1. No category

Universidad Nacional de Salta
Facultad de Ciencias Exactas
Variable Compleja
1er. Cuatrimestre 2015
T. P. N◦ 7: Transformaciones en el plano complejo
1. Considerar las transformaciones f1 (z) = 2z − 1 y f2 (z) = z 2 .
a) Para cada una de ellas, obtener el transformado de:
1) la recta y = 0, la recta x = 0, la recta y = x y la recta y = −x.
2) la recta y = ax con a ∈ R − {0, 1, −1}.
b) Sean r1 la recta y = 2x y r2 la recta y = 3x.
1) Calcular el ángulo α que forman r1 y r2 en su punto de intersección.
2) Calcular el ángulo que forman los transformados por f1 de r1 y r2 , en su punto de intersección.
Compararlo con α.
3) Calcular el ángulo que forman los transformados por f2 de r1 y r2 , en su punto de intersección.
Compararlo con α.
2. Escribir una ecuación de la forma Azz + Bz + Bz + C = 0 para cada una de las siguientes figuras:
a) Recta que pasa por 1 − i y 2 − i.
b) Recta horizontal que pasa por 2i.
c) Recta vertical que pasa por 1 − 3i.
d ) Círculo que pasa por el origen, con centro −2 + i.
e) Círculo tal que uno de sus diámetros es el segmento que va de −1 − i a 2 + 3i.
3. Decidir cuáles de las siguientes expresiones representan una recta o una circunferencia, y, en ese caso,
graficar el correspondiente conjunto de puntos.
a) izz + (3 − i)z + (3 + i)z + 4i = 0
b) izz + (3 − i)z + (−3 − i)z + 4i = 0
c) (3 − i)z + (−3 − i)z + 4i = 0
d ) (3 − i)z + (−3 − i)z + 4 = 0
4. Sea R = {z ∈ C : 0 ≤ Re z ≤ 2√∧ 0 ≤ Im z ≤ 1}.
el transformado de R bajo las funciones
√ Determinar
π
π
f1 (z) = z + (1 − 2i), f2 (z) = 2ei 4 z y f3 = 2ei 4 z + (1 − 2i).
5. Dado un triángulo T con vértices z1 , z2 , z3 , y f (z) = az + b, encontrar el área de f (T ) en función
del área de T . (Sugerencia: el área de un rectángulo se puede obtener como la norma del producto
vectorial de sus vectores lado.)
6. Encontrar el transformado del rectángulo de vértices (2, 1), (3, 1), (2, 4) y (3, 4) bajo la transformación
w = ez .
7. Encontrar el transformado de la banda −π/2 ≤ x ≤ π/2, y ≥ 0 bajo la función w = sen z.
8. Sean z1 , z2 , w1 y w2 números complejos con z1 6= z2 . Mostrar que existe una única transformación
lineal f tal que f (z1 ) = w1 y f (z2 ) = w2 .
9. Sea S el perímetro del rombo cuyos vértices son i, −1/2, −i y 1/2. Sea T el perímetro del rombo
con vértices en 0, −2 + i, −4 y −2 − i. Obtener dos transformaciones lineales distintas tales que el
transformado del rombo S sea T .
10. Para cada una de las siguientes funciones, determinar el conjunto de puntos en los que determinan
una transformación conforme.
iz + (1 − i)
z2 + 1
z−i
sen
1
z
11. Encontrar todas las transformaciones lineales que tengan a i como punto fijo.
12. Mostrar que por medio de la transformación w = 1/z, el círculo C dado por |z − 3| = 5 se transforma
en el círculo |w + 3/16| = 5/16. ¿En que región se transforma el interior del círculo?
13. Determinar la ecuación de la curva en el plano w en la cual la línea recta x + y = 1 se transforma
por:
(a) w = z 2
(b) w = 1/z
14. En la figura 1, al dibujo de la izquierda se le aplicó una inversión 1/z. Identificar, en la figura de la
derecha, la imagen de cada trazo que compone la figura de la izquierda.
Proceder de igual forma para los dibujos mostrados en la figura 2.
2z − 5
.
15. Hallar los punto fijos de la transformación bilineal w =
z+4
2
Im
Im
10
0.05
0.1
0.15
0.2
Re
-0.025
8
-0.05
6
-0.075
-0.1
4
-0.125
2
-0.15
2
4
6
8
-0.175
Re
Figura 1.
Im
Im
0.4
2
0.3
2
4
6
8
Re
0.2
0.1
-2
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3 Re
-4
-0.1
-0.2
-6
Figura 2.
16. a) Considerar la transformación bilineal f (z) = (az + b)/(cz + d) con ad 6= bc. Sean z1 , z2 , z3 y z4
números complejos dos a dos distintos, y sea wi = f (zi ) para 1 ≤ i ≤ 4. Mostrar que
(w1 − w2 )(w3 − w4 )
(z1 − z2 )(z3 − z4 )
=
(w1 − w4 )(w3 − w2 )
(z1 − z4 )(z3 − z2 )
17.
18.
19.
20.
b) Hallar una transformación bilineal que aplica los puntos z1 , z2 , z3 (dos a dos distintos) del plano
z en los puntos w1 , w2 , w3 del plano w respectivamente. Hallar una transformación bilineal que
aplica los puntos 0, −i, −1 en i, 1, 0 respectivamente.
Si z0 está en el semiplanosuperiordel plano z y θ0 es cualquier número real, mostrar que la transforz − z0
mación bilineal w = eiθ0
aplica el semiplano superior del plano z en el interior del círculo
z − z0
unidad del plano w, es decir, |w| ≤ 1.
Hallar una transformación bilineal que aplica el semiplano superior del plano z en el círculo unidad
del plano w de tal manera que z = i se aplica en w = 0, mientras que el punto en el infinito se aplica
en w = −1.
Sea f (z) analítica en z0 con f ′ (z0 ) 6= 0. Mostrar que f es inversible en algún entorno de z0 , y que
la derivada de la función inversa es 1/f ′ (z). (Sugerencia: Sea f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Busque un
entorno de z0 en que f ′ no se anule y en el que u, v y sus derivadas parciales de cualquier orden sean
continuas. El par de ecuaciones u = u(x, y), v = v(x, y) representa una transformación del entorno
con jacobiano no nulo, por lo que es aplicable el Teorema de la Función Inversa.)
Un dominio G1 del plano complejo se dice conformemente equivalente a otro dominio G2 si existe
una biyección f : G1 → G2 que es conforme en G1 . Demuestre que la relación de ser conformemente
equivalentes es de equivalencia.