1. Educación

Otro de los problemas típicos del Moodle en la UOC es el de encontrar la base de un
subespacio. Veamos cómo se hace con un ejemplo:
Señala una base de este subespacio de
:
= {( , , , )| −
+ = 0, − − = 0}
Escoge una opción:
a) Ninguna de las anteriores.
1
−2
1
0
2
b)
,
, 1
−1
0
0
1
2
0
1
1
1
1 , 0 , 0
c)
0
−1
−1
0
1
1
1
0
d)
−1
1
1
1
0
e)
, 1
−1
0
1
0
Bien, de entrada hay una condición tan evidente que muchas veces nos olvidamos de ella y es
que, para que un conjunto de vectores sea base de un subespacio TODOS los vectores de la
base deben pertenecer al subespacio. Además se trata de una condición muy fácil de
comprobar. En este caso nos permite descartar la respuesta b) ya que el segundo vector no
pertenece a W.
(−2
2 0 2)
−
+ = 0
ó − 2 − 2 + 0 = −4 ≠ 0
El resto de vectores sí que pertenecen al subespacio, por lo que tenemos que mirar “cómo es
ese subespacio”, en concreto, vamos a ver cómo sería una de sus bases. Para ello, resolvemos
el sistema de ecuaciones que forman las dos condiciones:
− + =0
⇒ − − =0
= −
=−
Por lo tanto la solución dependerá de dos parámetros de la forma:
=
−
=
=
=−
⇒ = −
= −0
=0+
=0−
Es decir, que si llamamos y = alfa y z = beta, tenemos que todas las soluciones (todos los
vectores del subespacio) serán de la forma:
=
1
· 1 +
0
0
−1
· 0
1
−1
Con lo que ya vemos que la base (cualquier base) de este subespacio deberá tener dos
vectores, lo que descarta la b), la c) y la d). Además, podéis ver que los dos vectores que he
encontrado son prácticamente los de la respuesta e) (sólo hay que cambiar el orden y
multiplicar el segundo por -1). Con lo que la respuesta correcta es la e).