1. No category

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
LECCION N° 08
INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Se debe tener muy claro cuál es la derivada de cada una de las funciones trigonométricas
estudiadas.
Daremos a continuación la lista de las fórmulas:
1.
∫ a cos u ⋅ du = a ⋅ senu +C
Si u = f (x) entonces du = f ' ( x)dx por lo que
Ejemplos:
a.
∫ 2 x cos x
2
dx = senx 2 + C
Note que u = x 2 y du = 2 x ⋅ dx
b.
∫
cos x
1
dx = 2 ∫
cos x ⋅ dx = 2 ⋅ sen x + C
x
2 x
Note que u =
c.
x y du =
5
dx
2 x
5
∫ 5 ⋅ cos 4 x ⋅ dx = 4 ∫ 4 ⋅ cos 4 x ⋅ dx = 4 ⋅ sen4 x + C
Ejercicios:
2.
∫ a ⋅ senu ⋅ du = −a ⋅ cos u +C
Si u = f (x) entonces du = f ' ( x)dx por lo que
52
UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
Ejemplos:
3
a.
∫ 3 ⋅ sen5x ⋅ dx = 5 ∫ 5 ⋅ sen5x ⋅ dx =
b.
∫x
2
(
−3
cos 5 x + C
5
)
sen x 3 + 4 dx
Note que u = x 3 + 4 y
c.
∫ 4 x ⋅ sen(4 − x )dx
2
Note que
=
(
)
4
− 2 x ⋅ sen 4 − x 2 dx
∫
−2
u = 4 − x 2 y du = −2 x ⋅ dx
Ejercicios:
cos 6 x
∫ sen(6 x ) + 4 dx
(
)
sen 4e − x
∫ e x dx
3.
senu
∫ a ⋅ tan u ⋅ du = a ∫ cos u du = −a ∫


Válido para u ∈ R / u ≠
− senu
du = −a ⋅ ln cos x + C
cos u
π

+ n ⋅ π , n ∈ Z
2

Si u = f (x) entonces du = f ' ( x)dx , por lo que
53
UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
Ejemplos:
1
a.
∫ tan 6 x ⋅ dx = 6 ∫ 6 ⋅ tan 6 x ⋅ dx =
b.
∫e
x
−1
ln cos 6 x + C
6
tan e x dx = − ln cos e x + C
Note que u = e x , du = e x dx
Ejercicios:
∫
tan 3 x
3
x2
dx
tan (e senx )
∫ sec x dx
4.
cos u
∫ a ⋅ cot u ⋅ du = a ∫ senu du = a ⋅ ln senu + C
Válido para {u ∈ R / u ≠ n ⋅ π }, n ∈ Z
Si u = f (x) entonces du = f ' ( x)dx , por lo que
Ejemplos:
a.
∫ x ⋅ cot (x
b.
∫
2
+ 4)dx
cot x
1
dx = 2 ∫
cot x dx = 2 ⋅ ln sen x + C
x
2 x
54
UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
Ejercicios:
5.
∫ a ⋅ sec
2
u ⋅ du = a ⋅ tan u + C


Válida para u ∈ R / u ≠
π

+ n ⋅ π , n ∈ Z
2

Si u = f (x) entonces du = f ' ( x)dx , por lo que
Ejemplos:
a.
∫ 2 ⋅ sec
2
3x ⋅ dx =
2
2
3 sec 2 3x ⋅ dx = tan 3 x + C
∫
3
3
1
sec 2  
 x dx = − − 1 sec 2  1 dx = − tan 1  + C
b. ∫
 
∫ x 2  x 
x2
 x
sec 2 (ln x )
c. ∫
dx = tan (ln x ) + C
x
Si u = ln x, du =
1
dx
x
Ejercicios:
55
UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
6.
∫ a ⋅ csc
2
u ⋅ du = −a ⋅ cot u + C
Esta fórmula tiene sentido si {u ∈ R / u ≠ n ⋅ π }, n ∈ Z
Si u = f (x) entonces du = f ' ( x)dx y por tanto
Ejemplos:
a.
1
−1
∫ 2 x ⋅ csc (5x )dx = 5 ∫ 10 ⋅ csc (5x )dx = 5 cot (5 x ) + C
b.
dx
1
∫ x ⋅ sen (ln x ) = ∫ x csc (ln x )dx
c.
2
2
2
2
2
2
2
∫
csc 2
( x )dx = 2
x
Note que si u =
∫2
1
x
csc 2 x dx = −2 cot x + C
x entonces du =
dx
2 x
Ejercicios:
7.
∫ sec u ⋅ tan u ⋅ du = sec u + C


Esta igualdad es válida para u ∈ R / u ≠
π

+ n ⋅ π , n ∈ Z
2

Si u = f (x) entonces du = f ' ( x)dx , por lo que
56
UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
Ejemplos:
1
a.
∫ sec(5x ) tan(5 x )dx = 5 ∫ sec(5 x ) tan(5x )dx
b.
∫e
x
sec e x tan e x dx = sec e x + C
( )
( )
( )
x ⋅ sen x 2
sen x 2
dx = ∫ x
c. ∫
dx = ∫ x ⋅ sec x 2 tan x 2 dx
2
2
2
2
cos x
cos x cos x
Ejercicios:
8.
∫ csc u ⋅ cot u ⋅ du = − csc u + C
Esta igualdad vale para {u ∈ R / u ≠ n ⋅ π }, n ∈ Z
Si u = f (x) entonces du = f ' ( x)dx , por lo que
Ejemplos:
a.
1
∫ x ⋅ csc(4 x )cot (4 x )dx = 8 ∫ 8 x ⋅ csc(4 x )cot(4 x )dx
b.
∫ tan 3x dx = 3 ∫ 3 ⋅ csc 3x ⋅ cot 3x ⋅ dx =
2
csc 3x
2
1
2
2
−1
csc 3x + C
3
57
UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
c.
e x cos e x
cos e x dx
x
x
x
x
dx
e
=
∫ sen 2 e x
∫ sen ⋅ e x ⋅ sen ⋅ e x = ∫ e ⋅ cot e ⋅ csc e dx
= − csc e x + C
Ejercicios:
9. Calculemos ahora
∫ sec u ⋅ du . Para ello se multiplica el
numerador y el denominador
por la expresión sec u + tan u en la forma siguiente:
Según lo estudiado sobre la integral que da como resultado la función logaritmo
natural, ya que si f (u ) = sec u + tan u entonces f ' (u ) = sec u ⋅ tan u + sec 2 u y se tiene
por tanto una integral de la forma
∫
f ' (u )du
f (u )
El resultado anterior es válido para:
Si u = f (x) entonces du = f ' ( x)dx , por lo que:
Ejemplos:
1
1
a.
∫ sec 6 x ⋅ dx = 6 ∫ 6 sec 6 x ⋅ dx = 6 ln sec 6 x + tan 6 x + C
b.
∫ 3x ⋅ sec x
2
dx =
3
3
2 x ⋅ sec x 2 dx = ln sec x 2 + tan x 2 + C
∫
2
2
58
UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
c.
∫
sec(ln x )
dx = ln sec(ln x ) + tan (ln x ) + C
x
Ejercicios:
10. En forma similar al procedimiento seguido en el caso anterior calcularemos
∫ csc u ⋅ du
Este resultado es válido para {u ∈ R / u ≠ n ⋅ π }, n ∈ Z
Si u = f (x) entonces du = f ' ( x)dx , por lo que:
Ejemplos:
1
1
2 x ⋅ csc x 2 dx = ln csc x 2 − cot x 2 + C
∫
2
2
a.
∫ x ⋅ csc x
b.
∫e
c.
∫ x csc x dx = −3∫ x
x
3
2
dx =
csc e x dx = ln csc e x − cot e x + C
1
−1
2
1
csc dx
 x
59
UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
Ejercicios:
60