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Procesos Estocásticos
I período 2015
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS
Facultad de Ciencias - Escuela de Matemática
Tarea #1 de Procesos Estocásticos
Problema 1 La densidad conjunta de Y1 , la proporción de la capacidad del tanque que se abastece al
principio de la semana, y Y2 , la proporción de la capacidad vendidad durante la semana, esta dada por

0 ≤ y2 ≤ y1 ≤ 1,
 3y1
f ( y1 , y2 ) =

0
en otro caso
a) Encuentre F (1/2, 1/3)
b) Encuentre P(Y2 ≤ Y1 /2), la probabilidad de que la cantidad vendida sea menor que la mitad de la
cantidad comprada.
c) Encuentre la función de densidad marginal para Y2
d) ¿Para qué valores de y2 está definida la densidad condicional f (y1 |y2 )
Problema 2 Denote con Y1 y Y2 las proporciones de dos tipos diferentes de componentes en una muestra
proveniente de una mezcla de productos químicos usados como insecticida. Suponga que Y1 y Y2 tienen la
función de densidad conjunta dada por

0 ≤ y1 ≤ 1, 0 ≤ y2 ≤ 1, 0 ≤ y1 + y2 ≤ 1,
 2
f ( y1 , y2 ) =

0
en otro caso
(Observe que Y1 + Y2 ≤ 1 porque las variables aleatorias denotan proporciones dentro de la misma muestra.)
Encuentre
a) P(Y1 ≤ 3/4, Y2 ≤ 3/4).
b) P(Y1 ≤ 1/2, Y2 ≤ 1/2).
Problema 3 A continuación se da la función de probabilidad conjunta asociada con datos obtenidos en un
estudio de accidentes automovilísticos en los que un niño (de menos de 5 años de edad) estaba en el auto y
hubo al menos una persona muerta. Específicamente, el estudio se concentró en si el niño sobrevivió y qué
tipo de cinturón de seguridad (si lo había) utilizaba. Defina
0 , si el niño sobrevivió
Y1 =
1 , si no

 0 , si no usaba cinturón
1 , si usaba cinturón para adulto
Y2 =

2 , si usaba cinturón del asiento del auto
Lic. Angel Rivera
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Observe que Y1 es el número de fallecimientos por niño y, como los asientos para niños del auto tienen por
lo general dos cinturones, Y2 es el número de cinturones de seguridad que se usaban en el momento del
accidente.
y1
y2
0
1
Total
0
.38
.17
.55
1
.14
.02
.16
2
.24
.05
.29
Total
.76
.24
1.00
Cuadro 1: Función de probabilidad para Y1 y Y2
a) Verifique que la función satisface una función de probabilidad.
b) Encuentre F (1, 2). ¿Cuál es la interpretación de este valor?
c) Proporcione las funciones de probabilidad marginal para Y1 y Y2 .
d) Proporcione la función de probabilidad condicional para Y2 dado que Y1 = 0.
Problema 4 Suponga que Y1 es el tiempo total entre la llegada de un cliente a la tienda y su salida desde
la ventanilla de servicio, Y2 es el tiempo empleado en la fila de espera antes de llegar a la ventanilla y la
densidad conjunta de estas variables es
 −y
 e 1 , 0 ≤ y2 ≤ y1 ≤ ∞
f ( y1 , y2 ) =

0
en otro caso
a) Encuentre las funciones de densidad marginal para Y1 y Y2 .
b) ¿Cuál es la función de densidad condicional de Y1 dado que Y2 = y2 ? Asegúrese de especificar los
valores de y2 para los cuales está definida esta densidad condicional.
c) ¿Cuál es la función de densidad condicional de Y2 dado que Y1 = y1 ? Asegúrese de especificar los
valores de y1 para los cuales está definida esta densidad condicional.
d) ¿La función de densidad condicional f (y1 |y2 ) que obtuvo en el inciso b es la misma que la función
de densidad marginal f 1 (y1 ) hallada en el inciso a?
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Problema 5 Si una partícula radiactiva se coloca en un cuadrado con lados de longitud unitaria, un modelo
razonable para la función de densidad conjunta para Y1 y Y2 es

 1 , 0 ≤ y1 ≤ 1, 0 ≤ y2 ≤ 1,
f ( y1 , y2 ) =

0
en otro caso
a) ¿Y1 y Y2 son independientes?
b) ¿Cuál es E[Y1 − Y2 ]?
c) ¿Cuál es E[Y1 Y2 ]?
d) ¿Cuál es E[Y12 + Y22 ]?
Problema 6 La vida útil Y para cierto tipo de fusibles está modelada por la distribución exponencial, con
 1 −y/3
, y > 0,
 3e
f (y) =

0
en otro caso
(Las mediciones son en cientos de horas.)
a) Si dos de esos fusibles tienen vidas útiles independientes Y1 y Y2 , encuentre la función de densidad
de probabilidad conjunta para Y1 y Y2 .
b) Un fusible en el inciso a) está en un sistema primario y el otro está en el sistema de respaldo que
entra en uso sólo si falla el sistema primario. La vida útil efectiva total de los dos fusibles es entonces
Y1 + Y2 . Encuentre P(Y1 + Y2 ≤ 1).
c) Una forma de medir la eficiencia relativa de los dos componentes es calcular la relación Y2 /Y1 .
Encuentre E[Y2 /Y1 ].
Problema 7 Sea Z una variable aleatoria normal estándar y sean Y1 = Z y Y2 = Z2 .
a) ¿Cuáles son E[Y1 ] y E[Y2 ]?
b) ¿Cuál es E[Y1 Y2 ]?
c) ¿Cuál es Cov(Y1 , Y2 )?
d) Observe que P(Y2 > 1|Y1 > 1) = 1. ¿Y1 y Y2 son independientes?
Problema 8 Si Y tiene una distribución geométrica con probabilidad de éxito p, demuestre que la función
generadora de momentos para Y es
pet
M(t) =
1 − qet
donde q = 1 − p.
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Problema 9 Muestre que el r-ésimo momento alrededor del origen de la distribución gamma es
µr0 =
βr Γ ( α + r )
Γ(α)
Problema 10 Una variable aleatoria X tiene la distribución uniforme discreta con parámetro k

1



, x = 1, 2, · · · , k
k
f X (x) =



0
en otro caso
Muestre que la función generadora de momentos de X es
MX ( t ) =
et (1 − ekt )
k (1 − e t )
Problema 11 Mediante la expansión de etx en una serie de McLaurin y la integración término por término,
muestre que
Z ∞
t2
tr
MX ( t ) =
etx f ( x )dx = 1 + µt + µ20 + · · · + µr0 · · ·
2!
r!
−∞
(Indicacion: µ primer momento, µ2 segundo momento, etc.)
Problema 12 Denote con Y una variable aleatoria de Poisson con media λ. Encuentre la función generadora
de probabilidad para Y y úsela para hallar E[Y ] y V [Y ].
Problema 13 Una corriente eléctrica fluctuante I puede ser considerada una variable aleatoria uniformemente
distribuida en el intervalo (9, 11). Si esta corriente pasa por un resistor de 2 ohms, encuentre la función de
densidad de probabilidad de la potencia P = 2I 2 .
Problema 14 Si X tieen la distribución de probabilidad

2( x + 1)



, −1 < x < 2
9
f (x) =



0
en otro caso
Encuentre la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y = X 2 .
Problema 15 Si X tieen la distribución de probabilidad

1+x



, −1 < x < 1
2
f (x) =



0
en otro caso
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Encuentre la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y = X 2 .
Problema 16 Suponga que Y1 y Y2 son variables aleatorias normales estándar e independientes. Encuentre
la función de densidad de U = Y12 + Y22 .
Problema 17 Sean Y1 y Y2 que tienen la función de densidad conjunta

0 ≤ y1 < y2 ≤ 1,
 8y1 y2
f Y1 Y2 (y1 , y2 ) =

0
en otro caso
y U1 = Y1 /Y2 y U2 = Y2 .
a) Deduzca la función de densidad conjunta para (U1 , U2 ).
b) Demuestre que U1 y U2 son independientes.
Problema 18 Suponga que Y1 y Y2 son variables aleatorias e independientes distribuidas exponencialmente,
ambas con media β y defina U1 = Y1 + Y2 y U2 = Y1 /Y2 .
a) Demuestre que la densidad conjunta de (U1 , U2 ) es

1
1

−u /β

 2 u1 e 1
β
(1 + u2 )2
f U1 U2 (u1 , u2 ) =



0
, 0 < u1 , 0 < u2
en otro caso
b) ¿U1 y U2 son independientes? ¿Por qué?
Problema 19 Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes que tienen cada una la distribución de
probabilidad
 −x
, z>0
 e
f (x) =

0
en otro caso
Muestre que las variables aleatorias Y1 = X1 + X2 y Y2 = X1 /( X1 + X2 ).
Problema 20 Si X1 , X2 , · · · , Xn son variables aleatorias independientes y Xi sigue una distribución normal
con media µi y varianza σi2 para i = 1, 2, · · · , n, entonces, la variable aleatoria
n Xi − µ i 2
Y=∑
σi
i =1
tiene una distribución chi cuadrada con v = n grados de libertad.
Lic. Angel Rivera