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Aplicaciones de Gradiente
Diferencial de una función
Derivada direccional
Plano Tangente
Multiplicadores de Lagrange
Definición
• A partir de una función escalar f(x,y,z)
obtenemos una función vectorial llamada
gradiente
∂f
∂f
∂f ˆ
ˆj + k
∇f ( x, y, z ) = iˆ +
∂x
∂y
∂z
= f x iˆ + f y ˆj + f z kˆ
ES un campo vectorial
DIFERENCIAL
Diferencial en términos del gradiente
• La diferencial de una función f(x,y,z) está definida
por
∂f
∂f
∂f
df =
∂x
dx +
∂y
dy +
∂z
dz
• Si la diferencial del vector de posición es
r
dr = dx iˆ + dy ˆj + dz kˆ
• La diferencial de f se escribe como
r
df = ∇ f ( x , y ) • d r
DERIVADA DIRECCIONAL
Propiedades
Para una función de dos variables
Sea f diferenciable en el punto (x,y) r
u = cos θiˆ + senθˆj
• Dado el vector unitario u,
= u1iˆ + u2 ˆj
• la derivada direccional de f a lo largo de u es
Dur f ( x, y) = f x ( x, y) cosθ + f y ( x, y)senθ
O bien, en términos del gradiente
D uˆ f ( x , y ) = ∇ f ( x , y ) • uˆ
Es un escalar
PLANO TANGENTE
Propiedades geométricas
• Sea f(x,y) una función escalar de dos variables.
En R3, z=f(x,y) define una superficie S.
Construimos la función
F (x, y, z) = f (x, y) − z = 0
• Esta es la ecuación de la superficie S. Un
vector unitario perpendicular a S en (x,y,z) es
∇F
nˆ =
∇F
Notar: Este es un vector en
el espacio. El gradiente de f
(x,y) está en el plano
Ecuación del plano
• La ecuación de un plano perpendicular a un
r
vector N = Aiˆ + Bˆj + Ckˆ , con A, B y C
constantes, es Ax + By + Cz + D = 0
r
N = Aiˆ + Bˆj + Ckˆ
La constante D está determinada
por un punto del plano
(x,y,z)
r-r0
(x0,y0,z0)
r
r0
El vector r-r0 es perpendicular
al vector N. Por tanto
N∙(r-r0 )=0
Desarrollando
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0
Plano tangente
• La superficie S, definida por z=f(x,y), tiene un
plano tangente en el punto P(x0,y0,z0) de
r
r
vector de posición 0 = x0iˆ + y0 ˆj + z0kˆ ,
r r
dado por
∇ F | P •( r − r0 ) = 0
donde el gradiente de F(x,y,z) = f(x,y)-z se evalúa en P y
el vector de posición de un punto en el plano es
r ˆ ˆ ˆ Por lo que rr − rr = ( x − x )iˆ + ( y − y ) ˆj + ( z − z )kˆ
r = xi + yj + zk
0
0
0
0
Y la ecuación del plano tangente coincide con
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
Ejemplo
Ecuación dada
Despejando
Verificamos punto P
(1,-1,4)
Definición de F
Construimos
En este caso, es mejor
Elevar al cuadrado
Gradiente de F en P
Ecuación del plano
Evaluado en
P(x0,y0,z0) =(1,-1,4)
Despejando para
graficar el plano
z 2 −2 x 2 − 2 y 2 = 12
z = 12 + 2 x 2 + 2 y 2 = f ( x, y )
z (1,−1) = 12 + 2 + 2 = 16 = 4
F ( x, y , z ) = f ( x, y ) − z = 0
F ( x, y, z ) = 12 + 2 x 2 + 2 y 2 − z = 0
z 2 −2 x 2 − 2 y 2 − 12 = 0
∇F |P = (1, −1, 4 ) = −4 xiˆ − 4 yˆj + 2 zkˆ |P = −4iˆ + 4 ˆj + 8kˆ |
r r
∇F • (r − r0 ) = 0
− 4( x − x0 ) + 4( y − y0 ) + 8( z − z 0 ) = 0
− 4 x + 4 y + 8 z + (4 + 4 − 32) = 0
− 4 x + 4 y + 8 z − 24 = 0
z = 3+ x/ 2− y / 2
La función f(x,y) define la superficie S
z = 12 + 2 x 2 + 2 y 2 = f ( x, y )
P(x0,y0,z0)
=(1,-1,4)
El vector normal y el plano
F ( x, y, z ) = z 2 −2 x 2 − 2 y 2 − 12 = 0
∇F | P = (1, −1, 4 ) = −4 xiˆ − 4 yˆj + 2 zkˆ | P = −4iˆ + 4 ˆj + 8kˆ |
Ecuación del plano
z = 3+ x / 2− y / 2
Plano tangente en (1,-1,4)
Superficie S
Gradiente de F
Plano
Superficie S
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Máximos y mínimos con ligaduras
• Ligadura (restricción, constricción)
Condición que deben satisfacer las variables, por
ejemplo, estar en alguna línea o superficie.
Se expresa en forma de ecuación, en dos
variables g(x,y)=C, donde C es una constante
Ejemplo:
Área máxima del rectángulo circunscrito en la
elipse
A=4xy
Pero (x,y) satisfacen
ecuación de elipse
(x,y)
Teorema de Lagrange
• Sean f y g funciones con primeras derivadas
parciales continuas, tales que f tiene un extremo
en el punto (x0,y0) sobre la curva suave de
ligadura g(x,y)=C. Si ∇ g ( x0 , y 0 ) ≠ 0
existe un número real λ tal que
∇ f ( x0 , y 0 ) = λ ∇ g ( x0 , y 0 )
λ se conoce como el multiplicador de Lagrange.
Puede tener algún significado de interés.
Método de multiplicadores de
Lagrange
El problema es hallar máximo o mínimo de f,
con ligadura g(x,y)=C.
1. Resolver para x, y, λ simultáneamente las ecuaciones
∇f ( x, y ) = λ∇g ( x, y )
g ( x, y ) = C
Es decir
f x ( x, y ) = λ ∇ g x ( x, y )
f y ( x, y ) = λ∇g y ( x, y )
g ( x, y ) = C .
2. Obtenidas las raíces (x1,y1), …, evaluamos la
función en dichos valores
Valores de x
Valores de y
Valor de la Función
x1
y1
f(x1,y1)
x2
y2
f(x2,y2)
…
…
…
3. Seleccionamos los valores máximo y mínimo.