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Prueba Integral
Lapso 2014-2
Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
746 – 1/8
Estadı́stica Aplicada (Cód. 746)
Cód. Carrera: 610-612-613
Fecha: 07-03-2015
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos del 1 al 8
OBJ 1 PTA 1 Una compañı́a de seguros al realizar un estudio para determinar la cantidad de vehı́culos
que no poseen seguro encontró que 46 de 200 vehı́culos no estaban asegurados.
(a) Dé el estimador puntual de la proporción de vehı́culos no asegurados.
(b) ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95 % para la proporción poblacional de vehı́culos no asegurados?
NOTA: Para lograr el objetivo debe responder correctamente ambos literales planteados.
SOLUCIÓN:
(a) p̂ =
46
= 0, 23
200
(b) El intervalo de confianza para p esta dado por,
r
r
p̂(1 − p̂)
p̂(1 − p̂)
< p < p̂ + zα/2
,
p̂ − zα/2
n
n
donde α = 1 − 0, 95 = 0,05. Por lo tanto, zα/2 = z0,025 = 1, 96. Finalmente,
r
0, 1717 = 0, 23 − (1, 96)
r
0, 23(0, 77)
0, 23(0, 77)
< p < 0, 23 + (1, 96)
= 0, 2883.
200
200
OBJ 2 PTA 2 En cierta compañı́a se imprimen diariamente 2500 hojas de las cuales 750 corresponden a
circulares internas. Con la intención de disminuir esta proporción se decide enviar la mayor parte de ellas
a través de correo electrónico. Una muestra aleatoria de 67 dı́as demuestra que las circulares publicadas
corresponden a 15 % del total de impresiones diarias. Determine, con un nivel de significación de 0,02, si
hubo efectividad en la intención de disminuir la proporción de circulares impresas diariamente.
SOLUCIÓN: La prueba de hipótesis para el problema viene dado por:
H0 :
p ≥ p0 = 0, 3
Ha :
p < p0 = 0, 3.
Con un nivel de significancia α = 0, 02, la región de rechazo viene dada por z < −z0,02 = −2, 05. El
estadı́stico de prueba utilizado es:
p̂ − p0
z=p
p0 q0 /n
Como z = −2, 679 < −2, 05 se rechaza H0 . Se concluye que con la medida implementada se disminuye el
número de circulares impresas.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2014-2
746 – 2/8
OBJ 3 PTA 3 Un experimento para comparar la resistencia de adherencia de un mortero modificado
con la resistencia de un mortero no modificado resultó en x̄ = 18, 12 kgf/cm2 para el mortero modificado
(m = 40) y ȳ = 16, 87 kgf/cm2 para el mortero sin modificaciones (n = 32). Sean µ1 y µ2 las resistencias
reales de adherencia para el mortero modificado y no modificado, respectivamente. Suponga que las
distribuciones de resistencia de adherencia son normales.
(a) Si se supone que σ1 = 1, 6 y σ2 = 1, 4, pruebe H0 : µ1 − µ2 = 0 contra Ha : µ1 − µ2 6= 0 al nivel
de significancia de 0,01.
(b) Calcule la probabilidad de un error tipo II para la prueba del inciso (a) cuando µ1 − µ2 = 1.
(c) ¿Cómo cambiarı́a el análisis y la conclusión del inciso (a) si σ1 y σ2 fueran desconocidas, pero
S1 = 1, 6 y S2 = 1, 4?
NOTA: Para lograr el objetivo debe responder correctamente todos los literales planteados en la pregunta.
SOLUCIÓN:
(a) La prueba de hipótesis para el problema viene dado por,
H0 :
µ1 − µ2 = 0
Ha :
µ1 − µ2 6= 0
con un nivel de significancia α = 0, 01. El estadı́stico de prueba es:
z=
(x̄ − ȳ) − (µ1 − µ2 )
q
σ12
σ22
+
m
n
Rechazamos H0 bajo la suposición que H0 es cierta (µ1 − µ2 = 0) cuando |z| ≥ zα/2 = 2, 575. Como
z = 3, 53 > zα/2 , entonces rechazamos H0 . Es decir, hay diferencia entre la resistencia de adherencia
del mortero modificado y la resistencia de adherencia del mortero no modificado.
(b) Debemos calcular,
β = P (Error tipo II) = P (No rechazar H0 | H0 Es falsa).
No rechazar H0 significa que |z| ≤ zα/2 , esto es,
|x̄ − ȳ|
q
≤ 2, 575 ⇒ |x̄ − ȳ| ≤ 0, 9113.
σ12
σ22
+
m
n
Entonces,
β = P (|x̄ − ȳ| ≤ 0, 9113 | µ1 − µ2 = 1)


0, 9113 − 1 
(x̄ − ȳ) − (µ1 − µ2 )
−0, 9113 − 1
q
= P
≤
≤
2
2
0, 3539
0, 3539
σ2
σ1
m + n
= P (−5, 40 ≤ z ≤ −0, 25)
= P (z ≤ −0, 25) − P (z < −5, 40) = 0, 4013.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática
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746 – 3/8
(c) Como (m ≥ 30, n ≥ 30), el teorema del lı́mite central garantiza que x̄− ȳ tiene aproximadamente una
distribución normal, cualesquiera que sean las distribuciones poblacionales fundamentales. Además,
el uso de S12 y S22 en lugar de σ12 y σ22 produce una variable cuya distribución es aproximadamente
normal estándar cuando H0 es verdadera, ası́ se obtienen pruebas de hipótesis a nivel α si se utilizan
valores crı́ticos de z exactamente como en el item (a).
OBJ 4 PTA 4 La siguiente tabla proporciona los resultados de una encuesta realizada para estudiar
la frecuencia con que los consumidores de diversos rangos de edades usan diferentes formas de pago para
sus compras.
Forma de Pago
Tarjeta de débito o crédito
Efectivo o cheque
Entre 18-24
21
21
Grupo de Edades
Entre 25-34 Entre 35-44
27
27
36
42
Mayores a 45
36
90
Realice una prueba de independencia entre el método de pago y el grupo de edad, ¿a qué conclusión
llegarı́a con un nivel de significancia de α = 0, 05?
SOLUCIÓN: La hipótesis para la prueba de independencia viene dada por,
H0 : No hay relación entre el grupo de edades y la forma de pago,
Ha : Hay relación entre la edad y la forma de pago que desea utilizar para sus compras.
Al completar la tabla,
Forma de Pago
Tarjeta de débito o crédito
Efectivo o cheque
Total
Entre 18-24
21
21
42
Grupo de Edades
Entre 25-34 Entre 35-44
27
27
36
42
63
69
Total
Mayores a 45
36
90
126
111
189
300
El estadı́stico para la prueba de independencia viene dado por,
χ2 =
X (Oi − Ei )2
i
Ei
.
De la tabla y tomando α = 0, 05 encontramos χ2α = 7, 81 con (4 − 1)(2 − 1) = 3 grados de libertad. Como
χ2 = 7, 95 > 7, 81 se rechaza la hipótesis nula. Concluimos que existe relación entre el la edad y la forma
de pago seleccionada para realizar sus compras.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
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OBJ 5 PTA 5 Una empresa dedicada a la alineación y balanceo de neumáticos está por decidir si firma
un contrato de mantenimiento para su nueva máquina de balanceo de neumáticos. El gerente piensa que
los gastos de mantenimiento deberı́an estar relacionados con el uso, por lo que, recolecta los siguientes
datos, sobre uso semanal (en horas) y gastos anuales de mantenimiento (en miles de Bs.)
Uso
Gastos
13
17,0
10
22,0
20
30,0
28
37,0
32
47,0
17
30,5
24
32,5
31
39,0
40
51,5
38
40,0
(a) Obtenga la ecuación de regresión estimada que relaciona gastos anuales de mantenimiento con el
uso semanal.
(b) Plantee las hipótesis correspondientes a los parámetros del modelo, con un nivel de significación de
0.05, ¿qué concluye?
(c) Obtenga el intervalo de confianza al 95 % para el coeficiente de regresión.
NOTA: Para lograr el objetivo 5 debe responder correctamente todos los literales planteados.
SOLUCIÓN: Los resultados obtenidos, utilizando SPSS, son:
(a) Al realizar los cálculos de b0 y b1 , se obtiene como modelo de regresión lineal Ŷ = 10, 528 + 0, 953X.
(b) El planteamiento de hipótesis es:
H0 : β1 = 0
Ha : β1 6= 0
para i = 0, 1. Se rechaza la hipótesis nula si |t| > tα/2;n−2 . Para un nivel de significancia 5 % se
rechaza la hipotesis nula para b0 y b1 . ¿Por qué? ¿Cúal es su conclusión? El estudiante puede también
utilizar el p-valor.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
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746 – 5/8
(c) El intervalo de confianza de β1 a nivel de significación de 95 % esta dado por la ecuación,
b1 − tα/2;n−2 Sb1 < β1 < b1 + tα/2;n−2 Sb1 < β1 .
Verifique que se obtiene el intervalo (0, 635 ; 1, 272).
Observación: Se deja al estudiante los cálculos no realizados aquı́.
OBJ 6 PTA 6 Cierta empresa tiene varias zonas de venta a nivel nacional y cada una de ellas se
encuentra dividida en territorios, a los cuales le está asignado un representante de ventas. Se desea
conocer que factores afectan el volumen de ventas, para ello se cuenta con 60 observaciones de mercadeo
para cada territorio y se consideran las siguientes variables:
bbbX1 : Total de ventas acreditadas al vendedor (en Bs.).
bbbX2 : Antigüedad del vendedor en la empresa (en meses).
bbbX3 : Potencial de mercado, ventas totales en unidades en el territorio de ventas.
bbbX4 : Gastos de publicidad en el territorio (en Bs.).
bbbX5 : Participación en el mercado, promedio ponderado de los últimos cuatro años.
bbbX6 : Cambio de participación en el mercado en los últimos cuatro años.
bbbX7 : Número de cuentas asignadas a los vendedores.
bbbX8 : Trabajo, ı́ndice ponderado basado en compras anuales y concentración de cuentas.
bbbX9 : Evaluación general del vendedor sobre ocho aspectos de su desempeño, en una escala del 1 al 7.
Se utilizó el modelo de regresión lineal múltiple para estudiar si existe una relación lineal entre el total
de ventas acreditadas al vendedor y alguna de las variables. Se consideraron los siguientes modelos:
Modelo 1: X1 = b1 X3 + b2 X4 + b3 X5 + b4 X6
Modelo 2: X1 = b0 + b1 X2 + b2 X7 + b3 X8 + b4 X9
Justifique la selección de uno de estos modelos con base al análisis estadı́stico necesario y el análisis de la
situación bajo estudio.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
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Resultados para el Modelo 1:
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
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Resultados para el Modelo 2:
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
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SOLUCIÓN: El estudiante debe considerar: los valores de: R, R2 , etc; la prueba de Bondad de Ajuste, la
prueba para los coeficientes del modelo, y el análisis de residuos. Además, debe interpretar ambos modelos
bajo la situación estudio que se plantea, observando que uno de los modelos no tiene constante y el otro
sı́ (¿Que significa b0 ?). Las variables consideradas en el Modelo 1 miden caracterı́sticas que involucran
factores de participación y marketing de la empresa y las variables del Modelo 2 miden las caracterı́sticas
del grupo de vendedores con el que cuenta la empresa.
OBJ 7 PTA 7 La siguiente tabla recoge el número de nuevas empresas registradas durante los últimos
10 años en el Registro Mercantil del Distrito Metropolitano de Caracas.
Año
N◦ de Empresas
2005
240
2006
350
2007
230
2008
260
2009
280
2010
320
2011
220
2012
310
2013
240
2014
310
(a) ¿Cuántas nuevas empresas se esperan registrar para el año 2015? Utilice el método de medias móviles
de tres años.
(b) ¿Cuántas nuevas empresas se esperan registrar para el año 2015? Utilice el método de suavizado
exponencial con α = 0, 2.
NOTA: Para lograr el objetivo debe responder correctamente ambos literales.
SOLUCIÓN: Al aplicar el método de medias móviles y el método de suavizado exponencial con α = 0, 2,
se obtiene:
Año
Empresas
Móvil
Suavizado
2005
240
2006
350
240
2007
230
262
2008
260
273,33
255,60
2009
280
280,00
256,48
2010
320
256,67
261,18
2011
220
286,67
272,95
2012
310
273,33
262,36
2013
240
283,33
271,89
2014
310
256,67
265,51
2015
286,67
274,41
(a) Se esperan registrar para el año 2015, con el método de medias móviles, 287 nuevas empresas
aproximadamente.
(b) Se esperan registrar para el año 2015, con el método de suavizado exponencial, 275 nuevas empresas
aproximadamente.
OBJ 8 PTA 8 La siguiente tabla muestra el precio promedio del barril de petróleo de la cesta Venezolana
(en dolares) durante los últimos 11 años:
Año
Precio
2004
33,22
2005
48,36
2006
56,35
2007
64,74
2008
86,74
2009
57,08
2010
71,97
2011
101,06
2012
103,42
2013
98,08
2014
88,42
Construya una tabla que muestre ¿cuál es el comportamiento del precio promedio del barril de petróleo
en relación al precio actual de 49,60 dolares?
Solución: Al considerar como precio base 49,60 dolares el barril, los ı́ndices relativos son:
Año
Precio
Índice
2004
33,22
0,67
2005
48,36
0,98
2006
56,35
1,14
2007
64,74
1,31
2008
86,74
1,75
2009
57,08
1,15
2010
71,97
1,45
2011
101,06
2,04
2012
103,42
2,09
2013
98,08
1,98
2014
88,42
1,78
FIN DEL MODELO.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática