1. Educación

Bachillerato Internacional
Matem´
aticas II. Curso 2014-2015
Problemas
´
1 REGLAS DE DERIVACION
1.
3
Reglas de derivaci´
on
Obtener la derivada de las siguientes funciones:
1. y = (x2 − 7x + 1)2
27. y = e2x
2. y = (4x2 + 5)3
28. y = e−x
3. y = (3x3 − 4x2 − 5x + 1)4
29. y = e3x
4. y = x3 (2x + 1)3
30. y = xe2x
5. y = (x − 3)2 (2x + 5)3
31. y = (x2 − 1)ex
x2 + 1
6. y = 2
3x − 2x + 3
32. y =
2
−3
2
3x + 1
7. y =
(x − 3)2
x2 − x + 2
(2x + 1)3
√
= x3 − x + 1
√
= 5x2 − 1
√
= 3x
√
= 3 x2 + 1
√
= 4x
√
= 4 x3 − 3x
8. y =
9. y
10. y
11. y
12. y
13. y
14. y
√
34. y = e x
√
35. y = 5ex − 2
36. y = ln(ex + 1)
37. y = log3 x
38. y = log2 (1 −
√
x)
39. y = 2x
40. y = 25x−1
√
41. y = 1 + ln x
42. y = (ln x)2
44. y = ex ln x
1
x2
45. y = sen 3x
+1
2x − 1
17. y = √
x
x3 + x
18. y = √
x2 + 1
√
19. y = (x2 − 3x + 1) 3x2 + 2
20. y = 3 ln(x2 − 3)
x2 − 4
x2 + 4
√
22. y = ln 4x2 + 1
21. y = ln
1
23. y =
ln x
24. y =
33. y = x2 e−x
43. y = (1 − ln x)3
1
15. y = √
x
16. y = √
ex
x
2
ln(x2 + 1)
46. y = tg(π − x)
47. y = cos2 x
48. y = 5 cos(2π − x)
49. y = 3 sen2 x
50. y = sen x cos x
51. y = sen2 x cos 2x
sen x
52. y =
cos2 x
53. y = e2 sen x
1
cos x
cos x
55. y =
sen x
56. y = ln tg x
54. y =
25. y = x ln x − x
57. y = xx
26. y = (x2 − 3x) ln(x + 1)
58. y = xcos x
´
1 REGLAS DE DERIVACION
1 − ex
1 + ex
√
1+ x
√
75. y = ln
1− x
(
)
76. y = log cos2 x − sen2 x
59. y = ln cotg x
74. y = ln
3 − 5x
2x + 7
x
61. y = ln √
2
x +1
60. y = ln
x2
62. y = ln √
x2 + 1
63. y =
1 − cos x
1 + cos x
√
1 + sen x
78. y = log
1 − sen x
√
79. y = arsen x
77. y = log
1 1 + sen x
ln
8 1 − sen x
64. y = ln cos ex
65. y = ln cos ex
2
66. y = atg x
67. y = acos x
√
68. y = a
69. y = e
4
80. y = arcos
1
x
81. y = x artg
1
x
2
sen x
√
x
a2 − x2 + arsen
a
√
1 + x2
83. y = ln
+ artg x
1+x
√
x
70. y =
ex + e−x
2
71. y =
e5x
1 + ex
72. y =
ex
x2
82. y =
84. y = xx
( x )x
85. y =
a
73. y = ax
86. y = (1 + x)
x
87. De la ecuaci´on de la trayectoria x = x0 + v0 t + 12 at2 obtener la f´ormula de la velocidad y la
aceleraci´on.
88. De la f´ormula
(1 + x)n = 1 +
( )
( )
( )
( )
n
n 2
n 3
n n
x+
x +
x + ··· +
x
1
2
3
n
obtener, derivando y haciendo x = 1, que
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n−1
n2
=
+2
+3
+ ··· + n
1
2
3
n
89. Obtener la derivada segunda de:
a) y = x3 − 5x2 + 4
b) y = x4 − 2x3 + 3x2 + 6
√
c) y = ln 1 − x2
d ) y = esen x
√
e) y = ln 1 + sen x
f ) y = x2 ex
90. Obtener la diferencial de:
a) y = 4x2 − 5x + 2
1
b) y =
1 + x2
c) y =
√
2x − 3
d ) y = x2 esen x
´
2 CALCULO
DE L´IMITES
2.
5
C´
alculo de l´ımites
91. Calcular los siguientes l´ımites:
x3 + 5x2 + x − 1
x→∞
3x2 + 4x + 2
x4
d ) l´ım
x→∞ 5x4 + 3x3 + 2x2 + x + 1
a) l´ım (3x2 − x + 5)
c) l´ım
x→2
b) l´ım (3x2 − x + 5)
x→∞
92. Calcular los siguientes l´ımites:
a) l´ım
x→∞ 3x3
x4
− 2x2 + 6x + 1
x3 − 6x2 + x + 14
x→2
x3 + x2 + 2
b) l´ım
x3 − 6x2 + 6
− x3 + x − 1
c) l´ım
x→1 x4
3x4
+ x2
d ) l´ım
x→0 x3
93. Calcular los siguientes l´ımites:
x2 − 25
x→5 x2 − 5x
c) l´ım
x4 − 2x3 + x − 2
x→2 x3 + 4x2 − 11x − 2
x3 + 5x2 + 10x + 12
x→−3 x3 + 2x2 − 2x + 3
d ) l´ım
a) l´ım
b) l´ım
x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4
x→−2
x4 + 4x3 + 4x2
94. Calcular los siguientes l´ımites:
x3 + 5x2 + 3x − 9
x→−3 x3 + 7x2 + 15x + 9
a) l´ım
x4 − 6x2 + 8x − 3
x→1 x4 − 2x3 + 2x − 1
b) l´ım
(
x−2
x2 − 4
−
2
x→2 x − 4
x−2
√
x− 5
d ) l´ım
√
2
x→ 5 x − 5
)
c) l´ım
95. Calcular los siguientes l´ımites:
x2 − 25
√
a) l´ım √
x→5
x− 5
√
x2 − 5x + 6
b) l´ım
x→2
x2 − 3x + 2
b) l´ım
x→2
d ) l´ım
(√
)
√
x2 + 3x − x2 + 2
x→∞
x→∞
1
1
−√
x−2
x−2
)
(√
x2 − 2 − x
x→∞
96. Calcular los siguientes l´ımites:
(√
)
√
a) l´ım
x3 − x2 + 1 − x3 − x + 1
(
c) l´ım
)
√
1−x−1
c) l´ım
x→0
x
(
)x
4x + 1
d ) l´ım
x→∞
2x
97. Calcular los siguientes l´ımites:
)x2
4x + 1
a) l´ım
x→∞
2x2
(
)2x
x−2
b) l´ım
x→∞
x+1
(
(
98. Calcular los siguientes l´ımites:
c) l´ım
x→∞
(
d ) l´ım
x→2
x2 + 1
x2 − 2
x+2
2x
)x
1
) x−2
´
2 CALCULO
DE L´IMITES
6
a) l´ım ln x
f ) l´ım+ log1/3 x
b) l´ım log3 x
g) l´ım ln(1 + x)
c) l´ım log1/2 x
h) l´ım log5 x
d ) l´ım+ ln x
i ) l´ım log3 x
e) l´ım log5 x
j ) l´ım
√ log3
x→∞
x→0
x→0
x→∞
x→5
x→∞
x→1
x→0
x→ 3
x→0+
1
x
99. Calcular los siguientes l´ımites:
x2 − 3x + 2
x→∞
x−2
3x + 5
b) l´ım 2
x→∞ x + 1
a) l´ım
x3 − 2x + 1
− 3x2 + 2x − 1
x2 − 5x + 2
d ) l´ım
x→∞
x4 − 1
c) l´ım
x→∞ x3
x4 − 3x3 + 2
x→∞
4x4 + 2
x5 − 3x3 + 2x
f ) l´ım
x→∞ x3 − 5x + 6
e) l´ım
100. Calcular los siguientes l´ımites:
x3 − 2x + 3
x→∞
1 + ex
2x
d ) l´ım x
x→∞ 3
x3
x→∞ ex
ex − 1
b) l´ım
x→∞
x2
a) l´ım
c) l´ım
ex
+x
e) l´ım
x→∞ 2x
f ) l´ım
5x
3x
e) l´ım
sen x
ln x
f ) l´ım
x
sen x
x→∞
101. Calcular los siguientes l´ımites:
ln x
x
x2
b) l´ım
x→∞ 5 ln x
ln x
ex
sen x
d ) l´ım
x→∞
x
a) l´ım
c) l´ım
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
102. Calcular los siguientes l´ımites:
a) l´ım
sen x
x2
b) l´ım
tg2 x
3x
x→0
x→0
arsen x
1 − cos x
x2
d ) l´ım
x→0 artg x
c) l´ım
x→0
sen2 x
x→0 cos x − 1
x + tg x
f ) l´ım
x→0
3x
e) l´ım
103. Calcular las as´ıntotas de las siguientes curvas:
a) y =
2x + 1
x−3
b) y =
x−3
2x + 4
c) y =
1
3x − 2
104. Calcular las as´ıntotas de las siguientes curvas:
a) y =
2x + 1
x2 − 4
b) y =
2x2 + 1
x2 − 1
c) y =
x2
1
+1
105. Calcular las as´ıntotas de las siguientes curvas:
a) y =
2x2 + 1
x−3
b) y =
Soluciones:
(91) (a) 15 (b) ∞ (c) ∞ (d)
1
5
(92) (a) ∞ (b) 0 (c) ∞ (d) 0
(93) (a) 2 (b)
7
13
(c)
9
17
(d)
5
4
x3 + 1
x2 − 3x + 2
c) y =
x4 + 1
x2 − 3
3 CONTINUIDAD
7
1
(94) (a) 2 (b) 2 (c) − 15
(d) √
4
2 5
√
(95) (a) 20 5 (b) ∄ (c) 0 (d) 32
(96) (a) −∞ (b) ∞ (c)
1
2
(d) ∞
(97) (a) 0 (b) e−6 (c) 1 (d) e−4
(98) (a) ∞ (b) ∞ (c) −∞ (d) −∞ (e) −∞ (f ) ∞ (g) 0 (h) 1 (i) 0 (j ) − 12
(99) (a) ∞ (b) 0 (c) 1 (d) 0 (e)
1
4
(f ) ∞
(100) (a) 0 (b) ∞ (c) 0 (d) 0 (e) ∞ (f ) ∞
(101) (a) 0 (b) ∞ (c) 0 (d) 0 (e) 0 (f ) ∄
(102) (a) ∞ (b) 0 (c) ∞ (d) 0 (e) −2 (f )
(103) (a) x = 3, y = 2 (b) x = −2, y =
1
2
2
3
(c) x =
2
,
3
y=0
(104) (a) x = −2, x = 2, y = 0 (b) x = −1, x = 1, y = 2 (c) y = 0
√
√
(105) (a) x = 3, y = 2x + 6 (b) x = 1, x = 2, y = x + 3 (c) x = − 3, x = 3
3.
Continuidad
106. Estudiar la continuidad de la funci´on:
{
2x + a
si x ≤ 1
f (x) =
x2 − ax + 2 si x > 1
seg´
un los valores de a.
107. Estudiar la continuidad de la funci´on:
f (x) =
x3 − 2x2 + x − 2
x2 − x − 2
108. Calcular a y b para que la siguiente funci´on sea continua:

2

x + ax si x ≤ −1
f (x) = b
si − 1 < x < 3


2x + 4
si x ≥ 3
109. Estudiar los puntos de discontinuidad de la funci´on:
y=
12
2
−
x − 3 x2 − 9
110. Hallar el valor de k para que la funci´on:
 4

 x − 1 si x =
̸ 1
x−1
f (x) =

k
si x = 1
sea continua en x = 1.
111. ¿C´omo hay que definir en x = 1 la funci´on:
√
x−1
y=
x ̸= 1
x−1
para que sea continua en ese punto?
112. Estudiar la continuidad de la funci´on:
{
eax
si x ≤ 0
f (x) =
x + 2a si x > 0
seg´
un los valores de a.
4 TEOREMA DE BOLZANO
8
113. De la funci´on g(x) se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, 1] y que para 0 < x ≤ 1 es:
x2 + x
x
¿Cu´anto vale g(0)?
g(x) =
114. Sea la funci´on:
x2 − 4
f (x) =
x−2
El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando x = 2. ¿C´omo se deber´ıa elegir el valor
de f (2) para que la funci´on f sea continua en ese punto?
Soluciones:
(106)
(107)
(108)
(109)
(110)
(111)
Para a = 12 es continua en x = 1. Para los dem´
as valores hay un salto finito.
En x = 2 hay una discontinuidad evitable. En x = −1 hay un infinito de la funci´
on.
a = −9, b = 10.
En x = 3 hay una discontinuidad evitable. En x = −3 hay un infinito.
k = 4.
La funci´
on tiene que valer 12 .
(112) La funci´
on es continua en x = 0 para a =
(113) Tiene que valer g(0) = 1.
(114) Debe elegirse f (2) = 4.
4.
1
.
2
Teorema de Bolzano
115. Demostrar que la ecuaci´on x3 − 3x + 40 = 0 tiene alguna soluci´on en el intervalo (−4, −3).
116. Demostrar que las gr´aficas de las funciones f (x) = ln x y g(x) = e−x se cortan en alg´
un punto.
117. Dada la funci´on f (x) = x3 + x − 5, demostrar que existe un c ∈ (1, 3) tal que f (c) = 20.
118. Comprobar que la ecuaci´on sen x − 2x + 3 = 0 tiene una soluci´on en el intervalo (1, 2).
119. Comprobar que la funci´on f (x) = x5 − x3 − x + 5 toma el valor −1 en el intervalo (−2, −1).
120. Demostrar que la funci´on f (x) = xe−x + 3 toma el valor
3
2
en el intervalo (−1, 0).
121. Demostrar que la ecuaci´on sen x − cos x + 2x = 3 tiene una soluci´on en el intervalo (1, 2).
122. Comprobar que la funci´on f (x) = cos x − x + 1 corta al eje OX en al menos un punto, e indica un
intervalo de extremos de n´
umeros enteros consecutivos al cual pertenezca dicho punto.
123. Lo mismo para la funci´on f (x) = xex − x − 16.
124. Demostrar que las gr´aficas de las funciones f (x) = x3 + x2 y g(x) = cos πx − 2 se cortan en un
punto x0 . Calcular la parte entera de x0 .
125. Demostrar que la ecuaci´on x3 + 3x2 + 4x − 7 = 0 tiene al menos una soluci´on.
126. Comprobar que la ecuaci´on 2x = cos x tiene al menos una soluci´on.
127. Demostrar que las gr´aficas de las funciones f (x) = x3 + x2 y g(x) = 3 + cos x se cortan en alg´
un
punto.
128. Sea la funci´on:


x − 4
4
f (x) =

e−x2
si 0 ≤ x ≤
si
1
2
1
2
<x≤1
Observamos que f est´
a definida en [0, 1] y que toma valores de signos opuestos en los extremos
de este intervalo. Sin embargo, no existe ning´
un c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 0. ¿Contradice esto el
teorema de Bolzano?
5 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
5.
9
Continuidad y derivabilidad
129. Consid´erese la funci´on:
{
eax
x≤0
f (x) =
2x + 1 x > 0
donde a es un n´
umero real.
a) Calcular l´ım f (x) y comprobar que f (x) es continua en x = 0.
x→0
b) ¿Para qu´e valor del par´ametro a la funci´on es derivable en x = 0?
130. Determinar el valor de a para el cual la siguiente funci´on es derivable en x = 0:
{
cos x
x≤0
f (x) =
2
x +a x>0
131. Dada la funci´on:
{
ax2 + 1
f (x) =
e2−x
x<2
x≥2
calcular a para que f sea continua en x = 2. Para el valor obtenido, ¿es derivable la funci´on en
x = 2?
132. Discutir seg´
un los valores de m la continuidad y la derivabilidad de la funci´on:

3 − mx2 x ≤ 1
f (x) =
 2
x>1
mx
133. Determinar los valores de a y
 2
bx + ax




a
f (x) = x


2


 x + ax + 1
x+1
b para que la siguiente funci´on sea derivable en todos sus puntos:
x ≤ −1
−1 < x ≤ 1
x>1
134. Dada la funci´on:
{
x2 + ax + b x < 1
f (x) =
cx
x≥1
Calcular a, b y c para que la funci´on sea derivable en x = 1, sabiendo que f (0) = f (4).
135. Estudia la derivabilidad de las funci´on f (x) = |x2 − 7x + 12| en x = 4.
√
136. La funci´on f (x) = x no es derivable en x = 0 y la funci´on g(x) = sen x, s´ı. ¿Es derivable en x = 0
la funci´on p(x) = x sen x?
137. Sea la funci´on:
{
sen x
f (x) =
x − 3π
3π
2
< x < 3π
x ≥ 3π
Estudiar su continuidad y su derivabilidad en x = 3π.
6 RECTA TANGENTE
6.
10
Recta tangente
138. Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = x2 − 5x + 6 en el punto de abscisa x = 2
139. Calcular la ecuaci´on de la recta tangente a la curva −x2 + 2x + 5 en el punto de abscisa x = −1
140. Calcular la ecuaci´on de la recta tangente a y = 3x2 − 4x + 2 que tenga pendiente igual a 2.
√
141. Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = x + 4 en el punto de abscisa 0.
142. Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x3 − 3x que sean paralelas a la recta
y = 6x + 10.
143. Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = 4 − x2 en los puntos de corte con el
eje de abscisas.
144. Hallar los puntos de tangente horizontal de la curva y = x3 − 3x2 − 9x − 1.
145. Hallar los puntos de tangente horizontal de las siguientes curvas:
a) y = 3x2 − 2x + 1
b) y = x3 − 3x
146. ¿En qu´e puntos de y = 1/x la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante?.¿Tiene
alg´
un punto de tangente horizontal?
147. ¿En qu´e punto la recta tangente a la curva y = x2 − 6x + 5 es paralela a la recta y = 2x − 3?
148. ¿En qu´e puntos la recta tangente a y = x3 − 4x tiene la pendiente igual a 8?
149. Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y =
2x
que son paralelas a 2x+y−1 = 0.
x−1
150. Calcula la ecuaci´on de la tangente a la curva y = ln x trazada desde el origen.
√
1+x
151. ¿Hay alg´
un punto de la gr´afica de y = ln
con tangente horizontal?
1−x
152. Calcula la ecuaci´on de la recta tangente a la curvaf (x) = sen x en el origen.
153. ¿Hay alg´
un punto de la gr´afica de f (x) = tg 2x en el que la tangente tenga menor pendiente que la
bisectriz del primer cuadrante?
154. Encuentra los puntos con abscisa en [0, 2π] para los que la tangente a la curva f (x) = sen x + cos x
sea horizontal.
155. Obt´en la ecuaci´on de la tangente a la curva x2 + y 2 = 13 en P (2, 3) de dos formas: utilizando la
derivaci´
on impl´ıcita y despejando y.
156. Usa la derivaci´
on impl´ıcita para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva x2 y 3 = 2 en
el punto de abscisa x = 1
157. Dada la funci´on:
√
 x ln x
f (x) =
2x

x+k
si x ≥ 0
si x < 0
se pide:
a) Determinar el valor de k para que la funci´on sea continua en R.
b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
c) Obtener la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de la funci´on en el punto del abscisa
x = 1.
7 PROBLEMAS DE MOVIMIENTO
11
158. Determinar las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gr´afica de la funci´on
f (x) = xex +
x3 − 2
x2 + 4
en el punto de abscisa x = 0.
159. Halla el ´area del tri´angulo formado por el eje X y las rectas tangente y normal a la curva de ecuaci´on
y = e−x en el punto de abscisa x = −1.
7.
Problemas de movimiento
160. Una part´ıcula se mueve a lo largo de una recta de tal forma que su posici´on en un tiempo t est´a dada
por:
x(t) = t3 − 7t2 + 11t − 2,5
a) Calcular la velocidad y aceleraci´on en el tiempo t.
b) Calcula el tiempo en que la part´ıcula est´a en reposo y cuando est´a acelerando y frenando.
Justifica las respuestas.
c) Calcula los valores de t en que el movimiento cambia de sentido.
d ) Calcular la distancia recorrida en los primeros 3 segundos.
161. La posici´on de una part´ıcula t segundos despu´es de que comience el movimiento est´a dada por la
funci´on:
x(t) =
1 3
t − 3t2 + 8t
3
metros. Calcular:
a) La velocidad y aceleraci´on en funci´on de t.
b) El momento en que la part´ıcula est´a (i) en reposo (ii) acelerando (iii) frenando.
c) La aceleraci´on cuando la velocidad de la part´ıcula es cero. Interpretar la respuesta.
d ) El momento en que la part´ıcula cambia de direcci´on.
e) La distancia recorrida en los primeros cinco segundos.
8.
Problemas BI
162. Una caja sin tapa se construye cortando cuadrados en los v´ertices de una pieza de cart´on cuadrada
de 4 m de lado. Calcular el tama˜
no de los cuadrados de forma que el volumen de la caja sea m´aximo.
163. Calcular las dimensiones de una lata cil´ındrica de un litro de capacidad de forma que su superficie
sea m´ınima. Calcular las dimensiones del rect´angulo de ´area m´axima cuya base est´a en el eje de
abscisas y sus otros dos v´ertices sobre la par´abola y = 10 − x2 .
164. Una l´amina de lat´on de 36 cm de per´ımetro se enrolla para formar un cilindro.
a) Calcular sus dimensiones de forma que el volumen del cilindro sea m´aximo.
b) La misma l´amina gira alrededor de uno de sus lados para generar el cilindro. Calcular las
dimensiones para que el volumen sea m´aximo.
165. Calcular la pendiente de la recta tangente a la circunferencia x2 + y 2 = 1 en el punto (0, 1).
166. Calcular la derivada del folium de Descartes x3 + y 3 − 9xy = 0.
167. El punto P (2, m) donde m < 0 se encuentra en la curva 2x2 y + 3y 2 = 16:
8 PROBLEMAS BI
12
a) Calcular el valor de m.
b) Calcular la pendiente de la normal y la tangente en P .
168. Dada la curva x + y = x2 − 2xy + y 2 :
a) Calcular su derivada.
2
.
2x − 2y + 1
(
)3
d2 y
dy
c) Demostrar que
=
1
−
.
dx2
dx
b) Demostrar que 1 −
dy
dx
=
169. Una escalera de 10 m de longitud se encuentra apoyada sobre una pared. La parte superior desliza
sobre la pared con una velocidad de 0,5 m s−1 . Calcular la velocidad con que desliza sobre el suelo
el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 6 m de la pared.
170. Un dep´osito c´onico se llena con agua a raz´on de 3 m3 min−1 . El dep´osito est´a situado con el v´ertice
hacia abajo. ¿A qu´e velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 m y el radio de
la superficie del agua es de 1,5 m?
171. El volumen de un cubo aumenta a 1,5 m s−1 .Calcular la velocidad con que aumenta la superficie
del cubo cuando su volumen es de 81 m3 .
172. Un avi´
on que vuela a una altura de 8000 m pasa sobre una estaci´on de radar. Cuando el avi´on
se encuentra a 12000 m de la estaci´on, el radar obtiene que la distancia est´a cambiando con una
velocidad de 320 km h−1 . Calcular la velocidad del avi´on en ese momento.
173. Dos circunferencias conc´entricas se est´an expandiendo. En el tiempo t el radio de la circunferencia
exterior es de 9 m y est´a creciendo a un ritmo de 1,2 m s−1 . El radio de la circunferencia interior es
de 1 m y crece a 1,5 m s−1 . Calcular la velocidad de crecimiento del ´area de la corona comprendida
entre ambas circunferencias en el tiempo t.
174. Calcular los valores de a para los que la serie
a2 +
a2
a2
+
+ ···
1 + a2
(1 + a2 )2
es convergente y calcular su suma.
175. Dada la funci´on:
y=
x3 − 2x2 + 5
x2 − x3
calcular:
a) Su as´ıntota horizontal.
b) Los puntos en que la curva se corta con su as´ıntota.
176. Sea f una funci´on par definida en el intervalo (−a, a), a > 0. Demostrar que si f es derivable en
todo su dominio, la tangente a su gr´afica en x = 0 es paralela al eje x.
177. Si f es una funci´on tal que f (x) = [g(x)]3 , g(0) = − 12 , g ′ (0) = 83 , calcular la ecuaci´on de la tangente
a f (x) en x = 0.
178. Consid´erese la funci´on:
y=
2x
x2 − 1
a) Calcular las as´ıntotas horizontales y verticales.
b) Demostrar que la funci´on es impar.
c) Comprobar que y ′ < 0 para todo x de su dominio.
9 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
13
d ) Representar gr´aficamente la funci´on.
√
x.
179. Calcular la menor distancia del punto (1,5, 0) a la curva y =
180. Con una pieza de alambre de 80 cm se forman dos circunferencias iguales y un cuadrado. Calcular
el radio de las circunferencias si queremos que la suma de las tres ´areas sea m´ınima.
181. Una escalera de 10 m de longitud se apoya contra una pared. En determinado momento, el extremo
superior empieza a deslizar hacia abajo con una velocidad de 0,5 m s−1 . Calcular la velocidad de
cambio del ´angulo que forma la escalera con el suelo cuando la escalera se apoya a 8 m del suelo.
182. Un c´amara profesional se encuentra filmando un safari. Supongamos que est´a situado a 30 m de un
´arbol, siguiendo a unos p´ajaros que vuelan a una velocidad de 95 km h−1 . Los p´ajaros se mueven
perpendicularmente a la l´ınea que une el ´arbol con el c´amara. ¿A qu´e velocidad debe girar la c´amara
para seguir a un p´ajaro:
a) Que est´a justo enfrente de la c´amara.
b) Un segundo despu´es.
9.
Crecimiento y decrecimiento. Concavidad y convexidad
183. Estudiar la monoton´ıa de las siguientes funciones:
a) f (x) = x2 (x + 1)
b) f (x) = −x4 + 3x2 − 2x
184. Estudiar la monoton´ıa de:
a) f (x) =
x2 − 2x + 2
x−1
b) f (x) =
x
x2 + 2
185. Estudiar la monoton´ıa de:
a) f (x) = 3x2 ex
c) f (x) =
ln x
x2
1
+ ln x
x
√
d ) f (x) = x ln x
b) f (x) =
186. Determinar los m´aximos y m´ınimos de las siguientes funciones utilizando la derivada segunda:
(x − 1)2
x2 + 1
a) y = x3 − 24x − 6
b) y =
c) y = ln(x2 + 1)
d ) y = (x2 + 4)ex
187. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexi´on de las siguientes
funciones:
a) y = x3 − 3x2 + 2x + 4
b) y =
x2
−1
x2
√
9 + x2
d) y =
ln x
2x
e) y = 4 cos x − cos 2x
f) y =
x2
ex
c) y =
188. Sea f (x) = x2 + mx donde m es un par´ametro real. Hallar el valor de m para que f (x) tenga un
m´ınimo relativo en x = − 34 .
9 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
14
189. Se considera la funci´on:
f (x) = aex
2
+bx+c
;
a>0
Calcular los par´ametros a, b y c sabiendo que la funci´on tiene un m´ınimo relativo en el punto (1, a)
y f (0) = 1.
190. Determinar los valores de a, b y c para que la funci´on:
f (x) = x3 + ax2 + bx + c
pase por el origen de coordenadas, tenga un punto de inflexi´on en x = −1 y su recta tangente en
x = 1 tenga pendiente 3.
191. Calcula para f (x) = (x+1)e−x los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos,
los puntos de inflexi´on y los intervalos de concavidad y convexidad.
192. Hallar los m´aximos y m´ınimos relativos y los puntos de inflexi´on de la funci´on:
f (x) =
3x2 + x + 3
x2 + 1
193. Demostrar que la curva de ecuaci´on
y = x4 − x3 + x2 − x + 1
no tiene ning´
un punto de inflexi´on.
194. Sea f : R → R la funci´on definida por:
f (x) = 2x3 + 12x2 + ax + b
Determinar a y b sabiendo que la recta tangente a la gr´afica de f en su punto de inflexi´on es la
recta y = 2x + 3.
195. Calcular los valores del par´ametro a, a ̸= 0, que hacen que las tangentes a la curva de ecuaci´on
y = ax4 + 2ax3 − ax + 1,512
en los puntos de inflexi´on sean perpendiculares.
196. Se considera la funci´on
f (x) = x3 + ax2 + bx + c
donde a, b y c son par´ametros reales.
a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gr´afica de f (x) en los
puntos de abscisas x = 2 y x = 4 son paralelas al eje X.
b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valor de c para el que se cumple
que el punto de inflexi´on de la gr´afica de f (x) est´a en el eje X.
197. Demuestra que la curva f (x) = x − 2 cos x tiene un punto de inflexi´on en el interior del intervalo
[0, π] y halla la ecuaci´on de la recta tangente a la curva en ese punto. Haz un dibujo en un entorno
del punto hallado.
198. Hallar una funci´on polin´omica de tercer grado que tenga un extremo relativo en (1, 1) y un punto
de inflexi´on en (0, 3). ¿Es (1, 1) el u
´nico extremo de la funci´on?.
Soluciones:
(
(183) (a) creciente en (−∞, − 23 ) ∪ (0∞) (b) creciente en −∞,
√ )
−1− 3
2
∪
(
)
√
−1+ 3
,1
2
10 TEOREMAS DE ROLLE Y DEL VALOR MEDIO
15
( √ √ )
(184) (a) creciente en (−∞, 0) ∪ (2, ∞) (b) creciente en − 2, 2
(185) (a)(creciente
(0, ∞), m´
aximo en x = −2 (b) decreciente en (−∞, −4), m´ınimo en x = −4 (c) creciente
√ ) en (−∞, −2) ∪√
en 0, e , m´
aximo en x = e (d) decreciente en (0, 1e ), m´ınimo en x = 1e
√
√
(186) (a) m´
aximo en x = −2 2, m´ınimo en x = 2 2 (b) m´
aximo en x = −1, m´ınimo en x = 1 (c) m´ınimo en x = 0 (d) no
hay extremos relativos
(187) (a) c´
oncava en (1, ∞) (b)( c´
oncava
puntos de inflexi´
on en x = −1 y x = 1 (c) c´
oncava en
) en (−∞, −1) [∪ (1, ∞),
√
√
) ( 4π
]
3
(−∞, ∞) (d) convexa en 0, e 2 (e) convexa en 0, 2π
∪
,
2π
(f
)
c´
o
ncava
en
(−∞,
2
−
2)
∪
(2
+
2, ∞)
3
3
(188) m =
(189) a =
3
2
1
,b
e
= −2, c = 1
(190) a = 3, b = −6, c = 0
(191) creciente en (−∞, 0), c´
oncava en (1, ∞)
(192) m´
aximo en x = −1, m´ınimo en x = 1, punto de inflexi´
on en x = 0
(193) La derivada segunda no tiene ra´ıces
(194) a = 26, b = −19
(195) a = −1, a = 1
(196) a = −9, b = 24, c = −18
(
)
(197) y − π2 = 3 x − π2
(198) a = 1, b = 0, c = −3, d = 3.
10.
Teoremas de Rolle y del valor medio
199. Estudiar si se puede aplicar el teorema de Rolle a f (x) = 2 tg x en el intervalo [0, π] y, si es posible,
determinar el punto en el que la derivada se anula.
√
200. Razonar si se puede aplicar el teorema de Rolle a la funci´on f (x) = 3 (x − 2)2 en el intervalo [0, 4].
201. Aplicar el teorema de Rolle a la funci´on f (x) = x2 + 2x − 3 en el intervalo [−4, 2] e interpretarlo
geom´etricamente.
202. Cada una de las funciones siguientes toma el mismo valor en los extremos del intervalo [−2, 2], pero
no hay ning´
un valor ξ ∈ (−2, 2) en el que la derivada se anule. Justificar en cada caso por qu´e no
contradicen el teorema de Rolle:
1
a) f (x) = 4
x
b) f (x) = 2 − |x|
203. Probar que la funci´on f (x) = x3 +x2 −x−1 satisface las hip´otesis del teorema de Rolle en el intervalo
[−1, 1] y calcula un punto del intervalo abierto (−1, 1) cuya existencia garantiza el teorema.
204. Demostrar que la ecuaci´on 1 − x = ex solamente tiene una soluci´on.
205. Demostrar que la ecuaci´on x2 = x cos x − sen x se verifica para un solo valor de x.
206. Demuestra que la curva y = x3 − 3x + 1 solo corta al eje X en un punto del intervalo [0, 1].
207. Demostrar que la ecuaci´on x3 + x2 + 2x − 1 = 0 solo tiene una soluci´on real.
208. Dado el intervalo I = [0, 5] y dadas las funciones f (x) = x2 − Ax, encontrar el valor de A para que
se pueda aplicar el teorema de Rolle al intervalo I y aplicar el teorema en ese caso.
√
209. Utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, demostrar que las curvas y = cos x e y = x se cortan
en un u
´nico punto del intervalo (0, π).
√
210. Demostrar que se puede aplicar el teorema del valor medio a la funci´on f (x) = x2 + 9 en el
intervalo [0, 4] y halla el punto que verifica el teorema.
211. Aplicar el teorema del valor medio a la funci´on f (x) = −x2 + 2x − 8 en el intervalo [−3, 3] e
interpretarlo geom´etricamente.
ˆ
11 REGLA DE L’HOPITAL
16
212. Razonar si es aplicable el teorema del valor medio a la funci´on
{
x ln x x > 0
f (x) =
0
x=0
en el intervalo [0, e]. En caso afirmativo, hallar el valor al que se refiere el teorema.
213. Dada la funci´on:
f (x) = xx − 2x + x − 1
demostrar que existen α, β ∈ (1, 2) tales que f (α) = 0 y f ′ (β) = 2. Decir que teorema se utiliza.
214. Sea f (x) = x3 + 2x − 1 y sea el intervalo I = [0, 2]. Aplicar el teorema del valor medio a la funci´on
f en el intervalo I, hallando el punto de dicho intervalo cuya existencia asegura el teorema.
215. Dada la funci´on
f (x) = x cos
πx
2
demostrar que existe ξ ∈ (1, 2) tal que f ′ (ξ) = −2. Citar los teoremas que se utilicen.
11.
Regla de l’Hˆ
opital
216. Calcular los siguientes l´ımites:
x2 − 4x + 4
x→2
x2 − 4
a) l´ım
c) l´ım
x→0
sen x − x cos x
x3
ex − e−x
x→0 2 sen x
√
x2 − 5 − 2
d ) l´ım
x→3
x−3
b) l´ım
217. Calcular los siguientes l´ımites:
ex − x − sen x
x→0
sen2 x
a) l´ım
2
ex − 1
x→0 cos x − 1
b) l´ım
ex − e−x − 2x
x→0
x − sen x
c) l´ım
218. Calcular los siguientes l´ımites:
a) l´ım
x→0
x
ln(1 + x)
x2
x→0 1 − cos x
b) l´ım
sen2 2x
x→0 x3 + x
ln x
x→0 cotg x
c) l´ım
d ) l´ım
219. Calcular:
(
a) l´ım x cotg x
b) l´ım
x→0
x→0
1
c) l´ım (ex − x) x
x→0
220. Calcular:
1
− cotg x
x
1 + x − ex
x→0
sen2 x
d ) l´ım
)
ˆ
11 REGLA DE L’HOPITAL
17
√
x2 − 5 − 2
a) l´ım
x→3
x−3
(
1−
b) l´ım
x→∞
1
x2
)x
221. Calcular:
ex sen x − x
x→0 2x2 + x4
b) l´ım
a) l´ım
x→0
x − sen x
tg x − sen x
222. Calcular:
(
a) l´ım
x→1
1
1
−
ln x x − 1
)
(
b) l´ım x
x→∞
artg ex −
π)
2
223. Calcular:
a) l´ım (ln x)e
(
−x
b) l´ım
x→∞
x→∞
1 + tg
1
x
)x
224. Calcular:
√
√
x+1− x−1
√
a) l´ım √
x→∞
x+2− x−2
√
ln 1 − cos x
ln(1 − cos x)
b) l´ımπ
x→ 2
225. Calcular, si existen, los siguientes l´ımites:
a) l´ım+ (sen x)tg x
b) l´ım
x→0
x→0
sen x
|x|
226. Calcular:
√
x2 + 1 − 1
a) l´ım
x→0
x2
)
( n
2 −8
c) l´ım
n→∞
2n+1
b) l´ım+ (x2 − 1) tg
x→1
πx
2
227. Calcular los valores del n´
umero real a sabiendo que:
eax − 1 − ax
=8
x→0
x2
a) l´ım
c) l´ım
b) l´ım
x→0
ln(1 + ax)
=3
sen 2x
2x
=4
− 1)
x→∞ ln(eax
228. Calcular los valores de λ ̸= 0 para los cuales:
sen x2
= −1
x→0 cos2 λx − 1
l´ım
229. Calcular:
a) l´ım (x − 2) ln(x − 2)
x→2
c) l´ım (cos x + sen x)
x→0
e) l´ım
x→∞
√
x
x2 + 2
1
x
b) l´ım xsen x
x→0
1
d ) l´ım (x3 − 1) x
x→∞
´
12 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION
18
Soluciones:
(216) (a) 0 (b) 1 (c)
1
3
(d)
3
2
(217) (a) ∞ (b) −2 (c) 2
(218) (a) 1 (b) 2 (c) 0 (d) 0
(219) (a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) − 12
(220) (a)
(221) (a)
(222) (a)
3
2
1
2
1
2
(b) 1
(b)
1
3
(b) 0
(223) (a) 1 (b) e
(224) (a)
1
2
(b)
1
2
(225) (a) 1 (b) −1 a la izquierda y 1 a la derecha
(226) (a)
1
2
(b) − π4 (c)
1
2
(227) (a) a = ±4 (b) a = 6 (c) a =
1
2
(228) λ = ±1
(229) (a) 0 (b) 1 (c) e (d) 1 (e) 1
12.
Problemas de optimizaci´
on
230. De todos los cilindros que pueden inscribirse en una esfera de 9 cm de radio, hallar la altura y el
radio del que tiene mayor volumen.
231. Descomponer el n´
umero 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer
sumando m´as el cuadrado del segundo sea m´ınima.
232. ¿En qu´e punto de la par´abola y = 4 − x2 la tangente forma con los ejes coordenados un tri´angulo
de ´area m´ınima?
233. Determinar el punto de la par´abola y = x2 que est´a m´as pr´oximo al punto (3, 0).
234. Determinar un punto de la curva de ecuaci´on y = xe−x en el que la pendiente de la recta tangente
sea m´axima.
2
235. Consid´erense las funciones f (x) = ex y g(x) = −e−x . Para cada recta r perpendicular al eje X, sean
A y B los puntos de corte de dicha recta con las gr´aficas de f y g respectivamente. Determ´ınese la
recta r para el cual el segmento AB es de longitud m´ınima.
236. El coste del marco de una ventana rectangular es de 12,50 euros por metro lineal de los lados
verticales y 8 euros por metro lineal de los lados horizontales.
a) Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana de 1 m2 de
superficie para que resulte lo m´as econ´omico posible.
b) Calcular, adem´as, el coste de este marco.
237. De entre todos los rect´angulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre
los ejes coordenados y un v´ertice en la recta r de ecuaci´on
x
+y =1
2
determinar el de ´area m´axima.
238. Consid´erese el recinto limitado por la curva y = x2 y la recta y = 3. De entre los rect´angulos que
tienen un lado sobre la porci´on de recta que queda sobre la curva y los otros dos v´ertices sobre la
par´abola, determinar el que tiene ´area m´axima.
239. Un trozo de alambre de longitud 20 se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rect´angulo
cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Encontrar las
longitudes de ambos trozos para que sea m´ınima la suma del ´area del rect´angulo y la del cuadrado.
´ DE FUNCIONES
13 REPRESENTACION
19
240. Una cartulina tiene forma rectangular con 30 cm de base y 20 cm de altura. Se quiere construir un
caj´on sin tapa con la forma resultante tras recortar cuatro cuadrados de lado x en cada esquina
de la cartulina. Calcular x para que el volumen del caj´on resultante sea m´aximo. Calcular dicho
volumen.
Soluciones:
√
√
(230) r = 3 6, h = 6 3
(231) 2 y 6
(232) x = − √2 , x =
3
√2
3
(233) x = 1
(234) x = 0
(235) x = 0
(236) 80 cm y 125 cm
(
)
(237) El que tiene un v´
ertice en 1, 12
(238) El que tiene un v´
ertice en (1, 1)
(239)
(240)
13.
180
17
160
17
√
25−5 7
3
y
Representaci´
on de funciones
241. Estudiar y representar las siguientes funciones:
8
−4
1
b) y = x +
x
a) y =
x2
242. Representar gr´aficamente la funci´on y = x3 − 3x.
243. Dada la funci´on
y=
x−1
x+1
determ´ınense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los
puntos de inflexi´on y las as´ıntotas. Esb´ocese su gr´afica.
244. Se considera la funci´on:
y=
x2
x
+1
a) Halle sus as´ıntotas, m´aximos y m´ınimos.
b) Repres´entese gr´aficamente la funci´on.
245. Estudiar (dominio, crecimiento, m´aximos, m´ınimos y as´ıntotas) y representar gr´aficamente la funci´on:
y=
2x − 1
x − x2
246. Representar gr´aficamente la funci´on:
y=
x3
1 − x2
estudiando las as´ıntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
´ DE FUNCIONES
13 REPRESENTACION
20
1
247. Calcular las as´ıntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´on: y = e x y
representarla gr´aficamente.
248. Se considera la funci´on:
y=
(x + 1)2
ex
Hallar los extremos locales y los puntos de inflexi´on. Representar gr´aficamente la funci´on.
249. Sea la funci´on f (x) = x2 e−x .
a) Comprobar que la recta y = 0 es as´ıntota horizontal en +∞.
b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Con los datos anteriores, hacer una representaci´
on aproximada de la funci´on.
250. Representar gr´aficamente las funciones:
a) y = x ln x
b) y =
x
ln x
251. Sea f (x) = 2 − x + ln x con x ∈ (0, ∞). Se pide:
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.
b) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad.
c) Determinar las as´ıntotas y esbozar la gr´afica.
Soluciones:
(241)
(242)
(243)
´ DE FUNCIONES
13 REPRESENTACION
(244)
(245)
(246)
(247)
(248)
(249)
(250)
21
´ PROBLEMAS DE OPTIMIZACION
´
14 MAS
22
(251)
14.
M´
as problemas de optimizaci´
on
252. Hallar el rect´angulo de ´area m´axima inscriptible en un tri´angulo is´osceles de base 6 cm y altura
10 cm. Generalizar.
253. Hallar el rect´angulo de ´area m´axima inscriptible en un semic´ırculo.
254. Demostrar que de todos los rect´angulos de igual per´ımetro, el de ´area m´axima es el cuadrado.
255. Hallar el cilindro de m´aximo volumen inscriptible en un cono recto circular de radio 10 cm. y altura
20 cm. Generalizar.
256. Demostrar que todos los cilindros de igual superficie, el de volumen m´aximo es el de altura igual al
di´ametro.
257. Inscribir en una esfera el cilindro, de volumen m´aximo.
258. Idem de ´area m´axima.
259. Demostrar que la altura del cono de volumen m´aximo inscrito en una esfera vale los 4/3 del radio.
(Tomar como variable dicha altura.)
260. Calcular las dimensiones de un dep´osito c´onico invertido abierto, de 2000 litros de capacidad, de
modo que requiera la m´ınima cantidad de superficie.
261. Sabido es que el desarrollo de la superficie lateral de un cono es un sector circular. Dado un c´ırculo,
¿cu´al es el sector correspondiente a un cono de m´aximo volumen?
262. La superficie lateral de una caldera cil´ındrica de 3 m3 de capacidad est´a hecha de material que
cuesta 2 euros el dm2 , mientras los c´ırculos de las bases cuestan a 3 euros el dm2 . Calcular las
dimensiones m´as econ´omicas.
Soluciones
(252) La base es 3 cm y la altura 5 cm.
√
(253) La base es R 2 y la altura √R .
2
(254) La base debe ser la cuarta parte del per´ımetro.
(255) El radio es
(256) El radio es
(257) El radio es
20
3
√
cm y la altura
S
6π
√
R√ 2
3
(260) El radio es r =
cm.
y la altura el doble. S es el ´
area total.
y la altura
√ √
(258) El radio es r = R 5+10 5
(259)
20
3
√
3
√
3 2
π
m.
2R
√
3
15 INTEGRAL INDEFINIDA
15.
23
Integral indefinida
263. Calcular las siguientes integrales inmediatas:
∫
∫
(a)
(4x2 − 5x + 7) dx
(d )
(x − sen x) dx
∫
∫
1
√
(b)
dx
(e)
(x2 + 4)x(x2 − 1) dx
5
x
∫
∫
1
(c)
dx
(f )
(x − 1)3 dx
2x + 7
264. Calcular las siguientes integrales inmediatas:
∫
∫
2
(a)
sen(x − π) dx
(d )
dx
x
∫
∫
dx
7
(e)
(b)
dx
2
x−1
cos x
√
∫
∫
x+ x
(c)
(ex + 3e−x ) dx
(f )
dx
x2
265. Calcular las siguientes integrales:
∫
∫
dx
dx
(a)
(b)
x−4
(x − 4)2
∫ √
3x dx
∫
(h)
(sen x + ex ) dx
∫
√
3
(i )
x dx
(g)
∫
3 dx
1 + x2
∫
dx
√
(h)
1 − x2
∫
(i )
tg2 x dx
(g)
∫
(c)
266. Calcular las siguientes integrales:
∫
∫
ex−4 dx
e−2x+9 dx
(a)
(b)
∫
(x − 4)2 dx
(d )
e5x dx
(d )
∫
(c)
∫
267. Resuelve las siguientes integrales de tipo arcotangente:
∫
∫
∫
dx
4 dx
5 dx
(a)
(b)
(c)
4 + x2
3 + x2
4x2 + 1
268. Calcula las siguientes integrales del tipo arcoseno:
∫
∫
dx
dx
√
√
(a)
(b)
2
1 − 4x
4 − x2
dx
(x − 4)3
(3x − x3 ) dx
∫
(d )
∫
(c)
2
dx
1 + 9x2
ex
√
dx
1 − e2x
269. Calcular las siguientes integrales racionales:
∫
(a)
x2 − 5x + 4
dx
x+1
∫
(b)
x2 + 2x + 4
dx
x+1
270. Calcular las siguientes integrales:
∫
∫
2x + 3
3x − 2
(a)
dx
(c)
dx
(x − 2)(x + 5)
x2 − 4
∫
∫
x+2
dx
(b)
dx
(d
)
2
2
x +1
x −x−2
271. Calcular las siguientes integrales:
∫
(c)
∫
x3 − 3x2 + x − 1
dx
x−2
2x2 + 5x − 1
dx
x3 + x2 − 2x
∫
1
(f )
dx
(x2 − 1)2
(e)
15 INTEGRAL INDEFINIDA
24
∫
∫
∫
2x2 + 7x − 1
dx
3
x + x2 − x − 1
∫
1
(b)
dx
2
3x + 6x + 6
x−2
dx
+x+2
∫
x−1
(f )
dx
2
2x + 4x + 3
dx
2
x + 4x + 5
∫
3x + 1
(d )
dx
2
x + 2x + 2
(e)
(c)
(a)
272. Calcula las siguientes integrales:
∫
∫
2
(a)
cos x sen3 x dx (b)
2xex dx
∫
(c)
(d )
275. Integrar por partes:
∫
(a)
x2 e3x dx
∫
x
(b)
dx
ex
∫
(c)
artg x dx
(f )
∫
tg x sec2 x dx
(1 + ln x)2
dx
x
∫ √
(f )
(1 + cos x)3 sen x dx
x cos x dx
(g)
x3 sen x dx
(h)
x ln x dx
(i )
∫
arcos x dx
∫
∫
(f )
sen x
dx
cos5 x
(e)
∫
(e)
sen x cos x dx
∫
∫
(d )
1 3
ln x dx
x
∫
∫
3x
dx
2 − 6x2
(d )
(e)
274. Calcular las siguientes integrales:
∫ √
∫ √
(a)
(x + 3)5 dx
(c)
x2 − 2x(x − 1) dx
∫
∫
x dx
(x2 + 3)5
273. Calcular las siguientes integrales:
∫
∫
5
dx
√
(a)
x4 ex dx
(c)
9 − x2
∫
∫
x dx
√
(d )
(b)
x sen x2 dx
x2 + 5
(b)
2x2
x cos 3x dx
∫
x5 e−x dx
3
∫
276. Calcula
cos(ln x) dx integrando por partes dos veces.
277. Calcula:
∫
ln x
(a)
dx
x
∫
(b)
1
dx
x ln x
∫
(c)
∫
sen x1
dx
x2
(d )
artg x
dx
1 + x2
278. Calcular:
∫
(a)
√
sen x
√
dx
x
∫
(b)
279. Calcular:
∫
√
x x + 1 dx
(a)
(b)
280. Calcular:
∫
(a)
sen2 x dx
(b)
∫
√
ln x
√ dx
x
∫
(ln x)2 dx
(c)
∫
x
√
dx
x+1
(c)
cos2 x dx
(c)
∫
1
√ dx
1+ x
∫
ex cos x dx
15 INTEGRAL INDEFINIDA
25
281. Encuentra la primitiva de la funci´on:
1
1 + 3x
f (x) =
que se anula para x = 0.
282. Halla la funci´on F (x) para la que
1
;
x2
F ′ (x) =
F (1) = 2
283. De todas las primitivas de la funci´on y = 4x − 6, ¿cu´al de ellas toma el valor 4 para x = 1?
Soluciones (no se ha puesto la constante de integraci´
on):
(263) (a)
(i)
2
4x3
− 5x2
3√
3x 3 x
4
+ 7x (b)
5
√
5
x4
4
(c)
ln |2x + 7| (d)
1
2
x2
2
+ cos x (e)
x6
6
4
− 3x4 − 2x2 (f )
(264) (a) − cos(x + π) (b) 7 tg x (c) ex − 3e−x (d) 2 ln |x| (e) ln |x − 1| (f ) ln x −
−1
x−4
(265) (a) ln |x − 4| (b)
3
(c)
(x−4)
3
(266) (a) ex−4 (b) − 12 e−2x+9 (c)
(267) (a)
1
2
(268) (a)
1
2
(269) (a)
(270) (a)
(f )
x
2
artg
√4
3
(b)
arsen x (b) arsen
2
ln |x2 +3x−10|
ln |x + 1| −
(d)
5
2
(c)
3x
ln 3
−
1
4
sen4 x
4
artg (2x) (d)
x2
2
2
3
(273) (a)
ex
5
5
√
2
ln(x2 +1)+2
2
x3
3
−
x2
2
− x − 3 ln |x − 2|
artg x (c) 2 ln(x+2)+ln(x−2) (d)
1
− 4(x+1)
1
4(x−1)
−1
8(x2 +3)4
(b) − cos2x (c) arsen
(x+3)7
7
(d)
3
2
(277)
1
3
ln(x−2)− 13 ln(x+1) (e) − 12 ln |x+2|+2 ln |x−1|+ 12 ln |x|
ln(x2 +2x+2)−2 artg (x+1) (e)
1
4
√
ln(2x2 +x+2)− 3 1015 artg
√
2
1
x2 + 5 (e) − cos2 x (f ) 4 cos
4x
√
√
2
2
3
(x −2x)
2 (1+cos x)5
(1+ln x)3
tg x
(b) − 14 ln |2 − 6x2 | (c)
(d)
(e)
(f
)
−
3
2
3
5
x
3
(d)
1
(c) x artg x− 12 ln(1+x2 ) (d) cos x+x sen x (e) −x3 cos x+3x2
(9x2 −6x+2)e3x (b) − 1+x
27
ex
√
3
1 2
1 2
(f ) 2 x ln x − 4 x (g) x arcos x − 1 − x2 (h) 19 cos 3x + 13 x sen 3x (i) − 13 (1 + x3 )e−x
1
x cos ln x + 12 x sen ln x
2
(a) 12 (ln x)2 (b) ln(ln x) (c) cos x1 (d) 12 ( artg x)2
√
√
√
2
sen x−6 sen x+6x cos x
(278) (a) −2 cos x (b) x ln x − 2 x (c) x (ln x) − 2x ln x + 2x
√
√
√
√
√
2
(279) (a) 15
(x + 1)3 (x − 2) (b) 23 x + 1(x − 2) (c) − ln |x − 1| + 2 x + ln | − 1 + x| − ln |1 + x|
(280) (a)
(281)
(282)
(283)
1
x
2
−
1
2
sen x cos x (b)
1
ln |1 + 3x|
3
−1
+3
x
2
2x − 6x − 7
4x+1
√
15
(ln x)4
4
(275) (a)
(276)
(g) 3 artg x (h) arsen x (i) −x + tg x
artg (3x)
+ x + 3 ln |x + 1| (c)
1
3
2
(h) − cos x + ex
(c) arsen ex
(b)
ln |x − 1| −
(b) ex (c)
√
2x 3x
3
x4
4
artg (x+1) (c) artg (x+2) (d)
√
√
ln(2x2 + 4x + 3) − 2 artg (x + 1) 2
(272) (a)
(274) (a)
1
2
1
4
3
(271) (a) 2 ln x− x+1
(b)
(f )
x
2
x
√
3
− 6x + 10 ln |x + 1| (b)
x
2
1
4
artg
(g)
−1
2(x−4)2
(d)
1 5x
e
5
√2
x
(x−1)4
4
1
x
2
+
1
2
sen x cos x (c)
1 x
e
2
(sen x + cos x)