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Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica
Cálculo Numérico
Integración Numérica
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Sabemos que el problema de determinar el área bajo la curva de una función
f(x) conduce al concepto de integral, el cual conocemos de la forma:
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
El problema “se vuelve aún peor” cuando dicha integral es muy difícil de
resolver o, definitivamente, no se puede mediante métodos analíticos. Por
ejemplo, encuentre la solución para la siguiente integral:
1.2
1.1
(ex − 1)sin 𝑥
𝑑𝑥
2
tan 𝑥 − 𝑥
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
En este capítulo estudiaremos como resolver este tipo de integrales mediante
aproximaciones numéricas. Para ello estudiaremos los siguiente métodos:
• Método del Trapecio: simple, corregido y compuesto
• Método de Simpson: simple y compuesto
• Método de Romberg
• Cuadratura Gaussiana
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Representación Gráfica Método del Trapecio
Suponga que aproximamos una función mediante una línea recta entre los
puntos a y b.
1 panel entre a y b
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Si integramos al área bajo la recta con la que aproximamos f(x) obtenemos el
siguiente resultado.
Método del Trapecio
𝑏
𝑇=
𝑎
𝑏−𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏) + 𝐸𝑇
2
Donde:
𝐸𝑇 = −
1
12
𝑏 − 𝑎 3 𝑓 ′′ (𝜉); 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏)
es el error de cuadratura o integración.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Una mejora al método del trapecio es la siguiente:
Método del Trapecio Corregido
𝑏
𝑇𝑐 =
𝑎
Donde:
𝑏−𝑎
𝑏−𝑎
𝑓 𝑥 =
𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏) −
2
12
𝐸𝑇𝐶 = −
1 𝑏−𝑎 5
90
2
2
𝑓′ 𝑎 + 𝑓′ 𝑏
𝑓 ′′ (𝜉); 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏)
es el error de cuadratura o integración.
+ 𝐸𝑇𝐶
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Representación Gráfica Método del Trapecio Compuesto
Aumenta el número de paneles con el fin de disminuir el error cometido.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Método del Trapecio Compuesto
Con n número de paneles, podemos escribir el método del trapecio de la
siguiente forma:
𝑇 𝑗 =
𝑥𝑛
𝑥0
Donde:
y
ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑓 𝑥0 + 2
2
𝑛−1
𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑛 ) + 𝐸𝑇𝑗
𝑖=1
𝑥𝑛 − 𝑥0
ℎ=
= 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑛
𝐸𝑇𝑗 = −
1 ℎ3
12
𝑛2
es el error de cuadratura integración.
𝑓 ′′ (𝜉); 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Si integramos al área bajo la curva cuadrática con la que aproximamos f(x)
obtenemos el siguiente resultado
Método de Simpson
𝑆=
𝑥2
𝑥0
Donde:
ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 4𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + 𝐸𝑆
3
𝑥2 − 𝑥0
ℎ=
= 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥0
2
y
𝐸𝑆 = −
1
90
ℎ5 𝑓 𝑖𝑣 (𝜉); 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏)
es el error de cuadratura o integración.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Representación Gráfica Método de Simpson
Suponga que aproximamos una función mediante una curva cuadrática entre
los puntos a y b, tomando un punto intermedio.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Realizando el mismo procedimiento utilizado para derivar la fórmula del
trapecio compuesto podemos obtener una fórmula para Simpson compuesto.
Método de Simpson Compuesto
𝑆 𝑗 =
𝑥 2𝑚
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑥0
ℎ
=
𝑓 𝑥0 + 2
3
𝑚 −1
𝑚 −1
𝑓 𝑥2𝑖 + 4
𝑖=1
𝑓 𝑥2𝑖−1 + 𝑓(𝑥2𝑚 ) + 𝐸𝑆𝑗
𝑖=1
𝑥2𝑚 − 𝑥0
ℎ=
= 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
2𝑚
Donde:
𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ
Y
𝐸𝑆𝑗 = −
1
90
ℎ5
𝑚
𝑖𝑣
𝑓
(𝜉);
𝑖=1
es el error de cuadratura o integración.
𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Retomemos el ejemplo del comienzo
1.2
1.1
Otros ejemplos ver Mathcad.
(ex − 1)sin 𝑥
𝑑𝑥
2
tan 𝑥 − 𝑥
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Integración de Romberg
La fórmula de Romberg se puede escribir de la siguiente manera:
1
𝑗 ≥ 𝑘; 𝑅 𝑗, 𝑘 = 𝑅 𝑗, 𝑘 − 1 − 𝑘
(𝑅 𝑗, 𝑘 − 1 − 𝑅(𝑗 − 1, 𝑘 − 1))
4 −1
La idea es encontrar un método de integración que en forma iterativa
disminuya el error de integración
¿Qué indican los parámetros J y k?
j: Indica el número de paneles, es decir, la cantidad de subintervalos con los
que se desea aproximar una integral.
k: Indica el orden del método, por ejemplo, para k = 0 se está utilizando el
método del trapecio y para k = 1 se está utilizando el método de Simpson.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Integración de Romberg
Del esquema de Romberg antes descrito se puede obtener lo siguiente:
𝑘 = 0 − 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 − 𝑅 𝑗, 0 = 𝑇 𝑗 , 𝑗 ≥ 0; 𝑁 = 2𝑗 → 𝑜(ℎ2 )
𝑘 = 1 − 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛 − 𝑅 𝑗, 1 = 𝑆 𝑗 , 𝑗 ≥ 1; 𝑁 = 2𝑗 → 𝑜(ℎ4 )
𝑘 = 2 − 𝐵𝑜𝑜𝑙𝑒 − 𝑅 𝑗, 2 = 𝐵 𝑗 , 𝑗 ≥ 2; 𝑁 = 2𝑗 → 𝑜(ℎ6 )
A medida que aumentamos el parámetro “k” aumentamos el orden del error
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Integración de Romberg
¿Cómo opera Romberg?
Error
o(h2)
o(h4)
o(h6)
Trapecio
Simpson
Boole
R(J,1)
R(J,2)
Índice J
N° Paneles (2^J)
R(J,0)
0
1
T(0)=R(0,0)
1
2
T(1)=R(1,0)
R(1,1)
2
4
T(3)=R(3,0)
R(2,1)
R(2,2)
3
8
T(4)=R(4,0)
R(3,1)
R(3,2)
𝐸 = |𝑅 𝑗, 𝑗 − 𝑅(𝑗 − 1, 𝑗 − 1)| < 𝜀
Ejemplo:
o(h8)
R(J,3)
R(3,3)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Cuadratura Gaussiana
En general, podemos escribir las fórmulas de cuadratura de la forma:
𝑛
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑤𝑗 𝑓 𝑥𝑗 + 𝐸
𝑗 =0
Donde wj se llaman pesos de cuadratura y xj nodos o puntos de precisión.
Por ejemplo, para el método del trapecio:
𝑏−𝑎
𝑤𝑗 =
; 𝑗 = 1,2
2
𝑥1 = 𝑎 y 𝑥2 = 𝑏
1
𝐸=−
𝑏 − 𝑎 3 𝑓 ′′ (𝜉)
12
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Cuadratura Gaussiana
La cuadratura de Gauss escoge los puntos de precisión y los pesos de forma
conveniente con el objeto que el error de integración sea lo mas cercano a
cero.
Representación Gráfica:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Cuadratura Gaussiana
La fórmula de Gauss que estudiaremos es la fórmula de Legendre, que se
escribe de la siguiente forma:
𝑛
1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−1
𝑤𝑗 𝑓 𝑥𝑗 + 𝐸
𝑗 =0
Los pesos y puntos de precisión se obtienen de la siguiente tabla:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Límites de integración de las fórmulas de cuadratura Gaussiana
Es posible notar que la fórmula de cuadratura Gaussiana como la hemos
definido sólo es aplicable a problemas con límites de integración -1 y 1.
Sin embargo, es posible hacer una cambio de variables de la forma:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
Al encontrar las constantes m y n, se obtiene:
𝑏−𝑎 𝑥+𝑏+𝑎
𝑏−𝑎 𝑥
𝑦=
; 𝑑𝑦 =
2
2
Donde a y b son los nuevos límites de integración.
Ejemplo:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Cotas de Error
De las fórmulas de error mencionadas para cada uno de los métodos
estudiados, se pueden obtener cotas de los errores y, con ello, poder definir el
espaciamiento h.
Consideremos el error para el método del trapecio:
Suponga que |f’’(x)| ≤ K para a ≤ x ≤ b, de aquí es posible escribir lo siguiente
1 3
|𝐸𝑇 | ≤ − ℎ 𝐾
12
Ejemplo:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Exactitud de las fórmulas de integración
Consideremos la fórmula de error del trapecio
1
𝐸𝑇 = −
𝑏 − 𝑎 3 𝑓 ′′ (𝑥)
12
Es posible observar que para polinomios de grado 1 la fórmula es cero para
todo x en [a,b].
Por lo tanto, podemos decir que la fórmula del trapecio es exacta hasta
polinomios de grado 1.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Exactitud de las fórmulas de integración
Consideremos ahora la fórmula del error para el método de Simpson:
1 5 𝑖𝑣
𝐸𝑆 = − ℎ 𝑓 (𝑥)
90
Es posible notar que para polinomios de grado 3 la fórmula del error es cero
para cualquier x en [a,b].
Por lo tanto, podemos decir que la fórmula de Simpson es exacta hasta
polinomios de grado 3.
En los casos de cuadratura Gaussiana, una fórmula de n sumandos es exacta
hasta polinomios de grado 2n+1.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Integración Múltiple
Cada uno de los métodos anteriormente vistos se pueden emplear para
realizar integraciones múltiples.
Sabemos que una integral múltiple se resuelve en forma iterativa, es decir:
𝑏
𝑑
𝑏
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝑎
𝑐
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑎
𝑐
Lo cual también sirve para integrales de mayores dimensiones.
La idea es resolver en forma iterada cada integral aplicando los métodos
vistos.
Ejemplo: