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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Métodos Cuantitativos para la
Toma de Decisiones
Integradora 3.
Modelos de
Programación Lineal
Objetivo
M A E S T R Í A
•
Al finalizar la actividad integradora, serás capaz de:
•
Resolver
R
l
problemas
bl
d
de PL por medio
di d
dell método
ét d
gráfico.
Encontrar la solución óptima por medio del método
simplex.
Determinar el impacto del análisis de sensibilidad a la
decisión de asignación de probabilidades.
•
•
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Introducción
M A E S T R Í A
En este módulo aplicaremos la programación lineal,
llamada en ocasiones optimización, por medio de la cual
podemos resolver problemas de maximización o
minimización de una función lineal.
En otras palabras, la programación lineal
es la optimización de un resultado
basada en un conjunto de restricciones
utilizando un modelo matemático.
La programación lineal constituye una de
las ramas más estudiada y desarrollada
de la optimización en los últimos años.
Introducción
M A E S T R Í A
En la actualidad es un instrumento habitual en las
empresas privadas y administraciones públicas en todo el
mundo además de que hay numerosas aplicaciones
mundo,
prácticas en las demás ramas.
La teoría de la programación lineal también está incluida
dentro de la teoría de la optimización convexa y es
también considerada una parte muy importante en la
investigación de operaciones.
La programación lineal es muy utilizada en los negocios y
la economía, sin embargo también puede ser utilizada para
resolver ciertos problemas ingenieriles.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Introducción
M A E S T R Í A
Algunos ejemplos de aplicaciones de la programación
lineal en la economía son el Método de Insumo-Producto
de Leontief,
Leontief la determinación de precios sombra,
sombra etc
etc., un
ejemplo de una aplicación en los negocios podría ser
maximizar la utilidad de una fábrica que produce un
número de productos diferentes de los mismos materiales
utilizando los mismos recursos, y algunos ejemplos de
aplicación en la ingeniería puede ser la aproximación de
Chebyshev y el diseño de estructuras.
Introducción
M A E S T R Í A
Algunos de los métodos que abarca la programación lineal
son:
• Método Gráfico
• Método Simplex
• Dualidad
• Análisis de Sensibilidad
¡
¡Iniciemos
entonces en el p
práctico mundo de la
programación lineal!
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Método Gráfico
M A E S T R Í A
¿Qué es el método gráfico?
•
El Método
Mét d gráfico
áfi es una té
técnica
i que consiste
i t en
representar de manera gráfica la solución a un problema
de Programación Lineal donde se ven involucradas dos
variables de decisión.
•
En caso de existir mas variables de decisión será
necesario recurrir a otros métodos para obtener la mejor
solución.
Método Gráfico
M A E S T R Í A
Pasos a seguir para obtener la mejor solución
mediante el método gráfico
A continuación te presentamos qué pasos debes seguir
para resolver de manera correcta los problemas de
Programación Lineal mediante el Método gráfico:
Paso 1. Establecer cuál eje representa a cada variable de
decisión. Antes de empezar a graficar, es necesario que
asignes a ambas variables el eje que las representarán.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Método Gráfico
M A E S T R Í A
Paso 2. Representar las restricciones de manera
gráfica. Una vez asignados los ejes a ambas variables,
será necesario graficar las restricciones establecidas en la
etapa de formulación. El conjunto de restricciones
graficadas en el plano cartesiano nos indicará la región en
donde estarán el conjunto de soluciones y la solución
óptima a nuestro problema de Programación Lineal.
•
¿Cómo representar las restricciones de manera
gráfica?
áfi ? Muy
M sencillo,
ill ttodas
d llas d
desigualdades
i
ld d se
convierten en igualdades. Una vez igualadas,
obtenemos los puntos en donde cruza la línea con el eje
‘X’ y ‘Y’ y se unen los puntos.
Método Gráfico
M A E S T R Í A
Paso 3. Identificar la región factible. Como lo
mencionamos en el punto anterior, el conjunto de
restricciones graficadas en el plano cartesiano nos indica
la región en donde se encuentran el conjunto de
soluciones y la solución óptima a nuestro problema. Para
ello es necesario resaltar o sombrear el área que respeta
las especificaciones dadas por las restricciones hechas en
la etapa de formulación.
Paso 4. Obtener la mejor solución. Para obtener la mejor
solución mediante el Método gráfico tenemos dos
opciones, encontrarla por medio del ‘Método de isoutilidad’
o por medio del ‘Método de solución del punto esquina’.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Método Gráfico
M A E S T R Í A
Los pasos se muestran a continuación:
a)) Método
Mét d de
d solución
l ió de
d línea
lí
de
d isoutilidad
i
tilid d
1. Igualar la función objetivo a una suma arbitraria.
2. Graficar la línea de la misma manera que se graficaron
las restricciones.
Método Gráfico
M A E S T R Í A
3. Trazar líneas paralelas a la línea de la función objetivo
hacia la derecha si se desea maximizar o a la izquierda
si se desea minimizar.
4. Identificar el punto más alto (maximizar) o más bajo
(minimizar) en la gráfica. Dicho punto será la solución
óptima a nuestro problema de programación lineal.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Método Gráfico
M A E S T R Í A
b) Método de solución del punto esquina
1 Establecer
1.
E t bl
en lla gráfica
áfi llos puntos
t más
á alejados
l j d ((punto
t
esquina) dentro de la región factible.
2. Localizar las coordenadas de cada punto esquina.
3. Evaluar las coordenadas en la función objetivo.
4. Seleccionar la combinación que cumpla con el objetivo
de nuestro problema, si se busca maximizar, la mejor
solución será la de resultado mayor, si se busca
minimizar será la de menor resultado.
Método Simplex
M A E S T R Í A
En el tema anterior, explicamos cómo el método gráfico
puede ser usado para resolver problemas de
Programación Lineal con dos variables de decisión.
Sin embargo, la gran mayoría de los problemas de
Programación Lineal contienen más de dos variables de
decisión y no se pueden resolver con el método gráfico,
por lo q
p
que se requiere
q
un p
proceso de solución algebraico
g
llamado Método Simplex.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Pasos del Método Simplex
M A E S T R Í A
Los pasos para resolver los problemas de Programación
Lineal por medio del Método Simplex son los siguientes:
1. Formular el problema.
2. Agregar variables holgura (una por cada restricción).
No se toma en cuenta la restricción de no negatividad.
3. Preparar el tableau inicial.
Pasos del Método Simplex
5. Identificar el valor
M A E S T R Í A
más grande (variable que entra).
6. Identificar la razón de cambio más pequeña de la
columna en la que se encuentra el valor más grande de
(columna j) usando la fórmula
(variable que sale).
7. Identificar el elemento pivote, el cual se encontrará en
lla posición
i ió d
de lla columna
l
d
dell valor
l más
á alto
lt d
de y en ell
renglón de la razón de cambio más pequeña.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Pasos del Método Simplex
M A E S T R Í A
8. Hacer que el valor del elemento pivote sea igual 1,
mediante la siguiente formula:
9. Hacer que los valores arriba o abajo del elemento
pivote sean igual a 0 mediante la siguiente fórmula:
10.Obtener los valores de
Pasos del Método Simplex
M A E S T R Í A
11. Calcular los valores de
12. Calcular el valor de la función objetivo.
13. Si todos los valores de las columnas en el renglón
,
la solución es óptima, si no regresar al paso
5.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Dualidad
M A E S T R Í A
•
El problema dual o dualidad, es estudiado por medio de
la Programación Lineal y se obtiene matemáticamente
de un modelo primal dado (método simplex) de
Programación Lineal.
•
Los problemas duales y primales están altamente
relacionados, de tal forma que la solución simplex
óptima
p
de cualquiera
q
de los dos p
problemas conduce
automáticamente a la solución óptima del otro.
Dualidad
M A E S T R Í A
•
La relación del método simplex con la dualidad y el
análisis de sensibilidad es que estos dos últimos son
potencialidades del primero.
primero
•
Imagina ahora si el método simplex nos ofrece más y
mejores elementos para la toma de decisiones, lo que
es posible realizar por medio de la dualidad.
•
Aunque el objetivo principal es el de resolver un
problema de Programación Lineal llegando a una
solución óptima.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Dualidad
M A E S T R Í A
•
En la mayoría de los problemas de Programación
Lineal, el dual es definido para varias formas del primal,
dependiendo del signo de las variables
variables, tipos de
restricciones y del sentido de la optimización (es decir,
si se quiere minimizar o maximizar).
•
La experiencia nos indica que algunas veces, los
analistas que no dominan esta metodología se
confunden con los detalles de estas definiciones. Es aún
más
á iimportante
t t que ell uso d
de esas d
definiciones
fi i i
múltiples puede conducir a interpretaciones
inconsistentes de los datos en la tabla simplex, sobre
todo en lo que respecta a los signos de las variables.
Dualidad
M A E S T R Í A
El concepto de dualidad indica que para cada problema de
Programación Lineal hay una asociación y una relación
muy importante con otro problema de programación lineal
lineal,
llamada precisamente dual.
La relación entre el problema dual y el problema original o
primal, presenta varias ventajas:
•
Aporta elementos que aumentan sustancialmente la
comprensión de la Programación Lineal.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Dualidad
M A E S T R Í A
•
El análisis de dualidad es una herramienta útil en la
solución de problemas de Programación Lineal
Lineal, por
ejemplo cuando hay más restricciones que variables.
•
El problema dual tiene interpretaciones e informaciones
importantes que muestran que los análisis marginales
están siempre involucrados implícitamente al buscar la
p
a un p
problema de Programación
g
Lineal.
solución óptima
Dualidad
M A E S T R Í A
Un problema dual se formula de un problema primal de la
siguiente forma:
1. Si el primal es un problema de maximización, su dual
será un problema de minimización y viceversa.
2. Los coeficientes de la función objetivo del problema
primal se convierten en los coeficientes del vector de la
disponibilidad en el problema dual.
3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del
problema original se convierten en los coeficientes de
la función objetivo (vector de costo o precio) en el
problema dual.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
M A E S T R Í A
Dualidad
4. Los coeficientes de las restricciones en el problema
primal, será la matriz de los coeficientes tecnológicos
en el dual
dual.
5. Los signos de desigualdad del problema dual son
contrarios a los del primal.
6. Cada restricción en un problema corresponde a una
variable en el otro problema. Si el primal tiene m
restricciones y n variables, el dual tendrá n
restricciones y m variables. Así, las variables Xn del
primal se convierte en nuevas variables Ym en el dual.
Análisis de Sensibilidad
M A E S T R Í A
•
Como ya lo hemos mencionado, tú como tomador de
decisiones no sólo te debe de bastar con obtener la
solución óptima,
óptima si no también es necesario que
conozcas qué tan sensible es tu problema de
Programación Lineal a los cambios en el entorno.
•
Este análisis se debe hacer independientemente del
método o manera en que hayas obtenido solución
óptima, es decir ya sea por medio del Método Gráfico,
Mét d Si
Método
Simplex
l o usando
d algún
l ú paquete
t computacional
t i
l
como MS Excel, WinQSB, QM, entre otros.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Análisis de Sensibilidad
M A E S T R Í A
Dentro de la Programación Lineal existen dos tipos de
análisis de sensibilidad que se deben hacer una vez
obtenida nuestra solución óptima
óptima, los cuales son los
siguientes:
1. Análisis de sensibilidad en los coeficientes de la función
objetivo.
2. Análisis de sensibilidad en los recursos o valores del
lado derecho.
Análisis de Sensibilidad
M A E S T R Í A
1. Análisis de sensibilidad en los coeficientes de la
función objetivo.
Como lo hemos ido mencionando a lo largo de la
explicación de la Programación Lineal, la formulación y
solución de los problemas que usan esta técnica es una
representación ideal de los mismos, lo cual en la realidad
no es siempre así, por tal motivo los análisis de sensibilidad
nos ayudarán a entender hasta qué tan sensibles son las
variables y recursos usados.
Tiene el propósito de ayudarte como tomador de decisiones
a estar preparado en caso que suceda algún cambio en el
entorno y altere la configuración a las tasas de contribución
de tu objetivo, como por ejemplo la utilidad en la empresa.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Análisis de Sensibilidad
M A E S T R Í A
2. Análisis de sensibilidad en los recursos o valores
del lado derecho.
Habrá ocasiones en donde los cambios a los que nos
enfrentemos en el día a día sólo se presenten en los
recursos disponibles, para ello al igual que en los
anteriores enfoques debemos estar preparados para tomar
decisiones, esto es:
¿q sucedería si la cantidad de mano de obra disponible
¿qué
p
es
sólo la mitad? o ¿qué pasaría si por algún cambio o
adquisición tecnológica se incrementan la cantidad de horas
disponibles en un 25% en una máquina dada?
Cierre
M A E S T R Í A
Como estudiamos en este módulo, la programación lineal es
una de las principales ramas de la investigación de
operaciones.
p
En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de
optimización donde las funciones que lo componen, es decir,
función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las
variables de decisión.
Los modelos de programación lineal, por su
sencillez son frecuentemente usados para
sencillez,
abordar una gran variedad de problemas de
naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales,
lo que ha permitido a empresas y organizaciones
importantes beneficios y ahorros asociados a su
utilización.
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Métodos cuantitativos para la toma de decisiones
Referencias Bibliográficas
•
M A E S T R Í A
Render, B., Stair, R. M., Hanna, M. E. (2006). Métodos
Cuantitativos para los Negocios. México: Pearson
Prentice Hall
Hall.
M A E S T R Í A
Créditos
Diseño de contenido:
Lic. Iván Alarcón Múgica, MET
Coordinador académico del área:
L.I. Oscar Andrés Rodríguez Múgica, MATI
Edición de contenido:
Lic. Miriam Gómez Moore, MED
Edición de texto:
Lic. Alejandra Zaragoza Scherman
Diseño gráfico:
Lic. Alejandro Calderas González, MATI
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