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Actividad 12, pág. 1 de 2
Procesos Gaussianos y Ec. Dif. estocásticas
fluido por la agitación térmica de interacción. Este bombardeo no es uniforme y sufre
Un proceso {Xt , t ≥ 0} es Gaussiano (o proceso normal) si
variaciones estocásticas importantes, ya que la presión ejercida sobre la partı́cula puede
variar por distintos factores.
n
X
ak Xtk
k=1
Entrando más en contexto, la expresión matemática del movimiento Browniano está
asociado con la ecuación de difusión
se distribuye normal para cada elección de n ∈ IN, t1 , . . . , tn ∈ T y a1 , . . . , an ∈ IR. Más
n
P
aún, si denotamos con ϑ a la suma
ak Xtk , entonces
m
k=1
E[ϑ]
V ar(ϑ)
=
=
n
P
ak η(tk )
k=1
n P
n
P
dXt
d2 Xt
= −λ
+ η(t)
dt2
dt
para Xt posición de la partı́cula en el tiempo t, m masa de la partı́cula, un término de
ruido η(t)
ak aj R(tk , tj )
k=1 j=1
es decir, para cualquier proceso Gaussiano la distribución de ϑ queda definida por la
Ecuaciones Diferenciales Estocásticas
media y autocorrelación.
Posiblemente la aplicación más interesante de los procesos Gaussianos es el
movimiento Browniano {Bt , t ≥ 0} con las propiedades E[Bt ] = 0 y E[(Bt − Bs )2 ] =
|t − s| o el proceso de Wiener {Wt , t ∈ IR} con E[Wt ] = 0 y



mı́n {|s|, |t|}




R(t, s) =
0





 mı́n {s, t}
para s, t ≤ 0,
para mı́n {s, t} ≤ 0 ≤ máx {s, t} , .
Como punto de partida, no se debe perder de vista que resolver una ecuación diferencial
implica la necesidad de integrar el problema, de modo que la integral provee la solución
de la ecuación. Por ejemplo,
dy
= a(x) ≡ dy = a(x)dx ⇔ y = C +
dx
Zt
Xt = X0 +
Note que se puede verificar que en ambos casos se deben tener incrementos estacionarios
Se conoce como movimiento browniano al movimiento aleatorio que se observa en
a(x)dx.
R
Ası́, Un proceso de difusión de Itô {Xt , t ≥ 0}0≤t≤T satisface
para 0 ≤ s, t,
e independientes.
Z
Zt
a(Xu , u)du +
0
b(Xu , u)dWu
0
en donde {Wt , t ≥ 0}0≤t≤T es un movimiento Browniano; y a su vez, se puede escribir
en forma equivalente como
partı́culas microscópicas inmersas en un fluido, como polen en una gota de agua o
partı́culas de carbón en alcohol. Se conocen ası́ en honor al británico Robert Brown,
dXt = X0 + a(Xt , t)dt + b(Xt , t)dWt .
biólogo – botánico que descubrió esta dinámica de partı́culas en 1827. Observó que
pequeñas partı́culas de polen se desplazaban en movimientos aleatorios sin razón
Algunas veces a la función a se le llama coeficiente de flujo y a la función b se le conoce
aparente, pero ya habı́a sido descrito antes por el médico británico Jan Ingenhousz
como coeficiente de difusión.
en 1785.
Es evidente que los métodos comunes de integración Riemann-Stieltjes no se pueden
Se sabe ahora que este movimiento estocástico se debe principalmente a que su
utilizar para estimar trayectorias Brownianas; no obstante, se tiene más de una
superficie (de la partı́cula) es bombardeada constantemente por las moléculas del
alternativa para buscar una solución. Una alternativa puede ser aproximar la solución
I9880 – Estadı́stica y Procesos Estocásticos – Ingenierı́a Robótica.
Depto. de Cs. Computacionales, DIVEC, CUCEI, UdeG.
Introducción a los Procesos Estocásticos
Laura E. Cortés N. – Rubén Sánchez G.
Actividad 12, pág. 2 de 2
usando un esquema Euleriano, recordando que
Xt+h
=
Xt +
t+h
R
a(Xu , u)du +
t
≈
1) Obtenga la solución de la ecuación. 2) Calcule EXt 3) Obtenga V ar(Xt ) 4) Calcule
t+h
R
b(Xu , u)dWu
t
Xt + a(Xt , t)
t+h
R
du + b(Xt , t)
t
=
t+h
R
dWu
t
Cov(Xt , Xs ) 5) Genere una representación gráfica de la ecuación para los valores
1
7
x0 = 3, α = y σ = 6) Considere una solución de la forma
2
9


Zt
Xt = a(t) x0 + b(s)dBs 
Xt + a(Xt , t)h + b(Xt , t)(Wt+h − Wt )
0
y dado que Wt+h − Wt ∼ N (0, h) para h = tj − tj−1 , se puede construir la ecuación de
en donde a(t) y b(t) son funciones diferenciables. Usando la fórmula de Itô, obtenga
recurrencia
una ecuación diferencial equivalente.
√
bt
b
b
b
hZj
X
j+1 = Xtj + a(Xtj , tj )h + b(Xtj , tj )
en donde {Zj }k−1
j=0 son i.i.d. N (0, 1).
Bibliografı́a
[1] Kannan, D. (1979) An introduction to stochastic processes, Elsevier North Holland,
Objetivos:
Inc., Capı́tulo 9.
a) Que el alumno resuelva ecuaciones diferenciales estocásticas. b) Que obtenga
representaciones gráficas de sus soluciones.
Reportes entregables:
NOTA: Resuelva usando software [MatLab(octave) preferible] y entregue (por correo
electrónico) sus respuestas en un archivo PDF (Portable Document Format)
Fecha de entrega: Domingo 29 de noviembre de 2015.
a) Genere una representación gráfica de una simulación del movimiento Browniano.
b) Sea Yt = (Xt1 , Xt2 ) un vector estocástico para Xt1 , Xt2 procesos Gaussianos. Verifique
si Yt es un proceso Gaussiano.
c) Genere una representación gráfica de una simulación de un proceso de Wiener.
d) Verifique si el proceso de Wiener es devilmente estacionario.
e) Sean α y σ dos constantes positivas. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es aquel que
satisface la ecuación diferencial estocástica
dXt
=
−αXt dt + σdBt
X0
=
x0
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