este despiste conviene saber cuándo debemos usar la técnica que se ha
descrito con el primer ejemplo. Utilizaremos esa técnica cuando queramos resolver una
expresión indeterminada en la que aparecen raíces cuadradas. Al hacer esto,
obtendremos la típica forma suma por diferencia (o diferencia por suma) que, al
convertirla en diferencia de cuadrados, hará que desaparezcan algunos o todos los
radicales y con ello, posiblemente, la indeterminación.
Ejercicio de revisión
Calcula el siguiente límite:
lím  x − 2 x 2 − x 

x → +∞
80. Límites con el número e
Son frecuentes los ejercicios en los que debemos calcular límites aplicando la
definición del número e. Como ejemplo, calculemos el siguiente límite:
2

lím 1 + 
x → +∞
x
3x
1 

= lím 1 +

x → +∞
x/2
3 x⋅
2
2
1 

= lím 1 +

x →+∞
x/2
6⋅
x
2
= e6
en el que hemos conseguido el uno en el numerador de la fracción que hay dentro del
paréntesis y un exponente x/2 para dicho paréntesis.
Para realizar estos ejercicios, el alumnado sabe que debe aparecer el uno sumando a la
fracción y, de no ser así, sumamos y restamos uno a dicha fracción para que aparezca,
así:
 x + 3
lím 

x → +∞ x − 3 
3 x +1
x+3 

− 1
= lím 1 +
x → +∞
x−3 
6 

= lím 1 +

x →+∞
x −3
3 x +1
3 x +1
x + 3 − ( x − 3) 

= lím 1 +

x → +∞
x−3





1

= lím 1 +
x−3 
x → +∞


6 

3 x +1
x −3 6
⋅
⋅(3 x +1)
6 x −3
lím
= e x → +∞
=
18 x + 6
x −3
= e18
El problema surge cuando los alumnos aprenden de memoria que para resolver los
límites del número e deben restar y sumar uno, haciendo esto en cualquier caso, aunque
en el enunciado original ya tengamos el uno. Así, el siguiente ejercicio estaría mal
comenzado:
x
2 
2



lím 1 +
+ 1 − 1
 = lím 1 +
x → +∞
x → +∞
1+ x 
1+ x

x
puesto que en este caso no es necesaria la técnica de sumar y restar uno. El ejercicio
bien hecho resulta:
x
x




2 
1
1

 = lím 1 +

lím 1 +
 = lím 1 +
x → +∞
x → +∞
(1 + x ) / 2  x→+∞ (1 + x ) / 2 
1+ x 
El número e se define del
siguiente modo:
 1
e = lím 1 + 
x
x → ∞
3 x +1
con lo que únicamente nos queda restar el uno de la fracción para aproximarnos a la
forma típica de la definición de e. El ejercicio prosigue así:
x+3 

− 1
lím 1 +
x → +∞
x−3 
CONVIENE RECORDAR...
1+ x 2
⋅
⋅x
2 1+ x
=e
lím
2x
x → +∞ 1+ x
= e2
Para evitar este problema basta con tener bien presente la definición del número e, que
incluye el uno sumando a la fracción. Cuando aparezca dicho uno en el enunciado, no
hará falta hacer nada, pero si no aparece, lo sumaremos y lo restaremos. También puede
usarse una fórmula que resuelve directamente el problema:
71
x
lím [g ( x )⋅( f ( x )−1)]
lím [ f (x )]g ( x ) = e x →b
x →b
Esta fórmula es aplicable cuando lím f (x ) = 1 y lím g (x ) = ∞ .
x →b
x →b
Ejercicio de revisión
Calcula los límites:
3x 

a) lím 1 − 2

x→−∞
x −4
−4 x
 x +1
b) lím 

x →+∞ x 
5x2
81. Derivada de una función constante
La más sencilla de las fórmulas con derivadas es la que hace referencia a la función
constante. Si f (x ) = k entonces f ' (x ) = 0 , donde se indica que la derivada de una
función constante es cero. Así, la derivada de la función f (x ) = 7 será cero. Por
constante entendemos un número real como 7, π ó -0,3425.
El problema se presenta al preguntarnos cuál es la derivada de f (x ) = cos 7 . La
respuesta errónea que habitualmente dan los alumnos es:
f (x ) = cos 7 ⇒ f ' (x ) = −sen 7
Para dar esta respuesta se ha aplicado que la derivada del coseno es el opuesto del seno.
El problema ha sido la imprecisión en la última frase: realmente la derivada del coseno
no es el menos seno, sino que la derivada de la función coseno de x es el opuesto del
seno de x.
A fin de corregir este error, debemos tener en cuenta que cos 7 = 0,9925 , es decir, un
número real cuya derivada es por tanto cero. Lo mismo ocurriría con ln 20 , tg 45 , etc.
Ejercicio de revisión
Calcula la derivada de la función: f (x ) = cos x ⋅ tg 2
82. El uso de los paréntesis
En la derivada de fracciones algebraicas se maneja mucho el cálculo con paréntesis
para encerrar polinomios. Es muy habitual en el alumnado olvidar dichos paréntesis.
Veamos el siguiente resultado mal expresado por el mencionado olvido:
Deriva la función f ( x) =
x3 + 2x
x2 +1
f ' ( x) =
:
3x 2 + 2 ⋅ x 2 + 1 − x 3 + 2 x ⋅ 2 x
(x
2
)
+1
2
aquí el numerador ha quedado mal escrito, ya que deberíamos tener toda la derivada del
numerador multiplicada por el denominador y no lo que aparece en la expresión
anterior, que refleja que solo el 2 está multiplicado por x 2 . El resultado correctamente
escrito es:
f ' ( x) =
72
(3 x 2 + 2) ⋅ ( x 2 + 1) − ( x 3 + 2 x) ⋅ 2 x
(x
2
)
+1
2
Para evitar este error conviene hacer muchos ejercicios en los que intervengan
polinomios. También podemos observar que la función original puede separarse en
suma de dos fracciones para realizar dos derivadas que habrán de sumarse con lo que
obtendremos el mismo resultado.
Ejercicio de revisión
Obtén la derivada de la función f (x ) =
(
cos 5 x 2 − x
x +1
)
83. Problemas de optimización
En este tipo de problemas se plantea una función que debemos optimizar. Para ello, una
vez obtenida dicha función se deriva y se iguala esta derivada a cero. La resolución de
la ecuación resultante nos da los posibles valores buscados.
El problema con el que se encuentran los alumnos es no tener claro cuál es la función a
optimizar. Por ejemplo, resulta habitual que si en un problema tenemos que optimizar
el volumen y entre los datos aparecen áreas, el alumno se lía y deriva e iguala a cero el
área. Veamos el siguiente caso:
Se nos pide obtener un prisma abierto por una de sus bases y que tenga el volumen
máximo, para ello se dispone de una cartulina de 10x30 cm2 de superficie. El
planteamiento es el que sigue: recortamos, en cada una de sus cuatro esquinas,
cuadrados de lado x, como indicamos en la figura:
CONVIENE RECORDAR...
Optimizar es encontrar el valor
de la variable que proporcione
la cantidad más alta para una
función (por ejemplo si
queremos el máximo beneficio)
o la más baja (por ejemplo si
queremos el coste mínimo).
CONVIENE RECORDAR...
Así, el prisma que obtenemos tiene 10 − 2 x cm de ancho, 30 − 2 x cm de largo y x cm
de alto. El volumen será:
V = (10 − 2 x )(30 − 2 x )x = 4 x 3 − 80 x 2 + 300 x
Como el volumen depende de x podemos escribir: V (x ) = 4 x 3 − 80 x 2 + 300 x
que será la función a optimizar. Así:
 x = 11,08
V ' (x ) = 12 x 2 − 160 x + 300 = 0 ⇒ 
 x = 2,26
Evidentemente, la solución correcta será 2,26 cm, pues en una cartulina de lado 10 cm
no podemos recortar dos esquinas de longitud 11,08 cm.
Para evitar este error bastará con efectuar una lectura atenta del problema para
averiguar cuál es la función que debemos optimizar.
Ejercicio de revisión
Calcula las dimensiones que debe tener una cisterna cilíndrica de 50 m3 de capacidad
para fabricarla con la menor cantidad posible de material.
73
En
los
problemas
de
optimización tampoco debes
olvidar que el resultado debe
comprobarse para confirmar
que se trata de un valor óptimo,
que
puede
ser
el
correspondiente a un máximo o
a un mínimo.
84. La regla de la cadena
La regla de la cadena se usa para derivar la composición de funciones. La utilizamos
cuando tenemos que derivar una función de función. Una cosa es derivar la función
tangente de x, escrita tgx , y otra la función tangente del coseno de x, escrita tg cos x ;
en el primer caso tenemos una función de x y en el segundo caso una función de cos x .
La expresión de esta utilísima regla es la siguiente:
[g ( f ( x))]' = g ' ( f ( x))⋅ f ' ( x)
En esta fórmula, la f (x ) se comporta con respecto a la función g como si fuera la x.
Veamos un ejemplo derivando la función f ( x) = cos ln x 2 :
f ' ( x) = −sen ln x 2 ⋅
1
x2
⋅ 2x
El despiste que solemos cometer con la regla de la cadena está precisamente
relacionado con las funciones trigonométricas y logarítmicas. Veamos el siguiente
ejercicio mal hecho en el que se nos pide derivar la función f ( x) = tg 3 cos x :
f `( x) =
3tg 2
cos 2 cos x
⋅ (− senx )
El despiste consiste en haber dejado la tangente sin argumento. Si nos piden calcular
una tangente, enseguida se nos preguntará de qué ángulo. Por consiguiente, después de
la tangente debe aparecer algo. Lo correcto es escribir:
f `( x) =
3tg 2 cos x
cos 2 cos x
⋅ (− senx )
Para evitar este error, basta con que nos acostumbremos a revisar los resultados a fin de
ver si hay alguna omisión de este tipo.
Otro problema habitual con la regla de la cadena es el de escribir en todos los productos
x
todas las funciones. Así, para calcular la derivada de f ( x) = sen cos ln sería erróneo
3
proponer:
1
1
x
x
f ' ( x) = cos cos ln ⋅ sen (−sen ln ) ⋅ sen cos
⋅ sen cos ln
3
3
3
x/3
donde lo que hemos hecho es escribir en cada factor todas las funciones sustituyendo
sin más, en cada uno de ellos, una función por su derivada.
La solución correcta, incluso más breve, es la que sigue:
f ' ( x) = cos cos ln
x
x
1 1
⋅ (−sen ln ) ⋅
⋅
3
3 x/3 3
que podemos simplificarla un poco más:
f ' (x ) = cos cos ln
x 
x 1
⋅  − sen ln  ⋅
3 
3 x
Para evitar este error conviene entender bien la expresión que muestra la regla de la
cadena y considerar que las funciones pueden comportarse como si fueran variables. Es
como si en la fórmula inicial, la f (x ) fuera una variable: g ( f (x )) = g (a ) , con lo que
g ' ( f (x )) = g ' (a ) ⋅ a ' . También podemos observar que según vamos derivando las
funciones, lo que debemos escribir es cada vez una expresión más pequeña.
74
Para terminar, cuando hemos de derivar una función con raíces, como la que sigue:
f (x ) = ln x
Lo que podemos hacer es transformarla en una función potencial para derivar como una
potencia, es decir:
f (x ) = (ln x )1 / 2 ⇒ f ' (x ) =
1
1 1
1
⋅ (ln x )1 / 2−1 ⋅ = ⋅ (ln x )−1 / 2 ⋅
x 2
x
2
Sin embargo, puede ocurrir que escribamos lo siguiente:
f (x ) = ln x ⇒ f (x ) = ln x1 / 2
Aquí, como no se han escrito los paréntesis, el exponente es para la x en lugar de para
el logaritmo. Los paréntesis deben ponerse porque la raíz cuadrada original era para la
función logarítmica, por lo tanto, el exponente ½ tiene que ser para el logaritmo en
lugar de únicamente para la x.
Ejercicio de revisión
(
Deriva las funciones: f (x ) = sen ln x 5 y
(
f (x ) = tg cos 5 x 3 + 2 x 2
))
3
85. Recta de regresión
La nube de puntos utilizada para representar los datos de una distribución
bidimensional se puede aproximar en algunos casos a una recta. Dicha recta se aprecia
a simple vista si al observar dicha nube de puntos estos se encuentran medianamente
alineados. Para calcularla matemáticamente debemos obtener los datos de la expresión:
y−y =
s xy
s x2
(x − x )
Cuando proponemos al alumno un ejercicio consistente en la obtención de dicha recta
de regresión, mecánicamente trata de obtener todas y cada una de las variables que
salen en dicha fórmula.
El problema surge cuando nos preguntan por qué valor tenemos que sustituir la x o la y.
Evidentemente la respuesta es que por ninguno, ya que la x y la y son las variables que
deben aparecer en las ecuaciones de las rectas.
Para corregir este error debemos recurrir a las ecuaciones de las rectas y comprobar que
siempre tienen la x y la y (salvo en el caso de que sean rectas verticales u horizontales),
por lo que la recta de regresión también deberá poseerlas. Por otro lado, conviene ir al
concepto de recta: debemos encontrar una expresión que nos permita sustituir la x por
un valor numérico y obtener otro valor numérico que será el correspondiente a la y.
Quizá este error se deba a que para representar la recta sí que debemos sustituir la x por
valores; pero una cosa es escribir la ecuación de la recta y otra es dibujarla obteniendo
dos de los puntos por los que pasa.
Ejercicio de revisión
Obtén las dos rectas de regresión para la distribución estadística bidimensional:
xi
2
2
2
3
4
4
5
5
5
6
yi
1
2
4
7
8
9
11
13
14
17
75
CONVIENE RECORDAR...
Existen dos rectas de regresión:
la recta de Y sobre X y la recta
de X sobre Y. La diferencia en
sus expresiones es que la x y la
y intercambian sus papeles.
CAPÍTULO 6
SI TE ENCUENTRAS CURSANDO
2º DE BACHILLERATO...
86. Proporcionalidad y dependencia lineal
El concepto de proporcionalidad es muy intuitivo. Decimos, por ejemplo, que dos
triángulos tienen sus lados proporcionales si los cocientes entre los lados homólogos
son iguales. Los dos tipos de proporcionalidad típicos son bien conocidos:
proporcionalidad directa e inversa; así, el doble de trabajadores realizará el doble de
trabajo en el mismo tiempo o el mismo trabajo en la mitad de tiempo.
El problema surge con el nuevo concepto de dependencia lineal en segundo de
r
r
bachillerato. Cuando tenemos los vectores: a = (2,4,6 ) y b = (4,6,8) , el enunciado
r
r
“los vectores a y b son proporcionales” es erróneo, ya que los cocientes formados con
sus componentes homólogas no son iguales, es decir:
2 4 6
≠ ≠
4 6 8
El error se debe a que parece haber una relación o un patrón de formación para esas
cantidades, pero no siempre que sucede esto, podemos hablar de proporcionalidad.
r
Por otro lado, si junto a los vectores anteriores nos dan un tercero: c = (6,10,16) ,
seguiría siendo incorrecto decir que son proporcionales. En este caso, la confusión se
debe a que el tercer vector es suma de los dos primeros.
Con la finalidad de corregir este error, conviene percibir que no siempre que veamos
una secuencia lógica en una serie de números, ya estén en fila o tabulados, podemos
hablar de proporcionalidad. Por otro lado, es importante dominar bien el concepto de
dependencia lineal para un conjunto de vectores. Por último, un ejemplo final terminará
de aclarar esta situación: las cantidades 3, 4 y 7 no son proporcionales aunque 3+4=7.
El concepto de proporcionalidad aparece al manejar números, y el de dependencia
lineal al tratar con vectores.
Ejercicio de revisión
Indica cuáles de los siguientes vectores tienen sus componentes proporcionales:
r
r
r
r
r
a = (3,−1,4) , b = (5,0,6) , c = (− 6,2,−8) , d = (4,0,5) y e = (8,0,16 ) .
87. Combinación lineal de vectores
Cuando tenemos un conjunto de vectores, una combinación lineal de ellos es una
expresión en la que aparecen sumados dichos vectores previamente multiplicados por
r
r
números. Así, una combinación lineal de los vectores a = (2,4,6 ) , b = (4,6,8) y
r
c = (6,10,16) puede ser:
r
r
r
5 ⋅ a − 3 ⋅ b + 1⋅ c
o lo que es lo mismo:
5(2,4,6 ) − 3(4,6,8) + (6,10,16 )
Las dudas surgen cuando se plantea la obtención de una combinación lineal de forma
r
r
distinta. Observemos este ejemplo: dados los vectores u = (1,−3,2 ) , v = (− 2,6,−4) y
76
r
r
r
r
w = (2,0,1) , escribe u como combinación lineal de v y w . Para resolver este ejercicio,
se plantea la combinación lineal con las incógnitas x e y, y se averiguan dichas
incógnitas planteando un sistema:
(1,−3,2) = x(− 2,6,−4) + y(2,0,1)
(1,−3,2) = (− 2 x,6 x,−4 x ) + (2 y,0, y )
(1,−3,2) = (− 2 x + 2 y,6 x,−4 x + y )
y el sistema que se plantea es el siguiente:
1 = −2 x + 2 y 

− 3 = 6x

2 = −4 x + y 
como este sistema tiene por solución x = −1 / 2 , y = 0 , el alumno dice que la respuesta
al ejercicio es:
x = −1 / 2 , y = 0
Sin embargo, no debemos dar el problema por acabado, ya que no es lo mismo dar los
valores de las incógnitas que expresar la combinación lineal. Así, una vez hallados x e
y, tenemos que expresar el resultado final así:
r
1 r r r
1
u = − ⋅ v + 0 ⋅ w ⇒ (1,−3,2 ) = − ⋅ (− 2,6,−4 ) + 0 ⋅ (2,0,1)
2
2
Ejercicio de revisión
r
Expresa el vector v = (− 5,5,12 ) como combinación lineal de los vectores siguientes:
r
r
r
a = (1,1,2 ) , b = (2,0,2) , c = (3,−1,−2 ) .
88. Rango y determinante de una matriz
Un determinante es un número que se asocia
determinante de la matriz:
2 1

A = 0 1
3 2

a una matriz cuadrada. Por ejemplo, el
3 

− 4
− 2 
se obtiene aplicando la regla de Sarrus:
2 1 3
A = 0 1 − 4 = −4 + 0 − 12 − 9 + 16 − 0 = −9
3 2 −2
El rango de una matriz es el máximo número de líneas linealmente independientes. Así,
el rango de la matriz anterior es, aplicando la técnica de Gauss:
2 1 3  2 1 3  2 1 3 

 
 

r ( A) = r  0 1 − 4  = r  0 1 − 4  = r  0 1 − 4  = 3
 3 2 − 2   0 1 13   0 0 17 

 
 

77
Estos dos conceptos, el de rango y el de determinante, solemos confundirlos,
probablemente porque son acepciones nuevas para los alumnos de segundo de
bachillerato y están en proceso de asimilación.
Para evitar la confusión habitual entre estos términos, podemos considerar los
siguientes aspectos: un determinante solamente puede calcularse para una matriz
cuadrada, sin embargo un rango puede calcularse para cualquier tipo de matriz; por otra
parte el valor de un determinante puede ser cualquiera, quedando no obstante limitado
el rango de una matriz al número de columnas o de filas de la matriz; finalmente, un
determinante puede ser un número negativo o tener decimales, mientras que un rango
es un número natural.
Ejercicio de revisión
Calcula el rango de la matriz A y el determinante de una submatriz cualquiera, siendo:
2
0 − 1
 3


A= 4
6
5
2 
 − 1 − 4 − 5 − 3


89. Líneas proporcionales en un determinante
CONVIENE RECORDAR...
Cuando en un determinante
aparecen dos líneas paralelas
iguales su valor es nulo.
Cuando en un determinante aparecen dos líneas paralelas proporcionales, su valor es
nulo por una de las propiedades de los determinantes. Por ejemplo, en el siguiente
ejercicio, la tercera columna es proporcional a la segunda ya que sus valores están
duplicados respecto a los de la segunda columna:
3
−5
7
2
1
4
3
2 = 2⋅ −5
−3 −6
2
1
7
2
1 = 2⋅0 = 0
−3 −3
El error habitual viene cuando en lugar de proporcionalidad aparece otra forma de
relación. Por ejemplo, si queremos calcular el determinante:
2
4
3
9
5
6
8 27 4
sería incorrecto dar como solución: “el valor del determinante es cero, ya que las dos
primeras columnas son proporcionales”.
El error se debe a que el alumno parece intuir la existencia de una relación entre ambas
columnas: en la primera de ellas estamos ante una progresión geométrica de razón 2
(tenemos potencias de base 2), en la segunda columna, aparece otra progresión
geométrica de razón 3 (tenemos potencias de base 3). Esta relación hace pensar al
alumno en términos de proporcionalidad, haciéndole responder que el determinante
vale 0. Un rápido cálculo con la regla de Sarrus nos da el valor 24 para este
determinante. Para evitar este error, bastará con tener claro el concepto de
proporcionalidad, que no se da siempre que aparecen otro tipo de “coincidencias”.
Ejercicio de revisión
2
Calcula el valor del determinante
4
6
8
10 12
10 12 14
4
6
8
6
8
10 12 14 16
8
10 12 14 16 18
10 12 14 16 18 20
12 14 16 18 20 22
78
90. Inversa de una matriz
Para calcular la matriz inversa de una matriz dada podemos seguir varios caminos. Uno
de ellos consiste en escribir la matriz buscada con incógnitas y aplicar la definición de
matriz inversa para encontrar dichas incógnitas. Así, para calcular la inversa de la
a b 
 2 1
 y
 , podemos establecer como resultado inicial A −1 = 
matriz A = 
c d 
 − 3 4
aplicar la definición obteniendo la ecuación:
 2 1  a b  1 0

 = 
 ⋅ 
A ⋅ A −1 = I ⇒ 
 − 3 4  c d  0 1
Y aplicando el producto de matrices obtenemos el sistema y las soluciones siguientes:
2a + c = 1

− 3a + 4c = 0
4
3
2
−1
, c=
y d=
⇒ a = , b=
2b + d = 0 
11
11
11
11
− 3b + 4d = 1
El alumnado suele dejar este conjunto de valores como solución del problema que se le
ha planteado.
Sin embargo, la solución final es la siguiente, ya que ahora podemos formar la matriz
buscada que será la matriz inversa de la dada:
A
−1
1
4
− 

11
11

=
2 
3


 11 11 
Este último paso, el escribir A-1 , es el que suelen pasar por alto los alumnos, dejando el
problema acabado al dar las soluciones del sistema. Ahora bien, no es lo mismo dar un
conjunto de 4 valores sueltos que dar una matriz de 2x2. Este es un problema incorrecto
por inacabado.
El despiste por el que el alumnado no acaba el problema puede deberse a que este
método es tan largo para matrices mayores de 2x2 que el alumno se conforma con dejar
acabada la resolución del sistema o incluso no tiene tiempo para resolverlo.
Para evitar este problema conviene recurrir al método de cálculo de la matriz inversa
por la adjunta traspuesta, que nos proporciona, tras un proceso relativamente breve, la
solución final.
CONVIENE RECORDAR...
La fórmula para obtener la
matriz inversa, si existe, es:
Ejercicio de revisión
A−1 = 1 ⋅ [Adj (A)]t
A
1 1 0 


Calcula de dos formas diferentes la inversa de la matriz: A =  0 2 − 2 
 3 0 − 3


91. Multiplicación por un número
Es sabido que para multiplicar un número por una matriz hay que multiplicar todos los
elementos de la matriz por dicho número. Si la multiplicación es de un número por un
determinante, multiplicamos únicamente una línea de ese determinante. Como ejemplo,
veamos el producto de un número por una matriz:
79
1 0  6
3 0
2

 

3 ⋅  −1 1 3 =  − 3 3 9 
 4 − 2 3   12 − 6 9 

 

donde hemos multiplicado todos los elementos por 3.
Veamos ahora el producto de un número por un determinante:
2
1 0
2
1 0
3⋅ −1 1 3 = − 3 3 9
4 −2 3
4 −2 3
donde hemos multiplicado por 3 únicamente los elementos de la segunda fila.
Sin embargo, llegado un examen es habitual que el alumnado mezcle estos resultados,
olvidando cuando debe multiplicar por todos los valores o por tan solo una línea.
Se trata de una cuestión de claridad y comprensión. Para resolver este problema, resulta
conveniente recordar el concepto de matriz como colección de números; de este modo
queda claro que multiplicar un número por una matriz es multiplicarlo por todos los
elementos de la matriz. Aprender bien todas y cada una de las propiedades de los
determinantes también podrá ayudarnos en esta cuestión.
Ejercicio de revisión
Una matriz A, cuadrada de orden 3, verifica que A = −2 . Halla el determinante de la
matriz 5A.
92. Despejando la X en una ecuación matricial
En el segundo curso del bachillerato, el alumnado aprende nuevas operaciones como la
suma y el producto de matrices o la multiplicación de un número por una matriz. En
este contexto, existe una operación, que aunque no está definida y no tiene sentido, los
alumnos se empeñan en hacer y es la división por una matriz. Debe quedar bien claro
que una matriz no puede aparecer en un denominador, por ello, en la ecuación que
sigue y siendo A, B y X matrices, la X está mal despejada:
A⋅ X = B ⇒ X =
B
A
Aquí, lo que han hecho los pupilos es despejar la incógnita como si los coeficientes
fueran números reales, sin embargo, no hay forma de operar el cociente de matrices,
con lo que la ecuación no queda resuelta.
La forma correcta, paso a paso, de despejar la matriz incógnita es:
A ⋅ X = B → A −1 ⋅ A ⋅ X = A −1 ⋅ B → I ⋅ X = A −1 ⋅ B ⇒ X = A −1 ⋅ B
Donde A −1 es la matriz inversa de A e I es la matriz identidad.
Por otro lado, el alumnado está acostumbrado a recordar que el orden de los factores no
altera el producto. Sin embargo, esta propiedad no es válida para cualquier tipo
productos o elementos. Así, el producto de números reales satisface la propiedad
conmutativa, pero el producto de matrices no. Las chicas y chicos de segundo de
bachillerato deben aprender bien que la citada propiedad no es siempre válida.
Veámoslo multiplicando dos matrices en los dos sentidos:
 2 0  − 4 1   − 8 2 

 = 
 ⋅ 

 − 1 3   2 − 1  10 − 4 
80
 − 4 1   2 0  − 9 3 

 = 
 ⋅ 

 2 − 1  − 1 3   5 − 3 
Los resultados son diferentes, con lo que podemos afirmar que, para el producto de
matrices, el orden sí influye en el resultado. Cuando el alumnado se olvida de la
propiedad de no conmutatividad comete errores como el que aparece al despejar la
incógnita en una ecuación matricial:
AX = B ⇒ X = B ⋅ A −1
Aquí, las alumnas y alumnos han aprendido que para despejar la X hay que multiplicar,
en el otro miembro de la ecuación, por la inversa de la matriz que está multiplicando a
la X, olvidando que el orden en el que se escriben las matrices es importante. Por ello,
para evitar el error, hay que recordar bien que no es lo mismo A −1 ⋅ B que B ⋅ A −1 .
Ejercicio de revisión
Siendo A, B, C y D matrices conocidas, despeja la matriz incógnita X en la siguiente
ecuación: AXB + 2C = D
93. Cortes y cruces; rectas y planos contenidos y coincidentes
Estos conceptos aparecen en el apartado de geometría relativo a las rectas y planos. La
palabra corte hace referencia a tener puntos comunes, mientras que en un cruce no
existen puntos en común. Por tanto, dos rectas no paralelas en un plano deben
forzosamente cortarse y no cruzarse. En el espacio, dos rectas no paralelas pueden o
bien cortarse o bien cruzarse.
Por otro lado, la palabra coincidente hace referencia a igualdad, mientras que la palabra
contenida hace referencia a que “se encuentra en”. Por ello, una recta y un plano no
pueden ser coincidentes. Tampoco un plano puede estar contenido en una recta. Sin
embargo, dos planos pueden ser coincidentes y dos rectas también pueden serlo.
Asimismo, una recta puede estar contenida en un plano.
Ejercicio de revisión
¿Cómo podría decirse que está un paso a nivel con respecto a la carretera que lo
atraviesa? ¿Cómo podría decirse que están las vías del tren y el suelo sobre el que se
apoyan?
94. La regla de L’Hôpital
La regla de L’Hôpital es un procedimiento que nos permite simplificar
considerablemente el cálculo de algunos límites. Así, el ejercicio siguiente se resuelve
rápidamente con dicho procedimiento:
senx
cos x 1
= lím
= =1
x →0 x
x →0 1
1
lím
donde hemos sustituido el numerador y el denominador por sus derivadas respectivas.
El problema aparece cuando se utiliza esta regla indiscriminadamente sin atender a las
situaciones en las que es correcto aplicarla. Como ejemplo, el siguiente ejercicio está
mal hecho:
6x + 2 6 3
= =
lím
x→1 / 2 4 x + 2
4 2
Ello es debido a que en este caso no podemos usar la regla de L’Hôpital. En este caso,
el ejercicio bien resuelto consiste en sustituir la x por el valor al que tiende, así:
81
6x + 2
lím
=
x→1 / 2 4 x + 2
1
6⋅ + 2
3+ 2 5
2
=
=
1
2+2 4
4⋅ + 2
2
que nos da una solución diferente a la encontrada anteriormente.
Para evitar este error, debemos tener claro cuándo aplicar esta regla. Supongamos que
f (x )
debemos calcular lím
; las condiciones de aplicación de la regla de L’Hôpital son:
x→b g ( x )
las funciones f (x ) y g (x ) deben ser continuas y tender ambas a cero cuando x tiende a
b. En el ejercicio en el que cometimos el fallo, no se da esta segunda condición, por lo
que no es aplicable el método. Sin embargo, en el ejemplo inicial el numerador y el
denominador son funciones continuas que tienden a cero cuando x tiende a cero.
Ejercicio de revisión
Calcula el límite de la función f (x ) = x ⋅ tg (x + 90º ) cuando x tiende a cero.
95. Integral indefinida
El nombre de integral indefinida se debe al famoso valor k que debemos sumar al
resultado de toda integral de este tipo, por ejemplo:
∫
x 2 dx =
x3
+k
3
donde k representa cualquier número real.
En este apartado, pretendemos hacer hincapié en esa k que los alumnos olvidan escribir
en muchas ocasiones, dando como resultado expresiones como la siguiente:
1
∫ x dx = ln x
Estamos ante una situación característica: olvidar añadir la k, con lo que se está dando
una de las primitivas de 1/x y no todas, como es preceptivo a la hora de dar solución a
una operación matemática: ofrecer todas las soluciones.
Para evitar este olvido, nos conviene recordar cuál es la definición de integral y cuál es
la derivada de una constante. Como la derivada de una constante es cero, podemos
sumar (o restar) cualquier constante a una función sin cambiar el resultado de lo que
sería su derivada. Por eso, al hacer el proceso inverso, el de integración, sumamos al
resultado una constante cualquiera que viene representada por la letra k.
Ejercicio de revisión
Calcula
∫ ln xdx e indica cuál sería su valor si tuviéramos que obtener la integral
entre 1 y 10.
96. Las constantes a añadir en la resolución de integrales
A la hora de resolver una integral como la siguiente:
1
∫ cos
2
5x
dx
nos damos cuenta de que sería inmediata si no apareciera el número 5. La forma de
eliminar ese 5 es con un cambio de variable. Por ejemplo:
82
5 x = t ⇒ 5dx = dt ⇒ dx =
y por tanto transformamos la integral en:
∫
1
dt
5
CONVIENE RECORDAR...
dt
2
cos t 5
⋅
Ahora, como el 5 no aparece dentro del argumento del coseno, sino como constante que
multiplica al coseno, la solución a esta integral es:
∫
∫
y deshaciendo el cambio, tendremos que:
1
∫ cos
2
5x
dx =
1
tg5 x + k
5
∫ cos 3xdx = 3sen3x + k
puesto que el 3 no debe multiplicar al seno, sino dividirlo, así:
1
∫ cos 3xdx = 3 sen3x + k
Y por lo expuesto, también es incorrecto el siguiente resultado:
1
∫ x + 1 dx = 3 ln x + 1 + k
ya que el 3 no debe dividir al logaritmo sino multiplicarlo, así:
3
∫ x + 1 dx = 3 ln x + 1 + k
La pregunta que se hace el estudiante es la siguiente: ¿cómo saber si ese valor constante
debe escribirse en el numerador o en el denominador? Una comprobación rápida del
resultado obtenido, derivándolo, nos dará la respuesta.
Para evitar estos errores, conviene realizar los primeros ejercicios paso a paso,
haciendo y deshaciendo los cambios de variable hasta que el alumno adquiera soltura.
Posteriormente, solo será necesario prestar un poco de atención para no volver a
cometer este error.
Ejercicio de revisión
Realiza la integral siguiente:
1
cos 2 x
= 1 + tg 2 x
Vemos así que el 5 original se muestra en el resultado final como la fracción 1/5. Sin
embargo, este ejercicio podemos resolverlo más rápidamente sin hacer el cambio de
variable, ya que mentalmente resulta sencillo. Pero justamente aquí está el problema.
Cuando el alumnado resuelve estas integrales escribe las constantes multiplicando
cuando, por el contrario, deben estar dividiendo o viceversa. Por tanto, el siguiente
ejercicio está mal hecho:
3
f (x ) = tgx ⇒
⇒ f ' (x ) =
dt 1
1
1
⋅ =
dt = tgt + k
2
2
5
cos t 5 5 cos t
1
La derivada de la función
tangente tiene dos expresiones
típicas:
7
∫ 5x + 1 dx
97. La integral del producto
Cuando resolvemos la integral de un producto de funciones, el resultado no es el
producto de las integrales de dichas funciones por separado. Es decir, el siguiente
resultado es incorrecto:
x3 1
x 2 ln xdx =
⋅ +k
3 x
∫
83
=
El fallo aquí ha consistido en aplicar lo que en otras situaciones es cierto, como por
ejemplo, que la potencia del producto es el producto de potencias, el límite del
logaritmo es el logaritmo del límite o la integral de la suma es la suma de integrales.
Sin embargo, no siempre podemos realizar las operaciones de esta forma tan intuitiva.
CONVIENE RECORDAR...
La derivada del producto es:
y = f ⋅g ⇒
El modo de evitar este error reside en aprender bien las fórmulas que presentan los
libros de texto, sin añadir expresiones inventadas por nosotros mismos, o bien en
conocer de dónde proceden las fórmulas de integración: como la derivada del producto
no es el producto de las derivadas, en el proceso de integración, que es la operación
inversa de la derivación, no puede ocurrir que la integral del producto sea el producto
de las integrales.
Ejercicio de revisión
⇒ y ' = f '⋅g + f ⋅ g '
Resuelve la integral:
∫x
2
ln xdx
98. Integración por partes
A la hora de aplicar el método de integración por partes, tenemos que obtener cuatro
igualdades. Así, por ejemplo, en la integral:
∫ x cos xdx
podemos hacer:
u = x ⇒ du = dx

dv = cos xdx ⇒ v = senx
La mecánica consiste en obtener la expresión para u y derivarla; seguidamente
debemos conseguir la expresión para dv e integrarla.
El despiste consiste en derivar las dos expresiones. Por ejemplo, está mal aplicado el
método en la siguiente integral:
u = x 2 ⇒ du = 2 xdx

2
x ln xdx → 
1
dv = ln xdx ⇒ v =
x

∫
ya que hemos derivado el logaritmo en lugar de integrarlo.
En otros casos, los despistes consisten en añadir los diferenciales en otras partes de las
cuatro igualdades, como en el siguiente proceso incorrecto:
u = x 2 ⇒ du = 2 x


1
dv = ln x ⇒ v = dx
x

Para evitar este error, debemos tener en cuenta que en cualquier ecuación, el símbolo
diferencial debe aparecer o en los dos miembros o en ninguno.
Ejercicio de revisión
Resuelve la integral:
84
∫e
2x
senxdx
CAPÍTULO 7
CONCLUSIONES
Como hemos ido analizando, muchos de los errores cometidos no son exclusivamente
matemáticos. Se trata en algunos casos de un uso incorrecto del lenguaje y, en otros, de
despistes u olvidos. Para superar la materia que nos incumbe es muy conveniente leer
repetidamente los enunciados de los problemas hasta comprender qué situación nos
están planteando.
Por otro lado, muchos de los fallos expuestos podemos eliminarlos revisando las
operaciones o la coherencia y el sentido común de los resultados. Es necesario
entrenarse a fondo en este sentido, hasta llegar al punto de actuar rutinariamente, como
un paso más en la resolución de problemas.
Para terminar, veamos tres situaciones especiales que afectan negativamente a los
resultados de no pocos alumnos.
99. Los problemas mal copiados
En ocasiones, al trasladar un ejercicio del libro de texto o de la pizarra al cuaderno,
copiamos mal el enunciado cambiando un signo, un número u otro elemento.
Posiblemente la dificultad del ejercicio siga siendo la misma, sin embargo otras veces
el problema puede cambiar por completo aumentando o reduciendo su dificultad. Así, a
la hora de resolver la ecuación de segundo grado:
1 + 2x
3 + 2 x − 2(x + 1)
+ x(x + 1) = 6 +
−x
2
2
la resolución correcta es la que sigue:
3 + 2 x − 2 x − 2 + 2 x 2 + 2 x = 12 + 1 + 2 x − 2 x
x = 2
2 x 2 + 2 x − 12 = 0 ⇒ x 2 + x − 6 = 0 ⇒ 
 x = −3
Pueden plantearse tres situaciones diferentes si copiamos mal el ejercicio. En primer
lugar, el ejercicio podría hacerse más difícil, ya que podríamos obtener una ecuación de
grado 3. En segundo lugar, podría no quedar modificada la dificultad pero el resultado
no sería el esperado. Por último, podría resultar un ejercicio más fácil.
Veamos un ejemplo de este último caso. Si la ecuación anterior se copia como:
1 + 2x
3 + 2 x − 2(x + 1)
+ (x + 1) = 6 +
−x
2
2
es decir, pasando por alto la x que se encuentra antes del segundo paréntesis, la
resolución sería así:
3 + 2 x − 2 x − 2 + 2 x + 2 = 12 + 1 + 2 x − 2 x → 2 x = 10 ⇒ x = 5
Evidentemente, si el objetivo con el que hemos propuesto este ejercicio es ver cómo el
estudiante resuelve una ecuación de segundo grado, este fallo resultaría perjudicial para
el alumnado, ya que ha obtenido una ecuación de primer grado.
85
Ejercicio de revisión
Copia el siguiente ejercicio en tu cuaderno y resuélvelo:
3(2 − 8)2 + 5(1 + 4 )3 − 2(− 3 + 8)2 − 4(7 − 1)3
2 + 1 − 3 + 4 − 5 + 2 2 + 32 + 4 4 + 5 2 − 1
100. La escasez de tiempo en las pruebas escritas
Salvo indicación expresa del profesor o de los propios enunciados de los problemas,
podemos resolver un ejercicio aplicando la técnica que más nos convenga. Es habitual
que un ejercicio pueda resolverse de varias formas. Ahora bien, el tiempo empleado en
esas diferentes formas puede cambiar. Así, existen técnicas que exigen menos tiempo
que otras para encontrar la solución. Veamos dos ejemplos de enunciados típicos.
En el primer ejemplo se nos pide factorizar el polinomio x 4 − 16 .
Método 1. Aplicando el método de Ruffini:
1
0
2
2
-2
0
2
1
-2
1
que nos indica que:
0
4
4
0
4
0
8
8
-8
0
(
x 4 − 16 = (x − 2 ) ⋅ (x + 2 ) ⋅ x 2 + 4
-16
16
0
)
Método 2. Resolviendo como una ecuación bicuadrada:
Si hacemos el cambio típico:
x 2 = t 
2
2
 ⇒ t − 16 = 0 ⇒ t = 16 ⇒ t = ±4
4
2

x =t 
con lo que las soluciones para x son: x = 2 y x = −2 . Como deben existir cuatro
soluciones y solo obtenemos dos, deducimos que debemos añadir un polinomio de
segundo grado que obtenemos dividiendo el polinomio propuesto entre las soluciones
obtenidas, así:
x 4 − 16 = (x − 2 ) ⋅ (x + 2 ) ⋅ P(x ) ⇒ P(x ) =
x 4 − 16
x 4 − 16
= 2
(x + 2) ⋅ (x − 2) x − 4
y haciendo la división obtendremos P(x ) :
x4 +0
-x4
+0 +0 -16 x2-4
4x2
x2+4
2
4x
-16
-4x2
16
0
0
Con lo que el resultado es el mismo que el obtenido con el método 1.
Método 3. Viendo en el polinomio una diferencia de cuadrados:
( )
x 4 − 16 = x 2
2
(
)(
)
(
− 4 2 = x 2 − 4 ⋅ x 2 + 4 = (x + 2) ⋅ (x − 2) ⋅ x 2 + 4
)
Podemos observar la diferencia entre utilizar unos métodos u otros aunque, por
supuesto, obtengamos la misma solución. Por otro lado, hay ejercicios en los que
86
distintos métodos pueden ocuparnos el mismo tiempo. En este caso, la habilidad de un
alumno en un campo u otro dará la pauta a seguir. Por ejemplo, resolvamos el siguiente
ejercicio de tres maneras diferentes y analicemos cuál se adapta mejor a cada alumno.
Calcula: log 2 0,25 .
Método 1. Aplicando la definición de logaritmos:
log 2 0,25 = x ⇔ 2 x = 0,25 ⇒ 2 x =
1
1
⇒ 2 x = 2 ⇒ 2 x = 2 −2 ⇒ x = −2
4
2
Este método sería el adecuado para los alumnos que dominan las ecuaciones
exponenciales y que conocen las definiciones de las funciones.
Método 2. Aplicando fórmulas:
log 2 0,25 = log 2
1
1
= log 2 2 = log 2 2 −2 = −2 ⋅ log 2 2 = −2
4
2
CONVIENE RECORDAR...
Este método sería el acertado para los alumnos que se aprenden bien las fórmulas.
Una fórmula que permite
obtener un logaritmo en
cualquier base es:
log b
log a b =
log a
Método 3. Utilizando la calculadora:
log 2 0,25 =
log 0,25 −0,60...
=
= −2
log 2
0,30...
Este método se ajusta bien al alumnado que maneja la calculadora con habilidad,
además de conocer algunas fórmulas.
Ejercicio de revisión
Suma todos los números naturales del 1 al 100.
87
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
PROPUESTOS
Para el error 1.
Indica, en metros, cuál es el perímetro de un cuadrado de lado 90 cm.
perímetro = 4 ⋅ lado = 4 ⋅ 90 = 360cm = 3,6m
Para el error 2.
En este ejercicio debes contrastar tus apuntes con los de tu compañero y observar
posibles diferencias en cuanto a paréntesis, fórmulas, etc.
Puedes limitarte a comprobar si están todos los paréntesis que deben estar, si se cumple
siempre la jerarquía de las operaciones, etc.
Para el error 3.
Realiza la operación: 2 ⋅ 3 4−2 ÷ 6 + 4 ⋅ 3
2 ⋅ 3 4−2 ÷ 6 + 4 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 2 ÷ 6 + 12 = 2 ⋅ 9 ÷ 6 + 12 = 3 + 12 = 15
Para el error 4.
Descompón en factores primos el número 5220.
Procedemos con la mecánica tradicional:
5220
2610
1305
435
145
29
1
2
2
3
3
5
29
Por lo tanto, se tendrá: 5220 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 29 = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 29
CONVIENE RECORDAR...
Para calcular el mínimo común
múltiplo de una serie de
números, se escriben como
producto de números primos y
se toma el producto de los
factores comunes y no
comunes con el mayor
exponente.
Para el error 5.
Obtén el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 18, 60 y 1800.
En primer lugar descomponemos todos los valores en factores primos:
18
9
3
1
88
2
3
3
c
60
30
15
5
1
2
2
3
5
cc
1800
900
450
225
75
25
5
1
2
2
2
3
3
5
5
Tenemos entonces que 18 = 2 ⋅ 3 2 , 60 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 y 1800 = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 , por ello:
MCM: 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 = 1800 y MCD: 2 ⋅ 3 = 6
Para el error 6.
Realiza las siguientes operaciones:
3750 ⋅ 1000 , 3750 ÷ 1000 , 37,28 ⋅ 1000 , 37,28 ÷ 1000 .
3750 ⋅ 1000 = 3750000
37,28 ⋅ 1000 = 37280
3750 ÷ 1000 = 3,750 = 3,75
37,28 ÷ 1000 = 0,03728
Para el error 7.
CONVIENE RECORDAR...
¿Cuántos miligramos hay en 6750 microgramos?
Multiplicar una cantidad por la
unidad es dejar intacta dicha
cantidad. Así:
Como 1 mg equivale a 1000 µg, tendremos:
6750µg = 6750µg ⋅
1mg
= 6,750mg
1000µg
3 ⋅1 = 3
5
4⋅ = 4
5
ya que la fracción que multiplica a los 6750 µg equivale a la unidad.
7⋅
Para el error 8.
¿En qué posición acabó Fernando Alonso, piloto de fórmula 1, el gran premio de
Hungría en 2005?
Quedó en la posición número once, es decir, quedó el undécimo.
Para el error 9.
Escribe el número 81 en forma de potencia y en forma de producto.
En forma de potencia: 81 = 3 4
En forma de producto: 81 = 27 ⋅ 3
Para el error 10.
Realiza la raíz siguiente:
20,5209
Utilizando la mecánica habitual:
20,5209
-16
4 52
4 25
27 09
27 09
0
Con lo que:
4,53
85⋅5=425
903⋅3=2709
20,5209 = 4,53
89
10 3
=7
1000
Para el error 11.
CONVIENE RECORDAR...
Como al sumar o restar
fracciones con el mismo
denominador, basta sumar o
restar los numeradores, el
proceso inverso será similar:
para descomponer una fracción
con sumas o restas en el
numerador bastará escribir
fracciones sumadas o restadas
con el mismo denominador.
Escribe el número 50 como suma y como resta de 2 fracciones con el mismo
denominador
Como suma de 2 fracciones: 50 =
100 15 + 85 15 85
=
=
+
2
2
2
2
Como resta de 2 fracciones: 50 =
100 115 − 15 115 15
=
=
−
2
2
2
2
Para el error 12.
Realiza las operaciones siguientes:
1 1 6 + 5 11
+ =
=
5 6
30
30
1 1
1 1
1 1
+ ,
− ,
⋅
5 6
5 6
5 6
1 1 6−5 1
− =
=
5 6
30
30
y
1 1
÷
5 6
1 1
1
⋅ =
5 6 30
1 1 6
÷ =
5 6 5
Para el error 13.
Calcula el área encerrada por una circunferencia de 26 cm de diámetro.
Si el diámetro mide 26 cm, el radio será 13 cm, por tanto:
A = π ⋅ r 2 = π ⋅ 13 2 = π ⋅ 169 ≈ 530,93cm 2
Para el error 14.
Si a = 2 y b = 0 , realiza las operaciones:
a 2
= =?
b 0
a
b
y
b
a
la división por cero es una operación no definida, no puede hacerse.
La otra fracción queda así:
b 0
= =0
a 2
Para el error 15.
Dibuja un triángulo y traza una mediana y una mediatriz; indica qué condición debe
cumplir un triángulo para que estas rectas coincidan.
CONVIENE RECORDAR...
El dibujo queda de la siguiente forma:
En un triángulo equilátero, las
medianas, mediatrices y alturas
coinciden. En un triángulo
isósceles, estas tres rectas
coinciden
en
las
correspondientes
al
lado
desigual.
En un triángulo, la mediana correspondiente a un vértice coincide con la mediatriz
cuando los dos lados que inciden en dicho vértice son iguales. Esto ocurre cuando se
trata de triángulos isósceles o triángulos equiláteros.
90
Para el error 16.
Lee las siguientes expresiones: 100 ≤ 150 , 12 ≥ 12 , 2 ≠ 3 , 6 < 9 y 4 > 0 .
Estas expresiones se leen así:
100 ≤ 150 : 100 es menor o igual que 150.
12 ≥ 12 : 12 es mayor o igual que 12.
2 ≠ 3 : 2 es distinto de 3.
6 < 9 : 6 es menor que 9.
4 > 0 : 4 es mayor que 0.
Para el error 17.
Escribe en números romanos la cantidad 299.
299 = 200 + 90 + 9 = CCXCIX
Para el error 18.
Si la distancia entre dos puntos es de 26,35 cm, ¿calcula cuál es el error absoluto que
se comete si tomamos una medida de 26,38 cm?
CONVIENE RECORDAR...
Aplicando la expresión del error absoluto:
El error absoluto es siempre
una cantidad positiva.
E a = Vexacto − Vaproximado = 26,35 − 26,38 = 0,03 cm
Para el error 19.
Simplifica la expresión: −
−
− 3 x + 5(2 + 4 x ) + 1
8 − 3(2 − 3 x ) + 4 x
− 3 x + 5(2 + 4 x ) + 1
− 3 x + 10 + 20 x + 1
17 x + 11
=−
=−
8 − 3(2 − 3 x ) + 4 x
8 − 6 + 9x + 4x
13 x + 2
Para el error 20.
Realiza el cálculo:
x 7x + 1 5
+
−
2
3
4
El MCM es 12, por tanto:
x 7 x + 1 5 6 x 4 ⋅ (7 x + 1) 15 6 x + 28 x + 4 − 15 34 x − 11
+
− =
+
−
=
=
2
3
4 12
12
12
12
12
Para el error 21.
abh
bd
Simplifica la expresión:
abe + cde
cde
abh
ah
ahcd
ahc
bd
d
=
=
=
abe + cde ab + cd d (ab + cd ) ab + cd
cde
cd
91
Para el error 22.
Calcula la apotema de un hexágono regular de 10 m de lado.
La apotema será la altura en un triángulo rectángulo de hipotenusa 10 m y base 5 m.
Así:
h 2 = c12 + c 22 ⇒ 10 2 = 5 2 + c 22 ⇒ 100 = 25 + c 22
por tanto:
c 22 = 75 ⇒ c 2 = 75 ≈ 8,66m
donde, evidentemente, sólo se considera la solución positiva para la raíz cuadrada.
Para el error 23.
Indica cuál es el opuesto y el inverso del número real –3,2 y explica cuál de ellos es el
elemento simétrico.
1
= −0,3125 . Ambos son
− 3,2
elementos simétricos, el primero para la operación de sumar y el segundo para la
operación de multiplicar.
El opuesto de –3,2 es 3,2. El inverso de –3,2 es
Para el error 24.
Resuelve el sistema:
3x − y = 1 
 y comprueba el resultado.
− 2 x + 5 y = 8
Utilizando el método de reducción, se multiplica la primera ecuación por 5:
3 x − y = 1  15 x − 5 y = 5 
⇒
 ⇒ 13 x = 13 ⇒ x = 1
− 2 x + 5 y = 8 − 2 x + 5 y = 8
sustituyendo este valor en la primera ecuación:
3x − y = 1 ⇒ 3 ⋅ 1 − y = 1 ⇒ − y = 1 − 3 ⇒ y = 2
Para comprobar estas soluciones, hay que sustituir los resultados en las dos ecuaciones
y confirmar que se verifican las igualdades. En la primera igualdad:
3 x − y = 1 ⇒ 3 ⋅ 1 − 2 = 1 y en la segunda: −2 x + 5 y = 8 ⇒ −2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 = 8 .
Para el error 25.
Si medimos la longitud de un tubo, ¿es lo mismo decir que tiene 17,3 m ó que tiene
17,30 m?
92
Realmente no es lo mismo, ya que no se da la misma información, aunque,
matemáticamente se está representando la misma cantidad. Si se indica la longitud
como 17,3 m, se sabe que realmente la medida está entre 17,25 y 17,35. Si se indica la
medida como 17,30 m, se está siendo 10 veces más exacto que en el primer caso; se
está indicando que la medida está entre 17,295 y 17,305. La exactitud con la que se da
la longitud del tubo es mayor en el segundo de los casos porque está más cerca del
valor real, y esto dependerá de la precisión del aparato de medida.
Para el error 26.
Recordando que la velocidad de la luz es de aproximadamente 300000 km/s, ¿Cómo
podemos escribir este dato en notación científica?
Como 300000 = 3 ⋅ 100000 , se tendrá que:
300000km / s = 3 ⋅ 10 5 km / s
Para el error 27.
Simplifica al máximo:
(2 ⋅ 7 )4 ⋅ 5−3
112 ⋅ (7 ⋅ 5)2 ⋅ 23
(2 ⋅ 7 ) ⋅ 5
112 ⋅ (7 ⋅ 5)2 ⋅ 2 3
4
CONVIENE RECORDAR...
−3
4
=
4
2 ⋅7 ⋅5
2
2
−3
2
11 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 2
3
=
2⋅7
Cuando se pide simplificar
fracciones, es conveniente
descomponer los números en
factores primos.
2
112 ⋅ 5 5
Para el error 28.
Simplifica el cociente siguiente haciendo que desaparezca la fracción:
32 ⋅ 5 −4 ⋅ 2 −5 ⋅ 7 3
35 ⋅ 5 − 6 ⋅ 2 − 2 ⋅ 7 2
32 ⋅ 5−4 ⋅ 2−5 ⋅ 73
35 ⋅ 5− 6 ⋅ 2− 2 ⋅ 7 2
=
52 ⋅ 7
33 ⋅ 23
= 2−3 ⋅ 3−3 ⋅ 52 ⋅ 7
Para el error 29.
Calcula: 0,8 4
Utilizando la tecla xy de la calculadora se tiene que: 0,8 4 = 0,4096
Para el error 30.
Calcula: 2 3 + 2 −3
2 3 + 2 −3 = 2 3 +
1
2
3
=8+
1 65
=
8 8
CONVIENE RECORDAR...
Para el error 31.
De las siguientes expresiones, copia en tu cuaderno aquellas que consideres correctas:
a n ⋅ b m = ab mn
,
n
n
n
( a + b) = a + b
a n ⋅ b m = ab m + n
,
a n + a m = a n+ m
,
(a ⋅ b )2
= a2 + b2
,
Son todas incorrectas.
93
Existen fórmulas para el
producto de potencias que
tienen las bases iguales o los
exponentes iguales, pero no
ambas cosas distintas. En este
último caso, puede probarse a
descomponer la base en
factores o bien operar las
potencias por separado.
Para el error 32.
2
Calcula: 3 ⋅  
9
2
2
22
4 12
4
2
=
=
3⋅  = 3⋅ 2 = 3⋅
81 81 27
9
9
Para el error 33.
Factoriza la expresión: 2ac − 8ad + 6bc − 24bd
CONVIENE RECORDAR...
Operar con letras puede ser
más fácil que operar con
números, ya que en este caso
no hay que descomponer en
factores primos, ni calcular el
MCM para sumar o restar
fracciones.
En todos los coeficientes está presente el factor 2, por tanto:
2ac − 8ad + 6bc − 24bd = 2(ac − 4ad + 3bc − 12bd )
seguidamente, sacamos factor común en los dos primeros términos por un lado y en los
dos últimos términos por otro:
2(ac − 4ad + 3bc − 12bd ) = 2[a(c − 4d ) + 3b(c − 4d )]
por último, sacamos factor común al término (c − 4d ) :
2[a (c − 4d ) + 3b(c − 4d )] = 2(c − 4d )(a + 3b )
Para el error 34.
Realiza el cálculo: − [5(3 − x ) − 8(− 2 + x )]
En primer lugar, se eliminan los paréntesis internos, seguidamente se operan los
términos semejantes y por último se quitará el corchete:
− [5(3 − x ) − 8(− 2 + x )] = −[15 − 5 x + 16 − 8 x ] = −[31 − 13x ] = 13 x − 31
Para el error 35.
Resuelve la ecuación:
5(x + 2 ) − 5 x − 10 6 x 5
=
−
4
3 7
5(x + 2 ) − 5 x − 10 6 x 5
5 x + 10 − 5 x − 10 42 x − 15
=
− ⇒
=
⇒
4
3 7
4
21
15
5
42 x − 15
⇒0=
⇒ 0 = 42 x − 15 ⇒ 15 = 42 x ⇒ x =
=
42 14
21
Para el error 36.
Realiza los siguientes apartados:
1. Calcula y comprueba el valor de x en las siguientes expresiones:
5 x = 10 ; −4 x = −12 ; 3 x = −18 ; −7 x = 21
(
)
2. Resuelve la ecuación: 3 x 3 + x + 2 = 3 x + 83
3. Escribe una ecuación en la que no pueda despejarse la incógnita con el
procedimiento habitual.
94
Para el apartado 1:
10
=2
5
−18
3 x = −18 ⇒ x =
= −6
3
−12
=3
−4
21
− 7 x = 21 ⇒ x =
= −3
−7
5 x = 10 ⇒ x =
− 4 x = −12 ⇒ x =
Para comprobar las soluciones, basta multiplicar el resultado por el coeficiente de la x y
ver si obtenemos el número del miembro derecho.
Para el segundo apartado:
(
)
3 x 3 + x + 2 = 3 x + 83 ⇒ 3 x 3 + 3 x = 3 x + 83 − 2 ⇒
81
⇒ 3 x 3 = 81 ⇒ x 3 =
⇒ x 3 = 27 ⇒ x = 3 27 = 3
3
Para el último apartado:
Como la forma de despejar la incógnita es dividiendo toda la ecuación por el
coeficiente de la misma, cuando este sea cero, no podrá realizarse esta operación y no
podremos despejarla. Así, un ejemplo es la ecuación:
0 ⋅ x = 20
CONVIENE RECORDAR...
Las ecuaciones sin solución se
llaman incompatibles. Las que
tienen infinitas soluciones se
llaman indeterminadas.
que es una ecuación “especial” que no tiene solución, pues no existe valor alguno que
multiplicado por cero nos de veinte.
Otro interesante caso es el que sigue:
0⋅ x = 0
que tiene infinitas soluciones, pues cualquier número la verifica.
Para el error 37.
Resuelve las ecuaciones:
2 x 1 1 + 5x
2(4 x − 3)
3x 1


+ −
2  x − (5 x + 2) +
− (5 x − 2) = 2 − 3 x +
; 5x − 4 = 8 −
3 5
4
4
2
3


En primer lugar se eliminan los paréntesis y seguidamente el corchete:
CONVIENE RECORDAR...
8x − 6
3x 5 x 2 

−
+  = 2 − 3x +
2 x − 5x − 2 +
4
2
3
3


8x − 6
10 x 4
2 x − 10 x − 4 + 3 x −
+ = 2 − 3x +
4
3
3
Realmente, si se realizan las
operaciones de forma correcta,
puede empezarse un ejercicio
quitando en primer lugar el
corchete y seguidamente el
paréntesis. Incluso podría
comenzarse eliminando en
primer
lugar
los
denominadores.
A continuación, se quitan los denominadores teniendo en cuenta que el MCM. es 12:
24 x − 120 x − 48 + 36 x − 40 x + 16 = 24 − 36 x + 24 x − 18
−100 x − 32 = 6 − 12 x
−19
38
− 88 x = 38 ⇒ x =
=
− 88
44
Para la segunda ecuación puede procederse así:
Sabiendo que el MCM es 60, se tiene:
300 x − 240 = 480 − 40 x + 12 − 15 − 75 x → 300 x − 240 = 477 − 115 x
717
415 x = 717 ⇒ x =
415
95
Para el error 38.
Resuelve la ecuación: 6 = −2 x + 5 x 2
Primero se escribe la ecuación en la forma usual:
− 5x 2 + 2 x + 6 = 0
y se aplica la fórmula que resuelve la ecuación de segundo grado:
x=
− 2 ± 22 − 4(− 5)(6 ) − 2 ± 4 + 120 − 2 ± 11,14
 x ≈ −0,91
=
≈
⇒
2(− 5)
− 10
− 10
 x ≈ 1,31
Para el error 39.
Resuelve por el método de reducción:
6x + 7 y = 8 

− 4 x + 6 y = −1
Se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, quedando el sistema de la
siguiente manera:
12 x + 14 y = 16 
13
 ⇒ 32 y = 13 ⇒ y =
− 12 x + 18 y = −3
32
y sustituyendo este valor en la primera ecuación del sistema original:
6x + 7 y = 8 ⇒ 6x + 7 ⋅
13
91
165
165 165 55
= 8 ⇒ 6x = 8 −
⇒ 6x =
⇒x=
=
=
32
32
32
32 ⋅ 6 192 64
Para el error 40.
Realiza la representación gráfica de una función con tres puntos de discontinuidad que
sea siempre creciente en su dominio de definición.
La función pedida puede ser la siguiente, donde se observan tres puntos de
discontinuidad por no estar definida en ellos la función:
Para el error 41.
Calcula los cuartiles para la distribución siguiente:
Valor de la variable
Frecuencia absoluta
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
2 4 8 15 16 15 13 7 4 3
Para el cálculo de los cuartiles es bueno tener las frecuencias acumuladas de cada
variable, en este caso, dichas frecuencias son:
96
valor de la variable
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50
frecuencia acumulada
2
6
14 29 45 60 73 80 84 87
Puede observarse que hay 87 valores para la variable. Así, el primer cuartil es el dato
número 22, que se corresponde con el valor de la variable 20. El segundo cuartil o
mediana, es el dato 44, que se corresponde con el valor de la variable 25. Por último, el
tercer cuartil es el dato número 66, que se corresponde con el valor 35.
CONVIENE RECORDAR...
Cuando los datos no vienen
agrupados, la determinación de
los cuartiles se realiza sobre la
columna que contiene los
valores de la variable.
Para el error 42.
Calcula la desviación típica y la varianza de cierta variable x para la que hemos
obtenido los valores 1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 11, 13 y 14.
La media aritmética será:
x=
1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 10 + 11 + 11 + 13 + 14
≈ 7,636
11
y la suma de los cuadrados de los valores de la variable será:
∑x
2
i
CONVIENE RECORDAR...
= 1 + 4 + 9 + 25 + 36 + 64 + 100 + 121 + 121 + 169 + 196 = 846
Para calcular la desviación
típica, hay que calcular en
primer lugar la varianza y en
último lugar aplicar la raíz
cuadrada.
Con lo que aplicando la fórmula para la desviación típica se tendrá:
Desviación típica: s =
∑x
N
2
i
− x2 ≈
846
− 7,636 2 ≈ 18,6 ≈ 4,313
11
La varianza es el cuadrado de la desviación típica, por lo tanto, coincide con el
radicando de la desviación típica. Por ello:
Varianza: s 2 ≈ 18,6
Para el error 43.
Representa el conjunto de los números enteros menores que 5.
Enteros menores que 5: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}
Para el error 44.
Considerando los conjuntos A = {12,14,16,18,20} y B = {4,8,12,16,20,24} , escribe los
conjuntos unión e intersección.
Los conjuntos pedidos son: A ∪ B = {4,8,12,14,16,18,20,24} y
A ∩ B = {12,16,20}
Para el error 45.
Simplifica:
3
4
3
2
3
4
3
2
=3
4 3
= 2 ≈ 1,26
2
97
Para el error 46.
De las siguientes expresiones, copia en tu cuaderno aquellas que sean correctas:
n
a + m b = n+ m a + b
n
a ⋅n b = n a +b
Las dos son incorrectas.
CONVIENE RECORDAR...
Para el error 47.
No se obtienen los mismos
resultados al calcular el
logaritmo de un número y
elevar a dos el resultado, que al
elevar a dos dicho número y
seguidamente
hacer
el
logaritmo.
Calcula: log 20 2 + log 2 20 + (log 20)2
log 20 2 + log 2 20 + (log 20 )2 ≈ 2 ⋅ log 20 + 1,3 2 + (1,3)2 ≈ 2,6 + 1,69 + 1,69 ≈ 5,98
Para el error 48.
Escribe la expresión siguiente como potencia:
3
3
5 + x2
(
5 + x2 = 5 + x2
1
3
)
Para el error 49.
CONVIENE RECORDAR...
Es muy ventajoso darse cuenta
rápidamente de la existencia
del cuadrado de una diferencia
o de una suma en un
polinomio.
x3 − 4x 2 + 4x
Factoriza y extrae de la raíz lo que se pueda:
(
)
x 3 − 4 x 2 + 4 x = x x 2 − 4 x + 4 = x(x − 2 )2 = (x − 2 ) x
Para el error 50.
Reduce a índice común los radicales siguientes:
3
7a ,
4
4b 2 y
b 2c
El MCM de los índices es 12, así:
3
7 a = 12 7 4 a 4 = 12 2401a 4
4
4b 2 = 12 4 3 b 2⋅3 = 12 64b 6
b 2 c = 12 b 2⋅6 c 6 = 12 b12 c 6
CONVIENE RECORDAR...
Cuando no se da la base de un
logaritmo, se entiende que
dicha base es diez. Así:
log a = log10 a
A estos logaritmos se les llama
logaritmos decimales y existe
una tecla en las calculadoras
científicas para realizarlos.
y ya tienen todas las raíces el mismo índice.
Para el error 51.
Indica con una frase las propiedades siguientes:
log a − log b = log
a
b
y log n a =
log a
n
La primera puede citarse así: la diferencia de logaritmos es el logaritmo del cociente.
Para la segunda: el logaritmo de una raíz enésima es un enésimo del logaritmo del
radicando.
98
Para el error 52.
Comprueba que la siguiente expresión es incorrecta: log a + log b = log a ⋅ log b
Puede realizarse una comprobación rápida y sin necesidad de calculadora utilizando
valores “estratégicos”. Así, si a = 1 y b = 10 tendremos que log a = log 1 = 0 y
log b = log 10 = 1 , por tanto, el miembro de la izquierda queda así:
CONVIENE RECORDAR...
Es muy conveniente tener bien
memorizadas frases como “el
logaritmo de uno es siempre
cero” o “el logaritmo decimal
de diez es uno”.
log a + log b = 0 + 1 = 1
y el de la derecha:
log a ⋅ log b = 0 ⋅ 1 = 0
con lo que, al obtener soluciones diferentes, no podemos igualar las dos expresiones.
También puede utilizarse la calculadora dando otros valores para a y b.
Para el error 53.

B2
Sabiendo que: log A = 2 , log B = 3 y log C = 4 , calcula log A ⋅
3
C





Aquí deben aplicarse las conocidas fórmulas de logaritmos para llegar a una expresión
en la que se puedan sustituir los datos dados:

B2
log A ⋅
3
C

2

 = log A + log B = log A + log B 2 − log 3 C = log A + 2 log B − 1 log C =

3
3
C

y en esta expresión ya se pueden asignar los valores dados en el enunciado con lo que
se obtiene:
1
4 20
= 2 + 2⋅3− ⋅4 = 2 + 6 − =
3
3
3
En este ejercicio es importante darse cuenta de que no es lo mismo A que log A.
Para el error 54.
Factoriza el polinomio:
x2
+ 10 x − 6
2
CONVIENE RECORDAR...
Para aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado, sacamos el factor común 1/2:
x2
1
+ 10 x − 6 = x 2 + 20 x − 12
2
2
(
)
Todos los números pares tienen
en común el factor dos, así:
8 = 4⋅2
6 = 3⋅ 2
y así:
24 = 12 ⋅ 2
− 20 ± 400 − 4 ⋅ (− 12 )
=
2
 x ≈ 0,585
− 20 ± 400 + 48 − 20 ± 21,17
=
≈
⇒
2
2
 x ≈ −20,585
x 2 + 20 x − 12 = 0 ⇒ x =
con lo que finalmente, el polinomio factorizado queda:
x2
1
+ 10 x − 6 ≈ (x − 0,585)(x + 20,585)
2
2
99
Para el error 55.
Factoriza los tres polinomios siguientes y obtén las raíces del último de ellos:
x 5 − 2 x 3 + x 2 ; 2 x 4 − 6 x 3 − 22 x 2 + 6 x + 20 ; − 5 x 4 − 40 x 3 − 45 x 2 + 90 x
Para el primer polinomio:
(
)
En primer lugar hay que sacar factor común: x 5 − 2 x 3 + x 2 = x 2 x 3 − 2 x + 1
y ahora se aplica la técnica de Ruffini al polinomio que hay entre paréntesis quedando:
1
0
1
1
1
1
-2
1
-1
1
-1
0
El polinomio que queda en el último paso es x 2 + x − 1 , que al no tener raíces enteras,
se resuelve con la fórmula de la ecuación de segundo grado:
x=
 x ≈ 0,62
− 1 ± 1 + 4 − 1 ± 2,24
⇒
≈
2
2
 x ≈ −1,62
Con lo que el polinomio factorizado queda:
x 5 − 2 x 3 + x 2 = x 2 (x − 1)(x − 0,62 )(x + 1,62 )
Para el segundo caso:
Al tratarse de un polinomio de grado 4, se aplica la regla de Ruffini:
2
-6
2
-4
-4
-8
10
2
-2
0
1
2
CONVIENE RECORDAR...
-2
2
Al aplicar la técnica de Ruffini,
el orden en el que se prueban
los números para obtener los
restos nulos no afecta al
resultado final.
5
2
-1
2
-22
-4
-26
16
-10
10
0
6
-26
-20
20
0
20
-20
0
Con lo que, teniendo en cuenta el 2 obtenido al final del proceso, nos queda:
2 x 4 − 6 x 3 − 22 x 2 + 6 x + 20 = 2(x − 1)(x + 2 )(x − 5)(x + 1)
CONVIENE RECORDAR...
Siempre que en un polinomio
se pueda sacar factor común a
x, una de sus raíces será cero,
ya que al sustituir la x por cero
el polinomio se anulará.
Para el último polinomio:
En primer lugar, se saca factor común, quedando:
(
− 5 x 4 − 40 x 3 − 45 x 2 + 90 x = −5 x x 3 + 8 x 2 + 9 x − 18
)
y se aplica el método de Ruffini para obtener las raíces:
1
-6
1
1
1
-3
1
100
8
-6
2
1
3
-3
0
9
-12
-3
3
0
-18
18
0
Con lo que las raíces que buscamos son: -6, 1, -3 y 0. Este 0 es debido a la x que ha
salido como factor común al principio del proceso.
La factorización queda como sigue: − 5 x(x + 6 )(x − 1)(x + 3)
Para el error 56.
(
)
Calcula el resto de la división − x 4 + 3 x 3 − x 2 − x + 1 ÷ (x + 2 )
Según el teorema del resto, cambiamos la x por el -2 y operamos:
− (− 2 )4 + 3 ⋅ (− 2 )3 − (− 2 )2 − (− 2 ) + 1 = −16 + 3 ⋅ (− 8) − 4 + 2 + 1 = −41
Para el error 57.
Comprueba que el siguiente sistema tiene infinitas soluciones y determina 3 pares de
números que no sean solución:
x + 2y = 0 

− 2 x − 4 y = 0
Puede observarse que todos los términos de la segunda ecuación pueden dividirse por
−2 quedando una ecuación igual a la primera. Por ello, el sistema es equivalente a la
ecuación x + 2 y = 0 , ya que la segunda ecuación sobra.
Esta ecuación posee infinitas soluciones, ya que si suponemos un valor cualquiera para
la incógnita y, como por ejemplo el valor a, la x será:
x + 2a = 0 ⇒ x = −2a
Por ello, la letra x valdrá el opuesto del doble del valor dado a la letra y. Una solución
al sistema será y = 7 y x = −14 , pero valores que no son solución pueden ser:
 x = 12

y = 6
 x = −5

y = 0
 x = 20

 y = 20
Para el error 58.
3(2 x + 6 ) − 6(x + 3)
Calcula: −
5(4 x − 3)
−
y
ab d
+
bc c
a+d
3(2 x + 6 ) − 6(x + 3)
6 x + 18 − 6 x − 18
0
=−
=−
=0
5(4 x − 3)
20 x − 15
20 x − 15
ab d
a d
a+d
+
+
bc c = c c = c = a + d = 1
a+d
a+d
a + d c(a + d ) c
Para el error 59.
Resuelve la ecuación: − 16 x + 1 = 4 x−1
( )
− 42
x
+1 =
( )
4x
⇒ − 4x
4
2
+1 =
4x
4
101
haciendo el cambio de variable 4 x = t ,
CONVIENE RECORDAR...
En las ecuaciones de tipo
exponencial
se
realizan
cambios en las expresiones con
el fin de llegar a tener la
incógnita en el exponente de
una potencia con la misma base
y así poder hacer un cambio de
variable que lleve a la solución.
− t 2 +1 =
t
⇒ −4t 2 + 4 = t ⇒ −4t 2 − t + 4 = 0
4
y aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado:
t=
t ≈ −1,13
1 ± 1 + 64 1 ± 8,06
⇒
≈
−8
−8
t ≈ 0,88
Estas son las soluciones para t, como la incógnita inicial es la x, hay que recurrir a la
expresión del cambio de variable que se ha utilizado con las dos soluciones para t:
Para la primera solución obtenida en t:
t = −1,13 ⇒ 4 x = −1,13
con lo que se ve que en este caso no hay solución para x.
Para la segunda solución obtenida:
t = 0,88 ⇒ 4 x = 0,88 ⇒ x = log 4 0,88 ⇒ x =
log 0,88 −0,056
≈ −0,093
≈
log 4
0,6
Para el error 60.
Resuelve la ecuación: x 4 − 20 x 2 + 64 = 0
Haciendo el cambio de variable x 2 = t se tiene:
t 2 − 20t + 64 = 0 ⇒ t =
CONVIENE RECORDAR...
En la técnica del cambio de
variable es importante no
olvidar deshacer el cambio
antes de dar por finalizado el
ejercicio.
20 ± 400 − 256 20 ± 144 20 ± 12 t = 16
=
=
=
2
2
2
t = 4
Y deshaciendo el cambio para estas dos soluciones:
t = 16 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = 16 ⇒ x = ±4
t = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = 4 ⇒ x = ±2
Con lo que se obtienen las cuatro soluciones de la ecuación.
Para el error 61.
Resuelve la inecuación: 5 x − 3(2 x + 1) < 2(x − 1) + 7
En primer lugar, se eliminan los paréntesis para después operar y despejar:
5 x − 6 x − 3 < 2 x − 2 + 7 → 5 x − 6 x − 2 x < −2 + 7 + 3 → −3 x < 8 ⇒ x >
Para el error 62.
Resuelve el sistema de inecuaciones siguiente:
2x − 3 < 5 − 4x 

− x + 1 < 8 x + 6
En primer lugar, se opera para simplificar las ecuaciones:
102
8
8
=−
−3
3
8 4

x< =

2 x + 4 x < 5 + 3 6 x < 8 
6 3
⇒

⇒
− x − 8 x < 6 − 1 − 9 x < 5
5
5
=− 
x>
−9
9 
CONVIENE RECORDAR...
En un sistema de inecuaciones
con una incógnita, la solución
viene dada con intervalos.
y por tanto:
x<
4
3
y x>−
5
 5 4
⇒ x ∈− , 
9
 9 3
Para el error 63.
Resuelve el triángulo rectángulo que tiene por catetos 10 y 14 unidades de longitud.
A partir de los catetos obtenemos la hipotenusa:
h 2 = c12 + c 22 ⇒ h 2 = 10 2 + 14 2 ⇒ h 2 = 100 + 196
así, la hipotenusa será:
h 2 = 296 ⇒ h = 296 ≈ 17,2 unidades de longitud
El ángulo adyacente al lado que mide 10 unidades será:
cos α =
CONVIENE RECORDAR...
Cuando queremos averiguar el
ángulo que se corresponde con
un coseno, existen infinitas
posibilidades
que
se
corresponden con dicha razón.
En un triángulo rectángulo, el
ángulo adecuado es el menor
de todas las soluciones.
10
⇒ cos α ≈ 0,58 ⇒ α ≈ 54,46º
17,2
y de la misma manera, el ángulo adyacente al lado que mide 14 unidades:
cos β =
14
⇒ cos β ≈ 0,81 ⇒ β ≈ 35,54º
17,2
Para el error 64.
Realiza el cálculo: tg 45 ⋅ 5 − cos(2 ⋅ 25) + 7 ⋅ sen 20 ⋅ 4
Hacemos unos cambios en el orden de los factores y operamos:
5 ⋅ tg 45 − cos 50 + 28 ⋅ sen 20 ≈ 5 − 0,64 + 9,58 ≈ 13,94
Para el error 65.
Conociendo que el seno de un ángulo del tercer cuadrante es –0,3, calcula el coseno
del mismo ángulo. Comprueba el resultado con la calculadora.
CONVIENE RECORDAR...
Cuando no se nos indica el
cuadrante al que pertenece un
ángulo,
existen
dos
posibilidades para la solución
de la tangente conocido el seno
o el coseno.
Con el teorema fundamental de la trigonometría se obtiene el dato pedido:
sen 2α + cos 2 α = 1 ⇒ (− 0,3)2 + cos 2 α = 1 ⇒ 0,09 + cos 2 α = 1
de donde resulta:
cos 2 α = 1 − 0,09 = 0,91 ⇒ cos α = 0,91
como el ángulo pertenece al tercer cuadrante, el coseno será negativo, con lo que
cos α ≈ −0,95 .
Para comprobar el resultado, es suficiente calcular el ángulo correspondiente al dato
que nos dan: α ≈ 197,5º y ver que su coseno es el que se ha obtenido.
103
Para el error 66.
Conociendo que el coseno de un ángulo vale –0,2, calcula el valor de la tangente de
dicho ángulo.
Aplicando el teorema fundamental de la trigonometría:
sen 2α + cos 2 α = 1 → sen 2α + (− 0,2 )2 = 1 → sen 2α + 0,04 = 1 → sen 2α = 0,96 ⇒
⇒ senα = 0,96 ≈ ±0,98
y ya puede calcularse el valor de la tangente: tgα ≈
±0,98
≈ ±4,9
− 0,2
Para el error 67.
CONVIENE RECORDAR...
En el producto por un escalar,
se realiza el producto de un
vector por un escalar para
obtener un vector. En el
producto escalar de vectores se
multiplican dos de ellos para
obtener un escalar, pero en el
producto vectorial el resultado
es un vector. En el producto
mixto, se multiplican tres
vectores para obtener un
escalar.
r
r
r r
Siendo a = (1,−20 ) y b = (− 5,3) , obtén: a ⋅ b .
Hacemos uso de una de las expresiones para obtener el producto escalar:
r r
a ⋅ b = (1,−20) ⋅ (− 5,3) = 1 ⋅ (− 5) + (− 20) ⋅ 3 = −5 − 60 = −65
Para el error 68.
r
r
Si n=5, a = (2,0 ) y b = (− 1,5) , realiza las operaciones siguientes:
r
a) Producto del escalar n con a .
r r
b) Producto escalar de a y b .
r
a) n ⋅ a = 5 ⋅ (2,0 ) = (10,0 )
r r
b) a ⋅ b = (2,0 ) ⋅ (− 1,5) = −2 + 0 = −2
Para el error 69.
CONVIENE RECORDAR...
Recta:
Indica tres diferencias entre rectas, semirrectas y segmentos.
Una recta puede definirse dando una ecuación de primer grado con dos incógnitas; las
semirrectas y los segmentos se definen con inecuaciones.
Semirrecta:
Para dar una recta o un segmento, bastan dos puntos; para dar una semirrecta debe
darse una recta, un punto y otro dato que indique cual de las dos semirrectas, de la recta
dada, consideramos.
Segmento:
Una recta no tiene ni principio ni fin; una semirrecta tiene principio y un segmento
tiene principio y fin.
Para el error 70.
 x = 2 + 3t
y escríbela en forma continua
Indica en qué forma está dada la recta: 
 y = −5 − 4t
indicando, sin hacer operaciones, un punto por donde pasa.
104
Está dada en forma paramétrica. Para escribirla en forma continua, basta con despejar
la t en las dos ecuaciones e igualar los resultados:
x = 2 + 3t ⇒ t =
x−2
3
y
y = −5 − 4t ⇒ t =
CONVIENE RECORDAR...
y+5
−4
Expresada una recta en
cualquier forma, es inmediato
mentalmente indicar un punto
de dicha recta.
por tanto:
x−2 y+5
=
3
−4
A la vista de los numeradores, un punto contenido en esta recta es (2,-5).
Para el error 71.
Obtén el dominio de definición de la función: f ( x) = x 2 − 4
El dominio de esta función es el conjunto de valores de x que hacen que el radicando no
sea un número negativo, ya que en este caso, la raíz no podría realizarse. Así, la
condición que deben cumplir los valores que pertenecen al dominio es:
x 2 − 4 ≥ 0 ⇒ x 2 ≥ 4 ⇒ x ≤ −2 o x ≥ 2 .
Por lo tanto, el dominio es:
(− ∞,−2] ∪ [2,+∞ )
CONVIENE RECORDAR...
Para el error 72.
Calcula el dominio de definición de la función siguiente:
(x + 1)(x − 2)
f (x ) =
x(x + 3)(x − 5)
A la vista queda que el dominio es todo el conjunto de los números reales excepto el 0,
-3 y 5, que son los números que anulan el denominador, haciendo imposible la división.
Las raíces de una función o de
un polinomio son los valores
que debe tomar la incógnita
para que se obtenga cero. Por
ello, encontrar las raíces
equivale a resolver la ecuación
que resulta de igualar la
función o el polinomio a cero.
La solución puede expresarse así:
CONVIENE RECORDAR...
D = R − {− 3,0,5}
Una fracción no puede
calcularse
cuando
el
denominador es 0. Cuando el
numerador es 0 y el
denominador es distinto de 0, sí
que puede calcularse y nos da
el 0.
Para el error 73.
Encuentra los intervalos en donde la función f ( x) = x 4 − 20 x 2 + 64 es negativa.
En primer lugar, se buscan las raíces de esta función, para ello resolvemos la ecuación:
 x 2 = t 
2
x 4 − 20 x 2 + 64 = 0 ⇒ 
 ⇒ t − 20t + 64 = 0 ⇒
4
2
 x = t 
⇒t =
20 ± 400 − 256 20 ± 12 t = 16
=
=
2
2
t = 4
y por tanto, las 4 raíces son:
t = 16 ⇒ x = ±4
t = 4 ⇒ x = ±2
Esto cuatro valores los marcamos sobre la recta real. Y así, los intervalos dentro de los
cuales el signo de la función es siempre el mismo son: (-∞,-4), (-4,-2), (-2,2), (2,4),
105
(4,+∞). Dando valores arbitrarios dentro de estos intervalos, se comprueba que los
intervalos donde esta función es negativa son: (-4,-2) y (2,4).
Para el error 74.
Calcula las coordenadas de los vértices de las parábolas dadas por las funciones:
f (x ) = x 2 + 5 y f (x ) = −2 x 2 + 32 x + 1
Para la primera función:
Vx = −
CONVIENE RECORDAR...
Existe una expresión que
permite calcular la coordenada
y del vértice de una parábola
sin necesidad de conocer la
coordenada x:
Vy =
b
0
=−
= 0 ⇒ V y = f (0 ) = 5 ⇒ V = (0,5)
2a
2 ⋅1
Para la segunda función:
Vx = −
− ∆ 4ac − b 2
=
4a
4a
b
32
=−
= 8 ⇒ V y = f (8) = 129 ⇒ V = (8,129 )
2a
2 ⋅ (− 2 )
Para el error 75.
Calcula qué probabilidad existe de acertar la matrícula del coche de un amigo si
tenemos tres oportunidades. Se supone que en las matrículas se imprime un número de
cuatro cifras seguido de tres letras. En el sistema actual de matriculación se utilizan
veinte letras. Un ejemplo de matrícula puede ser: 0489RJM.
El número de matrículas posibles es el siguiente:
m = 10 4 ⋅ 20 3 = 80000000
La probabilidad de acertar la matrícula en 3 oportunidades será la suma de la
probabilidad de acertarla a la primera o a la segunda o a la tercera.
La probabilidad de acertar a la primera es, según la regla de Laplace, el único caso
favorable entre todos los posibles:
P1 =
1
80000000
Si no acertamos a la primera es porque hemos fallado, por tanto, la probabilidad de
acertar a la segunda será el producto de la probabilidad de no acertar a la primera con la
probabilidad de acertar a la segunda:
P2 =
CONVIENE RECORDAR...
Es muy importante saber
cuando los cocientes que
determinan las probabilidades
deben sumarse o multiplicarse.
En el ejercicio 75 se observa
que para calcular P3 se
multiplican las fracciones, pero
para obtener P se suman.
80000000 − 1
1
1
=
⋅
80000000 80000000 − 1 80000000
Por último, la probabilidad de acertar a la tercera será el producto de la probabilidad de
no acertar a la primera con la probabilidad de no acertar a la segunda y con la
probabilidad de acertar a la tercera:
P3 =
80000000 − 1 80000000 − 2
1
1
⋅
=
⋅
80000000 80000000 − 1 80000000 − 2 80000000
Así, la probabilidad pedida es la suma de todos estos casos:
P = P1 + P2 + P3 =
3
= 3,75 ⋅ 10 −8 = 0,0000000375
80000000
Con lo que se ve que la probabilidad de acertar es muy pequeña, aunque se tengan tres
oportunidades.
106
Para el error 76.
Racionaliza:
−3 6
5 +7 8
−3 6
5 +7 8
=
=
−3 6 ⋅
( 5 +7
( 5 − 7 8 ) = − 3 30 + 21 48 =
5 − 49 ⋅ 8
8 )( 5 − 7 8 )
− 3 30 + 21 48
=
− 387
30 − 7 48
129
Para el error 77.
Localiza los puntos singulares de la función: f ( x) = x 4 − 20 x 2 + 64
Los puntos singulares pueden obtenerse igualando la primera deriva a cero:
f ' ( x) = 4 x 3 − 40 x ⇒ 4 x 3 − 40 x = 0
Y se obtienen las soluciones:
 x = 0
4 x 3 − 40 x = 0 ⇒ 4 x x 2 − 10 = 0 ⇒ 
 x = ± 10
(
)
Por ello, los puntos singulares se encuentran localizados en esos tres valores de x.
Para el error 78.
CONVIENE RECORDAR...
Calcula la función inversa de f (x ) = e x y el valor de dicha función inversa en x = 2 .
Calcula igualmente el valor inverso de dicha función en x = 2 .
es decir, si f (x ) y f −1 (x ) son
inversas, se tendrá que:
La función inversa o recíproca de f (x ) = e x es f −1 (x ) = ln x .
Por tanto:
f −1 (2 ) = ln 2 ≈ 0,69
(
1
e
2
≈
1
2,718 2
)
f f −1 ( x ) = x .
En este caso, el exponente –1
no tiene el significado que
tiene en el contexto de
potencias. Para no confundir
ambas cosas se suele utilizar el
concepto de función recíproca
en lugar de función inversa.
Y por último:
f (2 ) = e 2 ⇒
Una función es la inversa de
otra cuando la composición de
ambas es la función identidad;
≈ 0,135
Así, f (x ) = e x es la recíproca
de g (x ) = ln x .
Para el error 79.
Calcula el siguiente límite:
lím  x − 2 x 2 − x 

x → +∞
Inicialmente se trata de la indeterminación ∞-∞, con lo que multiplicando y dividiendo
por la misma expresión pero con el signo central cambiado tenemos:
 x − 2 x 2 − x  x + 2 x 2 − x 






2


lím  x − 2 x − x  = lím
x → +∞
2
 x →+∞
x + 2x − x
y aplicando en el numerador la fórmula de suma por diferencia nos queda:
107
lím
x →+∞
(
x 2 − 2x 2 − x
)
x + 2x 2 − x
con lo que operamos hasta la solución final aplicando los conceptos básicos de límites.
lím
x → +∞
x 2 − 2x 2 + x
x + 2x 2 − x
= lím
x →+∞
− x2
x+x 2
= −∞
Para el error 80.
3x 

Calcula los límites: a) lím 1 − 2

x→−∞
x −4
−4 x
 x +1
b) lím 

x →+∞ x 
5x2
Estos límites son del tipo 1∞ , por lo tanto pueden resolverse con la definición del
número e.
En el límite del primer apartado aparece un 1 seguido del signo menos. Como el límite
es cuando x tiende a menos infinito, aplicamos una de las definiciones del número e en
donde la x tiende a menos infinito, y en este caso no hace falta sumar y restar uno:
3x 

lím 1 − 2

x →−∞
x −4
−4 x




1


= lím 1 − 2
x →−∞
x −4 


3x 

−
x2 −4 3 x
⋅
⋅4 x
3 x x2 −4
=e
12 x 2
lím
x → −∞ x 2 − 4
= e12
En el segundo límite, tampoco es necesario sumar y restar 1 ya que la fracción se puede
descomponer fácilmente para que aparezca dicho 1:
 x +1
lím 

x → +∞ x 
5x2
 1
= lím 1 + 
x →+∞
x
5 x2
 1
= lím 1 + 
x → +∞
x
x⋅5 x
= lím e 5 x = +∞
x →+∞
CONVIENE RECORDAR...
Muchos profesores quieren
comprobar si sus alumnos
conocen la diferencia entre
derivar una función constante y
una función que no lo es. Una
constante es un número real
que puede venir dado de
muchas formas: 1, 2º, sin 90º.
Una función no constante debe
tener presente la x.
Para el error 81.
Calcula la derivada de la función: f (x ) = cos x ⋅ tg 2
Este ejercicio no se resuelve aplicando la fórmula del producto de dos funciones
(aunque podría hacerse así), ya que tg 2 es realmente una constante (equivale al
número 0,034...) ; por ello, el ejercicio se resuelve sencillamente así:
f ' (x ) = −senx ⋅ tg 2
Sería similar a derivar f (x ) = 7 cos x , que daría f ' (x ) = −7senx .
CONVIENE RECORDAR...
En las derivadas, al aplicar la
fórmula del producto o del
cociente, se obtienen productos
de polinomios que deben ir
entre paréntesis.
Para el error 82.
Obtén la derivada de la función f (x ) =
(
cos 5 x 2 − x
x +1
)
Se aplica la derivada del cociente, teniendo en cuenta que el numerador se deriva con la
regla de la cadena:
108
f ' (x ) =
(
)
(
)
− sen 5 x 2 − x ⋅ (10 x − 1) ⋅ (x + 1) − cos 5 x 2 − x ⋅ 1
(x + 1)
2
=−
(10 x
2
) (
)
(
+ 9 x − 1 ⋅ sen 5 x 2 − x + cos 5 x 2 − x
(x + 1)2
=
)
CONVIENE RECORDAR...
Para el error 83.
Calcula las dimensiones que debe tener una cisterna cilíndrica de 50 m3 de capacidad
para fabricarla con la menor cantidad posible de material.
De la lectura del enunciado, se deduce que la función a optimizar es el área de un
cilindro, ya que se desea utilizar la menor cantidad posible de material para abaratar
costes. Por tanto, como el área total es la suma del área lateral más dos veces el área de
la base, se tendrá:
A = 2πrh + 2πr 2
Casi siempre, la mecánica de
los ejercicios como el 83 es la
misma. Hay que utilizar dos
fórmulas: una para llegar a la
expresión que hay que
optimizar y otra para reducir a
uno el número de variables.
donde r es el radio del cilindro y h su altura.
CONVIENE RECORDAR...
Como se plantea una función con dos variables, debe usarse el dato del volumen para
poder expresar el área en función de una sola variable:
Optimizar es encontrar el valor
de la variable que proporcione
la cantidad más alta para una
función (por ejemplo si
queremos el máximo beneficio)
o la más baja (por ejemplo si
queremos el coste mínimo).
V = πr 2 h ⇒ 50 = πr 2 h ⇒ h =
50
πr 2
y llevando este resultado a la expresión del área se tiene que:
A = 2πrh + 2πr 2 = 2πr ⋅
50
πr
2
+ 2πr 2 =
100
+ 2πr 2
r
y derivando e igualando a cero se obtiene:
A' = −
100
r2
+ 4πr = 0 ⇒ −100 + 4πr 3 = 0 ⇒ r = 3 25 / π m
Y con este valor, la altura será:
h=
50
πr
2
=
π
(
3
50
25 / π
)
2
y racionalizando, se llegará a:
h=
503 25 / π
= 23 25 / π m
π (25 / π )
Puede observarse que se trata de un cilindro cuya altura coincide con su diámetro.
Para el error 84.
Deriva las funciones: f (x ) = sen ln x 5 y
(
(
f (x ) = tg cos 5 x 3 + 2 x 2
))
3
Aplicando la regla de la cadena se tendrá:
109
f ' (x ) = cos ln x 5 ⋅
CONVIENE RECORDAR...
La regla de la cadena es muy
fácil de aplicar, aunque con ella
se obtienen resultados con
expresiones bastante largas y
difíciles de simplificar.
1
⋅ 5x 4 =
x5
5 cos ln x 5
x
Nuevamente, con la regla de la cadena se tiene:
(
(
f ' (x ) = 3 tg cos 5 x 3 + 2 x 2
))
2
⋅
2
( (
1
3
cos cos 5 x + 2 x
2
)) (
(
)) (
⋅ − sen 5 x 3 + 2 x 2 ⋅ 15 x 2 + 4 x
)
Para el error 85.
Obtén las dos rectas de regresión para la distribución estadística bidimensional:
xi
2
2
2
3
4
4
5
5
5
6
yi
1
2
4
7
8
9
11
13
14
17
Deben calcularse todos los parámetros que intervienen en las expresiones de las rectas
de regresión. Primero se determina la media aritmética de las dos variables:
x=
∑x
i
N
38
= 3,8 y
10
=
y=
∑y
N
i
=
86
= 8,6
10
Seguidamente se forma la típica tabla estadística:
xi
yi
xi − x
yi − y
2
2
2
3
4
4
5
5
5
6
1
2
4
7
8
9
11
13
14
17
1,8
1,8
1,8
0,8
0,2
0,2
1,2
1,2
1,2
2,2
7,6
6,6
4,6
1,6
0,6
0,4
2,4
4,4
5,4
8,4
xi 2
4
4
4
9
16
16
25
25
25
36
yi 2
1
4
16
49
64
81
121
169
196
289
xi ⋅ y i
2
4
8
21
32
36
55
65
70
102
De esta tabla se obtienen fácilmente las varianzas y las desviaciones típicas, teniendo
en cuenta que se está tratando con datos no agrupados:
s x2 =
CONVIENE RECORDAR...
Las calculadoras científicas
permiten
obtener
muchos
parámetros estadísticos, como
la desviación típica. Con la
ayuda de su manual pueden
comprobarse muchos de los
resultados obtenidos con los
incómodos sumatorios.
s 2y =
s xy =
∑x
2
i
− x2 =
N
∑y
2
i
− y2 =
N
∑x ⋅ y
i
N
i
164
− 14,44 = 1,96
10
990
− 73,96 = 25,04
10
−x⋅y =
395
− 3,8 ⋅ 8,6 = 6,82
10
Con estos datos, pueden escribirse las rectas pedidas. La recta de regresión de Y sobre X
será:
s xy
6,82
(x − 3,8)
y − y = 2 (x − x ) ⇒ y − 8,6 =
1,96
sx
Y la recta de regresión de X sobre Y será:
110
x−x =
s xy
s 2y
( y − y ) ⇒ x − 3,8 =
6,82
( y − 8,6)
25,04
Para el error 86.
Indica cuáles de los siguientes vectores tienen sus componentes proporcionales:
r
r
r
r
r
a = (3,−1,4) , b = (5,0,6) , c = (− 6,2,−8) , d = (4,0,5) y e = (8,0,16 ) .
r
r
r
Solamente los vectores a y c tienen componentes proporcionales: c resulta de
r
multiplicar a por –2.
Para el error 87.
r
Expresa el vector v = (− 5,5,12 ) como combinación lineal de los vectores siguientes:
r
r
r
a = (1,1,2 ) , b = (2,0,2) , c = (3,−1,−2 ) .
CONVIENE RECORDAR...
Cuando se tienen tres vectores
linealmente independientes, se
pueden
formar
infinitas
combinaciones lineales, pero
sólo una de ellas dará el vector
(−5,5,12) .
En general, la combinación lineal será de la forma:
r
r
r
r
v = xa + yb + zc
con lo que sustituyendo, operando e igualando componentes obtenemos los resultados:
(− 5,5,12) = x(1,1,2) + y(2,0,2) + z (3,−1,−2)
(− 5,5,12) = (x, x,2 x ) + (2 y,0,2 y ) + (3z,− z,−2 z )
(− 5,5,12) = (x + 2 y + 3z, x − z,2 x + 2 y − 2 z )
− 5 = x + 2 y + 3z 

5= x−z

12 = 2 x + 2 y − 2 z 
Y resolviendo este sistema, se obtiene: x = 2 , y = 1 y z = −3 , con lo que la
combinación lineal pedida es:
r
r r
r
v = 2a + b − 3c
Para el error 88.
Calcula el rango de la matriz A y el determinante de una submatriz cualquiera, siendo:
2
0 − 1
 3


A= 4
6
5
2 
 − 1 − 4 − 5 − 3


CONVIENE RECORDAR...
Es importante no olvidar que al
hacer las operaciones usuales
con las líneas de una matriz, su
rango no cambia, aunque la
matriz sí es diferente en cada
uno de los pasos.
Con el método de Gauss puede obtenerse el rango de A:
−1 
2
0
3
 3 2 0 − 1




r ( A) = r  0 10
15
10  = r  0 10 15 10  = 2
 0 − 10 − 15 − 10 
0 0 0 0 




El valor del determinante de una submatriz cualquiera será:
3 2
= 18 − 8 = 10
4 6
111
Para el error 89.
2 4 6 8
4 6 8 10
6 8 10 12
Calcula el valor del determinante
8 10 12 14
10 12 14 16
12 14 16 18
10
12
14
16
18
20
12
14
16
18
20
22
Si se resta la primera columna en la segunda y tercera, quedará:
2
4
6
8
10
12
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
8
10
12
14
16
18
10
12
14
16
18
20
12
14
16
18
20
22
y como la segunda y la tercera columnas son proporcionales (la tercera columna es
igual a la segunda multiplicada por 2), el valor del determinante es nulo.
Para el error 90.
CONVIENE RECORDAR...
Existen varios métodos para
calcular la matriz inversa de
una dada, en el supuesto de
que exista. Aunque no se ha
presentado en este ejercicio, el
método de Gauss-Jordan es
muy eficaz; consiste en obtener
una matriz con unos en la
diagonal principal y ceros fuera
de ella.
1 1 0 


Calcula de dos formas diferentes la inversa de la matriz: A =  0 2 − 2 
 3 0 − 3


En primer lugar, es conveniente comprobar que la matriz inversa existe, para ello se
calcula el determinante de A:
1 1 0
A = 0 2 − 2 = −12
3 0 −3
Como el determinante de A es distinto de 0, la matriz inversa existe. Vamos a calcularla
de dos formas.
La primera forma es planteando un sistema de ecuaciones. A partir de la definición de
matriz inversa:
A⋅ A
−1
1 1 0   a b
 

= I ⇒  0 2 − 2 ⋅  d e
 3 0 − 3  g h
 

c  1 0 0

 
f  =  0 1 0
i   0 0 1 
con lo que, aplicando el producto e identidad de matrices, queda:
CONVIENE RECORDAR...
a + d =1  b+e = 0  c+ f = 0 



2d − 2 g = 0 , 2e − 2h = 1  y 2 f − 2i = 0
3a − 3 g = 0  3b − 3h = 0 3c − 3i = 1 
Por definición, la matriz
inversa de una dada conmuta
con esta, es decir:
A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A
Por ello, es indiferente plantear
la ecuación matricial inicial en
uno u otro orden.
y resolviendo los sistemas se llega a:
a = 1/ 2

 b = h = −1 / 4 c = 1 / 6

 y
,
f = i = −1 / 6
d = g = 1 / 2 e = 1 / 4

112
y así, la matriz buscada será: A
−1
1 / 2 − 1 / 4 1 / 6 


= 1 / 2 1 / 4 − 1 / 6 
1 / 2 − 1 / 4 − 1 / 6 


El segundo procedimiento consiste en calcular la matriz adjunta traspuesta y dividirla
por el determinante de A. Calculemos dicha matriz:
 − 6 − 6 − 6


Matriz adjunta de A: B =  3 − 3 3 
− 2 2
2 

 − 6 3 − 2


Matriz traspuesta de B: B =  − 6 − 3 2 
− 6 3
2 

t
Y dividiendo entre el valor del determinante queda:
A
−1
 − 6 3 − 2  1 / 2 − 1 / 4 1 / 6 

 
Bt
1 
=
=
 − 6 − 3 2  = 1 / 2 1 / 4 − 1 / 6 
A − 12 
2  1 / 2 − 1 / 4 − 1 / 6 
− 6 3
que obviamente coincide con el resultado anterior.
Para el error 91.
Una matriz A, cuadrada de orden 3, verifica que A = −2 . Halla el determinante de la
matriz 5A.
Aún desconociendo la matriz A, sabemos que 5A será la misma pero con todos sus
elementos multiplicados por 5, así, de cada línea del determinante 5 A podemos
extraer un 5 y como son 3 líneas por ser cuadrada de orden 3, tendremos extraídos 3
cincos.
a b

Más detalladamente, si A =  d e
g h

a b

5A = 5 ⋅  d e
g h

c

f :
i 
c  5a 5b 5c

f  = 5d 5e 5 f = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ A = 125 ⋅ A
i  5 g 5h 5i
de donde se obtiene el resultado final:
5 A = 125 ⋅ (− 2) = −250
Para el error 92.
Siendo A, B, C y D matrices conocidas, despeja la matriz incógnita X en la siguiente
ecuación: AXB + 2C = D
AXB + 2C = D → AXB = D − 2C → A −1 AXBB −1 = A −1 (D − 2C )B −1 ⇒
⇒ X = A −1 (D − 2C )B −1
113
CONVIENE RECORDAR...
No debe olvidarse la diferencia
entre multiplicar un escalar por
una matriz o por un
determinante. En el primer
caso, todos los elementos de la
matriz quedan multiplicados
por el escalar; en el segundo
caso, solo queda multiplicada
por el escalar una línea del
determinante.
Para el error 93.
CONVIENE RECORDAR...
Es imposible que dos rectas en
el plano se crucen. En el plano,
si dos rectas no son paralelas ni
coincidentes entonces se cortan
en un punto. En el espacio,
pueden cortarse o cruzarse.
¿Cómo podría decirse que está un paso a nivel con respecto a la carretera que lo
atraviesa? ¿Cómo podría decirse que están las vías del tren y el suelo sobre el que se
apoyan?
El paso a nivel y la carretera se “cortan”. Las vías están “contenidas” en el suelo.
Para el error 94.
Calcula el límite de la función f (x ) = x ⋅ tg (x + 90º ) cuando x tiende a cero.
Al aplicar diversos procedimientos para el cálculo de este límite, no llegamos a la
solución, por tanto puede probarse a aplicar la regla de L’Hôpital. Para poder aplicar
esta regla, escribimos la función en forma de fracción:
f (x ) =
x
x
=
1 / tg(x + 90º ) cotg(x + 90º )
donde cotg denota la cotangente. De esta forma el límite se puede calcular con la regla
de L’Hôpital:
1
1
x
= lím
=
= −1
2
x →0 cotg ( x + 90º )
x →0 − 1 / sen ( x + 90º )
−1
lím
Para el error 95.
∫ ln xdx e indica cuál sería su valor si tuviéramos que obtener la integral
CONVIENE RECORDAR...
Calcula
Una diferencia entre la integral
indefinida y la definida es la
constante de integración, que
no aparece en la definida.
entre 1 y 10.
Para resolver la integral se utiliza el método de integración por partes:
∫
1 

1
u = ln x ⇒ du = dx 
ln xdx = 
x  = x ln x − x ⋅ dx = x ln x − x + K
x
dv = dx ⇒ v = x

∫
Ahora, se resuelve la integral definida:
10
∫ ln xdx = (x ln x − x )
1
10
1
= 10 ln 10 − 10 − (1 ln 1 − 1) = 10 ln 10 − 9
Para el error 96.
Realiza la integral siguiente:
7
∫ 5x + 1 dx
Haciendo el cambio de variable 5 x + 1 = t , con lo que nos queda 5dx = dt , y por tanto:
7
7 dt 7 1
7
=
dt = ln t + K = ln (5 x + 1) + K
5
5 5 t
5
7
∫ 5x + 1 dx = ∫ t
Para el error 97.
Resuelve la integral:
114
∫x
2
ln xdx
∫
Utilizando el método de integración por partes:
∫
u = x 2 ⇒ du = 2 xdx

2
x 2 ln xdx = 
 = x (x ln x − x ) −
dv = ln xdx ⇒ v = x ln x − x 
= x 3 ln x − x 3 −
∫ (2 x
2
)
∫ (x ln x − x ) ⋅ 2 xdx =
∫
∫
ln x − 2 x 2 dx = x 3 ln x − x 3 − 2 x 2 ln xdx + 2 x 2 dx =
∫
= x 3 ln x − x 3 − 2 x 2 ln xdx + 2 ⋅
x3
3
Llamando I a la integral del enunciado, tenemos:
CONVIENE RECORDAR...
En los sucesivos pasos de la
integración por partes suele
omitirse la constante K de
integración. Pero no debe
olvidarse en el resultado final.
x3
I = x ln x − x − 2 I + 2 ⋅
3
3
3
y en esta ecuación se puede despejar la integral pedida:
3I = x 3 ln x − x 3 +
2x3
x3
x3 2x3
ln x −
⇒I=
+
3
3
3
9
y se tiene definitivamente el resultado: I =
x3
x3
ln x −
+K
3
9
Para el error 98.
Resuelve la integral:
∫e
2x
senxdx
Llamando I a la integral:
u = senx ⇒ du = cos xdx 


I = e senxdx = 
e 2x  =
2x
dv = e dx ⇒ v =

2 

∫
= senx ⋅
e
2x
2x
2
−
∫
e
2x
2
2x
⋅ cos xdx =
CONVIENE RECORDAR...
Es habitual que el método de
integración por partes deba
aplicarse reiteradamente en un
ejercicio para llegar a la
solución final.
e senx 1 2 x
−
e cos xdx
2
2
∫
se obtiene una integral muy similar a la original, por ello, se repite la integración por
partes haciendo:
u = cos x ⇒ du = −senxdx


e2x
2x
=
⇒
=
dv
e
dx
v

2

con lo que se llega a:
I=
2x
 2x


e 2 x senx 1  e 2 x cos x
e2x
(− senx )dx  = e senx − 1  e cos x + 1 ⋅ I 
− 
−
2
2
2
2 
2
2
2
2

∫
con lo que se llega a una ecuación con I como incógnita, cuya solución dará el valor de
la integral:
e 2 x senx e 2 x cos x I
I=
−
−
2
4
4
I+
cos x 
5I e 2 x 
cos x 
I e2x 
=
=
 senx −
⇒
 senx −

4
2 
2 
4
2 
2 
115
y finalmente:
I=
2e 2 x 
cos x 
 senx −
+k
5 
2 
Para el error 99.
Copia el siguiente ejercicio en tu cuaderno y resuélvelo:
3(2 − 8)2 + 5(1 + 4 )3 − 2(− 3 + 8)2 − 4(7 − 1)3
2 + 1 − 3 + 4 − 5 + 2 2 + 32 + 4 4 + 5 2 − 1
CONVIENE RECORDAR...
Copiar mal un ejercicio
supone, prácticamente siempre,
dar una solución incorrecta.
Además puede suponer el
complicar los procedimientos o
facilitarlos, con lo que el
ejercicio no podría puntuarse
con la nota prevista.
En primer lugar se opera el interior de los paréntesis:
3(− 6 )2 + 5(5)3 − 2(5)2 − 4(6 )3
2 + 1 − 3 + 4 − 5 + 2 2 + 32 + 4 4 + 5 2 − 1
seguidamente se realizan las potencias:
3 ⋅ 36 + 5 ⋅ 125 − 2 ⋅ 25 − 4 ⋅ 216
2 + 1 − 3 + 4 − 5 + 4 + 9 + 256 + 25 − 1
seguidamente, realizamos los productos del numerador y terminamos de operar:
108 + 625 − 50 − 864
181
=−
2 + 1 − 3 + 4 − 5 + 4 + 9 + 256 + 25 − 1
292
Para el error 100.
Suma todos los números naturales del 1 al 100.
Esta suma es famosa porque la realizó Gauss a la edad de 7 años. Se fijó en que el
primero y último números sumaban 101, el segundo y el penúltimo sumaban también
101, y así sucesivamente hasta sumar el término 50 con el 51, que daba igualmente
101. Así, el resultado de esta suma es:
1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100 = 101 ⋅ 50 = 5050
ya que con los 100 primeros números naturales se pueden hacer 50 parejas que suman
101.
116
ANEXO I. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Prefijo
Yotta
Zetta
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hecto
Deca
Deci
Centi
Mili
Micro
Nano
Pico
Femto
Atto
Zepto
Yocto
Abreviatura
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
Equivalencia
1024
1021
1000000000000000000=1018
1000000000000000=1015
1000000000000=1012
1000000000=109
1000000=106
1000=103
100=102
10
0,1=10-1
0,01=10-2
0,001=10-3
0,000001=10-6
0,000000001=10-9
0,000000000001=10-12
0,000000000000001=10-15
0,000000000000000001=10-18
10-21
10-24
Nombre
Cuatrillón
Mil trillones
Trillón
Mil billones
Billón
Mil millones, millardo
Millón
Un millar, mil
Un centenar, cien
Una decena, diez
Un décimo
Un centésimo
Un milésimo
Un millonésimo, micra
Un milmillonésimo
Un billonésimo
Un milbillonésimo
Un trillonésimo
Un miltrillonésimo
Un cuatrillonésimo
117
ANEXO 2. UNIDADES USUALES
UNIDADES DE LONGITUD
Año luz
Unidad astronómica
Megámetro
Miriámetro
Kilómetro
Hectómetro
Decámetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
Micrómetro
Nanómetro
Angstrom
Fermi
9460800000000000 m
UA = 150000000000 m
Mm = 106 m
mam = 104 m
km = 103 m
hm = 102 m
dam = 10 m
m = unidad de referencia
dm = 10-1 m
cm = 10-2 m
mm = 10-3 m
µm = 10-6 m
nm = 10-9 m
Å = 10-10 m
F = 10-15 m
UNIDADES DE SUPERFICIE
Kilómetro cuadrado
Hectómetro cuadrado o hectárea
Decámetro cuadrado o área
Metro cuadrado o centiárea
Decímetro cuadrado
Centímetro cuadrado
Milímetro cuadrado
km2 = 106 m2
hm2 = 104 m2 = ha
dam2 = 102 m2 = a
m2 = unidad de referencia = ca
dm2 = 10-2 m2
cm2 = 10-4 m2
mm2 = 10-6 m2
UNIDADES DE VOLUMEN Y CAPACIDAD
Kilómetro cúbico
Hectómetro cúbico
Decámetro cúbico
Mirialitro
Metro cúbico o kilolitro
Hectolitro
Decalitro
Decímetro cúbico o litro
Decilitro
Centilitro
Mililitro o centímetro cúbico
Milímetro cúbico
118
km3 = 109 m3
hm3 = 106 m3
dam3 = 103 m3
mal = 10000 l
m3 = kl = 1000 l unidad de referencia de volumen
hl = 100 l
dal = 10 l
dm3 = 10-3 m3 = unidad de referencia de capacidad
dl = 0,1 l
cl = 0,01 l
ml = 0,001 l = cm3 = 10-6 m3
mm3 = 10-9 m3
UNIDADES DE MASA
Tonelada métrica
Quintal métrico
Miriagramo
Kilogramo
Hectogramo
Decagramo
Gramo
Decigramo
Centigramo
Miligramo
Microgramo
t = 106 g = 1000 kg
q = 105 g = 100 kg
mag = 104 g = 10 kg
kg = 103 g
hg = 102 g
dag = 10 g
g = unidad de referencia
dg = 10-1 g
cg = 10-2 g
mg = 10-3 g
µg = 10-6 g
SISTEMAS Y UNIDADES PARA MEDIR ÁNGULOS
En el sistema sexagesimal se utilizan los grados sexagesimales, minutos y segundos.
El grado es la unidad de referencia y equivale a cada una de las 90 partes en que se
divide un ángulo recto. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60
segundos. Se cumple que:
Un ángulo recto = 90º
1º = 60 minutos = 60’
1’ = 1 minuto = 60 segundos = 60’’
Notación decimal del sistema sexagesimal. Es una notación en la que cada uno de lo
90 grados se divide en 100 partes que a su vez se subdividen en otras 100. Así, en el
sistema sexagesimal disponemos de dos notaciones para expresar lo mismo
Sistema centesimal. En este sistema, el ángulo recto se divide en 100 partes, cada una
de las cuales sería un grado centesimal. A su vez, cada grado centesimal se dividiría en
otras 100 partes, denominadas minutos centesimales, y cada minuto en otras 100 partes
llamadas segundos centesimales.
Sistema internacional. En el sistema internacional la unidad es el radián, que se
define como el ángulo descrito por un arco de circunferencia cuya longitud es igual a su
radio. Se verifica lo siguiente:
1 radián =
360º
180º
→ 1 radián =
⇒ 1 radián ≈ 57,3º
π
2π
Un grado =
π
180
radianes ≈ 0,017 radianes
La equivalencia utilizada en la conversión de grados y radianes es la siguiente:
π radianes = 180º
UNIDADES DE TIEMPO
El segundo es la unidad de referencia. Se cumple que:
1 día = 24 horas = 1440 minutos = 86400 segundos
1 hora = 60 minutos = 3600 segundos
1 minuto = 60 segundos
119
ANEXO 3. CONVERSIÓN DE UNIDADES
UNIDADES LINEALES
mm
cm
dividir por 10 por cada salto
dm
m
dam
hm
multiplicar por 10 por cada salto
km
UNIDADES SUPERFICIALES
mm2
cm2
dividir por 100 por cada salto
dm2
m2
dam2
hm2
multiplicar por 100 por cada salto
km2
UNIDADES VOLÚMICAS
mm3
120
cm3
dividir por 1000 por cada salto
dm3
m3
dam3
hm3
multiplicar por 1000 por cada salto
km3
ANEXO 4. SISTEMA DE NUMERACIÓN
ROMANO
En la formación de cantidades se usan los símbolos:
I=1
V=5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
Además, deben seguirse las siguientes reglas:
1. Una letra escrita a la derecha de otra de igual o mayor valor le suma a ésta su valor.
2. Una de las letras I, X, C escrita a la izquierda de V o X, de L o C y de D o M,
respectivamente, le resta a ésta su valor.
3. Una raya colocada encima de una letra o grupo de letras multiplica su valor por 1000.
4. Las letras I, X, C y M se pueden escribir hasta tres veces seguidas, pero, V, L y D no
se pueden escribir seguidas en un número.
121
ANEXO 5. PROPIEDADES Y ELEMENTOS
PARA LAS OPERACIONES
De forma general, si ∗ y o son dos operaciones cualesquiera:
Propiedad asociativa: a ∗ (b ∗ c ) = (a ∗ b ) ∗ c
Propiedad conmutativa: a ∗ b = b ∗ a
Elemento neutro, e: a ∗ e = a = e ∗ a
Elemento simétrico, a ' : a ∗ a ' = e = a '∗a
Propiedad distributiva: a ∗ (b o c ) = a ∗ b o a ∗ c
CASO CONCRETO DE LA SUMA
Propiedad asociativa:
a + (b + c ) = (a + b ) + c
Propiedad conmutativa:
a+b =b+a
Elemento neutro, el 0:
a+0= a =0+a
Elemento simétrico u opuesto, el mismo número cambiado de signo:
a + (− a ) = 0 = (− a ) + a
CASO CONCRETO DEL PRODUCTO
Propiedad asociativa:
a ⋅ (b ⋅ c ) = (a ⋅ b ) ⋅ c
Propiedad conmutativa:
Elemento neutro, el 1:
a ⋅b = b⋅a
a ⋅1 = a = 1⋅ a
Elemento simétrico o inverso, la unidad dividida por el número dado:
a⋅
1
1
=1= ⋅a
a
a
CON LAS DOS OPERACIONES DE SUMA Y PRODUCTO
Propiedad distributiva: a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c o
122
(a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
ANEXO 6. FÓRMULAS DE GEOMETRÍA
CUADRADO
A = l ⋅l = l2
perímetro = 4 ⋅ l
lado l
diagonal = l ⋅ 2
TRIÁNGULO
A=
base b
altura h
TRIÁNGULO
Fórmula de Herón
A=
b⋅h
2
p( p − a )( p − b )( p − c )
semiperímetro p
lados a, b y c
TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
lado l
l2 ⋅ 3
4
l⋅ 3
altura =
2
A=
RECTÁNGULO
base b
altura h
A = b⋅h
PARALELOGRAMO
O ROMBOIDE
base b
altura h
A = b⋅h
TRAPECIO
base b y b'
altura h
A=
b + b'
⋅h
2
ROMBO
A=
diagonales d y d '
d ⋅ d'
2
123
POLÍGONO
CUALQUIERA
p = a+b+c+d +e
lados a, b, c, d, e...
POLÍGONO
REGULAR
lados n
longitud del lado l
apotema ap
perímetro = n ⋅ l
p ⋅ ap n ⋅ l ⋅ ap
A=
=
2
2
HEXÁGONO
REGULAR
l⋅ 3
2
ap =
lado l
CÍRCULO
A = π ⋅r2
radio r
SECTOR CIRCULAR
A=
grados n
radio r
π ⋅ r2 ⋅ n
360º
CORONA CIRCULAR
radio mayor R
radio menor r
(
A = π ⋅ R2 − r 2
TRAPECIO
CIRCULAR
grados n
radio mayor R
radio menor r
A=
(
)
)
π ⋅ R2 − r 2 ⋅ n
360º
SEGMENTO
CIRCULAR
grados n
radio r
altura h
cuerda o base b
124
A=
π ⋅ r2 ⋅ n
360º
−
b⋅h
2
CIRCUNFERENCIA
radio r
diámetro d
L = 2 ⋅π ⋅ r = d ⋅π
ARCO
grados n
radio r
CUBO
lado l
PRISMA
REGULAR RECTO
altura h
perímetro p
lado l
apotema de la base ap
L=
π ⋅r ⋅n
180º
V = l3
Diagonal = l ⋅ 3
Al = p ⋅ h
At = Al + 2 ⋅ Ab
V = Ab ⋅ h
ORTOEDRO
largo l
ancho a
alto h
PIRÁMIDE RECTA
REGULAR
perímetro de la base p
altura de las caras a
altura de la pirámide h
V = l⋅a⋅h
Diagonal = l 2 + a 2 + h 2
p⋅a
2
At = Al + Ab
Ab ⋅ h
V =
3
Al =
CILINDRO
Al = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h
At = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (h + r )
radio r
altura h
V = π ⋅r2 ⋅h
CONO
radio r
generatriz g
altura h
Al = π ⋅ r ⋅ g
At = π ⋅ r ⋅ (g + r )
V=
π ⋅r2 ⋅h
3
125
ESFERA
radio r
A = 4 ⋅π ⋅ r2
4
V = ⋅π ⋅ r3
3
HUSO ESFÉRICO
Grados n
radio r
A=
CUÑA ESFÉRICA
grados n
radio r
CASQUETE
ESFÉRICO
radio r
altura del casquete h
V =
90º
π ⋅ r3 ⋅ n
270º
A = 2 ⋅π ⋅ r ⋅ h
 25 h 2 

V = π ⋅ h ⋅ 
+
6 
 8
SECTOR ESFÉRICO
radio r
altura del casquete h
π ⋅ r2 ⋅ n
V =
2π ⋅ r 2 ⋅ h
3
TETRAEDRO
lado a
OCTAEDRO
A = a2 ⋅ 3
A = 2a 2 ⋅ 3
lado a
ICOSAEDRO
lado a
HEXAEDRO O CUBO
lado a
126
A = 5a 2 ⋅ 3
A = 6a 2
DODECAEDRO
A = 30 ⋅ a ⋅ ap
lado a
apotema de las caras ap
ARCO DE CURVA
función f (x )
CUERPO DE
REVOLUCIÓN
Arco de curva f (x )
L=
∫
b
a
S = 2π
1 + [ f ' (x )]2 dx
b
∫ f (x ) ⋅
a
V =π ⋅
b
1 + [ f ' (x )]2 dx
2
∫ [ f (x )] dx
a
127
ANEXO 7. FÓRMULAS DE POTENCIAS
a n = a ⋅ a n −1
.
Definición
recursiva:
Definición: a n = a1⋅ 4
a ⋅4
a2
⋅ .........
⋅
a
 0
443
a = 1
n veces
n
1. (a ⋅ b ⋅ c )n = a n ⋅ b n ⋅ c n
an
a
2.   = n
b
b
3. a n ⋅ a m = a n + m
4.
5. a −1 =
a
7.  
b
−n
( )
8. a n
1
a
m
am
= a n−m
6. a −n =
b
= 
a
1
an
n
(
= a n⋅m
9. a n ⋅ b m
)
k
= a nk ⋅ b mk
11. a 0 = 1 para a ≠ 0
10. 1a = 1
 an
12.  m
b

an
k
nk

 =a

b mk

13. (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
14. (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
15. (a + b)(a − b) = a 2 − b 2
16. (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
17. (a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Siendo n un número natural, se tiene que:
19. (− a )2 n +1 = − a 2 n +1
18. (− a )2 n = a 2 n
(
)
(
20. x n − y n = (x − y ) x n−1 + yx n−2 + y 2 x n−3 + y 3 x n−4 + ... + y n−2 x + y n−1
(
)
(
)
21. n par: x n − y n = (x + y ) x n−1 − yx n−2 + y 2 x n−3 − y 3 x n−4 + ... + y n−2 x − y n−1
(
)
(
)
22. n impar: x n + y n = (x + y ) x n−1 − yx n−2 + y 2 x n−3 − y 3 x n−4 + ... − y n−2 x + y n−1
128
)
ANEXO 8. FÓRMULAS DE LOGARITMOS
Definición: log a m = x ⇔ a x = m con a ≠ 1 y a > 0
1. log a a = 1
2. log a 1 = 0
3. log a a n = n
4. a loga x = x
5. log a (m ⋅ n ) = log a m + log a n
6. log a (m / n ) = log a m − log a n
7. log a m n = n ⋅ log a m
8. log a n m =
9. log a m =
10. ln m =
log a m
n
log b m log m ln m
=
=
log b a log a ln a
log m
log e
11. log m =
ln m
ln 10
12. log a b ⋅ log b a = 1
129
ANEXO 9. FÓRMULAS DE RADICALES
Definición:
a = b ⇔ a = bn
n
1
1.
n
a = an
2.
n
am = a n
3.
np
4.
np
5.
n
6.
( a)
7.
mn
8.
n
a ⋅b = n a ⋅ n b
9.
n
a
=
b
m
a
p
a
mp
am =
n
p
=
n/ p
n
=
a
n
a
m
am/ p
= n ap
a = m⋅n a
n
a
n
b
10. b ⋅ n a + c n a = (b + c ) ⋅ n a
11. Introducción de factores en un radical: b ⋅ n a = n b n ⋅ a
12. Extracción de factores de un radical:
130
n
a n+ p = a ⋅ n a p
y
n
a m⋅n+ p = a m ⋅ n a p
ANEXO 10. FÓRMULAS DE SUCESIONES
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Diferencia: a n − a n−1 = d
Término general: an = a1 + d ⋅ (n − 1) , o bien: a n = a p + d ⋅ (n − p )
Suma de los n primeros términos: S n =
(a1 + an )⋅ n
2
Término central, si tenemos un número impar de términos: ac =
a1 + an
2
Diferencia para la interpolación de m medios aritméticos entre a y b: d =
b−a
m +1
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Razón:
an
=r
a n−1
Término general:
a n = a1 ⋅ r n −1
, o bien:
a n = a p ⋅ r n− p
Suma limitada de los n primeros términos: S n =
Suma ilimitada: S =
a1
1− r
(
)
a1 ⋅ r n − 1 a n ⋅ r − a1
=
r −1
r −1
si r < 1
131
ANEXO 11. FÓRMULAS DE TRIGONOMETRÍA
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1
a
=
cosecα h
1
c
cos α =
=
sec α h
1
a senα
tgα =
= =
cotgα c cos α
1
c cos α
cotgα =
= =
tgα a senα
1
h
sec α =
=
cos α c
1
h
cosecα =
=
senα a
senα =
A + C = 90 0
Teorema de Pitágoras: h 2 = a 2 + c 2
Teorema del cateto:
b2 = a ⋅ m ;
c2 = a ⋅ n
Teorema de la altura:
h2 = n ⋅ m
TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
A + B + C = 180 0
Teorema del seno:
a
b
c
=
=
senA senB senC
Teorema del coseno:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A
 2
2
2
b = a + c − 2ac ⋅ cos B
 2
2
2
c = a + b − 2ab ⋅ cos C
RELACIONES DE INTERÉS
Teorema fundamental de la trigonometría o relación pitagórica:
sen 2α + cos 2 α = 1
senα ⋅ cosecα = 1
132
cosα ⋅ secα = 1
tgα ⋅ cotgα = 1
tg 2α + 1 = sec 2 α
cotg 2α + 1 = cosec 2α
senα = 1 − cos 2 α
cos α = 1 − sen 2α
Reducción del número de vueltas:
sen (360º⋅k + α ) = senα
cos(360º⋅k + α ) = cos α
tg(360º⋅k + α ) = tgα
cosec(360º⋅k + α ) = cosecα
sec(360º⋅k + α ) = sec α
cotg(360º⋅k + α ) = cotgα
Ángulos complementarios (su suma es 90º):
sen (90º −α ) = cos α
cos(90º −α ) = senα
tg(90º −α ) = cotgα
cosec(90º −α ) = sec α
sec(90º −α ) = cosecα
cotg(90º −α ) = tgα
Ángulos suplementarios (su suma es 180º):
sen (180º −α ) = senα
cos(180º −α ) = − cos α
tg (180º −α ) = − tgα
cosec(180º −α ) = cosecα
sec(180º −α ) = − sec α
cotg(180º −α ) = −cotgα
Ángulos que difieren en 90º:
sen (90º +α ) = cos α
cos(90º +α ) = −senα
tg(90º +α ) = −cotgα
cosec(90º +α ) = sec α
sec(90º +α ) = −cosecα
cotg(90º +α ) = − tgα
Ángulos que difieren en 180º:
sen (180º +α ) = −senα
cos(180º +α ) = − cos α
tg (180º +α ) = tgα
cosec(180º +α ) = −cosecα
sec(180º +α ) = − sec α
cotg(180º +α ) = cotgα
Ángulos opuestos:
sen (− α ) = −senα
cos(− α ) = cos α
tg(− α ) = − tgα
cosec(− α ) = −cosecα
sec(− α ) = sec α
cotg(− α ) = −cotgα
Suma de ángulos:
sen(a + b ) = sena ⋅ cos b + cos a ⋅ senb
cos(a + b ) = cos a ⋅ cos b − sena ⋅ senb
tga + tgb
tg (a + b ) =
1 − tga ⋅ tgb
Diferencia de ángulos:
sen(a − b ) = sena ⋅ cos b − cos a ⋅ senb
cos(a − b ) = cos a ⋅ cos b + sena ⋅ senb
tga − tgb
tg (a − b ) =
1 + tga ⋅ tgb
133
Ángulo doble:
sen 2a = 2sena ⋅ cos a
cos 2a = cos 2 a − sen 2 a
tg 2a =
2 tga
1 − tg 2 a
Ángulo mitad:
sen
a
1 − cos a
=±
2
2
cos
1 + cos a
a
=±
2
2
tg
a
1 − cos a
=±
2
1 + cos a
Sumas, diferencias, productos y potencias de razones trigonométricas:
a+b
a−b
cos
2
2
a+b
a −b
cos a + cos b = 2 cos
cos
2
2
cos(a − b ) − cos(a + b )
sena ⋅ senb =
2
sen (a − b ) + sen (a + b )
sena ⋅ cos b =
2
1 1
2
sen a = − cos 2a
2 2
sena + senb = 2sen
134
a+b
a−b
sen
2
2
a+b
b−a
cos a − cos b = 2sen
sen
2
2
cos(a − b ) + cos(a + b )
cos a ⋅ cos b =
2
sena − senb = 2 cos
cos 2 a =
1 1
+ cos 2a
2 2
ANEXO 12. FÓRMULAS DE MATEMÁTICAS
FINANCIERAS
Siendo i el interés, c el capital, r el rédito en porcentaje y t el tiempo:
Interés simple con el tiempo en años: i =
100i
100i
100i
crt
; r=
; t=
; c=
100
rt
ct
cr
Interés simple con el tiempo en meses: i =
crt
36000
Interés simple con el tiempo en días: i =
Descuento con el tiempo en años: d =
Nrt
, siendo N el valor nominal
100
Descuento con el tiempo en meses: d =
Descuento con el tiempo en días: d =
crt
1200
Nrt
1200
Nrt
36000
Valor efectivo = valor nominal - descuento
Siendo C i el capital inicial se tiene que:
Capital final con interés simple:
rt 

C f = C i 1 +

 100 
rt 

C f = C i 1 +

 1200 
rt 

C f = C i 1 +

 36000 
Capital final con interés compuesto:
r 

C f = C i 1 +

100


t
12⋅t
r 

C f = C i 1 +

1200


Capital total con anualidades de capitalización: S n = A ⋅
r 

C f = C i 1 +

36000


360⋅t
(1 + r )n+1 − (1 + r )
r
n
R 
R

D ⋅ 1 +
 ⋅
100
100


Anualidad de amortización: A =
n
R


1 +
 −1
 100 
135
ANEXO 13. FÓRMULAS DE LÍMITES
Siendo k una constante y n un número real, se tiene:
1.
2.
lím k = k
x→n
lím x = n
x→n
Siendo lím f (x ) = L y lím g (x ) = M y L, M ∈ R , se tiene:
x →n
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x →n
lím ( f + g )(x ) = lím f (x ) + lím g (x ) = L + M
x→n
x →n
x→n
lím ( f − g )(x ) = lím f (x ) − lím g (x ) = L − M
x→n
x →n
x→n
lím ( f ⋅ g )(x ) = lím f (x ) ⋅ lím g (x ) = L ⋅ M
x→n
x →n
x →n
lím [k ⋅ f (x )] = k ⋅ lím f (x ) = k ⋅ L
x →n
x →n
lím ( f / g )(x ) = lím f (x ) / lím g (x ) = L / M , si M ≠ 0
x→n
x→n
x →n
lím g ( x )
lím f (x )g ( x ) =  lím f (x ) x→n
x →n

 x →n
= LM , si L > 0
Límite de tipo número e, cuando tenemos la situación 1±∞ :
lím [g ( x )⋅( f ( x )−1)]
lím [ f (x )]g ( x ) = e x→b
x →b
Regla de L´Hôpital, cuando deseamos calcular lím
x→b
siguientes: las funciones f (x ) y
tiende a b. La regla dice:
g (x ) son continuas y tienden ambas a cero cuando x
lím
x →b
136
f (x )
y se dan las condiciones
g (x )
f ' (x )
f (x )
= lím
x
b
→
g ' (x )
g (x )
ANEXO 14. FÓRMULAS DE DERIVADAS
Definición: sea la función f (x ) , la función derivada se representa por f ' (x ) y es:
f ' ( x) = lím
h →0
f ( x + h) − f ( x )
h
, o bien:
f ' ( x) = lím
a→ x
f (a ) − f ( x)
a−x
En las fórmulas que se presentan seguidamente, f, g y h representan funciones
cualesquiera de x y k es un valor constante.
D( f ± g ) = D( f ) ± D( g )
D(k ⋅ f ) = k ⋅ D( f )
D( f ⋅ g ) = D( f ) ⋅ g + f ⋅ D( g )
 f  D( f ) ⋅ g − f ⋅ D( g )
D  =
g2
g
Regla de la cadena: D[ f ( g )] = [D( f )]( g ) ⋅ D( g )
D(k ) = 0
D( x) = 1
D( x k ) = kx k −1
D f k = kf k −1 D( f )
( )
D x =
( )
Dk x =
( )
1
D
2 x
( )
1
k
k x
( f ) = D2 ( ff )
D( f )
Dk f =
k −1
k k f k −1
 1  − D( f )
D  =
f2
 f 
 1  −1
D  = 2
x x
PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
D(senf ) = cos f ⋅ D( f )
D (cos f ) = −senf ⋅ D ( f )
D (senx ) = cos x
D (cos x) = −senx
1
D ( tgx) = 1 + tg 2 x =
cos 2 x
senx
tgx
=
D(sec x ) =
2
cos x cos x
D(cotgx ) = −1 − cotg 2 x =
D(arcsenx) =
1
1− x
D(arccos x) =
2
−1
1− x
2
= sec 2 x
−1
2
sen x
D ( tgf ) = (1 + tg 2 f ) ⋅ D ( f ) =
D( f )
cos 2 f
− cos x −cotgx
=
D(cosecx ) =
senx
sen 2 x
= −cosec 2 x
D (arcsenf ) =
D( f )
1− f
D(arccos f ) =
2
− D( f )
1− f 2
137
D (arctgx ) =
1
1+ x
D(arccotgx ) =
2
D(arctgf ) =
D( f )
1+ f
2
−1
1+ x2
PARA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
( )
D (e x ) = e x
D e f = e f ⋅ D( f )
D(a x ) = a x ⋅ ln a
D a f = a f ⋅ ln a ⋅ D( f )
D (ln x ) =
1
x
D(log a x) =
( )
D(ln f ) =
log a e
1
=
x ⋅ ln a
x
D x x = x x (ln x + 1)
138
( )
D( f )
f
D(log a f ) =
( )= f
D f
g
g
D( f ) log a e ⋅ D( f )
=
f ⋅ ln a
f
⋅ ln f ⋅ D( g ) + g ⋅ f
g −1
⋅ D( f )
ANEXO 15. FÓRMULAS DE INTEGRALES
∫ [ f (x ) ± g (x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dx
∫ c ⋅ f (x )dx = c ⋅ ∫ f (x )dx
INTEGRALES INMEDIATAS SENCILLAS
∫ c ⋅ dx = cx + k
∫ dx = x + k
∫
x n+1
+ k , n ≠ −1
n +1
x n dx =
∫2
1
∫ x dx = ln x + k
∫ cos xdx = senx + k
1
∫ (1 + tg x )dx = ∫ cos
2
2
1
∫ sen
∫
2
x
2
dx = tgx + k
1
∫1+ x
∫
∫ ln xdx = x ⋅ ln x − x + k
e x dx = e x + k
2
dx = arctgx + k
−1
∫
dx = arcsenx + k
2
dx = x + k
x
∫ senxdx = − cos x + k
∫ tgxdx = − ln cos x + k
∫ (1 + cotg x )dx = cotgx + k
dx = −cotgx + k
1
1− x
x
1
1− x2
dx = arccos x + k
∫
∫
ax
+k
ln a
x ⋅ ln x − x
+k
log a xdx =
ln a
∫
f ' (x )
dx = ln f (x ) + k
f (x )
a x dx =
INTEGRALES INMEDIATAS COMPUESTAS
[ f (x )]
n
∫ [ f (x )] ⋅ f ' dx =
n +1
n +1
+ k , n ≠ −1
∫ senf (x ) ⋅ f ' (x )dx = − cos f (x ) + k
∫ (1 + tg
2
)
f (x ) ⋅ f ' (x )dx =
∫ (1 + cotg
f (x )
)
f ' (x )
dx = arctgf (x ) + k
2
∫
2
dx = tgf (x ) + k
f (x ) f ' (x )dx = cotgf (x ) + k
2
∫ 1 + [ f (x )]
∫
f ' (x )
∫ cos
∫ cos f (x ) ⋅ f ' (x )dx = senf (x ) + k
− f ' (x )
1 − [ f (x )]
2
dx = arccos f (x ) + k
a f ( x ) ⋅ f ' (x )dx =
a f (x )
+k
ln a
∫ tgf (x ) ⋅ f ' (x )dx = − ln cos f (x ) + k
f ' (x )
∫ sen
∫
∫e
2
f (x )
dx = −cotgf (x ) + k
f ' (x )
1 − [ f (x )]2
f (x )
dx = arcsenf (x ) + k
⋅ f ' (x )dx = e f ( x ) + k
∫ ln f (x )⋅ f ' (x )dx = f (x )⋅ ln f (x ) − f (x ) + k
∫2
f ' (x )
f (x )
dx =
f (x ) + k
139
ANEXO 16. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Si h( x) = f [g ( x)]⋅ g ' ( x) , entonces:
∫ h( x)dx = ∫ f [g (x )]⋅ g ' ( x) ⋅ dx = F [g ( x)] + k , donde F es una primitiva de f. La idea
consiste en hacer el cambio de variable:
t = g (x ) y por tanto dt = g ' (x )dx .
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
∫ u( x) ⋅ dv( x) = u( x) ⋅ v( x) − ∫ v( x)du ( x)
MÉTODOS PARTICULARES PARA FUNCIONES RACIONALES
P( x)
∫ Q( X )dx , donde grado P(x )
Sea
≥ grado Q(x )
Se hace la división de polinomios y se transforma el cociente inicial en suma de un
polinomio y otro cociente que se integra con los procedimientos siguientes.
P( x)
∫ Q( X )dx , donde grado P(x ) < grado Q(x )
Sea
CASO I: Si el denominador es de primer grado se utiliza:
A
∫ x − a dx = A ⋅ ln x − a + k
CASO II: Si el denominador tiene raíces reales simples: se descompone la fracción en
suma de otras que se reduzcan al caso I:
P( x)
 A
B
C

∫ ( x − a)( x − b)( x − c)...... dx = ∫  x − a + x − b + x − c + .....dx
CASO III: Si el denominador tiene raíces reales múltiples: se descompone en tantas
fracciones como el orden de multiplicidad de la raíz:
P( x)
∫ ( x − a)
n

 A
B
C
dx = 
+
+
+ ...dx

 x − a (x − a )2 (x − a )3


∫
CASO IV: Si el denominador tiene raíces complejas simples: se descompone la
fracción en suma de otras de la forma:
Ax + B
2
x + ax + b
Donde x 2 + ax + b es el polinomio con raíces complejas.
Si las raíces son complejas múltiples se procede como en el caso III pero escribiendo
fracciones similares a las del caso IV.
140
ANEXO 17. INTEGRALES DEFINIDAS
b
c
b
a
a
c
∫ f (x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx
a
∫ f (x )dx = 0
a
b
a
a
b
∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx
b
b
b
a
a
a
∫ [ f (x ) + g (x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g (x )dx
∫
b
a
k ⋅ f ( x )dx = k ⋅ ∫ f ( x )dx
Si g (x ) ≥ f (x ) ⇒
b
a
∫
b
a
g (x )dx ≥
b
∫ f (x )dx
a
Función integral de f (x ) : F (t ) =
Regla de Barrow:
b
t
∫ f (x )dx
a
∫ f (x )dx = [F (x )]
a
b
a
= F (b ) − F (a )
141
ANEXO 18. CÁLCULO VECTORIAL
(
r
Para R 2 , consideramos: a = a x , a y
r
y b = bx , b y
)
(
)
r
Módulo de un vector: a = a x 2 + a y 2
r r
Suma y resta de vectores: a ± b = a x ± b x , a y ± b y
(
)
(
) (
r
Producto de un número por un vector: n ⋅ a = n ⋅ a x , a y = n ⋅ a x , n ⋅ a y
)
r r
r r
Producto escalar: a ⋅ b = a x ⋅ bx + a y ⋅ b y = a ⋅ b ⋅ cos α
a x bx + a y b y
Ángulo formado por dos vectores: cos α =
a x2 + a 2y ⋅ bx2 + b y2
r
r
Para R 3 , consideramos: a = a x , a y , a z , b = b x , b y , b z
(
)
(
(
)
r
y c = cx , c y , cz
)
r
Módulo de un vector: a = a x 2 + a y 2 + a z 2
r r
Suma y resta de vectores: a ± b = a x ± b x , a y ± b y , a z ± b z
(
(
)
) (
r
Producto de un número por un vector: n ⋅ a = n ⋅ a x , a y , a z = n ⋅ a x , n ⋅ a y , n ⋅ a z
r r
r r
Producto escalar: a ⋅ b = a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ b z = a ⋅ b ⋅ cos α
a x bx + a y b y + a z bz
Ángulo formado por dos vectores: cos α =
a x2
+ a 2y + a z2 ⋅ b x2 + b y2 + b z2
r
r r r
r
Combinación lineal de a y b : c = α ⋅ a + β ⋅ b , con α y β números reales.
r r  ay
Producto vectorial: a ∧ b = 
 by

az
bz
ax
,−
bx
ay 

by 

az ax
,
bz bx
r r
r r
Módulo del producto vectorial: a ∧ b = a ⋅ b ⋅ senα
ax
v r r
Producto mixto de 3 vectores: a ⋅ b ∧ c = bx
cx
(
)
r r
r r
Desigualdad de Schwarz: a ⋅ b ≤ a ⋅ b
r r
r r
Desigualdad triangular: a + b ≤ a + b
142
ay
az
by
bz
cy
cz
)
ANEXO 19. PROPIEDADES DE LOS
ESPACIOS VECTORIALES
r
PROPIEDADES DEL 0 (número real) Y DEL 0 (vector nulo):
1.
2.
3.
r r
r
0 ⋅ u = 0 , cualquiera que sea el vector u de un espacio vectorial V.
r r
k ⋅ 0 = 0 , cualquiera que sea el número k de R.
r r
r r
k ⋅u = 0 ⇔ k = 0 o u = 0 .
PROPIEDADES DE LOS SIGNOS
4.
5.
6.
7.
8.
r
r r r
u − (+ v ) = u − v
r
r r r
u − (− v ) = u + v
r
r
k (− u ) = −ku
(− k )ur = −kur
(− k )(− ur ) = kur
PROPIEDADES SIMPLIFICATIVAS
r r r r
r r
9. u + v = u + w ⇒ v = w
r
r
r r
10. ku = kv ⇒ u = v si k ≠ 0
r r
r
r
11. ku = hu ⇒ k = h si u ≠ 0
143
ANEXO 20. PROPIEDADES DE LAS MATRICES
SUMA DE MATRICES
(
A + B = aij + bij
)
A + (B + C ) = ( A + B ) + C
0

0
El elemento neutro es la matriz nula: 
...

0

A+ B = B+ A
0 ... 0 

0 ... 0 
... ... ...

0 ... 0 
El elemento simétrico u opuesto es la matriz opuesta: A → − A .
Para matrices traspuestas: ( A + B )t = At + B t
PRODUCTO DE MATRICES POR ESCALARES
λ ⋅ A = (λ ⋅ aij )
λ ⋅ (µ ⋅ A) = (λ ⋅ µ ) ⋅ A
λ ⋅ (A + B) = λ ⋅ A + λ ⋅ B
(λ + µ ) ⋅ A = λ ⋅ A + µ ⋅ A
1⋅ A = A
(µ ⋅ A)t = µ ⋅ At
PRODUCTO DE MATRICES
n
A ⋅ B = C , donde cik =
∑a
ij
⋅ b jk
j =1
( A ⋅ B )t = B t ⋅ At
(A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C
A ⋅ (B ⋅ C ) = ( A ⋅ B ) ⋅ C
A ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C
Para matrices cuadradas:
1

0
El elemento neutro es la matriz identidad: 
...

0

0 ... 0 

1 ... 0 
... ... ... 

0 ... 1 
El elemento simétrico o inverso, si existe, será la matriz inversa:
A −1 =
144
( )
1
1
⋅ [Adj ( A)]t = ⋅ Adj At
A
A
ANEXO 21. PROPIEDADES DE LOS
DETERMINANTES
a
1. Si A =  11
 a 21
a12 
 ⇒ A = a11a 22 − a 21a12
a 22 
 a11 a12 a13 


2. Si A =  a 21 a 22 a 23  ⇒
a

 31 a32 a33 
⇒ A = a11a 22 a33 + a 21a32 a13 + a31a12 a 23 − a13 a 22 a31 − a 23 a32 a11 − a33 a12 a 21
3. El determinante de una matriz es igual que el de su traspuesta: A = At .
4. Si una matriz tiene una línea de ceros, su determinante es cero.
5. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz, su determinante cambia de signo.
6. Si una matriz tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero.
7. Si multiplicamos todos los elementos de una línea de una matriz por un número, su
determinante queda multiplicado por ese número.
8. Si una matriz tiene dos líneas proporcionales, su determinante es cero.
a11
9. a21
a31
a12 + b12
a22 + b22
a32 + b32
a13 a11
a23 = a21
a33 a31
a12
a22
a32
a13 a11 b12
a23 + a21 b22
a33 a31 b32
a13
a23
a33
10. Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de otras paralelas
a ella, su determinante no varía.
11. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas,
entonces su determinante es cero. Y recíprocamente: si un determinante es cero, tiene
una línea que es combinación lineal de las demás.
12. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus
determinantes: A ⋅ B = A ⋅ B .
13. Si los elementos de una línea de una matriz cuadrada se multiplican por sus
respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz
inicial. Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los elementos de esa
línea.
14. Si los elementos de una línea se multiplican por los respectivos adjuntos de otra
paralela, el resultado de la suma es cero.
15. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de
su diagonal principal.
16. Adjunto del elemento aij : Aij = (− 1)i + j ⋅ α ij , donde α ij es el determinante de la
matriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j.
145
ANEXO 22. FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA
UNIDIMENSIONAL
En todo lo que sigue, N es el número total de valores.
Frecuencia absoluta de un valor = número de veces que aparece dicho valor = f i
Frecuencia relativa =
fi
N
Media aritmética de a y b: m =
a+b
2
N
∑x
i
i =1
Media aritmética de una colección de datos no agrupados: x =
N
K
∑ f ⋅x
i
Media aritmética de una colección de datos agrupados: x =
i
i =1
N
Media geométrica de a y b: mg = + a ⋅ b
Media geométrica de una colección de datos no agrupados: mg = N x1 x2 ...x N
Media geométrica de una colección de datos agrupados: mg = N x1f1 x2f 2 ...x Kf K
Media armónica de a y b: ma =
2
1 1
+
a b
N
Media armónica de una colección de datos no agrupados: ma =
N
1
i =1
i
∑x
Media armónica de una colección de datos agrupados: ma =
N
K
fi
i =1
i
∑x
Media ponderada de a y b con pesos respectivos x% e y%: mp =
a⋅x +b⋅ y
100
Recorrido: R = x máx − x mín
Desviación de cada valor: d i = xi − x
N
∑x
Desviación media de una colección de datos no agrupados: d m =
146
i
i =1
N
−x
K
∑x −x ⋅ f
i
Desviación media de una colección de datos agrupados: d m =
K
∑
2
Varianza: s =
K
∑x
d i2 ⋅ f
i =1
i
N
=
2
i
i =1
N
i
i =1
N
⋅ fi
− x2
Desviación típica: s = + s 2
Coeficiente de variación: Cv =
s
x
147
ANEXO 23. FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA
BIDIMENSIONAL
En todo lo que sigue, X es una variable estadística con n valores e Y una variable
estadística con m valores. La variable bidimensional es ( X , Y ) con valores xi , y j .
(
(
)
Frecuencia absoluta conjunta = número de veces que aparece el par xi , y j = f ij
m
∑f
Frecuencia absoluta marginal de X : Ai =
ij
j =1
n
Frecuencia absoluta marginal de Y : B j =
∑f
ij
i =1
(
)
f ij
Frecuencia relativa del par xi , y j =
Medias: x =
1
N
n
∑
xi ⋅ Ai ,
y=
i =1
1
N
N
m
∑y
j
⋅Bj
j =1
Centro de gravedad: (x , y )
Varianzas:
s x2 =
s 2y =
1
N
1
N
n
1
N
∑ (xi − x )2 ⋅ Ai =
i =1
n
∑x
2
i
⋅ Ai − x 2
i =1
m
m
j =1
j =1
1
∑ (y j − y )2 ⋅ B j = N ∑ x 2j ⋅ B j − y 2
Desviaciones típicas: s x = + s x2 , s y = + s 2y
n
Covarianza: s xy =
m
m
∑∑ x y
i =1 j =1
i =1 j =1
Coeficientes de regresión:
s xy
s x2
y
i
=
N
Coeficiente de correlación lineal: r =
s xy
sx s y
s xy
s 2y
Recta de regresión de Y sobre X: y − y =
Recta de regresión de X sobre Y: x − x =
148
n
∑∑ (xi − x )(y j − y ) f ij
s xy
sx 2
s xy
sy2
(x − x )
(y − y)
N
j f ij
−x⋅y
)
ANEXO 24. FÓRMULAS DE PROBABILIDAD
Regla de Laplace:
p ( A) =
m
, donde m es el número de casos favorables y n el de casos posibles.
n
Suceso imposible: p = 0
Suceso seguro: p = 1
( )
Sucesos contrarios: p A = 1 − p( A)
Sucesos incompatibles: p( A ∪ B ) = p( A) + p(B )
Sucesos compatibles: p( A ∪ B ) = p( A) + p(B ) − p( A ∩ B )
Sucesos independientes: p( A ∩ B ) = p( A) ⋅ p(B )
Probabilidad condicionada: p( A ∩ B ) = p( A) ⋅ p(B / A) = p(B ) ⋅ p( A / B )
Probabilidad total, para una partición de A:
p(B ) = p( A1 ) ⋅ p(B / A1 ) + p( A2 ) ⋅ p(B / A2 ) + ....
Teorema de Bayes: p( Ai / B ) =
p( Ai ) ⋅ p(B / Ai )
p( A1 ) ⋅ p(B / A1 ) + p( A2 ) ⋅ p(B / A2 ) + ....
149
ANEXO 25. FÓRMULAS DE COMBINATORIA
RECUENTO DE CASOS
Variaciones de m elementos tomados de n en n:
Vm,n = m ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 2 )......(m − n + 1)
Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n:
VRm,n = m n
Permutaciones de m elementos:
Pm = m!= m ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 2 )...... ⋅ 1
PC m = Pm−1 = (m − 1)!
Permutaciones con repetición de m elementos:
PRma ,b,c.... =
Pm
m!
con a + b + c + ... = m
=
Pa ⋅ Pb ⋅ Pc ..... a!⋅b!⋅c!....
Combinaciones de m elementos tomados de n en n:
C m ,n =
Vm , n
Pn
m
m!
=   =
n
(
!
n
m
⋅
− n )!
 
NÚMEROS COMBINATORIOS
 m
  = 1
0 
 m
  = 1
 m
0
  = 1
0
m
  = m
1 
m m 

  = 
n  m − n
 m   m   m + 1

 = 
  + 
 n   n + 1  n + 1 
 m   m   m + 1

 +   = 


 n − 1  n   n
 m
 m  m  m
  +   +   + ... +   = 2 m
 m
 0  1   2 
150
ANEXO 26. VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS
Función de probabilidad: f (xi ) = p( X = xi ) = pi
Función de distribución: F (xi ) = p( X ≤ xi )
n
Media, esperanza matemática o valor esperado: µ =
∑x ⋅ p
i
i
i =1
Varianza: σ 2 =
n
n
i =1
i =1
∑ (xi − µ )2 ⋅ pi = ∑ xi 2 ⋅ pi − µ 2
Desviación típica: σ = + σ 2 = +
n
∑ (x
i
− µ )2 ⋅ p i
i =1
Para una distribución binomial con n ensayos y probabilidad p de éxito:
µ = n ⋅ p
 2
σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p )

σ = + n ⋅ p ⋅ (1 − p )
151
ANEXO 27. VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS
Si f (x ) es la función densidad:
Media o esperanza matemática: µ =
b
∫ x ⋅ f (x)dx
a
Varianza: σ 2 =
b
∫ (x − µ )
2
a
f (x )dx
Desviación típica: σ = + σ 2
Función densidad de una distribución normal, curva con forma de campana de Gauss:
f (x ) =
1
σ 2π
1  x−µ 
− 

e 2 σ 
2
Función densidad de una distribución normal estándar: f (x ) =
Tipificación de la variable X: Z =
1
2π
−
e
x2
2
x−µ
σ
x−µ 

Para una variable tipificada: p( X ≤ x ) = p Z ≤

σ 

Aproximación de una distribución binomial a normal: B(n, p ) → N (µ , σ )
µ = np y σ = npq
Condiciones de aplicación: n ⋅ p
152
y n ⋅ q mayores que 5.
ANEXO 28. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por 2 cuando acaba en cero o en cifra par.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es divisible por 3.
Un número es divisible por 4 cuando la suma de la cifra de las unidades más el doble
de las decenas es divisible por 4.
Un número es divisible por 5 cuando acaba en 0 o en 5.
Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3.
Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las
unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de 7.
Un número es divisible por 8 cuando la suma de la cifra de las unidades más el doble
de la de las decenas más el cuádruplo de la de las centenas es divisible por 8.
Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es divisible por 9.
Un número es divisible por 10 cuando acaba en cero.
Un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras de los lugares impares
menos la suma de las cifras de los lugares pares es divisible por 11.
153
ANEXO 29. UNIÓN E INTERSECCIÓN DE
INTERVALOS Y CONJUNTOS
Propiedad idempotente:
A∪ A = A y
A∩ A = A
Propiedades conmutativas:
A∪ B = B∪ A y
A∩ B = B ∩ A
Propiedades asociativas:
A ∪ (B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C y
A ∩ (B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C
Propiedades distributivas:
A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) y
Leyes de absorción:
(A ∪ B) ∩ A = A
154
y
(A ∩ B) ∪ A = A
A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
ANEXO 30. FÓRMULAS PARA NÚMEROS
COMPLEJOS
En lo que sigue z1 y z 2 son números complejos cuya forma binómica es:
z1 = a + bi
y z 2 = c + di
Opuesto de z1 : − z1 = −a − bi
Inverso de z1 :
Conjugado de z1 : z1 = a − bi
1
a
b
=
−
i
z1 a 2 + b 2 a 2 + b 2
Afijo de z1 : (a, b )
Módulo de z1 : z1 = a 2 + b 2
Argumento de z1 : ϕ = arctg
b
a
Forma polar o módulo-argumento de z1 : z1 ϕ
Forma trigonométrica de z1 : z1 (cos ϕ + i ⋅ senϕ )
Partes real e imaginaria: a = z1 cos ϕ y b = z1 senϕ
Suma: z1 + z 2 = (a + c ) + (b + d )i
Resta: z1 − z 2 = (a − c ) + (b − d )i
Producto: z1 ⋅ z 2 = (ac − bd ) + (ad + bc )i
Cociente:
z1 ac + bd bc − ad
i
+
=
z2 c 2 + d 2 c 2 + d 2
Si z1 = z1 ϕ y z 2 = z 2 α se tendrá:
z1 ⋅ z 2 = ( z1 ⋅ z 2
)ϕ +α
z1  z1 
=
z 2  z 2 
ϕ −α
z1n = z1
n
n⋅ϕ
Fórmula de Moivre: z1 n = z1 ⋅ (cos nϕ + i ⋅ senϕ )
n
Las n raíces de un número complejo son:
n
módulo = n z
1

z1 = 
ϕ + 2kπ
argumento = ϕ k =
n

con k = 0,1,2...n-1
155
ANEXO 31. FÓRMULAS PARA RECTAS EN EL
PLANO
Suponiendo que un punto cualquiera de la recta es X = (x, y ) , un punto conocido de la
r
recta es P = (a, b ) con vector de posición P = (a, b ) y que el vector director de la recta
r
es v = v x , v y , se tienen las siguientes ecuaciones:
(
)
r r
r
Ecuación vectorial: X = P + t ⋅ v
o
(x, y ) = (a, b ) + t ⋅ (v x , v y )
x = a + t ⋅ vx
Ecuaciones paramétricas: 
y = b + t ⋅vy
Ecuación continua:
x −a y −b
=
vx
vy
A = vy

Ecuación general o implícita: Ax + By + C = 0 con:  B = −v x
C = v b − v a
x
y

Ecuación punto-pendiente: y − b = m(x − a ) , con: m =
vy
vx
Ecuación explícita: y = mx + n , con: n = b − m ⋅ a
Ecuación segmentaria:
x y
+ = 1 , con:
p q
 p = −C / A
y siendo A y B distintos de 0.

q = −C / B
Los valores donde la recta corta a los ejes X e Y son, respectivamente p y q.
r r
u x ⋅ vx + u y ⋅ v y
u ⋅v
Ángulo entre dos rectas: cos α = r r =
u ⋅v
u x2 + u 2y ⋅ v x2 + v 2y
Distancia de un punto P a una recta r: d (P, r ) =
A⋅a + B ⋅b + C
Distancia entre dos rectas paralelas r y r’: d (r , r ') =
156
A2 + B 2
C '−C
A2 + B 2
ANEXO 32. ECUACIONES DE LA RECTA EN
EL ESPACIO
Suponiendo que un punto cualquiera de la recta es X = (x, y, z ) , un punto conocido de
r
la recta es P = (a, b, c ) cuyo vector director es P = (a, b, c ) y el vector director de la
r
recta es v = v x , v y , v z , se tienen las siguientes ecuaciones:
(
)
r r
r
Ecuación vectorial: X = P + t ⋅ v
o
(x, y, z ) = (a, b, c ) + t ⋅ (v x , v y , v z )
x = a + t ⋅ vx

Ecuaciones paramétricas:  y = b + t ⋅ v y

z = c + t ⋅ vz
Ecuación continua:
x−a y −b z −c
=
=
vx
vy
vz
 Ax + By + Cz + D = 0
Ecuación implícita: 
 A' x + B' y + C ' z + D' = 0
157
ANEXO 33. ECUACIONES DEL PLANO
Suponiendo que un punto cualquiera del plano es X = (x, y, z ) , un punto conocido del
r
plano es (a, b, c ) cuyo vector director es P = (a, b, c ) y los vectores directores del plano
r
r
son: v = v x , v y , v z y w = wx , w y , wz , se tienen las siguientes ecuaciones:
(
)
(
)
Ecuación vectorial:
r r
r
r
X = P +t ⋅v + s⋅w o
(x, y, z ) = (a, b, c ) + t ⋅ (v x , v y , v z ) + s ⋅ (wx , w y , wz )
 x = a + t ⋅ v x + s ⋅ wx

Ecuaciones paramétricas:  y = b + t ⋅ v y + s ⋅ w y

 z = c + t ⋅ v z + s ⋅ wz
Ecuación implícita: Ax + By + Cz + D = 0
 p = −D / A
x y z

Ecuación segmentaria o canónica: + + = 1 , con: q = − D / B
p q r
r = − D / C

y siendo A, B y C distintos de 0.
Los valores donde el plano corta a los ejes X, Y y Z son, respectivamente p, q y r.
158
ANEXO 34. FÓRMULAS PARA RECTAS Y
PLANOS EN EL ESPACIO
r r
u x ⋅ vx + u y ⋅ v y + u z ⋅ vz
u ⋅v
Ángulo entre dos rectas: cos α = r r =
u ⋅v
u x2 + u 2y + u z2 ⋅ v x2 + v 2y + v z2
Ángulo formado por dos planos: cos α =
A ⋅ A'+ B ⋅ B'+C ⋅ C '
A 2 + B 2 + C 2 ⋅ A' 2 + B' 2 +C ' 2
Ángulo formado por recta y plano: senα =
A ⋅ vx + B ⋅ v y + C ⋅ vz
v x2 + v 2y + v z2 ⋅ A 2 + B 2 + C 2
(
)
donde ( A, B, C ) es un vector normal al plano y v x , v y , v z es un vector director de la
recta.
Distancia de un punto a un plano: d (P, π ) =
A⋅a + B ⋅b + C ⋅c + D
Distancia entre dos planos paralelos: d (π , π ') =
A2 + B 2 + C 2
D − D'
2
A + B2 + C 2
159
ANEXO 35. CÓNICAS
Ecuación de la circunferencia:
(x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 , siendo (a, b ) el centro de la circunferencia y r el radio.
Ecuación de la elipse:
x2
a2
+
y2
b2
= 1 , siendo a y b los semiejes de la elipse.
Ecuación de la hipérbola:
x2
a
2
−
y2
b2
= 1 , siendo a y b los lados del triángulo fundamental.
Ecuación de la parábola:
x 2 = 2 py , siendo p el parámetro de la parábola.
160
ANEXO 36. CAMBIO DE SISTEMAS DE
COORDENADAS
Fórmulas para cambiar de coordenadas cartesianas a polares:
ρ = x2 + y2
α = arctg
y
x
Fórmulas para cambiar de coordenadas polares a cartesianas:
x = ρ ⋅ cos α
y = ρ ⋅ senα
Cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas:
ρ = x2 + y2
α = arctg
y
x
z=z
Cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas:
x = ρ ⋅ cos α
y = ρ ⋅ senα
z=z
Cambio de coordenadas cartesianas a esféricas:
ρ = x2 + y2 + z2
α = arctg
y
x
φ = arctg
x2 + y2
z
Cambio de coordenadas esféricas a cartesianas:
x = r ⋅ senφ ⋅ cos α
y = r ⋅ senφ ⋅ senα
z = r ⋅ cos φ
161
ANEXO 37. OTRAS FÓRMULAS DE INTERÉS
División exacta: D = d ⋅ c
División entera: D = d ⋅ c + r , r < d
Módulo o valor absoluto de un número y propiedades:
 x, x ≥ 0
x =
− x , x < 0
x⋅ y = x ⋅ y
Fórmula para el uso de escalas: escala =
x+ y ≤ x + y
distancia sobre el plano
distancia real
Regla de tres simple directa:
a → b
bc
⇒ x =
c → x
a
Regla de tres simple inversa:
a → b
ab
⇒ x =
c → x
c
Error absoluto: E a = valor exacto − valor aproximado
Error relativo: E r =
Ea
valor exacto
Fórmula para la resolución de la ecuación de segundo grado o cuadrática:
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
Discriminante: ∆ = b 2 − 4ac
Coordenadas x e y del vértice de una parábola: v x =
−b
−∆
y vy =
2a
4a
Fórmulas para las ecuaciones cuadráticas incompletas:
−c
ax + c = 0 ⇒ x = ±
a
2
x = 0

ax + bx = 0 ⇒ 
−b
 x = a
2
Fórmula para la resolución de la ecuación bicuadrada: x = ±
− b ± b 2 − 4ac
2a
Máximo común divisor de varios números:
En su descomposición en factores primos, se toman los factores comunes con menor
exponente.
Mínimo común múltiplo de varios números:
En su descomposición en factores primos, se toman los factores comunes y no comunes
con el mayor exponente.
162
Relación masa-volumen: densidad =
X por ciento de una cantidad C = C ⋅
masa
volumen
X
100
cx
100
cx
Disminuir c un x por ciento: c −
100
Aumentar c un x por ciento: c +
Número de diagonales de un polígono convexo con n vértices: N º =
n ⋅ (n − 3)
2
Fórmula de Euler para poliedros: C + V = A + 2
donde C, V y A son, respectivamente, el número de caras, de vértices y de aristas.
Suma de los ángulos interiores de un polígono convexo con n lados: S a = 180º⋅(n − 2 )
Ángulo central e interior de un polígono regular de n lados:
α central =
360º
n
α int erior =
180º⋅(n − 2 )
n
Cambio de radianes a grados: G =
360º⋅R
2 ⋅π
Cambio de grados a radianes: R =
2 ⋅π ⋅ G
360º
Propiedad fundamental de una serie de razones iguales:
Relación fundamental de las mezclas:
a c e
a+c+e
= = =
b d f b+d + f
ci v s − vm
=
c s v m − vi
donde v s es el valor superior, vi el valor inferior, vm el valor medio, c s la cantidad
correspondiente al valor superior y ci la cantidad correspondiente al valor inferior.
Ley de una aleación: ley =
masa de metal fino
masa total
Coordenadas del punto medio de un segmento: x m =
Distancia entre dos puntos: d ( A, B ) =
x1 + x 2
y
2
ym =
y1 + y 2
2
(bx − a x )2 + (b y − a y )2
Condición de simetría par: f ( x) = − f ( x)
Condición de simetría impar: f ( x) = − f (− x)
Condición de periodicidad: f ( x) = f ( x + T )
Tasa de variación media de una función en [a,b]: TVM =
f (b ) − f (a )
b−a
163
Tasa de variación instantánea de una función en x = a: TVI = lím
h→0
f (a + h ) − f (a )
h
Binomio de Newton:
n  n  n  n−1  n  n−2 2
 n  n−1  n  n
a +  a b +  a b + .... + 
ab +  b
0
1 
2
 n − 1
n
(a + b )n = 
(a − b )n = 
n  n  n  n−1  n  n−2 2  n  n−3 3
a −  a b +  a b −  a b + ....
0
 
1 
2
3 
Fórmula de interpolación de Lagrange para una función f (x ) :
P(x ) = P0 + P1 + P2 + .... + Pn
donde Ph =
(x − x0 )(x − x1 ).....(x − xh−1 )(x − xh+1 ).....(x − xn ) ⋅ f (x )
(xh − x0 )(xh − x1 ).....(xh − xh−1 )(xh − xh+1 ).....(xh − xn ) h
Ecuación de la recta tangente a una curva en x = a: y − f (a ) = f ' (a ) ⋅ (x − a )
Ecuación de una asíntota vertical, puede haber de 0 a infinitas:
x = a ⇔ lím f (x ) = ±∞ , lím f (x ) = ±∞ o lím f (x ) = ±∞
x →a −
x →a +
x →a
Ecuación de una asíntota horizontal, puede haber de 0 a 2:
y = b ⇔ lím f (x ) = b o
x → +∞
lím f (x ) = b
x→−∞
Ecuación de una asíntota oblicua, puede haber de 0 a 2:
y = mx + n , donde m = lím
x →+∞
o bien: m = lím
x→−∞
f (x )
≠ 0 y n = lím [ f (x ) − mx]
x →+∞
x
f (x )
≠ 0 y n = lím [ f (x ) − mx] .
x→−∞
x
Entre asíntotas horizontales y oblicuas hay un máximo de 2.
Solución de un sistema de Cramer: xi =
a11 ..... a1,i −1
b1
a 21 ..... a 2,i −1
....
....
b2 a 2,i +1 .....a 2 n
.... ....
....
a n1 ..... a n,i −1 bn
a1,i +1
a n,i +1 .....a nn
A
Indeterminaciones principales:
c 0
±∞
; ; +∞ − ∞ ;
; ±∞ ⋅ 0 ; 1±∞ ; 0 0 ; ∞ 0 y 0 ∞
±∞
0 0
164
.....a1n
ANEXO 38. NÚMEROS USUALES
Número pi: π = 3,141592653589...
n
 1
Número e: e = lím 1 +  = 2,718281828459...
n → +∞
n
Número áureo o de oro: φ =
1+ 5
= 1,61803398874989484820...
2
PRIMEROS NÚMEROS PRIMOS
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,
97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179,
181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271,
277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479,
487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547…
PRIMEROS CUADRADOS PERFECTOS
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
900
961
1024
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
PRIMEROS CUBOS PERFECTOS
0
1
2
3
4
5
6
0
1
8
27
64
125
216
7
8
9
10
11
12
13
343
512
729
1000
1331
1728
2197
14
15
16
17
18
19
20
2744
3375
4096
4913
5832
6859
8000
165
ANEXO 39. TABLA ASOCIADA A UNA
DISTRIBUCIÓN N(0,1)
unidades y décimas
centésimas
4
5
0
1
2
3
6
7
8
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,500000
0,539828
0,579260
0,617911
0,655422
0,503989
0,543795
0,583166
0,621720
0,659097
0,507978
0,547758
0,587064
0,625516
0,662757
0,511966
0,551717
0,590954
0,629300
0,666402
0,515953
0,555670
0,594835
0,633072
0,670031
0,519939
0,559618
0,598706
0,636831
0,673645
0,523922
0,563559
0,602568
0,640576
0,677242
0,527903
0,567495
0,606420
0,644309
0,680822
0,531881
0,571424
0,610261
0,648027
0,684386
0,535856
0,575345
0,614092
0,651732
0,687933
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,691462
0,725747
0,758036
0,788145
0,815940
0,694974
0,729069
0,761148
0,791030
0,818589
0,698468
0,732371
0,764238
0,793892
0,821214
0,701944
0,735653
0,767305
0,796731
0,823814
0,705401
0,738914
0,770350
0,799546
0,826391
0,708840
0,742154
0,773373
0,802337
0,828944
0,712260
0,745373
0,776373
0,805105
0,831472
0,715661
0,748571
0,779350
0,807850
0,833977
0,719043
0,751748
0,782305
0,810570
0,836457
0,722405
0,754903
0,785236
0,813267
0,838913
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,841345
0,864334
0,884930
0,903200
0,919243
0,843752
0,866500
0,886861
0,904902
0,920730
0,846136
0,868643
0,888768
0,906582
0,922196
0,848495
0,870762
0,890651
0,908241
0,923641
0,850830
0,872857
0,892512
0,909877
0,925066
0,853141
0,874928
0,894350
0,911492
0,926471
0,855428
0,876976
0,896165
0,913085
0,927855
0,857690
0,879000
0,897958
0,914657
0,929219
0,859929
0,881000
0,899727
0,916207
0,930563
0,862143
0,882977
0,901475
0,917736
0,931888
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,933193
0,945201
0,955435
0,964070
0,971283
0,934478
0,946301
0,956367
0,964852
0,971933
0,935745
0,947384
0,957284
0,965620
0,972571
0,936992
0,948449
0,958185
0,966375
0,973197
0,938220
0,949497
0,959070
0,967116
0,973810
0,939429
0,950529
0,959941
0,967843
0,974412
0,940620
0,951543
0,960796
0,968557
0,975002
0,941792
0,952540
0,961636
0,969258
0,975581
0,942947
0,953521
0,962462
0,969946
0,976148
0,944083
0,954486
0,963273
0,970621
0,976705
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,977250
0,982136
0,986097
0,989276
0,991802
0,977784
0,982571
0,986447
0,989556
0,992024
0,978308
0,982997
0,986791
0,989830
0,992240
0,978822
0,983414
0,987126
0,990097
0,992451
0,979325
0,983823
0,987455
0,990358
0,992656
0,979818
0,984222
0,987776
0,990613
0,992857
0,980301
0,984614
0,988089
0,990863
0,993053
0,980774
0,984997
0,988396
0,991106
0,993244
0,981237
0,985371
0,988696
0,991344
0,993431
0,981691
0,985738
0,988989
0,991576
0,993613
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,993790
0,995339
0,996533
0,997445
0,998134
0,993963
0,995473
0,996636
0,997523
0,998193
0,994132
0,995604
0,996736
0,997599
0,998250
0,994297
0,995731
0,996833
0,997673
0,998305
0,994457
0,995855
0,996928
0,997744
0,998359
0,994614
0,995975
0,997020
0,997814
0,998411
0,994766
0,996093
0,997110
0,997882
0,998462
0,994915
0,996207
0,997197
0,997948
0,998511
0,995060
0,996319
0,997282
0,998012
0,998559
0,995201
0,996427
0,997365
0,998074
0,998605
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
0,998650
0,999032
0,999313
0,999517
0,999663
0,998694
0,999065
0,999336
0,999534
0,999675
0,998736
0,999096
0,999359
0,999550
0,999687
0,998777
0,999126
0,999381
0,999566
0,999698
0,998817
0,999155
0,999402
0,999581
0,999709
0,998856
0,999184
0,999423
0,999596
0,999720
0,998893
0,999211
0,999443
0,999610
0,999730
0,998930
0,999238
0,999462
0,999624
0,999740
0,998965
0,999264
0,999481
0,999638
0,999749
0,998999
0,999289
0,999499
0,999651
0,999758
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,999767
0,999841
0,999892
0,999928
0,999952
0,999776
0,999847
0,999896
0,999931
0,999954
0,999784
0,999853
0,999900
0,999933
0,999956
0,999792
0,999858
0,999904
0,999936
0,999958
0,999800
0,999864
0,999908
0,999938
0,999959
0,999807
0,999869
0,999912
0,999941
0,999961
0,999815
0,999874
0,999915
0,999943
0,999963
0,999822
0,999879
0,999918
0,999946
0,999964
0,999828
0,999883
0,999922
0,999948
0,999966
0,999835
0,999888
0,999925
0,999950
0,999967
h
166
He acabado esta versión el día 27 de diciembre de 2008,
Festividad de San Juan apóstol.
Agradezco a mi colega Gumersindo Herrero Fernández las
aportaciones realizadas y a mi alumno Federico Zarzosa
Castillo los dibujos que me ha preparado.
Nuevamente, quiero agradecer también la colaboración
prestada por mi padre, Francisco Calandra, que me ha
ayudado en diversas cuestiones; por mi hermano, Francisco
Calandra, que ha revisado los aspectos lingüísticos del
libro; por mi compañero de trabajo, Luis Lastra, que ha
sido muy paciente atendiendo mis variadas consultas sobre
algunos de los planteamientos presentados y finalmente por
mi mujer, Rebeca Jiménez, que ha sacrificado muchos de
sus momentos para permitirme llevar a término esta labor.
167