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ANTECEDENTES HISTÓRICOS
INTRODUCCIÓN
La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar
con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad
de contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas.
Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más
útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre
vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de
sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los
dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la
implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría
de los problemas que se presentaban con continuidad.
CIVILIZACIONES ANTIGUAS
En este momento de la historia, la Civilización Egipcia, llevaba la pauta con el
avance en sus conocimientos matemáticos. Según varios papiros escritos en esa
época, los egipcios inventaron el primer sistema de numeración, basado en la
implementación de jeroglíficos. El sistema de numeración egipcio, se basaba en
sustituir los números clave (1, 10, 100...), con figuras (palos, lazos, figuras
humanas...), los demás números eran escritos por la superposición de estas
mismas figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta para lo que hoy
conocemos como el sistema romano.
Otras civilizaciones importantes en la historia, como la babilónica, crearon otros
sistemas de numeración. En la Antigua Babilonia, la solución al problema de
contar los objetos, se vio resuelto con la implementación de un método
sexagesimal. Este método tenía la particularidad de escribir un mismo signo como
la representación de varios números diferenciados por el enunciado del problema.
Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un sistema
decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas implementaron el número cero.
Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema numérico,
aún son utilizados actualmente. El avance algebraico de los egipcios, dio como
resultado la resolución a ecuaciones de tipo
. La correcta
implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte de los Indios, aumentó
el conocimiento matemático, y la creación de los números irracionales, a demás
que ayudó a la resolución de sistemas de ecuaciones de la forma
.
En la Antigua Mesopotamia, se introduce el concepto de número inverso, a demás
de las soluciones a distintos problemas logarítmicos, e incluso lograron la solución
a sistemas de ecuaciones de la forma
,y
. Su avance fue tal
que crearon algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones. Y en geometría,
se cree que conocían el teorema de Pitágoras, aunque no como un teorema
general.
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China sin duda tubo que ver en gran medida en el avance matemático. Su aporte
principal se basaba en la creación del "método del elemento celeste", desarrollado
por Chou Shi Hié, con el cual era posible la resolución de raíces enteras y
racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma
Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao.
RENACIMIENTO Y MATEMÁTICAS MODERNAS
En relación con el análisis matemático en este siglo, se
fundamento en un conjunto de procedimientos y métodos de
solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos
estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos,
constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría
de ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo
que se conoce como teoría de límites y de funciones, que fueron el tema central
en este siglo.
Bernard Bolzano, fue el pionero en el análisis de funciones, en sus trabajos
estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de
continuidad de funciones. Estudió profundamente las propiedades de las
funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de notables
teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua
toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo.
También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método de
acumulación de singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la
función que no tiene derivada en ningún punto y conocida actualmente como
función de Bolzano.
Otro de los grandes avances obtenidos en esta época, fue la introducción de la
variable compleja, con ella se pudieron resolver los cálculos de integrales, lo que
ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de
variable compleja. Matemáticos como Laplace acudieron a la interpretación en
variable compleja, con lo que fue desarrollando el método de resolución de
ecuaciones lineales diferenciales.
Ya en el siglo VII, es cuando se hacen populares la construcción de academias
reconocidas en el ámbito de las matemáticas, como la Academia de Londres y
París. En este siglo es cuando comienzan todas las disciplinas matemáticas
actuales, como la geometría analítica, los métodos diferenciales e infinitesimales,
y el cálculo de probabilidades.
La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso,
cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica
de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el
desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo;
introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas
infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas;
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búsqueda de tangentes. Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer
término, las exigencias de la mecánica, la astronomía y la física. En la resolución
de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de
resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos
científicos: KEPLER, GALILEO, CAVALIERI, TORRICELLI, PASCAL, WALIS,
ROBERVAL, FERMAT, DESCARTES, BARROW, NEWTON, LEIBNIZ y EULER.
El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el
movimiento, es decir al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vació ya que
cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse,
teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente
pequeño.
En 1666, el científico inglés ISAAC NEWTON fue el
primero en desarrollar métodos matemáticos para
resolver problemas de esta índole.
Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático alemán
GOTTFRIED LEIBNIZ realizó investigaciones similares e
ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta
nuestros días.
De igual forma, otros matemáticos destacan por
haber hecho trabajos importantes relacionados con el
cálculo diferencial, entre ellos sobresale PIERRE
FERMAT, matemático francés, quien en su obra habla
de los métodos diseñados
para
determinar
los
máximos y mínimos acercándose así al descubrimiento
del Cálculo diferencial.
Isaac Newton (1642-1727)
FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época
era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que
frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse
el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los
Franceses, Alemanes y los Ingleses. Razón por la que las demostraciones de
FERMAT se hayan perdido.
NICOLAS ORESME, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que
en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima
o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente.
JOHANNES KEPLER tiempo después, coincide con lo establecido por ORESME,
conceptos que permitieron a FERMAT en su estudio de máximos y mínimos, las
tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que
la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o su
mínimo, es decir, la función es paralela al eje “x” donde la pendiente de la
tangente es nula.
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ISAAC BARROW maestro de NEWTON, quien por medio del “triangulo
característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus
catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las
ordenadas de los extremos del arco.
NEWTON concibió el método de las “fluxiones”, considerando a la curva como la
trayectoria de un punto que fluye; denomina “momento” de la cantidad fluente al
arco mucho muy corto recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando
la razón del momento al tiempo correspondiente, es decir, la velocidad.
Por lo tanto, “fluente” es la cantidad variable que se identifica como “función”;
“fluxión” es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como
la “derivada”; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se le llama
“momento” que se identifica como la “diferencial”.
El principio establece que: “los momentos de las funciones son entre sí como
sus derivadas”.
La concepción de LEIBNIZ se logra al estudiar
el problema de las tangentes y su inverso,
basándose en el triángulo característico de
BARROW, observando que el triángulo es
semejante al que se forma con la tangente, la
subtangente y la ordenada del punto de
tangencia, así mismo, es igual al triángulo
formado por la normal, la subnormal y la
ordenada del mismo punto. Los símbolos “dx,
dy/dx”, la palabra “derivada” y el nombre de
“ecuaciones diferenciales” se deben a LEIBNIZ.
AGUSTIN LÓUIS CAUCHY matemático
francés, impulsor del cálculo diferencial e
integral autor de la teoría de las funciones de las
variables complejas, basándose para ello en el
método de los límites; las definiciones de
“función de función” y la de “función compuesta”,
también se deben a CAUCHY.
Gottfried Leibniz (1646-1716)
JACOBO BERNOULLI introduce la palabra “función” en el cálculo diferencial y la
simbología “f(x)”
se debe a LEONARD EULER; ambos matemáticos suizos.
JOHN SIMON LHUILIER; el símbolo tiende a “
” lo implantó J.G
LEATHEM.
Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo diferencial se
deben a NEWTON y a LEIBNIZ; sin embargo, por más de 150 años el cálculo
diferencial continúo basándose en el concepto de lo infinitesimal.
En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo
infinitamente pequeño.
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El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años,
consolidándose en una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis
de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo; la
velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos
sociales y económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc.
A NEWTON y a LEIBNIZ se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los
primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del cálculo diferencial,
que se denomina: “Problema de las Tangentes” en el cual hay que hallar las
rectas tangentes a una curva dada.
La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente,
acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual.
Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió
el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler
quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los
métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El
cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el
descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones
especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las
funciones elípticas.
Éste es el desarrollo que las matemáticas han obtenido desde que el hombre vio
la necesidad de contar, hasta nuestros días. Actualmente gran cantidad de
matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas denominadas
matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte de
las ciencias actuales.
EJERCICIOS:
I.- Conteste las siguientes preguntas:
1.-Mencione el significado de la palabra cálculo.
2.- ¿Que bases dieron origen al cálculo diferencial?
3.-Nombre de los fundadores del cálculo diferencial.
4.- Describa la aportación de GOTTFRIED LEIBNIZ al cálculo diferencial.
5.-Escriba los conceptos que estableció NICOLAS ORESME en el estudio de los
máximos y mínimos.
6.-Escriba el estudio de ISAAC BARROW sobre el triángulo característico.
7.- Explique los razonamientos de ISAAC NEWTON sobre el método de las
fluxiones.
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NOTACIÓN Y DEFINICIÓN DE FUNCION
El concepto de función es de suma importancia en la matemática, debido a esto
vamos a estudiar este tema de una manera un poco detallada.
Dos conjuntos de números, por ejemplo, pueden estar relacionados de varias
maneras mediante alguna regla o fórmula determinada; empero nos interesa una
forma particular de relación entre dichos conjuntos, la cual recibe el nombre de
función.
(A continuación, se observa la gráfica de una función f de dos variables independientes).
Definición de función: Una función, denotada por f, es una correspondencia
entre los elementos de dos conjuntos de tal forma que a cada elemento de un
conjunto X se asocia un único elemento de otro conjunto Y.
Al conjunto X se llama dominio de la función y al conjunto Y, contradominio o
dominio de imágenes de la función.
La notación utilizada para indicar que "f es una función de X en Y " es la siguiente:
ƒ: X
Y
Si x € X, el elemento de Y que le corresponda a x se llama imagen de x, se
denota por ƒ (x) y se lee “ƒ de x”.
Función de n – variables independientes: Una función de ƒ de n variables es
un conjunto de pares ordenados (P, w) en el cual dos pares ordenados diferentes
no tienen el mismo primer elemento. P es un punto en el espacio numérico n –
dimensional y w es un # real. El conjunto de todos los valores posibles de P se
llama dominio de ƒ y el conjunto de los posibles valores de w se llama
contradominio, codominio o dominio de imágenes de ƒ.
Una función de ƒ de n variable se puede definir con la siguiente ecuación:
w = ƒ (x 1, x 2,….xn).
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Las variables x 1, x 2,….xn se conocen como variables independientes y w como
variable dependiente.
Gráfica de una función de n – variables:
Si ƒ es una función de n – variables, entonces la gráfica de ƒ es el conjunto de
todos los puntos (x 1, x 2,….xn, w).
FUNCIONES
FUNCIONES ALGEBRAICAS
Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito
de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y
radicación) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f
(x) = k.
En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales,
racionales y las llamadas algebraicas explícitas.
FUNCIÓN POLINOMIAL:
El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.
Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función
polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo
grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado).
FUNCIÓN LINEAL:
La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f
(x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio es el conjunto
de todos los números reales.
La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta. La a representa la
pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen).
Como por dos puntos diferentes, en el plano cartesiano, se puede trazar una sola
línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar
la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean los
interceptos con los ejes del plano. Como ya mencionamos antes, el intercepto
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con el eje y, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen),
se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x.
FUNCIÓN CONSTANTE:
Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función
lineal cuando se hace x = 0. La función constante se define como:
•
•
El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el
codominio es k.
La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta
al eje y en y = k.
FUNCIÓN IDENTIDAD:
La función identidad es una función lineal con a = 1 y b = 0. La función lineal se
define por:
El dominio y el codominio de la función identidad es el conjunto de los números
reales.
La función identidad biseca los cuadrantes I y III.
Observe la siguiente gráfica:
FUNCIÓN CUADRÁTICA:
La forma general de una función cuadrática (función polinomial de segundo
grado) es:
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•
Para trazar la gráfica de una función cuadrática es conveniente construir
una tabla de valores, con por lo menos cuatro valores, uno para el vértice,
dos para los interceptos con el eje x y un cuarto para el intercepto con el
eje y.
FUNCIONES RACIONALES:
Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos
funciones polinomiales. Ésto es, una función racional es de la forma:
Donde P y Q son polinomios
El dominio de la función polinomial consiste de todos los números reales, a
excepción de aquellos para los cuales Q(x) = 0.
A continuación de presenta un ejemplo demostrativo:
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EJERCICIOS:
I.- CONTESTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:
1.- Mencione la definición de función.
2.- ¿Qué son las funciones algebraicas?
3.-Mencione la definición de función cuadrática.
4.- Mencione la definición de función identidad.
5.- ¿A qué se le considera una función constante?
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DOMINIO Y CONTRADOMINIO DE FUNCIONES
DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos
entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función
se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con
uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y
rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del
dominio con dos elementos del codominio.
Figura 1. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos
del condominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del condominio, sin importar si
los elementos del condominio puedan estar relacionados con dos o más del condominio.
Donde se dice que f: A → B (f es una función de A en B, o f es una función que
toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B).
Al definir la función como el conjunto de pares ordenados de números reales
(x, y) tales que dos pares distintos no tienen el mismo primer elemento; al
conjunto de todos los valores de los primeros elementos (x) de los pares
ordenados, se le denomina DOMINIO DE LA FUNCIÓN y se denota por “Df”; al
conjunto de todos los valores de los segundos elementos (y) y de los pares
ordenados, se le denomina RANGO DE LA FUNCIÓN y se denota por “Rf”.
También la función se define como la relación entre dos variables, en donde la
primera (y) depende de la otra variable (x); si a cada valor de “x” le corresponde
un solo valor de “y” se establece que “y es función de x”; así tenemos que “x” es
la variable independiente y “y” es la variable dependiente o función.
El dominio de una función puede describirse de manera explícita, o bien puede
describirse implícitamente mediante una ecuación usada para definir la función.
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El dominio implícito es el conjunto de todos los números reales para los que la
ecuación está definida, en tanto que un dominio definido de manera explícita es
f (x) =
aquel que se da con la función. Por ejemplo, el dominio de la función
x − 1 es el conjunto de todos los valores que x – 1 > 0, el cual es el intervalo [0,
∞)], como se indica en la siguiente figura:
A continuación se presenta un problema demostrativo de dominio y
contradominio:
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EJERCICIOS:
I.- Sí f es una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y con
regla de correspondencia f (x) = 3x² - 2x + 5, hallar:
a)
b)
c)
d)
e)
f (2)
f (-2/3)
f( 2 )
f (x + h)
f (a/5)
II.- En los siguientes ejercicios, encuentre el dominio y rango de la función.
1.- h (x) = - x + 3
2.- ƒ (x) = 1/x
3.- g (x) = x² - 5
4.- g (x) = 2 .
x-1
III.- En los ejercicios siguientes, trace una gráfica de la función y encuentre su
dominio y su rango. Use un medio para construir gráficas con el fin de verificar la
que usted obtuvo.
1.- ƒ (x) = 4 – x
2.- h (x) = x − 1
3.- g (x) = 4/x
4.- ƒ (x) = ½ x³ + 2
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GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES MÁS COMUNES EN CÁLCULO
La gráfica de función y = f (x) consta de todos los puntos
donde x es en el dominio de f. En la figura de abajo observe que:
(x, f (x)),
x = distancia dirigida a partir del eje y
f (x) = distancia dirigida a partir del eje x.
Al trazar una recta vertical sobre la gráfica esta puede cortar a la
función de x solo una vez. Esta observación proporciona
una
prueba
visual conveniente
(llamada
prueba de la recta vertical) para las
funciones de x. Por ejemplo , en la figura de abajo puede verse que la
gráfica no define y como
una función x, por que una recta vertical
corta la gráfica dos veces, en tanto
que en las graficas
si definen
y como una función de x.
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En la figura de abajo se muestran las gráficas de ocho funciones básicas.
TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES
Algunas familias de gráficas tienen la misma forma básica. Por ejemplo,
compare la gráfica de y = x² con las
de las
otras
cuatro funciones
cuadráticas que se muestran en la siguiente figura:
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Cada una de las gráficas de la figura anterior, son una transformación de la
grafica de y = x². Los tres tipos
básicos
de transformaciones ilustrados
por estas gráficas son desplazamientos
verticales,
horizontales
y
reflexiones. La notación de funciones
se
presta bien para describir las
transformaciones de las gráficas en el
plano. Por ejemplo, si f (x) = x² se
considera como la función
original
de la
figura
anterior, las
transformaciones mostradas
pueden representarse por las ecuaciones
siguientes:
Y = f(x) + 2
Desplazamiento vertical hacia arriba en 2 unidades
y = f(x +2)
Desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 2 unidades
y =- f(x)
y =- f(x+3) + 1
Reflexión con respecto al
eje x.
Desplazamiento hacia la izquierda en 3 unidades,
Reflexión respecto al eje x y desplazamiento hacia
arriba en 1.
Tipos básicos de transformaciones
(c >0)
Gráfica original:
y = f(x)
Desplazamiento horizontal c unidades hacia a la derecha: y =- f(x-c)
Desplazamiento horizontal c unidades hacia a la izquierda: y =- f(x+c )
Desplazamiento vertical c unidades hacia abajo:
y =- f(x ) -c
Desplazamiento vertical c unidades hacia arriba:
y =- f(x ) + c
Reflexión (respecto al eje x):
y =- f(x )
Reflexión (respecto al eje y):
y = f-(x )
Reflexión (respecto al origen):
y =- f(- x )
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ANÁLISIS GRÁFICO DE LAS FUNCIONES
LA GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN
En 1637, el matemático francés Descartes revolucionó el estudio de las
matemáticas al unir sus dos campos principales: el álgebra y la geometría. Con
el plano coordenado o cartesiano, los conceptos de la geometría pudieron
formularse analíticamente y los conceptos algebraicos pudieron contemplarse en
forma gráfica. Es de tal magnitud el poder de este enfoque que en menos de un
siglo, se había desarrollado gran parte del cálculo.
El lector puede acrecentar su posibilidad de éxito en el cálculo al seguir el
mismo enfoque, es decir, al contemplar el cálculo desde múltiples perspectivas –
gráfica, analítica y numéricamente- aumentará su comprensión de los conceptos
centrales.
Considere la ecuación 3x + y = 7. El punto (2,1) es un punto de solución de la
ecuación porque ésta se satisface (es verdadera) cuando x se sustituye por 2 y,
y por 1.
Esta ecuación tiene muchas otras soluciones, como (1,4) y (0,7). Para hallar de
manera sistemática otras soluciones, despeje y en la ecuación original.
y = 7 – 3x
Enfoque analítico
Después construya una tabla de valores sustituyendo varios valores de x.
Enfoque numérico
En la tabla puede verse que (0,7), (1,4)
(2,1), (3,-2) y (4, -5) son soluciones de
la ecuación original 3x + y = 7. Como
muchas ecuaciones, ésta tiene un
número infinito de soluciones. El
conjunto de todos los puntos solución
es la gráfica de la ecuación, como se
muestra en la figura de la izquierda P.1.
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EJEMPLO 1
TRAZADO DE UNA GRÁFICA MEDIANTE LA SITUACIÓN DE PUNTOS
Trace la gráfica de y = x² - 2.
Solución: En primer lugar, construya una tabla de valores. Enseguida, grafique
los puntos dados en la tabla.
Por último, una los puntos con una curva suave, como se muestra en la figura de
abajo P.2. Esta gráfica es una parábola.
Una desventaja de situar puntos en una gráfica es que para obtener una idea
acerca de la forma de ésta tal vez sea necesario situar muchos de ellos. Con
sólo algunos puntos, podría representarse la gráfica de manera equivocada. Por
ejemplo, suponga que, para trazar la gráfica de:
y = 1/30 x (39 – 10x² + x⁴) .
Se grafican sólo cinco puntos:
(-3, -3), (-1,-1), (0,0), (1,1) y (3,3), como se muestra en la figura P.3a. A partir
de éstos cinco puntos, podría concluirse que la gráfica es una recta. Sin
embargo, esto no es correcto. Al graficar varios puntos más, puede verse que la
gráfica es más complicada, como se muestra en la figura P.3b.
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INTERSECCIONES DE UNA GRÁFICA CON LOS EJES
En especial son útiles dos tipos de puntos solución, los que tienen cero como su
coordenada en x o los que tienen cero como su coordenada en y. Estos puntos
se conocen como intersecciones con los ejes porque son aquellos en los que
la gráfica se interfecta con el eje x o con el y. El punto (a, 0) es una intersección
con el eje x de la gráfica de una ecuación si es un punto de solución de ésta.
Para hallar las intersecciones de una gráfica con el eje x, haga y igual a cero y
resuelva la ecuación para x. El punto (0. b) es una intersección con el eje y de
la gráfica de una ecuación si es un punto de solución de ésta. Para hallar las
intersecciones de una gráfica con el eje y, haga x igual a cero y resuelva la
ecuación para y.
Es posible que una gráfica no tenga intersecciones con los ejes, o bien, podría
tener varias. Por ejemplo, considere las cuatro gráficas que se muestran en la
figura P.5.
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EJEMPLO 2
DETERMINACIÓN DE LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES X Y Y
Encuentre las intersecciones con los ejes x y y de la gráfica de y = x³ - 4x.
Solución: Para hallar las intersecciones con el eje x, haga y igual a cero y
resuelva la ecuación para x.
x³ - 4x = 0
Haga y igual a cero
x (x – 2) (x + 2) = 0
Factorice
x = 0, 2 o -2
Resuelva para x
Debido a que esta ecuación tiene tres soluciones, puede concluir que la gráfica
tiene tres intersecciones con el eje x:
(0,0), (2,0) y (-2, 0).
Intersecciones con el eje x
Para hallar las intersecciones con el eje y, haga x = 0. Si se hace esto, produce
y=0.
Por consiguiente, la intersección con el eje y es:
(0,0)
Intersección con el eje y
SIMETRÍA DE UNA GRÁFICA
Es útil saber que una gráfica tiene simetría antes de intentar trazarla porque
ayuda a determinar un rectángulo de visión apropiado.
Es posible usar los tres tipos siguientes de simetría para ayudar a trazar la
gráfica de una ecuación. (Véase la figura P.7)
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1.- Una gráfica es simétrica respecto al eje y siempre que (x, y) sea un punto
de la gráfica, y (-x, y) también lo sea. Esto significa que la parte de la gráfica a la
izquierda del eje y es una imagen especular de la parte a la derecha del mismo
eje.
2.- Una gráfica es simétrica respecto al eje x siempre que (x, y) sea un punto
de la gráfica, y (x, -y) también lo sea. Esto significa que la parte de la gráfica que
está arriba del eje x es una imagen especular de la parte que está abajo del
mismo eje.
3.- Una gráfica es simétrica respecto al origen siempre que (x, y) sea un punto de
la gráfica, y (-x, -y) también lo sea. Esto significa que la gráfica permanece
inalterada por una rotación de 180° alrededor del origen.
La gráfica de un polinomio tiene simetría respecto al eje y y si cada uno de los
términos tiene un exponente par (o es una constante). Por ejemplo, la gráfica de:
y = 2x⁴ - x² + 2
Simetría respecto al eje y
Tiene simetría respecto al eje y. De manera análoga, la gráfica de un polinomio
tiene simetría respecto al origen si cada uno de los términos tiene un exponente
impar.
EJERCICIOS:
Trace la grafica de la ecuación e identifique las intersecciones con los ejes.
1.- y = −3x + 2
1
2.- y =
x
1
3.- y = x − 4
2
4.- x = y 3
5.- y = 1 − x 2
6.- y = 6 − x
7.- y = ( x + 3) 2
8.- y = x x + 2
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OPERACIONES CON FUNCIONES
Suma de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo.
Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función
definida por:
Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de
dos funciones reales de variable real f y g, como la función:
Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo
intervalo.
Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo
intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por:
Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo
intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por:
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se
anula.)
Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es
la función definida por:
EJERCICIO:
c Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.
Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.
Resolución:
• La función f + g se define como:
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.
23
• (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7
(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18
(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2
Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el
resultado es el mismo.
Por ejemplo, para la imagen del 2,
2
d Dadas las funciones f (x) = x - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).
Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.
Resolución:
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por
separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.
Resolución:
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por
separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.
f Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.
Resolución:
24
La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2,
donde la función g se anula.
Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f
y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.
Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.
Resolución:
EJERCICIOS:
1. Dada f ( x ) = 3 x − 2 y g ( x ) = x 2 + 4 ; hallar la ecuación para la función
( f + g) .
Dada f ( x ) = 3 x − 2 y g ( x ) = x 2 + 4 ; hallar la ecuación para la función
resultante ( f − g ) .
Dada f ( x ) = 3 x 2 y g ( x ) = x3 ; hallar la ecuación para la función resultante
( f / g).
Dada f ( x ) = 3 x 2 y g ( x ) = x3 ; hallar la ecuación para la función resultante
( f *g).
Dada f ( x ) = 3 x − 2 y g ( x ) = x 2 + 4 ; hallar la ecuación para la función
resultante ( f * g ) .
resultante
2.
3.
4.
5.
25
NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE
LÍMITES: El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye
el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que
el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente
tiende a un número determinado o al infinito.
Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general
vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable
independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.
Ejemplo:
En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x,
en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):
Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda
como por la derecha, tomando valores menores o
mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez
más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que
es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto
entre x y 2 es más pequeña así mismo la diferencia,
en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez
más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la
tabla inferior derecha). O sea, la función se acerca
a un valor constante, 3, cuando la variable
independiente se aproxima también a un valor
constante.
EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE
La noción de límite es fundamental para el estudio del cálculo. Las breves
descripciones de dos problemas clásicos del cálculo –el problema de la recta
tangente y el problema del área- que se presentan enseguida deben de darle
cierta idea de cómo se usan los límites en esta disciplina.
En el problema de la recta tangente, se da
una función f y un punto P de su gráfica
y se pide hallar una ecuación de la recta
tangente a ésta en ese punto P, como se
muestra en la figura de la izquierda.
Excepto para los casos que comprenden
una recta tangente vertical, el problema de
26
hallar la recta tangente en un punto P es equivalente a hallar la pendiente de esa
recta en P. Usted puede obtener una aproximación de esta pendiente usando una
recta que pase por el punto de tangencia y un segundo punto de la curva, como
se muestra en la figura siguiente:
Conforme el punto Q se aproxima al punto P, la pendiente de la recta secante
tiende a la pendiente de la recta tangente, como se muestra en la figura (b).
Cuando existe esa “posición límite”, se dice que la pendiente de la recta tangente
es el límite de la pendiente de la recta secante.
Esta recta se llama recta secante. Si P (c, f (c)) es el punto de tangencia y
Es un segundo punto de la gráfica de f, la pendiente de la recta secante que
pasa por estos dos puntos se expresa por
EL PROBLEMA DEL ÁREA
En el problema de la recta tangente se vio como puede aplicarse el proceso de
hallar el límite a la pendiente de una recta con el fin de hallar la pendiente de una
curva general. Un segundo problema clásico del cálculo es encontrar el área de
una región plana acotada por las gráficas de funciones. Este problema también
puede resolverse con el proceso de hallar el límite. En tal caso, este proceso se
aplica al área de un rectángulo para hallar el área de una región general.
27
Como un ejemplo sencillo, considere la
región limitada por la gráfica de la función y =
f (x), el eje x y las rectas verticales x = a y x
= b, como se muestra en la figura 1.3
Es posible obtener una aproximación del área de la región con varias regiones
rectangulares, como se muestra en la figura 1.4. A medida que se incrementa el
número de rectángulos, la aproximación tiende a ser cada vez mejor debido a que
la cantidad de área no cubierta por los rectángulos disminuye. La meta es
determinar el límite de la suma de las áreas de los rectángulos conforme el
número de rectángulos aumenta sin cota.
INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES
Suponga que se le pide trazar la gráfica de la función f dada por:
28
Para todos los valores diferentes de x = 1, es posible aplicar técnicas estándar
de trazado de curvas. Pero en x = 1 no resulta claro qué puede esperarse. Para
formarse una idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x = 1, se
pueden utilizar dos conjuntos de valores de x: uno que se aproxime a 1 desde la
izquierda y el otro desde la derecha, como se muestra en la tabla:
Cuando se traza la gráfica de la función,
parece que la gráfica de f es una parábola
que tiene una abertura en el punto (1,3),
como se muestra en la figura 1.5. Aunque x
no puede ser igual a 1, usted puede
moverse arbitrariamente cerca de 1 y, como
resultado, f (x) se mueve, también de
modo arbitrario, cerca de 3. Si utiliza la
notación de límites, se puede escribir
Esto se lee como “el límite de
tiende a 1, es 3.
f
(x), cuando x
Esta explicación conduce a una descripción informal de límite. Si f (x) se hace
arbitrariamente cercana a un solo número L cuando x se aproxima a c desde
cualquiera de los dos lados, el límite de f (x), cuando x tiende a c, es L. Este
límite se escribe como:
29
Ejemplo 1
EVALUACIÓN NUMÉRICA DE UN LÍMITE
Solución: En la tabla se listan los valores de f (x) para varios valores x cercanos
a 0.
A partir de los resultados que se muestran en la tabla, puede estimar el límite
como 2. Este límite se esfuerza por la gráfica de f (véase la figura 1.6)
En el ejemplo 1, observe que la función no está definida en x = 0 y, sin
embargo, f (x) parece estar aproximándose a un límite cuando x tiende a 0. Ésto
sucede a menudo y es importante darse cuenta de que la existencia o la
30
inexistencia de f (x) en x = c no tiene relación con la existencia del límite de f
(x) cuando x tiende a c.
Ejemplo 2
DETERMINACIÓN DE UN LÍMITE
Encuentre el límite de f (x) cuando x tiende a 2 f se define como:
Solución: Debido a que f (x) = 1 para todo x diferente de x = 2, puede concluir
que el límite es 1, como se muestra en la figura 1.7.
Por tanto, puede escribir
El hecho de que f (2) = 0 no guarda relación con la existencia o el valor del
límite cuando x tiende a 2.
Por ejemplo, si la función se definiera como:
el límite sería el mismo.
31
LÍMITES QUE NO EXISTEN
En los tres ejemplos siguientes se examinarán algunos límites que no existen.
Ejemplo 3
COMPORTAMIENTO QUE DIFIERE DESDE LA DERECHA Y DESDE LA
IZQUIERDA.
Demuestre que el límite no existe.
Solución: Considere la gráfica de la función f
(x) = |x| /x. En la figura 1.8 puede verse que,
para los valores positivos de x:
y, para los valores negativos de x:
Ésto significa que no importa cuán cerca
esté x de 0, habrá valores de x positivos
negativos que producirán f (x) = 1 y f (x) = 1. Específicamente, si  (la letra griega delta
minúscula) es un número positivo, entonces
para los valores de x que satisface la
desigualdad 0 < | x | < , usted puede clasificar los valores de
| x | / x como
sigue:
Esto implica que el límite no existe.
32
Ejemplo 4
COMPORTAMIENTO NO ACOTADO
Analice la existencia del límite
Solución: Sea f (x) = 1/x². En la figura 1.9 puede ver que, cuando x tiende a 0
desde la derecha o desde la izquierda, f (x) crece sin cota. Esto significa que, al
elegir x suficientemente cercano a 0, puede forzar a que f (x) sea tan grande
como desee. Por ejemplo, f (x) será mayor que 100 si elige que x esté a menos
de 1/10 de 0. Esto es,
De manera análoga, puede forzar a que f (x) sea mayor que 1 000 000, como
sigue:
En virtud de que f (x) no se está aproximando a un número real L cuando x
tiende a 0, puede concluir que el límite no existe.
33
Ejemplo 5
COMPORTAMIENTO OSCILATORIO
Examine la existencia del límite
Solución: Sea f (x) = sen (1/x). En la figura
1.10 puede ver que, cuando x tiende a 0, f (x)
oscila entre -1 y 1. Por tanto, el límite no existe
porque no importa cuán pequeño elija ; es
posible elegir x1 y x2 a menos de  unidades de
0 tales que sean (1/x1) = 1 y sen (1/x2) = -1, y
como se indica en la tabla:
Existen muchas otras funciones interesantes que tienen un comportamiento
inusual en relación con el proceso de hallar el límite. Una que se cita con
frecuencia es la función de Dirichlet:
34
CÁLCULO DE LÍMITE DE FUNCIONES
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.- Al explicar la definición de límite se utilizaron
sin mención formal, algunas propiedades fundamentales de la noción de los
límites; una relación de las mismas se presenta a continuación.
1.- Si “c” es una constante, el límite de de “c” cuando “x” tiende a “a”, es igual a
“c”.
35
CÁLCULO DEL LÍMITE DE FUNCIONES
Existen varios casos para calcular el límite de una función; en los ejemplos
anteriores se ha aplicado el primer caso que establece:
CASO I.- Sí la función dada, está totalmente simplificada, se sustituye
directamente el valor a que tiende la variable independiente en la función, dando
ligar al límite buscado.
Al ir aplicando las propiedades de los límites en la determinación del límite de
funciones se ha observado que al sustituir directamente la variable independiente
de la función, por el valor a que tiende dicha variable, se encuentra el límite de la
función.
EJEMPLOS:
36
FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (0 / 0)
Al calcular el límite de un cociente, se ha observado que:
a).- Sí el numerador y el denominador tienen límite distinto de cero, el límite del
cociente es igual al cociente de los límites.
b).- Sí el límite del numerador es cero y el del denominador es diferente de cero,
el límite del cociente es igual a cero.
c).- Sí el límite del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, el
cociente no tiene límite y se establece que tiende a más o menos infinito ( ± ∞ ),
según el caso.
d).- Sí los límites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se
tiene la forma (0 / 0), que se denomina indeterminada ya que cualquier valor
numérico que se ponga como cociente cumple con la condición de que
multiplicado por el divisor da lugar al dividendo.
La indeterminación se puede eliminar mediante operaciones algebraicas
sencillas, por ejemplo:
37
De este ejemplo se obtiene:
CASO III.- Para calcular el límite de una función dada, es necesario simplificarla
mediante la racionalización del numerador o del denominador, antes de sustituir
el valor de la variable independiente directamente en la expresión, ya que el no
hacerlo, da lugar a la indeterminación (0, 0)
EJEMPLOS:
Uno de los límites más importantes en el estudio del cálculo diferencial para
cualquier función se determina por la fórmula:
38
EJEMPLOS:
39
INFINITO EN LÍMITES
Sí el valor de una función llega a crecer sin límite cuando “x” tiende a “a”, se
establece que la función se hace infinita, es decir:
Sí la función crece sin límite POSITIVAMENTE cuando la variable tiende a “a”,
la función se hace infinita positivamente; si la función decrece sin límite
negativamente, cuando la variable tiende a “a”, la función se hace infinita
negativamente, es decir:
EJEMPLO:
Sí una función tiende hacia un límite cuando la variable independiente tiende a
infinito, es decir:
De lo anterior se concluye en que existen ciertos límites que generalmente se
presentan cuando la variable “x” tiende a cero ó al infinito, los cuales se enuncian
a continuación:
40
FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (∞ /∞)
Estas formas se presentan al hacer que la variable “x” tienda al infinito en el
cociente de polinomios, por ejemplo.
a).- Sí el numerador tiende a infinito y el denominador tiene límite, el cociente
tiende a infinito.
b).- Sí el numerador tiene límite y el denominador tiende a infinito, el cociente
tiende a cero.
c).- Sí los límites del numerador y del denominador son ambos iguales a infinito,
se tiene la forma indeterminada (∞ /∞).
La indeterminación se puede eliminar dividiendo ambos términos por la variable
de máxima potencia que interviene en la expresión; por ejemplo:
Lo anterior da lugar:
Cuando se desea obtener el límite de un cociente de polinomios y sí la variable
independiente tiende a infinito, es este caso es necesario dividir el numerador y
denominador por la variable de mayor exponente que entra en el cociente, antes
de sustituir directamente el valor a que tiende dicha variable.
EJEMPLOS:
41
EJERCICIOS:
CÁLCULO DE LÍMITE DE FUNCIONES
I.- Calcule el límite de funciones de los siguientes ejercicios:
1.- lím (x + 3)
x→2
2.-lím (2x + 5)
x→-3
3.- lím (1/2x – 1)
x→ -4
4.- lím (2/3x + 9)
x→1
5.- lím 3
x→6
6.- lím (-1)
x→2
7.- lím
| x – 2|
x→ -2
8.- lím |x – 3|
x→3
9.- lím (x² + 1)
x→1
FORMA INDETERMINADA (0/0)
II.- Resuelva los siguientes ejercicios de acuerdo a la forma indeterminada
(0/0).
1.- lím
x→5
2.- lím
x→2
3.- lím
x→-3
4.- lím
x→4
5.- lím
x→0
x - 5
x² - 25
2 - x
x² - 4
x² + x - 6
x² - 9
x² - 5x + 4
x² - 2x - 8
x+5−
x
5
42
2+ x−
x
6.- lím
x→0
7.-lím
x→4
2
x+5
x -4
FORMA INDETERMINADA (∞/∞)
III.- Resuelva los siguientes límites que presentan la forma indeterminada de
(∞/∞).
1.- lím
t→∞
2.- lím
x→∞
3.- lím
x→∞
4.- lím
x→∞
5.- lím
x→∞
6.- lím
x→∞
2t³ - 3t² + 4
5t – t² - 7t³
7 – 3x²
5x + 9x²
6x + 2
3x + 5
8x³ - 3x² + 1
4x³ + 5x - 7
.
2x² + 3 .
4 + x – 5x²
4x + 2
8x - 3
43
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
CRITERIOS DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO
Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen
las tres condiciones siguientes:
Si una cualesquiera de estas condiciones no se satisfacen la función es
discontinua para el valor de x=a.
Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua
en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a
se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La
discontinuidad puede ser eliminable o esencial.
Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de
"hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un
"hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).
Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad
de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes;
y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es
infinito.
44
TEOREMAS
DE
CONTINUI DAD
Noción de continuidad de una función: una función es continua si su gráfica
presenta la ausencia de vacíos o saltos, es decir, que se traza sin despegar el
lápiz del papel.
Una función es continua en un intervalo abierto o cerrado, cuando es continua
en todos sus puntos, es decir, es continua cuando lo es en todos los puntos de su
dominio de definición; toda función polinomial es función continua, también lo son
expresiones como ex , Sen x y Cos x.
Una función es continua sobre un intervalo cerrado (a,b) si:
1. f(x) es continua por la derecha en a.
2. f(x) es continua en cada punto del intervalo abierto (a,b).
3. f(x) es continua por la izquierda en b.
Propiedades de las funciones continuas.
Si f(x) y g(x) son continuas para x=a, las funciones siguientes son también
continuas en a.
1. f(x) +- g(x).
2. c f(x), donde c es una constante arbritraria.
3. f(x) * g(x).
4. f(x) / g(x). siempre que g(a) ≠ 0
5. f (g(x)), suponiendo que f(x) es continúa en g(x).
45
La continuidad de una función
la podemos identificar de dos formas:
gráficamente, la gráfica de la función debe ser ininterrumpida, es decir, sin
despegar el lápiz; y otra forma es verificando que se cumplan las tres
condiciones para la continuidad de funciones.
EJERCICIO:
ESTUDIO DE LA DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
RESOLUCIÓN:
Para probar la discontinuidad de la función en x0 = 3 hay que ver cuál de
las tres condiciones de continuidad no se cumple.
En este caso es la primera, ya que no existe el límite de la función
cuando x tiende a 3; los límites laterales no coinciden:
Por lo tanto, la función es discontinua en x0 = 3
RESOLUCIÓN:
En este caso existe el límite de la función cuando x tiende a 3, y es 1; los
dos límites laterales coinciden:
Sin embargo, la función no está definida en x0 = 3; no existe f (3).
Por tanto, la función es discontinua en x0 = 3.
46
RESOLUCIÓN:
Existe el límite de la función cuando x tiende a 2, ya que los dos límites
laterales coinciden:
La función está definida para x = 2 y vale 5: f (2) = 5.
Sin embargo, el valor del límite de la función cuando x ® 2 no coincide
con f (2):
Por tanto, la función es discontinua en x0 = 2
EJERCICIOS:
I.- Determine si la función es continua o discontinua.
1.- f (x) = 4x² + 8x + 4
2.- f (x) = 1 .
x–1
3.- f (x) =
x-5 .
x² - 25
4.- f (x) = x² - 49 .
x-7
5.- f (x) = x + 4 .
x² + x - 12
47
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos que comienzan a
estudiar la derivada de una función es la comprensión de su significado
geométrico. Mientras que el cálculo de derivadas les suele resultar sencillo e
incluso atractivo, la aplicación de la interpretación geométrica de la derivada en
un punto se convierte en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que
en muchos casos no han conseguido adquirir el concepto con claridad.
La derivada como pendiente de una curva: La pendiente de una recta que pasa
por dos puntos cualesquiera M(x1 , y1) y N (x2 , y2) se determina por:
M = tg θ = Δy/Δx = y2 – y1 / x2 – x1.
La pendiente de una recta es constante en cualquiera de sus puntos que la
constituyen, es decir, tiene la misma pendiente en M que en N.
Para una curva que no es recta, la pendiente no es constante en ningún punto de
la curva, es decir, la pendiente varia de un punto a otro punto.
La pendiente de la curva la podemos calcular con la pendiente de la recta
tangente a la curva en dicho punto. La pendiente de la curva f(x) es la misma
pendiente de la recta tangente en dicho punto.
¨ La pendiente de la recta tangente es el valor límite de las pendientes de las
rectas secantes, cuando N tiende a M¨.
La pendiente de la recta secante por M y N es:
M sec = Δy/Δx = (f(x + Δx) – f(x))/ Δx.
Cuando N tiende a M, es decir, Δx → 0 , la pendiente de la recta tangente es:
M tg = lim Δy/Δx = lim (f(x + Δx) – f(x))/ Δx.
Δx → 0
Δx → 0
La pendiente de una curva en un punto: En un punto de coordenadas ( x, f(x)) la
pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente
en dicho punto y se determina por:
M = lim Δy/Δx = lim (f(x + Δx) – f(x))/ Δx.
Δx → 0
Δx → 0
48
Suponiendo que el límite existe, este límite nos permite definir la ¨ derivada ¨,
como un elemento fundamental del cálculo diferencial.
El valor de la derivada de una función en un punto p(x, y), se representa
geométricamente por la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.
La derivada de una función en una variable, es el límite del cociente del
incremento de la función al incremento de la variable independiente, cuando este
tiende a cero. Si este límite existe se establece que f(x) es diferenciable o que
tiene derivada.
M = tg θ = Δy/Δx = y2 – y1 / x2 – x1
Pendiente de la tangente.
M = lim Δy/Δx = lim (f(x + Δx) – f(x))/ Δx
Δx → 0
Δx → 0
Notación de la derivada: la derivada de f(x), se representa utilizando el símbolo
f ´(x) o el símbolo dy/dx. A continuación algunas formas de representar la
derivada:
F ´(x) = dy/dx = y´=d(f(x))/dx = Dx f(x).
49
EJEMPLOS:
50
51
52
EJERCICIOS:
I.- Resuelva los siguientes ejercicios de acuerdo a la interpretación de la
derivada:
53
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO.
VELOCIDAD PROMEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km.,
en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la
velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo
empleado.
Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de
50 Km. /h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar
0.
Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el
velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad
instantánea.
Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los
experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caída libre, la
posición S del objeto, como función del tiempo viene dada por:
: S en pies t en segundos
Así, en el primer segundo, cae 16 pies. En el segundo segundo, cae 16(2)2 = 64
pies.
En el intervalo de t =1 seg a t =2 seg, P cae (64 – 16) pies.
Así que su velocidad promedio será:
En el intervalo de t =1 seg. a t =1.5 seg., P cae (16(1.5)2 – 16) pies.
Su velocidad promedio será de:
En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t =1 seg. A t =1.1 seg., y de t =1
seg. A t =1.01 seg., P caerá respectivamente: (16(1.1)2 – 16) pies y (16(1.01)2 –
16) pies.
54
Sus velocidades promedio serán respectivamente:
Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los
intervalos de tiempo cada vez mas cortos pero próximos a 1 seg. Cuanto más nos
aproximamos a t = 1 seg., mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea)
en el instante t = 1 seg.
Los números: 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedias, hacen
"sospechar" que la velocidad instantánea es de 32 pies/seg.
El ejemplo anterior nos permite definir de una manera mas precisa los conceptos
de velocidad promedia y de velocidad instantánea.
Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma
que su posición S en cada instante t es una función S = f (t).
En el instante t = c, el objeto está en f (c).
En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) (Ver fig. 9.7.)
Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es:
Se define la velocidad instantánea V en el instante t = c así:
55
La interpretación física de la derivada.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, dónde estará un observador que medirá la
posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está
a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
POSICIÓN
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función
x=f (t).
DESPLAZAMIENTO
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más
tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil
se ha desplazado Δx=x'-x en el intervalo de tiempo Δt=t'-t, medido desde el
instante t al instante t'.
VELOCIDAD
La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por:
Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de
tiempo Δt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Δt tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
56
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente
ejercicio:
EJERCICIO
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en
cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en
segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
•
•
•
•
•
•
2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s) x’ (m)
Δx=x'-x
Δt=t'-t
m/s
3
2.1
2.01
2.001
2.0001
...
46
23.05
21.2005
21.020005
21.00200005
...
25
2.05
0.2005
0.020005
0.00200005
...
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
...
0
25
20.5
20.05
20.005
20.0005
...
20
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media
tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media
calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
•
•
•
•
La posición del móvil en el instante t es: x=5t2+1
La posición del móvil en el instante t+Δt es: x'=5(t+Δt)2+1=5t2+10tΔt+5Δt2+1
El desplazamiento es: Δx=x'-x=10tΔt+5Δt2
La velocidad media <v> es:
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo
de tiempo tiende a cero.
57
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada
de la posición x respecto del tiempo.
En el instante t=2 s, v=20 m/s
ACELERACIÓN
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos
que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del
móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente
entre el cambio de velocidad Δv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha
tardado en efectuar dicho cambio, Δt=t'-t.
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el
intervalo Δt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.
EJEMPLO:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la
expresión de:
•
•
La velocidad.
La aceleración del móvil en función del tiempo.
58
EJERCICIOS:
I.- Se lanza una pelota que tiene una trayectoria definida por la ecuación
y = x – 0.02x², determinar:
1.- La distancia horizontal total que recorre la pelota.
2.- La gráfica de la trayectoria.
3.- Por medio de la simetría de la trayectoria. ¿Cuál es el valor de x para que la
pelota alcance su máxima altura?
4.- La ecuación que indica la razón de cambio instantáneo de la altura de la
pelota respecto al cambio horizontal en x = 0, 10, 15, 25, 30, 50.
5.- ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo de la altura cuando la pelota alcanza
su altura máxima?
59
REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN (REGLA DE LOS CUATRO
PASOS)
Como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función y la derivada
de una función se definen por el mismo límite, por lo tanto se puede calcular la
derivada o coeficiente diferencial por la regla de los cuatro pasos, la cual se
denomina “regla general para la derivación” y comprende los siguientes pasos:
1.- En la función dada y = f (x), se sustituye x por (x + Δx), determinándose el
nuevo valor de la función (y + Δy).
2.- Se resta el valor de la función dada del nuevo valor de la función,
obteniéndose el incremento de la función (Δy).
3.- El incremento de la función (Δy), se divide por el incremento de la variable
independiente (Δx).
4.- Se determina el límite de esta razón cuando el incremento de la variable
independiente tiende a cero (Δx
0); el límite resultante es la derivada de la
función dada.
REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
Primer paso.- Se sustituye en la función x por x + Δx, y se calcula el nuevo valor
de la función y + Δy.
Segundo paso.- Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene
Δy (incremento de la función).
Tercer paso.- Se divide Δy (incremento de la función) por Δx (incremento de la
variable independiente).
Cuarto paso.- Se calcula el límite de este cociente cuando Δx (incremento de la
variable independiente) tiende a cero. El límite así hallado es la derivada
buscada.
EJEMPLO.- Hallar la derivada de la función:
y = 3x2 + 5
(Primer paso) y + Δy = 3(x + Δx)2 + 5
= 3x2 + 6x.Δx + 3(Δx)2 + 5
(Segundo paso) y + Δy = 3x2 + 6x.Δx + 3(Δx)2 + 5
-y
= - 3x2
-5
60
Δy = 6x.Δx + 3(Δx)2
(Tercer paso) Δy = 6x + 3Δx
Δx
(Cuarto paso) En el segundo miembro hagamos Δx ---->0. Y resulta:
dy = 6x.
dx
Ejercicios propuestos para ser desarrollados por medio de la regla general.
Resuelva
Resultado
y = x3 - 2x + 7
3x2 - 2
y = c / x2
q=
2/x+1
- 2c / x3
- 2 / (x + 1)2
s = t + 4/t
- 4/t2
y = 1/1-2x
2/(1 - 2x)2
Importancia de la regla general.- La regla general para derivación es fundamental,
puesto que se deduce directamente de la definición de derivada, y es muy
importante familiarizarse con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la
regla en la resolución de problemas es largo o difícil; por consiguiente, se han
deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para
derivar ciertas formas normales que se presentan con frecuencia.
(Es importante no solo aprender de memoria cada fórmula sino también poder
enunciar en palabras la regla correspondiente).
Fórmulas de Derivación
I
dc = 0
dx
La derivada de una constante es cero.
II
dx = 1
dx
La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.
61
III
La derivada de la suma algebraica de un número finito n de funciones es
igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.
IV
La derivada del producto de una constante por una función es igual al
producto de la constante por la derivada de la función.
EJERCICIOS:
I.- De acuerdo a la regla general para la derivación, resuelva los siguientes
ejercicios:
1.- Hallar la derivada de la función y = x² + 3
2.- Hallar la derivada de la función y = 8x – 5
3.- Hallar la derivada de la función y = 2x³ - 3x + 9
4.- Hallar la derivada de la función y = 2x²
5.- Hallar la derivada de la función y = 4
x²
6.- Hallar la derivada de la función y = x² - 3x
7.- Hallar la derivada de la función y = x + 2
x
8.- Hallar la derivada de la función y = ax³
62
REGLAS O FÓRMULAS DE DERIVACIÓN PARA LAS FUNCIONES
ALGEBRAICAS
El proceso de calcular la derivada de una función en forma directa a partir de su
definición, es decir, estableciendo la diferencia y el cociente
f (x + h) – f (x)
h
y evaluando su límite, puede consumir tiempo y ser tedioso. Vamos a desarrollar
instrumentos que nos permitan acortar el largo proceso (de hecho, eso nos
permitirá calcular derivadas de las funciones más complicadas en forma casi
instantánea).
Recuérdese que la derivada de una función f es otra función f ´. Por ejemplo,
si f (x) = x² es la fórmula de f, entonces f ´ (x)= 2x es la fórmula de f ´ .
Tomar la derivada de f (diferenciar f ) consiste en operar sobre f para
producir f ´ . Con frecuencia usaremos la literal Dx para indicar esta operación.
Por lo tanto, escribiremos Dx f = f ´, Dx f (x), o en el ejemplo mencionado,
Dx (x²) = 2x.
Todos los teoremas siguientes se han establecido tanto en la notación funcional
como con la notación del operador Dx.
REGLAS DE LAS FUNCIONES CONSTANTE Y POTENCIA
La gráfica de la función constante f (x)
= k es una recta horizontal (figura 1) que
por lo tanto, tiene pendiente cero en
todas partes.
Ésta es una forma de comprender
nuestro primer teorema.
Teorema A
(Regla de la función constante.) Si f (x) = k, donde k es una constante, para
cualquier x es f ´(x) = 0, es decir,
Dx (k) = 0
63
Demostración:
La gráfica de f (x) = x es una recta que pasa por el origen con pendiente 1
(figura 2); podríamos esperar que la derivada de esta función sea 1 para todo x.
Teorema B
(Regla de la función identidad.) Si f (x) = x, entonces f ´ (x) = 1; es decir,
Dx (x) = 1
Demostración:
Antes de establecer nuestro siguiente teorema, recordemos un poco de
álgebra: cómo elevar a potencias un binomio.
(a + b) ² = a² + 2ab + b²
(a + b) ³ = a³ + 3ª² b + 3ab² + b³
(a + b) ⁴ = a⁴ + 4a³ b + 6a² b² + 4ab³ + b⁴
(a + b) n = an + nan-1b + n (n – 1) an-2 b² + … + nabn-1 + bn
64
2
Teorema C
(Regla de potencias.) Si f (x) = xn, donde n es un entero positivo, entonces
f ´(x) = nxn-1, es decir,
Dx (xn) = nxn-1
Demostración:
Dentro de los paréntesis, todos los términos, con excepción del primero, tienen a
h como factor, por lo que cada uno de ellos tiene como límite cero cuando h
tiende a cero. Por lo tanto,
f ´(x) = nxn-1 .
Como ilustraciones del teorema C, nótese que:
Dx (x9) = 9x8,
Dx (x³) = 3x²,
Dx (x100) = 100x99
Dx, es un operador lineal. El operador Dx se comporta muy bien cuando se aplica
múltiplos constantes de funciones o sumas de ellas.
Teorema D
(Regla del múltiplo constante.) Si k es una constante y f es una función
diferenciable, entonces (k f) ´(x) = k . f ´(x). Es decir,
Dx
k.
f (x).
= k . Dx f (x)
65
En palabras, esto se dice que se puede pasar una constante k a través del
operador Dx.
Demostración:
El penúltimo paso resultó crítico. Pudimos pasar a k a través del signo de límite
por el teorema principal de límites. A continuación se presenta un ejemplo que
ilustra este resultado:
Teorema E
(Regla de la suma.) Si f y g son funciones diferenciables, entonces (f + g)
´(x) = f ´(x) + g´(x). Es decir,
Dx
f (x) + g (x).
= Dx f (x)
+ Dx g (x)
En palabras, esto dice que la derivada de una suma es la suma de las
derivadas.
Demostración:
66
Teorema F
(Regla de la diferencia.) Si f y g son funciones diferenciables, entonces (f g) ´(x) = f ´(x) - g´(x). Es decir,
Dx
f (x) - g (x).
= Dx f (x)
- Dx g (x)
Demostración:
EJEMPLO 1
Encuentre las derivadas de 5x² + 7x – 6 y 4x6 – 3x5 – 10x² + 5x + 16.
Solución:
Para encontrar la siguiente derivada, observe que los teoremas sobre sumas y
diferencias se extienden a cualquier número finito de términos. Entonces,
67
El método del ejemplo 1 nos permite encontrar la derivada de cualquier
polinomial. Si se conoce la regla de potencias y se hace lo que procede con
naturalidad, es casi seguro que se obtenga el resultado correcto. Si se puede
escribir la respuesta sin ningún paso intermedio, tanto mejor.
Teorema G
(Regla del producto.) Si f y g son funciones diferenciables, entonces (f . g)
´(x) = f ´(x) g´(x) + g(x) f ´(x) . Es decir,
Dx
f (x) g (x)
= f (x) Dx g (x)
+
g (x) Dx f (x).
Este resultado se memoriza en palabras así: La derivada de un producto de dos
funciones es igual a la primera por la derivada de la segunda más la segunda por
la derivada de la primera.
Demostración:
La deducción recién propuesta descansa primero en el truco de sumar y restar
una misma cosa, en concreto, f (x + h) g (x). En seguida, muy al final, usamos el
hecho de que:
68
Teorema H
(Regla del cociente.) Sean f y g dos funciones diferenciables, y g (x) ≠
0.
Entonces,
Demostración:
EJEMPLO
2
69
REGLAS O FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
I
II
III
dc = 0
dx
dx = 1
dx
d
( u + v – w ) = du + dv - dw
dx
dx
dx
dx
IV
d ( cv ) =c. dv
dx
dx
V
d (uv) = u dv + v du
dx
dx
dx
VI
d (vn) = nvn-1 dv
dx
dx
VIa
d (xn ) = nxn - 1
dx
d ( u ) = v.du
dx v
dx
VII
- u.dv
dx
2
v
VIIa
d ( u ) = du
dx c
dx
c
.
.
La derivada de una constante es cero.
La derivada de una variable con respecto
a si misma es la unidad.
La derivada de la suma algebraica de un
numero finito n de funciones es igual a la
suma algebraica de las derivadas de las
funciones.
La derivada del producto de una
constante por una función es igual al
producto de la constante por la derivada
de la función.
La derivada de un producto de dos
funciones es igual al producto de la
primera función por la derivada de la
segunda, más el producto de la segunda
por la derivada de la primera.
La derivada de la potencia de una
función de exponente constante es igual
al producto del exponente por la función
elevada a un exponente disminuido en una
unidad y por la derivada de la función.
Cuando v = x se convierte en la expresión
anterior.
La derivada de un cociente de funciones
es igual al producto del denominador por
la derivada del numerador, menos el
producto del numerador por la derivada
del denominador, todo dividido por el
cuadrado del denominador.
La derivada del cociente de una función
dividida por una constante es igual a la
derivada de la función dividida por la
constante.
70
VIII
IX
dy = dy . dv siendo y función de v
dx dv dx
dy = 1 siendo y función de x
dx dx
dy
EJERCICIOS:
I.- De acuerdo a la regla de derivación para las funciones algebraicas, solucione
los siguientes ejercicios:
1.- y = 8
2.- g(x) = 3x - 14
3.- y = x6
4.- y = t² + 2t - 32
5.- y = 1/x7
6.- y = 8 – x³
7.- ƒ (x) = x + 1
8.- ƒ (x) = 2x³ - x² + 3x
9.- g (x) = x² + 4x³
71
REGLA DE LA CADENA
La gran mayoría de las funciones que se estudian en cálculo están
construidas por una composición de funciones, de aquí la importancia de conocer
un método sencillo para diferenciar dichas funciones; el método utilizado para
hallar la derivada de una función compuesta se conoce como: "regla de la
cadena".
Cuando se aplica la regla de la cadena es más práctico utilizar el símbolo Dx
para indicar las derivadas de las funciones interiores.
EJEMPLO 1
72
Muchas veces sucede que hay que aplicar la regla de la cadena más de una vez
para derivar una función compuesta dada.
EJEMPLO 2
La regla de la cadena, se refiere a las funciones compuestas y añade una
sorprendente variedad a las reglas. Por ejemplo, compare las funciones
siguientes. Las de la izquierda pueden derivarse sin la regla de la cadena; las de
la derecha se manejan mejor con esa regla.
Básicamente, la regla de la cadena expresa que si y cambia dy/du veces tan
rápido como u, y u cambia du/dx veces tan rápido como x, entonces y cambia
(dy/du) (du/dx) veces tan rápido como x.
EJEMPLO 1
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA
Se construye un juego de engranes, como
se muestra en la figura de la izquierda, de
tal modo que el segundo y el tercero estén
sobre el mismo eje. A medida que gira el
primer eje, impulsa el segundo, el cual, a
su vez, impulsa al tercero. Sean y, u y x la
cantidad de revoluciones por minuto del
primero,
segundo
y
tercer
ejes,
respectivamente.
Encuentre dy/du, du/dx y dy/dx, y demuestre que,
73
Solución: Debido a que la circunferencia del segundo engrane es tres veces la del
primero, este último debe realizar tres revoluciones para hacer que el segundo
gire una vez. De manera análoga, el segundo eje debe realizar dos revoluciones
para hacer girar una vez al tercero, y usted puede escribir:
Si se combinan estos dos resultados, usted sabe que el primer eje debe realizar
seis revoluciones para hacer girar una vez al tercero. Por tanto, puede escribir:
En otras palabras, la razón de cambio de y con respecto a x es el producto de
la razón de cambio de y con respecto a u y la razón de cambio de u con respecto
a x.
En el ejemplo 1 se ilustra un caso sencillo de la regla de la cadena. Enseguida
se enuncia la regla general:
Regla general:
Si y = f (u) es una función diferenciable de u y u = g(x) es una función
diferenciable de x, entonces y = f g(x) es una función diferenciable de x y.
dy = dy . du
dx du dx
Demostración: Sea h (x) = f (g (x). Entonces, si se aplica la forma alternativa de
la derivada, es necesario demostrar que, para x = c,
Una consideración importante en esta demostración es el comportamiento de
cuando x tiende a c. Se presenta un problema si existen valores de x, diferentes
de c, tales que g (x) = g (c). Suponga que g (x) ≠ g (c) para los valores de x
diferentes de c. En esta demostración, se aplica la técnica de multiplicar por y y
dividir entre la misma cantidad (diferente de cero). Observe que, en virtud de que
g es diferenciable, también es continua y se concluye que g (x)
g (c) cuando
x
c.
74
Cuando se aplica la regla de la cadena, es útil pensar que la función
compuesta f ◦ g tiene dos partes: una interior y otra exterior:
La derivada de y = f (u) es la derivada de la función exterior (en la función
interior u) multiplicada por la derivada de la función interior:
EJEMPLO 2
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA
EJEMPLO 3
USO DE LA REGLA DE LA CADENA
Encuentre dy/dx para y = (x² + 1)³
Solución:
Para esta función, puede considerar la función interior como u = x² + 1
75
REGLA GENERAL DE LA POTENCIA
La función del ejemplo 3 es un ejemplo de uno de los tipos más comunes de
funciones compuestas, y = [u (x)] n. La regla para derivar este tipo de funciones
se conoce como regla general de la potencia, y es un caso especial de la regla
de la cadena.
Si y = [u (x)] n , donde u es una función diferenciable de x y n es un número
racional, entonces:
dy = n[u (x)] n-1 du
dx
dx
Demostración:
Debido a que y = u n, se aplica la regla de la cadena para obtener,
EJEMPLO 4
APLICACIÓN DE LA REGLA GENERAL DE LA POTENCIA
Encuentre la derivada de f (x) = (3x – 2x²)³
Solución:
76
EJERCICIOS:
I.- De acuerdo a la regla de la cadena, encuentre la derivada de las siguientes
funciones.
1.- y = (2x – 7)³
2.- y = (2x³ + 1)²
3. g(x) = 3 (4 – 9x)4
4.- y = 3 (4 – x²)5
5.- ƒ (x) = (9 – x²)2/3
6.- ƒ (t) = (9t + 2)2/3
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La derivada de la función f(x) = sen x es f'(x) = cos x.
La derivada de la función g(x) = cos x es g'(x) = - sen x .
Las demostraciones son complejas y se tratarán más adelante.
DERIVADA DE LA FUNCIÓN TG X
77
si f(x) = sen x, f'(x) = cos x
si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x
Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,
Por tanto,
DERIVADA DE LA FUNCIÓN SEC X
Si f(x) = 1, f'(x) = 0
Si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x
Por la fórmula de la derivada de un cociente,
(sec x)' = sec x · tg x
DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSEC X
Si f(x) = 1, f'(x) = 0
Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x
Por la derivada de un cociente,
78
(cosec x)' = - cosec x · cotg x
DERIVADA DE LA FUNCIÓN COTG X
Si f(x) = cos x, f'(x) = - sen x
Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x
Por tanto,
EJEMPLOS:
Resolución:
• Llamando f(x) = x cos x - 2, f'(x) = 1 · cos x + x · (- sen x) = cos x - x sen x
(la derivada de 2 es cero por ser una constante)
• Si g(x) = x2, g'(x) = 2 x
Resolución:
79
• Si f(x) = x tg x - cos x, f'(x) = 1 · tg x + x(1 + tg2x) - (- sen x) =
2
= tg x + x(1 + tg x) + sen x
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO
Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de
cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.
Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y
x < 0:
a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores
de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite
cuando h tiende a cero. En estas condiciones:
Por tanto, si x > 0
80
b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h
sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.
Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la
demostración se continuaría de forma idéntica.
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES AX Y EX
x
Sea la función y = a , siendo a una constante positiva distinta de 1. La
derivada de esta función en un punto x es:
y se toman logaritmos neperianos:
Luego:
81
En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función e
es:
x
x
x
x
x
(e )' = e · ln e = e · 1 = e
EJERCICIOS:
I.- De acuerdo a la regla de derivación para funciones trascendentes, resuelva los
siguientes ejercicios
1.- y = ln (1 + x²)
2.- y = ln (2x² + 3x – 5)
3.- y = x² ln x²
4.- ln (x² + 1)
5.- y = ln 5 x²
6.- y = ln (x² + 3)²
CARÁCTER CRECIENTE Y DECRECIENTE DE UNA FUNCIÓN
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
En esta sección se aprenderá como
pueden usarse las derivadas para
clasificar los extremos relativos como
mínimos o máximos relativos. Se
empezará
por
definir
funciones
crecientes y decrecientes.
82
La gráfica de una función continua facilita claramente dónde o en qué intervalos
la función es creciente, constante ó decreciente; por ejemplo, en la figura
tenemos que:
a)
b)
c)
d)
De x = - ∞ hasta x = 0, la función es creciente.
De x = 0 hasta x = 1, la función es decreciente.
De x = 1 hasta x = 2, la función es constante.
De x = 2 hasta x = + ∞, la función es creciente.
Lo anterior, nos permite obtener las siguientes definiciones:
FUNCIÓN CRECIENTE.- Una función y = f (x) es creciente si al aumentar
algebraicamente “x”, también “y” aumenta, es decir, la función es creciente en un
intervalo si es creciente en todos los valores del intervalo.
FUNCIÓN DECRECIENTE.- Una función y = f(x) es decreciente si al aumentar
algebraicamente “x”, la “y” disminuye, es decir, la función es decreciente en un
intervalo si es decreciente en todos los valores del intervalo.
EJEMPLOS GRÁFICOS
83
Función creciente
Función decreciente
CRITERIO PARA INDICAR EL CARCATER CRECIENTE O DECRECIENTE DE
UNA FUNCIÓN
Al estudiar si una función es creciente o decreciente en un intervalo dado, la
derivada de la función es importante ya que si la derivada es positiva, la tangente
forma un ángulo agudo con el eje x y tiene pendiente positiva (FUNCIÓN
CRECIENTE); si la derivada es negativa, la tangente forma un ángulo obtuso con
el eje x y tiene pendiente negativa (FUNCIÓN DECRECIENTE); por lo anterior
resulta el siguiente criterio para determinar su una función es creciente o
decreciente:
“Una función es creciente cuando su derivada es positiva; es decreciente
cuando su derivada es negativa”.
Una función es creciente si, a medida que x se
mueve hacia la derecha, su gráfica se mueve
hacia arriba, y es decreciente si su gráfica se
mueve hacia abajo. Por ejemplo la función de
la figura de la izquierda, es decreciente sobre
el intervalo (-∞, a) es constante sobre el
intervalo (a, b), y es creciente sobre el
intervalo (b, ∞).
PRUEBA PARA LAS FUNCIONES CRECIENTE Y DECRECIENTES
Sea ƒ una función continua sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable
sobre el intervalo abierto (a, b):
1. Si ƒ’ (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces ƒ es creciente sobre [a, b].
2. Si ƒ’ (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces ƒ es decreciente sobre [a, b].
3. Si ƒ’ (x) = 0 para todo x en (a, b), entonces ƒ es constante sobre [a, b].
Demostración:
Para demostrar el primer caso, suponga que ƒ’ (x) > 0 para todo x en el
intervalo (a, b) y sean x1 < x2 dos puntos cualesquiera en el intervalo.
84
Como ƒ’ (c) > 0 y x2 - x1 > 0, se sabe que
lo cual implica que ƒ (x1) < ƒ(x2). Por tanto, ƒ es creciente sobre el intervalo.
EJEMPLO 1
INTERVALOS SOBRE LOS QUE ƒ ES CRECIENTE O DECRECIENTE
Encuentre los intervalos
es creciente o decreciente.
abiertos
sobre
los
que
Solución:
Observe que ƒ es continua sobre toda la recta real. Para determinar los números
críticos de ƒ, iguale ƒ’ (x) a cero.
En virtud de que no hay puntos para los que ƒ’ no esté definida, puede concluir
que x = 0 y x = 1 son los únicos números críticos. En la tabla que sigue se
resumen las pruebas de los tres intervalos determinados por estos puntos
críticos:
De
este
los intervalos
sobre
el
muestra en
modo, ƒ es creciente sobre
(-∞, 0) y (1, ∞) y decreciente
intervalo (0, 1), como se
la figura de abajo.
85
En el ejemplo 1 se ilustra una manera de hallar los intervalos sobre los que una
función es creciente o decreciente. En las directrices que se dan a continuación
se resumen los pasos seguidos en el ejemplo:
Directrices para hallar los intervalos sobre los que una función es
creciente o decreciente
Sea ƒ continua sobre el intervalo (a, b). Con el fin de hallar los intervalos
abiertos sobre los que ƒ es creciente o decreciente, siga estos pasos:
1.- Localice los números críticos de ƒ en (a, b) y úselos para determinar los
intervalos de prueba.
2.- Determine el signo de ƒ’ (x) en un valor de prueba, en cada uno de los
intervalos.
Estas directrices también son válidas si el intervalo (a, b) se sustituye por
un intervalo de la forma (-∞, b) (a, ∞), o (-∞, ∞) .
Una función es estrictamente monótona sobre el intervalo si es creciente sobre
todo el intervalo, o bien, si es decreciente sobre todo el intervalo. Por ejemplo, la
función ƒ (x) = x³ es estrictamente monótona sobre toda la recta real porque es
creciente sobre toda ella, como se muestra en la figura (1.a). La función que se
muestra en la figura (1.b) no es estrictamente monótona sobre toda la recta
porque es constante sobre el intervalo [0, 1].
86
EJERCICIOS:
I.- Determine los intervalos en que las funciones son crecientes o decrecientes.
1.- ƒ (x) = x² - 6x
2.- ƒ (x) = x² + 8x + 10
3.- ƒ (x) = - 2x² + 4x + 3
4.- ƒ (x) = - (x² + 8x + 12)
5.- ƒ (x) = 2x³ + 3x² - 12x
6.- ƒ (x) = x³ - 6x² + 15
7.- ƒ (x) = x² (3 – x)
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA DETERMINAR
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
Aplicando la derivada de una función, determinamos los intervalos en que la
función es creciente o decreciente; ahora la utilizaremos para analizar los puntos
en que la función pasa de creciente a decreciente o viceversa.
87
DEFINICIÓN DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
Si “f” es una función cuyo valor es “c”, se tiene que:
a) f (c) se llama un “Máximo relativo” de f si existe un intervalo (a, b) que
contiene a “c” tal que f (x) ≤ f (c) para todo “x” en dicho intervalo, es decir,
si f (c) es mayor que cualquiera de los valores de f (x) que le anteceden o
le siguen inmediatamente en el intervalo dado.
b) f (c) se llama un “Mínimo relativo” de f si existe un intervalo (a, b) que
contiene a “c” tal que f (x) ≥ f (c) para todo “x” en dicho intervalo, es decir,
si f (c) es menor que uno cualquiera de los valores de f (x) que le
anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.
De las anteriores definiciones se hace notar que no deben confundirse los
“Máximos y Mínimos relativos” con los puntos máximos o mínimos de la función,
que son aquellos donde la ordenada ‘y’ es mayor o menor en la gráfica, por lo
que se denominan “absolutos”; por ejemplo:
La función f (x) en el intervalo [ a, d ] presenta un valor “mínimo absoluto” en x =
a; el valor “máximo absoluto” se presenta en x = d; los extremos relativos se
presentan en x = b (máximo) y x = c (mínimo).
VALOR CRÍTICO
Sí “c” es un número que está dentro del dominio de una función, entonces a “c”
se le denomina “Valor crítico” de la función si f ‘ (c) = 0 ó f ‘ (c) no existe. El valor
crítico de una función nos permite analizar si la función tiene un máximo o mínimo
relativo.
88
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA DETERMINAR LOS MÁXIMOS
Y MÍNIMOS RELATIVOS
La función y = f (x) presenta un máximo relativo para x = c, se observa en la
gráfica que antes del máximo la derivada es positiva, es decir, la pendiente es
positiva; después del máximo la derivada es negativa, es decir, la pendiente es
negativa; como la derivada cambia de positiva a negativa, entonces la función es
continua ya que pasa por cero, dando lugar al siguiente enunciado:
“La función y = f (x) tiene un máximo para x = c, donde la derivada para x
= c es cero (f ‘ (c) = 0) y cambia de signo pasando de positiva o negativa”.
Analíticamente se deduce que la función cambia de creciente a decreciente, o
sea, la derivada pasa de positiva a negativa, indicando el máximo relativo. La
función y = f (x) presenta un mínimo relativo para x = c, se observa en la gráfica
que antes del mínimo la derivada es negativa, es decir, la pendiente es negativa;
después del mínimo la derivada es positiva, es decir, la pendiente es positiva;
como la derivada cambia de negativa a positiva, entonces la función es continua
ya que pasa por cero, dando lugar al siguiente enunciado:
“La función y = f (x) tiene un mínimo para x = c, donde la derivada para x =
c es cero (f ‘(c) = 0) y cambia de signo pasando de negativa a positiva”.
89
El punto de cambio o valor crítico de la función se identifica fácilmente ya que la
tangente a la curva es paralela al eje x.
Si el signo de la derivada no cambia, la función no tiene ni mínimo para el valor
crítico que se está analizando.
Resumiendo todo lo anterior, tenemos:
PRIMER METODO PARA CALCULAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA
FUNCIÓN (PASOS A SEGUIR PARA SU SOLUCIÓN)
1.- Se halla la primera derivada de la función dada.
2.- Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante,
determinándose las raíces reales o valores críticos de la variable.
3.- Se consideran los valores críticos uno por uno, con el fin de hallar los signos
de la primera derivada, en primer lugar para un valor un “poco menor” que el valor
crítico y después para un valor un “poco mayor” que él. Si el signo de la derivada
es primeramente (+) y después (-), la función presenta un MÁXIMO para el valor
crítico de la variable que se analiza; en el caso contrario de (-) a (+), se tiene un
MÍNIMO. Si el signo de la primera derivada no cambia, la función no presenta ni
máximo ni mínimo para el valor crítico considerado.
EJEMPLOS
90
EJERCICIOS:
I.- Calcule los máximos y mínimos relativos para las siguientes funciones.
91
1.-y = 3 + 4x – 2x²
2.- y = x² + 8x + 10
3.- y = x² - 8x
4.- y = (x – 1)² (x + 2)
5.- y = 2x³ + 3x² + 12x – 4
6.- y = 10 + 12x – 3x² - 2x³
7.- y = 3x5 – 5x4
8.- y = 3x4 – 4x³ - 12x²
9.- y = x³ - 6x² + 15
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
CONCAVIDAD
92
Ya se ha visto que la localización de los intervalos en los que una función ƒ
crece o decrece ayuda a describir su gráfica. En esta sección se verá cómo
puede usarse la localización de los intervalos en los que ƒ´ crece o decrece para
determinar donde la gráfica está curvada hacia arriba o hacia abajo.
DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD
Sea ƒ diferenciable sobre un intervalo abierto I. La gráfica de ƒ es cóncava
hacia arriba sobre I si ƒ´es creciente sobre el intervalo, y cóncava hacia abajo
(convexa) sobre I si ƒ´es decreciente sobre el intervalo.
La siguiente interpretación gráfica de concavidad resulta útil.
1.- Sea ƒ diferenciable sobre un intervalo abierto I. Si la gráfica de ƒ es cóncava
hacia arriba sobre I, entonces la gráfica de ƒ se encuentra por encima de toda la
línea tangente a I.
2.- Sea ƒ diferenciable sobre un intervalo abierto I. Si la gráfica de ƒ es cóncava
hacia abajo sobre I, entonces la gráfica de ƒ se encuentra por debajo de todas la
líneas tangentes sobre I.
Para hallar los intervalos abiertos sobre los que la gráfica de una función ƒ es
cóncava hacia arriba o hacia abajo, es necesario encontrar los intervalos sobre
los que ƒ´es creciente o decreciente. Por ejemplo, la gráfica de:
93
es cóncava hacia abajo sobre el
intervalo abierto (-∞, 0) porque
ƒ´(x) = x² - 1 es decreciente allí.
De manera análoga, la gráfica se
ƒ es cóncava hacia arriba sobre el
intervalo (0, ∞) porque ƒ´ es
creciente sobre (0, ∞). (Véase la
figura de la izquierda).
El siguiente teorema indica cómo usar la segunda derivada de una función ƒ
con el fin de determinar intervalos sobre los que la gráfica de ƒ es cóncava hacia
arriba o hacia abajo.
TEOREMA: PRUEBA RESPECTO A LA CONCAVIDAD
Sea ƒ una función cuya segunda derivada existe sobre un intervalo abierto I.
1.- Si ƒ´´ (x) > 0 para todo x en I, entonces la gráfica de ƒ es cóncava hacia arriba
en I.
2.- Si ƒ ´´ (x) < 0 para todo x en I, entonces la gráfica de ƒ es cóncava hacia
abajo (convexa) en I.
NOTA: Un tercer caso del teorema anterior podría ser que si ƒ´´ (x) = 0 para todo
x en I, entonces ƒ es lineal. Sin embargo, observe que la concavidad no está
definida para una recta. En otras palabras, una recta no es cóncava hacia arriba
ni hacia abajo.
Con el fin de aplicar el teorema anterior, localice los valores de x en los que ƒ´´
(x) = 0, o bien ƒ´´ no está definida. En segundo lugar, use estos valores para
94
determinar los intervalos de prueba. Por último, haga la prueba respecto al signo
de ƒ´´ (x) en cada uno de estos intervalos.
EJEMPLO 1
DETERMINACIÓN DE LA CONCAVIDAD
Determine los intervalos abiertos sobre los que la gráfica de:
Es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
Solución: Empiece por observar que ƒ es continúa sobre toda la recta real.
Después, encuentre la segunda derivada de ƒ.
Debido a que ƒ´´ (x) = 0 cuando x = ± 1 y ƒ´´ está definida sobre toda la recta
real, debe hacer la prueba con respecto a ƒ´´ en los intervalos (-∞, -1), (-1, 1) y (1,
∞). Los resultados se muestran en la siguiente tabla:
95
PUNTOS DE INFLEXIÓN
Si la recta tangente a una gráfica existe en un punto de este tipo, ese punto es
un punto de inflexión. En la figura de abajo se muestran tres tipos de inflexión.
Observe que una gráfica corta su recta en un punto de inflexión.
Con el fin de localizar los puntos de inflexión posibles, sólo es necesario
determinar los valores de x para los que ƒ´´ (x) = 0 o para los que ƒ´´ (x) no está
definida. Esto es semejante al procedimiento para localizar los extremos relativos
de ƒ.
TEOREMA: PUNTOS DE INFLEXIÓN
Si (c, ƒ (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de ƒ, entonces ƒ´´ (c) = 0 o
bien ƒ´´ no está definida en x = c.
EJEMPLO 2
DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN
Si se hace ƒ´´ (x) = 0, se puede determinar que los puntos posibles de inflexión
ocurren en x = 0 y x = 2. Al hacer la prueba de los intervalos determinados por
estos valores de x, puede concluir que los dos dan lugar a puntos de inflexión. En
la siguiente tabla se da un resumen de estas pruebas.
96
Lo opuesto al teorema anterior, generalmente no es cierto. Es posible que la
segunda derivada sea 0 en un punto que no sea de inflexión. Por ejemplo, en la
figura de abajo se muestra la gráfica de ƒ (x) = x4. La segunda derivada es 0,
pero el punto (0, 0) no es un punto de inflexión porque la gráfica de ƒ es cóncava
hacia arriba en los dos intervalos -∞ < x <0 y 0 <x <∞.
EJERCICIOS:
I.- Hallar los puntos de inflexión y el sentido de la concavidad para las siguientes
funciones:
1.- ƒ (x) = x³ - 6x² + 12x
2.- y = x³ - 9x² + 27x - 8
3.- ƒ (x) = ¼ x4 – 2x²
4.- y = x³ - 6x² + 12x - 8
5.- ƒ (x) = x (x – 4)³
6.- y = 2x4 – 8x + 3
7.- ƒ (x) = x
x+3
8.- y = 5 – 2x – x²
97
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y
MÍNIMOS
PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA
Además de servir para hacer las pruebas en relación con la concavidad, la
segunda derivada puede usarse para realizar una prueba sencilla respecto a los
máximos y mínimos relativos. La prueba se basa en el hecho de que si la gráfica
de una función ƒ es cóncava hacia arriba sobre un intervalo abierto que contiene
a c y ƒ´ (c) = 0, ƒ (c) debe ser un mínimo relativo de ƒ. De manera análoga, si la
gráfica de una función ƒ es cóncava hacia abajo sobre un intervalo abierto que
contiene a c y ƒ´(c) = 0, ƒ (c) debe ser un máximo relativo de ƒ.
TEOREMA: PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA
Sea ƒ una función tal que ƒ´(c) = 0 y la segunda derivada de ƒ existe sobre un
intervalo abierto que contiene a c:
1.- Si ƒ´´(c) > 0, entonces ƒ (c) es un mínimo relativo.
2.- Si ƒ´´(c) < 0, entonces ƒ (c) es un máximo relativo.
Si ƒ´´ (c) = 0, la prueba falla. En esos casos, es posible aplicar la prueba de la
primera derivada.
Demostración:
Si ƒ´(c) = 0 y ƒ´´ (c) > 0, existe un intervalo abierto I que contiene a c para el
que
para todo x ≠ c en I .Si x – c, entonces x – c < 0 y ƒ´(x) < 0. Asimismo, si x > c,
entonces x – c > 0 y ƒ´(x) > 0. Por tanto, ƒ´(x) cambia de negativa a positiva en c
y la prueba de la primera derivada implica que ƒ (c) es un mínimo relativo.
EJEMPLO 1
USO DE LA PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA
Encuentre los extremos relativos para:
Solución: Empiece por hallar los números críticos de ƒ:
Haga ƒ´´(x) = 0
Números críticos
98
Si usa ƒ´´ (x) = -60x³ + 30x = 30 (-2x³ + x), puede aplicar la prueba de la
segunda derivada del modo siguiente:
En virtud de que la prueba de la segunda derivada falla en (0, 0) puede aplicar
la prueba de la primera derivada y observar que ƒ crece a la izquierda y a la
derecha de x = 0. Por consiguiente, (0, 0) no es un mínimo relativo ni un máximo
relativo.
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE
UNA FUNCIÓN
Una función y = f (x) tiene un máximo relativo si su primera derivada es igual a
cero y su segunda derivada es igual a un valor negativo; tendrá un mínimo
relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un
valor positivo.
SEGUNDO MÉTODO PARA CALCULAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA
FUNCIÓN (PASOS A SEGUIR PARA SU SOLUCIÓN)
1.- Se halla la primera derivada de la función dada.
2.-Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante,
determinándose las raíces reales o valores críticos de la variable.
3.- Se halla la segunda derivada de la función dada.
4.- Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los
valores críticos obtenidos.
Si el valor es negativo, la función presenta un MÁXIMO para el valor crítico
considerado; si el valor resultante es positivo, la función presenta un MÍNIMO
para el valor crítico considerado.
El método anterior no es aplicable si la segunda derivada es igual a cero o no
existe.
EJEMPLO DEMOSTRATIVO
I.- Aplicando el segundo método, hallar los máximos y mínimos para las
siguientes funciones:
1.- y = x4 – 4x² + 4
99
SOLUCIÓN
a) Se halla la primera derivada de la función:
y = x4 – 4x² + 4
y´ = 4x³ - 8x
y´= x³ - 2x
b) Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante:
x³ - 2x = 0
x (x² - 2) = 0
X1 = 0
x² - 2 = 0
x² = 2
X=±
2
c) Se halla la segunda derivada de la función:
y´= x³ - 2x
y´´ = 3x² - 2
d) Análisis de los valores críticos en la segunda derivada.
PARA x = 0
y´´ = 3x² - 2
y´´ = 3 (0)² - 2 = -2
∴ y´´ =
MÁXIMO
Cuando x = 0, tenemos un máximo cuyo valor es:
y = x4 – 4x² + 4
y = ( 0 )4 – 4 ( 0 )² + 4
y=4
Cuando x = 0, tenemos un máximo de 4
PARA x = ±
2
y´´ = 3x² - 2
y ´´ = 3 (± 2 )² - 2
y´´ = 6 – 2 = 4
y´´ =
+
MÍNIMO
100
Cuando x = ±
2 , tenemos un mínimo, cuyo valor es:
y = x4 – 4x² + 4
y = (± 2 )4 – 4 (±
y=0
∴ Cuando x = ±
2 )² + 4
2 , tenemos un mínimo de 0
Graficando la función y = x4 – 4x² + 4, tenemos que:
EJERCICIOS:
I.- Hallar los máximos y mínimos de las siguientes funciones:
1.- y = (x – 4)4 (x + 3)³
2.- y = x³ + 2x² - 4x - 8
3.- y = (x² - 4)²
4.- y = x4 – 6x + 2
5.- y = 6x – x2 -1
6.- y = x² - 4x + 2
101
102
ANTIDERIVADAS E INTEGRACIÓN INDEFINIDA
ANTIDERIVADAS
Suponga que se le pidió encontrar una función F cuya derivada es ƒ (x) = 3x².
De lo que se sabe sobre las derivadas, usted probablemente diría que:
La función F es una antiderivada de ƒ.
DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA
En general, una función F es una antiderivada de ƒ sobre un intervalo I si
F´(x) = ƒ (x) para todos los x en I.
Advierta que F se denomina una antiderivada de ƒ, no la antiderivada de ƒ.
Para ver por qué, observe que:
Son todas antiderivadas de ƒ (x) = 3x². De hecho, para cualquier constante C, la
función dada por F (x) = 3x³ + C es una antiderivada de ƒ.
TEOREMA: REPRESENTACIÓN DE ANTIDERIVADAS
Si F es una antiderivada de ƒ sobre un intervalo I, entonces G es una
antiderivada de ƒ sobre el intervalo I si y sólo si G tiene la forma
G (x) = F (x) + C, para todos los x en I.
Donde C es una constante.
Demostración:
La demostración de una dirección es muy clara, es decir, si G (x) = F (x) + C,
F´(x) = ƒ (x), y C es una constante, entonces:
Para demostrar la otra dirección es posible definir una función H tal que,
103
Si H no es constante sobre el intervalo I, deben existir a y b (a < b) en el
intervalo tal que H (a) ≠ H (b). Además, en virtud de que H es derivable sobre (a,
b), es posible aplicar el teorema del valor medio para concluir que allí existe c en
(a, b) tal que,
Como H (b) ≠ H (a), puede deducirse que H´(c) ≠ 0. Sin embargo, debido a que
G´(c) = F´(c), usted sabe que H´(c) = G´(c) – F´(c) = 0, lo que contradice el hecho
de que H´(c) ≠ 0. En consecuencia, puede concluir que H (x) es una constante, C.
Por tanto, G (x) – F (x) = C y se concluye que G (x) = F (x) + C.
Con el teorema anterior es posible representar toda la familia de antiderivadas de
una función sumando una constante a una antiderivada conocida. Por ejemplo, si
se sabe que Dx [x²] = 2x, es posible representar la familia de todas las
antiderivadas de ƒ (x) = 2x por:
Donde C es una constante. La constante C se llama constante de integración. La
familia de funciones representada por G es la antiderivada general de ƒ, y G (x) =
x² + C es la solución general de la ecuación diferencial,
Una ecuación diferencial en x y y es una ecuación que comprende a x, y y
derivadas de y. Es posible ver que y´= 3x y y´= x² + 1 son ejemplos de
ecuaciones diferenciales.
EJEMPLO 1
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Encuentre la solución general de la ecuación diferencial y´= 2
SOLUCIÓN
Para comenzar, debe encontrar una función cuya derivada sea 2. Una de tales
funciones es
y = 2x
2x es una antiderivada de 2
Ahora puede usar el teorema anterior para concluir que la solución general de la
ecuación diferencial es:
104
y = 2x + C
Solución general
En la figura de abajo se muestra las gráficas de varias funciones de la forma y =
2x + C.
NOTACIÓN PARA LAS ANTIDERIVADAS
Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma:
Es útil escribirla en su forma diferencial equivalente,
La operación de hallar todas las soluciones de esta ecuación se llama
antiderivación (o integración indefinida) y se indica con el integral, ∫. La solución
general se denota por:
105
La expresión ∫ ƒ (x) dx se lee como la antiderivada de ƒ con respecto a x. Por
consiguiente, la diferencial dx sirve para identificar a x como la variable de
integración. El concepto integral indefinida es un sinónimo de antiderivada.
REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede comprobarse
sustituyendo F´(x) por ƒ (x) en la definición de la integración indefinida para
obtener:
La integración es la “inversa” de la derivación
Además, si ∫ ƒ (x) dx = F (x) + C, entonces:
La derivación es la “inversa” de la integración
Estas dos ecuaciones permiten obtener las fórmulas de integración directamente
de las de la derivación, como se muestra en el resumen siguiente.
106
NOTA: Observe que la regla de la potencia para la integración tiene la restricción
de que n ≠ - 1.
EJEMPLO 2
APLICACIÓN DE LAS REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
Escriba las antiderivadas de 3x.
SOLUCIÓN
Cuando se evalúan integrales indefinidas, una aplicación estricta de las reglas
básicas de integración tiende a producir constantes de integración complicadas.
En el ejemplo anterior podría haberse escrito:
Sin embargo, en virtud de que C representa cualquier constante, es incomodo e
innecesario escribir 3C como la constante de integración, por lo que se optó por
la forma más simple 3/2 x² + C.
En el ejemplo 2, observe que el patrón general de integración es similar al de la
derivación.
107
EJERCICIOS:
I.- Encuentre la integral indefinida de los siguientes ejercicios:
1.- ∫(x + 3) dx
2.- ∫ (5 – x) dx
3.- ∫ (2x – 3x²) dx
4.- ∫ (4x³ + 6x² - 1) dx
5.- ∫ (x³ + 2) dx
6.- ∫ (x³ - 4x + 2) dx
7.- ∫ (x3/2 + 2x + 1) dx
8.- ∫ 3 dt
9.- ∫ dx
108
REGLA DE LA POTENCIA PARA ANTIDERIVADAS
REGLA DE POTENCIAS GENERALIZADA
Recuérdese de que la regla de la cadena se aplica a potencias de una función.
Si u = g (x) es una función derivable y r es un número racional ( r ≠ -1), entonces
o sea, en la notación funcional,
A partir de esto obtenemos una regla importante para integrales indefinidas.
TEOREMA:
EJEMPLO 1
Encuentre:
SOLUCIÓN:
109
Ahora se puede ver por qué Leibniz usaba la diferencial dx en su notación
∫…dx. Si hacemos u = g(x), entonces du = g´(x)dx. La conclusión del teorema
anterior, es por lo tanto:
que es la regla ordinaria de potencias con u como variable. Entonces, la regla de
potencias generalizada no es más que la regla ordinaria de potencias aplicada a
funciones. Pero al aplicarla, siempre debemos asegurarnos de que tenemos a du
para acompañar a ur. Los siguientes ejemplos ilustran lo que queremos decir:
EJEMPLO 2
Encuentre:
a) ∫ (x³ + 6x)5 (6x² + 12)dx
b) ∫ (x² + 4)10x dx
c) ∫ (x²/2 + 3)² x² dx
SOLUCIÓN
a) Sea u = x³ + 6x; entonces, du = (3x² + 6) dx. Por lo tanto, (6x² + 12)dx = 2
(3x² + 6) dx = 2du, y entonces:
Dos cosas se deben anotar en relación a nuestra solución. Primero, el hecho de
que (6x² + 12) dx sea 2 du en lugar de du no causa dificultades; el factor 2 puede
ser recorrido al frente del signo integral por la linealidad de ∫. Segundo, que
podemos eliminar una constante arbitraria como 2C. Esta también es una
constante arbitraria que hemos llamado K.
b) Sea u = x² + 4, entonces, du = 2x dx Entonces,
110
c) Sea u = x²/2 + 3; entonces, du = x dx. El método ilustrado en (a) y (b) falla
porque x² dx = x (x dx) = x du y x no puede ser pasado al frente del signo
integral (esto sólo se puede hacer con un factor constante). Sin embargo,
podemos desarrollar el integrando con álgebra ordinaria y después utilizar
la regla de potencias.
EJERCICIOS:
I.- De acuerdo a la regla de la potencia para antiderivadas, resuelva los siguientes
ejercicios:
1.- ∫ (3x + 1)4 3dx
2.- ∫ (x² - 4)³ 2x dx
3.- ∫ (x² - 4)³ 2x dx
4.- ∫ (x² - 3x + 2)² (2x – 3) dx
5.- ∫ 3x4 (2x5 + 9)³ dx
111
INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN (SENO, COSENO)
Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas
de la función f(x), y se simboliza:
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
donde C representa una constante llamada constante de integración.
EJERCICIO:
Resolución:
· Puesto que una primitiva de cos x es sen x,
Resolución:
Por consiguiente,
Resolución:
112
APLICACIÓN DE LAS FÓRMULAS 8 A LA 17 DEL FORMULARIO GENERAL
DE INTEGRALES INMEDIATAS ELEMNTALES*
Las siguientes son fórmulas para integrar funciones trigonométricas directas:
EJEMPLOS
1.- Calcular
Solución:
Con base en los pasos para integrar una función identificamos, en la expresión
dada, la variable v =ax, que es el ángulo del integrando sen ax.
Si
v =ax
dv = dx
Observemos que el diferencial de la variable dv = dx completa el diferencial de
la integral dx, por lo cual estamos en condiciones de aplicar directamente la
fórmula 8. Pero, con base en el paso tres para integrar una función, notamos que
en el diferencial de la variable a dx nos sobra la constante a, la cual pasa en
forma recíproca multiplicando al resultado de la integral, es decir:
* Las fórmulas para integrales inmediatas elementales se obtienen directamente de las
fórmulas generales de diferenciación.
113
2.- Calcular la
Solución
La integral propuesta se asemeja a la fórmula 9, donde identificamos que la
variable es:
Observemos que el diferencial de la variable dv = dx/2 completa el diferencial
de la integral dx, por lo cual podemos aplicar directamente la fórmula 9. Pero,
notemos que en el diferencial de la variable dx/2 nos sobra la constante ½, la cual
pasa en forma recíproca multiplicando al resultado de la integral:
3.- Calcular la
Solución
En el ejemplo propuesto se observa que ninguna de las fórmulas que hasta el
momento conocemos puede aplicarse directamente. Sin embargo, mediante la
aplicación de fórmulas e identidades trigonométricas se facilita la solución de la
integral.
Utilizando la expresión trigonométrica:
La integral propuesta se transforma en:
La integral resultante se parece a la fórmula 10, donde identificamos que la
variable es:
114
Notemos que el diferencial de la variable:
completa el diferencial de la integral dθ, razón por la cual aplicamos directamente
la fórmula 10, resultando:
EJERCICIOS:
I.- Encuentre el valor de las siguientes integrales:
1.- ∫ sen mx dx
2. - ∫ cos 5x dx
3. - ∫ x sen x² dx
4. - ∫ cos 2x/3 dx
5. - ∫ sen (a – bx) dx
115
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Para facilitar el cálculo de una integral definida, se proporcionan las siguientes
propiedades fundamentales (propiedades de la integral definida).
116
MÁS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Nuestra definición de la integral definida fue motivada por el problema del área
de las superficies curvas, considere las dos regiones curvas R1 y R2 de la figura 1
y sea R = R1 ∪ R2. Es claro que,
lo cual sugiere:
117
TEOREMA A: PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOS
Si ƒ es integrable en un intervalo que contenga los tres puntos a, b y
c; entonces:
no importa el orden de a, b y c.
Por ejemplo,
que la mayoría de la gente cree de inmediato. Pero también es verdad que,
lo que puede parecer sorprendente. Si desconfía del teorema, puede evaluar
cada una de las integrales anteriores para verificar que se cumple la igualdad.
PROPIEDADES DE COMPARACIÓN
La comparación de las áreas de las regiones R1 y R2 de la figura 2 sugiere otra
propiedad de las integrales definidas.
118
TEOREMA B: PROPIEDAD DE COMPARACIÓN
Si ƒ y g son integrables en el intervalo [a, b] y si ƒ (x) ≤ g (x) para
toda x de [a, b], entonces:
En un lenguaje informal pero descriptivo decimos que la integral definida
preserva desigualdades.
DEMOSTRACIÓN:
Sea P: a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b una participación
arbitraria de [a, b], y para cada i sea x1 un punto muestra cualquiera del i-ésimo
subintervalo [xi-1, xi ], podemos concluir sucesivamente que:
TEOREMA C: PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO
Si ƒ es integrable en [a, b], y si m ≤ ƒ (x) ≤ M para toda x de [a, b],
entonces:
119
DEMOSTRACIÓN:
El dibujo de la figura 3 ayuda a comprender el teorema.
Obsérvese que m (b – a) es el área del rectángulo grande:
Es el área bajo la curva.
Para probar la desigualdad de la derecha, sea g (x) = M para toda x de [a, b].
Entonces, por el teorema B,
No obstante
La desigualdad de la izquierda se maneja en forma similar.
120
EJERCICIOS:
I.- Encuentre el valor de las siguientes integrales:
1.-
∫
2
0
ƒ( x)dx
2
2.- ∫ ƒ( x) + 2 g ( x)dx
0
3.4.
5.-
∫
2
1
∫
0
2
g ( x)dx
g ( x)dx
1
∫ 3ƒ( x)dx
2
1
6.- ∫ g ( x)dx
1
121
TEOREMA FUNDAMENTAL DE CÁLCULO
Hasta ahora se han presentado las dos ramas principales del cálculo: cálculo
diferencial, introducido con el problema de la recta tangente, y el cálculo integral,
introducido con el problema del área. En este punto, ambos problemas parecen
no estar relacionados, pero existe una conexión muy cercana. Isaac Newton y
Gottfried Leibniz descubrieron la conexión, cada cual por su lado. Esa conexión
se expresa en un teorema que con toda propiedad se llama teorema
fundamental de cálculo.
De modo informal, el teorema señala que la derivación e integración (definida)
son operaciones inversas, en el mismo sentido que los son la división y la
multiplicación. Para ver de qué modo Newton y Leibniz podrían haber anticipado
esta relación, reflexione en las aproximaciones mostradas en la figura de abajo.
Cuando se define la pendiente de una recta tangente se usa el cociente Δy /Δx
(la pendiente de la recta secante). De igual modo, cuando se define el área de
una región bajo una curva se utiliza el producto Δy Δx, (el área del rectángulo).
Por tanto, al menos en la etapa de la aproximación rudimentaria, las operaciones
de derivación e integración definida parecen tener una relación inversa en el
mismo sentido que la división y la multiplicación son operaciones inversas. El
teorema fundamental del cálculo expresa que los procesos para hallar límites
(usados para definir la derivada y la integral definida) conservan esta relación
inversa.
122
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Si una función ƒ es continua sobre el intervalo cerrado
es una derivada de ƒ sobre el intervalo [a, b], entonces:
∫
b
a
[a, b], y F
ƒ( x)dx = F (b) − F (a )
DEMOSTRACIÓN
La clave de la demostración radica en escribir la diferencia F (b) y F (a) en una
forma conveniente. Sea Δ, la siguiente división de [a, b].
a = x0 < x1 < x2 < ….. < xn-1 <xn = b
De la sustracción de pares y de la suma de términos semejantes, es posible
escribir,
F (b) – F (a) = F (xn) – F (xn-1) + F ( xn-1 ) - …- F (x1) + F (x1) – F (x0)
Por el teorema del valor medio, usted sabe que existe un número ci , en el iésimo subintervalo tal que:
Como F´(ci ) = ƒ (ci ), es posible asignar Δxi = xi - xi-1 y obtener:
Esta importante ecuación indica que al aplicar el teorema del valor medio
siempre puede encontrar un conjunto de varios ci, tal que la constante F
(b) – F (a) sea una suma de Riemann de ƒ sobre [a, b]. Al obtener el límite
(cuando || Δ ||
0) se produce,
123
Las siguientes directrices pueden ayudarle a entender el uso del teorema
fundamental del cálculo.
DIRECTRICES PARA APLICAR EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO
1.- Asegúrese de que es posible encontrar una antiderivada de ƒ;
entonces tiene una forma de evaluar una integral definida sin tener que
usar el límite de un suma.
2.- Cuando aplique el teorema fundamental del cálculo, es conveniente
usar la siguiente notación:
Por ejemplo, para evaluar
∫
3
1
x ³dx , puede escribir:
3.- No es necesario incluir una constante de integración C en la
antiderivada, ya que:
EJEMPLO 1
EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DEFINIDA
Evalué cada integral definida:
124
EJERCICIOS:
I.- De acuerdo al teorema fundamental de cálculo, resuelva los siguientes
ejercicios:
125
CÁLCULO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA USANDO CÁLCULO
INTEGRAL
ÁREA
Como se verá más adelante, para definir el área de una región en el plano
cartesiano, acotada por una curva, el eje x y las rectas x = a y x = b, se requiere
hallar la suma de muchos términos; para simplificar estas sumas se utiliza el
concepto de sumatoria.
SUMATORIA:
Dado que un conjunto de números ( ai , ai+1 , a i+2 ,……an ), el símbolo
Representa su suma indicada o sumatoria, esto es,
La letra griega sigma mayúscula, Σ, denota la sumatoria, ak representa el késimo término, la letra K se llama índice de sumatoria y adquiere valores enteros
sucesivos, los números i y n son los valores extremos del índice de su sumatoria.
(Se sustituye, sucesivamente, la K por 1, 2 y 3, y se suman los números
obtenidos)
(Se sustituye, sucesivamente, la K por 1, 2, 3, 4 y 5, y se suman los números
obtenidos).
126
Propiedades de la sumatoria:
ÁREA:
Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un
rectángulo (producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de
un triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de los catetos".
La trigonometría facilita una fórmula para hallar la medida de cualquier clase de
triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual a un medio del producto de
dos de sus lados por el seno del ángulo que forman dichos lados".
Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de
su área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se
ha dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas
limitadas por segmentos de rectas. Para medir el área de una figura limitada por
curvas se debe recurrir a otro método, que es el que vamos a estudiar a
continuación.
127
Considérese una región R en el plano cartesiano acotada por el semieje x
positivo, las rectas x = a y x = b, y la curva de la función y = ƒ (x), y ƒ (x) continua
en [a, b] (obsérvese la figura 1).
Deseamos hallar la medida del área de la región R. Para tal efecto, dividimos el
intervalo cerrado [a, b] en n-subintervalos iguales de longitud Δx. Es claro que
Δx = (b – a) /n.
Denotemos los puntos extremos de estos subintervalos por x0 ,x1,x2,….xn-1 , xn;
Donde x0 = a, x1 = a + Δx,…,xi =
a + i Δx,… xn-1 = a + (n – 1) Δx,
xn = b.
Así mismo denótese el i-ésimo
subintervalo por [xi -1, xi] .
Como ƒ es continua en [a, b], ƒ es continua en cada subintervalo cerrado. Por el
Teorema del valor extremo sabemos que existe un número en cada subintervalo
para el cual ƒ tiene un valor mínimo absoluto. Sea ci este número en el i-ésimo
subintervalo, de tal modo que ƒ (ci) es el valor mínimo absoluto de ƒ en cada
subintervalo.
Obsérvese la figura 2. Se
tienen n subintervalos cada uno
con Δx unidades de ancho y ƒ
(ci) unidades de alto. El área de
cada subintervalo está dada
por Δx´ ƒ (ci). Sea Sn unidades
cuadradas la suma de las áreas
de
estos
n-rectángulos,
entonces:
Es claro que:
Donde A es la medida del área de la región R.
128
En la figura 2, la región poligonal
tiene un área de Sn
unidades
cuadradas. Si n crece, el número de
rectángulos es mayor y el ancho de
cada rectángulo es menor. En la
figura 3 se ilustra este hecho. Se
puede observar que el área de la
región poligonal se aproxima más al
área de la región R. esto es, la suma
de las medidas de los rectángulos
de la figura 3 está más cercana al
número que queremos sea la
medida del área de la región R.
Conforme n crece, los valores de Sn encontrados a partir de:
n
Sn
∑ ƒ(ci)Δx
i =1
crecen, y los valores sucesivos de Sn difieren uno del otro en cantidades que se
hacen arbitrariamente pequeñas. En un teorema de cálculo avanzado se
demuestra que si ƒ es continua en [a, b], entonces mientras n crece sin límite, el
valor de:
n
∑ ƒ(ci)Δx
i =1
se aproxima a un límite. Es precisamente este límite el que tomamos como la
definición de la medida del área de la región R.
129
EJERCICIOS:
I.- De acuerdo al tema de cálculo del área bajo una curva, resuelva los siguientes
ejercicios:
130
Apéndice
I:
RESPUESTA A
PROPUESTOS.
LOS
EJERCICIOS
IMPARES
Apéndice II: FORMULAS DE DERIVACIÓN.
Apéndice III: FORMULAS DE INTEGRACIÓN.
131
APÉNDICE I: RESPUESTA A LOS EJERCICIOS IMPARES
PROPUESTOS:
TEMA: DOMINIO Y CONTRADOMINIO
Ejercicios resueltos de la página: 14
5. f (a/5) = 3ax – 10a + 125
25
TEMA: ANÁLISIS GRÁFICO DE LAS FUNCIONES
Ejercicios resueltos de la página: 22
1
1.- y = −3x + 2
3.- y = x − 4
2
1. f (2) = 13
3. f (
2
) = 8.1715
5.- y = 1 − x 2
7.- y = ( x + 3) 2
TEMA: OPERACIONES CON FUNCIONES
Ejercicios resueltos de la página: 25
1. = x² + 3x + 2
3. = 3/x
5. 3x³ - 2x² + 12x – 8
TEMA: CÁLCULO DE LÍMITE DE FUNCIONES
Ejercicios resueltos de la página: 42
1. 5
3. -3
5. 3
7. 4
9. 2
132
TEMA: FORMA INDETERMINADA DE (0/0)
Ejercicios resueltos de la página: 42
1= 1/10
3= 5/6
5=
5
10
7=1/6
TEMA: FORMA INDETERMINADA DE (∞/∞)
Ejercicios resueltos de la página: 43
1. lím = -2/7
3. lím 2
5. lím -2/5
TEMA: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Ejercicios resueltos de la página: 47
1. Continua
3. Discontinua
5. Discontinua
TEMA: INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Ejercicios resueltos de la página: 53
1.
3.
5.
TEMA: LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO
Ejercicios resueltos de la página: 59
1. Analizando la gráfica se observa que: Cuando x = 0, y = 0 y para x =50, y = 0;
por lo que la distancia horizontal total que recorre la pelota es de x = 50 unidades.
3. En base al tabulador y la gráfica correspondiente, se observa también que por
simetría de la trayectoria de la pelota, ésta alcanza su máxima altura en el valor
de x = 25 unidades.
5. La razón de cambio instantáneo para cuando la pelota alcanza la altura
máxima es en x = 25, por lo que resulta.
dy = f´ (25) = 1-0.04 (25) = 1 – 1 = 0
dx
133
TEMA: REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN (REGLA DE LOS CUATRO
PASOS)
Ejercicios resueltos de la página: 62
1. dy = 2x
dx
3. dy = 6 x² - 3
dx
5. dy = - 8
dx
x³
7. dy = - 2
dx
x²
TEMA: REGLAS O FÓRMULAS DE DERIVACIÓN PARA LAS FUNCIONES
ALGEBRAICAS
Ejercicios resueltos de la página: 71
1. 0
3. 6x5
5. – 7/x8
7.1
9. 2x + 12x²
TEMA: REGLA DE LA CADENA PARA DERIVAR LAS FUNCIONES DE
COMPOSICIÓN
Ejercicios resueltos de la página: 76
1. 6 (2x – 7)²
3. -108 (4 – 9x)³
5. 2/3 (9 – x²) -1/3 (-2x) = - .
4 .
3 (9 – x²)1/3
TEMA: REGLAS O FÓRMULAS DE DERIVACIÓN PARA
TRASCENDENTES
Ejercicios resueltos de la página: 81
1. y´ =.
2x .
1 + x²
3. y´= - .
x .
(a² - x²)
FUNCIONES
5. y´ = 10 ln 4 x²
x
TEMA: CARÁCTER CRECIENTE Y DECRECIENTE DE UNA FUNCIÓN
Ejercicios resueltos de la página: 86
1. Número crítico x = 3
Aumenta sobre (3, ∞)
Disminuye sobre (- ∞, 3)
Mínimo relativo (3, -9)
3. Número crítico x = 1
Aumenta sobre (- ∞, 1)
Disminuye sobre (1, ∞)
Máximo relativo (1, 5)
5. Números críticos x = -2, 1
Aumenta sobre (- ∞, -2) (1, ∞)
Disminuye sobre (-2, 1)
Máximo relativo (-2, 20)
Mínimo relativo (1, -7)
134
7. Números críticos x = 0, 2
Aumenta sobre (0, 2)
Disminuye sobre (- ∞, 0) (2, ∞)
Máximo relativo (2, 4)
Mínimo relativo (0, 0)
TEMA: CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA DETERMINAR
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Ejercicios resueltos de la página: 91
1. Máx. = 5 en x = 1
3. min. = -16 en x = 4
5. Máx. = ∞ en x = ∞ y min. = −∞ en x = −∞
7. Máx. = 0 en x = 0 y mín. = -3.16 en x = 1.33
9. Máx = 15 en x = 0 y mín = -17 en x = 4
TEMA: CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Ejercicios resueltos de la página: 96
1. Punto de inflexión: (2, 8)
Concavidad hacia abajo: (- ∞, 2)
Concavidad hacia arriba: (2, ∞)
3. Punto de inflexión:
±
2, - 20
3
9
2, 3
2
3
Concavidad hacia arriba: -∞ , - 2,
3
,
Concavidad hacia abajo: -
2 ,∞
3
5. Punto de inflexión: (2, - 16), (4, 0)
Concavidad hacia arriba: (-∞, 2), (4, ∞)
Concavidad hacia abajo: (2, 4)
7. Concavidad hacia arriba: (-3, ∞)
135
TEMA: CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Ejercicios resueltos de la página: 100
1. Mín. 0, en x = 4, máx. = 6912 en x = 0
3.- Mín. = 0, en x = -2, mín. = 0, en x = 2, máx. = 16 en x =0
5. Máx. =8, en x = 3
TEMA: ANTIDERIVADAS E INTEGRACIÓN INDEFINIDA
Ejercicios resueltos de la página: 107
1. ½ x² + 3x + C 3. x² - x³ + C 5. ¼ x4 + 2x + C 7. 2/5 x5/2 + x² + x + C
9. x + C
TEMA: REGLA DE LA POTENCIA PARA ANTIDERIVADAS
Ejercicios resueltos de la página: 110
1. (3x + 1)5 /5 + C 3. (5x³ - 18)8/8 + C
5. 3(2x5 + 9)4 /40 + C
TEMA: INTEGRALES DE LA FUNCIÓN SENO Y COSENO
Ejercicios resueltos de la página: 114
1. – cos mx + C
m
3. – cos x²
2
+ C
5. cos (a – bx)
b
+ C
TEMA: PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejercicios resueltos de la página: 120
1. 5
3. 5
5. -9
TEMA: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Ejercicios resueltos de la página: 124
3
1.
3.
5.
∫ (3x² − 4 x + 1)dx = 12
0
∫
5
−2
∫
5
−3
| x − 3 | dx = 29 / 2
( y ³ − 4 y )dy = 104
136
TEMA: CÁLCULO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA USANDO CÁLCULO
INTEGRAL
Ejercicios resueltos de la página: 129
1.
∴
7
∑ (i ² + 1) = 147
i =1
3.
5.
137
APÉNDICE II: TABLA DE DERIVADAS.
Tabla de derivadas
Función
Derivada
Ejemplos
y'=0
y=8
y'=0
y'=1
y=x
y'=1
Constante
y=k
Identidad
y=x
Funciones potenciales
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
138
Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
139
APÉNDICE III: FORMULAS DE INTEGRACIÓN.
∫ dx = x + C
∫ kdx = kx + C
x m +1
∫ x dx = m + 1 + C para m ≠ −1
∫
m
x
∫ a dx =
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C
∫ cosec xdx = ln cosec x + cotan x + C
2
xdx = ∫
dx
= tan x + C
cos 2 x
x
= arcsen + C a es una constante
a
a −x
dx
x −a
dx
x ±a
2
2
dx = e x + C
∫ cotan xdx = ln sen x + C
2
2
x
∫ tan xdx = ln sec x + C
2
∫x
∫e
∫ cos xdx = sen x + C
dx
∫
dx
= ln x + C
x
∫ sen xdx = − cos x + C
∫ sec
∫
ax
+ C para a > 0 y a ≠ 1
ln a
siendo k una constante
2
=
x
1
arc sec + C a es una constante
a
a
∫ cosec
∫a
∫x
2
2
2
xdx = ∫
dx
= −cotan x + C
sen 2 x
1
x
dx
= arctan + C a es una constante
2
a
a
+x
dx
1
x−a
=
+ C a es una constante
ln
2
2a x + a
−a
= ln x + x 2 ± a 2 + C a es una constante
∫
a 2 − x 2 dx =
x
a2
x
a2 − x2 +
arcsen + C a es una constante
2
2
a
140
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Autor: Ayres Frank
Titulo del libro: Teoría y problemas de cálculo diferencial e integral
Editorial: McGraw-Hill
Lugar de edición: México
Año de publicación: 1987
Autor: Garza Olvera Benjamín
Titulo del libro: Matemáticas: Cálculo Diferencial
Editorial: DGETI
Lugar de edición: México
Año de publicación: 2001
Autor: Garza Olvera Benjamín
Titulo del libro: Matemáticas: Cálculo Integral
Editorial: DGETI
Lugar de edición: México
Año de publicación: 2001
Autor: Larson Ron, Hostetler Robert, Edwars Bruce
Titulo del libro: Cálculo diferencial e integral
Editorial: McGraw-Hill
Lugar de edición: México
Año de publicación: 2005
Autor: Morales Lizama Fausto
Titulo del libro: Cálculo Integral
Editorial: DGETI
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Año de publicación: 2004
Autor: Orduño Vega Hipólito
Titulo del libro: Cálculo Diferencial
Editorial: DGETI
Lugar de edición: México
Año de publicación: 2004
Autor: Purcell Edwin J. Varberg Dale
Titulo del libro: Cálculo Diferencial e Integral
Editorial: Pearson Education
Lugar de impresión: México
Año de publicación: 2000
141
Sitios Web consultados:
http://www.monografias.com
http://usuarios.lycos.es/
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funoper.htm
http://www.unlu.edu.ar/~mapco/apuntes/
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/0/index.html
http://descartes.cnice.mecd.es/indice_aplicaciones.php
142