1 NÚMEROS Y ÁLGEBRA Números naturales Inicialmente, el ser humano representaba los números naturales mediante marcas en piedras, huesos, maderas... en los que cada una de ellas hacía referencia a un elemento. A medida que tuvo la necesidad de representar números más grandes, creó sistemas de numeración que permitirían representarlos de forma más rápida y fácil. En la actualidad, los números naturales, ademas de para contar, se utilizan también para estimar cantidades, ordenar elementos y codificar informaciones. CONTENIDOS 1. Sistemas de numeración 2. El conjunto de los naturales 3. Técnicas de cálculo Cre@ctividad Creación de una calculadora simultánea Rutina de pensamiento MIRAR:10 VECES 2 • Observa la imagen del escritorio durante aproximadamente 30 segundos. • Elabora una lista de diez palabras o frases sobre cualquier aspecto de la imagen. • Observa de nuevo la imagen durante 30 segundos y añade diez palabras o frases más. • Poned en común y comentad vuestras respuestas. 12 13 1. Sistemas de numeración A lo largo de la historia, diferentes civilizaciones han desarrollado distintos sistemas para representar cantidades. Observa los símbolos que utilizaban los egipcios, los babilonios y los romanos. Los egipcios (3000 a. C.) 2 3 4 5 1 000 6 7 10 000 8 100 000 Los babilonios (2000 a. C.) 1 2 6 7 20 30 3 4 Los romanos (500 a. C.) 1 5 2 3 4 5 10 100 9 1 000 000 8 9 40 6 10 50 10 7 50 8 100 9 500 1 000 Combinando estos símbolos y utilizando reglas específicas podían escribir cualquier número. Observa cómo representaban el número 1664 en las tres civilizaciones anteriores: 4+ 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + (20 + 7) × 60 + 44 = = 1 620 + 44 = = 1 664 + 1 000 = 1 664 1 000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 4 = = 1 664 El conjunto de símbolos y reglas que permiten escribir y leer cualquier número se denomina sistema de numeración. a) 12 b) 25 c) 250 d) 1 350 3. En la siguiente página encontrarás información sobre diversos sistemas de numeración: http://links.edebe.com/9mde — ¿Cuándo se introdujo el símbolo del 0? 2. Elabora una lista con las ventajas y los inconvenientes de los sistemas anteriores. — ¿Aparece el 0 en el sistema de numeración griego? ¿Y en el maya? — ¿Qué característica debe tener un sistema para que sea eficaz a la hora de representar cualquier número natural? 4. En grupo, cread un sistema de numeración con los símbolos y las reglas necesarios para poder representar cualquier cantidad. Comprobad su validez escribiendo distintas cantidades. 14 Unidad 1 Actividades 1. Representa las siguientes cantidades en los sistemas de numeración egipcio, babilonio y romano: 1.1. Sistema de numeración decimal El sistema de numeración decimal fue inventado en la India y popularizado por los árabes. Es por ello que se conoce como sistema de numeración indoarábigo. El sistema de numeración decimal fue introducido en Europa en el siglo xiii por un destacado matemático de la época: Leonardo Fibonacci. •Para representar los distintos números se utilizan los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, denominados cifras o dígitos. •El valor de estas cifras varía según la posición que ocupan dentro de cada número. Se trata, por lo tanto, de un sistema de numeración posicional. Observa el valor de las cifras del número 223: 2 centenas = (2 C) 2 decenas = (2 D) 3 unidades = (3 U) + + 20 unidades 200 unidades 3 unidades Diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediatamente superior. De ahí el nombre de sistema de numeración decimal. = = 10 decenas = 1 centena 10 unidades = 1 decena A continuación, puedes ver en esta tabla los diferentes órdenes de unidades, hasta las unidades de millón, y su valor en unidades. ORDEN DE LA UNIDAD Unidad de millón (UMM) Centena de millar (CM) Decena de millar (DM) Unidad de millar (UM) Centena (C) Decena (D) Unidad (U) VALOR 1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 1 •Así, podemos descomponer el número 4 248 759 de la siguiente forma: 4 248 759 = 4 × 1 000 000 + 2 × 100 000 + 4 × 10 000 + 8 × 1 000 + 7 × 100 + 5 × 10 + 9 Se lee cuatro millones doscientos cuarenta y ocho mil setecientos cincuenta y nueve. 6. Escribe un número de cuatro cifras en el que el 5 ocupe el lugar de las centenas y el 3, el de las unidades de millar. 7. Observa los órdenes de unidades del número 3 546: 3 UM 5 C 4 D 6 U — Ahora escribe los órdenes de unidades de cada una de las cifras de estos números: a) 7 892 b) 9 034 c) 216 314 d) 3 456 245 e) 5 378 167 Números naturales 15 Actividades 5.¿El sistema de numeración egipcio es posicional o no posicional? ¿Y el babilónico? ¿Y el romano? 2. El conjunto de los naturales Para contar, asociamos números a los objetos. Los números naturales son los números que utilizamos para contar y forman un conjunto, el conjunto de números naturales, que representamos por la letra N. Características del conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} • El primer elemento es el número 1. Con los números naturales podemos efectuar distintas operaciones. Repasaremos primero la suma, la resta, la multiplicacion y la división. Luego trabajaremos las potencias y la raiz cuadrada. • Cada elemento se obtiene del anterior al sumarle una unidad. +1 +1 +1 2.1. Suma y resta 1 2...143 144...3 256 3 257 Sumar consiste en agregar una cantidad a otra. • Sus elementos están ordenados ya que cada número es mayor que el anterior. Ejemplo 1 … 215 < 216 < 217… Irene tiene ahorrados 248 euros y Elena, 345. ¿Cuánto dinero tienen entre las dos? • El número de elementos del conjunto es ilimitado. 593 PROPIEDAD ENUNCIADO EJEMPLO Conmutativa Si cambiamos el orden de los sumandos, el resultado no varía: 24 + 22 = 22 + 24 46 = 46 a+b=b+a Asociativa El resultado no depende de la forma en que se agrupen los sumandos: La prueba de la resta √ 46 + 25 = 24 + 47 71 = 71 Restar es la operación contraria a la suma y consiste en quitar o sustraer una cantidad de otra. En toda resta se cumple: Sustraendo + Diferencia Ejemplo 2 La distancia de Sevilla a San Sebastián es de 1 007 km. Si ya hemos recorrido 428 km, ¿cuántos kilómetros nos faltan para llegar? Minuendo Así, 428 + 579 = 1 007 a) 1 235 695 + 236 528 c) 532 214 − 125 638 b) 1 234 672 − 1 027 754 d) 23 456 + 456 782 — Comprueba el resultado de las restas aplicando la prueba de la resta. 1 007 Minuendo − 428 Sustraendo 579 Resta o diferencia 9. Explica de dos formas distintas cómo resolverías esta operación: 1 325 + 75 + 5 698. — ¿Qué propiedad has aplicado? 10. ¿Cumple la resta la propiedad conmutativa? ¿Y la propiedad asociativa? Razona tus respuestas. Actividades 8. Efectúa las siguientes operaciones: Unidad 1 √ (24 + 22) + 25 = 24 + (22 + 25) (a + b) + c = a + (b + c) 16 248 + 345 2.2. Multiplicación Multiplicar consiste en sumar una misma cantidad cierto número de veces. Ejemplo 3 Una estantería de la biblioteca tiene 24 estantes. Si en cada estante colocamos 56 libros, ¿cuántos libros hay en la estantería? 24 Factor × 56 Factor 144 Productos 120 intermedios 1 344 Producto La multiplicación de números naturales tiene las siguientes propiedades: PROPIEDAD Conmutativa ENUNCIADO EJEMPLO Si cambiamos el orden de los factores, el resultado no varía: 12 × 3 = 3 × 12 Asociativa Elemento unidad √ 36 = 36 a × b = b × a El resultado no depende de la forma en que se agrupen los factores: (a × b) × c = a × (b × c) (9 × 3) × 4 = 9 × (3 × 4) √ √ 27 × 4 = 9 × 12 108 = 108 El 1 es el elemento unidad de la multiplicación, pues al multiplicar cualquier número por 1 se obtiene el mismo número. 34 × 1 = 34 a×1=a Distributiva de la multiplicación respecto de la suma El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de este número por cada sumando (o sustraendo). a × (b + c) = a × b + a × c a × (b − c) = a × b − a × c 3 × (7 + 4) = 3 × 7 + 3 × 4 3 × 11 = 21 + 12 → 3 × (7 − 4) = 3 × 7 − 3 × 4 3 × 3 = 21 − 12 → √ √ 33 = 33 9=9 Factor Común La propiedad distributiva puede aplicarse para transformar una suma de productos con un factor común en el producto de dicho factor por una suma. Dicha operación se denomina sacar factor común. 2 × 9 + 2 × 5 = 2 × (9 + 5) a) 3 456 × 296 c) 97 532 × 26 b) 325 × 9 997 d) 329 × 8 976 12. Resuelve aplicando la propiedad distributiva: a) 2 × (45 + 70) b) 5 × (15 − 11) 13. Resuelve sacando factor común: a) 125 × 5 + 300 × 5 b) 42 × 4 − 4 × 25 c) 3 × a + 3 × b d) 5 × b + 5 14. Manuel tiene ahorrados, tres billetes de 10 ∑ y tres billetes de 5 ∑. Calcula cuánto dinero tiene ahorrado de dos formas distintas. Números naturales 17 Actividades 11. Efectúa estas multiplicaciones: 2.3. División Dividir consiste en repartir una cantidad en partes iguales. Ejemplo 4 Susana quiere repartir 125 fotografías y 153 postales en 25 cajas de modo que cada caja contenga el mismo número de fotografías y postales. ¿Cuántas de cada tipo debe poner en cada caja? REPARTO DE: 125 fotografías en 25 cajas. Dividendo 125 25 Divisor Resto 5 Cociente División entera • Ten en cuenta que en toda división entera el resto es mayor que 0 y menor que el divisor. 0 < Resto < Divisor 0 Dividendo 153 25 Divisor Resto 5 Cociente 3 Susana pondrá 5 fotografías en cada caja y no le sobrará ninguna fotografía. Susana pondrá 6 postales en cada caja y le sobrarán 3 postales. División exacta División entera Decimos que una división es exacta si el resto es 0. • En una divisón entera no es posible repartir una cantidad en tantas partes iguales como indica el cociente. El resto indica las partes que sobran. 153 postales en 25 cajas. Decimos que una división es entera si el resto es distinto de 0. En toda división se cumple que: Divisor × Cociente + Resto = Dividendo Comprobamos que esta condición se cumple en las dos divisiones anteriores. Divisor × Cociente + Resto = = Dividendo Divisor × Cociente + Resto = = Dividendo 25 × 5 + 0 = 125 25 × 6 + 3 = 150 + 3 = 153 a) 2 422 : 56 c) 3 892 123 : 531 b) 1 326 : 26 d) 56 850 869 : 589 16. Efectúa las divisiones y verifica que se cumple la prueba de la división. a) 345 678 : 98 18 Unidad 1 b) 1 009 876 : 456 √ 17. En una división entera el divisor es 474, el cociente 5 295 y el resto 83. ¿Cuál es el dividendo? 18. ¿Cumple la división la propiedad conmutativa? ¿Tiene elemento unidad? Razona tus respuestas. 19. Un profesor reparte 176 fichas, en partes iguales, entre sus 24 alumnos. ¿Cuántas fichas le sobrarán? ¿Cuántas fichas recibirá cada alumno? Actividades 15. Calcula estas divisiones e indica si son exactas o enteras. √ 2.4. Operaciones combinadas A veces nos encontramos con varias operaciones distintas seguidas, separadas en algunos casos por paréntesis. Se trata de operaciones c ombinadas. 5×4+3 42 − 24 : 4 × 5 3 + 5 × (4 + 2) ¿En qué orden debemos efectuar estas operaciones? Si no hay paréntesis, efectuamos primero las multiplicaciones y las divisiones, en el orden en que aparecen, y después las sumas y las restas. Paréntesis 3 + 5 × (4 + 2) División 42 − 24 : 4 × 5 Multiplicación 5 × 4 + 3 Suma Si hay paréntesis, debemos efectuar primero las operaciones indicadas dentro de ellos. Multiplicación 20 + 3 42 − 6 × 5 Resta 23 Multiplicación 4 − 30 Suma 12 3 + 30 33 En algunas operaciones combinadas encontramos paréntesis dentro de otros paréntesis. En estos casos los paréntesis exteriores se representan por corchetes [ ]. Ejemplo 5 3+5×6 Efectúa la siguiente operación combinada: [18 + 4 × (5 × 3 − 9)] : 2 − 3 × (20 − 14) COMPRENSIÓN: En este caso aparecen paréntesis y corchetes. Comenzamos operando del más interno al más externo. Calculadora La calculadora puede serte útil para efectuar operaciones con números grandes y para comprobar tus resultados. La mayor parte de las calculadoras actuales respetan la prioridad de operaciones. Por ejemplo, para efectuar la operación combinada 288 : (8 − 4) + 23 RESOLUCIÓN: — Primero, efectuamos las operaciones indicadas en el paréntesis interior y sustituimos los corchetes por paréntesis: es necesario teclear en tu calculadora los paréntesis: (18 + 4 × 6) : 2 − 3 × (20 − 14) — Después, efectuamos las operaciones que están dentro de los paréntesis y, a continuación, procedemos como en las operaciones combinadas sin paréntesis: 42 : 2 − 3 × 6 = 21 − 18 = 3 a) 3 + 7 − 3 × (6 − 4) + 3 c) 250 − 12 × 28 + 4 × (28 − 7) b) [(5 + 12) × 6] : 34 d) 5 625 − [(200 − 50) × 20] : 40 22. Dos amigos han instalado un chiringuito de venta de limonada en la playa. Al final de la semana han recaudado cinco billetes de 10 ∑, cuatro billetes de 5 ∑ y cuatro monedas de 2 ∑: 21. Completa en tu cuaderno con el número que falta: a) ¿Cuánto dinero ganaron en total? a) 4 × ..... − 2 + 4 = 14 b) Si se repartieron el dinero en partes iguales, ¿qué cantidad ganó cada uno? b) 3 × (..... − 5) + 6 = 9 c) 2 × 3 + ..... − 3 × 2 = 5 d) 3 × (..... − 5) + 2 × (..... − 2) = 11 c) ¿Cómo expresarías lo que ganó cada uno en una operación combinada? Números naturales 19 Actividades 20. Efectúa estas operaciones combinadas: — ¿Qué sucedería si no los pusieras? 2.5. Potencias Como ya sabes, la multiplicación se define a partir de sumas de sumandos iguales. Análogamente, a menudo conviene efectuar productos de factores iguales, denominados potencias. El cubo de la imagen tiene cuatro pisos. Cada piso tiene cuatro filas de cuatro cubitos cada una. Así, el cubo mayor está formado por: 4 × 4 × 4 = 64 cubitos Una potencia es un producto de factores iguales. El factor que se repite es la base. Ejemplo 6 El número de veces que se repite el factor es el exponente. Ana recibe un sms. En un minuto reenvía el sms a Benito, Carlos y Diana. Cada uno de ellos, en un minuto, envía el sms a otras tres personas y así sucesivamente. Si todas las personas que reciben el sms son diferentes y cada una lo envía a otras tres personas en un minuto, ¿cuántas personas reciben el sms al cabo de 5 minutos? COMPRENSIÓN: Un esquema o dibujo de la situación puede ayudarnos en la identificación de datos y en la resolución. — E n el primer minuto reciben el sms 3 personas, en el segundo minuto 3 × 3, en el tercero 3 × 3 × 3 y así sucesivamente. RESOLUCIÓN: Al cabo de 5 minutos han recibido el sms: 1 + 3 + 3 × 3 + 3 × 3 × 3 + 3 × 3 × 3 × 3 + 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 364 ... ... ... Transcurridos 5 minutos, 364 personas habrán recibido el sms. Escritura de potencias Cuadrados y cubos El número que indica la base se escribe al mismo nivel y tamaño de letra que la línea del texto y el exponente se escribe a la derecha, como superíndice. Las potencias de exponente 2 se denominan cuadrados. Así, 72 se lee 7 elevado al cuadrado. Las potencias de exponente 3 se denominan cubos. Así, 53 se lee 5 elevado al cubo. 4×4×4=43 Potencia Exponente Base Así, la solución del ejemplo anterior se puede escribir: 1 + 3 + 3 2 + 33 + 34 + 35 Lectura de potencias Las potencias cuyo exponente es mayor que 3, como por ejemplo 68, se leen: 6 elevado a 8 o bien 6 elevado a la octava potencia 20 24. Expresa en forma de producto de factores iguales y calcula: a) 4 × 4 × 4 × 4 × 4 a) 23 = 2 × 2 × 2 = 8 c) 31 e) 25 b) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 b) 35 d) 73 f) 52 Unidad 1 Actividades 23. Escribe en forma abreviada los siguientes productos. Identifica en cada caso la base y el exponente, y calcula: Potencias de 10 Orden de magnitud Fíjate en el resultado de algunas potencias de 10: El orden de magnitud de un número es la aproximación a la potencia de 10 más próxima a este número. Por ejemplo, el orden de magnitud de 1 273 es 103. 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 108 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 000 En cada caso el número de ceros es igual al exponente. Toda potencia de 10 cuyo exponente es un número natural es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. Las potencias de 10 son muy útiles puesto que nos permiten mostrar el orden de magnitud de cantidades muy grandes. Observa el siguiente número: 8 × 1022 = 80 000 000 000 000 000 000 000 La expresión que usa la potencia de 10 nos permite reconocer el orden de magnitud del número; es decir, cuántas cifras tiene, mucho más rápida y claramente que su expresión completa. ¿Grande o muy grande? Además, la sencillez de su expresión permite su empleo como elemento fundamental en el sistema de representación de los números que se conoce como notación científica. Descomposición polinómica de un número Cualquier número formado por una o varias cifras puede expresarse como una combinación de potencias de 10. Así: 7 654 Acércate al mundo de las magnitudes estelares. http://links.edebe.com/s6dr9d 7 000 600 50 4 7 × 1 000 6 × 100 5 × 10 4 7 × 103 6 × 102 5 × 10 4 — Expresa los diámetros de los planetas y las estrellas que se presentan en los vídeos como producto de un número por una potencia de 10. — Compara los diámetros de los planetas y las estrellas con el diámetro del Sol. 7 654 = 7 × 103 + 6 × 102 + 5 × 10 + 4 Esta expresión recibe el nombre de descomposición polinómica del número 7 654. a) 103 = 10 × 10 × 10 = ......................... b) 104 = .................................................. = 10 000 a) De la Tierra al Sol, 150 000 000 km. c) ......... = .................................................. = 10 000 000 b) De la Tierra a Marte, 78 000 000 km. 26. Escribe las descomposiciones polinómica de estos números: a) 1 537 b) 9 007 163 Actividades 27. Expresa las siguientes distancias como producto de un número por una potencia de 10: 25. Completa: c) 15 318 c) De la Tierra a la estrella Alfa de Centauro, 40 000 000 000 000 km. Números naturales 21 Operaciones con potencias En las operaciones combinadas, las potencias, dado que son productos de factores iguales, tienen prioridad respecto a las sumas y restas. Observa el ejemplo siguiente: Ejemplo 7 Paréntesis 5 × 103 − 3 × (52 + 25) + 24 × 42 Potencias y Multiplicaciones 5 × 103 − 3 × 57 + 24 × 42 5 000 − 171 + 256 = 5 085 División de potencias con la misma base Multiplicación de potencias con la misma base 7 × 2 73 =7×7×7×7×7= 75 =7 117 : 114 = 11 × 11 × 11 × 11 × 11 × 11 × 11 11 × 11 × 11 × 11 2+3 = = 11 × 11 × 11 = 113 = 117−4 El producto de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes. El cociente de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. am × an = am + n am : an = am − n Veamos dos casos particulares de potencias. Producto de potencias Potencias de exponente 0 Potencias de exponente 1 Puesto que 100 = 1 y 101 = 10, podemos expresar todas las cifras de cualquier número como producto de potencias de 10. Así: Consideremos la siguiente división: Consideremos la siguiente división: 7 654 = 7 × +6× + 5 × 101 + 4 × 100 103 102 74 : 74 = 74 : 73 = = 74−4 = 70 = 1 = Cualquier potencia de exponente 0 es igual a 1. Cualquier potencia de exponente 1 es igual a la base. a0 = 1 a1 = a b) 26 : 42 + 30 × 41 b) 51 × 52 = 5.... = 5.... = ....... 29. Razona, escribiendo todos los factores, que: c) 24 : 23 = ....... = ....... = ....... d) 36 : 32 = ....... = ....... = ....... Actividades 30. Resuelve según el modelo: a) 42 × 43 = 42 + 3 = 45 = 1 024 Unidad 1 7×7×7 = 74−3 = 71 = 7 a) 2 × 34 + (2 + 3)4 − 42 + 1 54 × 56 = 510 7×7×7×7 + 28. Calcula: 22 7×7×7×7 = 7×7×7×7 Potencia de una potencia Potencia de un producto (3 × 5)2 = (3 × 5) × (3 × 5) = 3 × 5 × 3 × 5 = 3 2 × 5 2 Para elevar un producto a una potencia, se eleva cada uno de los factores a dicha potencia. (a × b)n = an × bn (7 2 ) 3 = 72 × 72 × 72 = 72 + 2 + 2 = 7 2 × 3 Al elevar una potencia a un exponente resulta una nueva potencia con la misma base, cuyo exponente es igual al producto de los exponentes. (am)n = am × n Ejemplo 8 Observa cómo se aplican las propiedades de las potencias en los siguientes ejemplos: Expresa las siguientes operaciones en forma de una sola potencia: a) 252 × 53 b) 1443 : 12 COMPRENSIÓN: a) Expresaremos 25 como potencia de 5 y aplicaremos las propiedades de las potencias. b) Expresaremos 144 como potencia de 12 y aplicaremos las propiedades de las potencias. RESOLUCIÓN: a) 25 = 5 × 5 = 52 252 × 53 = (52)2 × 53 = 52 × 2 × 53 = 54 × 53 = 54 + 3 = 57 b) 144 = 12 × 12 = 122 Ejemplo 9 1442 : 12 = (122)2 : 12 = 122 × 2 : 121 = 124 : 121 = 124 − 1 = 123 Un terreno agrícola rectangular tiene 8 ha de ancho y 6 000 m de largo. ¿Cuántos metros cuadrados tiene de área? Expresa los datos y el resultado en forma de potencia de 10 COMPRENSIÓN: El área de un rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura. Expresaremos las medidas en metros y en forma de potencia de diez y calcularemos el área aplicando las propiedades de las potencias. RESOLUCIÓN: 8 ha = 800 m = 8 × 102 m 6 000 m = 6 × 103 m Área = 8 × 102 × 6 × 103 = (8 × 6) × 103+2 = 48 × 105 El área del terreno es de 48 × 105 m2 × a) 25 2 3 b) (34)7 c) (34)2 : 33 × 32 d) 103 e) (3 × × (2 × 5)3 2)4 f) (23 × 23)2 : 23 g) 115 h) 63 : 112 × (2 × 3)2 i) (54 : 52)2 32. Expresa las siguientes operaciones en forma de una única potencia: a) (642 × 83)5 b) (162 : 22 × 24)2 c) 72 × 74 : 493 33. Para fabricar una cortina hemos comprada una tela rectangular de 3 m de alto y 600 mm de ancho. ¿Cuántos milímetros cuadrados tendrá la cortina? Expresa el resultado en forma de potencia de 10. Números naturales 23 Actividades 31. Aplica las propiedades de las potencias para expresar como una potencia única cada una de las expresiones numéricas siguientes: Cuadrado Raíz cuadrada 2.6. Raíces cuadradas 1 × 1 = 12 = 1 1 = 12 = 1 Observa en la tabla los cuadrados de los diez primeros números naturales. ¿Cuál es el número que elevado al cuadrado da 9? ¿Y el que da 64? 2 × 2 = 22 = 4 4 = 22 = 2 Diremos que 3 es la raíz cuadrada de 9, pues 32 = 9. 3 × 3 = 32 = 9 9 = 32 = 3 4 × 4 = 42 = 16 16 = 42 = 4 5 × 5 = 52 = 25 25 = 52 = 5 6 × 6 = 62 = 36 36 = 62 = 6 7 × 7 = 72 = 49 49 = 72 = 7 8 × 8 = 82 = 64 64 = 82 = 8 9 × 9 = 92 = 81 81 = 92 = 9 10 × 10 = 102 = 100 100 = 10 2 = 10 De la misma manera, 8 es la raíz cuadrada de 64, pues 82 = 64. 9 = 3 Símbolo de la raíz cuadrada Raíz cuadrada Radicando La expresión 9 se lee raíz cuadrada de 9. La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado es igual al primero. A = a → a2 = A Aquellos números que son el cuadrado de otro número se llaman cuadrados perfectos. Así, según si el radicando es un cuadrado perfecto o no, tendremos raíces cuadradas exactas o enteras. Raíz cuadrada exacta 64 Cuadrados perfectos 64 es un cuadrado perfecto → 64 = 82 Memorizar algunos cuadrados perfectos nos permitirá calcular algunas raíces cuadradas exactas: Por tanto, 8 es la raíz cuadrada de 64. 112 = 121; 64 = Diremos que la raíz cuadrada exacta de 64 es 8. Raíz cuadrada entera 121 = 11 60 122 = 144; 144 = 12 132 = 169; 169 = 13 142 = 196; 196 = 14 = 225; 225 = 15 49 < 60 < 64 202 = 400; 400 = 20 72 < 60 < 82 252 = 625; 625 = 25 152 82 = 8 60 no es un cuadrado perfecto, pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos, 49 y 64. Así 60 cumplirá → 7< 60 < 8 La raíz cuadrada de 60 es un número entre 7 y 8. Diremos que la raíz cuadrada entera de 60 es 7 (el menor de los dos). — ¿Qué operación matemática estás efectuando? 35. Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas y escríbelas ordenadas de mayor a menor: 400 36 100 25 625 64 36. Halla la raíz cuadrada entera de los siguientes números: 231, 453, 40, 125, 18, 990, 48, 72. 37. Disponemos de 88 baldosas cuadradas. ¿Cuántas baldosas tendrá la superficie cuadrada máxima que podremos cubrir?¿Cuántas baldosas habrá en cada lado de esta superfície? 24 Unidad 1 Actividades 34. Halla los números cuyos cuadrados perfectos son: 4, 121, 144, 169, 16, 25, 81, 49. Potencias y raíces con calculadora Las calculadoras científicas permiten calcular directamente una potencia o una raíz cuadrada mediante teclas específicas. Observa las teclas que se utilizan en el cálculo de potencias y raíces cuadradas, y efectúa las operaciones que tienes a continuación. Potencias de números Raíces cuadradas a) 224 c) 576 b) 135 d) 1024 Cursor para trasladarse de un caracter a otro Elevado al cuadrado Elevado al cubo Raíz cuadrada Elevado a una potencia Signo − Tecla para borrar un carácter Abre paréntesis Tecla para obtener el resultado de la operación Cierra paréntesis Operaciones combinadas Números muy grandes e) 5 × 103 − 3 × (52 + 25) + 24 × 42 f) 1505 + 2505 — Cuando el resultado es un número muy grande, ¿cómo lo expresa la calculadora? a) 94 b) 158 c) (11)4 d) (20)17 e) (7)3 + (7)5 a) 33 : 32 + 5 × (92 × 33) + 17 f) 237 : 232 39. Efectúa con la calculadora estas raíces cuadradas: a) 1024 b) 3 100 c ) 50 625 40. Efectúa con la calculadora las siguientes operaciones combinadas: d ) 725 b) 83 × 152 + 2 × (12)3 × (45 × 24) + 50 × 92 c) 54 : 252 + (25 × 23) × 36 − (142 × 140) Números naturales 25 Actividades 38. Resuelve con la calculadora las siguientes potencias: 3. Técnicas de cálculo 7? ¿55-2 ¿16+ Las estrategias de cálculo mental y las aproximaciones mediante redondeo permiten resolver operaciones con números naturales de un modo más fácil y rápido. 3? 3.1. Estrategias de cálculo mental ESTRATEGIAS PARA LA SUMA ESTRATEGIA Reducción y aumento simultáneo EJEMPLO Se reduce y aumenta simultáneamente la misma cantidad en los dos sumandos buscando completar el primer sumando a la decena más cercana. 16 + 7 = (16 + 4) + (7 − 4) = 20 + 3 = 23 12 + 57 = (12 − 2) + (57 + 2) = 10 + 59 = 69 Descomposición de números Se descomponen los dos sumandos en sumas de decenas y unidades, se suman las decenas y las unidades por separado, y se suman los resultados parciales: 46 + 52 = (40 + 6) + (50 + 2) = (40 + 50) + (6 + 2) = 90 + 8 = 98 23 + 67 = (20 + 3) + (60 + 7) = (20 + 60) + (3 + 7) = 80 + 10 = 90 Propiedad fundamental de la resta Si sumamos o restamos el mismo número al minuendo y al sustraendo obtenemos una resta equivalente. ESTRATEGIAS PARA LA RESTA ESTRATEGIA Reducción o aumento simultáneo 27 − 18 = 9 • Si sumamos 2 al minuendo y al sustraendo: Se reduce o se aumenta simultáneamente la misma cantidad en el minuendo y el sustraendo buscando completar el sustraendo a la decena más cercana. 55 − 23 = (55 − 3) − (23 − 3) = 52 − 20 = 32 48 − 29 = (48 + 1) − (29 + 1) = 49 − 30 = 19 (27 + 2) − (18 + 2) = 29 − 20 = 9 • Si restamos 8 al minuendo y al sustraendo: (27 − 8) − (18 − 8) = 19 − 10 = 9 EJEMPLO Descomposición de números Se descomponen el minuendo y el sustraendo en sumas de decenas y unidades, se restan las decenas y las unidades por separado y se suman los resultados parciales. 43 − 12 = (40 + 3) − (10 + 2) = (40 − 10) + (3 − 2) = 30 + 1 = 31 57 − 25 = (50 + 7) − (20 + 5) = (50 − 20) + (7 − 5) = 30 + 2 = 32 26 a) 31 + 53 e) 86 − 38 b) 95 + 12 f) 120 − 29 c) 76 + 12 g) 151 − 142 d) 36 + 54 h) 76 − 39 Unidad 1 42. Indica la estrategia más adecuada (reducción o aumento simultáneo o descomposición de números) para resolver las operaciones siguientes: a) Sumar dos números y que la suma de las unidades sea menor que 10. b) Restar dos números y que el resultado de la resta de las unidades sea con llevadas. Actividades 41. Aplica una de las estrategias anteriores para calcular mentalmente estas sumas y restas: 3.2. Redondeo A veces, no es necesario trabajar con un número exacto y basta con conocer una aproximación de este que nos facilite los cálculos a la hora de efectuar operaciones. Para redondear un número a un cierto orden de unidad, observamos la cifra siguiente a la que queremos redondear. Observa como redondeamos el número 54 374 a las unidades de millar y a las centenas: — Para redondear a las unidades de millar, nos fijamos en la cifra de las centenas: 54 374 Si es menor que 5, se sustituyen por 0 todas las cifras de su derecha y dicha cifra. 54 000 — Para redondear a las centenas, nos fijamos en la cifra de las decenas: Ejemplo 11 54 374 Si es mayor o igual que 5, se suma una unidad a la cifra anterior y se sustituyen por 0 todas las cifras de su derecha y dicha cifra. 54 400 La familia de María ha gastado en sus vacaciones 2 550 ∑ y la familia de Juan, 2 738 ∑. ¿Cuánto dinero han gastado aproximadamente entre las dos familias? COMPRENSIÓN: Como no necesitamos un resultado exacto, redondeamos los sumandos a las centenas y calculamos la suma de los operandos redondeados. Aproximación en operaciones Si en una operación queremos obtener el resultado redondeado a un cierto orden de unidad, podemos sustituir los números que intervienen en la operación por números próximos más sencillos obtenidos mediante el redondeo. RESOLUCIÓN: — Redondeamos a las centenas cada uno de los sumandos: 2 550 → 2 600 2 738 → 2 700 — Sumamos: 2 600 + 2 700 = 5 300 Entre las dos familias han gastado 5 300 euros. COMPROBACIÓN: Observamos que si sumamos y después redondeamos obtenemos el mismo resultado: 2 550 + 2 738 = 5 288 ∑ 5 288 → 5 300 — Si hubiéramos aproximado los operandos a las decenas, ¿los cálculos hubieran sido más fáciles o más complejos? ¿Y más aproximados o menos? a) 127 124 000 b) 58 527 333 c) 2 381 456 214 44. En los últimos dos meses Jesús ha leído tres libros: el primero de 127 páginas, el segundo de 220 páginas y el tercero de 107 páginas. Calcula el número de páginas que ha leído Jesús redondeadas a las centenas. 45. Redondea a las centenas los números de estas operaciones y efectúalas con los números redondeados: a) 3 980 × 320 + 5 550 × 432 c) 7 723 + 1 572 b) 3 576 × (467 + 423) d) 4 780 × 720 + 5 356 × 693 46. En una carrera popular se han inscrito 2 389 hombres y 2 029 mujeres. Calcula el número de inscritos redondeando a las centenas y a las decenas. Números naturales 27 Actividades 43. Redondea los siguientes números a las decenas de millón: ACTIVIDADES RESUELTAS Método general de resolución de problemas Antes de abordar la resolución de un problema, debes entender el enunciado y ser capaz de reescribirlo con tus propias palabras. Una vez hayas analizado el problema, tendrás que elaborar un plan de resolución y resolverlo. Como último paso y antes de dar el problema por terminado, debes comprobar que el resultado responde a la pregunta inicial planteada y que el proceso de resolución elegido es correcto. Una familia gasta en un mes 240 ∑ en alimentación, 300 ∑ en actividades de ocio, 900 ∑ en el alquiler y 150 ∑ en gastos de suministros (luz, gas y agua). Si los ingresos son de 1 832 ∑, ¿cuánto dinero ahorran mensualmente? Comprender — Anotamos los datos del enunciado. Gastos mensuales: — ¿Cuáles son los datos de los que dispones? Alimentación: 240 ∑ — ¿Cuál es la pregunta? Ocio: 300 ∑. — ¿Tienes suficientes datos? ¿Hay datos irrelevantes? Alquiler de la vivienda: 900 ∑. Ingresos mensuales: 1 832 ∑. Suministros: 150 ∑ Planificar — Calculamos los gastos mensuales y los comparamos con los ingresos. — Configura un plan para resolver el problema. — Si los ingresos son mayores que los gastos, restamos los ingresos de los gastos y obtenemos el dinero ahorrado. Dinero ahorrado = Ingresos totales − Gastos totales Ejecutar el plan — Sumamos los gastos mensuales. 240 + 300 + 900 + 150 = 1 590 ∑ — Resuelve las operaciones. — ¿Te convence el método de resolución? Si no es así, prueba con otra forma de ejecutar el problema. — Como los ingresos son mayores que los gastos 1832∑ (1 832 ∑ >1 590 ∑), restamos y obtenemos el − 1 5 90 ∑ dinero ahorrado. 242∑ — Mensualmente ahorran 242 ∑. Revisar — Repasamos que la suma de los gastos sea correcta. — Comprobamos la diferencia mediante la prueba de la resta: — ¿Cómo puedes comprobar si tu solución es correcta? — ¿Crees que podrías resolver el problema de otro modo? 47. Carlota ha abierto la hucha y tiene dos billetes de 10 ∑, dos de 5 ∑ y diez monedas de 2 ∑. ¿Podrá comprar un juego que cuesta 59 ∑? 28 Unidad 1 1 590 ∑ + 242 ∑ = 1 832 ∑ 48. La equipación de tenis de María consta de unas bermudas de 13 ∑, una camiseta de 22 ∑, unas deportivas de 54 ∑ y una raqueta de 63 ∑. Si dispone de un vale de descuento de 100 ∑, ¿cuánto ha pagado por toda la equipación? Actividades Utiliza la estrategia anterior para resolver estos problemas: Sustraendo + Diferencia = Minuendo SÍNTESIS NÚMEROS NATURALES Se expresan mediante el sistema de numeración decimal y se emplean para contar, ordenar, codificar... Operaciones elementales Suma Resta Multiplicación Potencias Raíz cuadrada La potencia es un producto de factores iguales. Base: factor que se repite. Exponente: número de veces que se repite el factor. La raíz cuadrada de un número A es otro número a que elevado al cuadrado es igual al primero: A = a → a2 = A Exactas División Enteras Actividades finales Sistemas de numeración 49. a Escribe todos los números de tres cifras que 53. contienen un 2, un 4 y un 7. 50. a ¿Cómo se leen los siguientes números? a) 8 245 365 51. Escribe el número anterior a cada uno de los siguientes: a a) 2 millones 52. b) 165 755 256 Escribe los números mayor y menor de cuatro cifras que pueden formarse con el 2, el 4, el 6 y el 8 de modo que en ambos no se repita ninguna de ellas. ¿Cuál es la diferencia entre los dos números? s El conjunto de los números naturales 54. a Escribe diez números naturales comprendidos entre 1 y 20, y diez números naturales comprendidos entre 1 000 y 1 100. c) 5 centenas de millón b) 3 decenas de millón d) 20 unidades de millar 55. a Ob serva cómo se calculan las centenas que hay en un millón: 1 UMM = 1 000 000 U = = 100 000 D = 10 000 C 56. s s — ¿Cuántas decenas de millar hay en una decena de millón? Ordena de menor a mayor los siguientes números: 365 089, 356 088, 365 004, 145 567, 145 099. Un código numérico muy utilizado es el que se emplea en las bibliotecas para identificar los libros. Inventa un código que tenga en cuenta el autor, el tema del libro y su ubicación dentro de la biblioteca. Descríbelo. Números naturales 29 Actividades finales Suma, resta, multiplicación y división 57.a Efectúa en tu cuaderno las siguientes sumas y restas: sultados de las siguientes operaciones: a) (2 + 3) × 5 − (3 − 2) × 9 a) 4 906 + 2 001 b) 8 305 + 4 595 c) 7 827 − 3 084 58.a En este momento, la diferencia de precio entre dos modelos de coches es de 987 ∑. ¿Cuál será la nueva diferencia si el modelo más caro disminuye 50 ∑ en su precio y el más económico lo aumenta en 200 ∑? 59.a Calcula: a) 5 816 × 927 c) 2 835 : 27 b) 14 280 × 143 d) 5 901 : 84 b) 1 + 5 × (2 + 8) − 6 × (4 − 2) c) 3 × (7 − 3) + 2 × (4 − 5) d) 6 × (2 − 1) + (7 − 3) × 3 67.d Calcula sacando factor común: a) 2 × (3 × 9 + 3 × 5) − (3 × 6 − 3 × 4) − 1 b) 5 × (2 × 9 + 2 × 3) − 4 × (2 × 5 + 2 × 4) c) 4 × 2 + 4 × 5 − 4 × 6 60.a ¿Qué número dividido por 12 da 63 de cociente y 7 de resto? 61.a En una división entera el dividendo es 50, el co- 68.d Usando la propiedad distributiva, halla cuál es el número que falta en cada una de estas expresiones: a) ...... × 5 − ...... × 4 + ...... × 3 = 8 ciente es 3 y el resto es 5. ¿Cuál es el d ivisor? b) 2 × (...... × 3 − ...... × 2) + ...... × 3 = 20 — ¿Cuál debería ser el dividendo para que con el mismo cociente y el mismo divisor, la división fuera exacta? c) (5 × ...... − 2 × ......) × 2 + 3 × (...... + ...... × 2) = 15 62.s Calcula las siguientes operaciones combinadas sacando factor común: Potencias y raíces 69.a Halla el valor de cada una de estas expresiones. a) 2 × 7 + 2 × 6 + 2 × 2 + 2 × 9 c) 2 × 4 + 7 × 4 + 8 × 4 a) 52 c) (2 + 3)4 e) 32 × 23 b) 9 × 3 + 9 × 1 + 9 × 9 d) 5 × 3 + 9 × 5 + 5 × 9 b) 56 d) (7 − 2)3 f ) 82 + 24 63.s Resuelve estas operaciones combinadas. Recuerda 70.a Completa, siguiendo el modelo: la prioridad que se establece en ellas: a) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 = 243 d) 5 × ..... = 54 = ..... a) 23 + 34 × 12 + 5 d) 12 + 3 × (4 − 6 : 2) b) 4 × 4 × 4 = 43 =..... e) ................ = 5... = 125 b) 3 + 2 × (4 + 3) e) 29 × [3 − (2 × 6 − 10)] c) 4 × 4 × 4 × 4 = ..... = ..... f ) ................ = 63 = ..... c) 9 − 6 : 3 + 1 f ) 3 × [4 + 6 : (2 × 5 − 8)] − 5 64. Coloca los paréntesis necesarios para que el resultado sea correcto: s a) 7 + 4 × 5 = 55 c) 12 : 2 × 3 + 2 = 30 b) 5 + 3 : 2 + 5 − 3 = 2 d) 3 + 15 × 7 − 9 = 117 65. Efectúa estas operaciones combinadas: s a) 26 − 2 × 5 − 7 × 2 + 10 : 5 b) 10 + 4 × 3 − 12 : 3 − 10 : 5 c) (6 + 2 × (4 − 2 )) : 5 + (2 + 4 × 2) d) 3 × 9 + (6 + 5 − 3) − 12 : 2 e) 30 + 3 − 45 : 5 + 14 f ) (3 + 12 × 2) : 3 + 4 30 66.s Usa la propiedad distributiva para calcular los re- Unidad 1 71.a Escribe y calcula las potencias que se indican: a) Cubo de 3. c) Base 4 y exponente 3. b) Base 3 y exponente 4. 72.a Escribe como producto de un número natural por una potencia de 10 los números siguientes: a) 450 000 000 000 c) 812 000 000 b) 700 000 000 d) 900 000 73.a¿ Cuáles de las expresiones siguientes se pueden escribir como una sola potencia? Escribe las que lo sean en forma de base y exponente: a) 6 + 6 + 6 d) 23 × 25 b) 4 + 4 + 4 + 4 e) 23 × 45 c) 5 × 5 + 5 × 5 + 5 × 5 f ) (3 + 5) × (3 + 5) × (3 + 5) 74. 75. 76. Aplica las propiedades de las operaciones con potencias: s a) 54 × 54 e) 75 : 73 i) (3 × 6)8 : 62 b) 53 × 54 f ) 95 : 9 j) 3 × 32 × (32)2 c) 125 × 123 g) 811 : 84 × 83 k) (43)5 d) 42 × 43 × 44 h) (3 × 5)6 l) (23)5 : 212 Calcula aplicando las propiedades de las potencias: s a) 107 × 103 c) 105 b) 105 : 102 d) (103)2 s : s 78. (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) = 16 = 42 — ¿Puedes intuir cómo serán los cuatro resultados siguientes? En tal caso comprueba tu teoría. 83. Halla el valor de cada una de estas raíces cuadrab) 100 c) 255 d) d c) 240 84. Indica: c) El primero cuya cuarta potencia tiene cuatro cifras. ¿Cuántos cuadraditos tiene este cuadrado? ¿Cuántos cubitos tiene el cubo? Calcula las raíces cuadradas: 25 b) 144 — Efectúa ahora 25 × 144 y justifica si es válida la siguiente afirmación: «La raíz cuadrada de una suma es igual a la suma de las raíces cuadradas». d) 10 005 b) El primer número natural cuyo cubo tiene tres cifras. d a) 10 000 Calcula mentalmente el valor de la raíz cuadrada entera de cada uno de los números siguientes y busca su aproximación decimal mediante la calculadora: b) 110 Observa estos resultados: (1) + (1 + 2) = 4 = 22 Completa: 169 d (1 + 2) + (1 + 2 + 3) = 9 = 32 a) Todos los números naturales cuyos cuadrados están comprendidos entre 200 y 500. 80. 82. d a) 12 79. b) Si se pinta toda la superficie exterior del cubo ¿cuántos cubitos quedarán con una sola cara pintada? das: a) Observa las figuras anteriores y resuelve las cuestiones siguientes escribiendo las respuestas en forma de potencia: d a) ¿Cuántos cuadraditos se pueden contar en total en la superficie exterior del cubo? 104 × 103 Cuando buscamos la raíz cuadrada de un número A, estamos buscando otro número tal que ............... nos dé A. Por ello, 169 ............... ya que (13)..... = ............... 77. 81. Queremos colaborar con una ONG prestando ayuda de este modo: cada día una persona ayuda a 3 más y cada una de las personas que ha sido ayudada, ayuda a su vez a 3 personas más que no hayan recibido ayuda antes. Así sucesivamente. ¿A cuántas personas habremos ayudado el 5.o día? ¿Y al cabo de 10 días? d Problemas 85. a 86. a 87. a Calcula la diferencia entre seis docenas de docenas de huevos y la mitad de una docena de docenas de huevos. d Un autobús escolar, de lunes a viernes, va de la estación a la escuela (2 km). Además, los lunes, los miércoles y los viernes cubre el recorrido de la escuela a la piscina (7 km), y los viernes de la escuela al museo de arte (3 km). ¿Cuántos kilómetros recorre a la semana? Ten en cuenta que cada trayecto es de ida y vuelta. Un grupo musical ofrecerá cuatro conciertos en cuatro estadios diferentes en los que caben 5 500, 11 380, 5 450 y 6 500 personas. Si se han agotado todas las entradas y el precio de cada una de ellas es de 24 ∑, haz una estimación de lo que se ha recaudado en total. Números naturales 31 Actividades finales 88.a Para celebrar una fiesta de cumpleaños hemos comprado 100 caramelos de fresa y 200 de menta, y los queremos distribuir en bolsas que contengan 3 caramelos de fresa y 7 de menta: a) ¿Cuántas bolsas podremos preparar? b) ¿Cuántos caramelos de cada clase sobrarán? 89.a Necesitamos colocar 354 botones en cajas de 6 uni- dades. ¿Es posible agruparlos sin que nos sobre ningún botón? ¿Y si hemos de agruparlos en cajas de 11 unidades? Justifica tus respuestas. 90.a Una persona podría completar el Camino de San- tiago en 30 días recorriendo diariamente 18 kilómetros, pero por una herida en el pie no puede andar más de 12 km por día. ¿Cuánto tiempo de más tardará en completarlo? 95.s Un operario que cobra 12 ∑ por el desplazamiento y 23 ∑ por cada hora de trabajo, repara una fuga de agua de un radiador por la que cobra 58 ∑: a) ¿Cuántas horas ha tardado en completar la reparación? b) ¿Cuánto cobraría por una reparación de tres horas de duración? 96.s La recaudación de un establecimiento al cerrar la caja un día cualquiera es de 23 billetes de 20 ∑, 15 de 10 ∑, 25 de 5 ∑, 40 monedas de 2 ∑ y 38 de 1 ∑. a) ¿Cuánto ha recaudado el propietario del establecimiento? b) Si decide ir al banco a cambiar la recaudación por el mínimo número de billetes posibles, ¿cuántos billetes le darán? ¿Cuántas monedas le sobrarán? 97.s He comprado 12 cajas de pañuelos. En cada una de ellas hay 12 paquetes y cada paquete tiene 12 pañuelos. ¿Cuántos pañuelos tengo en total? Escribe el resultado en forma de potencia. 98.s La suma de tres potencias de base 3 es 279. La mayor es 35 y tiene 234 unidades más que la menor. ¿Cuáles son dichas potencias? 99.s El número de filas de un teatro coincide con el nú91.a Un comedor escolar necesita comprar yogures para los 152 alumnos que se quedan a comer. Los yogures se venden en cajas de 6 paquetes y cada paquete contiene 4 yogures: a) ¿Cuántas cajas se deberían comprar? b) ¿Cuántos paquetes sobrarán? 92.a Si queremos cambiar 47,45 ∑ en monedas, ¿cuál será la menor cantidad de monedas que nos darán? 93.s Necesitamos 60 g de pasta para preparar un plato de sopa. ¿Cuántos paquetes de pasta de medio kilo hacen falta para cocinar una sopa para 240 personas? 94.s Queremos celebrar una fiesta para 53 invitados y debemos calcular la cantidad mínima de refrescos que necesitaremos: 32 mero de butacas que hay en cada fila. Si el aforo es de 576 butacas, ¿cuántas filas hay en el teatro? —En otro teatro, el número de filas coincide con el número de butacas que hay a cada lado del pasillo central. Si 288 butacas componen el aforo, ¿cuál es el número de filas del teatro? 100.s Observa cómo se calcula el lado de un cuadrado sabiendo que su área es de 196 m2: a2 = 196 a= 196 = 14 m Calcula las longitudes de los lados de estos cuadrados cuyas áreas son: a) A = 144 m2 d) A = 324 m2 b) A = 225 m2 e) A = 484 m2 c) A = 289 m2 f ) A = 625 m2 a) Si decidimos repartir, como mínimo, una lata de refresco por invitado, y estos van en paquetes de 6, ¿cuántos paquetes deberemos comprar? 101.d Juan tiene un cubo de 8 cm3 de volumen. ¿Cuán- b) S i en lugar de latas decidimos repartir a cada invitado un vaso de 250 mL, ¿cuántas botellas de 2 000 mL deberemos comprar, como mínimo, para que cada invitado pueda tomar un vaso de refresco? 102.d ¿Cuántos metros de cerca se necesitan para po- Unidad 1 to mide el lado de este cubo? Si Juan quiere construir un cubo cuyo volumen sea el doble del anterior, ¿cuánto medirá ahora su lado? der rodear un terreno cuadrado de 289 m2? 103. d El día de la raíz cuadrada es una fecha que solo se celebra nueve veces en un siglo. Volverá a tener lugar el 4 de abril de 2016. Escribe todas las fechas del siglo xxi que son día de la raíz cuadrada. — Accede a la página http://links. edebe.com/7hezas y explica el origen del símbolo de la raíz, indicando quién fue el matemático que lo propuso y en qué año lo hizo. 104. d En la leyenda de Sisa (http://links.edebe.com/ bez5fd), se analiza la relación existente entre una suma de potencias de base 2 y la siguiente potencia de base 2. a) Comprueba que 1 + 2 + 22 + 23 = 24 − 1 b) Comprueba que 1 + 2 + 22 + 23 + 24 = 25 − 1 c) Generalízalo con potencias de base 2. Redacta tu conjetura y compruébala en algunos casos. d) Comprueba si se verifica una igualdad análoga para potencias de otra base. PBL LA TECNOLOGÍA EN EL AULA Tu centro educativo quiere cambiar los ordenadores actuales por unos nuevos que soporten todo tipo de material en formato digital: paquetes ofimáticos, software matemático interactivo, applets, etc. Sabiendo que para elegir el ordenador son importantes cuatro variables: medidas de la pantalla, memoria RAM, velocidad del procesador y precio (cada ordenador no puede superar los 550 ∑), desde el departamento de informática se os pide: — Investigad en grupo los diferentes ordenadores del mercado comparando, entre los que hayáis seleccionado, las cuatro variables. Presentad los resultados en una ficha para cada uno de los ordenadores estudiados en la que se explique sus ventajas y sus inconvenientes teniendo en cuenta el uso que se le va a dar y el número de ordenadores mecesarios Para conseguir información, podéis consultar: • Webs de tiendas de venta de ordenadores. • Webs que expliquen de forma detallada las características de los componentes de un ordenador. Cre@ctividad: Creación de una calculadora simultánea Las hojas de cálculo del LibreOffice permiten efectuar cálculos a partir de fórmulas o funciones que el propio programa Calc tiene predefinidas. Veamos dos de sus funciones que te permitirán programar una calculadora que, además de incluir las operaciones básicas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones), trabaje con potencias y raíces. — Escribe el radicando de una raíz en la celda B3. Observa que el resultado que se obtiene en la celda B4 al escribir «raíz»: =RAIZ(B3) es la raíz cuadrada del valor de la celda B3. =RAIZ(B3) B5 CRE@CTiViDAD — Escribe la base de una potencia en la celda B3 y su exponente en la celda B4 (por ejemplo, 2 y 4). Observa que el resultado que se obtiene en la celda B5 al escribir «potencia»: =POTENCIA(B3;B4) es el resultado de multiplicar el valor de la celda B3 el número de veces que nos indique el valor de la celda B4. =POTENCIA(B3;B4) B5 CRE@CTiViDAD Base 2 Celda B3 (columna B, fila3) Exponente 4 Celda B4 (columna B, fila4) 16 Celda B5 (columna B, fila5) Radicando 16 Celda B3 (columna B, fila3) 4 Celda B4 (columna B, fila4) Atrévete a) ¿Qué valores debes cambiar en la función «potencia» para obtener 5 elevado al cubo? Compruébalo. b) ¿Qué valor debes cambiar en la función «raíz» para obtener la raíz cuadrada de 36? — Ahora ya puedes crear tu propia calculadora simultánea. Esta deberá calcular simultáneamente (mediante tres celdas distintas) el cuadrado, el cubo y la raíz cuadrada del valor de la celda B3. — ¿Te atreves a ampliar el número de operaciones simultáneas de tu calculadora? Números naturales 33 Pon a prueba tus competencias 1. En la tienda de recuerdos de un museo, un turista compra los artículos que se muestran en la ilustración: a) ¿Cuál es el importe total en euros de la compra? b) ¿Cuál es la combinación más simple de billetes y monedas que el turista gastará a la hora de pagar suponiendo que lleva en el bolsillo un billete de 200 ∑, dos billetes de 100 ∑, cuatro billetes de 20 ∑, ocho billetes de 10 ∑, siete billetes de 5 ∑ y una moneda de 1 ∑? c) ¿Cuál es la combinación de billetes y monedas más sencilla que el turista puede conseguir para que no gaste ninguno de los billetes de 5 ∑ que lleva? d) ¿Qué cambio le devolverá el vendedor en este segundo caso? e) ¿Cuánto dinero le queda en total al turista en su bolsillo tras la compra? 2. Lee el siguiente artículo sobre los componentes sanguíneos: La sangre es un líquido que recorre el organismo, a través de los vasos sanguíneos, transportando células y todos los elementos necesarios para realizar sus funciones vitales (respirar, formar sustancias, defenderse de agresiones). La cantidad de sangre de una persona es de unos 5 L o dm3 y representa el 7 % de su peso corporal. La sangre está formada por el plasma y los elementos celulares. El plasma es un líquido compuesto por agua y distintas sustancias (proteínas, lípidos...) y en su interior se encuentran sumergidos los elementos celulares: los glóbulos rojos, los glóbulos blancos y las plaquetas. Los glóbulos rojos se encargan de transportar el oxígeno; la cantidad de glóbulos rojos en sangre es de 5 millones por cada mm3. Los glóbulos blancos, también denominados leucocitos, son una pieza clave del sistema de defensa del cuerpo contra las infecciones; la cantidad de glóbulos blancos es de unos 6 000 por mm3. Las plaquetas, también denominadas trombocitos, son células diminutas de forma ovalada que se fabrican en la médula ósea y participan en los procesos de coagulación. Su número en sangre es de unos 200 000 por mm3. a) Escribe en forma de potencia de 10 los números de las distintas células que se encuentran en la sangre. b) ¿Cuántas veces es mayor el número de glóbulos rojos que el de glóbulos blancos? ¿Y el número de plaquetas respecto al de glóbulos blancos? c) ¿Qué cantidad de sangre hay en el cuerpo humano? ¿Cuántos milímetros cúbicos representan? d) Halla el total de glóbulos blancos, glóbulos rojos y plaquetas que se encuentran en la sangre. 3. En un laboratorio se estudian dos muestras diferentes de bacterias. Las bacterias de la muestra 1 se duplican cada hora y las bacterias de la muestra 2 se cuadruplican cada 3 horas. El experimento con la muestra 1 se inició con 3 bacterias y el de la muestra 2, con 2. a) Transcurridas 6 horas ¿cuántas bacterias habrá en cada muestra? ¿Dónde habrá más? b) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 24 h en cada muestra? ¿Y al cabo de 2 días? c) ¿Qué relación se establecerá entre las bacterias de las muestras 1 y 2 transcurrida una semana? 34 Unidad 1 4. Pablo ha modelado un bloque de plastilina para crear un rectángulo de 20 cm × 15 cm y cuyo grosor es de 1 cm. — ¿Podrá volver a modelar la plastilina para formar un cuadrado del mismo grosor? — Si la respuesta del apartado anterior es afirmativa, ¿cuánto medirá el lado de este cuadrado? Visión 360º Todos los productos poseen un código de barras cuya finalidad principal es identificar cada producto de forma única. Los productos europeos usan el código de barras EAN-13 (European Article Number) con 13 dígitos: doce de ellos identifican el producto y el último, el dígito de control, resulta de efectuar una serie de operaciones con los doce primeros. Al pasar un producto por el lector de la caja registradora, esta realiza una operación combinada con los doce primeros dígitos del código de barras cuyo resultado tiene que coincidir con el dígito de control. Cuando el resultado no coincide con el dígito de control, no lee el producto correctamente y es necesario volver a pasarlo. Verifica las operaciones realizadas por una caja registradora a partir del código de barras de la imagen: 1) Numera los dígitos de izquierda a derecha comenzando por la posición 12 hasta la posición 1 tal y como se indica en la siguiente tabla: CÓDIGO 8 4 1 4 7 0 0 0 1 1 0 1 ? POSICIÓN 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 2) Suma todos los dígitos de las posiciones impares y multiplica el resultado obtenido por 3: 3 × (1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 4) = 3 × 10 = 30 3) Suma todos los dígitos de las posiciones pares: 0 + 1 + 0 + 7 + 1 + 8 = 17 4) Suma ambos resultados: 30 + 17 = 47 5) ¿Qué número tienes que añadir a este resultado para obtener un múltiplo de 10? 47 + 3 = 50. El 3 es el dígito de control. 8 414700 011013 — Valida el dígito de control de diferentes productos. Reflexiona Diario de aprendizaje — ¿Consideras que el texto de la página 12 sobre los números naturales tiene relación con los conceptos tratados en la unidad? ¿Con cuáles? — Los contenidos estudiados en la unidad, ¿te han servido para ampliar tus conocimientos de los números? — ¿Crees que algunos conceptos aprendidos en esta unidad pueden ser aplicables en tu vida cotidiana? ¿Cuáles? ¿Cómo? Números naturales 35
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