MINIMIZACION DE ENERGIA HIPERFICIE DE ENERGÍA POTENCIAL: describe como varía la energía con respecto a las coordenadas. Ej: variación energética al rotar diedros en n-pentano. La energía en este caso es un a función de solamente dos variables y puede visualizarse de la siguiente forma. En Modelado Molecular hay especial interés en los puntos mínimos de la superficie de energía potencial. 1 1 En general existe más de un mínimo de energía en una superficie de energía potencial de una molécula: Mínimo global: mínimo con la menor energía posible. Mínimo locales: los restantes mínimos. Algoritmo de minimización: identifica geometrías del sistema que corresponden a mínimos en la superficie de energía potencial. Otros aspectos: • variación en posiciones atómicas durante una reacción. • adopción de diferentes mínimos. • diferencias de energías relativas. • otros puntos estacionarios: estructuras de transición. CONCEPTO DE MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN Dada una función f que depende de un conjunto de variables independientes: x1, x2, …..xi,….., xn Minimizar la función equivale a encontrar el conjunto de valores de las variables independientes (x*) tal que: f(x*) = min(f(x)) 2 2 En el mínimo se cumple: ∂f ∂2 f = 0; >0 ∂xi ∂xi 2 En Modelado Molecular pretendemos minimizar energías. La diferencia radica en la expresiones utilizadas para la energía. Mecánica Cuántica: Hamiltoniano Mecánica Molecular: Campo de fuerza Variables independientes = coordenadas de los átomos: - cartesianas -internas La minimización exacta (analítica) no es posible en general Æ Métodos numéricos ALGORITMOS DE MINIMIZACIÓN No derivables: no utilizan derivadas de la energía Derivables: calculan derivadas primeras y/o segundas 3 3 En general, los algoritmos de minimización localizan el mínimo más cercano (“downhill”) al punto de partida. DERIVADAS DE LA FUNCIÓN DE ENERGÍA POTENCIAL (MM) Bond stretching ∂V = k i (li − l i , 0 ) ∂li armónico ∂V = 2Dea{1−exp[−a(l −l 0)]} × exp[−a(l − l 0)] ∂li Morse Angle Bending ∂θ i ∂V = ki (θ i − θ i , 0 ) ∂rj ∂θi Torsión ∂ω i ∂V Vn = − nsen ( n ω i ) ∂ω i 2 ∂rj 4 4 No enlazantes 12 6 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ σ ij q iq j ∂V 24ε ⎢ ⎜ σ ij ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ − = −2 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ rij ⎢ ⎝ rij ⎠ rij ⎠ ⎥ 4πε o rij 2 ∂rij ⎝ ⎣ ⎦ DERIVADAS NUMÉRICAS ∂E ∂xi Se hace la diferencia de E entre dos conformaciones donde se varió la coordenada xi y luego el cociente entre ambas. MÉTODOS NO DERIVATIVOS Simplex Figura geométrica con M + 1 vértices interconectados, con M la dimensionalidad de la función de energía. Movimiento “ameboide”: • Reflexión. • Expansión. • Contracción. 5 5 Procedimiento 1) Generación de vértices •Un vértice corresponde a la configuración inicial del sistema. •El resto se genera incrementando en una constante a una coordenada por vez. 2) Cálculo de los valores de la energía para cada “vértice”. 3) Aplicación de movimiento hasta llegar a un valor de energía aceptable. Método muy costoso computacionalmente para sistemas de muchas coordenadas (MM). Util cuando se está muy lejos del mínimo 6 6 Secuencial univariado Cicla a través de cada coordenada. Procedimiento 1) Para cada coordenada se generan dos nuevas estructuras: 1) xi +δxi 2) xi + 2δxi 2) Se calculan las energías para las nuevas estructuras. 3) Ajuste de parábola a los tres puntos y determinación de mínimo de esta función. 4) Cambio de la coordenada a la posición del mínimo. 5) Repite el procedimiento con las siguientes coordenadas hasta que el cambio en todas las coordenadas es suficientemente pequeño. 7 7 Más rápido que simplex (útil en mecánica cuántica). Problemas de convergencia cuando hay acoplamiento fuerte entre coordenadas. MÉTODOS DERIVATIVOS Son los más utilizados en minimización energética. Derivadas proveen con información útil: 1) Derivada primera: gradiente. • • dirección indica la ubicación del mínimo. magnitud indica la pendiente de la curva 2) Derivada segunda: • Indica la curvatura de la función (importante para determinar la naturaleza de los puntos estacionarios). ∂V = −Fi ∂xi La fuerza sobre cada átomo es igual y contraria al gradiente evaluado en el mismo átomo La energía del sistema puede ser disminuida moviendo los átomos en respuesta a la fuerza que actúa sobre ellos. 8 8 Los métodos derivativos consideran la función de energía potencial en la forma de polinomio de Taylor (evaluado en xk) V ( x) = V ( xk ) + ( x − xk )V ´(xk ) + ( x − xk ) 2 V ´´(xk ) / 2 + ..... Se suponen funciones cuadráticas y con comportamiento armónico. Para el caso multidimensional: V´(xk) -Æ vector 3N dimensional : V´´ (xk) Æ matriz 3N X 3N: (Hessiana) ∂V ∂xi ∂ 2V ∂xi∂xj Un método derivativo se clasifica por su orden: • Orden cero (no derivativos). • Orden uno (utiliza el gradiente). • Orden dos (utiliza el gradiente y la hessiana). 9 9 MÉTODOS DE ORDEN 1 O PRIMER ORDEN -Descenso más pronunciado (steepest descents) -Gradientes conjugados (conjugate gradients) Steepest descent Mueve el sistema en la dirección paralela a la fuerza neta: sk = -gk/|gk| gk = gradiente sk = vector multidimensilnal de norma 1 que representa la dirección del movimiento. Luego de elegida la dirección, hace falta asignar la magnitud del movimiento: xk+1 = xk +λksk λk es el tamaño del movimiento 10 10 La dirección del gradiente está determinada en gran medida por las fuerzas interatómicas de mayor magnitud: Steepest descent es eficiente en eliminar los conflictos estéricos más importantes. Funciona bien lejos del mínimo. Gradientes conjugados Direcciones son conjugadas y no ortogonales como en steepest descents. Si la función es cuadrática, el mínimo se alcanza en N pasos N = número de variables Como en steepest descent, se calcula el gradiente en cada paso La dirección en cambio se calcula como: vk = -gk + γkvk-1 gk = gradiente en la iteración k vk-1 = dirección del paso k-1 γk es un escalar dado por: γk = |gk.gk|/|gk-1.gk-1| Fletcher-Reeves γk = |(gk-gk-1).gk|/|gk-1.gk-1 Polak-Ribiere Gradientes conjugados localiza más fácilmente el mínimo que steepest descent. 11 11 MÉTODOS DE ORDEN 2 O SEGUNDO ORDEN Cálculan las derivadas primera y segunda para obtener el mínimo. Newton-Raphson Una dimensión: x∗ = xk −V´(xk) / V´´(xk) Generalización para una función multidimensional: x∗ = xk − V´(xk) V´´− 1(xk) Xk: coordenadas de partida X*= coordenadas en el mínimo Ventajas •Determina inequívocamente el carácter de un punto estacionario. •Para funciones cuadráticas, el mínimo se halla exactamente en un paso desde cualquier punto de partida Desventajas •Necesidad de calcular (e invertir!) la matriz Hessiana. •Lejos del mínimo, la aproximación harmónica puede no cumplirse Æ el método falla. Suele usarse otro método hasta estar cerca del mínimo y luego Newton-Raphson. 12 12 ALTERNATIVAS AL MÉTODO NEWTON-RAPHSON Se han descrito una serie de métodos para agilizar la evaluación computacional de la matriz Hessiana, principal inconveniente del método Newton-Raphson. • Cálculo de la matriz cada n pasos. • Método N-R de diaginal por bloques. • Métodos cuasi-newtonianos (cuasi segundo orden). Diagonal por bloques Supone que sólo un átomo se mueva a la vez (un átomo por iteración). Como consecuencia, todos los términos de derivadas segundas que involucran coordenadas de dos átomos distintos valdrán cero. ∂ 2V = 0 ∂xi∂xj Si xi y xj no pertenecen al mismo átomo En cada iteración sólo tenemos que invertir una matriz de 3x3!!! 13 13 Cuasi-Newton Esta categoría engloba a una serie de métodos los cuales van construyendo gradualmente el inverso de la matriz Hessiana en iteraciones sucesivas. Se genera una secuencia de matrices Hk tal que: lim Hk = V´´ -1 kÆ ∞ En cada iteración, las nuevas posiciones se obtienen según: xk+1 = xk –Hkgk gk = gradiente Hk = aproximación al inverso de la Hessiana. y se deriva un nueva valor de H: (xk + 1 − xk ) ⊗ (xk − 1 − xk ) − Hk + 1 = Hk + (xk + 1 − xk ).(gk + 1 − gk ) [Hk.(gk + 1 − gk )] ⊗ [Hk.(gk + 1 − gk )] (gk + 1 − gk ).Hk.(gk + 1 − gk ) Davidon-Fletcher-Powell (DFP) La matriz H se inicializa como I (la matriz unidad) aunque puede mejorarse la performance con un “initial guess” de H calculado con MM o semiempricos. 14 14 ELECCIÓN DEL MÉTODO DE MINIMIZACIÓN Influyen diversos factores: 1) Capacidad de almacenamiento de datos. 2) Velocidad requerida en el cálculo. 3) Disponibilidad de derivadas analíticas. 4) Tamaño del sistema a modelar. MECÁNICA MOLECULAR • Steepest Descents y Gradientes Conjugados para sistemas de porte mediano a grande. • Newton-Raphson para moléculas más pequeñas y cercanas al mínimo. Punto crítico: evaluación de derivadas primeras y segundas (hay muchos átomos) QUÍMICA CUÁNTICA • Newton-Raphson para niveles bajos de teoría. • Cuasi-Newton para niveles más altos. • Steepest Descents y Gradientes Conjugados para semiempíricos Punto crítico: cálculo de la energía. 15 15 DISTINCIÓN ENTRE MÍNIMO, MÁXIMO Y PUNTOS DE ENSILLADURA ∂f =0 ∂x i en los tres casos Mínimo: todos los valores propios de la Hessiana son positivos. Máximo: todos los valores de la Hessiana son negativos. Punto de ensilladura de orden n: existen n valores propios negativos en la Hessiana. (Un ESTADO DE TRANSICIÓN es un punto de ensilladura de orden 1: máximo en la coordenada que conecta dos mínimos pero mínimo en las demás). Criterios de convergencia en minimización de energía Imposibilidad de llegar al mínimo exacto en la práctica -Æ Aproximación al mínimo Monitoreo en: •Diferencia de energía. •Cambio en las coordenadas. •Cambio en el gradiente (rms= sqrt(sum(gi2/3N))). •Valor máximo del gradiente. 16 16 APLICACIONES DEL MÉTODO DE MINIMIZACIÓN DE ENERGÍA 1) Preparación de sistemas para Monte Carlo. 2) Preparación de sistemas para Dinámica Molecular. 3) Análisis de los modos normales de vibración. 4) Determinación de estructuras de transición y caminos de reacción. DETERMINACIÓN DE ESTRUCTURAS DE TRANSICIÓN Y CAMINOS DE REACCIÓN “CAMINO DE REACCIÓN”: camino entre dos mínimos cualesquiera. El uso de la palabra “reacción” no necesariamente implica ruptura o formación de enlaces. No es lo mismo una estructura de transición que un estado de transición. ESTRUCTURA DE TRANSICIÓN: punto de mayor energía potencial a lo largo del camino. ESTADO DE TRANSICIÓN: geometría en el pico de la curva de energía libre. 17 17 MÉTODOS PARA LOCALIZAR PUNTOS DE ENSILLADURA Grid search • Se utiliza una grilla o malla para escanear la superficie de energía potencial de modo de localizar la posición aproximada de la estructura de transición. • Las coordenadas son variadas sistemáticamente para generar un set de estructuras a las cuales se les mide la energía. • Se ajustan los puntos a una expresión analítica y se predice el punto de ensilladura por métodos de cálculo estandar. • Restringido a sistemas con pocos grados de libertad. • No provee directamente con la estructura de transición. Mapeo adiabático Método de tipo “deriva de coordenadas” Estimación de barreras energéticas y estructuras de transición durante transiciones conformacionales (“torsion angle driving”) Ej: rotación de anillo de Phe o Tyr en proteína 18 18 Ciclo de mapeo adiabático 1) Se varía la coordenada relevante en pequeños incrementos. 2) Se permite la relajación (minimización energética) del entorno. Reaction coordinate distance method • Se parte de las estructuras del mínimo (reactivo y producto). A y B son las especies en cuestión. • Se define R (distancia de coordenada de reacción). • Se minimiza el valor de R modificando las estructuras. Se supone que cuando R es lo duficientemente pequeña, ambas estructuras deben ser una aproximación razonable a la estructura de transición. CAMINO DE REACCIÓN Intrinsic reaction coordinate (IRC) Es el camino que seguiría una partícula moviéndose a lo largo del camino de descenso más pronunciado usando un paso infinitesimal desde la estructura de transición hacia cada mínimo. Las direcciones iniciales hacia los mínimos se obtienen a partir del vector propio asociado a la estructura de transición (vector propio asociado al único valor propio negativo de la Hessiana). 19 19 Geometría vieja Función de onda Ciclo SCF Ciclo de optimización de geometría Energía + gradiente Geometría nueva 20 20
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