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Álgebra
ÁLGEBRA
Sesión No. 2
Nombre: Fundamentos de álgebra. Parte II.
Objetivo: al finalizar la sesión, el estudiante conocerá e identificará las
expresiones racionales, las diferentes formas de representar exponentes, las
ecuaciones cuadráticas y las diferentes formas de resolverlas. Así como las
desigualdades y qué define su valor absoluto.
Contextualización
¿Por qué expresar de manera algebraica?
Generalmente el ser humano siempre busca reducir o sintetizar las cosas,
precisamente eso es lo que hace el álgebra.
Una de las características del álgebra es la de expresar situaciones de la vida
cotidiana por resolver, con expresiones que pudieran parecer complejas para
quien no esté familiarizado con el lenguaje algebraico.
Aunque en las matemáticas generalmente se quiere llegar a un equilibrio
haciendo uso de las ecuaciones, en situaciones reales no siempre sucede así,
por lo que el uso y comprensión de las inecuaciones o desigualdades es parte
del álgebra.
¿Sabes cómo son las expresiones algebraicas e interpretarlas?
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Introducción al Tema
Te has preguntado ¿Qué son las expresiones algebraicas?
Las expresiones algebraicas son conjuntos de literales y cantidades numéricas
que se relacionan entre sí por signos de operaciones aritméticas, no siempre
tendrán una forma sencilla de representarse e igualmente su manejo. Tal es el
caso de las expresiones racionales donde se deben aplicar métodos de
factorización de polinomios con la finalidad de simplificar la expresión como una
forma de resolverlas.
El manejo correcto de los exponentes, ya sea enteros o fraccionarios, responde
a reglas que se deben seguir con la finalidad de obtener una respuesta correcta.
Las ecuaciones cuadráticas pueden representar alguna situación a resolver y
para su manejo existen diferentes métodos. Cuando una situación a resolver no
necesariamente es una ecuación, entonces se aplican las desigualdades.
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Explicación
1.6 Expresiones racionales
¿Qué es una expresión racional?
Una expresión racional es una fracción que tiene un polinomio en el
denominador o en el numerador o en ambos, siempre y cuando el denominador
no sea igual a 0.
Se dice que la forma más simple de una expresión racional se da cuando no hay
factores comunes entre el numerador y el denominador.
Con las expresiones racionales se pueden realizar operaciones como suma,
resta, multiplicación y división entre otras, simplificando el proceso con
factorización de polinomios.
1.7 Exponentes enteros y raíces reales
¿Qué relación hay entre los exponentes y los radicales?
Un exponente entero indica cuantas veces el factor, llamado base, se
multiplicará por sí mismo. Éste concepto es muy útil para expresar grandes
cantidades de manera corta. Al resultado obtenido al elevar la base a un
exponente se le llama potencia.
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Existen tres casos especiales:
1. Cuando el exponente es 1, la potencia es igual a la base: a1 = a
2. Cuando el exponente es 0, la potencia es igual a 1: a0 = 1
3. Cuando el exponente es negativo, se deberá obtener su inverso:
La radicación es la operación inversa a la potenciación, es decir, la raíz del
radicando es el número o la expresión algebraica que al multiplicarse por sí
mismo la cantidad de veces denotado por el índice, da como resultado el
radicando. Cuando se trata de la raíz cuadrada se puede omitir el índice.
Un radical también se puede expresar como una potencia pero fraccionaria,
ejemplo:
1.8 Ecuaciones cuadráticas
¿Qué es una ecuación cuadrática?
A cualquier ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números
reales y a ≠ 0, se le llama ecuación cuadrática o de segundo grado. La gráfica de
este tipo de ecuaciones es una parábola la cual puede abrir hacia arriba o hacia
abajo.
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Para resolver ecuaciones cuadráticas existen varios métodos y dependiendo del
tipo de ecuación será el método apropiado que se utilice. Los métodos más
conocidos son: factorización, raíz cuadrada, completando el trinomio cuadrado
perfecto y la fórmula general.
1.9 Desigualdades y valor absoluto
¿Qué es una desigualdad?
Las desigualdades son expresiones matemáticas que contiene un signo de
desigualdad y son también llamadas inecuaciones.
Una desigualdad puede ser absoluta cuando no depende de las variables y,
condicional cuando la desigualdad se cumple sólo para ciertos valores de las
variables.
El valor absoluto está indicado cuando se encierra el número, variable o
expresión entre dos barras verticales. Describe su distancia al 0 por lo que su
valor siempre es positivo o 0.
En el caso de las desigualdades, el valor absoluto está definido por dos posibles
valores de la variable original (positivo o negativo), por lo cual deben ser
evaluadas para ambos casos.
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Conclusión
Las expresiones racionales algebraicas contienen polinomios en su numerador,
o denominador o en ambos. La manera más sencilla de emplearlos es
factorizando para simplificar.
El uso de los exponentes y radicales requiere del conocimiento de sus leyes, de
alguna manera son operaciones opuestas.
Las ecuaciones cuadráticas también son conocidas como ecuaciones de
segundo grado y su gráfica es una parábola. Existen varios métodos para
resolverlas.
Las desigualdades son expresiones algebraicas que a diferencia de las
ecuaciones contienen un símbolo de desigualdad.
¿Por qué es tan importante el conocimiento del plano cartesiano?
¿Cuál es la utilidad de un modelo matemático?
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Para aprender más
¿Cómo resolver expresiones racionales?
S/a (s/f). Expresiones racionales. Información Disponible en:
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/ratexp/ratexpesp_home.html
¿Qué maneras hay para resolver una ecuación cuadrática?
S/a (s/f). Ecuaciones cuadráticas. Información Disponible en:
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/ecuadw.htm
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Actividad de Aprendizaje
Instrucciones:
Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta
sesión, deberás realizar una actividad en la cual resolverás ejercicios
relacionados con los temas estudiados, donde aplicarás los conocimientos y
habilidades obtenidos.
Desarrollo:
1.- Aplicando métodos de factorización (vistos en la sesión anterior), simplifica
las
siguientes
expresiones
racionales:
2.- Factoriza las siguientes funciones cuadráticas e identifica sus raíces, si
existen.
f(x) = x2 – 20x + 100
g(x) = 2x2 – 16x + 35
y = – x2 – 2x + 3
h(x) = 2x2 – 4x
3.- Resuelve y obtén el rango de valores de x para los cuales se cumple cada
desigualdad:
2x – 10 ≤ 0
4 – 2x > - 5x + 10
7x – 3 < 9 + 6x
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Recuerda que esta actividad te ayudará a entender y apropiarte del
conocimiento de las expresiones racionales, ecuaciones cuadráticas y
desigualdades, lo cual te facilitará su aplicación en temas más complejos.
Guarda tu actividad en un formato PDF y entrégala de acuerdo a las
indicaciones de tu profesor.
Esta actividad representa el 5% de tu calificación y se tomará en cuenta lo
siguiente:
Carátula.
Desarrollo completo y correcto de las actividades o ejercicios planteados.
Respuestas completas y correctas.
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Bibliografía
Rees, P. (1991). Álgebra. México: Mc Graw Hill.
Cibergrafía
Diez, C (1998). Fundamentos de álgebra. Información disponible en:
http://www.uamenlinea.uam.mx/materiales/matematicas/alg_basica/ADALID_DIE
Z_DE_U_CLARAMARTHA_Fundamentos_de_algebra.pdf
S/a (2006). Desigualdades. Información disponible en:
http://cremc.ponce.inter.edu/topicos/desigualdades.htm
S/a (s/f). Exponentes y radicales. Información disponible en:
http://gauss.acatlan.unam.mx/mod/resource/view.php?id=58
S/a (s/f). Expresiones racionales. Información disponible en:
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/ratexp/ratexpesp_home.html
S/a (s/f). Ecuaciones cuadráticas. Información disponible en:
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/ecuadw.htm
S/a (s/f). Simplificando expresiones racionales. Información disponible en:
http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURC
E/U11_L1_T1_text_final_es.html
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