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Prueba Integral
Lapso 2014-2
745 – 1/6
Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
Estadı́stica General (Cód. 745)
Cód. Carrera: 610-612-613
Fecha: 07-03-2015
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos del 1 al 8
OBJ 1 PTA 1 Una determinada empresa lleva a cabo una investigación sobre los factores que afectan
el volumen de sus ventas en el territorio nacional, para ello considera los Gastos en Publicidad (en Bs.).
Al realizar el levantamiento de la información se tiene lo siguiente:
Gastos en Publicidad
[402, 2302)
[2302, 4192)
[4192, 6082)
[6082, 7972)
[7972, 9862)
[9862, 11752)
Frecuencia
14
16
17
9
2
2
(a) Complete la tabla suministrada con la siguiente información: Marca de Clase, Frecuencia Relativa,
Frecuencia Porcentual, y las respectivas Frecuencias Acumuladas.
(b) Con los datos suministrados grafique el histograma correspondiente.
(c) Determine, de acuerdo a la información registrada en los literales anteriores,
(c.1) el lı́mite inferior de la segunda clase.
(c.2) el o los intervalos con máxima frecuencia.
(c.3) marca de clase del cuarto intervalo de clase.
(c.4) ¿Cuál es el porcentaje de gastos en publicidad mayor o igual a Bs. 6082?
(c.5) ¿Cuál es el porcentaje de gastos en publicidad que fueron de al menos Bs. 4192 pero de no más
de Bs. 7972?
Nota: Para lograr el objetivo 1 debe responder correctamente todos los literales del enunciado.
SOLUCIÓN:
(a) Al completar la tabla se obtiene:
No.
1
2
3
4
5
6
Int.Clase
[402,2302)
[2302,4192)
[4192,6082)
[6082,7972)
[7972,9862)
[9862,11752)
M Ci
1352
3247
5137
7027
8917
10807
fi
14
16
17
9
2
2
f ri
0,23
0,27
0,29
0,15
0,03
0,03
f pi
23
27
29
15
3
3
F Ai
14
30
47
56
58
60
F RAi
0,23
0,50
0,79
0,94
0,97
1
F P Ai
23
50
79
94
97
100
(b) El siguiente gráfico corresponde al histograma de frecuencias absolutas para Gasto en Publicidad.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2014-2
745 – 2/6
(c.1) El lı́mite inferior de la segunda clase es 2302.
(c.2) El intervalo de clase es [4192, 6082).
(c.3) La marca de clase del cuarto intervalo es 7027.
(c.4) El porcentaje correspondiente a gastos de publicidad mayor o igual a Bs. 6082 es de: 100 − 79 = 21 %.
(c.5) El porcentaje correspondiente a gastos de publicidad de al menos Bs. 4192 pero de no más de Bs. 7972 es de:
29 + 15 = 44 %.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2014-2
745 – 3/6
OBJ 2 PTA 2 Una determinada empresa lleva a cabo una investigación sobre los factores que afectan
el volumen de sus ventas en el territorio nacional, para ello considera los Gastos en Publicidad (en Bs.).
Al realizar el levantamiento de la información se tiene lo siguiente:
Gastos en Publicidad
[402, 2302)
[2302, 4192)
[4192, 6082)
[6082, 7972)
[7972, 9862)
[9862, 11752)
Frecuencia
14
16
17
9
2
2
(a) Calcule el gasto medio en publicidad.
(b) Determine la variabilidad (desviación tı́pica) de los gastos que presenta la compañı́a en publicidad.
(c) Determine la moda y el percentil correspondiente a 25 % para los gastos en publicidad presentados
por la compañı́a.
Nota: Para lograr el objetivo 2 debe responder correctamente todos los literales del enunciado.
SOLUCIÓN: Completando la tabla con la información necesaria se obtiene:
No.
1
2
3
4
5
6
Int.Clase
[402,2302)
[2302,4192)
[4192,6082)
[6082,7972)
[7972,9862)
[9862,11752)
M Ci
1352
3247
5137
7027
8917
10807
fi
14
16
17
9
2
2
f ri
0,23
0,27
0,29
0,15
0,03
0,03
f pi
23
27
29
15
3
3
F Ai
14
30
47
56
58
60
F RAi
0,23
0,50
0,79
0,94
0,97
1
F P Ai
23
50
79
94
97
100
(a) El gasto medio en publicidad se obtiene,
6
x =
1X
M Ci × fi = 4348, 42.
n i=1
(b) La variabilidad de los datos viene dada por,
v
u
6
u1 X
√
p
2
σ= σ =t
(M Ci − x)2 × fi = 5757075, 722 = 2399, 3907.
n i=1
(c) La moda se calcula de la siguiente forma,
1
d1
(1890) = 4402.
(h) = 4192 +
M0 = LM o +
d1 − d2
1−8
El percentil Q1 es:
Q1 = Li−1 +
n(1)
4
− Fi−1
(h) = 2302 +
fi
60(1)
4
− 14
(1890) = 2420, 125.
16
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2014-2
745 – 4/6
OBJ 3 PTA 3 Una empresa ha licitado en 3 proyectos. Sea Ai = {se otorga el proyecto i a la empresa}, para
i = 1, 2, 3 y P (A1 ) = 0, 22, P (A2 ) = 0, 25, P (A3 ) = 0, 28, P (A1 ∩A2 ) = 0, 11, P (A1 ∩A3 ) = 0, 05, P (A2 ∩A3 ) = 0, 07,
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0, 01. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos
(a) es otorgado el proyecto uno o el proyecto dos.
(b) no es otorgado ninguno de los tres proyectos.
(c) no es otorgados ni el proyecto uno ni el dos o es otorgado el proyecto tres.
Nota: Para lograr el objetivo 3 debe responder correctamente todos los literales del enunciado.
SOLUCIÓN:
(a) P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ) = 0, 22 + 0, 25 − 0, 11 = 0, 36.
(b) Se desea calcular P (Ac1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 ). Se tiene que,
P (Ac1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 ) = 1 − P [(Ac1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 )c ]
= 1 − P (A1 ∪ A2 ∪ A3 )
=
=
1 − [P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 ) − P (A1 ∩ A2 ) − P (A1 ∩ A3 ) − P (A2 ∩ A3 ) + P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )]
1 − 0, 22 − 0, 25 − 0, 28 + 0, 11 + 0, 05 + 0, 07 − 0, 01 = 0, 47.
(c) Se desea calcular P [(Ac1 ∩ Ac2 ) ∪ Ac3 ], se tienen que,
P [(Ac1 ∩ Ac2 ) ∪ Ac3 ]
= 1 − P [(A1 ∪ A2 ) ∩ Ac3 ]
= 1 − P [(A1 − A3 ) ∪ (A2 − A3 )]
=
=
=
1 − P (A1 − A3 ) − P (A2 − A3 ) + P (A1 ∩ A2 − A3 )
1 − P (A1 ) + P (A1 ∩ A3 ) − P (A2 ) + P (A2 ∩ A3 ) + P (A1 ∩ A2 ) − P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
1 − 0, 22 + 0, 05 − 0, 25 + 0, 07 + 0, 11 − 0, 01 = 0, 75.
OBJ 4 PTA 4 Una compañı́a constructora emplea a 2 ingenieros en ventas. El ingeniero 1 hace el trabajo
de estimar costos en 70 % de las cotizaciones solicitadas a la empresa. El ingeniero 2 lo hace para el 30 % de
tales cotizaciones. La probabilidad de un error cuando el ingeniero 1 hace el trabajo es de 0, 02; mientras que la
probabilidad de un error en el trabajo del ingeniero 2 es de 0, 06. Suponga que llega una solicitud de cotización y
ocurre un error al estimar los costos. ¿Cuál es la probabilidad que el error lo halla cometido el ingeniero 2?
SOLUCIÓN: Sea A1 el evento el Ingeniero 1 estima los costos de la cotización, A2 el evento el Ingeniero 2 estima
los costos de la cotización, y B el evento se comete un error en la cotización. Se tiene que:
P (A1 )
P (A2 )
P (B|A1 )
=
=
=
0, 70
0, 30
0, 02
P (B|A2 )
=
0, 06
Luego, por el Teorema de Bayes, se tiene:
P (A2 |B) =
P (A2 )P (B|A2 )
0, 018
0, 018
=
=
= 0, 5625.
P (A1 )P (B|A1 ) + P (A2 )P (B|A2 )
0, 014 + 0, 018
0, 032
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2014-2
745 – 5/6
OBJ 5 PTA 5 Un distribuidor de aparatos electrodomésticos vende tres modelos diferentes de congeladores
verticales con capacidades de 13,5; 15,9 y 19,1 pies cúbicos de espacio de almacenamiento. Sea X la cantidad
de espacio de almacenamiento de un congelador comprado por el cliente. Supongamos que X tiene la siguiente
distribución de probabilidad,
x
p(x)
13,5
0,2
15,9
0,5
19,1
0,3
(a) Calcule E[X] y V ar[X]
(b) Si el precio de un congelador con capacidad de X pies cúbicos es 25 X − 8, 5 ¿cuál es el precio esperado por
el cliente que va a comprar un congelador?
Nota: Para lograr el objetivo 5 debe responder correctamente ambos literales del enunciado.
SOLUCIÓN:
(a) Se tiene que,
E[X] = 13, 5 · (0, 2) + 15, 9 · (0, 5) + 19, 1 · (0, 3) = 16, 38.
Por otro lado,
2
V ar(X) = E (X − E(X))2 = E[X 2 ] − (E[X]) .
donde
E[X 2 ] = 13, 52 · (0, 2) + 15, 92 · (0, 5) + 19, 12 · (0, 3) = 272, 298.
Finalmente, V ar(X) = 272, 298 − (16, 38)2 = 3, 9936.
(b) El precio esperado del congelador es 25 X − 8, 5 = 25(16, 38) − 8, 5 = 401.
OBJ 6 PTA 6 El Ministerio del Poder Popular para el Proceso Social del Trabajo (MPPPST) estima que los
accidentes fuera del horario de trabajo tienen para las empresas públicas del estado un costo de casi Bs. 2 mil
millones anuales en pérdidas de productividad. Con base en estos datos, las empresas públicas del estado que tienen
no más de 50 empleados esperan tener al menos cuatro accidentes fuera del horario de trabajo por año. Para estas
empresas, ¿cuál es la probabilidad de que
(a) no haya ningún accidente fuera del horario de trabajo en un año?
(b) haya más de dos accidentes fuera del horario de trabajo en un año?
(c) haya al menos un accidente fuera del horario de trabajo en los próximos seis mese?
Nota: Para lograr este objetivo 6 debe responder correctamente todos literales de esta pregunta.
SOLUCIÓN: Sea Xel número de accidentes fuera del horario de trabajo por un año en una empresa pública que
tienen no más de 50 empleados y λ el promedio de accidentes fuera del horario de trabajo por año, entonces X
sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 4. La probabilidad de que:
(a) no haya ningún accidente fuera del horario de trabajo en un año es,
P (X = 0) =
e−4 (4)0
= 0, 0183.
0!
(b) haya más de dos accidentes fuera del horario de trabajo en un año es,
P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2)
=
1 − P (X = 0) − P (X = 1) − P (X = 2)
e−4 (4)1
e−4 (4)2
e−4 (4)0
−
−
= 1−
0!
1!
2!
= 1 − 13e−4 = 0, 7619.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2014-2
745 – 6/6
(c) haya al menos un accidente fuera del horario de trabajo en los próximos seis meses es,
P (X1/2 ≥ 1) = 1 − P (X1/2 < 1) = 1 − P (X1/2 = 0) = 1 −
e−2 (2)0
= 1 − 0, 1353 = 0, 8647
0!
donde X1/2 es el número accidentes fuera del horario de trabajo en seis meses, y X1/2 sigue una distribución
Poisson de parámetro λ/2 = 2.
OBJ 7 PTA 7 Sea X el tiempo en horas necesario para localizar y corregir un problema en el software que controla
el cambio de las luces de semáforos ubicados en la Candelaria. Suponga que X sigue una distribución normal, con
media de 10 horas y varianza de 9 horas. Calcule la probabilidad de que la identificación y corrección del problema
siguiente requiera cuando mucho 15 horas.
SOLUCIÓN: Se tiene que X, el tiempo en horas necesario para localizar y corregir un problema en el software
que controla el cambio de las luces de semáforos ubicados en la Candelaria, sigue una distribución normal N (10; 3).
Entonces,
15 − 10
= 1 − P (z > 1, 67) = 1 − 0, 0475 = 0, 9525.
P (X ≤ 15) = 1 − P (X > 15) = 1 − P z >
3
OBJ 8 PTA 8 El tiempo medio requerido para pasar por inmigración en el Aeropuerto Internacional de Maiquetia
“Simón Bolı́var” en los periodos pico es de 12,1 minutos. Suponga que los tiempos para pasar por inmigración siguen
una distribución exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que durante los periodos pico se requieran para pasar por
inmigración
(a) no más de 10 minutos?
(b) más de 20 minutos?
(c) entre 10 y 20 minutos?
Nota: Para lograr este objetivo 8 debe responder correctamente todos literales de esta pregunta.
SOLUCIÓN: Se tiene que X, el tiempo medio requerido para pasar por inmigración en el Aeropuerto Internacional
de Maiquetia “Simón Bolı́var” en los periodos pico, sigue una distribución exponencial de parámetro β = 12, 1.
Entonces,
(a) P (X ≤ 10) = 1 − e−10/12,1 = 0, 5624.
(b) P (X > 20) = 1 − P (X ≤ 20) = 1 − (1 − e−20/12,1 ) = e−20/12,1 = 0, 1915.
(c) P (10 ≤ X ≤ 20) = P (X ≤ 20) − P (X < 10) = (1 − e−20/12,1 ) − (1 − e−10/12,1 ) = 0, 2461.
FIN DEL MODELO.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática