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Varianza y covarianza de
variables aleatorias
Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC
Varianza y covarianza de variables
aleatorias
Varianza y desviación estándar
Sea X una variable aleatoria con distribucion de
probabilidad f (x) y media μ. La varianza de X es
𝜎 2 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇)2 =
(𝑥 − 𝜇)2 𝑓(𝑥)
𝑥
Si X es discreta
𝜎 2 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇)2 =
∞
(𝑥 − 𝜇)2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
−∞
Si X es continua
Ejemplo 1
Suponga que la variable aleatoria X representa
el numero de automóviles que se utilizan con
propósitos de negocios oficiales en un día de
trabajo dado. La distribución de probabilidad
para la empresa A.
x
1
2
3
y para la empresa
f(x)
0.3
0.4
0.3
B es:
x
f(x)
0
0.2
1
0.1
2
0.3
3
0.3
4
0.1
Ejemplo 1
Demuestre que la varianza de la distribución de
probabilidad para la empresa B es mayor que la
de la empresa A.
Solución:
Como es una variable aleatoria discreta, hay que
utilizar la fórmula:
𝜎 2 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇)2 =
(𝑥 − 𝜇)2 𝑓(𝑥)
𝑥
Ejemplo 1
Solución:
𝜇A = E X = 1 0.3 + 2 0.4 + (3)(0.3)
𝜎𝐴2 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇A)2 =
𝑥
3
𝜎𝐴2 =
(𝑥 − 𝜇A)2 𝑓(𝑥)
(𝑥 − 2)2 𝑓(𝑥) =
𝑥=1
(1 − 2)2 0.3 + (2 − 2)2 (0.4) + (3 − 2)2 (0.3)
𝜎𝐴2 = 0.6
Ejemplo 1
Solución:
𝜇B = E X
= 0 0.2 + 1 0.1 + 2 0.3 + 3 0.3 + 4 0.1
= 2.0
𝜎𝐵2 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇B)2 =
𝑥
3
𝜎𝐴2 =
(𝑥 − 𝜇B)2 𝑓(𝑥)
(𝑥 − 2)2 𝑓(𝑥) =
𝑥=1
(0 − 2)2 0.2 + (1 − 2)2 (0.1) + (2 − 2)2 0.3 + (3
− 2)2 0.3 + (4)(4 − 2)2 (0.1)
𝜎𝐴2 = 1.6
Teorema
La varianza de una variable aleatoria X es:
𝜎 2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2
Ejemplo 2
Suponga que la variable aleatoria X representa
el numero de partes defectuosas de una
maquina cuando de una línea de producción se
obtiene una muestra de tres partes y se somete
a prueba. La siguiente es la distribución de
probabilidad de X.
x
f(x)
1
0.51
2
0.38
3
4
0.10 0.01
Utilice el teorema anterior y calcule 𝜎 2
Ejemplo 2
Solución:
Primero se calcula μ
μ=𝐸 𝑋 =
𝑥𝑓 𝑥
𝑥
Como X= 0,1,2,3
μ = 𝐸 𝑋 = 0𝑓 0 + 1𝑓 1 +2𝑓 2 +3𝑓 3
μ = 0(0.51) + 1 0.38 +2 0.10 +3 0.01
μ = 0.61
Ejemplo 2
Solución:
Segundo se calcula𝐸 𝑋2
𝐸 𝑋2 =
𝑥2 𝑓 𝑥
𝑥
Como X= 0,1,2,3
𝐸 𝑋2 = 02𝑓 0 + 12𝑓 1 +22𝑓 2 +32𝑓 3
𝐸 𝑋2 = 0(0.51) + 1 0.38 +4 0.10 +9 0.01
𝐸 𝑋2 = 0.61
Ejemplo 2
Utilizando el teorema: La varianza de una
variable aleatoria X es:
𝜎 2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2
Y reemplazando los valores:
𝜎 2 = 0.87 − (0.61)2
𝜎 2 = 0.4979
Ejemplo 3
La demanda semanal de una bebida para una
cadena local de tiendas de abarrotes, en miles
de litros, es una variable aleatoria continua X
que tiene la siguiente densidad de probabilidad,
2(𝑥 − 1),
1<𝑥<2
𝑓 𝑥 =
0,
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Calcule la media y la varianza de X.
Ejemplo 3
Solución: Como x es continua utilizamos:
∞
μ=𝐸 𝑋 =
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
−∞
2
5
𝑥 𝑥 − 1 𝑑𝑥 =
3
μ=2
1
2
𝐸 𝑋2 = 2
1
17
𝑥2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 =
6
Ejemplo 3
Utilizando el teorema: La varianza de una
variable aleatoria X es:
𝜎 2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2
Y reemplazando los valores:
17
5
𝜎 =
−
6
3
2
1
𝜎2 =
18
2
Covarianza
La covarianza de dos variables aleatorias X y Y,
con medias μX y μY, respectivamente, esta dada
por
σXY = E (XY) −μX μY .
Ejemplo 4
Se describe una situación acerca del numero de
repuestos azules X y el numero de repuestos
rojos Y. Cuando de cierta caja se seleccionan dos
repuestos para bolígrafo al azar y la distribución
de probabilidad conjunta es la siguiente,
f(x,y)
y
g(x)
x
h(y)
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
15/28
1
3/14
3/14
0
3/7
2
1/28
0
0
1/28
5/14
15/28
3/28
1
Ejemplo 4
Calcule la covarianza de X y Y.
Solución:
Utilizando: σXY = E (XY) −μX μY .
2
𝐸 𝑋𝑌 =
2
𝑥𝑦𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑥=0
𝑦=0
𝐸 𝑋𝑌
= 0 0 𝑓 0,0 + 0 1 𝑓 0,1 + 0 2 𝑓(0,2)
+ 1 0 𝑓 1,0 + 1 1 𝑓 1,1 + 1 2 𝑓(1,2)
+ 2 0 𝑓 2,0 + 2 1 𝑓 2,1 + 2 2 𝑓(2,2)
Ejemplo 4
Solución:
3
𝐸 𝑋𝑌 = 𝑓 1,1 =
14
Ahora se calcula:
2
𝜇𝑥 =
𝜇𝑥 = 0
5
+ 1
14
𝑥𝑔(𝑥)
𝑥=0
15
+ 2
28
3
3
=
28
4
Ejemplo 4
Solución:
Por último se calcula:
2
𝜇𝑦 =
𝜇𝑥 = 0
15
+ 1
28
𝑦ℎ(𝑦)
𝑥=0
3
+ 2
7
1
1
=
28
2
Ejemplo 4
Solución:
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 σXY = E (XY) −μX μY
Y reemplazando quedaría:
3
3
σXY = −
14
4
9
σXY =56
1
2
Ejemplo 5
La fracción X de corredores y la fracción Y de
corredoras que compiten en carreras de
maratón se describen mediante la función de
densidad conjunta,
8𝑥𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑓 𝑥, 𝑦 =
0,
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Definición
Coeficiente de Correlación .- Sean X y Y
variables aleatorias con covarianza σXY y
desviaciones estándar σX y σY , respectivamente.
El coeficiente de correlación de X y Y es
𝜎𝑥𝑦
𝜌𝑥𝑦 =
𝜎𝑥𝜎𝑦
Donde –1 ≤ ρXY ≤ 1.
Gracias