CAPITULO II CALCULO II FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE ESCALAR 2.1 CONCEPTOS BÁSICOS Una función vectorial (o a valores vectoriales) de una variable real (escalar), es una función del en la cual, a cada número real t de algún subconjunto I de R (el dominio de la función) le asigna un (y solamente un) valor de . en el espacio Puesto que es un punto del espacio éste tiene n coordenadas, las cuales son, en general funciones de la variable t. Así podemos escribir: donde : son funciones de la variable real t, llamadas funciones coordenadas de la función f. Como siempre, cuando solamente se proporciona la regla de correspondencia (como suele ocurrir) y no se hace explícito el dominio I de la función, se entiende que éste es el mayor subconjunto de la recta para la cual tiene sentido para toda i = 1,2,..., n, es decir el mayor subconjunto I de R para el cual la función f(t) tiene sentido. Esquemáticamente se tiene, Las funciones que nos interesan estudiar son las que son continuas en su dominio I. Para establecer el concepto de continuidad antes tendremos que referirnos al concepto de límite. ____________________________________________________________________________ Ing. Carla Escobar Olivares 15 Lic. Nila Morales 2.2 LIMITES DEFINICIÓN: Sea : una función definida en el intervalo abierto I de R y sea un punto de I o un punto de su frontera. Se dice que el límite de la función f cuando t tiende a es , lo cual se escribe como Si dado cualquier e > 0 existe un δ >0 tal que si donde . es la norma euclideana de vectores en y . El siguiente teorema nos dice que el estudio de los límites de las funciones : está íntimamente relacionado con el estudio de los límites de las funciones coordenadas de Teorema: Sea sólo si una función vectorial, entonces sí y donde . Ejemplo 1: Sea la función dada por . Las funciones coordenadas de f(t) son . Puesto que y , se tiene que, según el teorema anterior: Por ejemplo, si t =1 , se tiene que ____________________________________________________________________________ Ing. Carla Escobar Olivares 16 Lic. Nila Morales . Una situación análoga ocurrirá con la continuidad de la función f(t); se verá que ésta es continua sí y sólo si sus funciones coordenadas lo son. DEFINICIÓN: Sea : una función definida en el subconjunto abierto I de R y sea dice que f(t) es continua en si: Teorema: Sea funciones coordenadas una función definida en el intervalo abierto I de R de la forma y sea , la función f(t) es continua en sí y sólo si sus lo son. Ejemplo 2: La función dada por sus funciones coordenadas son polinomios y, por tanto, continuas. Ejemplos 3: La función , se es continua, pues dada por es discontinua en t =0 pues ____________________________________________________________________________ Ing. Carla Escobar Olivares 17 Lic. Nila Morales 2.3 DIFRENCIABILIDAD DE CURVAS REGULARES Sea : derivada de un camino definido en el intervalo abierto I de R y sea en , denotada por , se define la , como el límite cuando éste existe. En tal caso se dice que el camino es diferenciable en . Si es diferenciable en todos los puntos de I, decimos que es diferenciable en I. La primera observación que debemos hacer, es que la derivada de un camino : en un punto es un vector en el espacio . De hecho, viendo la siguiente cadena de igualdades, en donde podemos concluir que el camino es diferenciable en coordenadas lo son, y en tal caso, la derivada es el vector de las derivadas . de las funciones coordenadas de sí y sólo si sus funciones cuyas coordenadas son DEFINICIÓN: Sea un camino diferenciable el vector se llama vector velocidad del camino en el punto . Un hecho geométrico relevante del vector de un camino diferenciable, es que éste es tangente a la curva correspondiente en el punto donde se calcula la derivada y que apunta en la dirección al recorrido de la curva. Veamos por ejemplo, el caso de un camino diferenciable en . En la siguiente figura están marcados los puntos de la curva correspondientes a cualquier , el vector . El vector . es aquel que va de P a Q. Para es un vector paralelo a . Siguiendo la posición ____________________________________________________________________________ Ing. Carla Escobar Olivares 18 Lic. Nila Morales del vector para h cada vez más pequeño, resulta que, en la posición límite, cuando 0 h à0, el vector se vuelve tangente a la curva en P. Ejemplo 4: Sea el camino pues sus funciones coordenadas . Éste es un camino diferenciable, , lo son. La derivada de es: Ejemplo 5: Consideremos el camino es diferenciable, y la función que es diferenciable, para t >0 se tiene . Así que . existe para todo dado por Ciertamente la función también lo es, pues para t<0 se tiene que también es diferenciable y para t = 0 es . Además observe como , de modo que la curva descrita por este camino es la gráfica de la función Este ejemplo nos muestra que la diferenciabilidad de un camino nada tiene que ver con la forma geométrica de la curva que describe. El hecho de que en el origen esta curva tenga un pico, no afecta a la diferenciabilidad del recorrido. Los ejemplos anteriores nos muestran que la diferenciabilidad de un camino “no detecta” picos de la curva que representa. Por supuesto que este punto representa un problema geométrico al no poder asociar ahí, una recta tangente a la curva. La propiedad de las curvas referente a la posibilidad de trazar rectas tangentes a ellas se llama regularidad. Ésta es una propiedad que definiremos para caminos de Clase C1 (son aquellos que además de ser diferenciables, tienen continua su función derivada). DEFINICIÓN: Sea : un camino de clase C1 se dice que éste es un camino regular si (el vector nulo de R n ) para toda 2.3.1 REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Para las funciones vectoriales diferenciables, valen reglas de derivación similares a las funciones ____________________________________________________________________________ Ing. Carla Escobar Olivares 19 Lic. Nila Morales escalares a saber: 1. 2. donde a y ß son constantes reales , donde . es una función escalar. 3. 4. 5. 6. , luego derivando ambos miembros se tiene .O sea, si , es una función vectorial de módulo constante, su derivada es un vector perpendicular a él. 7. Si u es una función vectorial de t, y t es una función escalar de s la regla de la cadena se escribe : ____________________________________________________________________________ Ing. Carla Escobar Olivares 20 Lic. Nila Morales
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