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Curso: Matemática FC.
Tema: Ecuaciones de
primer grado con una
variable.
Ecuaciones de primer grado con una variable
Habilidades a desarrollar
Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de:
1)
2)
Resolver ecuaciones reducibles a primer grado.
Aplicar las ecuaciones de primer grado en el contexto real y profesional.
Ecuaciones de primer grado con una variable
Definición [Ecuación Algebraica]. Una ecuación algebraica en la variable 𝑥 es un
enunciado en el que se dice que dos expresiones de 𝑥 son iguales. Algunas veces a la
variable de la ecuación se le llama incógnita. El dominio de la variable (también llamado
conjunto de valores admisibles) de una ecuación es el conjunto de números para los que
se define las expresiones algebraicas en tal ecuación.
Ejemplo En las siguientes ecuaciones algebraicas, 𝑥 es un número
𝑎) 𝑥 − 7 = 0
𝑏) 𝑥 2 + 12 = 7𝑥
𝑐) 𝑥 + 5 = 5 + 𝑥
𝑑)
𝑥+1=4
3
2
𝑒)
=
𝑥 + 4 3𝑥 − 2
Ecuaciones de primer grado con una variable
Solución de una ecuación. Cuando la variable de una ecuación se sustituye por un número
específico, el enunciado resultante puede ser cierto o falso. Si es cierto, el número
constituye una solución (o raíz) de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones recibe
el nombre de conjunto de soluciones (o conjunto solución) de la ecuación. Un número
que es una solución se dice que satisface la ecuación.
Ejemplo En la ecuación
𝑥−7=0
si 𝑥 se sustituye por 7, el enunciado resultante es verdadero, pero si 𝑥 se reemplaza por un
número diferente de 7, el enunciado es falso. Por consiguiente, la única solución es 7 y el
conjunto solución es 7 .
Ejemplo Verifique que 𝑥 = −3, 𝑥 = 3 y 𝑥 = 4 son soluciones de la ecuación
𝑥 2 + 12 = 7𝑥
Ecuaciones de primer grado con una variable
Ecuaciones polinomiales. Un tipo importante de ecuación es la ecuación polinomial de
una variable, que puede escribirse en la forma 𝑃 = 0, donde 𝑃 es un polinomio en una
variable. El grado del polinomio es el grado de la ecuación. Los siguientes son algunos
ejemplos específicos de ecuaciones polinomiales en una variable:
7𝑥 − 21 = 0
2𝑦 2 − 3𝑦 − 5 = 0
(de primer grado)
(de segundo grado)
4𝑧 3 − 8𝑧 2 − 𝑧 + 2 = 0
(de tercer grado)
9𝑤 4 − 13𝑤 2 + 4 = 0
(de cuarto grado)
Ecuaciones de primer grado con una variable
Definición [Ecuaciones equivalentes]. Son ecuaciones que tienen el mismo conjunto
solución.
Ejemplo 4. Las siguientes ecuaciones son equivalentes
7𝑥 − 21 = 0
7𝑥 = 21
𝑥=3
Con frecuencia se puede resolver una ecuación reemplazándola por una sucesión de
ecuaciones equivalentes, siendo cada una más simple que de alguna manera que la
precedente, con lo que al final se obtiene una ecuación cuyo conjunto de soluciones es
evidente. Para reemplazar una ecuación por otra equivalente, podemos aplicar las
propiedades de los números reales.
Ejemplo Para resolver la ecuación
5𝑥 − 3 = 12
primero se suma 3 en ambos lados. De esta manera obtenemos
5𝑥 − 3 + 3 = 12 + 3 → 5𝑥 = 15
Ahora se divide entre 5 ambos lados de la ecuación para obtener la ecuación equivalente
5𝑥 15
=
→ 𝑥=3
5
5
Ecuaciones de primer grado con una variable
Definición [Ecuación de primer grado]. Una ecuación de la forma
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
donde 𝑎 y 𝑏 sean números reales y 𝑎 ≠ 0, o cualquier ecuación equivalente a una de esta
forma, se llama ecuación lineal.
𝑏
Teorema 1. La ecuación lineal 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 tiene exactamente una solución, − 𝑎.
Ejemplo Son ejemplos de ecuaciones lineales
𝑎) 2𝑥 − 5 = 0
𝑏)
1
𝑥
3
+ 7 =0
Ejemplo No son ejemplos de ecuaciones lineales
𝑎) 𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0
𝑏) 𝑥 3 − 8𝑥 = 0
Ecuaciones de primer grado con una variable
Ejercicios diversos
A continuación trabajaremos con ejercicios que durante su proceso de resolución se
obtienen ecuaciones lineales.
Ejemplo 1. Resuelva
3 𝑥 + 2 − 2 5 − 3𝑥 = 21
Resolución
3 𝑥 + 2 − 2 5 − 3𝑥 = 21
3𝑥 + 6 − 10 + 6𝑥 = 21
9𝑥 − 4 = 21
9𝑥 = 21 + 4
9𝑥 = 25
𝑥=
25
9
Respuesta: 𝐶𝑆 =
25
9
Ecuaciones de primer grado con una variable
Ejemplo 2. Resuelva
5𝑥 + 1 𝑥
1 − 2𝑥
− =1+
4
6
3
Resolución
5𝑥 + 1 𝑥
1 − 2𝑥
− =1+
4
6
3
MCM 4; 6; 3 = 12
3 5𝑥 + 1 − 2 𝑥 = 12 1 + 4 1 − 2𝑥
15𝑥 + 3 − 2𝑥 = 12 + 4 − 8𝑥
13𝑥 + 3 = 16 − 8𝑥
13𝑥 + 8𝑥 = 16 − 3
21𝑥 = 13
13
𝑥=
21
Respuesta: 𝐶𝑆 =
13
21
Ecuaciones de primer grado con una variable
Ejemplo 3. Resuelva
5 𝑥−2 =2 𝑥−1 −3 7−𝑥
Resolución
5 𝑥−2 =2 𝑥−1 −3 7−𝑥
5𝑥 − 10 = 2𝑥 − 2 − 21 + 3𝑥
5𝑥 − 10 = 5𝑥 − 23
5𝑥 − 5𝑥 = 10 − 23
0 = −13
es FALSO
Respuesta: 𝐶𝑆 =
Ecuaciones de primer grado con una variable
Ejemplo 4. Resuelva
𝑥+7=2 𝑥−1 − 𝑥−9
Resolución
𝑥+7= 2 𝑥−1 − 𝑥−9
𝑥 + 7 = 2𝑥 − 2 − 𝑥 + 9
𝑥+7=𝑥+7
𝑥−𝑥 =7−7
0=0
es VERDADERO
Respuesta: 𝐶𝑆 = ℝ
Ecuaciones de primer grado con una variable
Ejemplo 5. Resuelva
𝑎 𝑥 − 𝑏 = 𝑏 𝑥 − 𝑎 − 𝑎𝑏
Resolución
𝑎 𝑥 − 𝑏 = 𝑏 𝑥 − 𝑎 − 𝑎𝑏
𝑎𝑥 − 𝑎𝑏 = 𝑏𝑥 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏
𝑎𝑥 − 𝑎𝑏 = 𝑏𝑥 − 2𝑎𝑏
𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 = 𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
𝑎 − 𝑏 𝑥 = −𝑎𝑏
𝑎𝑏
𝑥=−
𝑎−𝑏
,𝑎 − 𝑏 ≠ 0
𝑎𝑏
Respuesta: 𝐶𝑆 = − 𝑎−𝑏
Ecuaciones de primer grado con una variable
Ejemplo 1. [Aplicación: ingreso, costo y utilidad]
Una compañía fabrica un producto cuyo costo por unidad es 6 dólares y el costo fijo 80 000
dólares. Si el precio de venta de cada producto es 10 dólares. Determine el número de unidades que
deben venderse para obtener una utilidad de 60 000 dólares.
Resolución
Sea 𝑥 las unidades producidas y vendidas
Precio de venta
unitario en $
10
Costo unitario de
producción en $
Costo fijo en $
6
𝐼 = 10𝑥
80 000
𝐶 = 6𝑥 + 80 000
𝑈=𝐼−𝐶
𝑈 = 10𝑥 − 6𝑥 − 80 000
𝑈 = 4𝑥 − 80 000
Luego 𝑈 = 60 000
entonces
4𝑥 − 80 000 = 60 000 → 4𝑥 = 140 000 → 𝑥 = 35 000
Respuesta: se tienen que producir y vender 35 000 unidades
Ecuaciones de primer grado con una variable
Ejemplo 2. [Aplicación: Ingreso, costo y utilidad]
La compañía Prescott fabrica sus productos con un costo de $4 por unidad y los vende a $10 por unidad. Si los costos fijos de la
empresa son de $12 000 al mes. Plantee, resuelva y responda:
a) ¿Cuál es el punto de equilibrio de la empresa?
b) ¿Cuál es la pérdida de la empresa si sólo se producen y venden 1 500 unidades por mes?
c)
¿Cuál es la ganancia si se producen y venden 3 000 unidades por mes?
d) ¿Cuántas unidades debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia mensual de $ 9 000?
Resolución
Sea 𝑥 las unidades producidas y vendidas
Precio de venta unitario en $
Costo unitario de producción en $
Costo fijo en $
10
4
12 000
𝐼 = 10𝑥
𝐶 = 4𝑥 + 12 000
𝑈 = 𝐼 − 𝐶 = 10𝑥 − 4𝑥 − 12 000 = 6𝑥 − 12 000
a) Para calcular el punto de equilibrio, se resuelve Utilidad igual a cero.
𝑈 = 0 → 6𝑥 − 12 000 = 0 → 6𝑥 = 12 000 → 𝑥 = 12 000 6 → 𝑥 = 2 000. Rpta: Tiene que producir y vender 2 000 unidades.
b) Si 𝑥 = 1 500 entonces
𝑈 = 6 1 500 − 12 000 = 9 000 − 12 000 = −3 000. Rpta: Esto significa que la empresa está que pierde $ 3 000.
c) Si 𝑥 = 3 000 entonces
𝑈 = 6 3 000 − 12 000 = 18 000 − 12 000 = 6 000. Rpta: Esto significa que la empresa está que gana $ 6 000.
d) Si 𝑈 = 9 000 entonces
𝑈 = 9000 → 6𝑥 − 12 000 = 9 000 → 6𝑥 = 21 000 → 𝑥 = 21 000 6 → 𝑥 = 3 500. Tiene que producir y vender 3 500 unidades.