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Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales y no lineales
Tarea temas 1.5, 1.6, 1.7 y 1.8
1° de marzo de 2017
Del Problema 9 al Problema 11 no olvides dar el intervalo I para el cual la solución es válida.
Problema 9 Resuelve la ecuación diferencial autónoma1
dy
= y2 − 4
dx
utilizando el método de separación de variables.
Problema 10 Resuelve la ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea
dy
− 3y = 6
dx
por el método de:
Separación de variables,
Método del factor integrante.
Comprueba que el resultado es el mismo, y señala cada parte de la solución. Hint: Recuerda
que la solución general es la suma de una solución particular yp y la solución a la ecuación
homogénea asociada yc .
Problema 11 Resuelve la ecuación diferencial lineal no homogénea
y0 + y = x
sujeta a la condición inicial y(0) = 4.
Del Problema 12 al Problema 13, se requiere definir dos funciones especiales:
Z x
Z ∞
2
2
2
−t2
erf(x) = √
e
dt
erfc(x) = √
e−t dt
π 0
π x
Nótese que las definiciones anteriores están normalizadas de tal manera que
∀x ∈ R, erf(x) + erfc(x) = 1
Problema 12 Resuelve el problema de valor inicial
dy
− 2xy = 2, y(0) = 1
dx
1
Las ecuaciones diferenciales de la forma D̂y = f (y) (i.e. la función f no depende explı́citamente de la variable
independiente) se les llama autónomas, donde D̂ es un operador diferencial no necesariamente lineal.
1
Problema 13 Resuelve el problema de valor inicial
r
ẏ =
1−
y 2 −t2
e
4
sujeta a y(0) = π y demuestra que la solución es y(t) = 2 sen
1
2
erf(t) + 1
Del Problema 14 al Problema 16 no olvides dar el intervalo I para el cual la solución es válida, y
menciona si la solución posee algún término transitorio.
Problema 14 Resuelve la ecuación diferencial
tẏ + 2y = 3
Problema 15 Resuelve la ecuación diferencial
t2 ẏ + t(t + 2)y = et
Problema 16 Resuelve la ecuación diferencial
(1 + t)ẏ − ty = t2 + t
Problema 17 Determina si la ecuación diferencial es exacta. De ser el caso, obtén la función f (x, y) = c
que la satisface
(5x + 4y)dx + (4x − 8y 3 )dy = 0
Problema 18 Determina si la ecuación diferencial es exacta. De ser el caso, obtén la función f (x, y) = c
que la satisface
(sen y − y sen x)dx + (cos x + x cos y − y)dy = 0
Problema 19 Encuentra el valor de la constante k de tal manera que la ecuación diferencial sea exacta,
y encuentra la función f (x, y) = c que la satisface
(y 3 + kxy 4 − 2x)dx + (3xy 2 + 20x2 y 3 )dy = 0
Problema 20 Muestra que la ecuación diferencial no es exacta, y utiliza el método de factor integrante
para hacerla exacta y encuentra la función f (x, y) = c que la satisface
y(x + y + 1)dx + (x + 2y)dy = 0
Problema 21 Muestra que la ecuación diferencial no es exacta, y utiliza el método de factor integrante
para hacerla exacta y encuentra la función f (x, y) = c que la satisface
2
sen x dy = 0
cos x dx + 1 +
y
2
Punto extra La ecuación diferencial que gobierna la caı́da libre de una partı́cula considerando la
fricción con el aire (i.e. la segunda ley de Newton escrita en términos de la velocidad) es
m
1
dv
= mg − ρACd v 2
dt
2
donde las constantes son: m es la masa de la partı́cula, g es la aceleración de la gravedad,
ρ es la densidad del aire, A es el área efectiva de la partı́cula y Cd es el coeficiente de
arrastre.
a) Define la constante k = 21 ρACd y reescribe la ecuación en forma estándar.
b) Usando el método de separación de variables, resuelve la ecuación diferencial sujeta
al condición inicial v(0) = 0.
c) A partir de la definición de la función arco tangente hiperbólico
1 1 + αv arctanh αv := ln 2
1 − αv demuestra que la solución a la ecuación diferencial es
!
r
r
2mg
ρgACd
v(t) =
t
tanh
ρACd
2m
d) Prueba que la velocidad terminal de la partı́cula. i.e. la velocidad máxima que
alcanza cuando t → ∞ es
r
2mg
v∞ =
ρACd
e) Estima la velocidad terminal de Felix Baumgartner al lanzarse en el proyecto Red
Bull Stratos 2 con los siguientes datos:
m ' 110 kg (masa de Felix más el traje),
g ' 9.71 m/s2 (aceleración de gravedad a la altitud en la que rompió la
velocidad del sonido),
ρ ' 1.9 × 10−2 kg/m3 (densidad del aire a esa altura),
A ' 0.9 m2 (sección transversal aproximada de Felix con el traje), y
Cd ' 1.5 (para un ser humano con traje espacial en caı́da libre).
f) Compara tu resultado del inciso anterior con la velocidad del sonido a 30, 000 m,
vs ' 295 m/s y justifica la diferencia entre estos valores.
LATEX
2
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