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Tema 1: Ecuaciones diferenciales estocásticas
Las ecuaciones diferenciales estocásticas son ecuaciones diferenciales en las que uno o varios
de sus términos son procesos estocásticos, lo que implica que sus soluciones en general
también lo son. Las ecuaciones diferenciales estocásticas se utilizan como modelos
matemáticos de diversos fenómenos naturales en numerosas ciencias como la física, la
química y la biología. También son muy importantes en economía y finanzas ya que se usan,
entre otras cosas, para estudiar la evolución de los precios de las acciones. Desde el punto de
vista técnico, las ecuaciones diferenciales estocásticas son objetos matemáticos nada triviales.
Esto es debido a que el proceso estocástico que se usa habitualmente como forzado en las
aplicaciones es el ruido blanco, cuya definición precisa resulta enormemente complicada, y
este hecho por tanto ha demandado una construcción indirecta de la teoría a través de
procesos más regulares. En este trabajo proponemos estudiar las nociones teóricas básicas de
las ecuaciones diferenciales estocásticas y algunas de sus aplicaciones.
Tema 2: Cálculo de Malliavin
El cálculo variacional de Malliavin es una generalización del cálculo de variaciones de funciones
a procesos estocásticos. Fue introducido como una herramienta para probar regularidad de las
soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales parabólicas usando argumentos
puramente probabilistas. Tiene numerosas aplicaciones entre las que se incluyen la
matemática financiera y la teoría del control. En este trabajo proponemos una introducción a
la construcción del cálculo de Malliavin.