Bachillerato Internacional Matem´ aticas II. Curso 2014-2015 Problemas ´ 1 REGLAS DE DERIVACION 1. 3 Reglas de derivaci´ on Obtener la derivada de las siguientes funciones: 1. y = (x2 − 7x + 1)2 27. y = e2x 2. y = (4x2 + 5)3 28. y = e−x 3. y = (3x3 − 4x2 − 5x + 1)4 29. y = e3x 4. y = x3 (2x + 1)3 30. y = xe2x 5. y = (x − 3)2 (2x + 5)3 31. y = (x2 − 1)ex x2 + 1 6. y = 2 3x − 2x + 3 32. y = 2 −3 2 3x + 1 7. y = (x − 3)2 x2 − x + 2 (2x + 1)3 √ = x3 − x + 1 √ = 5x2 − 1 √ = 3x √ = 3 x2 + 1 √ = 4x √ = 4 x3 − 3x 8. y = 9. y 10. y 11. y 12. y 13. y 14. y √ 34. y = e x √ 35. y = 5ex − 2 36. y = ln(ex + 1) 37. y = log3 x 38. y = log2 (1 − √ x) 39. y = 2x 40. y = 25x−1 √ 41. y = 1 + ln x 42. y = (ln x)2 44. y = ex ln x 1 x2 45. y = sen 3x +1 2x − 1 17. y = √ x x3 + x 18. y = √ x2 + 1 √ 19. y = (x2 − 3x + 1) 3x2 + 2 20. y = 3 ln(x2 − 3) x2 − 4 x2 + 4 √ 22. y = ln 4x2 + 1 21. y = ln 1 23. y = ln x 24. y = 33. y = x2 e−x 43. y = (1 − ln x)3 1 15. y = √ x 16. y = √ ex x 2 ln(x2 + 1) 46. y = tg(π − x) 47. y = cos2 x 48. y = 5 cos(2π − x) 49. y = 3 sen2 x 50. y = sen x cos x 51. y = sen2 x cos 2x sen x 52. y = cos2 x 53. y = e2 sen x 1 cos x cos x 55. y = sen x 56. y = ln tg x 54. y = 25. y = x ln x − x 57. y = xx 26. y = (x2 − 3x) ln(x + 1) 58. y = xcos x ´ 1 REGLAS DE DERIVACION 1 − ex 1 + ex √ 1+ x √ 75. y = ln 1− x ( ) 76. y = log cos2 x − sen2 x 59. y = ln cotg x 74. y = ln 3 − 5x 2x + 7 x 61. y = ln √ 2 x +1 60. y = ln x2 62. y = ln √ x2 + 1 63. y = 1 − cos x 1 + cos x √ 1 + sen x 78. y = log 1 − sen x √ 79. y = arsen x 77. y = log 1 1 + sen x ln 8 1 − sen x 64. y = ln cos ex 65. y = ln cos ex 2 66. y = atg x 67. y = acos x √ 68. y = a 69. y = e 4 80. y = arcos 1 x 81. y = x artg 1 x 2 sen x √ x a2 − x2 + arsen a √ 1 + x2 83. y = ln + artg x 1+x √ x 70. y = ex + e−x 2 71. y = e5x 1 + ex 72. y = ex x2 82. y = 84. y = xx ( x )x 85. y = a 73. y = ax 86. y = (1 + x) x 87. De la ecuaci´on de la trayectoria x = x0 + v0 t + 12 at2 obtener la f´ormula de la velocidad y la aceleraci´on. 88. De la f´ormula (1 + x)n = 1 + ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 n 3 n n x+ x + x + ··· + x 1 2 3 n obtener, derivando y haciendo x = 1, que ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n−1 n2 = +2 +3 + ··· + n 1 2 3 n 89. Obtener la derivada segunda de: a) y = x3 − 5x2 + 4 b) y = x4 − 2x3 + 3x2 + 6 √ c) y = ln 1 − x2 d ) y = esen x √ e) y = ln 1 + sen x f ) y = x2 ex 90. Obtener la diferencial de: a) y = 4x2 − 5x + 2 1 b) y = 1 + x2 c) y = √ 2x − 3 d ) y = x2 esen x ´ 2 CALCULO DE L´IMITES 2. 5 C´ alculo de l´ımites 91. Calcular los siguientes l´ımites: x3 + 5x2 + x − 1 x→∞ 3x2 + 4x + 2 x4 d ) l´ım x→∞ 5x4 + 3x3 + 2x2 + x + 1 a) l´ım (3x2 − x + 5) c) l´ım x→2 b) l´ım (3x2 − x + 5) x→∞ 92. Calcular los siguientes l´ımites: a) l´ım x→∞ 3x3 x4 − 2x2 + 6x + 1 x3 − 6x2 + x + 14 x→2 x3 + x2 + 2 b) l´ım x3 − 6x2 + 6 − x3 + x − 1 c) l´ım x→1 x4 3x4 + x2 d ) l´ım x→0 x3 93. Calcular los siguientes l´ımites: x2 − 25 x→5 x2 − 5x c) l´ım x4 − 2x3 + x − 2 x→2 x3 + 4x2 − 11x − 2 x3 + 5x2 + 10x + 12 x→−3 x3 + 2x2 − 2x + 3 d ) l´ım a) l´ım b) l´ım x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 x→−2 x4 + 4x3 + 4x2 94. Calcular los siguientes l´ımites: x3 + 5x2 + 3x − 9 x→−3 x3 + 7x2 + 15x + 9 a) l´ım x4 − 6x2 + 8x − 3 x→1 x4 − 2x3 + 2x − 1 b) l´ım ( x−2 x2 − 4 − 2 x→2 x − 4 x−2 √ x− 5 d ) l´ım √ 2 x→ 5 x − 5 ) c) l´ım 95. Calcular los siguientes l´ımites: x2 − 25 √ a) l´ım √ x→5 x− 5 √ x2 − 5x + 6 b) l´ım x→2 x2 − 3x + 2 b) l´ım x→2 d ) l´ım (√ ) √ x2 + 3x − x2 + 2 x→∞ x→∞ 1 1 −√ x−2 x−2 ) (√ x2 − 2 − x x→∞ 96. Calcular los siguientes l´ımites: (√ ) √ a) l´ım x3 − x2 + 1 − x3 − x + 1 ( c) l´ım ) √ 1−x−1 c) l´ım x→0 x ( )x 4x + 1 d ) l´ım x→∞ 2x 97. Calcular los siguientes l´ımites: )x2 4x + 1 a) l´ım x→∞ 2x2 ( )2x x−2 b) l´ım x→∞ x+1 ( ( 98. Calcular los siguientes l´ımites: c) l´ım x→∞ ( d ) l´ım x→2 x2 + 1 x2 − 2 x+2 2x )x 1 ) x−2 ´ 2 CALCULO DE L´IMITES 6 a) l´ım ln x f ) l´ım+ log1/3 x b) l´ım log3 x g) l´ım ln(1 + x) c) l´ım log1/2 x h) l´ım log5 x d ) l´ım+ ln x i ) l´ım log3 x e) l´ım log5 x j ) l´ım √ log3 x→∞ x→0 x→0 x→∞ x→5 x→∞ x→1 x→0 x→ 3 x→0+ 1 x 99. Calcular los siguientes l´ımites: x2 − 3x + 2 x→∞ x−2 3x + 5 b) l´ım 2 x→∞ x + 1 a) l´ım x3 − 2x + 1 − 3x2 + 2x − 1 x2 − 5x + 2 d ) l´ım x→∞ x4 − 1 c) l´ım x→∞ x3 x4 − 3x3 + 2 x→∞ 4x4 + 2 x5 − 3x3 + 2x f ) l´ım x→∞ x3 − 5x + 6 e) l´ım 100. Calcular los siguientes l´ımites: x3 − 2x + 3 x→∞ 1 + ex 2x d ) l´ım x x→∞ 3 x3 x→∞ ex ex − 1 b) l´ım x→∞ x2 a) l´ım c) l´ım ex +x e) l´ım x→∞ 2x f ) l´ım 5x 3x e) l´ım sen x ln x f ) l´ım x sen x x→∞ 101. Calcular los siguientes l´ımites: ln x x x2 b) l´ım x→∞ 5 ln x ln x ex sen x d ) l´ım x→∞ x a) l´ım c) l´ım x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ 102. Calcular los siguientes l´ımites: a) l´ım sen x x2 b) l´ım tg2 x 3x x→0 x→0 arsen x 1 − cos x x2 d ) l´ım x→0 artg x c) l´ım x→0 sen2 x x→0 cos x − 1 x + tg x f ) l´ım x→0 3x e) l´ım 103. Calcular las as´ıntotas de las siguientes curvas: a) y = 2x + 1 x−3 b) y = x−3 2x + 4 c) y = 1 3x − 2 104. Calcular las as´ıntotas de las siguientes curvas: a) y = 2x + 1 x2 − 4 b) y = 2x2 + 1 x2 − 1 c) y = x2 1 +1 105. Calcular las as´ıntotas de las siguientes curvas: a) y = 2x2 + 1 x−3 b) y = Soluciones: (91) (a) 15 (b) ∞ (c) ∞ (d) 1 5 (92) (a) ∞ (b) 0 (c) ∞ (d) 0 (93) (a) 2 (b) 7 13 (c) 9 17 (d) 5 4 x3 + 1 x2 − 3x + 2 c) y = x4 + 1 x2 − 3 3 CONTINUIDAD 7 1 (94) (a) 2 (b) 2 (c) − 15 (d) √ 4 2 5 √ (95) (a) 20 5 (b) ∄ (c) 0 (d) 32 (96) (a) −∞ (b) ∞ (c) 1 2 (d) ∞ (97) (a) 0 (b) e−6 (c) 1 (d) e−4 (98) (a) ∞ (b) ∞ (c) −∞ (d) −∞ (e) −∞ (f ) ∞ (g) 0 (h) 1 (i) 0 (j ) − 12 (99) (a) ∞ (b) 0 (c) 1 (d) 0 (e) 1 4 (f ) ∞ (100) (a) 0 (b) ∞ (c) 0 (d) 0 (e) ∞ (f ) ∞ (101) (a) 0 (b) ∞ (c) 0 (d) 0 (e) 0 (f ) ∄ (102) (a) ∞ (b) 0 (c) ∞ (d) 0 (e) −2 (f ) (103) (a) x = 3, y = 2 (b) x = −2, y = 1 2 2 3 (c) x = 2 , 3 y=0 (104) (a) x = −2, x = 2, y = 0 (b) x = −1, x = 1, y = 2 (c) y = 0 √ √ (105) (a) x = 3, y = 2x + 6 (b) x = 1, x = 2, y = x + 3 (c) x = − 3, x = 3 3. Continuidad 106. Estudiar la continuidad de la funci´on: { 2x + a si x ≤ 1 f (x) = x2 − ax + 2 si x > 1 seg´ un los valores de a. 107. Estudiar la continuidad de la funci´on: f (x) = x3 − 2x2 + x − 2 x2 − x − 2 108. Calcular a y b para que la siguiente funci´on sea continua: 2 x + ax si x ≤ −1 f (x) = b si − 1 < x < 3 2x + 4 si x ≥ 3 109. Estudiar los puntos de discontinuidad de la funci´on: y= 12 2 − x − 3 x2 − 9 110. Hallar el valor de k para que la funci´on: 4 x − 1 si x = ̸ 1 x−1 f (x) = k si x = 1 sea continua en x = 1. 111. ¿C´omo hay que definir en x = 1 la funci´on: √ x−1 y= x ̸= 1 x−1 para que sea continua en ese punto? 112. Estudiar la continuidad de la funci´on: { eax si x ≤ 0 f (x) = x + 2a si x > 0 seg´ un los valores de a. 4 TEOREMA DE BOLZANO 8 113. De la funci´on g(x) se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, 1] y que para 0 < x ≤ 1 es: x2 + x x ¿Cu´anto vale g(0)? g(x) = 114. Sea la funci´on: x2 − 4 f (x) = x−2 El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando x = 2. ¿C´omo se deber´ıa elegir el valor de f (2) para que la funci´on f sea continua en ese punto? Soluciones: (106) (107) (108) (109) (110) (111) Para a = 12 es continua en x = 1. Para los dem´ as valores hay un salto finito. En x = 2 hay una discontinuidad evitable. En x = −1 hay un infinito de la funci´ on. a = −9, b = 10. En x = 3 hay una discontinuidad evitable. En x = −3 hay un infinito. k = 4. La funci´ on tiene que valer 12 . (112) La funci´ on es continua en x = 0 para a = (113) Tiene que valer g(0) = 1. (114) Debe elegirse f (2) = 4. 4. 1 . 2 Teorema de Bolzano 115. Demostrar que la ecuaci´on x3 − 3x + 40 = 0 tiene alguna soluci´on en el intervalo (−4, −3). 116. Demostrar que las gr´aficas de las funciones f (x) = ln x y g(x) = e−x se cortan en alg´ un punto. 117. Dada la funci´on f (x) = x3 + x − 5, demostrar que existe un c ∈ (1, 3) tal que f (c) = 20. 118. Comprobar que la ecuaci´on sen x − 2x + 3 = 0 tiene una soluci´on en el intervalo (1, 2). 119. Comprobar que la funci´on f (x) = x5 − x3 − x + 5 toma el valor −1 en el intervalo (−2, −1). 120. Demostrar que la funci´on f (x) = xe−x + 3 toma el valor 3 2 en el intervalo (−1, 0). 121. Demostrar que la ecuaci´on sen x − cos x + 2x = 3 tiene una soluci´on en el intervalo (1, 2). 122. Comprobar que la funci´on f (x) = cos x − x + 1 corta al eje OX en al menos un punto, e indica un intervalo de extremos de n´ umeros enteros consecutivos al cual pertenezca dicho punto. 123. Lo mismo para la funci´on f (x) = xex − x − 16. 124. Demostrar que las gr´aficas de las funciones f (x) = x3 + x2 y g(x) = cos πx − 2 se cortan en un punto x0 . Calcular la parte entera de x0 . 125. Demostrar que la ecuaci´on x3 + 3x2 + 4x − 7 = 0 tiene al menos una soluci´on. 126. Comprobar que la ecuaci´on 2x = cos x tiene al menos una soluci´on. 127. Demostrar que las gr´aficas de las funciones f (x) = x3 + x2 y g(x) = 3 + cos x se cortan en alg´ un punto. 128. Sea la funci´on: x − 4 4 f (x) = e−x2 si 0 ≤ x ≤ si 1 2 1 2 <x≤1 Observamos que f est´ a definida en [0, 1] y que toma valores de signos opuestos en los extremos de este intervalo. Sin embargo, no existe ning´ un c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 0. ¿Contradice esto el teorema de Bolzano? 5 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 5. 9 Continuidad y derivabilidad 129. Consid´erese la funci´on: { eax x≤0 f (x) = 2x + 1 x > 0 donde a es un n´ umero real. a) Calcular l´ım f (x) y comprobar que f (x) es continua en x = 0. x→0 b) ¿Para qu´e valor del par´ametro a la funci´on es derivable en x = 0? 130. Determinar el valor de a para el cual la siguiente funci´on es derivable en x = 0: { cos x x≤0 f (x) = 2 x +a x>0 131. Dada la funci´on: { ax2 + 1 f (x) = e2−x x<2 x≥2 calcular a para que f sea continua en x = 2. Para el valor obtenido, ¿es derivable la funci´on en x = 2? 132. Discutir seg´ un los valores de m la continuidad y la derivabilidad de la funci´on: 3 − mx2 x ≤ 1 f (x) = 2 x>1 mx 133. Determinar los valores de a y 2 bx + ax a f (x) = x 2 x + ax + 1 x+1 b para que la siguiente funci´on sea derivable en todos sus puntos: x ≤ −1 −1 < x ≤ 1 x>1 134. Dada la funci´on: { x2 + ax + b x < 1 f (x) = cx x≥1 Calcular a, b y c para que la funci´on sea derivable en x = 1, sabiendo que f (0) = f (4). 135. Estudia la derivabilidad de las funci´on f (x) = |x2 − 7x + 12| en x = 4. √ 136. La funci´on f (x) = x no es derivable en x = 0 y la funci´on g(x) = sen x, s´ı. ¿Es derivable en x = 0 la funci´on p(x) = x sen x? 137. Sea la funci´on: { sen x f (x) = x − 3π 3π 2 < x < 3π x ≥ 3π Estudiar su continuidad y su derivabilidad en x = 3π. 6 RECTA TANGENTE 6. 10 Recta tangente 138. Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = x2 − 5x + 6 en el punto de abscisa x = 2 139. Calcular la ecuaci´on de la recta tangente a la curva −x2 + 2x + 5 en el punto de abscisa x = −1 140. Calcular la ecuaci´on de la recta tangente a y = 3x2 − 4x + 2 que tenga pendiente igual a 2. √ 141. Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = x + 4 en el punto de abscisa 0. 142. Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x3 − 3x que sean paralelas a la recta y = 6x + 10. 143. Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = 4 − x2 en los puntos de corte con el eje de abscisas. 144. Hallar los puntos de tangente horizontal de la curva y = x3 − 3x2 − 9x − 1. 145. Hallar los puntos de tangente horizontal de las siguientes curvas: a) y = 3x2 − 2x + 1 b) y = x3 − 3x 146. ¿En qu´e puntos de y = 1/x la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante?.¿Tiene alg´ un punto de tangente horizontal? 147. ¿En qu´e punto la recta tangente a la curva y = x2 − 6x + 5 es paralela a la recta y = 2x − 3? 148. ¿En qu´e puntos la recta tangente a y = x3 − 4x tiene la pendiente igual a 8? 149. Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = 2x que son paralelas a 2x+y−1 = 0. x−1 150. Calcula la ecuaci´on de la tangente a la curva y = ln x trazada desde el origen. √ 1+x 151. ¿Hay alg´ un punto de la gr´afica de y = ln con tangente horizontal? 1−x 152. Calcula la ecuaci´on de la recta tangente a la curvaf (x) = sen x en el origen. 153. ¿Hay alg´ un punto de la gr´afica de f (x) = tg 2x en el que la tangente tenga menor pendiente que la bisectriz del primer cuadrante? 154. Encuentra los puntos con abscisa en [0, 2π] para los que la tangente a la curva f (x) = sen x + cos x sea horizontal. 155. Obt´en la ecuaci´on de la tangente a la curva x2 + y 2 = 13 en P (2, 3) de dos formas: utilizando la derivaci´ on impl´ıcita y despejando y. 156. Usa la derivaci´ on impl´ıcita para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva x2 y 3 = 2 en el punto de abscisa x = 1 157. Dada la funci´on: √ x ln x f (x) = 2x x+k si x ≥ 0 si x < 0 se pide: a) Determinar el valor de k para que la funci´on sea continua en R. b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas. c) Obtener la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de la funci´on en el punto del abscisa x = 1. 7 PROBLEMAS DE MOVIMIENTO 11 158. Determinar las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gr´afica de la funci´on f (x) = xex + x3 − 2 x2 + 4 en el punto de abscisa x = 0. 159. Halla el ´area del tri´angulo formado por el eje X y las rectas tangente y normal a la curva de ecuaci´on y = e−x en el punto de abscisa x = −1. 7. Problemas de movimiento 160. Una part´ıcula se mueve a lo largo de una recta de tal forma que su posici´on en un tiempo t est´a dada por: x(t) = t3 − 7t2 + 11t − 2,5 a) Calcular la velocidad y aceleraci´on en el tiempo t. b) Calcula el tiempo en que la part´ıcula est´a en reposo y cuando est´a acelerando y frenando. Justifica las respuestas. c) Calcula los valores de t en que el movimiento cambia de sentido. d ) Calcular la distancia recorrida en los primeros 3 segundos. 161. La posici´on de una part´ıcula t segundos despu´es de que comience el movimiento est´a dada por la funci´on: x(t) = 1 3 t − 3t2 + 8t 3 metros. Calcular: a) La velocidad y aceleraci´on en funci´on de t. b) El momento en que la part´ıcula est´a (i) en reposo (ii) acelerando (iii) frenando. c) La aceleraci´on cuando la velocidad de la part´ıcula es cero. Interpretar la respuesta. d ) El momento en que la part´ıcula cambia de direcci´on. e) La distancia recorrida en los primeros cinco segundos. 8. Problemas BI 162. Una caja sin tapa se construye cortando cuadrados en los v´ertices de una pieza de cart´on cuadrada de 4 m de lado. Calcular el tama˜ no de los cuadrados de forma que el volumen de la caja sea m´aximo. 163. Calcular las dimensiones de una lata cil´ındrica de un litro de capacidad de forma que su superficie sea m´ınima. Calcular las dimensiones del rect´angulo de ´area m´axima cuya base est´a en el eje de abscisas y sus otros dos v´ertices sobre la par´abola y = 10 − x2 . 164. Una l´amina de lat´on de 36 cm de per´ımetro se enrolla para formar un cilindro. a) Calcular sus dimensiones de forma que el volumen del cilindro sea m´aximo. b) La misma l´amina gira alrededor de uno de sus lados para generar el cilindro. Calcular las dimensiones para que el volumen sea m´aximo. 165. Calcular la pendiente de la recta tangente a la circunferencia x2 + y 2 = 1 en el punto (0, 1). 166. Calcular la derivada del folium de Descartes x3 + y 3 − 9xy = 0. 167. El punto P (2, m) donde m < 0 se encuentra en la curva 2x2 y + 3y 2 = 16: 8 PROBLEMAS BI 12 a) Calcular el valor de m. b) Calcular la pendiente de la normal y la tangente en P . 168. Dada la curva x + y = x2 − 2xy + y 2 : a) Calcular su derivada. 2 . 2x − 2y + 1 ( )3 d2 y dy c) Demostrar que = 1 − . dx2 dx b) Demostrar que 1 − dy dx = 169. Una escalera de 10 m de longitud se encuentra apoyada sobre una pared. La parte superior desliza sobre la pared con una velocidad de 0,5 m s−1 . Calcular la velocidad con que desliza sobre el suelo el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 6 m de la pared. 170. Un dep´osito c´onico se llena con agua a raz´on de 3 m3 min−1 . El dep´osito est´a situado con el v´ertice hacia abajo. ¿A qu´e velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 m y el radio de la superficie del agua es de 1,5 m? 171. El volumen de un cubo aumenta a 1,5 m s−1 .Calcular la velocidad con que aumenta la superficie del cubo cuando su volumen es de 81 m3 . 172. Un avi´ on que vuela a una altura de 8000 m pasa sobre una estaci´on de radar. Cuando el avi´on se encuentra a 12000 m de la estaci´on, el radar obtiene que la distancia est´a cambiando con una velocidad de 320 km h−1 . Calcular la velocidad del avi´on en ese momento. 173. Dos circunferencias conc´entricas se est´an expandiendo. En el tiempo t el radio de la circunferencia exterior es de 9 m y est´a creciendo a un ritmo de 1,2 m s−1 . El radio de la circunferencia interior es de 1 m y crece a 1,5 m s−1 . Calcular la velocidad de crecimiento del ´area de la corona comprendida entre ambas circunferencias en el tiempo t. 174. Calcular los valores de a para los que la serie a2 + a2 a2 + + ··· 1 + a2 (1 + a2 )2 es convergente y calcular su suma. 175. Dada la funci´on: y= x3 − 2x2 + 5 x2 − x3 calcular: a) Su as´ıntota horizontal. b) Los puntos en que la curva se corta con su as´ıntota. 176. Sea f una funci´on par definida en el intervalo (−a, a), a > 0. Demostrar que si f es derivable en todo su dominio, la tangente a su gr´afica en x = 0 es paralela al eje x. 177. Si f es una funci´on tal que f (x) = [g(x)]3 , g(0) = − 12 , g ′ (0) = 83 , calcular la ecuaci´on de la tangente a f (x) en x = 0. 178. Consid´erese la funci´on: y= 2x x2 − 1 a) Calcular las as´ıntotas horizontales y verticales. b) Demostrar que la funci´on es impar. c) Comprobar que y ′ < 0 para todo x de su dominio. 9 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 13 d ) Representar gr´aficamente la funci´on. √ x. 179. Calcular la menor distancia del punto (1,5, 0) a la curva y = 180. Con una pieza de alambre de 80 cm se forman dos circunferencias iguales y un cuadrado. Calcular el radio de las circunferencias si queremos que la suma de las tres ´areas sea m´ınima. 181. Una escalera de 10 m de longitud se apoya contra una pared. En determinado momento, el extremo superior empieza a deslizar hacia abajo con una velocidad de 0,5 m s−1 . Calcular la velocidad de cambio del ´angulo que forma la escalera con el suelo cuando la escalera se apoya a 8 m del suelo. 182. Un c´amara profesional se encuentra filmando un safari. Supongamos que est´a situado a 30 m de un ´arbol, siguiendo a unos p´ajaros que vuelan a una velocidad de 95 km h−1 . Los p´ajaros se mueven perpendicularmente a la l´ınea que une el ´arbol con el c´amara. ¿A qu´e velocidad debe girar la c´amara para seguir a un p´ajaro: a) Que est´a justo enfrente de la c´amara. b) Un segundo despu´es. 9. Crecimiento y decrecimiento. Concavidad y convexidad 183. Estudiar la monoton´ıa de las siguientes funciones: a) f (x) = x2 (x + 1) b) f (x) = −x4 + 3x2 − 2x 184. Estudiar la monoton´ıa de: a) f (x) = x2 − 2x + 2 x−1 b) f (x) = x x2 + 2 185. Estudiar la monoton´ıa de: a) f (x) = 3x2 ex c) f (x) = ln x x2 1 + ln x x √ d ) f (x) = x ln x b) f (x) = 186. Determinar los m´aximos y m´ınimos de las siguientes funciones utilizando la derivada segunda: (x − 1)2 x2 + 1 a) y = x3 − 24x − 6 b) y = c) y = ln(x2 + 1) d ) y = (x2 + 4)ex 187. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexi´on de las siguientes funciones: a) y = x3 − 3x2 + 2x + 4 b) y = x2 −1 x2 √ 9 + x2 d) y = ln x 2x e) y = 4 cos x − cos 2x f) y = x2 ex c) y = 188. Sea f (x) = x2 + mx donde m es un par´ametro real. Hallar el valor de m para que f (x) tenga un m´ınimo relativo en x = − 34 . 9 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 14 189. Se considera la funci´on: f (x) = aex 2 +bx+c ; a>0 Calcular los par´ametros a, b y c sabiendo que la funci´on tiene un m´ınimo relativo en el punto (1, a) y f (0) = 1. 190. Determinar los valores de a, b y c para que la funci´on: f (x) = x3 + ax2 + bx + c pase por el origen de coordenadas, tenga un punto de inflexi´on en x = −1 y su recta tangente en x = 1 tenga pendiente 3. 191. Calcula para f (x) = (x+1)e−x los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los puntos de inflexi´on y los intervalos de concavidad y convexidad. 192. Hallar los m´aximos y m´ınimos relativos y los puntos de inflexi´on de la funci´on: f (x) = 3x2 + x + 3 x2 + 1 193. Demostrar que la curva de ecuaci´on y = x4 − x3 + x2 − x + 1 no tiene ning´ un punto de inflexi´on. 194. Sea f : R → R la funci´on definida por: f (x) = 2x3 + 12x2 + ax + b Determinar a y b sabiendo que la recta tangente a la gr´afica de f en su punto de inflexi´on es la recta y = 2x + 3. 195. Calcular los valores del par´ametro a, a ̸= 0, que hacen que las tangentes a la curva de ecuaci´on y = ax4 + 2ax3 − ax + 1,512 en los puntos de inflexi´on sean perpendiculares. 196. Se considera la funci´on f (x) = x3 + ax2 + bx + c donde a, b y c son par´ametros reales. a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gr´afica de f (x) en los puntos de abscisas x = 2 y x = 4 son paralelas al eje X. b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valor de c para el que se cumple que el punto de inflexi´on de la gr´afica de f (x) est´a en el eje X. 197. Demuestra que la curva f (x) = x − 2 cos x tiene un punto de inflexi´on en el interior del intervalo [0, π] y halla la ecuaci´on de la recta tangente a la curva en ese punto. Haz un dibujo en un entorno del punto hallado. 198. Hallar una funci´on polin´omica de tercer grado que tenga un extremo relativo en (1, 1) y un punto de inflexi´on en (0, 3). ¿Es (1, 1) el u ´nico extremo de la funci´on?. Soluciones: ( (183) (a) creciente en (−∞, − 23 ) ∪ (0∞) (b) creciente en −∞, √ ) −1− 3 2 ∪ ( ) √ −1+ 3 ,1 2 10 TEOREMAS DE ROLLE Y DEL VALOR MEDIO 15 ( √ √ ) (184) (a) creciente en (−∞, 0) ∪ (2, ∞) (b) creciente en − 2, 2 (185) (a)(creciente (0, ∞), m´ aximo en x = −2 (b) decreciente en (−∞, −4), m´ınimo en x = −4 (c) creciente √ ) en (−∞, −2) ∪√ en 0, e , m´ aximo en x = e (d) decreciente en (0, 1e ), m´ınimo en x = 1e √ √ (186) (a) m´ aximo en x = −2 2, m´ınimo en x = 2 2 (b) m´ aximo en x = −1, m´ınimo en x = 1 (c) m´ınimo en x = 0 (d) no hay extremos relativos (187) (a) c´ oncava en (1, ∞) (b)( c´ oncava puntos de inflexi´ on en x = −1 y x = 1 (c) c´ oncava en ) en (−∞, −1) [∪ (1, ∞), √ √ ) ( 4π ] 3 (−∞, ∞) (d) convexa en 0, e 2 (e) convexa en 0, 2π ∪ , 2π (f ) c´ o ncava en (−∞, 2 − 2) ∪ (2 + 2, ∞) 3 3 (188) m = (189) a = 3 2 1 ,b e = −2, c = 1 (190) a = 3, b = −6, c = 0 (191) creciente en (−∞, 0), c´ oncava en (1, ∞) (192) m´ aximo en x = −1, m´ınimo en x = 1, punto de inflexi´ on en x = 0 (193) La derivada segunda no tiene ra´ıces (194) a = 26, b = −19 (195) a = −1, a = 1 (196) a = −9, b = 24, c = −18 ( ) (197) y − π2 = 3 x − π2 (198) a = 1, b = 0, c = −3, d = 3. 10. Teoremas de Rolle y del valor medio 199. Estudiar si se puede aplicar el teorema de Rolle a f (x) = 2 tg x en el intervalo [0, π] y, si es posible, determinar el punto en el que la derivada se anula. √ 200. Razonar si se puede aplicar el teorema de Rolle a la funci´on f (x) = 3 (x − 2)2 en el intervalo [0, 4]. 201. Aplicar el teorema de Rolle a la funci´on f (x) = x2 + 2x − 3 en el intervalo [−4, 2] e interpretarlo geom´etricamente. 202. Cada una de las funciones siguientes toma el mismo valor en los extremos del intervalo [−2, 2], pero no hay ning´ un valor ξ ∈ (−2, 2) en el que la derivada se anule. Justificar en cada caso por qu´e no contradicen el teorema de Rolle: 1 a) f (x) = 4 x b) f (x) = 2 − |x| 203. Probar que la funci´on f (x) = x3 +x2 −x−1 satisface las hip´otesis del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1] y calcula un punto del intervalo abierto (−1, 1) cuya existencia garantiza el teorema. 204. Demostrar que la ecuaci´on 1 − x = ex solamente tiene una soluci´on. 205. Demostrar que la ecuaci´on x2 = x cos x − sen x se verifica para un solo valor de x. 206. Demuestra que la curva y = x3 − 3x + 1 solo corta al eje X en un punto del intervalo [0, 1]. 207. Demostrar que la ecuaci´on x3 + x2 + 2x − 1 = 0 solo tiene una soluci´on real. 208. Dado el intervalo I = [0, 5] y dadas las funciones f (x) = x2 − Ax, encontrar el valor de A para que se pueda aplicar el teorema de Rolle al intervalo I y aplicar el teorema en ese caso. √ 209. Utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, demostrar que las curvas y = cos x e y = x se cortan en un u ´nico punto del intervalo (0, π). √ 210. Demostrar que se puede aplicar el teorema del valor medio a la funci´on f (x) = x2 + 9 en el intervalo [0, 4] y halla el punto que verifica el teorema. 211. Aplicar el teorema del valor medio a la funci´on f (x) = −x2 + 2x − 8 en el intervalo [−3, 3] e interpretarlo geom´etricamente. ˆ 11 REGLA DE L’HOPITAL 16 212. Razonar si es aplicable el teorema del valor medio a la funci´on { x ln x x > 0 f (x) = 0 x=0 en el intervalo [0, e]. En caso afirmativo, hallar el valor al que se refiere el teorema. 213. Dada la funci´on: f (x) = xx − 2x + x − 1 demostrar que existen α, β ∈ (1, 2) tales que f (α) = 0 y f ′ (β) = 2. Decir que teorema se utiliza. 214. Sea f (x) = x3 + 2x − 1 y sea el intervalo I = [0, 2]. Aplicar el teorema del valor medio a la funci´on f en el intervalo I, hallando el punto de dicho intervalo cuya existencia asegura el teorema. 215. Dada la funci´on f (x) = x cos πx 2 demostrar que existe ξ ∈ (1, 2) tal que f ′ (ξ) = −2. Citar los teoremas que se utilicen. 11. Regla de l’Hˆ opital 216. Calcular los siguientes l´ımites: x2 − 4x + 4 x→2 x2 − 4 a) l´ım c) l´ım x→0 sen x − x cos x x3 ex − e−x x→0 2 sen x √ x2 − 5 − 2 d ) l´ım x→3 x−3 b) l´ım 217. Calcular los siguientes l´ımites: ex − x − sen x x→0 sen2 x a) l´ım 2 ex − 1 x→0 cos x − 1 b) l´ım ex − e−x − 2x x→0 x − sen x c) l´ım 218. Calcular los siguientes l´ımites: a) l´ım x→0 x ln(1 + x) x2 x→0 1 − cos x b) l´ım sen2 2x x→0 x3 + x ln x x→0 cotg x c) l´ım d ) l´ım 219. Calcular: ( a) l´ım x cotg x b) l´ım x→0 x→0 1 c) l´ım (ex − x) x x→0 220. Calcular: 1 − cotg x x 1 + x − ex x→0 sen2 x d ) l´ım ) ˆ 11 REGLA DE L’HOPITAL 17 √ x2 − 5 − 2 a) l´ım x→3 x−3 ( 1− b) l´ım x→∞ 1 x2 )x 221. Calcular: ex sen x − x x→0 2x2 + x4 b) l´ım a) l´ım x→0 x − sen x tg x − sen x 222. Calcular: ( a) l´ım x→1 1 1 − ln x x − 1 ) ( b) l´ım x x→∞ artg ex − π) 2 223. Calcular: a) l´ım (ln x)e ( −x b) l´ım x→∞ x→∞ 1 + tg 1 x )x 224. Calcular: √ √ x+1− x−1 √ a) l´ım √ x→∞ x+2− x−2 √ ln 1 − cos x ln(1 − cos x) b) l´ımπ x→ 2 225. Calcular, si existen, los siguientes l´ımites: a) l´ım+ (sen x)tg x b) l´ım x→0 x→0 sen x |x| 226. Calcular: √ x2 + 1 − 1 a) l´ım x→0 x2 ) ( n 2 −8 c) l´ım n→∞ 2n+1 b) l´ım+ (x2 − 1) tg x→1 πx 2 227. Calcular los valores del n´ umero real a sabiendo que: eax − 1 − ax =8 x→0 x2 a) l´ım c) l´ım b) l´ım x→0 ln(1 + ax) =3 sen 2x 2x =4 − 1) x→∞ ln(eax 228. Calcular los valores de λ ̸= 0 para los cuales: sen x2 = −1 x→0 cos2 λx − 1 l´ım 229. Calcular: a) l´ım (x − 2) ln(x − 2) x→2 c) l´ım (cos x + sen x) x→0 e) l´ım x→∞ √ x x2 + 2 1 x b) l´ım xsen x x→0 1 d ) l´ım (x3 − 1) x x→∞ ´ 12 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION 18 Soluciones: (216) (a) 0 (b) 1 (c) 1 3 (d) 3 2 (217) (a) ∞ (b) −2 (c) 2 (218) (a) 1 (b) 2 (c) 0 (d) 0 (219) (a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) − 12 (220) (a) (221) (a) (222) (a) 3 2 1 2 1 2 (b) 1 (b) 1 3 (b) 0 (223) (a) 1 (b) e (224) (a) 1 2 (b) 1 2 (225) (a) 1 (b) −1 a la izquierda y 1 a la derecha (226) (a) 1 2 (b) − π4 (c) 1 2 (227) (a) a = ±4 (b) a = 6 (c) a = 1 2 (228) λ = ±1 (229) (a) 0 (b) 1 (c) e (d) 1 (e) 1 12. Problemas de optimizaci´ on 230. De todos los cilindros que pueden inscribirse en una esfera de 9 cm de radio, hallar la altura y el radio del que tiene mayor volumen. 231. Descomponer el n´ umero 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando m´as el cuadrado del segundo sea m´ınima. 232. ¿En qu´e punto de la par´abola y = 4 − x2 la tangente forma con los ejes coordenados un tri´angulo de ´area m´ınima? 233. Determinar el punto de la par´abola y = x2 que est´a m´as pr´oximo al punto (3, 0). 234. Determinar un punto de la curva de ecuaci´on y = xe−x en el que la pendiente de la recta tangente sea m´axima. 2 235. Consid´erense las funciones f (x) = ex y g(x) = −e−x . Para cada recta r perpendicular al eje X, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gr´aficas de f y g respectivamente. Determ´ınese la recta r para el cual el segmento AB es de longitud m´ınima. 236. El coste del marco de una ventana rectangular es de 12,50 euros por metro lineal de los lados verticales y 8 euros por metro lineal de los lados horizontales. a) Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana de 1 m2 de superficie para que resulte lo m´as econ´omico posible. b) Calcular, adem´as, el coste de este marco. 237. De entre todos los rect´angulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un v´ertice en la recta r de ecuaci´on x +y =1 2 determinar el de ´area m´axima. 238. Consid´erese el recinto limitado por la curva y = x2 y la recta y = 3. De entre los rect´angulos que tienen un lado sobre la porci´on de recta que queda sobre la curva y los otros dos v´ertices sobre la par´abola, determinar el que tiene ´area m´axima. 239. Un trozo de alambre de longitud 20 se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rect´angulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Encontrar las longitudes de ambos trozos para que sea m´ınima la suma del ´area del rect´angulo y la del cuadrado. ´ DE FUNCIONES 13 REPRESENTACION 19 240. Una cartulina tiene forma rectangular con 30 cm de base y 20 cm de altura. Se quiere construir un caj´on sin tapa con la forma resultante tras recortar cuatro cuadrados de lado x en cada esquina de la cartulina. Calcular x para que el volumen del caj´on resultante sea m´aximo. Calcular dicho volumen. Soluciones: √ √ (230) r = 3 6, h = 6 3 (231) 2 y 6 (232) x = − √2 , x = 3 √2 3 (233) x = 1 (234) x = 0 (235) x = 0 (236) 80 cm y 125 cm ( ) (237) El que tiene un v´ ertice en 1, 12 (238) El que tiene un v´ ertice en (1, 1) (239) (240) 13. 180 17 160 17 √ 25−5 7 3 y Representaci´ on de funciones 241. Estudiar y representar las siguientes funciones: 8 −4 1 b) y = x + x a) y = x2 242. Representar gr´aficamente la funci´on y = x3 − 3x. 243. Dada la funci´on y= x−1 x+1 determ´ınense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexi´on y las as´ıntotas. Esb´ocese su gr´afica. 244. Se considera la funci´on: y= x2 x +1 a) Halle sus as´ıntotas, m´aximos y m´ınimos. b) Repres´entese gr´aficamente la funci´on. 245. Estudiar (dominio, crecimiento, m´aximos, m´ınimos y as´ıntotas) y representar gr´aficamente la funci´on: y= 2x − 1 x − x2 246. Representar gr´aficamente la funci´on: y= x3 1 − x2 estudiando las as´ıntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ´ DE FUNCIONES 13 REPRESENTACION 20 1 247. Calcular las as´ıntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´on: y = e x y representarla gr´aficamente. 248. Se considera la funci´on: y= (x + 1)2 ex Hallar los extremos locales y los puntos de inflexi´on. Representar gr´aficamente la funci´on. 249. Sea la funci´on f (x) = x2 e−x . a) Comprobar que la recta y = 0 es as´ıntota horizontal en +∞. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Con los datos anteriores, hacer una representaci´ on aproximada de la funci´on. 250. Representar gr´aficamente las funciones: a) y = x ln x b) y = x ln x 251. Sea f (x) = 2 − x + ln x con x ∈ (0, ∞). Se pide: a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. b) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad. c) Determinar las as´ıntotas y esbozar la gr´afica. Soluciones: (241) (242) (243) ´ DE FUNCIONES 13 REPRESENTACION (244) (245) (246) (247) (248) (249) (250) 21 ´ PROBLEMAS DE OPTIMIZACION ´ 14 MAS 22 (251) 14. M´ as problemas de optimizaci´ on 252. Hallar el rect´angulo de ´area m´axima inscriptible en un tri´angulo is´osceles de base 6 cm y altura 10 cm. Generalizar. 253. Hallar el rect´angulo de ´area m´axima inscriptible en un semic´ırculo. 254. Demostrar que de todos los rect´angulos de igual per´ımetro, el de ´area m´axima es el cuadrado. 255. Hallar el cilindro de m´aximo volumen inscriptible en un cono recto circular de radio 10 cm. y altura 20 cm. Generalizar. 256. Demostrar que todos los cilindros de igual superficie, el de volumen m´aximo es el de altura igual al di´ametro. 257. Inscribir en una esfera el cilindro, de volumen m´aximo. 258. Idem de ´area m´axima. 259. Demostrar que la altura del cono de volumen m´aximo inscrito en una esfera vale los 4/3 del radio. (Tomar como variable dicha altura.) 260. Calcular las dimensiones de un dep´osito c´onico invertido abierto, de 2000 litros de capacidad, de modo que requiera la m´ınima cantidad de superficie. 261. Sabido es que el desarrollo de la superficie lateral de un cono es un sector circular. Dado un c´ırculo, ¿cu´al es el sector correspondiente a un cono de m´aximo volumen? 262. La superficie lateral de una caldera cil´ındrica de 3 m3 de capacidad est´a hecha de material que cuesta 2 euros el dm2 , mientras los c´ırculos de las bases cuestan a 3 euros el dm2 . Calcular las dimensiones m´as econ´omicas. Soluciones (252) La base es 3 cm y la altura 5 cm. √ (253) La base es R 2 y la altura √R . 2 (254) La base debe ser la cuarta parte del per´ımetro. (255) El radio es (256) El radio es (257) El radio es 20 3 √ cm y la altura S 6π √ R√ 2 3 (260) El radio es r = cm. y la altura el doble. S es el ´ area total. y la altura √ √ (258) El radio es r = R 5+10 5 (259) 20 3 √ 3 √ 3 2 π m. 2R √ 3 15 INTEGRAL INDEFINIDA 15. 23 Integral indefinida 263. Calcular las siguientes integrales inmediatas: ∫ ∫ (a) (4x2 − 5x + 7) dx (d ) (x − sen x) dx ∫ ∫ 1 √ (b) dx (e) (x2 + 4)x(x2 − 1) dx 5 x ∫ ∫ 1 (c) dx (f ) (x − 1)3 dx 2x + 7 264. Calcular las siguientes integrales inmediatas: ∫ ∫ 2 (a) sen(x − π) dx (d ) dx x ∫ ∫ dx 7 (e) (b) dx 2 x−1 cos x √ ∫ ∫ x+ x (c) (ex + 3e−x ) dx (f ) dx x2 265. Calcular las siguientes integrales: ∫ ∫ dx dx (a) (b) x−4 (x − 4)2 ∫ √ 3x dx ∫ (h) (sen x + ex ) dx ∫ √ 3 (i ) x dx (g) ∫ 3 dx 1 + x2 ∫ dx √ (h) 1 − x2 ∫ (i ) tg2 x dx (g) ∫ (c) 266. Calcular las siguientes integrales: ∫ ∫ ex−4 dx e−2x+9 dx (a) (b) ∫ (x − 4)2 dx (d ) e5x dx (d ) ∫ (c) ∫ 267. Resuelve las siguientes integrales de tipo arcotangente: ∫ ∫ ∫ dx 4 dx 5 dx (a) (b) (c) 4 + x2 3 + x2 4x2 + 1 268. Calcula las siguientes integrales del tipo arcoseno: ∫ ∫ dx dx √ √ (a) (b) 2 1 − 4x 4 − x2 dx (x − 4)3 (3x − x3 ) dx ∫ (d ) ∫ (c) 2 dx 1 + 9x2 ex √ dx 1 − e2x 269. Calcular las siguientes integrales racionales: ∫ (a) x2 − 5x + 4 dx x+1 ∫ (b) x2 + 2x + 4 dx x+1 270. Calcular las siguientes integrales: ∫ ∫ 2x + 3 3x − 2 (a) dx (c) dx (x − 2)(x + 5) x2 − 4 ∫ ∫ x+2 dx (b) dx (d ) 2 2 x +1 x −x−2 271. Calcular las siguientes integrales: ∫ (c) ∫ x3 − 3x2 + x − 1 dx x−2 2x2 + 5x − 1 dx x3 + x2 − 2x ∫ 1 (f ) dx (x2 − 1)2 (e) 15 INTEGRAL INDEFINIDA 24 ∫ ∫ ∫ 2x2 + 7x − 1 dx 3 x + x2 − x − 1 ∫ 1 (b) dx 2 3x + 6x + 6 x−2 dx +x+2 ∫ x−1 (f ) dx 2 2x + 4x + 3 dx 2 x + 4x + 5 ∫ 3x + 1 (d ) dx 2 x + 2x + 2 (e) (c) (a) 272. Calcula las siguientes integrales: ∫ ∫ 2 (a) cos x sen3 x dx (b) 2xex dx ∫ (c) (d ) 275. Integrar por partes: ∫ (a) x2 e3x dx ∫ x (b) dx ex ∫ (c) artg x dx (f ) ∫ tg x sec2 x dx (1 + ln x)2 dx x ∫ √ (f ) (1 + cos x)3 sen x dx x cos x dx (g) x3 sen x dx (h) x ln x dx (i ) ∫ arcos x dx ∫ ∫ (f ) sen x dx cos5 x (e) ∫ (e) sen x cos x dx ∫ ∫ (d ) 1 3 ln x dx x ∫ ∫ 3x dx 2 − 6x2 (d ) (e) 274. Calcular las siguientes integrales: ∫ √ ∫ √ (a) (x + 3)5 dx (c) x2 − 2x(x − 1) dx ∫ ∫ x dx (x2 + 3)5 273. Calcular las siguientes integrales: ∫ ∫ 5 dx √ (a) x4 ex dx (c) 9 − x2 ∫ ∫ x dx √ (d ) (b) x sen x2 dx x2 + 5 (b) 2x2 x cos 3x dx ∫ x5 e−x dx 3 ∫ 276. Calcula cos(ln x) dx integrando por partes dos veces. 277. Calcula: ∫ ln x (a) dx x ∫ (b) 1 dx x ln x ∫ (c) ∫ sen x1 dx x2 (d ) artg x dx 1 + x2 278. Calcular: ∫ (a) √ sen x √ dx x ∫ (b) 279. Calcular: ∫ √ x x + 1 dx (a) (b) 280. Calcular: ∫ (a) sen2 x dx (b) ∫ √ ln x √ dx x ∫ (ln x)2 dx (c) ∫ x √ dx x+1 (c) cos2 x dx (c) ∫ 1 √ dx 1+ x ∫ ex cos x dx 15 INTEGRAL INDEFINIDA 25 281. Encuentra la primitiva de la funci´on: 1 1 + 3x f (x) = que se anula para x = 0. 282. Halla la funci´on F (x) para la que 1 ; x2 F ′ (x) = F (1) = 2 283. De todas las primitivas de la funci´on y = 4x − 6, ¿cu´al de ellas toma el valor 4 para x = 1? Soluciones (no se ha puesto la constante de integraci´ on): (263) (a) (i) 2 4x3 − 5x2 3√ 3x 3 x 4 + 7x (b) 5 √ 5 x4 4 (c) ln |2x + 7| (d) 1 2 x2 2 + cos x (e) x6 6 4 − 3x4 − 2x2 (f ) (264) (a) − cos(x + π) (b) 7 tg x (c) ex − 3e−x (d) 2 ln |x| (e) ln |x − 1| (f ) ln x − −1 x−4 (265) (a) ln |x − 4| (b) 3 (c) (x−4) 3 (266) (a) ex−4 (b) − 12 e−2x+9 (c) (267) (a) 1 2 (268) (a) 1 2 (269) (a) (270) (a) (f ) x 2 artg √4 3 (b) arsen x (b) arsen 2 ln |x2 +3x−10| ln |x + 1| − (d) 5 2 (c) 3x ln 3 − 1 4 sen4 x 4 artg (2x) (d) x2 2 2 3 (273) (a) ex 5 5 √ 2 ln(x2 +1)+2 2 x3 3 − x2 2 − x − 3 ln |x − 2| artg x (c) 2 ln(x+2)+ln(x−2) (d) 1 − 4(x+1) 1 4(x−1) −1 8(x2 +3)4 (b) − cos2x (c) arsen (x+3)7 7 (d) 3 2 (277) 1 3 ln(x−2)− 13 ln(x+1) (e) − 12 ln |x+2|+2 ln |x−1|+ 12 ln |x| ln(x2 +2x+2)−2 artg (x+1) (e) 1 4 √ ln(2x2 +x+2)− 3 1015 artg √ 2 1 x2 + 5 (e) − cos2 x (f ) 4 cos 4x √ √ 2 2 3 (x −2x) 2 (1+cos x)5 (1+ln x)3 tg x (b) − 14 ln |2 − 6x2 | (c) (d) (e) (f ) − 3 2 3 5 x 3 (d) 1 (c) x artg x− 12 ln(1+x2 ) (d) cos x+x sen x (e) −x3 cos x+3x2 (9x2 −6x+2)e3x (b) − 1+x 27 ex √ 3 1 2 1 2 (f ) 2 x ln x − 4 x (g) x arcos x − 1 − x2 (h) 19 cos 3x + 13 x sen 3x (i) − 13 (1 + x3 )e−x 1 x cos ln x + 12 x sen ln x 2 (a) 12 (ln x)2 (b) ln(ln x) (c) cos x1 (d) 12 ( artg x)2 √ √ √ 2 sen x−6 sen x+6x cos x (278) (a) −2 cos x (b) x ln x − 2 x (c) x (ln x) − 2x ln x + 2x √ √ √ √ √ 2 (279) (a) 15 (x + 1)3 (x − 2) (b) 23 x + 1(x − 2) (c) − ln |x − 1| + 2 x + ln | − 1 + x| − ln |1 + x| (280) (a) (281) (282) (283) 1 x 2 − 1 2 sen x cos x (b) 1 ln |1 + 3x| 3 −1 +3 x 2 2x − 6x − 7 4x+1 √ 15 (ln x)4 4 (275) (a) (276) (g) 3 artg x (h) arsen x (i) −x + tg x artg (3x) + x + 3 ln |x + 1| (c) 1 3 2 (h) − cos x + ex (c) arsen ex (b) ln |x − 1| − (b) ex (c) √ 2x 3x 3 x4 4 artg (x+1) (c) artg (x+2) (d) √ √ ln(2x2 + 4x + 3) − 2 artg (x + 1) 2 (272) (a) (274) (a) 1 2 1 4 3 (271) (a) 2 ln x− x+1 (b) (f ) x 2 x √ 3 − 6x + 10 ln |x + 1| (b) x 2 1 4 artg (g) −1 2(x−4)2 (d) 1 5x e 5 √2 x (x−1)4 4 1 x 2 + 1 2 sen x cos x (c) 1 x e 2 (sen x + cos x)
© Copyright 2024