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Tarea 5
Álgebra Superior I
Fecha de entrega: Martes 27 de Octubre.
Profra. Marlisha Sandoval [email protected]
Ayte. Pablo Flores [email protected]
III Espacios R
n
1. (opcional) Sea V un conjunto y K un campo. Suponga que en V se tiene la definida una operación binaria
a la que llamaremos suma + : V × V → V una función ϕ : K × V → V donde ϕ(a, v) lo denotaremos por
α · v y a la que llamaremos el producto por escalares (a los elementos de K les llamaremos escalares). Se
dice que V es un espacio vectorial sobre K si para cualesquiera v, v 0 ∈ V y α, β ∈ K se satisface
(a) (v + v 0 ) + v 00 = v + (v 0 + v 00 )
(b) Existe v0 tal que v + v0 = v0 + v = v.
(c) Existe v0 tal que v + v0 = v0 + v = v.
(d) Existe u ∈ V tal que v + u = v0
(e) (α + β) · v = α · v + β · v
(f) α · (v + v 0 ) = α · v + α · v 0
(g) (αβ) · v = α · (β · v)
(h) 1 · v = v donde 1 es el neutro multiplicativo de K.
Demuestre que las siguientes afirmaciones son válidas en un espacio vectorial V sobre un campo K
1 El vector v0 del inciso (c) es único.
2 El vector u del inciso (d) es único.
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Sean v, v 0 , v 00 ∈ V tales que v + v 0 = v + v 00 . Entonces v 0 = v 00 .
0 · v = v0 para toda v ∈ V.
α · v0 = V0 para todo α ∈ K.
α · v = v0 si y sólo si α = 0 o v = v0 .
Sean v, u ∈ V tal que v + u = v0 . Entonces u = (−1) · v
8 α · (v − v 0 ) = α · v − α · v 0 .
2. Sean S1 y S2 subespacios de Rn .
(a) Se define S1 + S2 := {u + v | u ∈ S1 y v ∈ S2 }. Demuestra que S1 + S2 es un subespacio de Rn .
(b) Demuestra que S1 + S2 = hS1 ∪ S2 i.
3. (opcional) Sea S un subespacio de Rn de dimensión m ≥ 1 sobre R. Demuestra que existe una sucesión de
subespacios de Rn S0 , . . . , Sm−1 tal que S0 = {0̄} ( S1 ( · · · ( Sm−1 ( S, donde dimR Si = i para todo
i = 1, . . . , m − 1.
4. Dé tres bases diferentes para R3 .
5. Demuestre que los únicos subespacios vectoriales de R2 son {0, } las rectas que pasan por 0 y R2 . ¿Qué ocurre
en R3 ?
6. (opcional) Sea {s1 , . . . , sm } un conjunto de vectores en Rn que tiene la propiedade de que el conjunto
{si , sj } es linealmente independiente cuando i 6= j. Demuestre que cada vector del conjunto es un múltiplo
de un solo vector de ese conjunto.
7. (opcional)Sean
s1 = (s11 , s21 . . . , sn1 )
s2 = (s12 , s22 . . . , sn2 )
..
..
..
.
.
.
sm = (s1n , s2n . . . , snm )
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Tarea 5
Álgebra Superior I
Fecha de entrega: Martes 27 de Octubre.
Profra. Marlisha Sandoval [email protected]
Ayte. Pablo Flores [email protected]
vectores en Rn . Demuestre que el conjunto s1 , . . . , sm es linealmente dependiente si y sólo si el sistema
homogéneo de ecuaciones lineales
s11 x1 + s21 x2 + . . . + sn1 xm = 0
s21 x1 + s22 x2 + . . . + s2n xm = 0
..
..
..
.
.
.
sn1 x1 + sn2 x2 + . . . + snm xm = 0
tiene soluciones no triviales.
8. Sean v :1 , v2 , v3 vectores en Rn . (a) Demuestre que si v1 , v2 , v3 es linealmente independiente, entonces
también lo es {v1 − v2 , v2 − v3 , v3 + v1 }. (b) ¿El regreso es cierto? Demuestra o da un contraejemplo.
9. El conjunto de vectores {(−9, −7, 8, −5, 7), (9, 4, 1, 6, 7), (6, 7, −8, 5, −7)} en R5 es linealmente independiente. Extienda este conjunto a una base para R5 .
10. Los vectores v1 = (2, −3, 1), v2 = (1, 4, −2), v3 = (−8, 12, −4), v4 = (1, 37, −4) y v5 = (−3, −5, 8)
generan a R3 . Encontrar un subconjunto de {v1 , v2 , v3 , v4 } que sea una base para R3 .
11. (opcional) Sea {v1 , v2 , . . . , vm } una base para Rn . (a) Sean α1 , . . . , αm elementos distintos de cero en R.
Pruebe que {α1 v1 , α2 v2 , . . . , αm vm } es una base para Rn . (b) Prueba que {v1 , v1 + v2 , . . . , v1 + . . . + vm }
es también una base para Rn .
12. Sean S1 , S2 subespacios de Rn de dimensiones m1 y m2 , respectivamente, donde m1 y m2 , respectivamente,
donde m1 ≥ m2 . Demostrar que dimR (S1 ∩ S2 ) ≤ m2 y dimR (S1 + S2 ) ≤ m1 + m2 . Dar ejemplos de
subespacios de R3 donde cada desigualdad se converta en igualdad.
13. Indique cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. Justifique sus respuestas,
(a) Cualesquiera tres vectores en R3 forman una base para R3 .
(b) Cualesquiera tres vectores linealmente independientes en R3 forman una base para R3 .
(c) Una base para el subespacio R2 es única.
(d) Si S es un subespacio de R4 , entonces es posible encontrar cuatro vectores linealmente independientes
en S.
(e) Si {v1 , . . . , vm } es una base para Rn , entonces no es posible encontrar un vector v ∈ Rn tal que
v∈
/ hv1 , . . . , vm i.
14. Sean S el subespacio de R4 generao por los vectores (1, 4, 3, 2), (2, 4, 6, 8) y (3, 6, 4, 2; ) y S 0 el subespacio
de R4 generado por los vectores (2, 3, 1, 4), (1, 1, 2, 0) y (3, 1, 2, 4).
Encuentra una base y la dimensión de S + S 0 y de S ∩ S 0 .
15. (opcional) Demuestra que Cada subconjunto linealmente independiente de un subespacio S de Rn se puede
extender a una base de S.
16. (opcional) Sea S un subespacio de Rn . Entonces S tiene una base.
17. (opcional) Si m vectores generan un subespacio S de Rn , entonces más de m elementos en S son linealmente
dependientes.
18. (opcional) Cualesquiera dos bases de un subespacio S de Rn tienen el mismo número de vectores.
19. (opcional) Si S es un subespacio vectorial de Rn , entonces dimR S ≤ n y si dimR S = n, entonces S = Rn .
Sugerencias:
(1) Leer teorı́a correspondiente al tema, en los libros de Carmen Gómez (Álgebra Superior, Curso Completo)
y Francisco Raggi (Álgebra Superior ‘el de lo 4 fantásticos”), respectivamente.
(2) Realizar ejercicios correspondientes al tema, en los libros antes mencionados.
Nota: Los ejercicios que son opcionales, no es necesario entregarlos; pero se sugiere hacerlos para el
estudio del tema y de preparación para el examen. Esta tarea será calificada sobre 9 ejercicios.
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