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Medias y varianza de combinaciones
lineales de variables aleatorias
Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC
Medias y varianza de combinaciones
lineales de variables aleatorias
Estas propiedades nos permitirán ocuparnos de
las esperanzas matemáticas en términos de
otros parámetros que ya conocemos o que ya
calculamos con facilidad.
Teorema
Si a y b son constantes, entonces,
𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏
Ejemplo 1
Suponga que el numero de automóviles X que pasa
por un local de lavado de autos entre las 4:00 p.m. y
las 5:00 p.m. de cualquier viernes soleado tiene la
siguiente distribución de probabilidad:
x
4
5
6
7
8
9
P(X=x)
1/12
1/12
1/4
1/4
1/6
1/6
Sea g(X) = 2X – 1 la cantidad de dinero en dólares
que el administrador paga al operador. Calcule las
ganancias esperadas del operador en este periodo
específico.
Ejemplo 1
Solución:
𝐸 𝑔(𝑋) = 𝐸 2𝑋 − 1 = 𝐸 2𝑋 − 1
𝐸 𝑔(𝑋) = 2𝐸 𝑋 − 1
Entonces
x
4
P(X=x)
1/12
𝐸 𝑋 =4
1
12
5
6
1/12
1/4
𝐸𝑋 =
+5
1
12
𝑥
+6
1
4
7
8
9
1/4
1/6
1/6
𝑥𝑓 𝑥
+7
41
𝐸𝑋 =
6
1
4
+8
1
6
+9
1
6
Ejemplo 1
Solución:
41
6
Finalmente como 𝐸 𝑋 =
y deseando determinar
𝐸 𝑔(𝑋) = 2𝐸 𝑋 − 1
Reemplazamos
41
𝐸 𝑔(𝑋) = 2
−1
6
𝐸 𝑔(𝑋) = $12,67
Ejemplo 2
Sea X una variable aleatoria con función de
densidad
𝑥3
𝑓 𝑥 = 3 ,
0,
2 > 𝑥 ≻ −1
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Calcule el valor esperado de g(X) = 4X + 3.
Ejemplo 2
Solución:
𝐸 𝑔(𝑋) = 𝐸 4𝑋 + 3 = 𝐸 4𝑋 + 3
𝐸 𝑔(𝑋) = 4𝐸 𝑋 + 3
Entonces
∞
μ=𝐸 𝑋 =
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
−∞
2
𝑥2
𝐸𝑋 =
𝑥
𝑑𝑥
3
−1
Ejemplo 2
Solución:
𝑥4 2
𝐸𝑋 =
12 −1
24
−1 4 15 5
𝐸𝑋 =
−
=
=
12
12
12 4
Reemplazando de: 𝐸 𝑔(𝑋) = 4𝐸 𝑋 + 3
5
𝐸 𝑔(𝑋) = 4
+3=8
4
Teorema
El valor esperado de la suma o diferencia de dos o mas
funciones de una variable aleatoria X es la suma o
diferencia de los valores esperados de las funciones. Es
decir,
𝐸 𝑔(𝑋) ± ℎ(𝑋) = 𝐸 𝑔(𝑋) ± 𝐸 ℎ(𝑋)
Ejemplo 3
Sea X una variable aleatoria con la siguiente
distribución de probabilidad:
x
0
1
2
3
P(X=x)
1/3
1/2
0
1/6
Calcule el valor esperado de Y = (X – 1)2.
Ejemplo 3
Solución:
Conocemos que:
𝐸 𝑔(𝑋) ± ℎ(𝑋) = 𝐸 𝑔(𝑋) ± 𝐸 ℎ(𝑋)
Y se requiere el valor esperado de : Y = (X – 1)2
Ahora:
𝐸 𝑋−1
2
= 𝐸 𝑋2 − 2𝑋 + 1
Entonces
𝐸 𝑋−1
2
= 𝐸 𝑋2 − 2𝐸[𝑋] + 1
Ejemplo 3
Solución:
Como se sabe que
x
0
1
2
3
P(X=x)
1/3
1/2
0
1/6
𝐸𝑋 =
𝑥𝑓 𝑥
𝑥
1
1
1
𝐸 𝑋 =0
+1
+2 0 +3
=1
3
2
6
𝐸𝑋 =
02
1
1
1
2
2
2
+1
+2 0 +3
=2
3
2
6
Ejemplo 3
Solución:
De la ecuación:
𝐸 𝑋−1
2
= 𝐸 𝑋2 − 2𝐸[𝑋] + 1
Reemplazamos:
𝐸 𝑋−1
2
=2−2 1 +1
Nos queda:
𝐸 𝑋−1
2
=1
Ejemplo 4
La demanda semanal de cierta bebida en una
cadena de tiendas de abarrotes, en miles de
litros, es una variable aleatoria continua
g(X) = X 2 + X – 2, donde X tiene la siguiente
función de densidad
2(𝑥 − 1),
2>𝑥≻1
𝑓 𝑥 =
0,
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Calcule el valor esperado para la demanda
semanal de la bebida.
Ejemplo 4
Solución:
Conocemos que:
𝐸 𝑔(𝑋) ± ℎ(𝑋) = 𝐸 𝑔(𝑋) ± 𝐸 ℎ(𝑋)
Y se requiere el valor esperado de :
g(X) = X2+X − 2
Ahora:
𝐸 X2+X − 2 = 𝐸 𝑋2 + 𝐸 𝑋 − 2
Entonces
𝐸 g(X) = 𝐸 𝑋2 + 𝐸 𝑋 − 2
Ejemplo 2
Solución:
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:
∞
𝐸𝑋 =
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
−∞
2
𝐸 𝑋2 =
𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
Ejemplo 2
Solución:
2
𝐸𝑋 =
2𝑥 𝑥 − 1 𝑑𝑥
1
2
3
2
𝑥
𝑥
𝐸 𝑋 =2
(𝑥2 − 𝑥)𝑑𝑥 = 2
−
3
2
−1
𝐸𝑋 = 2
23 22
13 12
−
−
−
3
2
3
2
2
1
Ejemplo 2
Solución:
𝐸𝑋 = 2
𝐸𝑋 = 2
𝐸𝑋 = 2
8 4
1 1
−
−
−
3 2
3 2
16 − 12
2−3
−
6
6
4
−1
−
6
6
5
=
3
Ejemplo 2
Solución:
2
𝐸 𝑋2 =
2𝑥2 𝑥 − 1 𝑑𝑥
1
2
4
3
𝑥
𝑥
𝐸 𝑋2 = 2
(𝑥3 − 𝑥2)𝑑𝑥 = 2
−
4
3
−1
𝐸 𝑋2 = 2
24 23
14 13
−
−
−
4
3
4
3
2
1
Ejemplo 2
Solución:
𝐸 𝑋2 = 2
𝐸 𝑋2 = 2
𝐸 𝑋2
16 8
1 1
−
−
−
4 3
4 3
4
1
− −
3
12
4 1
=2
+
3 12
16 + 1
17
= 2
=
12
6
Ejemplo 4
Reemplazando:
De:
𝐸 g(X) = 𝐸 𝑋2 + 𝐸 𝑋 − 2
17 5
17 + 10 − 12 15
𝐸 g(X) =
+ −2=
=
6 3
6
6
5
𝐸 g(X) =
2
Teorema
El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más
funciones de las variables aleatorias X y Y es la suma o
diferencia de los valores esperados de las funciones. Es
decir,
𝐸 𝑔(𝑋, 𝑌) ± ℎ(𝑋, 𝑌) = 𝐸 𝑔(𝑋, 𝑌) ± 𝐸 ℎ(𝑋, 𝑌)
Corolario
Si establecemos que g(X, Y) = X y h(X, Y) = Y, vemos que
𝐸 𝑋±𝑌 =𝐸 𝑋 ±𝐸 𝑌
Teorema
Sean X y Y dos variables aleatorias independientes.
Entonces,
𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌
Corolario
Sean X y Y dos variables aleatorias independientes.
Entonces, σXY = 0.
Teorema
Si X y Y son variables aleatorias con distribución de
probabilidad conjunta f (x, y), y a, b y c son constantes,
entonces
2
2𝜎 2 +𝑏2𝜎 2 +2𝑎𝑏𝜎
𝜎aX
=
𝑎
X
Y
XY
+bY +c
Ejemplo 5
Si X y Y son variables aleatorias con varianzas σ2 X = 2 y σ2
Y = 4 y covarianza σXY = –2, calcule la varianza de la
variable aleatoria Z = 3X – 4Y + 8
Ejemplo 5
Solución: por teorema sabemos que
2
2𝜎 2 +𝑏2𝜎 2 +2𝑎𝑏𝜎
𝜎aX
=
𝑎
X
Y
XY
+bY +c
Y del problema se requiere
𝜎32X −4Y +8
Entonces:
2
2𝜎 2 +42𝜎 2 +2(3)(−4)𝜎
𝜎aX
=
3
X
Y
XY
+bY +c
2
𝜎aX
+bY +c = 9 2 + 16 4 − 24 −2 = 130
Gracias