1. No category

0S2MTMF(AC)_02_val
27/7/12
2
09:44
Página 2
ADAPTACIÓ CURRICULAR
1. Nombres enters. Definició i representació
en la recta real
Els nombres enters són els negatius 1, 2, 3, …, els positius 1, 2, 3, …, (se solen
escriure sense el signe ) i el 0.
Els nombres enters negatius serveixen per a expressar temperatures per davall de zero,
deutes, descensos per davall de terra...
Si dos nombres enters es diferencien pel signe, són oposats: 3 tinc tres euros és oposat
a 3 dec tres euros.
Els nombres enters es representen o ordenen en una recta numèrica:
앫 Els negatius es representen a l’esquerra del zero i els positius a la dreta del zero.
앫 Com més a la dreta està situat un nombre en la recta numèrica, més gran és.
Per exemple, 10 és més gran que 5, 5 és més gran que 0, 0 és més gran que 5.
Els nombres enters 5 i 5 són oposats.
 Expressa les situacions següents amb nombres enters:
a) Ahir hi va haver una temperatura de quatre graus per davall de zero.
b) El muntanyenc va pujar una muntanya de mil cent metres.
c) Dec a la companyia elèctrica un rebut de trenta euros.
d) La meua plaça de garatge està situada al soterrani dos.
e) El bus ha descendit cinquanta metres.
 Indica els oposats dels nombres següents:
a) L’oposat de 6 és…
c) L’oposat de 12 és…
b) L’oposat de 20 és...
d) L’oposat de 8 és...
 Expressa aquestes situacions amb un nombre enter positiu i un altre de negatiu.
a) Ana va gastar vint euros en la loteria i en va guanyar deu.
b) L’equip visitant va marcar dos gols i en va fallar tres.
c) He perdut dos punts en la classe de matemàtiques per no portar els deures, però he tret un set
en l’examen.
d) He esborrat dos correus no desitjats i n’he rebut cinc.
 Representa els nombres següents en una recta real i ordena’ls de més gran a més menut.
10, 9, 6, 5, 7, 0, 1.
 Escriu els nombres enters que compleixen les condicions següents:
a) Estan compresos entre 4 i 5.
b) Són negatius i més grans que 5
c) Són més menuts que 3 i més grans que 2.
 Representa en una recta real els nombres que has escrit en l’apartat anterior.
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemàtiques 2n ESO
0S2MTMF(AC)_02_val
27/7/12
2
09:44
Página 4
ADAPTACIÓ CURRICULAR
2. Suma i resta de nombres enters
El valor absolut d’un nombre enter és el nombre que resulta de suprimir-ne el signe.
Per exemple: |4| |4| 4
Per a sumar nombres enters del mateix signe, se sumen els seus valors absoluts i es posa
al resultat el signe comú als dos nombres.
Per a sumar nombres enters de signe distint, es resten els seus valors absoluts i es posa al
resultat el signe del nombre que tenia un valor absolut més gran.
Quan tenim més de dos sumands, sumem d’una banda tots els positius i d’altra banda tots
els negatius. Així, ens quedaran dos nombres, un de negatiu i un altre de positiu, que
se sumaran segons les normes anteriors.
Per a restar dos nombres enters se suma al primer l’oposat del segon.
 Calcula el valor absolut dels nombres següents:
a) 冷12冷 c) 冷6冷 b) 冷8冷 d) 冷3冷  Resol les sumes següents:
a) (5) (3) e) (2) (10) b) (8) (8) f) (2) (10) c) (7) (4) g) (20) (16) d) (9) (3) h) (8) (7)  Efectua les restes següents. Recorda que primer les has de transformar en suma.
a) (5) (3) e) (7) (9) b) (4) (6) f) (6) (3) c) (12) (15) g) (4) (4) d) (10) (3) h) (1) (2)  Fes les sumes i restes següents:
a) 7 (2) 9 (4) b) (10) (6) 15 (8) c) (14) (5) 20 (7) d) (3) (2) 12 (9) (6) e) (10) (5) (13) 2 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemàtiques 2n ESO
0S2MTMF(AC)_02_val
27/7/12
2
09:44
Página 6
ADAPTACIÓ CURRICULAR
3. Multiplicació i divisió amb nombres enters
Per a multiplicar o dividir nombres enters:
1. Es multiplica o divideix el valor absolut dels dos nombres.
2. Es calcula el signe del resultat d’acord amb la regla dels signes.
Regla dels signes:
() () ()
() : () ()
() () ()
() : () ()
() () ()
() : () ()
() () ()
() : () ()
Per a multiplicar o dividir més de dos nombres encadenats es comença a operar d’esquerra
a dreta.
 Multiplica els nombres següents:
a) (5) (2) e) (7) 3 b) 6 2 8 f) (10) (2) c) 9 (4) g) 5 (6) d) 3 8 h) (1) 9  Divideix els nombres següents:
a) (10) : (2) e) (1) : 1 b) (25) : 5 f) 20 : (2) c) 24 : 6 g) 35 : (7) d) (169) : (13) h) (80) : (40)  Fes les multiplicacions i divisions següents:
a) 5 (3) (4) b) 10 : (2) (5) c) 9 (2) (4) : 8 d) (100) : (25) 6 e) 200 : (10) : (4) (1) f) (256) : (16) : (4) g) 6 4 : (8) h) (15) : (3) (2) MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemàtiques 2n ESO
0S2MTMF(AC)_02_val
27/7/12
2
09:44
Página 8
ADAPTACIÓ CURRICULAR
4. Jerarquia de les operacions
Quan ens trobem amb diverses operacions per a resoldre, cal resoldre-les en l’ordre
següent:
1. Es resolen en primer lloc les operacions que hi ha dins dels parèntesis, respectant al seu
torn la jerarquia.
2. Es fan en segon lloc les multiplicacions i divisions, operant d’esquerra a dreta en el cas
que estiguen encadenats més de dos nombres enters.
3. Per acabar, es resolen les sumes i les restes.
 Fes les operacions següents. Recorda que has de respectar l’ordre de les operacions.
a) 28 : (5 2) 8 13 b) (2 3) 2 5 c) 24 : 8 : (6 9) d) 2 ( 9 7) 6 e) 4 (25) 9 : 3 f) 7 8 3 : 6 g) (1 3) (3) : 2 (4 1) h) 2 (5 8) 12  Calcula les operacions següents:
a) 6 2 (10) (3) 8 : 2 b) 5 (8) 6 : 2 (4) (2) c) 14 : 2 6 (2) 12 d) 9 (–7) 4 (10) 4 : 2  Fes les operacions següents:
a) (3 7) : (4 1) b) (8 : 4) (2 1) c) (10 2) : 2 4 d) 6 : (5 3) 7 e) (2 4) 5 1 f) 1 2 2 : 2 g) 3 (8 4) : 2 h) 5 (2 16) 3 MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemàtiques 2n ESO
1
ADAPTACIÓN CURRICULAR
1. Divisibilidad
Para obtener los múltiplos de un número se multiplica ese número por los números naturales1, 2, 3, …
Un número es múltiplo de otro si la división del primero por el segundo es exacta.
앫 El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes, distinto de cero, de dichos números.
 Calcula:
a) Los cinco primeros múltiplos de 7.
c) Los diez primeros múltiplos de 9.
b) Los seis primeros múltiplos de 5.
d) Los siete primeros múltiplos de 11.
 Comprueba si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) 64 es múltiplo de 4.
c) 156 es múltiplo de 3.
b) 125 es múltiplo de 5.
d) 343 es múltiplo de 49.
 En los supermercados, los yogures vienen en agrupados de 4 en 4. ¿Podrías comprar 60 yogures?
¿Y 92 yogures?
 Escribe los primeros diez múltiplos de 6 y de 18.
a) ¿Cuáles son sus múltiplos comunes?
b) Determina el mínimo común múltiplo de 6 y 18.
 Busca los tres múltiplos comunes menores de:
a) 20 y 40. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo?
b) 8 y 10. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo?
c) 15 y 30. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo?
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemáticas 2.º ESO
0S2MTMF(AC)_01_val
27/7/12
1
09:42
Página 4
ADAPTACIÓ CURRICULAR
2. Divisors d’un nombre. Criteris de divisibilitat
per 2, 3, 5, 10 i 11. Màxim comú divisor
Un nombre és divisor d’un altre si la divisió del segon entre el primer és exacta.
Per a calcular tots els divisors d’un nombre, el dividim entre tots els nombres naturals a
partir de l’1. Deixarem de dividir quan el quocient siga igual o més menut que el divisor.
Les divisions exactes ens indiquen que el quocient i el divisor corresponents són divisors
d’aqueix número.
앫 Un nombre és divisible per 2 quan la seua última xifra és 0 o parella.
앫 Un nombre és divisible per 3 quan la suma de les seues xifres és múltiple de 3.
앫 Un nombre és divisible per 5 quan la seua última xifra és 0 o 5.
앫 Un nombre és divisible per 10 quan acaba en 0.
앫 Un nombre és divisible per 11 quan la diferència entre la suma de les xifres que ocupen
un lloc parell i la suma de les xifres que ocupen un lloc imparell dóna 0 o múltiple d’11.
El màxim comú divisor (MCD) de dos o més nombres és el divisor comú més gran d’aquests nombres.
 Raona si les afirmacions següents són certes:
a) 4 és divisor de 42.
c) 8 és divisor de 96.
b) 5 és divisor de 70.
d) 13 és divisor de 78.
 Observa els nombres següents:
75
54
72
256
77
80
32
160
135
a) Identifica els nombres que són divisibles per 2.
b) Identifica els nombres que són divisibles per 3.
c) Identifica els nombres que són divisibles per 5.
d) Identifica els nombres que són divisibles per 10.
e) Identifica els nombres que són divisibles per 11.
 Escriu tots els divisors de:
a) 6 i 15. Determina’n els divisors comuns. Quin n’és el màxim comú divisor?
b) 24 i 42. Determina’n els divisors comuns. Quin n’és el màxim comú divisor?
c) 12 i 27. Determina’n els divisors comuns. Quin n’és el màxim comú divisor?
d) 21 i 35. Determina’n els divisors comuns. Quin n’és el màxim comú divisor?
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemàtiques 2n ESO
0S2MTMF(AC)_01_val
27/7/12
1
09:42
Página 6
ADAPTACIÓ CURRICULAR
3. Nombres primers i compostos
앫 Un nombre és primer si té només dos divisors: 1 i el mateix nombre.
앫 Un nombre és compost si té més de dos divisors.
 Troba els divisors dels nombres següents i indica si són primers o compostos:
a) 25
c) 36
b) 43
d) 22
c) 14
f) 23
 Indica quina d’aquests nombres són primers i quins compostos. Expressa els compostos com a producte
de dos nombres. Exemple: 6 és compost. 2 ⭈ 3, 6 ⭈ 1.
a) 33
c) 32
b) 65
d) 98
c) 47
f) 41
 Completa la taula següent:
Nombre
Divisors
Primer o compost
Producte de dos nombres
17
82
70
71
 Troba en la taula els nombres primers del 2 al 100. Per a fer-ho, segueix aquests passos:
1.° Encercla el 2 i ratlla’n els múltiples.
2.° Encercla el 3 i ratlla’n els múltiples.
3.° Encercla el 5 i ratlla’n els múltiples.
4.° Encercla el 7 i ratlla’n els múltiples.
5.° Encercla els nombres que han quedat sense ratllar. Aquests són els nombres primers fins al 100.
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9 10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
Matemàtiques 2n ESO
0S2MTMF(AC)_01_val
27/7/12
1
09:42
Página 8
ADAPTACIÓ CURRICULAR
4. Descomposició en factors primers: MCD i MCM
Descompondre un nombre en factors primers és expressar-lo com a producte de nombres
primers:
1. Es divideix el nombre pels nombres primers successius començant pels més menuts.
2. Es continua dividint els quocients que en resulten fins que s’obté com a quocient 1.
3. S’expressa el nombre com a producte de tots els divisors primers.
Exemple, descomponem 30 en factors primers:
30 : 2 ⫽ 15
15 : 3 ⫽ 5
5 : 5⫽1
En la pràctica s’expressa així: 30 2
15 3
5 5
1
Expressem 30 com a producte de factors primers: 30 ⫽ 2 ⭈ 3 ⭈ 5
A partir de la descomposició factorial, es pot calcular l’MCM i l’MCD de la manera
següent:
앫 L’MCM és el producte dels factors primers comuns i no comuns elevats a l’exponent
més gran.
앫 L’MCD és el producte dels factors primers comuns elevats a l’exponent més menut.
Si l’MCD de dos o més nombres és 1, es diu que són primers entre si.
 Descompon en factors primers els nombres següents:
36
48
80
36
48
80
36 ⫽
48 ⫽
80 ⫽
150
210
90
150
210
90
150 ⫽
210 ⫽
90 ⫽
 Calcula el màxim comú divisor de:
a) 54 i 75
b) 45 i 60
 Calcula el mínim comú múltiple de:
a) 16 i 20
b) 45 i 60
 Comprova si aquests nombres són primers entre si.
a) 12 i 25
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
b) 26 i 39
Matemàtiques 2n ESO
3
ADAPTACIÓN CURRICULAR
1. Fracciones. Equivalencia de fracciones. Reducción
a común denominador. Comparación
Una fracción es una expresión formada por dos términos que se llaman numerador y
denominador.
1
es una fracción
4
앫 Denominador: 4. Indica el número de partes en que
dividimos cada unidad.
앫 Numerador: 1. Indica el número de partes iguales que
tomamos.
Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad. Para comprobar si son
equivalentes se multilplica el numerador de una por el denominador de otra. Si los productos son iguales, son equivalentes.
Para obtener fracciones equivalentes podemos:
앫 Amplificar: multiplicar numerador y denominador por el mismo número
앫 Simplificar: dividir numerador y denominador por el mismo número. Si una fracción
no se puede simplificar más, se llama fracción irreducible.
 Escribe la fracción que corresponde a la parte coloreada:
a)
b)
c)
 Dibuja un rectángulo y colorea la fracción indicada:
6
2
a)
b)
9
7
 Escribe una fracción amplificada y otra simplificada equivalentes a las siguientes:
4
2
2
a) … …
c) … …
e) … …
6
8
4
b) … 5
…
10
7
d) … …
9
 Indica si las siguientes fracciones son equivalentes:
6 1
7 3
a)
y
b) y
12 2
9 2
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
f) … c)
12
…
40
2 3
y
6 9
Matemáticas 2.º ESO
0S2MTMF(AC)_03_val
27/7/12
3
11:03
Página 4
ADAPTACIÓ CURRICULAR
2. Reducció de fraccions a comú denominador.
Comparació
Per a comparar fraccions cal saber que:
앫 Si les fraccions tenen el mateix denominador, és més gran la del numerador
5 1
앫 més gran. Exemple: 4 4
앫 Si les fraccions tenen el mateix numerador, és més gran la del denominador
2 2
앫 més menut. Exemple: 5 7
앫 Si les fraccions tenen numerador diferent, s’han de reduir al mateix denominador. Per a
fer-ho:
앫 1. Es calcula l’MCM dels denominadors.
앫 2. Es divideix l’MCM per cada denominador.
앫 3. Es multiplica el numerador i el denominador de cada fracció pel quocient que se
n’ha obtingut.
앫 Com que ja tenim fraccions amb el mateix denominador, podem comparar-les.
 Representa els parells de fraccions següents i compara-les amb el signe o :
4 4
2 2
a) i
b) i
6 5
4 2
 Representa els parells de fraccions següents i compara-les amb el signe o :
5 3
2 5
a) i
b) i
6 6
8 8
 Ordena de més gran a més menuda les fraccions següents. Recorda que has de reduir-les a comú
denominador.
2 3
a) i
5 12
b)
3 1 2
, i
6 3 9
c)
1 7 2 3
, , i
4 10 6 8
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemàtiques 2n ESO
3
ADAPTACIÓN CURRICULAR
3. Operaciones con fracciones: suma, resta,
multiplicación y división
Para sumar o restar fracciones tienen que tener el mismo denominador.
1. Si no tienen el mismo denominador, se reducen a denominador común.
2. El resultado es una fracción con el mismo denominador y de numerador la suma o la
resta de los numeradores.
Para multiplicar dos fracciones se halla una fracción cuyo numerador es el producto de
los numeradores y el denominador el producto de los denominadores.
Para dividir dos fracciones se halla una fracción que se obtiene multiplicando la primera
fracción por la inversa de la segunda.
Nota: Una fracción inversa es la que se obtiene intercambiando numerador y denominador entre sí.
 Efectúa estas sumas y restas de fracciones. Simplifica el resultado.
4 3
4 2
a) d) 6 5
6 8
b)
8
1
10 6
e)
3
2 4
10 5 3
c)
2
3
4
3 10 5
f)
6 4
5 7
 Realiza las siguientes sumas y restas combinadas.
2
1
a) 3 7
5
b)
8 15
3
2 6
6
12
c)
5
3 1
1 2
4 5
 Multiplica las siguientes fracciones. Simplifica el resultado.
5 2
2
6 3
a) b) 4 c) 6 5
3
8 10
 Calcula la inversa de las siguientes fracciones:
2
3
a)
c)
5
4
b)
3
7
d)
7
9
d)
e)
8
10
f)
2
3
8 6
7 5
 Divide las siguientes fracciones. Simplifica el resultado:
3 3
2 1
a) :
c) :
5 7
8 4
b)
6 3
:
15 12
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
d)
12 5
:
20 10
Matemáticas 2.º ESO
0S2MTMF(AC)_03_val
27/7/12
3
11:04
Página 8
ADAPTACIÓ CURRICULAR
4. Jerarquia de les operacions
Per a resoldre operacions combinades amb fraccions, s’ha de seguir el mateix ordre que
per a les operacions amb nombres naturals i enters.
1. Es resolen les operacions que tenim dins dels parèntesis, respectant-ne la jerarquia.
2. Es fan les multiplicacions i divisions, operant d’esquerra a dreta en el cas que hi haja
encadenades més de dues fraccions.
3. Es resolen les sumes i les restes.
Recorda que has de simplificar el resultat fins que arribes a la fracció irreductible.
 Fes les operacions combinades següents. Simplifica’n el resultat.
8
3 2
a)
: 10 5 7
2 3 4
b) 4 5 8
2 1 4
c) : 3 6 7
3 2 1
d) : 3 9 5 2
2 9 3
e) : 6 7 8
 Calcula el resultat de les operacions combinades següents i simplifica’l.
2 2 8
a)
: 5 3 9
冢
b)
冣
冢
冣
12 6 1
16 9 6
冢 10 8 冣 : 3 2 3 3 2
d) 冢 冣 7 5 8 3
4
8 2
e) : 冢 冣 6 10 5
8
c)
2
4
 Fes les operacions següents i simplifica quan pugues:
4 1 4
a)
5 3 7
冢
冣
3 2
3
b) : 冢 4 冣 5 3
4
3 4 1
c) 2 冢 冣 2 5 3
5 2 2 2
d) 冢 : 冣 6 5 3 8
4
2
4
e) : 5 2 冢 2 : 冣 6
3
6
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemàtiques 2n ESO
ADAPTACIÓN CURRICULAR
8
1. Lenguaje algebraico. Valor numérico
de una expresión algebraica
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras relacionados por los signos
de las operaciones matemáticas.
Por ejemplo, 2x es una expresión algebraica que expresa el doble de un número cualquiera.
Otras expresiones algebraicas son:
앫 La diferencia de dos números: x ⫺ y
x
앫 tercera parte de un número menos seis: ⫺ 6
3
El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene cuando se
sustituyen las letras por números y se realizan las operaciones indicadas.
Por ejemplo, 2x ⫹ 4 es una expresión algebraica.
Si sustituimos x por 1, entonces 2 ⭈ 1 ⫹ 4 ⫽ 6, que es el valor numérico de esta expresión
algebraica cuando x ⫽ 1.
 Expresa en lenguaje algebraico o en lenguaje ordinario, según corresponda.
a) El cuadrado de la suma de dos números.
b) El doble de la suma de dos números.
c) a ⫺ b
d) La edad de una persona hace cinco años.
e) La mitad de un número.
f) x2 ⫺ 4
g) Un número posterior a otro cualquiera.
 Halla el valor numérico de la expresión algebraica 5x ⫹ 3 para los distintos valores de x:
Valor de x
Valor numérico
x⫽0
x⫽1
x ⫽ ⫺1
x⫽2
x ⫽ ⫺2
x⫽3
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemáticas 2.º ESO
8
ADAPTACIÓN CURRICULAR
2. Monomios
Un monomio es una expresión algebraica que está formada solamente por sumas, restas
y productos de letras (parte literal) y de números (coeficientes).
Ejemplos: 7x, ⫺4, xy
Monomio
Coeficiente
Parte Literal
7x
7
x
⫺4
⫺4
yz
1
yz
앫 Para sumar y restar monomios estos deben ser semejantes, es decir, tener la misma
parte literal. Por ejemplo: 3x ⫺ 6x ⫹ 7x ⫽ 4x
앫 Para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes entre sí y las partes literales
entre sí. Por ejemplo: (4x2) ⭈ (5x6) ⫽ 4 ⭈ 5 ⭈ x2 ⫹ 6 ⫽ 20x8
앫 Para dividir monomios, se dividen los coeficientes entre sí y las partes literales entre sí.
8x9
9⫺6
3
앫 Por ejemplo: 6 ⫽ (8 ⬊ 4) ⭈ x ⫽ 2x
4x
 Diferencia el coeficiente y la parte literal de los siguientes monomios:
Monomio
Coeficiente
Parte literal
⫺3x4
z
2ab
2
xy
5
⫺a
10xyz3
 Suma o resta los siguientes monomios, en el caso de que sea posible:
a) ⫺2x4 y ⫺5x4 ⫽
c) 2yz y 8yz ⫽
b) 3x2 y 4x2 ⫽
d) 12ab y 5ab ⫽
 Suma o resta los siguientes monomios, en el caso de que sea posible:
a) 3x5 y 10x2 ⫽
c) 8a2 y 3a6 ⫽
b) 2y4 y 6y3 ⫽
d) 5x3 y 20x2 ⫽
 Divide los siguientes monomios:
a) 30x5 y 2x2 ⫽
c) 6a8 y 3a6 ⫽
b) 12y4 y 6y3 ⫽
d) 15x3 y 5x2 ⫽
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemáticas 2.º ESO
8
ADAPTACIÓN CURRICULAR
3. Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más
monomios no semejantes.
Ejemplo: 4x5 ⫹ 2x3 ⫹ 5x2
앫 Para sumar o restar polinomios, se suman o restan, respectivamente, los monomios
semejantes.
4
3
4
3
2
4
3
2
앫 Por ejemplo: (3x ⫹ 2x ) ⫹ (6x ⫹ 10x ⫹ 8x ) ⫽ 9x ⫹ 12x ⫹ 8x
앫 Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada
término del polinomio.
4
3
2
2
6
5
4
3
앫 Por ejemplo: (x ⫹ 2x ⫹ 3x ⫹ 7x) ⭈ 2x ⫽ 2x ⫹ 4x ⫹ 6x ⫹ 14x
앫 Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio
por el monomio.
8
5
4
3
2
6
3
2
앫 Por ejemplo: (10x ⫹ 2x ⫹ 6x ⫹ 4x ) ⬊ 2x ⫽ 5x ⫹ x ⫹ 3x ⫹ 2x
 Dados los polinomios P(x) ⫽ 4x3 ⫹ 12x ⫹ 3 y Q(x) ⫽ 8x3 ⫹ 2x2 ⫺ 6x ⫹ 1, calcula:
a) P(x) ⫹ Q(x) ⫽
b) P(x) ⫺ Q(x) ⫽
c) Q(x) ⫺ P(x) ⫽
 Dados los polinomios A(x) ⫽ 5x2 ⫹ 6x ⫹ 2 y B(x) ⫽ 8x ⫹ 2, calcula:
a) 4 ⭈ A(x) ⫽
b) x ⭈ B(x) ⫽
c) A(x) ⭈ 3x2 ⫽
 Haz el siguiente cálculo: (15x8 ⫹ 9x5 ⫹ 3x4 ⫹ 6x3) ⬊ 3x2
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemáticas 2.º ESO
9
ADAPTACIÓN CURRICULAR
1. Ecuación. Elementos de una ecuación
Una ecuación es una igualdad de expresiones algebraicas que se cumple solo para ciertos
valores de las letras, llamadas incógnitas.
앫 En una ecuación existen dos miembros: el primer miembro (la parte izquierda del
igual) y el segundo miembro (la parte derecha del igual).
앫 2x ⫹ 1 ⫽ 7x ⫺ 2
Segundo miembro: 7x ⫺ 2
앫 Primer miembro: 2x ⫹ 1
앫 Los términos son cada uno de los sumandos de cada miembro.
앫 Términos del primer miembro: 2x, 1
Términos del segundo miembro: 7x, 2
 Completa la siguiente tabla:
Ecuación
Primer miembro
Segundo miembro
5x ⫹ 1 ⫽ 3x ⫺ 8
4x ⫹ 3 ⫽ x ⫹ 5
11 ⫹ 3x ⫽ x ⫹ 15
1 ⫹ 6x ⫽ x ⫹ 9x
4 ⫽ 1 ⫹ 2x
 Identifica los elementos de una ecuación:
Ecuación
Primer miembro
Segundo miembro
Téminos
6x ⫹ 2 ⫽ 3x ⫺ 9
7x ⫹ 1 ⫽ 2x ⫺ 15
1 ⫹ 4x ⫽ x ⫹ 12
10 ⫹ 8x ⫽ 2x
3 ⫽ 16 ⫹ 5x
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemáticas 2.º ESO
9
ADAPTACIÓN CURRICULAR
2. Solución de una ecuación. Ecuaciones equivalentes
La solución de una ecuación es el número por el cual se sustituye la incógnita y hace que
la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es encontrar su solución.
Por ejemplo, 2x ⫹ 5 ⫽ x ⫺ 1 es una ecuación cuya solución es x ⫽ ⫺ 6, ya que:
2 ⭈ (⫺6) ⫹ 5 ⫽ (⫺6) ⫺ 1 & ⫺7 ⫽ ⫺7
Cuando dos ecuaciones tienen la misma solución, decimos que son equivalentes.
Por ejemplo, x ⫹ 1 ⫽ 5 y 2x ⫽ 8, son dos ecuaciones equivalentes pues x ⫽ 4, es solución
de las dos.
 Comprueba si los siguientes valores son solución de las ecuaciones:
Ecuación
Solución
x⫺3⫽8
x ⫽ 11
10 ⫺ x ⫽ 4
x⫽6
⫺x ⫺ 3 ⫽ ⫺ 9
x⫽6
4 ⫹ x ⫽ 12
x⫽8
2x ⫺1 ⫽ 9
x⫽5
Comprobación
 Halla una ecuación equivalente a cada una de las ecuaciones dadas en la actividad anterior.
Ecuación
Ecuación equivalente
x⫺3⫽8
10 ⫺ x ⫽ 4
⫺x ⫺ 3 ⫽ ⫺9
4 ⫹ x ⫽ 12
2x ⫺ 1 ⫽ 9
 Averigua las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a)
21
⫽3
x
b) 5 ⫹ x ⫽ 13
c)
x
⫽4
3
d) x ⫺ 5 ⫽ 2
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemáticas 2.º ESO
0S2MTMF(AC)_09_val.qxp
9
27/7/12
10:08
Página 6
ADAPTACIÓ CURRICULAR
3. Resolució d’equacions de primer grau
Per a resoldre equacions de primer grau, cal seguir aquests passos:
1. Eliminar parèntesis, aplicant la propietat distributiva.
2. Reduir termes semblants, de manera que s’agrupen els termes sumant-los o restant-los,
si pot ser.
3. Transposar termes, és a dir, se suma, es resta, es multiplica o es divideix els dos membres de l’equació per un mateix nombre o expressió algebraica.
4. Aïllar incògnites, és a dir, deixar-la sola en un dels membres.
 Resol les equacions següents:
a) 10 x 4x 3x 10x
b) 2x 6 3x 12
c) 4x 2 6x 2
d) 6x 15 4(2x 2) 3(2x 13) 10x
e) 5(x 1) 8 3(x 4)
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemàtiques 2n ESO
9
ADAPTACIÓN CURRICULAR
4. Resolución de ecuaciones de primer grado
con denominadores
Para resolver ecuaciones de primer grado con denominadores, se siguen los siguientes
pasos:
1. Se calcula el mínimo común múltiplo de todos los denominadores.
2. Se multiplica el m.c.m. por cada uno de los términos y se divide entre cada uno de los
denominadores para eliminarlos.
3. Una vez que hemos eliminado los denominadores, operamos tal y como se explica en el
apartado anterior.
Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación se siguen estos pasos:
x⫹4 x⫺3 x⫹1
⫹
⫽
5
2
4
m.c.m. (5, 4, 2) ⫽ 20
20 ⭈
x⫹4
x⫺3
x⫹1
⫹ 20 ⭈
⫽ 20 ⭈
5
2
4
4(x ⫹ 4) ⫹ 5(x ⫺ 3) ⫽ 10(x ⫹ 1) & 4x ⫹ 16 ⫹ 5x ⫺ 15 ⫽ 10x ⫹ 10 & 9x ⫹ 1 ⫽ 10x ⫹ 10 &
9
⫺x
& 9x ⫹ 1 ⫺ 10x ⫽ 10x ⫹ 10 ⫺ 10x & ⫺x ⫹ 1 ⫺ 1 ⫽ 10 & ⫺x ⫽ 9 &
⫽
& x ⫽ ⫺9
⫺1 ⫺1
 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x⫹1 x⫺2 x⫹1
⫺
⫽
3
4
6
b)
x x x
x
⫹ ⫹ ⫹ ⫽ 42
5 4 2 10
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemáticas 2.º ESO
11
ADAPTACIÓN CURRICULAR
3. Concepto de función
Una función es una relación entre dos magnitudes, en donde a cada valor de x, le corresponde un valor de y.
El valor de y está en función del valor de x, por eso reciben los nombres de:
앫 Variable independiente: x
앫 Variable dependiente: y
Por ejemplo, y = 2x es una función. Podemos calcular los valores que va tomando y en
función de los distintos valores que demos a x.
x (variable independiente)
y (variable dependiente)
0
1
2
3
y⫽2⭈0⫽0
y⫽2⭈1⫽2
y⫽2⭈2⫽4
y⫽2⭈3⫽6
Si representamos los puntos de la tabla anterior en un sistema cartesiano y los unimos,
obtendremos la gráfica de la función.
Y
1
O
X
1
 Dadas las funciones y ⫽ x ⫹ 5 e y ⫽ 3x:
a) Elabora una tabla de valores para cada una de ellas.
x
0
1
⫺1
2
⫺2
–3
⫺1
0
2
4
yⴝxⴙ5
x
y ⴝ 3x
b) Represéntalas en un eje de coordenadas.
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemáticas 2.º ESO
0S2MTMF(AC)_11_val.qxp
11
27/7/12
10:12
Página 2
ADAPTACIÓ CURRICULAR
1. Sistema d’eixos cartesians
Un sistema d’eixos cartesians està format per dues rectes perpendiculars:
앫 Una recta horitzontal, que s’anomena eix d’abscisses o eix X.
앫 Una recta vertical, anomenada eix d’ordenades o eix Y.
앫 Ambdues rectes es tallen en un punt anomenat origen de coordenades, O.
앫 Cada punt del pla es representa mitjançant un parell de nombres ordenats anomenats
coordenades:
앫 앩 El primer nombre correspon a la coordenada x.
앫 앩 El segon nombre correspon a la coordenada y.
Eix “Y“
(2, 3)
(⫺3, 2)
1
O
1
Eix “X“
El punt (⫺3, 2) està representat per la coordenada x ⫽ ⫺3 i la coordenada y ⫽ 2.
 Representa els eixos següents en un eix de coordenades:
Punt
Coordenada x
Coordenada y
(1, 5)
(⫺2, 4)
(0, 3)
(1, 0)
(⫺4, 2)
(5, ⫺1)
(0, 0)
(6, ⫺3)
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemàtiques 2n ESO
0S2MTMF(AC)_11_val.qxp
27/7/12
11
10:12
Página 6
ADAPTACIÓ CURRICULAR
3. Concepte de funció
Una funció és una relació entre dues magnituds, en la qual a cada valor de x, li correspon
un valor de y.
El valor de y variarà en funció del valor de x, per això s’anomenen:
앫 Variable independent: x
앫 Variable dependent: y
Per exemple, y = 2x és una funció. Podem calcular els valors que agafa y en
funció dels valors diferents que donem a x.
x (variable independent)
y (variable dependent)
0
1
2
3
y⫽2⭈0⫽0
y⫽2⭈1⫽2
y⫽2⭈2⫽4
y⫽2⭈3⫽6
Si representem els punts de la taula anterior en un sistema cartesià i els unim, n’obtindrem
la gràfica de la funció.
Y
1
O
X
1
 Tenint en compte les funcions y ⫽ x ⫹ 5 i y ⫽ 3x:
a) Elabora una taula de valors per a cada una d’aquestes.
x
0
1
⫺1
2
⫺2
–3
⫺1
0
2
4
yⴝxⴙ5
x
y ⴝ 3x
b) Representa-les en un eix de coordenades.
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
Matemàtiques 2n ESO
0S2MTMF(AC)_11_val.qxp
11
27/7/12
10:12
Página 8
ADAPTACIÓ CURRICULAR
4. Característiques d’una funció
Si observem la gràfica d’una funció, en podem estudiar més fàcilment les característiques.
앫 Una funció és creixent si en augmentar el valor de x (variable independent) augmenta el
valor de y (variable dependent).
앫 Una funció és decreixent si en augmentar el valor de x (variable independent) disminueix el valor de y (variable dependent).
앫 Els punts de tall amb els eixos són aquells en què la gràfica talla l’eix X o eix d'abcisses,
o bé, l’eix Y o eix d’ordenades.
 Observa les gràfiques de funcions següents i assenyala si són creixents o decreixents i en quins punts
(coordenades) tallen els eixos.
a)
d)
Y
Y
1
O
1
X
1
X
1
X
1
O
b)
1
X
e)
Y
Y
1
O
1
O
c)
1
X
f)
Y
1
O
Y
1
1
X
MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.
O
Matemàtiques 2n ESO