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Curso: Matemática FC.
Tema: Ecuaciones de
segundo grado con una
variable.
Ecuaciones de segundo grado con una variable
Habilidades a desarrollar
Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de:
1)
2)
Resolver ecuaciones reducibles a segundo grado.
Aplicar las ecuaciones de segundo grado en el contexto real y profesional.
Ecuaciones de segundo grado con una variable
Definición. Una ecuación de segundo grado con una variable, es aquella que se puede
expresar de la siguiente forma
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales con 𝑎 ≠ 0, y 𝑥 es la variable.
Ejemplo A. Son ejemplos de ecuaciones cuadráticas
𝑎) 𝑥 2 + 8𝑥 − 9 = 0
𝑏) 𝑥 2 − 4𝑥 = 0
𝑐) 3𝑥 2 − 45 = 0
Ejemplo B. No son ejemplos de ecuaciones cuadráticas
𝑎) 3𝑥 + 1 = 0
𝑏) 𝑥 3 − 8𝑥 2 + 8𝑥 = 1
Ecuaciones de segundo grado con una variable
¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas?
Caso 1. Si de la ecuación 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tenemos que 𝑐 = 0, entonces se obtendrá la ecuación
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0
En este caso, se deberá factorizar la variable 𝑥, y posteriormente cada factor lineal deberá igualarse a
cero para luego resolver las nuevas ecuaciones obtenidas.
Ejemplo 1. Resuelva
Ejemplo 2. Resuelva
3𝑥 2 = −8𝑥
𝑥2 − 𝑥 = 0
Resolución
Resolución
𝑥2 − 𝑥 = 0
(𝑥)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 =0 ; 𝑥−1=0
𝑥=0 ; 𝑥=1
Por lo tanto C. S. = 0; 1
3𝑥 2 = −8𝑥
3𝑥 2 + 8𝑥 = 0
(𝑥)(3𝑥 + 8) = 0
𝑥 = 0 ; 3𝑥 + 8 = 0
8
𝑥=0 ; 𝑥=−
3
8
Por lo tanto C. S. = 0; − 3
Ecuaciones de segundo grado con una variable
¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas?
Caso 2. Si de la ecuación 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tenemos que 𝑏 = 0, entonces se obtendrá la ecuación
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0
En este caso, se deberá factorizar (en caso sea posible) la expresión 𝑎𝑥 2 + 𝑐 utilizando el producto
notable de la diferencia de cuadrados, para luego proceder a igualar los dos factores lineales a cero, y
con ello obtener las soluciones buscadas.
Nota: en caso no sea posible la diferencia de cuadrados, el 𝐶𝑆 = 𝜙.
Ejemplo 1. Resuelva 4𝑥 2 − 25 = 0
Ejemplo 2. Resuelva 𝑥 2 + 9 = 0
Resolución
Resolución
4𝑥 2 − 25 = 0
2𝑥
2
− 5
2
=0
2𝑥 − 5 2𝑥 + 5 = 0
2𝑥 − 5 = 0 ; 2𝑥 + 5 = 0
𝑥=
5
5
; 𝑥=−
2
2
Por lo tanto C. S. = − 5 2 ; 5 2
𝑥2 + 9 = 0
No es factorizable en los reales.
Por lo tanto C. S. = 𝜙
Ecuaciones de segundo grado con una variable
¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas?
Caso 3. La expresión cuadrática está completa y ordenada, es decir, tenemos
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
En este caso, podemos intentar dar la solución utilizando la técnica del aspa simple (en caso posible), o usando la
fórmula general
−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐
−𝑏 + 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥1 =
,
𝑥2 =
2𝑎
2𝑎
donde debemos recordar que:
(1) Si ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0 entonces 𝐶𝑆 = {𝑥1 ; 𝑥2 }
(2) Si ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0 entonces 𝑥1 = 𝑥2 y con ello 𝐶𝑆 = {𝑥1 }
(3) Si ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 entonces 𝐶𝑆 = 𝜙.
Ejemplo 1. Resuelva 2𝑥 2 − 2𝑥 − 1 = 0
Ejemplo 2. Resuelva 𝑥 2 − 𝑥 + 3 = 0
Resolución
Resolución
Se reconoce que
𝑎 = 2, 𝑏 = −2 y 𝑐 = −1
Con ello
2
− 4(2)(−1) = 12 > 0
Luego
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = −1
Por tanto
−(−2) ± 12 2 ± 2 3 1 ± 3
−𝑏 ± ∆
=
=
=
2(2)
4
2
2𝑎
Respuesta
𝑎 = 1, 𝑏 = −1 y 𝑐 = 3
Con ello
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = −2
𝑥1,2 =
Se reconoce que
𝐶. 𝑆 =
1− 3 1+ 3
;
2
2
2
− 4(1)(3) = −11 < 0
𝐶. 𝑆 = 𝜙
Ecuaciones de segundo grado con una variable
Ejemplo 1. [Diverso] Resuelva
Resolución
𝑥
2
𝑥 + 20
−
=
𝑥 − 2 𝑥 − 3 𝑥 2 − 5𝑥 + 6
𝑥
2
𝑥 + 20
−
= 2
𝑥 − 2 𝑥 − 3 𝑥 − 5𝑥 + 6
𝑥
2
𝑥 + 20
−
=
𝑥−2 𝑥−3
𝑥−2 𝑥−3
𝑥 𝑥−3
2 𝑥−2
𝑥 + 20
−
=
𝑥−2 𝑥−3
𝑥−3 𝑥−2
𝑥−2 𝑥−3
𝑥 𝑥−3 −2 𝑥−2
𝑥 + 20
=
𝑥−2 𝑥−3
𝑥−2 𝑥−3
𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3
𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3
𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3
𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3
𝑥 2 − 3𝑥 − 2𝑥 + 4 = 𝑥 + 20
𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3
𝑥 2 − 6𝑥 − 16 = 0
𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3
𝑥−8 𝑥+2 =0
𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3
𝑥 = 8; 𝑥 = −2
𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3
Respuesta: 𝐶𝑆 = −2; 8
Ecuaciones de segundo grado con una variable
Ejemplo 2. [Diverso] Resuelva
𝑥 − 2 𝑥 = 15
Resolución
𝑥 − 2 𝑥 = 15
𝑥 − 15 = 2 𝑥
𝑥 − 15
2
= 2 𝑥
2
𝑥 2 − 30𝑥 + 225 = 4𝑥
𝑥 2 − 34𝑥 + 225 = 4𝑥
𝑥 − 9 𝑥 − 25 = 0
𝑥 − 9 = 0 ; 𝑥 − 25 = 0
𝑥 = 9 ; 𝑥 = 25
Si 𝑥 = 9 entonces 9 − 2 9 = 15 ES FALSA
Si 𝑥 = 25 entonces 25 − 2 25 = 15 ES VERDADERO
Respuesta: 𝐶𝑆 = 25
Ecuaciones de segundo grado con una variable
Ejemplo 5. [Diverso] Resuelva 2𝑥 + 7 = 𝑥 + 2
Resolución
Si 𝑥 = 1 entonces
2𝑥 + 7 = 𝑥 + 2
2𝑥 + 7
2
=
𝑥+2
2
2𝑥 + 7 = 𝑥 + 4 𝑥 + 4
2 1 + 7 = 1 + 2 ES VERDADERO
Si 𝑥 = 9 entonces
𝑥+3=4 𝑥
𝑥+3
2
= 4 𝑥
2
2 9 + 7 = 9 + 2 ES VERDADERO
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 16𝑥
𝑥 2 − 10𝑥 + 9 = 0
𝑥−1 𝑥−9 =0
𝑥 − 1 = 0 ;𝑥 − 9 = 0
𝑥 = 1 ;𝑥 = 9
Respuesta: 𝐶𝑆 = 1; 9
Ecuaciones de segundo grado con una variable
Ejemplo 1. [Aplicación] Una persona compró cierto número de revistas por 180 dólares; si
cada revista hubiera costado 1 dólar menos, con el mismo dinero hubiera podido comprar
6 revistas más. Deduzca una ecuación de segundo grado que, al resolverla, me permita
contestar la siguiente pregunta: ¿Cuántas revistas ha comprado?
Resolución
Sea 𝑞 el número de revistas compradas y sea 𝑝 el precio de cada revista.
De la frase: “Una persona compró cierto número de revistas por 180 dólares”, se tiene que
𝑝𝑞 = 180
De la frase: “si cada revista hubiera costado 1 dólar menos, con el mismo dinero hubiera
podido comprar 6 revistas más”, se tiene que
𝑝 − 1 𝑞 + 6 = 180
𝑝𝑞 + 6𝑝 − 𝑞 − 6 = 180
pero 𝑝𝑞 = 180
180 + 6𝑝 − 𝑞 − 6 = 180
6𝑝 − 𝑞 − 6 = 0
𝑞+6
𝑝=
6
Reemplazando 𝑞 = 6𝑝 − 6 en 𝑝𝑞 = 180 tendremos
𝑞+6
𝑞 = 180 → 𝑞 2 + 6𝑞 = 1 080 → 𝑞 2 + 6𝑞 − 1 080 = 0
6
Ecuaciones de segundo grado con una variable
Ejemplo 2. [Aplicación] Usted es el asesor financiero de una compañía que posee un edificio con 50
oficinas. Cada una puede rentarse en $ 400 mensuales. Sin embargo, por cada incremento de $ 20
mensuales se quedarán dos vacantes sin posibilidad de que sean ocupadas. La compañía quiere
obtener un total de $ 20 240 mensuales de rentas del edificio. Se le pide determinar la renta que debe
cobrarse por cada oficina.
Resolución
Sea 𝑥 la cantidad de veces que el precio de
renta se incrementa en $ 20.
Con ello, el ingreso de la compañía estará
modelado por
𝐼 = 𝑃𝑄
𝐼 = 400 + 20𝑥 50 − 2𝑥
𝐼 = 20 000 − 800𝑥 + 1 000𝑥 − 40𝑥 2
2
𝐼 = −40𝑥 + 200𝑥 + 20 000
Piden hallar el precio de renta, tal que
𝐼 = 20 240
−40𝑥 2 + 200𝑥 + 20 000 = 20 240
−40𝑥 2 + 200𝑥 − 240 = 0
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0
𝑥 = 3;𝑥 = 2
* Si 𝑥 = 3, entonces el precio de renta será
𝑃 = 400 + 20 3 = $460
* Si 𝑥 = 2, entonces el precio de renta será
𝑃 = 400 + 20 2 = $440
Respuesta: el precio de renta debe de ser de
$440 o de $460
Ecuaciones de segundo grado con una variable
Ejemplo 3. A un precio de $𝑝 por unidad, el departamento de investigación de mercado en una
compañía estima que el costo semanal 𝐶 y los ingresos 𝑅 (en millones de dólares) están dados por las
ecuaciones
𝐶 = 28 − 2𝑝
Ecuación de costos
2
𝑅 = 9𝑝 − 𝑝
Ecuación de ingresos
a) Encuentre los precios que permita que la compañía esté en equilibrio.
b) Encuentre las cantidades de equilibrio.
Resolución
a) Como se busca el precio de equilibrio, se
debe de cumplir que 𝐶 = 𝑅
28 − 2𝑝 = 9𝑝 − 𝑝2
𝑝2 − 11𝑝 + 28 = 0
𝑝−7 𝑝−4 =0
𝑝 − 7 = 0 ;𝑝 − 4 = 0
𝑝 = 7 ;𝑝 = 4
Respuesta: los precios que permiten que la
compañía esté en equilibrio son $4 o $7.
b) Recordemos que 𝑅 = 𝑝𝑞
𝑅 = 9𝑝 − 𝑝2
𝑅 =𝑝 9−𝑝
→ 𝑞 =9−𝑝
Conociendo los precios de equilibrio, es posible
obtener las cantidades de equilibrio.
* Si 𝑝 = 7 entonces 𝑞 = 9 − 7 = 2
* Si 𝑝 = 4 entonces 𝑞 = 9 − 4 = 5
Respuesta: Las cantidades que permiten que la
compañía esté en equilibrio son 2 o 5
unidades.
Ecuaciones de segundo grado con una variable
Ejemplo 4. Las ecuaciones de costo para una fábrica son frecuentemente de naturaleza cuadrática. Si
la ecuación de costos para fabricar calculadoras baratas es
𝐶 = 𝑥 2 − 10𝑥 + 31
donde 𝐶 es el costo de fabricación de 𝑥 unidades por semana (𝐶 y 𝑥 en miles), encuentre:
a) La producción para un costo semanal de $15 mil.
b) La producción para un costo semanal de $6 mil.
Resolución
a) Se debe determinar el valor de 𝑥 tal 𝐶 = 15
b) Se debe determinar el valor de 𝑥 tal 𝐶 = 6
𝑥 2 − 10𝑥 + 31 = 15
𝑥 2 − 10𝑥 + 31 = 6
𝑥 2 − 10𝑥 + 16 = 0
𝑥 2 − 10𝑥 + 25 = 0
𝑥−2 𝑥−8 =0
𝑥−5 𝑥−5 =0
𝑥 − 2 = 0;𝑥 − 8 = 0
𝑥−5=0
𝑥 = 2 ;𝑥 = 8
𝑥=5
Respuesta: la producción que permite obtener
un costo semanal de $15 mil son de 2 mil
unidades o de 8 mil unidades.
Respuesta: la producción que permite obtener
un costo semanal de $15 mil es de 5 mil
unidades.