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2012
Cuarto Módulo
Matemáticas III
Historia de México
Lengua Extranjera II
Biología
Dirección General de Educación Permanente.
Dirección de Educación Comunitaria.
Contenidos Generales
Matemáticas III ............................................... 3
Historia de México .......................................... 111
Lengua Extranjera II ....................................... 201
Biología ............................................................... 269
Matemáticas III
Presentación
El tema central de este curso es la geometría y en segundo término, la trigonometría.
La geometría se distingue por la claridad y la sencillez tanto en el enunciado del resultado,
como en los planteamientos a partir de los cuales debe obtenerse ese resultado. De ahí
que la Geometría nos brinde las mejores oportunidades para desarrollar el pensamiento
lógico en la escuela.
Los conceptos de la geometría y la trigonometría se aplican en el estudio de estática y
dinámica de la Física, en la estructura molecular de la Química, en la cartografía de la
Geografía. Su estudio contribuye a reforzar la formación del pensamiento lógico,
necesario para comprender la rigurosidad de los aspectos demostrativos y deductivos tan
característicos de la geometría, continuando así con los objetivos del taller de Lógica, que
se imparte en el primer semestre. Las modificaciones realizadas a este Programa
consisten en la reubicación de contenidos en seis unidades en lugar de cuatro; esto es,
por la necesidad que presentaban los temas de cuadriláteros, círculo y áreas de conocer y
manejar elementos de congruencia de triángulos, para que al abordar dichos temas, se
pudiera justificar y demostrar sus propiedades y teoremas básicos.
Los objetivos y cargas horarias se redistribuyeron ajustándolos a las nuevas unidades y
se agregan objetivos en las unidades que se refieren al desarrollo de habilidades para
demostrar, que solo aparecía como objetivo general. El programa está integrado por las
siguientes seis unidades:
1. Polígonos.
2. Congruencia y cuadriláteros.
3. Semejanza y círculo.
4. Áreas y perímetros.
5. Trigonometría.
6. Sólidos.
4
Objetivos
El alumno deberá ser capaz de:
¾ Utilizar la regla y el compás, y los demás instrumentos del juego de geometría,
para descubrir las propiedades y características de las figuras, y para hacer
mediciones y transformaciones geométricas.
¾ Calcular distancias, ángulos, perímetros, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos
geométricos, usando resultados y teoremas pertinentes de la geometría.
¾ Comprender y utilizar con propiedad el lenguaje de la geometría para comunicarse
y operar los objetos geométricos.
¾ Identificar y expresar las relaciones que existen, en cuanto a forma, cantidad y
ubicación, entre los elementos esenciales de uno a varios objetos geométricos.
¾ Resolver problemas referentes a cuestiones espaciales, tanto en ámbitos reales
como en los creados específicamente para la enseñanza.
¾ Visualizar cuerpos geométricos en el espacio y construir sus representaciones en
el plano.
¾ Justificar y argumentar la veracidad de sus resultados y afirmaciones geométricas,
a partir de los postulados, definiciones y teoremas básicos de la geometría.
Orientaciones metodológicas
Se sugiere una introducción gradual al pensamiento deductivo, pero sin olvidar que la
comprensión y el acceso a la demostración no es un objetivo fácil de lograr en la mayoría de los
estudiantes y requiere de un largo periodo de preparación.
Si se considera que el álgebra constituyó el tema central del curso anterior, es importante
insistir en la vinculación del álgebra con la geometría. Normalmente, en los cursos de geometría,
se suele caer en esta desvinculación y la mayoría de los textos que existen la propician.
En esta asignatura, los dibujos son importantes para fijar las ideas y poderlas discutir con los
alumnos, pero se debe ser cuidadoso de mostrar que sólo es un ejemplo de una situación
generalizada, una conjetura, que hay que ir fortaleciendo con otros ejemplos y, en última
instancia, demostrarla. Las actividades que se sugieren en las unidades representan sólo una
muestra, no pretenden cubrir ni todos los contenidos ni todos los objetivos.
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Índice
Contenido
Página
Unidad 1
Polígonos
05
Unidad 2
Congruencia y cuadriláteros
36
Unidad 3
Semejanza y círculo
52
Unidad 4
Áreas y perímetros
68
Unidad 5
Triángulos y trigonometría
81
Unidad 6
Sólidos
95
6
Unidad 1
Polígonos
Presentación
En este Unidad se inicia el estudio específico de la geometría. No se trata de empezar con las
definiciones de los conceptos básicos, sino que, partiendo de que los alumnos tienen cierta
experiencia geométrica, ya sea que la hayan adquirido en cursos anteriores o en su contacto con
el mundo físico, entrar directamente con actividades sobre polígonos, que incluyan o propicien la
precisión del vocabulario básico de la geometría, y la exploración y descubrimiento de las
propiedades de determinados polígonos.
Objetivos
El alumno será capaz de:
¾ Usar la regla, el compás y demás instrumentos para la reproducción y trazado de figuras
geométricas.
¾ Construir diferentes tipos de polígonos con determinadas características.
¾ Utilizar las definiciones, postulados y teoremas básicos de la voluntad en la resolución de
problemas.
Contenidos temáticos
Queremos recalcar que el orden en que se enumeran los contenidos de todas las unidades, no
necesariamente es el orden en que se estudian, sino que a partir del planteamiento de
problemas y actividades adecuadas, se aborden de la manera que resulte más natural.
9 Puntos, rectas y plano.
9 Segmentos congruentes, punto medio de un segmento.
9 Intersección de rectas, ángulos opuestos por el vértice.
9 Rectas paralelas, perpendiculares y secantes, ángulos entre ellas.
9 Mediatriz de un segmento.
9 Clasificaciones diversas de ángulos: rectos, agudos, obtusos, complementarios,
suplementarios y adyacentes.
9 Congruencia de ángulos.
9 Suma de ángulos internos y externos en un polígono.
9 Bisectriz de un ángulo.
9 Triángulos, clasificación, propiedades y puntos notables.
9 Clasificaciones diversas de polígonos: convexos, cóncavos, regulares e irregulares.
Actividades de aprendizaje
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Ayudarles a utilizar correctamente la regla y el compás, para el trazo de: punto medio de
un segmento, bisectriz de un ángulo, mediatriz de un segmento, una recta perpendicular
a una recta dada, una paralela a una recta dada, un triángulo dada las medidas de sus
tres lados.
Auxiliarlos en el uso correcto del transportador para medir y trazar ángulos. Así como el
uso de las escuadras en el trazo de paralelas y perpendiculares.
Se le pide al alumno que dibuje un polígono. Utilizando los diferentes polígonos que
trazaron, se precisan conceptos como punto, segmento, ángulo, vértice y su notación
específica.
Con el mismo ejercicio se puede trabajar la clasificación de ángulos: agudos, rectos y
obtusos. Así como las clasificaciones diversas de polígonos.
Se les pide que dibujen un triángulo y que lo recorte, que enumeren sus ángulos y que
los corten. Que junten los tres ángulos que cortaron y observen que suman 180°.
Partiendo del ejercicio anterior, que dibujen polígonos convexos con diferente número de
lados y que tracen desde un solo vértice todas las diagonales posibles, para que calculen
la suma de ángulos interiores de cualquier polígono convexo.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
™
™
™
Dado un polígono regular de cierto número de lados, que calculen la medida de un
ángulo interno.
Dado la medida de un ángulo interno de un polígono regular, que calculen cuántos lados
tiene el polígono.
Aplicar lo anterior en el trazo de medianas, mediatrices, alturas y bisectrices en un
triángulo, así como el trazo del incírculo y del circuncírculo.
PUNTOS, RECTAS Y PLANO
Es una palabra que viene del griego GEO: TIERRA METRON:
MEDIDA.
Geometría es la ciencia de las figuras. Así como la Aritmética es la
ciencia de los números.
¿Qué son las figuras?
Son creaciones de la mente humana, concebidas con el objeto de
ordenar el mundo de las formas naturales
Conceptos fundamentales
La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y que
forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los puntos:
El punto puede representarse por el cruce de dos pequeños trazos o bien por la punta que deja
la punta del lápiz, y se lo representa por una letra mayúscula.
xA
xB
xC
La recta es una sucesión infinita de puntos. La recta se representa por el dibujo de un trozo de
recta y se designa con una letra minúscula.
a
b
c
El plano
Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano al cual pertenecen. El plano se
representa por el dibujo de un trozo de plano y se lo designa con una letra griega.
p
r
σ
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Matemáticas III
Semirrecta
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le
siguen en uno de los ordenamientos naturales.
O
r
Segmento
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la
semirrecta BA.
r
A
B
Determinación del Punto Medio de un Segmento
Para determinar el punto medio del segmento (A B):
x
x
x
trace dos arcos de igual radio, uno con centro en (A) y otro en (B),
trace la recta (r) definida por los puntos de corte de ambos arcos,
la recta (r) es perpendicular al segmento (A-B) y lo corta en el punto medio (M)
buscado.
Bisectriz de un ángulo
Es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos partes iguales
Dibujo de la bisectriz de un ángulo
1. con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.
2. Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos
circunferencias con el mismo radio.
3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las
circunferencias es la bisectriz.
A
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Mediatriz de un segmento
La m e d i a t r i z d e u n s e g m e n t o es la r e c t a que pasa por el p u n t o m e d i o del
s e g m e n t o y es p e r p e n d i c u l a r al él.
Trazado de la mediatriz de un segmento
1. Trazamos el segmento AB.
2. Con centro en A se traza una circunferencia de radio mayor que la mitad del segmento
AB.
3. Desde B se traza una circunferencia de igual radio que la primera.
4. La recta que pasa por la intersección de las circunferencias es la mediatriz del segmento
AB.
Punto medio de un segmento
La i n t e r s e c c i ó n d e l a m e d i a t r i z con la s e g m e n t o A B es el p u n t o m e d i o M .
A
M
B
CONSTRUCCIÓN DE UNA RECTA PARALELA A UNA RECTA DADA.
Sea r la recta dada y P el punto por donde se quiere trazar la recta paralela.
Con centro en cualquier parte de la recta r se traza una circunferencia que pase por el punto P,
la circunferencia corta en A y en B a la recta r.
Con centro en A se traza una circunferencia que pase por el punto P.
Con centro en B se traza una circunferencia de igual radio que la anterior, esta ultima corta a la
inicial en P’.
La recta que pasa por P y P’ es paralela a la recta r.
P'
P
B
M
A
r
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Matemáticas III
Construcción de un triángulo, conocidos los tres lados.
OPERACIONES:
1. Se coloca un lado (por ejemplo, el lado a)
como base.
2. Desde un extremo del lado a (punto C) se
traza un arco con una abertura del compás
igual al lado b.
3. Desde el otro extremo (punto B) se traza un
arco con un radio de longitud igual al lado c.
4. Unir el punto donde se cortan los dos arcos
(punto A) con los extremos del lado a (puntos
C y B). Se obtiene el triángulo.
a
b
c
SOLUCION
A
c
b
C
a
B
FAMILIARIZACION CON LOS TRAZOS Y VOCABULARIO BASICO EN GEOMETRIA
Para realizar dibujos y trazos geométricos es indispensable conocer y manipular
diferentes instrumentos llamados, en su conjunto, juego de geometría.
El nombre y la utilidad de estos instrumentos es la siguiente:
Regla graduada. Objeto plano y alargado que sirve para trazar líneas rectas de
diferente longitud y para medir distancias entre dos puntos. Su graduación es en
milímetros y centímetros y su tamaño más usual es de 30 cm, aunque las hay de
mayor longitud.
Las escuadras
Las escuadras se emplean para medir y trazar líneas horizontales, verticales,
Inclinadas, y combinada con la regla T se trazan líneas paralelas, perpendiculares y
Oblicuas. Pueden llevar graduados centímetros y milímetros.
El compás
Es un instrumento de precisión que se emplea para trazar arcos, circunferencias y
transportar medidas. Está compuesto por dos brazos articulados en su parte superior
donde está ubicada una pieza cilíndrica llamada mango por donde se toma y maneja
con los dedos índice y pulgar. Uno de los brazos tiene una aguja de acero graduable
mediante un tornillo de presión y una tuerca en forma de rueda
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Construcciones de rectas y trazos
Descripción
Esta guía tienen como propósito que usted conozca algunos procedimientos para construir: una
recta perpendicular en un punto P de una recta L; la perpendicular a una recta desde un punto
P que no pertenece a dicha recta, Simetral de un trazo, una recta paralela a una recta L y que
pasa por un punto P y dividir un trazo en partes iguales. Estas construcciones deberá realizarlas
al estilo griego, es decir con regla y compás.
Recursos
ƒ
ƒ
regla
lápiz grafito
escuadra
compás
papel
goma de borrar
Construcción de una recta perpendicular en un punto P de una recta L.
Observe la siguiente construcción.
1.
Dada una recta L y un punto P en ella.
2.
Con un compás se hace centro en P y con
una misma abertura se marcan los puntos A
y B en la recta L. Así,
AP # PB
3.
Con un compás, con centro en A y luego en
B, y con una misma abertura de compás,
dibuje dos arcos de circunferencia cuya
intersección origina C.
4.
Trace la recta que pasa por los puntos C y
P.
Entonces, esa es la perpendicular en el punto P
de la recta L.
Ahora, realice su construcción
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Matemáticas III
Construcción de la perpendicular a una recta L desde un punto P que no pertenece a
dicha recta.
Lea y observe las siguientes acciones.
Dado una recta L y un punto P que no
pertenece a la recta.
Con un compás y una misma abertura,
con centro en P se marcan los puntos A y
B en la recta L. Así,
AP # PB
Con un compás, con centro en A y
luego en B, y con una misma abertura
del compás, dibuje dos arcos de
circunferencia cuya intersección origina
C.
Trace la recta que pasa por los puntos C y
P.
Así, se construye la recta perpendicular a
una recta L desde un punto P que no
pertenece a dicha recta.
A continuación con la figura, realice su construcción.
Construcción de una recta paralela a una recta L, que pasa por un punto P
Usando regla y compás realice la siguiente construcción.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Dada la recta L.
Dibuje un punto P, que no pertenezca a L.
Dibuje un punto A cualesquiera en la recta L.
Con centro en el punto A y radio en AP se
determina B en L, tal que AB = AP.
1.
Utilizando la medida del trazo AP ,
trazar arcos con centro en P y B para
determinar el punto C.
2.
Dibujar una recta L` que contenga los
puntos P y C.
De esa forma, ha construido una recta
paralela a una recta L, que pasa por un
punto P que no pertenece a esa recta.
Realice en este cuadro su construcción.
Dividir un segmento en partes iguales.
Observe como se divide un segmento en tres partes iguales:
1.
2.
Dado el segmento
3.
Con un compás y con una misma abertura, se
marcan los puntos C, D y E en el rayo L´, tal que
.
Trace un rayo L` con origen en A,
determinándose un ángulo agudo.
AC # CD # DE
4.
5.
AB
.
Unir con un trazo los puntos E y B.
Por los puntos C y D, trazar paralelas a EB .
Para ello, apóyese en los procedimientos
anteriores.
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Matemáticas III
6.
Compruebe que las distancias
AC `, C `D`
y
D`B
son iguales. Proceda a comparar estos
trazos.
A continuación, divida el segmento en cuatro partes iguales utilizando el procedimiento anterior.
B
A
Actividad
Utilizando el compás, traza la perpendicular en el extremo de las siguientes semirrectas: Ar, Bs,
CT y D v.
r
A
B
s
C
D
T
v
PARALELAS
Utilizando el compás, traza rectas paralelas a r, s, t, que pasen por los puntos P.
.P
r
s
.P
.P
t
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Trazar la mediatriz del segmento AB.
A
B
Con la ayuda del compás, trazar tres rectas paralelas a la recta r.
r
Utilizando el compás, trazar una recta que pase por el punto P y sea perpendicular a r.
.P
r
Construcción de la bisectriz de un ángulo dado
Lea y observe la siguiente construcción.
1.
2.
Dado un ángulo
ABC.
Con centro en B y una misma abertura de compás, dibuje un arco que genere el punto A’ en
el rayo BA y el punto C’ en el rayo BC. Así
BA' # BC ' .
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Matemáticas III
Así, el rayo BD obtenido es la BISECTRIZ del
ángulo
ABC.
Ahora, realice su construcción en el siguiente cuadro.
Ejercicio
Trazar la bisectriz de los siguientes ángulos
El transportador
Es un instrumento utilizado para medir o transportar ángulos. Son hechos de plástico y
hay de dos tipos: en forma de semicírculo dividido en 180º y en forma de círculo
completo de 360º.
Los números están dispuestos en doble graduación para que se puedan leer de
derecha a izquierda y de izquierda a derecha, según donde esté la abertura del ángulo.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Clasificación de ángulos.
Un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que
parten de un mismo punto.
También podemos decir que un ángulo es la abertura formada por dos rayos llamados
lados, que tienen un origen común llamado vértice.
El ángulo se anota:
A
σ
B
C
Los ángulos pueden clasificarse según su medida en cinco tipos:
Ángulo recto: es aquel cuya medida es de 90°
‫ ס‬α = 90°
Ángulo agudo: es aquel cuya medida es menor que 90°
‫ ס‬α = < 90°
Ángulo extendido o llano: es aquel cuya medida es de 180°
Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°
‫ ס‬α = > 90° < 180º
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Matemáticas III
Ángulo completo o perigonal: es aquel cuya medida es de 360°
‫ ס‬α = 360°
Relaciones entre parejas de ángulos
En casi todas las figuras geométricas donde intervengan rectas aparecen ángulos, los
cuales es posible relacionar en cuanto a sus dimensiones y a su posición en el plano.
Así, dos ángulos pueden ser entre sí complementarios, suplementarios o adyacentes.
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°
α + β son complementarios
α + β= 90°
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°
α + β son suplementarios
α + β = 180°
Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos están en la misma
recta.
A es adyacente con b Û A, B, C son colineales (están en la misma recta), BD lado común para a
yb
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Actividad
x
a) Según la figura:
20º
¿Cuál es el valor de x?
¿Cuál es el ángulo cuyo suplemento es el doble de dicho ángulo?
b) De acuerdo con la figura:
¿Cuál es el valor de x?
Seleccione el inciso
55º
correcto:
Si el valor de Angulo A es de 35º, ¿cuál es el valor del Angulo B? ( )
A) 145º
B) 125°
C) 55º
D) 15º E) 10º
Si el valor del ángulo A es de 125º, ¿cuál es el valor del ángulo ß? ( )
A) 180°
B) 150°
C) 100° D) 55° E) 25°
Si el valor del ángulo A es de 220º, ¿cuál es el valor del ángulo ß? ( )
A) 50º
B) 100º C) 140º D) 270° E) 360°
Conteste las siguientes preguntas:
¿Cuál es el ángulo complementario de 43o?
¿Cuál es el ángulo suplementario de 143o?
¿Cuál es el complemento de 75º?
¿Cuál es el ángulo suplementario de 105º?
Trazar el ángulo suplementario a 125º
Calcular los ángulos numerados:
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Matemáticas III
Rectas secantes y paralelas
Por definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas
rectas que parten de un mismo punto.
Fijando nuestra atención en las rectas, sabemos que estas pueden ser secantes (que se
cortan) o paralelas (que no se cortan nunca).
Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. Cada ángulo tiene dos
lados y un vértice.
Esta construcción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así formados.
Ángulos opuestos por el vértice
Son los ángulos formados por dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice (V).
α es opuesto por el vértice con β
γ es opuesto por el vértice con δ
Como podemos verificar en la figura: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante
En este apartado veremos el tema de rectas paralelas y una secante, revisa
conjuntamente con tu asesor la siguiente información, el te aclarara los puntos en los
cuales tengas dudas, también puede ampliar la información sobre el tema.
Al ser cortadas dos rectas paralelas por una secante se forman ángulos con
características especiales de igualdad.
Revisa detenidamente la figura y la información que presentamos a continuación.
En la figura se tienen las rectas a y b paralelas y la recta n secante, también llamada
transversal, que las corta en los puntos M y N.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Quedan determinados ocho ángulos que reciben nombres de acuerdo a su posición
Se llaman ángulos interiores a los que pertenecen al semiplano respecto de la secta a
que contiene al punto N y al semiplano respecto de b que contiene al punto M.
Ejemplo: Los ángulos 3,4, 5 y 6 son ángulos internos.
Se llaman ángulos exteriores o externos a los ángulos que no son interiores.
Ejemplo: Los ángulos 1, 2, 7 y 8 son externos.
Se llaman ángulos correspondientes entre paralelas cortadas por una secante, a los
pares de ángulos no adyacentes ubicados en un mismo semiplano respecto de la
secante y de los cuales uno es interno y otro externo.
Ejemplo: En la fi gura 1b los ángulos correspondientes entre paralelas cortadas por
una secante son: 1 y 5, 2 y 6; 4 y 8; 3 y 7.
Se llaman ángulos alternos externos a los pares de ángulos externos no adyacentes
que pertenecen a distintos semiplanos respecto de la recta secante.
Ejemplo: En la fi gura 1b, son: 1 y 7, 2 y 8
Se llaman ángulos alternos internos a los pares de ángulos internos no adyacentes que
pertenecen a distintos semiplanos respecto de la recta secante.
Ejemplo: En la fi gura 1b, son: 3 y 5, 4 y 6
Actividad
En parejas resuelvan el siguiente ejercicio, cuando lo terminen elijan al azar
una de las parejas para que lo resuelva en el pizarrón, compara tus
respuestas y revisa si están correctas o no, si tienes dudas consulta a tu
asesor.
Dada la siguiente figura, y sabiendo que el ángulo 1= 35º, encuentra el valor de los ángulos que
se te piden.
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Matemáticas III
ÁQJXORVFRUUHVSRQGLHQWHVLJXDOHV
BBB BBBBBBBB BBBBBBBB BBBBBBBB BBBB
ÁQJXORVDOWHUQRVLQWHUQRVLJXDOHVBBB BBBBBBBB BBBB
ÁQJXORVDOWHUQRVH[WHUQRVLJXDOHVBBB BBBBBBBB BBBB
Ejercicio
Si
Calcular:
Ejercicio
Si
Encuentre la medida de
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Ángulos en un triángulo
Ángulos interiores y exteriores en los triángulos
En tu cuaderno, en una hoja blanca o
formas y medidas diferentes cada uno.
guras y para fi analizar corta las tres
vértices y determina cuantos grados
observaciones y conclusiones.
trozo de cartulina dibuja tres triángulos de
Una vez que hayas concluido recorta las fi
esquinas de cada triangulo, únelos por los
suman juntos los tres ángulos. Haz tus
Indaga en la bibliografía a tu alcance o en Internet cuanto suman los tres ángulos
interiores de un triangulo. Anota los resultados de tu investigación y compártelos con
el resto del grupo y tu asesor para llegar a una definición general:
Para la siguiente actividad dibuja dos triángulos diferentes en tamaño y forma al que
mostramos. Al igual que en este, prolonga los lados aproximadamente 1.5 cm,
marcando los ángulos exteriores y midiéndolos con el transportador.
Anota tus observaciones en cada caso.
Para este triangulo, la suma de los ángulos exteriores es igual a: ___ + ____ +____ =
Reúnete en parejas y elabora las siguientes figuras en papel Bond o cartulinas, y
resuelve los siguientes ejercicios.
Al finalizar, el asesor seleccionara aun representante por equipo para que comparta con todo el
grupo su respuesta y justificación.
Hallar las medida del ángulo
a
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Matemáticas III
&DOFXODORVáQJXORVQXPHUDGRV
EL TRIÁNGUL
PRIMERAS PROPIEDADES
El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el
polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades nos
ayudará a analizar los polígonos de más lados.
Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos
a) Los tres ángulos de un triángulo suman 180º como puede comprobarse con la figura
siguiente
Como consecuencia de esta propiedad puede demostrarse fácilmente que los ángulos
de un polígono de n lados suman 180º·(n -2) ¿Sabrías decir porqué a partir de la
figura siguiente?
b) Un lado es menor que la suma de los otros dos.
25
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
a < b + c,
b < a + c,
c<a+b
c) Dado un triángulo siempre existe una circunferencia circunscrita a él. Su centro,
como ya sabes, es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados.
Demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º puede hacerse
mediante esta última propiedad. ¿Sabrías hacerlo?
Por cierto, ¿todo cuadrilátero puede inscribirse en una circunferencia? En caso de
respuesta negativa, ¿qué condición debe cumplir el cuadrilátero para que exista una
circunferencia que pase por los cuatro vértices del cuadrilátero?
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO
El triángulo, como polígono que tiene tres lados y tres ángulos, se clasifica según sus lados y
según sus ángulos.
26
Matemáticas III
Es decir:
Según sus lados:
Equilátero: Tres lados iguales.
Isósceles: Dos lados iguales y el tercero con otra medida.
Escaleno: Tres lados con distinta medida.
Según sus ángulos:
Rectángulo: Un ángulo recto.
Acutángulo: Tres ángulos agudos
Obtusángulo: Un ángulo obtuso
Actividad
Problemas:
1.- ¿Qué ángulo forman dos diagonales de dos caras consecutivas de un cubo que se
unen en un vértice?
2.- Calcula el ángulo obtuso que forman las dos bisectrices interiores de los ángulos
agudos de un triángulo rectángulo.
3.- Las ciudades norteamericanas son muy amigas de tener algo que sea lo mayor que
existe en el mundo. Una de ellas decide hacer el edificio más alto del mundo y se lo
encargan a un arquitecto vanguardista, el cual diseña un edificio cuya fachada es un
triángulo isósceles muy estilizado; tanto que las bisectrices de los ángulos iguales se
cortan en ángulo recto. ¿Cuál será la altura de este edificio?
4.- Dadas tres rectas paralelas a, b y c, construye un triángulo equilátero que tenga un
vértice sobre cada una de las tres rectas.
Dos triángulos son semejantes cuando:
1) Tienen, respectivamente, dos lados proporcionales e iguales el ángulo
comprendido;
2) Tienen proporcionales los tres lados, cada uno;
3) Tienen, respectivamente, dos ángulos iguales;
4) Tienen, respectivamente, dos lados proporcionales e iguales el ángulo opuesto al
mayor de ellos.
Nota:
a) Dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes.
b) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
c) Dos triángulos isósceles que tienen un ángulo igual son semejantes.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Completa el enunciado siguiente:
Se dice que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos __________ y sus
lados correspondientes ____________________.
Apoyándote en el concepto de semejanza de triángulos, encuentra el valor de las
incógnitas
“x” y “y”.
A) x = 28.8 y = 23.5
B) x = 45 y = 14.4
C) x = 28.8 y = 40
D) x = 20 y = 27
E) x = 27 y = 20
Elementos notables de un triángulo
Alturas de un triángulo
La altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o
su prolongación).
Ortocentro
Es el punto de corte de las tres alturas.
Medianas de un triángulo
Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
Baricentro
Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos
segmentos, el segmento que une el
baricentro con el vértice mide el doble que
el segmento que une baricentro con el
punto medio del lado opuesto.
BG = 2GA
28
Matemáticas III
Mediatrices de un triángulo
Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.
Circuncentro
Es el punto
mediatrices.
de
corte
Es el centro de una
circunscrita al triángulo.
de
las
tres
circunferencia
Bisectrices de un triángulo
Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
Incentro
Es el punto de corte de las tres bisectrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita
en el triángulo.
Propiedad:
"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la
hipotenusa"
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"
Actividad
Ejercicio
1. Con ayuda de una regla y compás::
a. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.
b. Dibuja dos de sus mediatrices (las que tú quieras).
c. Señala el punto de intersección de ambas.
d. Traza la circunferencia con centro en ese punto y radio la distancia al
vértice A.
e. Comprueba que dicha circunferencia pasa por los vértices B y C.
29
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
2. Repite el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo.
3. Repite el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo.
4. Comprueba que se ha verificado la propiedad 11 en cada uno de los triángulos
que has dibujado
Propiedad:
"El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo"
Ejercicio
1. Con ayuda de una regla y compás::
a. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.
b. Dibuja dos de sus bisectrices (las que tú quieras).
c. Señala el punto de intersección de ambas.
d. Traza la circunferencia con centro en ese punto y tangente al lado AB.
e. Comprueba que dicha circunferencia también es tangente a los otros dos
lados.
2. Repite el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo.
3. Repite el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo.
4. En cada uno de los triángulos que has dibujado, comprueba que el incentro está
siempre en el interior del triángulo.
Propiedad:
"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de
cada vértice que del punto medio de su lado opuesto"
Ejercicio
1. Con ayuda de regla y compás:
a. Dibuja un triángulo cualquiera.
b. Traza geométricamente dos de las medianas.
c. Señala el punto donde se han cortado ¿cómo se llama ese punto?.
d. Traza la tercera mediana y comprueba que pasa por dicho punto.
2. Con el compás:
a. Toma la medida del baricentro al punto medio del lado AB.
b. Comprueba que puedes llevar esta medida, sobre la mediana, DOS
veces desde el baricentro hasta el vértice C.
3. Repite el apartado anterior con las otras dos medianas.
Propiedad:
"El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al
ángulo recto"
"El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo "
30
Matemáticas III
Ejercicio:
1. Con ayuda de una regla y compás:
a. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera ABC.
b. Dibuja dos de sus alturas, tal y como se explicó en la construcción
geométrica de la altura.
c. Señala el punto de intersección de ambas. ¿cómo se llama dicho punto?
d. ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo?
2. Con ayuda de una regla y compás:
o
o
o
o
o
Dibuja un triángulo obtusángulo cualquiera ABC.
Dibuja otro triángulo A'B'C' que tenga los vértices A, B, y C, como puntos
medios de sus lados.
Calcula dos mediatrices del triángulo A'B'C', tal y como se explicó en la
construcción geométrica de la mediatriz.
Señala el punto de intersección de ambas mediatrices. ¿cómo se llama dicho
con respecto al triángulo ABC?
¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo?
Propiedad:
El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS.
El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro.
La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro.
Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro, Baricentro
y Circuncentro) se llama RECTA DE EULER.
Ejercicio
1. Con ayuda de regla y compás:
a. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.
b. Traza geométricamente el Ortocentro, Baricentro y circuncentro.
c. Dibuja la Recta de Euler.
2. Con el compás:
a. Toma la medida del baricentro al circuncentro.
b. Comprueba que puedes llevar esta medida, sobre la recta de Euler, DOS
veces desde el baricentro hasta el ortocentro.
3. Repite los apartados 1 y 2 con un triángulo rectángulo.
4. Repite los apartados 1 y 2 con un triángulo obtusángulo.
31
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Clasificaciones de polígonos: convexos, cóncavos, regulares e
irregulares
Podemos clasificar a los polígonos en regulares e irregulares, fijándonos en sus lados
y, en cóncavos o convexos, fijándonos en sus ángulos.
Polígonos regulares y polígonos irregulares
Polígonos Regulares:
Son todos los polígonos cuyos lados y ángulos son iguales.
Una característica particular de los polígonos regulares, es que siempre pueden ser
inscritos en una circunferencia.
Por ejemplo, un cuadrado es un polígono regular de 4 lados. Si te fijas en el dibujo que
está a continuación, podrás ver que todos sus puntos (A, B, C, D) tocan a la
circunferencia, sin embargo, en el triángulo que está al lado, sólo dos de sus puntos
tocan a la circunferencia
(E, F), lo que nos muestra que es un polígono irregular.
Polígono Irregular:
Decimos entonces que un polígono es irregular cuando sus lados no son iguales, y
podemos ver también, que no todos sus puntos tocan la circunferencia.
Polígonos Cóncavos y Convexos
Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de 180º y decimos
que es un polígono cóncavo si al menos uno de sus ángulos interiores mide más de
180º.
32
Matemáticas III
Un polígono es cóncavo, si tiene al menos un ángulo interior mayor de 180 °
Ejemplo:
El ángulo interior T del polígono RSTU
es mayor de 180ª
Actividad
Investiga a que se le llama radio y a que se le llama apotema de un polígono.
Anota las definiciones que encontraste:
Ahora bien, según el número de lados que posean (el número de lados es igual al
número de ángulos que tiene la figura) los polígonos se pueden clasificar de la
siguiente manera:
Nombre
Número de lados
Triángulo
3
Cuadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octágono
8
Eneágono
9
Decágono
10
Undecágono
11
Dodecágono
12
Los demás polígonos simplemente se nombran indicando el número de lados que lo
forman; polígono de trece lados, de catorce lados, etc., a excepción del polígono de
veinte lados que también recibe un nombre específico (icoságono).
Actividad
completar
la tabla:
33
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Partiendo de la información que acabas de revisar, escribe con tus palabras que es un:
a) POLIGONO REGULAR:
b) POLIGONO IRREGULAR
Comenta con tu Asesor y tus compañeros las descripciones, traten de llegar a una idea
común.
Investiga a que se le llama radio y a que se le llama apotema de un polígono.
Anota las definiciones que encontraste:
Para cada uno de los siguientes polígonos dibuja tanto el radio como la apotema.
Marca con rojo la apotema y con azul el radio.
Ángulos de un polígono regular
Ángulo central de un polígono regular
Es el formado por dos radios consecutivos.
Si n es el número de lados de un polígono:
Ángulo central = 360°: n
Ángulo central del pentágono regular= 360 °: 5
= 72º
Ángulo interior de un polígono regular
Es el formado por dos lados consecutivos.
Ángulo interior =180° − Ángulo central
Ángulo interior del pentágono regular = 180° −
72º = 108º
Ángulo exterior de un polígono regular
Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
Los á n g u l o s e x t e r i o r e s e i n t e r i o r e s s o n s u p l e m e n t a r i o s , es decir, que
suman 180º.
Ángulo exterior = Ángulo central
Ángulo exterior del pentágono regular = 72º
34
Matemáticas III
Ejercicio 1
De un hexágono regular Calcular los ángulos:
a) Central
b) Los ángulos interiores
c) El ángulo exterior
Polígono inscrito
Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices
están contenidos en ella.
Ejercicio
Construir un octágono regular inscrito en una circunferencia y determinar la medida de
sus ángulos (central, interior y exterior)
Construir un pentágono irregular y determinar la suma de sus ángulos exteriores, así
como la suma de sus ángulos interiores.
Si la medida de un ángulo interno es de 35º de un polígono regular, calculen cuántos
lados tiene el polígono.
Circunferencia circunscrita
Es la que toca a cada vértice del polígono
Su centro equidista de todos los vértices.
Su radio es el radio del polígono.
Circunferencia inscrita
Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado.
Su centro equidista de todos los lados.
Su radio es la apotema del polígono.
35
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
3RO¯JRQRV
Un polígono es la región del plano limitada por tres o
más segmentos.
Elementos de un polígono
/DGRV
Son los segmentos que lo limitan.
9«UWLFHV
Son los puntos donde concurren dos lados.
Ángulos interiores de un polígono
Son los determinados por dos lados consecutivos.
Suma de ángulos interiores de un polígono
Si n es el número de lados de un polígono:
Suma de ángulos de un polígono = (n − 2) ·180°
Diagonal
Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos
Número de diagonales de un polígono
Si n es el número de lados de un polígono:
Número de diagonales = n · (n − 3): 2
4 · (4 − 3): 2 = 2
5 · (5 − 3): 2 = 5
6 · (6 − 3): 2 = 9
E j e r c i ci o
Para cada uno de los polígonos que te presentamos:
Toma un vértice del polígono y partiendo de él, dibuja todas las diagonales posibles
sin que se crucen entre sí.
Aplicando la formula correspondiente, calcula el total de diagonales y compara el
resultado numérico con lo que Obtuviste
Determina el número total de diagonales que se pueden trazar en los siguientes
polígonos partiendo de un solo vértice:
A) Decágono
B) Hexágono
D) Heptágono
36
Matemáticas III
Determinar el lado de un t r i á n g u l o equilátero cuyo perímetro es igual al de un
cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?
Determinar el área del c u a d r a d o inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 8 cm y el radio del
círculo menor mide 2 cm.
4 Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el
radio de los círculos pequeños mide 2 cm.
5 Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC
Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.
37
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Unidad 2
Congruencia y cuadriláteros
Presentación
En esta unidad se avanza en el sentido de la formalización. El objeto de estudio
continúa siendo el mismo que en el núcleo anterior; pero ahora no sólo se manejan
sus elementos básicos y propiedades, sino que a partir de la postulación de los
criterios de congruencia, se pretende determinar propiedades específicas de triángulos
y cuadriláteros.
Objetivos
El alumno será capaz de:
¾ Precisar a partir de la noción general de congruencia de figuras y polígonos, la
congruencia de triángulos.
¾ Aplicar criterios de congruencia en la resolución de problemas geométricos y
prácticos.
¾ Justificar algunas construcciones con regla y compás, a partir de los criterios de
congruencia.
¾ Demostrar, con los criterios de congruencia, propiedades de triángulos y
cuadriláteros.
Contenidos temáticos
9
9
9
9
Congruencia de triángulos y sus criterios.
Congruencia de polígonos.
Simetrías, traslaciones y rotaciones.
Cuadriláteros, clasificación y propiedades.
Actividades de aprendizaje
1. Pedir a los alumnos que construyan un triángulo dados los tres lados, que
comparen su triángulo con el de sus compañeros, para que concluyan que
tienen la misma forma y el mismo tamaño, y enunciar el criterio LLL.
2. Pedirles que construyan un triángulo dado dos lados y el ángulo adyacente, que
lo comparen y enunciar el criterio LAL.
3. Pedirles que construyan un triángulo dado dos ángulos y el lado adyacente, que
lo comparen y enunciar el criterio ALA.
4. Comenzar a demostrar teoremas, como los ángulos de la base de un triángulo
isósceles son congruentes, En un triángulo a ángulos iguales se oponen lados
iguales.
5. Hacer ejercicios sencillos de demostración, donde se apliquen los criterios de
congruencia.
6. Hacer ejercicios de aplicación del álgebra en el cálculo de lados y ángulos en
triángulos congruentes.
7. Utilizar los criterios de congruencia en la demostración de las propiedades de
los cuadriláteros: los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes, los
ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes, los ángulos adyacentes
de un paralelogramo son suplementarios, las diagonales de un paralelogramo
se bisecan mutuamente.
38
Matemáticas III
8. Utilizar los criterios de congruencia en la demostración de propiedades
particulares de ciertos cuadriláteros: en el rectángulo, las diagonales son
iguales; en el rombo, las diagonales son perpendiculares, las diagonales son
bisectrices de ángulos opuestos. En el trapecio isósceles, los ángulos de la base
son iguales, las diagonales son iguales.
9. Hacer ejercicios de aplicación del álgebra en el cálculo de lados y ángulos en
cuadriláteros.
Congruencia de triángulos y sus criterios
Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si sus ángulos correspondientes tienen la misma
medida, y sus lados homólogos miden lo mismo. Sin embargo, para construir un
triángulo congruente, es necesario conocer tres de sus medidas, y uno de esos
datos
debe
ser
la
medida
de
un
lado.
Como los elementos primarios de los triángulos (ángulos y lados) son
dependientes, la información mínima necesaria para que los triángulos sean
congruentes responde a los llamados criterios de congruencia:
Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son
respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
Triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’
Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente
iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre
ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
A ≡ A´
triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’
39
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice
en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama
adyacentes al lado.
c ≡ c’
A ≡ A´
B ≡ B’
triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’
Cuarto criterio de congruencia: LLA
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al
mayor de los lados también son congruentes.
a ≡ a’
b ≡ b’
B ≡ B’
triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’
Ejercicios
Razona si son semejantes los siguientes triángulos:
a)
b)
40
Matemáticas III
c)
EJERCICIO DE APLICACIÓN:
Un edificio de ladrillos proyecta una sombra de 28 pies de largo. Al mismo tiempo, un
niño de 3 pies de alto proyecta una sombra de 6 pulgadas de largo.
¿Qué altura tiene el edificio?
apóyate con un dibujo que muestre los triángulos semejantes que se forman.
Encuentra x, estableciendo y resolviendo una proporción.
Solución
Polígonos semejantes
Las figuras que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, son
figuras semejantes. Puedes considerar las figuras semejantes como agrandamientos
o reducciones de ellas mismas sin distorsiones. Los pentágonos siguientes son
semejantes. Los rectángulos no son semejantes, porque no podrías agrandar o reducir
uno de estos rectángulos para que se ajuste exactamente al otro.
Polígonos semejantes
semejantes
Estos rectángulos no son
Dos polígonos son semejantes si y solamente si los ángulos correspondientes son
congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.
41
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
EJEMPLO
Determina si el paralelogramo MNOP es semejante al paralelogramo WXYZ.
B
Solución
m ∢ N = m ∢ X. Usando las propiedades de los ángulos de paralelogramos, m ∢ M = m ∢ W =
120°, m∢ P = m∢ Z = 60°, y m ∢ O = m ∢ Y = 120°. Así pues, los ángulos correspondientes
son congruentes.
Sin embargo, como WX/MN = 6/8 = ¾ y XY/NO = 8/12 = 2/3, los lados correspondientes no
son proporcionales. Por lo tanto, los paralelogramos no son semejantes.
Viste que para determinar si dos cuadriláteros son congruentes, debes verificar tanto que sus
lados sean proporcionales como que sus ángulos sean congruentes.
Ejercicios
1. Si el pentágono UVWXY # Pentágono KMNLO
a) Dibujar un diagrama y determinar qué ángulo es congruente con el ángulo N.
b) Describir cómo puedo saber que ángulo es congruente con el ángulo V sin dibujarlos.
c) Encontrar los segmentos congruentes.
LMON #
2.
NO # LM
NOPQ
ángulo PNO # ángulo NLM
________# MO
________# ON
________# NL
Ángulo NOQ #________
i)
ángulo OQP #________
ii)
ángulo QPN #________
42
Matemáticas III
Pentágono LMNOP # Pentágono QRSTU
L
M
Q
R
P
N
U
O
T
LM # QR
ángulo PLM # ángulo UQR
________# RS
vii) ángulo LMN # ___________
________# TU
viii) ángulo NOP # ___________
________# Ángulo RST
iv) ________# ángulo TUQ
v) NO # ___________
P L # ___________
M
O
3.N
L
Q
R
P
Si ángulo L # ángulo P
Ángulo M # ángulo O
Ángulo MRL # ángulo OQP
LM # PO
MR # OQ
LQ = 5 cm
QR = 3 cm
¿Cuánto mide LR?____________
¿Cuánto mide QP?____________
43
S
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Es 'LMR # 'POQ? Por qué?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
4.- Graficar los siguientes puntos:
A (1,2)
B (2,4)
C (4,4)
D (3,1)
Formar la figura cuyos vértices sean A, B, C y D
Graficar los puntos que resultan de la traslación de cada punto
(x , y)
(x +4, y - 2)
ej. A (1,2)
A (5,0)
¿Es la nueva figura congruente con la primera?________________
Por
que?________________________________________________________________________
Graficar los puntos que resultan de la siguiente transformación
(x , y)
(3x, -2y)
Ejemplo: A (1,2)
(3, -4)
¿Es la nueva figura congruente con la primera?________________
¿Por que?____________________________________________________________________
Movimientos en el plano
Las Transformaciones en el plano hacen corresponder a cada punto del plano otro
punto del plano. Existen muchas formas de transformar el plano, pero hay una que es
motivo de nuestro interés, esta forma consiste en transformar el plano conservando las
distancias, es decir, la distancia entre dos puntos es igual a la distancia entre sus
transformados.
Estos tipos de transformaciones reciben el nombre de movimientos o Isometrías.
44
Matemáticas III
GIRO: Se denomina giro de centro un punto O del plano y ángulo orientadoM, al
movimiento que transforma un punto A en otro A’ tal que OA = OA’ y el ángulo AOA’,
con vértice en O es igual en amplitud y sentido al ánguloM.
De la definición se deduce que en un giro, cualquiera que sea el ánguloM, son dobles el
centro O y las circunferencias de centro en O, si bien estas no son de puntos dobles.
En la tabla se representa un triángulo ABC y su transformado A´B´C´. En la celda
izquierda la transformación corresponde a un movimiento por conservar las distancias.
La transformación de la derecha no es un movimiento.
Movimiento sí
Movimiento no
Tipos de Movimientos
Existen cuatro tipos de movimientos en el plano, la Traslación, el Giro o Rotación, la
Simetría Axial y la Simetría con Deslizamiento. Cualquier movimiento en el plano
es, necesariamente, uno de los cuatro anteriores.
45
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
TRASLACIÓN: Se denomina traslación definida por un vector dado v al movimiento que
hace corresponder a cada punto A del plano otro punto A’ tal que el vector definido por
A y A’ tiene los mismos módulo, dirección y sentido que el vector dado v.
De la definición se deduce que los únicos elementos dobles que existen en una
traslación son las rectas paralelas al vector v si bien sus puntos no son dobles pues
ninguno se transforma en sí mismo.
En la tabla se representa una traslación de vector AA´ y un giro de centro P y ángulo
90º.
Traslación
Giro o Rotación
46
Matemáticas III
Rotación, de centro O y ángulo á, es una transformación geométrica que hace
corresponder a cada punto P otro punto Pð tal que:
y
.
Las Rotaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de
las figuras, es un movimiento angular de cada uno de los puntos a partir de un punto que es el
centro de giro. Para este movimiento es necesario dar un ángulo y el punto centro de giro
SIMETRIA
En geometría conviene distinguir simetría como transformación geométrica y simetría como
propiedad de una figura.
TIPOS DE SIMETRÍA
Una simetría central de centro O es una transformación que hace corresponder a cada punto P
otro punto P' tal que O es el punto medio del segmento PP'.
Una simetría de este tipo coincide con un giro del mismo centro y ángulo 180º. Es, por
tanto, un movimiento directo.
Simetría axial: Cuando cada uno los puntos de la figura tiene un homologo al frente, de tal forma
que tendremos una figura reflejada, como en el caso de un espejo. Para realizar una simetría axial,
es necesario que nos den un eje o plano de simetría
Una simetría axial de eje e es una transformación que hace corresponder a cada punto
P otro punto P' tal que la recta e es mediatriz del segmento PP'.
47
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Las simetrías axiales son movimientos inversos porque para hacer coincidir una figura
con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre la otra cara.
Ejemplo de simetría axial
De la definición se deduce que los únicos elementos dobles que existen en una simetría
axial son el eje e y las rectas perpendiculares al eje.
Si elegimos tres puntos A, B, C y hallamos sus simétricos que denominaremos A’,
B’,C’ respectivamente, se observa que el sentido de giro al recorrer los primeros en
un orden, es contrario a del recorrido de sus homólogos en el mismo orden. Esta
propiedad, que no se daba en los tres movimientos anteriores, hace que la simetría
axial se considere como un movimiento inverso mientras que a los anteriores se les
denominaba directos. En la tabla se representa una simetría axial y una simetría
con deslizamiento de eje
r.
Simetría axial
Simetría con deslizamiento
48
Matemáticas III
Las traslaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño
de las figuras, a las cuales deslizan según el vector
.
ACTIVIDAD 2.1
Obtén la figura transformada de Z al
aplicarle una simetría de eje e.
e
Aplica a la figura Z una traslación de vector 4, -5
Aplica un giro de centro en O y ángulo θ= 90º al triángulo ABC. Señala como
A'B'C' las imágenes de cada uno de los vértices.
49
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Dados los siguientes triángulos hallar el triangulo simétrico respecto del origen de coordenadas.
De vértices:
A (1,3), B (-2,1), C (1,-1)
A (4,3) B (2,2) C (-3,-5)
A (3,4) b 2,2) (5,-1)
Dados los siguientes triángulos hallar el triangulo simétrico respecto del EJE OX
A (-3,2) B (6,-1) C (8,5)
A (-3,4) B (-2,-2) C (-5,-1)
A 4,-3) B (2,-2) C (3, -5)
CUADRILATEROS CLASIFICACION Y PROPIEDADES
La forma más habitual de clasificar cuadriláteros es por el paralelismo de sus lados.
Según este criterio los cuadriláteros pueden ser:
PARALELOGRAMO
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos.
Propiedades:
Los lados opuestos son iguales
Los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios.
Las diagonales se cortan el punto medio.
Un paralelogramo puede ser:
a) Rectángulo. Tiene los ángulos rectos
Sus diagonales son iguales
b) Rombo. Tiene los lados iguales
sus diagonales son perpendiculares
Cuadrado es el paralelogramo que es rectángulo y rombo a la vez
Un cuadrado tiene los lados iguales
y además sus ángulos son rectos
El cuadrado tiene las diagonales
iguales (por ser rectángulo) y
perpendiculares (por ser rombo)
50
Matemáticas III
TRAPECIO
El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, y los otros dos no son
paralelos.
Los lados paralelos se denominan Base mayor y base menor
La distancia entre los lados paralelos se llama altura.
a) Trapecio Isósceles, si los lados
No paralelos son iguales.
b) Trapecio rectángulo si tiene
Dos ángulos rectos
Los ángulos que se forman sobre cada uno de los lados paralelos son iguales.
TRAPEZOIDE.
Se denomina trapezoide a un cuadrilátero que no tiene lados paralelos. Por tanto es un
cuadrilátero sin más propiedades adicionales.
Existe un tipo de trapezoide especialmente interesante.
Se llama cometa al cuadrilátero con dos lados consecutivos iguales.
Las diagonales son perpendiculares
Un par de ángulos opuestos son iguales.
51
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
CONSTRUCCIÓN DE UN PARALELOGRAMO
Conocidos los dos lados y el ángulo que forman.
1. Construimos una semirrecta cualquiera y un segmento de medida uno de los lados sobre
ella.
2. Construimos otra semirrecta que forme el ángulo dado con la primera y sobre ella
situamos el segundo segmento.
3. Basta con trazar paralelas a las semirrectas para completar el paralelogramo
CONSTRUCCIÓN DE UN RECTÁNGULO.
Para construir un rectángulo basta conocer el valor de dos lados diferentes.
Fíjate en el proceso.
¿Se podría construir un rectángulo a partir del valor de uno de los lados y la diagonal?
¿Y sabiendo el valor de la diagonal y el ángulo que forman las diagonales?
Intenta hacer estas construcciones, son sencillas.
CONSTRUCCIÓN DE UN ROMBO.
Conociendo el valor del lado y el ángulo que forman
52
Conocidas las diagonales
Matemáticas III
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO
Conocido el lado
conocida la diagonal
Solamente se necesita un dato para construir un cuadrado. No por ello es el
paralelogramo más sencillo de construir, al contrario, hay que imponer mas
condiciones que para los otros que hemos visto.
EJERCICIOS
1.- ¿En qué se diferencia un cuadrado de un rombo?
2.- ¿Cuántos datos se necesitan para construir un trapecio cualquiera? ¿Y si el trapecio
es rectángulo o isósceles?
3.- ¿Es posible construir un cuadrilátero cualquiera conociendo únicamente el valor de
sus lados?
4.- ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un cuadrado?
PROBLEMAS DE APLICACION
x
x
x
x
x
x
x
x
Un trapecio tiene 700 metros, los lados paralelos miden 30 y 40 mts. Hállese su
altura.
El área de un rombo mide 13 metros, y una de sus diagonales mide 10 metros,
hállese el lado del rombo.
¿Cuál debe ser la longitud del lado de un cuadrado para que su área sea igual a
la de un rectángulo de 1.5 metros de largo y 0.8 metros de ancho?
Si se disminuye en 4 metros, el lado de un cuadrado se obtiene otro de 128
metros menos que el primero. ¿Cuál era su lado?
El cuadrado PQRS de la figura tiene perímetro que mide 96 metros y PQ está
dividido en tres partes iguales en tanto que QR está dividido en cuatro partes
iguales. ¿Cuál es el perímetro de KLMN
La figura está formada por los cuadrados ABCD, FGDE y JHDI. Si AB = 2EF =
4IJ y FJ = 3 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado ABCD?
La figura se ha construido con cuadrados de 8 cm. de lado .Cual es el perímetro
de la figura GABCDEF?
Los ángulos de la base mayor del trapecio isósceles es de 45º. La base mayor
mide 12cm y la base menor 6cm. Encontrar el área del trapecio.
53
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Unidad 3
Semejanza y círculo
Presentación
En este núcleo se continúa con la formalización. Se estudia el círculo y partiendo de la
postulación de los criterios de semejanza se determinan más propiedades del triángulo .
Objetivos
El alumno será capaz de:
¾ Aplicar las propiedades de los ángulos en el círculo en la resolución de
problemas geométricos y prácticos.
¾ Precisar, a partir de la noción general de semejanza de figuras y polígonos, la
semejanza de triángulos.
¾ Aplicar los criterios de semejanza en la resolución de problemas geométricos y
prácticos.
Contenidos temáticos
El círculo, rectas tangentes, ángulos centrales e inscritos.
Semejanza de triángulos y sus criterios.
Semejanza de polígonos.
Teorema de Tales en el triángulo, el Teorema de la altura correspondiente a la
hipotenusa de un triángulo rectángulo y el Teorema de la bisectriz de un ángulo
de un triángulo.
9 Trazos y construcciones de:
x La raíz cuadrada de una magnitud.
x Del pentágono regular con regla y compás.
x De figuras a escala.
9
9
9
9
Actividades de aprendizaje
1. Aplicación del álgebra en el cálculo de las medidas de ángulos centrales,
ángulos inscritos, arcos, ángulos formados por dos cuerdas que no se
interceptan en el centro del círculo.
2. Ejercicios sencillos de demostración, aplicando los criterios de semejanza.
3. Aplicar el álgebra en el cálculo de lados y ángulos en triángulos semejantes.
4. Justificar los trazos para construir la raíz cuadrada de una magnitud.
5. Aplicar la razón áurea en la construcción del pentágono regular con regla y
compás.
54
Matemáticas III
Círculo
Los aprendizajes a desarrollar en este bloque son que resuelvas problemas teóricos y
prácticos de la circunferencia y circulo, aplicando las propiedades y teorías de los
ángulos en la circunferencia, mediante la obtención de perímetro y aéreas de ambos.
Por lo cual te pedimos que realices una investigación inicial acerca de los conceptos de
circunferencia, circulo, radio, diámetro, cuerda, arco, tangentes y secantes. Para que
entregues la información a tu asesor por medio de un mapa mental.
Observa atentamente el diagrama que se presenta a continuación y escribe los
nombres de cada uno de los elementos de la circunferencia. Si desconoces alguno,
revisa la investigación que hiciste antes o pregúntale a tu asesor.
Curvas
Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo
delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el
arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio
máximo.
Superficies
El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes
elementos:
Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y
los dos radios que contienen sus extremos.
55
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su
cuerda.
Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y
media circunferencia exterior.
Corona circular: es la superficie
circunferencias concéntricas.
Trapecio circular: es la
circunferencias y dos radios.
delimitada
superficie
limitada
entre
dos
por
dos
Elementos del círculo
El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:
Puntos
Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual
equidistan todos los puntos de esta.
Segmentos
Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia
perimetral.
Diámetro: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el
centro. El diámetro divide al círculo en dos partes iguales. También puede ser definido
como dos radios que forman un ángulo de 180º, los radio se unen en el medio de la
circunferencia.
Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por su
centro. Una cuerda define un arco.
56
Matemáticas III
Rectas características
Secante: es la recta que corta al círculo en dos partes.
Tangente: es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio
cuyo extremo es el punto de tangencia.
Recta exterior: es aquella recta que no toca ningún punto del círculo.
Ángulos
Ángulos en el círculo.
Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de
la circunferencia y los lados son radios de ella.
La característica de este ángulo es que mide lo mismo
que el arco comprendido por dos radios que lo forman.
Así, si el arco AB midiera 65º, el ángulo O que está
marcado también medirá 65º
Arco AB = Angulo AOB
Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.
Este ángulo tiene la característica de medir la mitad
del arco comprendido por los lados del ángulo.
a) un lado del ángulo inscrito es un diámetro de
la circunferencia.
La demostración grafica
situación representada.
es
sencilla,
en
la
El triangulo AVO es isósceles. Por tanto sus
ángulos A y V son de igual medida.
A+V=O Por tanto V= O/2
76.1/2= 38.1
Ángulo.
Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del
círculo.
57
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que abarcan él y su
opuesto.
Queremos determinar el ángulo AIB, ángulo interior.
Como puede verse en la figura; el ángulo interior AIB es
suma de ADI y DAI. Que son ángulos inscritos, luego cada
uno de ellos es la mitad del ángulo que abarca, ADI =
AB/2 y DAI = DC/2.
De donde el ángulo interior I (=AIB) es
I = (AB + CD) / 2
Angulo exterior es aquel que tiene su vértice en un
punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus
lados, tangentes o secantes a la misma.
La medida del ángulo exterior es la semidiferencia
de los arcos que intercepta.
La justificación geométrica es sencilla:
Los ángulos marcados en A y D, son inscritos, por lo que
se valor es la mitad del arco que abarcan;
A = (CAD) = arco CD /2
(1)
D (=ADB) = (ADE) = arco AB /2
(2)
En el triángulo ADE, A (exterior al triangulo) = E + D
De donde E = A - D. Con lo que haciendo
(1) - (2)
E = CD/2 - AB/2 = (CD - AB) / 2
Área de un sector circular
Longitud de un arco de circunferencia
58
Matemáticas III
Área de una corona circular
Es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.
Área de un trapecio circular
Es igual al área del sector circular mayor menos e l área del sector circular menor.
Área de un segmento circular
Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área
del triángulo AOB
ACTIVIDAD
Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2
cm el radio de la circunferencia.
Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA
y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.
En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de
forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.
59
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio
de la circunferencia.
Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6cm y el radio del círculo mide 3
cm.
Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los
círculos pequeños mide 2 cm.
En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la
longitud de la circunferencia.
Refuerza lo que acabas de aprender resolviendo las preguntas que te proponemos a
continuación:
1. Curva cerrada y plana donde todos sus puntos equidistan de otro punto interior llamado
centro.
A) Circulo
B) Radio
C) Circunferencia D) Cuerda
E) Secante
2. A la superfina cie plana limitada por la circunferencia se le llama...
A) Radio.
B) Circulo. C) Cuerda.
D) Secante. E) Tangente.
3. Es el segmento de recta que va del centro a un punto de la circunferencia.
A) Diámetro
B) Cuerda
C) Tangente
D) Círculo
E) Radio
60
Matemáticas III
4. Es el segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia pasando por el centro del
círculo.
A) Radio
B) Cuerda
C) Secante
D) Diámetro
E) Tangente
5. Es el segmento de recta que NO interseca el centro y cuyos extremos son puntos de la
circunferencia.
A) Cuerda
B) Secante
C) Tangente
D) Radio
E) Diámetro
6. Recta que corta en dos cualquiera de sus puntos a la circunferencia.
A) Tangente
B) Radio
C) Cuerda
D) Secante
E) Diámetro
7. Recta que toca a la circunferencia en un solo punto.
A) Radio
B) Tangente C) Secante
D) Cuerda
E) Diámetro
8. Segmento de curva marcado o delimitado por dos puntos de la circunferencia.
A) Arco
B) Radio
C) Diámetro
D) Secante
E) Tangente
9. Angulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios.
A) Semi-inscrito B) Exterior
C) Interior
10. ¿Cuál es el valor del ángulo central AOB, si el arco vale 120°?
A) 30°
B) 60°
C) 110°
D) 120°
E) 240°
11. ¿Cuál es el valor del ángulo inscrito ABC, si el arco vale 110°?
A) 250°
B) 110°
C) 90°
D) 55°
E) 20°
12. ¿Cuál es el valor del ángulo semi-inscrito ABC, si el arco vale 60°?
A) 15°
B) 30°
C) 60°
D) 120°
E) 300°
13. ¿Cuál es el valor del ángulo exterior BCD, si el arco vale 40° y el arco vale 110°?
A) 75°
B) 55°
C) 40°
D) 35°
E) 20
14. ¿Cuál es el valor del ángulo interno DBC, si el arco vale 30° y el arco vale 120°?
A) 75°
B) 60°
C) 45°
D) 30°
E) 15°
15. Calcula el valor del ángulo exterior EAB, si el arco vale 60° y el arco vale 10°.
A) 5°
B) 10°
C) 25°
D) 30°
E) 35°
26. Calcula el valor del arco, si el ángulo BAE vale 80° y el arco tiene un valor de 10°.
A) 10°
B) 80°
C) 85°
D) 150°
E) 170°
C r i t er i o s d e s e me j a n z a d e t r i á n g u l o s
Dos triángulos son semejant es si tienen dos ángulos iguales.
61
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido entre ellos igual.
Ejercicios
Investiga si son semejantes los siguientes triángulos y porque:
a)
b)
62
Matemáticas III
c)
d)
e)
f)
63
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y los lados homólogos
proporcionales.
Ejercicios
Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste
de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un
triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
64
Matemáticas III
Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas,
segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a
segmentos correspondientes en la otra.
Ejercicios
Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?
65
los
los
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
E l t e o r e ma d e T h a l e s e n u n t r i á n g u l o
Dado un t r i á n g u l o A B C , si se traza un s e g m e n t o p a r a l e l o , B ' C ' , a uno de los l a d o s del
triangulo, se obtiene otro t r i á n g u l o A B ' C ' , cuyos l a d o s son p r o p o r c i o n a l e s a los del
triángulo ABC.
Hallar las medidas de los segmentos a y b.
Aplicaciones del teorema de Thales
El t e o r e m a d e T h a l e s se utiliza para d i v i d i r u n s e g m e n t o e n v a r i a s p a r t e s
iguales.
Ejemplo
Dividir el segmento AB en 3 partes iguales
66
Matemáticas III
Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a
partir de A.
Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B
con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las
3 partes iguales en que se divide.
Trazo y construcción de:
x
La raíz cuadrada de una magnitud.
Actividad
Con las siguientes instrucciones traza la raíz cuadrada de una magnitud.
Raíz cuadrada de un segmento: b=√a
Dado un segmento a hallamos un segmento b que cumpla
, siendo la unidad el centímetro
Aplicamos el teorema de la altura:
Dibujamos el segmento BC, siendo BH = 1cm (segmento unidad) y HC=a.
Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. La perpendicular a BC por H corta al arco en A.
Pues b es media proporcional de a y de la unidad.
a) Haz la construcción:
67
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Esta construcción también se hace aplicando el teorema del cateto, como puede verse en la
figura.
En este caso se dibuja el segmento BH=1cm y el segmento BC=a.
Dibujamos la circunferencia de diámetro BC. Trazamos la perpendicular a BC desde H.
Esta recta corta a la circunferencia en A.
La magnitud solución es
b) Construye lo que se te indica.
Construye los siguientes polígonos regulares con regla y compas:
Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero
Es el polígono regular con menor número de lados que podemos tener. Su construcción es
muy sencilla:
Trazamos una recta, marquemos dos puntos sobre ella A y B: una circunferencia con centro
en y radio
y otra con centro en y mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan
y
en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos . Trazando los segmentos
obtenemos el triángulo equilátero
.
a) Construir el trazo que se indica
Polígono regular de 4 lados: Cuadrado
La construcción del cuadrado también es sencilla:
Trazamos una recta X marcando dos puntos A y B, una circunferencia con centro en y
radio
, tracemos una perpendicular a la recta X por el punto A, Esa circunferencia corta
al eje en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos . Trazamos la recta paralela al eje
que pasa por
y la recta paralela al eje que pasa por . El punto de corte de las
mismas, digamos , es el vértice que nos faltaba. Trazando los segmentos
,
y
obtenemos nuestro cuadrado.
b) Construir el trazo indicado.
Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular
La construcción del pentágono es algo más complicada que las anteriores, pero sigue
siendo ciertamente asequible:
Trazamos una recta X marcando dos puntos A y B, a continuación trazamos una
perpendicular a la recta X, por el punto A, traza una paralela al eje Y que pasa por B,
68
Matemáticas III
digamos r. Se traza la mediatriz del segmento AB obteniendo el punto O como corte
con el eje X. Trazamos la circunferencia de centro B y radio AB, digamos C1.
Obtenemos el punto
como corte de
con la recta . Con centro en trazamos la
circunferencia de radio OM, C2, obteniendo el punto S de corte con el eje X. Trazamos
ahora la circunferencia de centro y radio AS, C3. Obtenemos el punto al cortar con
C y el punto como corte con la mediatriz del segmento
. Para obtener el vértice
que nos falta, , simplemente construimos el punto simétrico a
respecto de la
mediatriz del segmento AB. Uniendo los vértices obtenemos el pentágono regular
buscado.
c) Construir el trazo indicado.
Polígono regular de 6 lados: Hexágono regular
La construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La vemos:
Con radio AB trazamos circunferencias con centro A y B. Tomamos uno de los puntos
de corte, digamos O. Ese es el centro del hexágono. Trazamos ahora la circunferencia
de centro O y radio OA. Obtenemos los puntos P y Q como cortes con las
circunferencias anteriores y como corte con el eje Y. Trazando la paralela al eje Yque
pasa por B obtenemos el último vértice, S, como corte de esta recta y la circunferencia
trazada justo antes. Uniendo los vértices obtenemos el hexágono regular buscado.
d)
Construir el trazo
69
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Unidad 4
Áreas y perímetros
Presentación
Si se parte de los criterios de congruencia en los triángulos y los cuadriláteros
construir el concepto de figuras equivalentes y aplicarlo en las fórmulas para
calcular perímetros y áreas de otras figuras.
Objetivos
El alumno será capaz de:
¾ Construir las fórmulas para calcular áreas a partir de las propiedades de
congruencia de las figuras.
¾ Desarrollar métodos para calcular perímetros y áreas para figuras
compuestas.
Contenidos temáticos
9 Perímetro y áreas: de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares,
polígonos irregulares y círculo.
9 Transformación de áreas.
9 Media geométrica.
Actividades de aprendizaje
x
x
x
x
Aplicar el teorema de Pitágoras en el cálculo de perímetros de figuras
trazadas en una retícula cuadrada o en el geoplano.
Utilizar el álgebra en problemas de cálculo de perímetros; por ejemplo: el
largo de un terreno rectangular mide el triple de su ancho, y su perímetro
es de 256 ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?
Partiendo del área del rectángulo, deducir las fórmulas de áreas haciendo
transformaciones en las figuras, por ejemplo: un paralelogramo lo pueden
transformar en un rectángulo.
Trabajar problemas que involucren ecuaciones para el cálculo de áreas, por
ejemplo: un edificio ocupa un terreno rectangular que mide de largo 30 m.
menos que el doble de su ancho, el estacionamiento que rodea al edificio
tiene 10 m de anchura y un área de 4600 m2. ¿Cuáles son las dimensiones
del terreno que ocupa el edificio?
Calcular el área de un triángulo
Triángulos con lados de distinto tamaño pueden tener la misma área. El área de un
triángulo solo depende de la longitud de su base y de su altura.
¿Cómo podemos calcular el área de un triángulo a partir de esa información?
70
Matemáticas III
Base y altura
Podemos escoger cualquier lado de un triángulo y tomarlo como su base. Por
conveniencia, la misma palabra (base) se usa para dar a entender la longitud de ese lado. En
cuanto uno de los lados es escogido como base, podemos apreciar que hay solo una altura
relativa a esa base. Recuerda que la altura es la perpendicular a la base que pasa por el
vértice opuesto a ella.
Fórmula
de un triangulo
La fórmula que nos permite calcular el área A de un triángulo de base b y altura h es:.
Para aplicar correctamente esta fórmula, b y h deben estar expresados en las mismas
unidades de medida, y A vendrá dada en las unidades correspondientes; por ejemplo: si b
viene dado en cm, entonces debemos trabajar con h expresada en cm y el resultado que
obtengamos para A vendrá expresado en cm2.
Ejemplo
Tomemos el lado AB como la base del triángulo ABC que aparece en la figura.
h= 2.8cm
Aplicamos la fórmula del área con los siguientes datos: b = 5 cm y h = 2.8 cm.
¿En base a los datos y formula calcula su área?
71
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Un caso especial
En el caso del triángulo rectángulo, si escogemos uno de los catetos como base, la
altura correspondiente a él es precisamente el otro cateto. Es decir, en el triángulo
rectángulo, dos de sus alturas se superponen a los catetos y, por lo tanto, miden lo
mismo que ellos.
En la figura, el área A del triángulo IJK con el ángulo recto en I, viene dada por la
Fórmula:
A= IJ x IK
2
Demostración de la fórmula
La figura servirá como ejemplo para demostrar la fórmula que calcula el área del triángulo:
El área del romboide es b x h. El área de cada triángulo es justo la mitad del área del
romboide; por lo tanto, el área del triángulo es: A = b x h
2
2. Calcular la altura de un triángulo
El triangulo ABC es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en A, donde AB = 4 cm,
BC = 5 cm y AC = 3 cm. Vamos a calcular la altura h = AH.
70
72
Matemáticas III
El área del triángulo ABC es:
A= 3 x 4 = 6 cm2
2
Esta área (6 cm2) también es igual a: 5 x h
2
Por consiguiente, 5 x h = 6; y despejando: 5 x h = 6; 5 x h = 12;
2
La altura AH mide 2,4 cm.
h = 12 = 2.4
5
Perímetro de un triangulo
Definición de perímetro
El p e r í m e t r o de una f i g u r a p l a n a es igual a la s u m a de las l o n g i t u d e s de
sus l a d o s .
Triangulo Equilátero
P= L+L+L
P= 3 L
Triangulo Isósceles
P= L +L + B
Triangulo Escaleno
P= A + B + C
P L (A) + L (B) + L
P= 2L + B
ACTIVIDAD
Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero:
Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores
determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los
vértices.
Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm
respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
Determinar el lado de un t r i á n g u l o equilátero cuyo perímetro es igual al de un
cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?
73
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el á r e a de uno de los sectores
determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los
vértices.
Cuadriláteros: área y perímetro
El perímetro de un cuadrilátero
El perímetro de un cuadrilátero es la longitud de la línea cerrada que lo bordea, es
decir, la suma de las longitudes de sus cuatro lados.
Calcula
y
escribe
en
tu
cuaderno
el
valor
del
perímetro
del
cuadrilátero.
El área de un rectángulo de lados b y a mide A = b*a (Área = base * altura)
Calcula y escribe en tu cuaderno el área de los rectángulos en los siguientes casos:
a).
b= 5; a=4
b)
b= 7.35; a=3.2
c)
b= 16.45; a=8.7
d)
b= 10; a=10
Observa que en el caso del cuadrado, su área es igual a
lado.
l 2 siendo l la medida de su
El área de un paralelogramo
Observa que en la siguiente figura, si recortamos paralelogramo ABCD el triángulo
ABM y lo colocamos a la derecha del lado CD obtenemos el rectángulo MBCN que tiene
la misma superficie que el paralelogramo original. Por tanto, el área de un
paralelogramo cualquiera es A = base * altura.
74
Matemáticas III
El área de un rombo
En la figura siguiente un rombo está inscrito en un rectángulo. Los vértices del rombo
coinciden con los puntos medios de los lados del rectángulo. Las medidas de los lados
del rectángulo coinciden con las de las diagonales del rombo.
La figura la puedes construir fácilmente con un papel. Dobla por la mitad en los dos
sentidos del papel. Así obtienes los puntos medios de los bordes del papel. Dibuja con
tu regla cuatro líneas rectas uniendo los puntos medios de los bordes consecutivos del
papel. Con ello has dibujado el rombo ABCD. Recorta con unas tijeras los cuatro
triángulos y colócalos para cubrir el rombo. Es fácil observar la superficie de los cuatro
triángulos coincide con la del rombo o, lo que es lo mismo, el área del rombo es la
mitad que la del rectángulo. Por tanto, el área de un rombo es
A= D . d
2
Donde D y d son las medidas de las dos diagonales del rombo.
10. Calcula el área de los rombos cuyas diagonales miden:
a)
b)
c)
7 y 10
5,5 y 7,8
21,8 y 20,9
Calcula, aplicando el teorema de Pitágoras, la medida del lado del rombo.
El área de un trapecio
Recorta con unas tijeras dos trapecios iguales de la forma que quieras. Dale la vuelta a
uno de ellos y únelo al otro por uno de los lados no paralelos como en la siguiente
figura:
75
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Al hacer esta operación obtienes un paralelogramo cuya base es la suma de los dos
lados paralelos (llamados bases) del trapecio, B y b, y la altura a es la altura del
trapecio. La superficie del trapecio es la mitad de la del paralelogramo. Por tanto,
El área de un trapecio de bases B y b y altura a es igual a la semisuma de las
bases por la altura
A= B + b . h
2
Calcula el área de los siguientes trapecios:
a) bases 7 y 10 y altura 8 unidades de longitud.
b) bases 5,5 y 7,8 altura 10,1 unidades de longitud.
c) bases 21,8 y 20,9 altura 9,5 unidades de longitud.
En un polígono regular podemos distinguir:
¾
Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
¾
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
¾
Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices.
¾
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
¾
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
¾
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
¾
Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
Área de un polígono, conociendo el número de lados y el radio
Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por
tanto podemos determinar cuál es su área, a la vista de la figura, tenemos que:
Donde el ángulo central es:
76
Matemáticas III
L= 1.3 cm.
Apotema= 1.6 cm.
Área de polígono regular:
Área del triangulo= 1.6 x 1.3 = 1.04 cm2; 6 x 1.04 = 6.24 cm2
2
Perímetro x apotema / 2 = 6 x 1.3 + 1.6 = 6.24 cm2
2
Área y perímetro del la circunferencia.
La longitud de la circunferencia es algo mayor de 3 veces el valor de su del diámetro.
La longitud de la circunferencia
Perímetro del Círculo
El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:
(En función del radio).
77
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
o
(En función del diámetro).
x
x
x
x
es el perímetro
es la constante matemática pi (π = 3.14159265...)
es el radio
es el diámetro del círculo
Área del círculo
Existen numerosas fórmulas para calcular el área de un círculo. Un círculo de radio ,
tendrá un área:
; En función del radio (r).
o
; En función del diámetro (d), pues
o
; En función de la longitud de la circunferencia máxima (C),
Pues la longitud de dicha circunferencia es:
El área de un círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier
polígono regular es igual al producto entre el apotema y el perímetro de este polígono,
es decir:
Si se considera la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces
la apotema coincide con el radio de la circunferencia y el perímetro con la longitud de
la circunferencia. Por tanto el área interior es:
Área y perímetro de Polígonos irregulares
78
Matemáticas III
Un p o l í g o n o i r r e g u l a r no tiene todos sus l a d o s i g u a l e s .
Sus v é r t i c e s no están c i r c u n s c r i t o s en una c i r c u n f e r e n c i a .
Perímetro de un polígono irregular
El perímetro es igual a la suma de las longitudes de los lados.
Área de un polígono regular
El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.
A = T1+ T2+ T3+ T4
ACTIVIDAD
Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular:
A) Las hectáreas que tiene.
B) El precio del campo si el metro cuadrado cuesta 155 $
Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una
superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura.
Hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 15 cm cada uno.
Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces más que su
altura.
Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya diagonal menor es la mitad
de la mayor.
En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25 m
de largo. Calcula el área del jardín.
Calcula el área del cuadrado que resulta de unir los puntos medios de los lados de un
rectángulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm.
79
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m. La
anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m de ancho perpendicular
a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda.
Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado
por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un ancho de 8 dm y
el otro 7 dm. Calcula el área del jardín.
Dado el cuadrado ABCD, de 4 m de lado, se une E, punto medio del segmento BC, con
el vértice D. Calcular el área del trapecio formado.
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de este edificio
sabiendo que se Gastan 0.5 kg de pintura por m2.
Calcule el área de un trapecio cuyas bases miden 8 cm y 10 cm, y cuya altura es 20
cm.
El área de un trapecio es 20 cm2. Si la longitud de las bases es 3 m y 7 m,
respectivamente, ¿cuánto mide la altura el trapecio?
Calcule el área de un pentágono regular cuyos lados miden 8,76 cm y cuya apotema
tiene una longitud igual a 6 cm. Expresa el resultado en m2.
Calcule el área de un polígono regular cuyo perímetro es 19,44 cm y cuya apotema
tiene una longitud igual a 3 cm. Expresa el resultado en mm2
Calcule el área de un círculo de diámetro 0,2 cm.
Determina el área de un círculo cuyo radio es:
a) 4 cm
b) 0.004 m
c) 0.6 cm d) 3.10 cm
Para practicar
Queremos enmarcar un cuadro cuyas dimensiones totales son 103 cm de base por 63
cm de alto. ¿Qué longitud deberá tener la moldura que debemos usar? Si la moldura
cuesta a 7,2 pesos el metro, calcula el precio de dicho marco.
80
Matemáticas III
En una ciudad hay un parque cuya forma es la de un pentágono irregular. Los lados
miden respectivamente, 45, 39, 29, 17 y 39 metros. ¿Qué longitud tiene la valla que lo
rodea?
En las fiestas de un pueblo han montado una carpa para las verbenas, cuya forma es
la de un polígono regular de 11 lados. La carpa está rodeada por una guirnalda con
bombillas que tiene una longitud total de 68 m. ¿Cuánto mide el lado de la carpa?
Se tiene que embaldosar el patio interior de un edificio con baldosas cuadradas de 30
cm de lado. El patio es rectangular y sus medidas son 10 m por 12 m. ¿Cuántas
baldosas se necesitarán?
Una vela triangular de una barca se ha estropeado y hay que sustituirla por otra. Para
confeccionar la nueva vela nos cobran 21 euros por m2. ¿Cuánto costará esa nueva
vela si debe tener 8 m de alto y 4 m de base?
Un rollo de tela de 2 m de ancho se ha usado para cortar 1050 pañuelos cuadrados de
20 cm de lado. ¿Qué longitud de tela había en el rollo si no ha faltado ni sobrado tela?
Hemos fabricado una cometa con forma de rombo, cuyas diagonales miden 393 cm y
205 cm respectivamente. Para ello se ha usado una lámina plástica rectangular cuya
longitud y anchura son las de la cometa. Calcula el área de la cometa y la de la lámina.
Una empresa fabrica sombrillas para la playa. Para ello usa tela cortada en forma de
polígono regular. Calcula la cantidad de tela que necesitará para fabricar 36 sombrillas
de 10 lados si sabemos que el lado mide 173 cm y su apotema mide 266,21 cm.
Calcula el área de las coronas poligonales del mosaico representado (las formadas por
cuadrados y triángulos que rodean a cada uno de los hexágonos). El lado del hexágono
es igual al del dodecágono y mide 30 cm. La apotema del hexágono mide 25,98 cm. La
apotema del dodecágono mide 55,98 cm.
La torre de una antigua fortificación es de planta hexagonal. Se ha medido el área de
la planta inferior obteniéndose un resultado de 166,27 m2. Si cada una de sus paredes
mide 8 m de anchura, ¿cuánto mide la apotema de la planta de dicha torre?
MEDIA GEOMÉTRICA
La Media Geométrica es muy usual para el cálculo de promedios de tasas de variación,
en la elaboración de Números Índice, etc. Se define de la siguiente manera: “Sí
tenemos n elementos, la Media Geométrica es la raíz enésima del producto de todos
los elementos
En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de
números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números,
es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés
compuesto y números índices.
81
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es
Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería
La media geométrica es un promedio muy útil en conjuntos de números que son
interpretados en orden de su producto, no de su suma (tal y como ocurre con la media
aritmética). Por ejemplo, las velocidades de crecimiento.
Por ejemplo, la media geométrica de la serie de números 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis
valores) es
Actividad
Cuál es la estatura media geométrica de 5 estudiantes con:
1.75, 1.85, 1.65, 1.90 y 1.76?
Cuál es la media geométrica de las siguientes 4 valores muéstrales de acidez en la
sangre en unidades hhp? : 2.0015, 1.987, 3.0001 y 2.5816.
Obtenga el promedio geométrico de vida de un cabello en una muestra de 6
voluntarios, en meses: 3.5, 2.9, 1.89, 3.21, 2.69, 4.42
Calcule el jugo promedio geométrico de 10 naranjas, en cm3:
7.0, 5.2, 4.3, 5.3, 3.9, 5.6, 3.9, 6.1, 4.7, 3.4
82
Matemáticas III
Unidad 5
Triángulos y trigonometría
Presentación
A continuación se estudian los elementos básicos de la trigonometría, presentados
como una aplicación del tema de semejanza. No se pretende un estudio exhaustivo de
esta rama, la parte de trigonometría analítica y completar el estudio de las identidades
trigonométricas se hará en el siguiente semestre en Matemáticas IV.
Objetivos
¾ El alumno será capaz de utilizar las razones trigonométricas en la resolución de
problemas prácticos.
Contenidos temáticos
9 Razones trigonométricas de ángulos agudos, en particular de 30°, 45° y 60°.
9 Solución de triángulos rectángulos.
9 Círculo trigonométrico, razones trigonométricas de ángulos mayores de 90°, en
función de uno agudo.
9 Uso de la calculadora para realizar razones trigonométricas de ángulos
arbitrarios.
9 Leyes de los senos y de los cosenos.
9 Solución de triángulos oblicuángulos.
Actividades de aprendizaje
1. Inscribir un hexágono regular en el círculo unitario y utilizando el hecho de que
el radio es igual al lado del hexágono, calcular (sin usar calculadora) los valores
de las razones trigonométricas de ángulos de 30° y 60°.
2. Inscribir un cuadrado en el círculo unitario, para calcular (sin usar calculadora)
los valores de las razones trigonométricas de ángulos de 45°.
3. Hacer la generalización de las razones trigonométricas a funciones
trigonométricas en el círculo unitario.
4. Utilizar el círculo unitario para calcular las razones trigonométricas de los
ángulos: 0°, 90°, 180° y 270°.
Funciones trigonométrica de ángulos notables
En este articulo te explicaré mediante un texto y gráficos, todo lo referente a las
funciones trigonométricas (también llamadas razones trigonométricas) de los ángulos
notables. Presta mucha atención y desconéctate de toda distracción para que le saques
el mejor provecho a tu aprendizaje.
Bien, empecemos por definir lo que es un ángulo notable.
83
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
La palabra “notable” dentro de la trigonometría y la matemática en general se la
utiliza para hacer referencia a procesos o valores bien definidos y que tiene un origen
“notable” o muy particular. De ésta manera, se han definido a los ángulos notables
como aquellos que tienen valores muy específicos y que aparecen con determinada
frecuencia en la vida cotidiana. Estos ángulos son los de 30°, 45° y 60°. Debo decir
que, a pesar de no ser definidos como notables, los siguientes valores de ángulos
también forman parte de la familia, desde mi punto de vista, me refiero a los ángulos
de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°, ya que son tan comunes en los procesos cotidianos,
como los primeros que había nombrado.
Ahora centrémonos en las funciones trigonométricas definidas para estos ángulos y en
su origen.
VALORES NUMERICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE 30º, 45º y 60º
Mediante el uso de ciertos teoremas de la geometría plana, se puede calcular los
valores numéricos de las funciones trigonométricas de 30º, 45º y 60º.
Consideremos primero el Angulo de 30º, cuya construcción
en su posición normal aparece en la siguiente figura.
Sobe el lado terminal OP se mide una distancia igual a dos
unidades y desde P se traza una perpendicular, PM, al eje
X.
Puesto que el ángulo MOP es de 30º, entonces, de acuerdo
al teorema de la geometría plana euclidiana: “La suma de
los dos ángulos agudos de un triangulo rectángulo es
igual a 90º”.
El ángulo MPO es de 60º y de acuerdo al teorema “si los ángulos agudos de un
triangulo rectángulo son 30º y 60º, la hipotenusa es el doble que el menor de
los catetos” PM es la mitad de OP y por tanto, igual a la unidad. Además, de
acuerdo con el teorema de Pitágoras, “En todo triangulo rectángulo la suma de
los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.
____________
OM= √ (OP)2 – (MP)2
________
=√4–1
____
=√3
En consecuencia, de acuerdo con la definición de funciones trigonométricas, se tiene:
__
_
Sen 30º = ½
cot 30º = √3 /1 = √3
_
_
Cos 30º = √3 /2
sec 30º = 2/√3
_
_
Tan 30º = 1/√3 = √3 /3
csc 30º = 2/1 = 2
84
Matemáticas III
Si se construye un ángulo de 60º en posición normal y se forma una distancia OP igual
a dos unidades obre el lado terminal y luego se traza una perpendicular, pm, al eje x,
se obtiene el triangulo rectángulo OPM= 30º.
_
√3
Por tanto, de acuerdo con el teorema “si los ángulos agudos de un triangulo
rectángulo son 30º y 60º, la hipotenusa es el doble que el menor de los
catetos”, el lado menor OM es la mitad de OP, en consecuencia, es igual a 1. Además,
de acuerdo con el teorema de Pitágoras, MP = √3. Por tanto, las funciones
trigonométricas de 60º, son:
_
Sen 60º = √3 /2
_
_
cot 60º = 1/√3 = √3 /3
Cos 60º = ½
_
_
Tan 60º = √3 /1 =√3
sec 60º = 2/1 = 2
_
_
csc 60º = 2/√3 = 2√3 /3
______
Por consecuencia OP = √12 + 12
Para calcular los valores de las funciones
trigonométricas de 45º, se construye dicho ángulo
en su posición normal y sobre el eje X se toma una
distancia OM igual a la unidad. A partir de M se
traza una perpendicular al eje X y se prolonga hasta
el punto P, donde corta al lado final del ángulo. De
acuerdo con el teorema, el ángulo OPM = 90º- 45º
= 45º. Por tanto, el triangulo OMP es isósceles y
OM= MP = 1
_
= √2.
Por lo tanto, las funciones trigonométricas de 45º, son:
_
_
Sen 45º = 1/ √2 = √2 /2
_
_
Cos 45º = 1/ √2 = √2 /2
cot 45º = 1/1 = 1
_
_
sec 45º = √2 /1 = √2
Tan 45º = 1/1 = 1
csc 45º =√2 /1 = √2
_
_
Aplicando un método análogo al empleado, se pueden calcular las funciones
trigonométricas de cualquier múltiplo de 30º y 45º cuyo lado terminal no coincida con
uno de los ejes coordenados.
85
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Por ejemplo para calcular el valor de las funciones trigonométricas de 240º se
construye el ángulo en su posición normal y sobe el lado terminal se toma la distancia
OP igual a dos unidades. Se traza también la perpendicular PM al eje X. de esta
manera, el ángulo MOP = 240º - 180º = 60º y, por tanto, el ángulo MOP = 30º.
Entonces, las longitudes de OM y de MP son, respectivamente, 1 y √3. Por tanto,
puesto que P queda en el tercer cuadrante, sus coordenadas son (-1, -√3).
-√3
_
Sen 240º = - √3 /2
Cos 240º = -1/2
_
_
Tan 240º = - 1/ -√3 = √3/3
Ángulos complementarios
Á ngulo s supl e m ent a r io s
86
Matemáticas III
Á n g u l o s qu e d i f i e r e n en 1 8 0 °
Ángulos opuestos
Ángulos negativos
87
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Mayores de 360º
Ángulos que difieren en 90º
Ángulos que suman en 270º
Ángulos que difieren en 270º
88
Matemáticas III
Ejer cicios
Calcula las razones de los siguientes ángulos:
a) 225°
Cos (225º)=
Tg(225º)=
b) 330°
Cos(330º)
Tg(330º)=
c) 2675°
Cos(2675)=
Tg(2675)=
d) −840º
Cos (-840º)=
Tg (-840º)=
Construye en su posición normal, los ángulos indicados a continuación.
a) 90º
b) 180º
c) 120º
d) 270º
89
e) 225
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Demuestre las igualdades de los problemas, utilizando los valores de las
funciones trigonométricas de 30º, 40º y 60º y sus múltiplos.
Csc 120º - cot 240º = tan 390º
Cot 210º sen 60º = 1 + cos 300º
Sen 120º = 2 sen 60º sen 30
Csc 60º - tan 30º = tan 210º
Cos 90º = 2 cos 330º + sen 240º csc30º
Teorema del seno:
El siguiente triángulo es oblicuángulo:
Trazamos la altura desde C hasta c:
Tomando como referencia el ángulo B podemos escribir:
y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen B
Tomamos ahora el ángulo A:
y haciendo operaciones tendremos: h = b x sen A
Observamos:
h = a x sen B
h = b x sen A
Podemos decir que: a x sen B = b x sen A
Esta última igualdad podemos escribirla:
90
Matemáticas III
Recuerda que en toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de
medios.
Si trazamos la altura desde el vértice B tenemos:
El cateto opuesto al ángulo C es la altura (h) que partiendo del vértice B es
perpendicular al lado b (90º en amarillo), la hipotenusa es el lado a. El triángulo
en azul claro BDC es rectángulo en D.
El sen C será igual al cateto opuesto (h) partido por la hipotenusa (a).
Y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen C
Si calculamos el sen A en el triángulo color naranja escribiremos:
( h y b son los catetos y c la hipotenusa), luego haciendo operaciones: h = c x sen A.
Luego, a x sen C y c x sen A son iguales. a x sen C
=c x sen A
Esta última igualdad podemos escribirla:
El recuadro último representa el teorema del seno.
91
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos.
Ejercicios
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.
C=
Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.
a
Sen A = 2R
92
Matemáticas III
Teorema o ley del coseno
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de
ambos por el coseno del ángulo que forman .
Ejemplos
Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'.
Calcular los lados.
AD=
AB =
180º - 48º 15’ = 131º 15’
El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha
circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
Resolución de triángulos Oblicuángulos
Los tres datos conocidos de un triángulo los tienes en la figura siguiente. Halla los tres
datos que faltan por conocer:
93
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Respuesta: C = 30º; a = 5,8 m; a = 10,28 m.
Solución
El ángulo C = 180º – (121º+29º) = 30º
Haces uso del teorema del seno.
Calculamos el valor de b:
Calculamos el valor de a:
Ejercicio
En el dibujo siguiente tenemos un triángulo con tres datos conocidos, halla los otros
tres:
Respuesta: A = 68º; C = 52º; c= 6,68 m.;
Solución
Haciendo uso del teorema del seno podemos escribir:
Sen A=
Esto quiere decir que también conocemos el ángulo C:
C=
94
Matemáticas III
Del triángulo conocemos:
Comprobarás que necesitamos saber el valor del lado c, para completar las medidas de
los seis datos.
Volvemos a utilizar el teorema del seno:
C=
Resultado final con todos los datos:
Ejercicio
En el siguiente triángulo aparecen 3 datos, calcula los otros 3:
Respuesta: B = 110º; b = 8,9 m.; c = 5 m.
95
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Actividad
¾ De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los
restantes elementos.
¾ De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los
restantes elementos.
¾ Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.
¾ Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
¾ Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
¾ Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
¾ Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
En el siguiente triángulo aparecen 3 datos, calcula los otros 3:
Respuesta: B = 110º; b = 8,9 m.; c = 5 m.
Solución:
96
Matemáticas III
Unidad 6
Sólidos
Presentación
Los cuerpos sólidos constituyen la entrada al espacio tridimensional y pueden tomarse
como ejemplos y ejercicios de generalización de algunos resultados desarrollados en el
plano, que cuando sea pertinente, se recomienda plantear a la par. Por ejemplo, se
pude localizar el gravicentro o centro de gravedad de un triángulo y luego dejar
planteado dónde se ubicaría el de un tetraedro. Esta última unidad se propone
entonces para estudiar específicamente algunas cuestiones sobre los sólidos, y revisar
con cierto detenimiento los resultados que quedaron planteados como generalización al
espacio en las unidades anteriores.
Objetivos
El alumno será capaz de:
¾ Clasificar los sólidos geométricos por su forma.
¾ Resolver problemas de la geometría espacial.
Contenidos temáticos
9 Caras, aristas y vértices de prismas, pirámides y poliedros regulares.
9 Altura, base, área superficial y volúmenes de prismas, pirámides, cilindros,
conos y sólidos compuestos.
9 Desarrollos planos de los poliedros regulares, prismas, pirámides, cilindros y
conos. Representaciones planas de cubos, prismas, pirámides y otros sólidos.
9 La esfera, su superficie y volumen.
Actividades de aprendizaje
x
x
Construir los poliedros regulares a partir de su desarrollo plano.
Construir figuras tridimensionales con hilo y popotes, como el tetraedro, el
cubo, etcétera. Discutir sus propiedades.
Prismas y pirámides
Los prismas son cuerpos poliedros que poseen 2 caras basales iguales, paralelas y
poligonales (triángulo, cuadrilátero, pentágono...) y tantas caras laterales
rectangulares como lados tiene el polígono de sus caras basales.
Prismas
Prismas rectos
Los prismas rectos son aquellos cuyas aristas laterales son perpendiculares a las
bases.
- Prismas de base triangular: posee 5 caras, 9 aristas y 6 vértices. Sus caras
basales corresponden a triángulos.
97
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
- Prismas de base cuadrangular: posee 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
* Cubo: prisma que posee 6 caras cuadradas e iguales, 12 aristas y 8 vértices.
* Prisma de base rectangular: posee 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. Sus caras
basales corresponden a rectángulos.
- Prisma de base pentagonal: posee 7 caras, 15 aristas y 10 vértices. Sus caras basales
corresponden a pentágonos.
Como puedes observar, los prismas son cuerpos geométricos formados por líneas
rectas.
98
Matemáticas III
Pirámides
Como puedes ver, hay pirámides que poseen una base de tres lados y por lo tanto,
tienen tres caras laterales, como la del dibujo de la izquierda; y otras cuya base tiene
cuatro lados y por lo tanto, tienen cuatro caras laterales, como la de la derecha.
Actividad
En la figura siguiente tienes dibujados algunos cuerpos
a. ¿Qué características comunes ves a todos ellos?
b. Dibuja otros tres cuerpos con las mismas características.
c. Piensa objetos reales en los que aparezcan poliedros.
Estos cuerpos se llaman poliedros y podemos decir de forma simplificada que
son sólidos limitados por caras en forma de polígonos.
En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos
elementos característicos.
a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos?
b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro?
c. ¿Cuántas caras se habrán de juntar en un vértice como mínimo?
99
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
d. ¿Cuánto pueden sumar los ángulos de las caras que concurren en un mismo
vértice como máximo?
Al número de caras que concurren en un mismo vértice se le
llama orden del vértice.
Actividad
En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos
en la tabla.
¿Encuentras
alguna relación
entre C, V y A?
Inténtalo con otros poliedros.
En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más
el número de vértices es igual al número de aristas más dos:
C+V=A+2
Esta es la fórmula de Euler
Explica razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles
son falsas:
-
El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, 4.
Las caras de un poliedro son todas iguales.
Hay poliedros con tres caras.
En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas.
Las caras de un poliedro han de ser forzosamente polígonos.
Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas y 5 vértices.
El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3.
El cilindro es un poliedro.
100
Matemáticas III
Área y volumen
El volumen de una pirámide
1
/3 × [Área base] × altura
El área de la superficie de una
pirámide
1
/2 × Perímetro × [Longitud cara]
+ [Área base]
Explicación del área de la superficie
El área de la superficie tiene dos partes: el área de los lados (el área lateral)
y el área de la base (el área de la base).
El área de la base depende de la forma, hay distintas fórmulas para
triángulos, cuadrados, etc. Lee Área para ver las fórmulas, o nuestra
Herramienta para calcular áreas
Pero el área lateral es muy sencilla de calcular. Sólo hay que multiplicar el
perímetro por la longitud de una cara y dividir entre 2. Esto es porque los
lados siempre son triángulos y el área de un triángulo es base por altura entre
2
Volumen de un prisma
El volumen de un prisma es simplemente el área de un extremo por la longitud del prisma
Volumen = Área × Longitud
Ejemplo: ¿Cuál es el volumen de un prisma cuyo
extremo es 25 cm2 y que tiene 12 cm de
longitud?
Respuesta: Volumen = 25 cm2 × 12 cm = 300
cm3
Herramienta para calcular áreas
Aquí tienes una pequeña herramienta que puedes usar para calcular el área de las
formas más comunes.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Triángulo
Area = ½b×h
b = base
h = altura
Cuadrado
Area = a2
a = longitud del lado
Rectángulo
Area = b×h
b = base
h = altura
Paralelogramo
Area = b×h
b = base
h = altura
Círculo
Trapecio
Area = ½(a+b)h
h = altura
Area = πr2
Circunferencia = 2πr
r = radio
Sector
Area = ½r2θ
r = radio
θ = ángulo en radianes
Elipse
Area = πab
Ortoedros, prismas rectangulares y cubos
Volumen y área superficial
El volumen de un ortoedro es simplemente: Volumen = longitud × profundidad × altura
Y lo podemos escribir como:
V = lpa
Y el área de su superficie es:
A = 2lp + 2pa + 2al
Ejemplo de cálculo
Encuentra el volumen y el área superficial de este ortoedro.
V = 4×5×10 = 200
A = 2×4×5 + 2×5×10 + 2×10×4
= 40+100+80 = 220
Ejemplos de ortoedros
Los ortoedros son muy comunes en nuestro mundo, desde cajas a edificios, los vemos en
todas partes. ¡Hasta puedes poner ortoedros dentro de otros ortoedros!
102
Matemáticas III
Volumen de un cono y de un cilindro
Las fórmulas del volumen de un cono y de un cilindro son muy parecidas:
El volumen de un cilindro es: Pi x r2 h
El volumen de un cono es: Pi x r2 x (h/3)
Así que la única diferencia es que el volumen de un cono es un tercio ( 1/3) del de un
cilindro.
Así que en el futuro, cuando pidas helados que no te den conos sino cilindros, ¡así te
dan 3 veces más cantidad!
No tiene por qué ser circular
Normalmente cuando decimos cilindro nos referimos a un cilindro circular, pero también hay
cilindros elípticos, hasta los hay con formas raras todavía: si la sección es curva y tiene la misma
forma en la punta que en la otra, se considera un cilindro. Y como referencia:
Área de la superficie=2 x Pi x r x (r + h)
Área de la superficie de una tapa=Pi xr2
Área de la superficie lateral= 2 x Pi x r x h
Volumen = Pi x r2 x h
DESARROLLOS
Se entiende por desarrollo de poliedro a la figura obtenida cuando se representan
todas las caras del poliedro sobre un plano, de manera que cada cara del poliedro
aparezca. Unida a sus adyacentes según la misma arista con la que lo estaba el
poliedro. Algunos de ellos son:
Prisma rectangular
Pirámide cuadrangular
Cubo
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Prisma triangular
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Prisma hexagonal.
Pirámide triangular
http://www.korthalsaltes.com/es/index.html
(Link de consulta de desarrollos de papel)
Poliedros regulares
Tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales
y sus caras son polígonos regulares iguales.
Sólo hay c i n c o p o l i e d r o s r e g u l a r e s .
C l a s i f i c a c i ón d e p ol i e d r o s r eg u la r es
Tetraedro
Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales.
Tiene cuatro vértices y cuatro aristas.
Es una pirámide triangular regular.
Hexaedro o cubo
S u s u p e r f i c i e e s t á c o n s t i t u i d a p o r 6 c u a d r a d o s . ..
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Matemáticas III
T i e n e 8 v é r t i c e s y 1 2 a r i s t a s . ..
Es un prisma cuadrangular regul ar. .
Octaedro
Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros.
Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos
pirámides cuadrangulares regulares iguales.
Dodecaedro
Su superficie consta de 12 pentágonos regulares.
Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro
Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros.
Tiene 12 vértices y 30 aristas.
Un p r i s m a e s un p o l i e d r o que tienen d o s c a r a s paralelas e iguales llamadas
b a s e s y sus c a r a s l a t e r a l e s son p a r a l e l o g r a m o s .
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Desarrollo del prisma
Elementos de un prisma
A l t u r a de un p r i s m a es la d i s t a n c i a e n t r e l a s b a s e s .
Los l a d o s de las b a s e s constituyen las a r i s t a s b á s i c a s y los l a d o s de las c a r a s
l a t e r a l e s las a r i s t a s l a t e r a l e s , éstas son iguales y paralelas entre sí.
Área y volumen del prisma
PB = Perímetro de la base
AL = PB . h
AT = AL + 2. AB
V = AB. h
Superficie esférica
Es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su
diámetro.
Esfera
Es la región del espacio que se encuentra en el interior de una
superficie esférica.
Elementos de la esfera
Centro
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Matemáticas III
Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio
Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda
Segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro
Cuerda que pasa por el centro.
Polos
Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
Circunferencias en una esfera
Paralelos
Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos perpendiculares al eje de revolución.
Ecuador
Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el plano perpendicular al eje de revolución que
contiene al centro de la esfera.
Meridianos
Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos que contienen el eje de revolución.
Actividad
Defina y dibuje un cubo.
Dibuje la red de un cubo
¿Qué es el área lateral de un cubo y cómo se calcula?
¿Qué es el área total de un cubo y cómo se calcula?
¿Qué es el volumen del cubo y cómo se calcula?
Con lo investigado resuelva:
a) Calcule el área total de un cubo de arista 6 cm.
b) Calcule el área basal de un cubo de arista 17 cm.
c) ¿Cuánto mide la arista de un cubo si su área total es 150cm²?
d) Calcule el volumen de un cubo de arista 6 cm.
e) Calcule la arista de un cubo si su volumen es 343 cm².
Defina y dibuje un paralelepípedo
Con lo investigado resuelva.
107
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
a) Calcule el área total de un prisma recto cuya base es un cuadrado cuya arista basal mide 8 cm y
la arista lateral 20 cm.
b) Calcule el área total de un paralelepípedo que tiene 16 cm de largo, 8 cm de ancho y 3 cm de
alto.
Completa:
Un poliedro simple con 6 caras y 8 vértices tiene un total de __________aristas.
¿Qué relaciones hay entre dos poliedros duales? ______________________________
_______________________________________________________________________.
El _________ y el octaedro son poliedros duales.
El dodecaedro y el _____________ son poliedros duales.
El ______________ es dual de sí mismo.
Dibuja cada una de estas figuras y su desarrollo plano:
x Prisma triangular regular.
x Pirámide cuadrangular regular.
x Cono.
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Matemáticas III
Bibliografía
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Trillas, 1985.
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y solución de problemas. México: Addison–Wesley Iberoamericana, 1989.
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Grupo Editorial Iberoamericana, 1998.
FUENLABRADA De la Vega Trucíos, Samuel. Matemáticas II Geometría y
Trigonometría. México: Mc Graw- Hill, 1994.
GUILLEN Soler, Gregoria. Poliedros. España: Editorial Síntesis, 1991.
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WENWORTH, Jorge; Smith, David Eugenio. Geometría plana y del espacio.
México: Editorial Porrúa, 1984.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
MATERIAL DE TRABAJO RECOLECTADO Y REALIZADO POR:
x Dr. Roberto Rodríguez Nava
x Profesor Efraín Álvarez Chávez
x Mtra. Rocio Ponce Ortega
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