3 3 ESO ESO Cuaderno digital interactivo Biblioteca de recursos digitales edebé Disponible en «Tu espacio personal»: www.edebe.com Bloque I: Números y álgebra. Funciones Libro digital interactivo orientadas a las enseñanzas académicas Multidispositivo orientadas a las enseñanzas académicas proyecto global interactivo Matemáticas edebé n Bloque I ESO Matemáticas 3 edebé Bloque I: Números y álgebra. Funciones Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas edebé Atención al cliente 902 44 44 41 [email protected] 113756 113756_AL_MATES_ACA_3ESO_CAS_B1.indd 1 edebé n proyecto global interactivo 23/01/15 12:59 9 GEOMETRÍA Rectas y ángulos Los elementos geométricos en el arte Muchos escultores (Chillida, Oteiza, Calder...) han utilizado y utilizan elementos geométricos básicos, como las rectas y los ángulos, en sus composiciones. Observa la obra Cerillas (1992), de Claes Oldenburg. Este escultor sueco es uno de los pioneros del Pop Art. Es conocido sobre todo por sus instalaciones de arte público que representan réplicas a gran escala de objetos cotidianos. CONTENIDOS 1. Elementos básicos de la geometría 2. Ángulos 3. Construcciones geométricas con ordenador Cre@ctividad Confección de un resumen Rutina de pensamiento TITULAR Entra en esta página y observa sus imágenes: http://links.edebe.com/tmqa • Escribe un titular que capte el aspecto más importante de su contenido. • Poned en común. • ¿Cambiarías tu titular tras la puesta en común? 196 197 Representación de rectas y planos Las rectas y los planos son ilimitados, por lo que solamente podemos representar una parte de ellos. 1. Elementos básicos de la geometría Los tres elementos básicos de la geometría son los puntos, las rectas y los planos. 1.1. Punto. Recta. Plano Los puntos permiten representar una posición en el espacio. A B Los puntos se representan con dos pequeños trazos que se cruzan o con un círculo pequeño y los simbolizaremos con letras mayúsculas (A, B, C...). Determinación de una recta Por un punto pasan infinitas rectas. Un punto es un elemento geométrico que identifica una posición en el espacio. A Podemos unir dos puntos mediante una recta. r Por dos puntos solo pasa una recta. A B r Entonces, una recta queda determinada por dos puntos. Las rectas se representan mediante una línea recta y las simbolizaremos con letras minúsculas (r, s, t...). Una recta es una sucesión infinita de puntos situados en una misma dirección. Los puntos y las rectas quedan contenidos en planos. Determinación de un plano Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: • Tres puntos no alineados. • Una recta y un punto exterior a ella. • Dos rectas paralelas. α Los planos se representan mediante un paralelogramo y los simbolizaremos con letras griegas (α, β, γ...). Un plano es un elemento geométrico que posee dos dimensiones y contiene infinitos puntos y rectas. • Dos rectas que se cortan. — Después, representa dos puntos, A y B: el punto A pertenece a la recta y el punto B pertenece al plano, pero no a la recta. 2. Si tres o más puntos pertenecen a la misma recta, decimos que están alineados. Dibuja tres puntos alineados. 198 Unidad 9 3. Traza todas las rectas posibles que pasen por dos de los puntos de la figura. ¿Cuántas rectas has obtenido? D A B C Actividades 1. Representa un plano α y dibuja, a continuación, una recta r que pertenezca al plano. 1.2. Semirrecta. Segmento. Semiplano Cualquier punto de una recta divide a esta en dos partes, denominadas semirrectas. Semirrecta A Semirrecta Origen El punto A es el origen de las dos semirrectas. Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos. Dos puntos de una recta delimitan un segmento. Segmento AB B Segmentos consecutivos Los segmentos consecutivos son aquellos que tienen un extremo en común. A Extremos • Los puntos A y B son los extremos del segmento AB. P R • Los segmentos se simbolizan con las letras mayúsculas que forman sus extremos (AB, BC...). Q S Un segmento es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados extremos. Al trazar una recta en un plano, este queda dividido en dos partes, denominadas semiplanos. Si los segmentos consecutivos pertenecen a la misma recta se denominan segmentos consecutivos alineados. U V W r α1 X α2 Un semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas. — A continuación, señala tres puntos distintos sobre otra recta y determina el número de semirrectas y de segmentos. 5. Indica con qué elemento geométrico asociarías cada uno de estos ejemplos: a) Una calle desde una plaza hacia cualquier dirección. b) Un tramo de calle comprendido entre las dos calles que lo cortan. 6. ¿Cuáles de estos elementos geométricos se pueden medir y cuáles no: recta, semirrecta, segmento? Justifica tu respuesta. Rectas y ángulos 199 Actividades 4. Dibuja una recta y señala dos puntos distintos sobre ella. ¿Cuántas semirrectas resultan? ¿Y cuántos segmentos? 1.3. Mediatriz de un segmento Lugar geométrico Observa la figura: Un lugar geométrico es un conjunto de puntos de un plano que cumplen una propiedad. A B La recta perpendicular al segmento AB, denominada mediatriz, lo corta por su punto medio y lo divide en dos partes iguales. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. También se puede definir la mediatriz a partir de la distancia de sus puntos a los extremos del segmento. Observa esta figura: Mediatriz D A D’ B Fijate en que cualquiera de las líneas de la región D tiene la misma longitud que su correspondiente en D’; es decir, todos los puntos de la mediatriz equidistan de A y B. La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos. 8. Dibuja un segmento de 6 cm y su mediatriz. Construye un triángulo con dos de sus vértices en los extremos del segmento, y el tercer vértice sobre la mediatriz. ¿Qué tipo de triángulo es? 200 Unidad 9 Actividades 7. Observa cómo se construye la mediatriz de un segmento en este enlace: http://links.edebe.com/8yyk. A continuación, dibuja la mediatriz de un segmento AB que mide 4 cm y explica el proceso que has seguido para hacerlo. 1.4. Teorema de Tales Observa estas dos rectas secantes cortadas por otras rectas paralelas: r C B A u A′ u′ C′ B′ s Cada segmento delimitado en una de las secantes es proporcional al segmento correspondiente delimitado en la otra secante. Esta propiedad es el teorema de Tales: Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en la otra. AB A' B' = CD C' D' = ... Dicho teorema permite determinar el paralelismo de dos rectas, hallar medidas indirectas, dividir un segmento en partes proporcionales a unos segmentos dados o bien en partes iguales... Observa su aplicación para dividir un segmento en cinco partes iguales. 1. Dibujamos el segmento AB. 2. Dibujamos una semirrecta con origen en A. Sobre esta semirrecta situamos consecutivos y alineados cinco segmentos de una misma longitud b. Paralelismo de rectas El teorema de Tales puede aplicarse para determinar si dos rectas son paralelas o no. Observa la figura. s r b a b A b B a’ b b’ b b Si se verifica que A B 3. Unimos el extremo libre del último 4. Trazamos rectas paralelas al segsegmento b con el punto B. mento anterior que pasen por los puntos marcados en la semirrecta. b b b a' b = b' entonces las rectas r y s son paralelas. b b b b b b A a b B A B 10. Las rectas r y s son paralelas. Justifica si la recta t es paralela a las rectas r y s. Actividades 9. Divide gráficamente un segmento de longitud a = 14 cm en seis partes iguales. 3 cm 1,5 cm m 2c m 1c t s r Rectas y ángulos 201 2. Ángulos Unidades de medida de ángulos Un ángulo se puede definir como una región del plano o como una región barrida en un giro. Para medir ángulos habitualmente se utiliza el grado sexagesimal. O B Un grado sexagesimal es el ángulo que obtenemos al dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. Se simboliza 1°. A Lado Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto sexagesimal (’) y el segundo sexagesimal (’’). Ángulo es cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano por dos semirrectas que tienen el mismo origen o vértice. × 60 × 60 Grado (0) Minuto (’) Segundo (’’) sexagesimal sexagesimal sexagesimal : 60 Lado Vértice Posición final : 60 Los ángulos se miden con el transportador. A O Posición inicial Semirecta generatriz Ángulo es la región del plano barrida al girar una semirrecta, semirrecta generatriz, respecto de su origen desde una posición inicial hasta una posición final. 2.1. Clasificación de los ángulos Los ángulos pueden clasificarse según diversos criterios. • Según la región del plano que abarcan: ÁNGULO CONVEXO ÁNGULO CÓNCAVO A Un ángulo convexo abarca una de las cuatro regiones del plano determinadas al prolongar sus lados por el vértice. Mide más de 0º y menos de 180º. B Un ángulo cóncavo abarca tres de las cuatro regiones del plano determinadas al prolongar sus lados por el vértice. Mide más de 180º y menos de 360º. 2 4 3 202 Unidad 9 7 5 1 6 8 Actividades 11. Clasifica estos ángulos en cóncavos y convexos: • Según su amplitud o medida: ÁNGULO RECTO ÁNGULO AGUDO ÁNGULO OBTUSO A = 90° Dos semirrectas perpendiculares forman un ángulo recto. Mide 90º. Un ángulo agudo tiene una amplitud menor que un ángulo recto. Un ángulo obtuso tiene mayor amplitud que un ángulo recto y menor que uno llano. Mide menos de 90º. Mide más de 90º. ÁNGULO NULO ÁNGULO LLANO O ÁNGULO COMPLETO O O Dos semirrectas con el mismo origen y el mismo sentido forman un ángulo nulo. Dos semirrectas con el mismo origen y sentido contrario forman un ángulo llano. Un ángulo completo tiene una amplitud equivalente a cuatro ángulos rectos. Mide 0º. Mide 180º. Mide 360º. Dado un ángulo, podemos definir su ángulo complementario y su ángulo suplementario: ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS ^ ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS ^ A + B = 90° ^ B Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. Actividades 12. Clasifica estos ángulos según su amplitud: C D A Dos ángulos son complementarios si suman 90°. ^ C + D = 180° 13. Completa esta tabla en tu cuaderno: Ángulo Complementario 35º 70º Suplementario 125º 50º 82º Rectas y ángulos 203 2.2. Bisectriz de un ángulo Fíjate en la figura: Accede a la página http://links.edebe.com/ihc y efectúa las actividades que se proponen sobre la bisectriz de un ángulo. La semirrecta que se origina en el vértice del ángulo, denominada bisectriz, lo divide en dos ángulos iguales. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. La bisectriz también se puede definir a partir de la distancia de sus puntos a los lados del ángulo. Observa esta figura: Bisectriz D D’ Las líneas de la región D tienen la misma longitud que sus correspondientes de la región D’. Es decir, todos los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo. La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. 15. Traza las bisectrices de los dos ángulos consecutivos de la figura. — ¿Qué relación existe entre estas dos bisectrices? 204 Unidad 9 Actividades 14. Observa cómo se traza la bisectriz de un ángulo en este vídeo: http://links.edebe.com/gix. A continuación, dibuja un ángulo de 40º, traza su bisectriz y explica el proceso que has seguido para ello. 2.3. Relaciones angulares Ángulos consecutivos Las relaciones entre ángulos debidas a su posición comportan propiedades que nos permiten determinar si dos ángulos son iguales o suplementarios sin necesidad de efectuar ninguna operación. Los ángulos consecutivos son aquellos que poseen un mismo vértice y tienen un lado común. Ángulos determinados por dos rectas que se cortan En la figura se puede apreciar que al cortarse dos rectas se forman cuatro ángulos: A O 2 B Lado comúm 4 ^ ^ Los ángulos A y B son consecutivos. 1 3 Según la posición de los ángulos con respecto a las rectas, reciben distintos nombres: ÁNGULOS ADYACENTES Los ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado en común, y sus otros dos lados son semirrectas opuestas. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos que comparten el vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Lado comúm B C A D D C O ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ A y D son adyacentes; por tanto, A + D = 180°. C y D son adyacentes; por tanto, C + D = 180°. ^ ^ ^ Los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°). ^ } A = 180° − D ^ ^ A =C ^ ^ C = 180° − D C + D = 180° ^ ^ Del mismo modo se obtiene B = D. Dos ángulos adyacentes son suplementarios. Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. Actividades 16. Observa esta figura e indica cuáles son los pares de ángulos: a) Adyacentes b) Opuestos por el vértice B C A D Rectas y ángulos 205 Ángulos determinados por dos paralelas y una secante 2 1 4 3 En la figura de la izquierda se puede observar que dos rectas paralelas cortadas por una recta secante determinan ocho ángulos. 6 5 Estos ángulos guardan entre sí diferentes relaciones según la posición que ocupan. Los ángulos 3, 4, 5 y 6 son internos y los ángulos 1, 2, 7 y 8 son externos respecto a las rectas paralelas. 8 7 ALTERNOS INTERNOS CORRESPONDIENTES A B D C F H C G Los ángulos correspondientes son los que están situados al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la secante. OPUESTOS POR EL VÉRTICE A D E ALTERNOS EXTERNOS E A B F B H G Los ángulos alternos externos son los que están en la parte exterior de las paralelas, a distinto lado de ellas y a distinto lado de la secante. Los ángulos alternos internos son los que están en la parte interior de las paralelas, a distinto lado de ellas y a distinto lado de la secante. C D E F H G Los ángulos opuestos por el vértice son los que están a distinto lado de las paralelas y a distinto lado de la secante. Dos ángulos correspondientes, dos ángulos alternos internos, dos ángulos alternos externos y dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. ADYACENTES CONJUGADOS INTERNOS A A D B C CONJUGADOS EXTERNOS D E F H C E B H F G G Los ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado en común, y sus otros dos lados son semirrectas opuestas. Los ángulos conjugados externos son los ángulos externos a las paralelas y del mismo lado de la secante. Los ángulos conjugados internos son los ángulos internos a las paralelas y del mismo lado de la secante. Dos ángulos adyacentes, dos ángulos conjugados internos y dos ángulos conjugados externos son suplementarios. a) Correspondientes b) Alternos internos c) Alternos externos d) Opuestos por el vértice 206 Unidad 9 e) Adyacentes f) Conjugados internos g) Conjugados externos 18. Determina los pares de ángulos iguales. Razona tu respuesta. C A D E B F Actividades 17. Observa las tablas de esta página e indica cuáles son las parejas de ángulos: 3. Construcciones geométricas con ordenador Los programas de geometría dinámica, entre ellos GeoGebra, incorporan recursos para practicar los conceptos presentados en esta unidad; por ejemplo, para trazar pares de ángulos y comprobar sus propiedades. Las construcciones geométricas se han desarrollado con el programa GeoGebra, que está disponible on line, con la opción Webstart, en la página: www.geogebra.org Los iconos de la barra de herramientas que podemos utilizar son los siguientes: • Para trazar los lados de los ángulos: Segmento entre dos puntos Recta que pasa por dos puntos Semirrecta que pasa por dos puntos • Para trazar ángulos: Ángulo Ángulo dada su amplitud • Para trazar puntos: Nuevo punto Intersección de dos objetos Vamos a dibujar dos pares de ángulos opuestos por el vértice. — Trazamos un segmento AB con la herramienta . — A continuación, con la misma herramienta, trazamos otro segmento CD que corte al primero. — Con la herramienta segmentos, E. , trazamos el punto punto de intersección de los dos — Con la herramienta , trazamos los cuatro ángulos determinados por los segmentos. Para dibujar los ángulos, debemos señalar los tres puntos, siguiendo un orden determinado: AED, BEC, CEA y DEB. — Podemos repetir el proceso, creando nuevos pares de segmentos para comprobar que los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Actividades Utiliza el programa GeoGebra para resolver las siguientes actividades: 19. Construye dos pares de ángulos opuestos por el vértice utilizando otras herramientas. Utiliza estas opciones: — Para trazar los lados de los ángulos: Recta que pasa por dos puntos o Semirrecta que pasa por dos puntos. — Para trazar los ángulos: Ángulo dada su amplitud. — Para trazar el punto de intersección: Nuevo punto. 20. Averigua cómo se insertan imágenes en GeoGebra. Utiliza una imagen del plano de una ciudad y, con el programa, mide algunos de los ángulos que forman las calles. 21. Traza dos rectas paralelas cortadas por una secante. Muestra el valor de los ocho ángulos formados y comprueba que se cumplen las relaciones de igualdad y suplementariedad tratadas en la página anterior. Rectas y ángulos 207 ACTIVIDADES RESUELTAS C B A 0,75 m En la imagen, las rectas perpendiculares a la base de la pared son paralelas entre ellas. Calcula la distancia entre A y B y la distancia entre B y C. 1,5 m 0,9 m 0,6 m Compreder En la imagen se muestran dos rectas secantes cortadas por tres paralelas. — ¿Entiendes el enunciado? Conocemos las longitudes de tres de los segmentos de una de las rectas y la longitud de un segmento de la otra. — ¿Distingues cuáles son los datos? — ¿Hay suficiente información? Planificar Podemos aplicar el teorema de Tales para resolver el problema: Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en la otra. Es decir: 0,75 AB BC = = 0,6 0,9 1,5 ¿Puedes utilizar alguna de las siguientes estrategias? — Aplicar algún método geométrico. — Construir una figura. — Usar un teorema. Ejecutar el plan Ahora se trata de implementar la estrategia elegida para resolver el problema. Escribimos las proporciones para determinar las distancias desconocidas: AB 0,75 → 0,75 ⋅ 0,9 = 0,6 ⋅ AB = 0,9 0,6 0,675 = 1,125 0,675 = 0,6 ⋅ AB → AB = 0,6 0,75 0,6 = CD 1,5 → 0,75 ⋅ 1,5 = 0,6 ⋅ CD 1,125 = 0,6 ⋅ CD → CD = 1,125 0,6 = 1,875 Revisar La distancia AB es de 1,125 m y la distancia BC es de 1,875 m. — ¿Son correctas las soluciones? Para verificar que las soluciones son correctas, comprobamos que se cumplen las proporciones establecidas por el teorema de Tales: — ¿Satisfacen tus soluciones lo establecido en el problema? 0,75 0,6 r 1 cm 5 cm ; 1,125 0,9 23. Las rectas a y b son paralelas. Justifica si la recta c es paralela a las rectas a y b. = 1,25 ; 4,5 x m 9c 7 cm a Unidad 9 1,5 = 1,25 3 cm 6 cm s 208 1,875 b cm c Actividades 22. Sabiendo que las rectas que cortan a r y s son paralelas, determina la longitud x. = 1,25 SÍNTESIS ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA PUNTOS RECTAS • Elementos geométricos que describen una posición en el espacio. PLANOS • Sucesiones infinitas de puntos situados en una misma dirección. • Elementos geométricos de dos dimensiones que contienen infinitos puntos y rectas. permiten definir SEMIRRECTAS SEGMENTOS podemos trazar su Mediatriz podemos trazar su Bisectriz permiten definir ÁNGULOS • Cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano por dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Actividades finales Elementos básicos de la geometría 24. 25. a Dibuja en tu cuaderno el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos de un segmento AB de 5 cm de longitud. ¿Qué nombre recibe este lugar geométrico? Verifica, en cada caso, si el punto A pertenece a la mediatriz del segmento BC. s A B C C B A 26. a Observa la figura y elige la opción correcta. a) La distancia desde el punto C al punto A es menor que la distancia desde el punto C al punto B. b) La distancia desde el punto C al punto A es igual a la distancia desde el punto C al punto B. c) La distancia desde el punto C al punto A es mayor que la distancia desde el punto C al punto B. C A B mAB Rectas y ángulos 209 Actividades finales 27.s Representa en tu cuaderno el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto B es mayor o igual a la distancia al punto A. 34.d Las rectas a, b y c son paralelas. Calcula las longitudes x e y en cada caso. ab r y B A s 3 cm x en tu cuaderno el punto que es equidistante de los vértices del cuadrado. A 7 cm b 15 cm 28.s Representa y a 7 cm 5 cm B x 6 cm c a b r 3 cm c s 35.d Representa en tu cuaderno el punto que es equiD 29.s Considera las cuerdas AB y distante de los vértices del triángulo y, a continuación, dibuja el lugar geométrico de los puntos equidistantes dicho punto y que contiene los vértices del triángulo. C B CD. Representa en tu cuaderno las mediatrices de AB y de CD. Determina su intersección. A A C D 30.s Considera la recta r. Representa en tu cuaderno el punto medio del segmento AB. A continuación, representa el lugar geométrico de los puntos que equidistan de su punto medio la mitad de la longitud de AB. B C Ángulos 36.a Representa en tu cuaderno el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los lados de este ángulo que mide 110º. B A 31.s Divide gráficamente un segmento AB de 10 cm en siete partes iguales y traza un segmento CD que mida tres séptimas partes de la longitud de AB. 32.s Las rectas r, s y t son paralelas. Determina la longitud del segmento DF. A B C D F 33. s Las rectas a, b y c son paralelas. Halla: b) La longitud 2 x b 13 cm 1 x s 210 Unidad 9 3 cm 5 cm a b c A x E r C 3 cm 2 cm a Describe las características de sus ángulos internos. B 6 cm a) La longitud x + 1 37. a Considera el trapecio isósceles ABCD. c 2x D 38.s Un ángulo ^ A mide 40º y su ángulo complementario ^ B mide (2x)º. Calcula el valor de x. 39.s Considera el ángulo AOB B que mide 76º. Sabiendo que OC es la bisectriz del ángulo, calcula el valor de x. O C (x 3)o cm r 5 s 4 cm A 10 cm 40. s Considera la figura siguiente y calcula el valor de x. 47. B ABCD es un rectángulo. Determina el ángulo formado por el lado BC y el segmento CE. s A (4x 1)o C 41. B 30o 65o O A D C Sabiendo que las rectas r y s son paralelas y que ^ A = 120º, calcula la amplitud del ángulo ^ B. s 48. A r E s El triángulo ABC es equilátero y las rectas r y s son paralelas. Clasifica el triángulo ADE según sus ángulos. B s r A s E 42. s D Las rectas r y s son secantes. Determina el valor de x. r B o (3x 6) 30º s 43. C 49. d ABCD es un trapecio, las rectas r y s son paralelas y el segmento BC es perpendicular a las rectas r y s. Calcula el valor de x. s Sabiendo que las rectas r y s son paralelas, calcula la amplitud del ángulo ^ B en cada caso. A r B o 110 A 43o o A 135 r B o (2x) s B 44. r 50. s Determina el valor del ángulo ^ A. s La semirrecta que pasa por A y B es la bisectriz del ángulo formado por los segmentos AC y AD. Determina el valor de x. d C A 37o 12 cm A 45. 13 cm B 2x + 1 Las rectas r y s son paralelas. Calcula la amplitud del ángulo ^ A. s r 30o ABCD es un cuadrado y DB es la bisectriz del ángulo formado por los lados AD y DC. Calcula el valor de x. D 51. A 100o 46. s C D s E s (3x 6)o A B D C El triángulo ABC es isósceles, AF es la bisectriz del ángulo formado por los lados AB y AC de dicho triángulo, CDE es un triángulo rectángulo, las rectas que pasan por DE y por AF son A paralelas y las rectas que pasan por AE y por BD son C secantes. A partir de estos D B F datos, determina la amplitud del ángulo formado por los 40o lados AB y AC del triángulo isósceles. E d Rectas y ángulos 211 Actividades finales 52.d Representa el punto en que se cortan las bisectrices del triángulo y, a continuación, representa el lugar geométrico de los A puntos equidistantes de dicho punto y que es tangente a sus lados. C B Problemas 53.a En Nueva York, la Séptima Aveni- A da y la Novena Avenida son paralelas. Tenemos dos edificios: el A en la Séptima y el B en la Novena. La recta que pasa por A y por B es perpendicular a las dos avenidas. B 58.s Juan había dibujado un triángulo en una hoja de papel pero cayó un poco de pintura encima de una parte del triángulo como muestra la ilustración. Juan solamente recuerda que el punto C pertenece a la mediatriz del segmento AB. Describe la forma de dibujar otro triángulo igual con estos datos. 8th las dimensiones indicadas en la figura y expresadas en metros. L 9th 54. A N 4 cm 9 H C F 8 I D F E Se sabe que AGFBHC y AJEBID son prismas triangulares rectos y que ABMLJINK es un prisma cuadrangular recto. 5 cm 4 cm x Determina el área del rectángulo ABDE. en la figura quiere saber si las calles r y s son paralelas. ¿Es posible? Calle t Calle r 60.s Se ha colocado un tablón de madera en la parte superior de una escalera de dos peldaños, tal como se observa a la derecha. A 25o Determina la amplitud del ángulo ^ A. Calle s 61.s Un dispositivo emite un rayo láser en dirección a un 56.s Se pretende perforar un pozo para captar gas natural que sea equidistante de las localizaciones A y B. Calca la figura en tu cuaderno y representa en ella el lugar geométrico donde se puede perforar el pozo. B M O G 55.a Mónica tiene un mapa y con los ángulos marcados 148o 5 6 a 33o A 59.s Un tobogán de un parque de atracciones tiene 7th ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los edificios A y B? Determínalo en el mapa. En una granja, un cobertizo utilizado para proteger a los animales de la lluvia se apoya en dos pilares y tiene la forma de la figura. Determina la distancia entre los dos pilares. C mAB B espejo. Los ángulos del rayo incidente y del rayo reflejado son iguales en relación con la normal; esto es, α = β. Determina las amplitudes de α y β. A Yacimiento subterráneo de gas natural 57.s Claudia quiere dividir su bizcocho en nueve partes iguales. El bizcocho mide 30 cm de largo. Describe cómo puede conseguirlo utilizando un rollo de cuerda, una regla y un cuchillo. Normal Dispositivo de emisión de láser Rayo incidente α β Rayo reflejado 35o Espejo 62.s Una cometa tiene la forma de un A deltoide (cuadrilátero no regular cuyos lados contiguos son iguales dos a dos), tal como muestra la figura. D Los puntos A y C pertenecen a la mediatriz del segmento BD. 52 cm 40 cm Calcula el perímetro de la cometa. 212 Unidad 9 C 25 cm B 63. s La figura muestra la sombra de una antena (representada por el segmento CE) en un momento dado. Determina la longitud de la sombra de la antena. E x D 5 B C Un atleta tiene un arco con una flecha en posición de disparo como se muestra en la imagen. A d El segmento AB corresponde a la cuerda cuando no está en posición de disparo. La flecha pertenece a la mediatriz del segmento AB. El segmento AD mide 0,8 m y el segmento CD mide 0,6 m cuando está en posición de disparo. 0,8 m C F 0,6 m B D D 10 E 12 3 I G H Determina la longitud de la arista FH en la proyección. Expresa el resultado con tres decimales. B d Yolanda estaba conduciendo su coche por la calle Río de Janeiro y luego entró en la calle Jamaica. Determina el ángulo situado en la esquina en que cambió de dirección. Calle Río de Janeiro ( x2)o 24 A C Determina la longitud de la cuerda cuando el atleta la pone en posición de disparo. 65. x+1 El punto de fuga es el lugar en el cual confluyen las proyecciones de todas las rectas paralelas a una cierta dirección en el espacio, pero que no son paralelas al plano de la proyección. d La figura siguiente representa un cubo según la proyección del punto de fuga en el que las medidas están expresadas en centímetros. Los puntos D, F y H pertenecen a la mediatriz del segmento AB. 4 A 64. 66. o (3x) 67. d Un pendiente tiene la forma de un cuadrado. Una de sus partes, el triángulo rectángulo, es de oro y la otra, el trapecio rectángulo, es de platino. Determina la amplitud del ángulo formado por los segmentos AD y ED. A B E o (4x 15) 0,8 m Calle Jamaica (x)o D C Cre@ctividad: Confección de un resumen de relaciones angulares Elabora un resumen sobre las propiedades de los ángulos determinados por dos paralelas cortadas por una secante. Para ello: — Utiliza un programa de edición de textos para crear el documento en que se describen las propiedades de los ángulos determinados en cada caso: ángulos correspondientes, ángulos alternos internos, ángulos alternos externos, ángulos opuestos por el vértice, ángulos adyacentes, ángulos conjugados internos y ángulos conjugados externos. ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOS Los ángulos conjugados externos son los ángulos externos a las paralelas y situados en el mismo lado de la secante. Los pares de ángulos α y γ y β y δ son ángulos conjugados externos. Los ángulos conjugados externos son suplementarios porque juntos forman un ángulo llano (180º). — Utiliza un programa de representación gráfica para dibujar los esquemas correspondientes. — Inserta los esquemas en el documento de texto. Rectas y ángulos 213 Pon a prueba tus competencias 2m 1. A Un molino de viento tiene 8 velas con forma de triángulo equilátero de 2 m de lado. Obsérvalo en la ilustración de la derecha. a) Determina la amplitud del ángulo α. α b) Determina la amplitud del ángulo β. C c) Sabiendo que el punto A pertenece a la bisectriz del ángulo α, determina la amplitud del ángulo formado por dicha bisectriz y el segmento AB. 45° d) Calcula el área de una vela. 2. Fernando está visitando varias ciudades españolas. En una de ellas tomó una fotografía del monumento a Colón. Para poder obtener una imagen de todo el monumento, tuvo que retroceder x metros, tal y como se muestra en la figura siguiente. La altura del monumento es la longitud del segmento CD. Los segmentos CD y BE son paralelos. D 35 m a) ¿Cuántos metros retrocedió Fernando? b) ¿Cuánto miden la base y la hipotenusa del triángulo ACD? E c) Calcula la altura del monumento a Colón. 60 m A 3. x B 28 m C d) Sabiendo que los monumentos a Colón de Huelva, Madrid y Barcelona tienen una altura de 7 m, 17 m y 57 m, respectivamente, ¿en qué ciudad tomó la fotografía Fernando? 10 m A Javier es aficionado a la jardinería. Su jardín de flores está dividido en dos rectángulos, ABCD y AEFG, tal y como se muestra en la figura: B 15 m E 12 m a) Calcula el valor de x. D C b) Halla la longitud del segmento BC. Expresa el resultado con un decimal. c) Determina el valor de y. d) Javier utiliza un compuesto orgánico para abonar sus flores: periódicamente vierte 5 L por cada metro cuadrado de jardín. Calcula la cantidad de compuesto orgánico que utiliza para abonar todo el jardín. 214 Unidad 9 x y G F 4. Un centro comercial dispone de una escalera mecánica que une tres plantas. a) Determina el ángulo que forma la escalera mecánica con la planta 0. (15x)o Piso 2 13,7 m 10 m Piso 1 b) Calcula la longitud de la escalera mecánica entre las plantas 0 y 1. Expresa el resultado sin decimales. c) Halla la altura entre las plantas 1 y 2. Presenta el resultado con un decimal. (x 20)o Piso 0 d) Sabiendo que la velocidad de la escalera mecánica es de 0,5 m/s, calcula cuántos minutos y segundos son necesarios para llegar de la planta 0 a la planta 2. Visión 360º Visita una galería o un museo de arte contemporáneo, o realiza una visita virtual, por ejemplo en la página http://links. edebe.com/f79 ¿De qué modo están presentes las rectas y los ángulos en las obras? Justifícalo con algunos ejemplos. Juan Gris, The open window (1921). Reflexiona Diario de aprendizaje — ¿Existe relación entre el arte (pintura, escultura, fotografía...) y los conceptos estudiados en la unidad? Arguméntalo. — ¿Qué aspectos de la unidad te han llamado más la atención? — Si tuvieras que volver a trabajar este tema, ¿qué cambiarías? Aporta sugerencias. Rectas y ángulos 215
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