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TEMA 8: TEOREMA DE PITÁGORAS. SEMEJANZA
8.1 Teorema de Pitágoras
Tareas 13-04-2015 2A: todas las actividades de la página 172.
Tareas 13-04-2015 2B: todas las actividades de la página 172.
Ejemplo
Aplica el Teorema de Pitágoras en las siguientes situaciones:
1.
a 2 12 2 21 2 585 a
585
La hipotenusa vale 24.187 cm
3 65
c 2 46 2 35 2 891 c
El cateto mide 29.85 cm
29. 850
24. 187
2.
891
1
Tareas 13-04-2015 2A: todas las actividades de la página 173.
Tareas 13-04-2015 2B: todas las actividades de la página 173.
8.2 Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
Tareas 14-04-2015 2A: todas las actividades de la página 175.
Tareas 15-04-2015 2B: todas las actividades de la página 175.
8.3 Figuras semejantes
Ejemplo
1.
Queremos ampliar esta lámina al tamaño que se indica.
Calcula.
La razón de semejanza
12. 8
1. 6
8
La anchura, x, de la lámina ampliada:
x 6 1. 6 9. 6 cm
La longitud del listón de la lámina ampliada:
7 1. 6 11. 2 cm
Queremos hacer una fotocopia reducida de esta lámina, para que tenga el tamaño que se
indica.
a.
2.
a.
b.
Calcula el porcentaje que habría que introducir en la fotocopiadora para hacer la
reducción.
7. 8
P
7. 8 100
P
65%
12
100
12
¿Cuál sería la razón de semejanza entre las dos figuras?
2
razón de semejanza
12
7. 8
8
5. 2
1. 538 5
1. 538 5
O también:
7. 8
0. 65
12
razón de semejanza
5. 2
0. 65
8
Tareas 15-04-2015 2A: todas las actividades de la página 177 y 178.
Tareas 20-04-2015 2B: todas las actividades de la página 177 y 178.
8.4 Planos, mapas, maquetas
Tareas 20-04-2015 2A: encontrar tres mapas, uno con cada escala (numérica, gráfica, unidad)
Tareas 22-04-2015 2B: encontrar tres mapas, uno con cada escala (numérica, gráfica, unidad)
Ejemplo
1.
Sabiendo que hay 27 km en línea recta entre Altavista y Puerto Nuevo, calcula las distancias:
a. Altavista-Puerto Oeste
b. Puerto Nuevo-Punta Oeste
Antes de nada mide con la regla:
Altavista-P. Nuevo 13.5 cm
Altavista-P. Oeste
8.8 cm
P. Nuevo-P. Oeste 10 cm
Ahora completa y calcula:
Distancia en el mapa (cm) Distancia real (km)
2.
Altavista-P. Nuevo 13.5 cm
27
Altavista-P. Oeste
x
8.8 cm
P. Nuevo-P. Oeste 10 cm
y
8. 8 2700000
a. x
1. 76 10 6 cm
17. 6 km
13. 5
10 2700000
b. y
2. 0 10 7 cm
20 km
13. 5
Teniendo en cuenta la escala, calcula las distancias.
a. Altavista-P. Nuevo
b. Altavista-P. Oeste
c. P. Nuevo-P.Oeste
Dibujo anterior con la escala 1 : 200000
Antes de nada, mide con la regla:
3
Altavista-P. Nuevo 13.5 cm
Altavista-P. Oeste
8.8 cm
P. Nuevo-P. Oeste 10 cm
3.
Teniendo en cuenta la escala, calcula las distancias
Ahora, calcula:
a. Altavista-P. Nuevo 13. 5 200000 2. 7 10 6 27 km
b. Altavista-P. Oeste 8. 8 200000 1. 76 10 6 cm
17. 6 km
c. P. Nuevo-P. Oeste 10 200000 2000 000 cm
20 km
Sabiendo que la distancia real entre Altavista y Puerto Nuevo es de 27 km, calcula:
a. La escala a la que se ha dibujado el mapa.
b. La distancia que recorrerá una avioneta que va de Altavista a P. Oeste, haciendo
escala en P. Nuevo.
Dibujo anterior con Altavista-P. Nuevo 13.5 cm
P. Nuevo-P. Oeste 10 cm
a.
Calculo de la escala:
Distancia Altavista-P.Nuevo
Si la escala es 1 : e
en el mapa
13. 5 cm
en la realidad 27 km
13. 5
1
2700000
e
e
13. 5
2700000
2700000 cm
2. 0 10 5 200000
La escala es 1 : 200000
b.
4.
Distancias en el plano
Altavista-P. Nuevo 13.5 cm
P. Nuevo-P. Oeste 10 cm
Recorrido en el plano de la avioneta 13. 5 10 23. 5 cm
Distancia total del viaje 23. 5 200000 4. 7 10 6 47 km
Este es el plano de una vivienda a escala 1 : 50
Mide con la regla las distancias oportunas y calcula:
a. Las dimensiones del salón.
En el plano 9 cm x8 cm
En la realidad
b.
c.
9 50
450 cm
4. 5 m
8 50
400 cm
4m
La superficie del salón S salon 4. 5 4
Las dimensiones de la cocina.
En el plano 4. 6 cm x6 cm
4. 5 m x4 m
18. 0 m 2
4
En la realidad
d.
4. 6 50
230. 0 cm
6 50
300 cm
2. 3 m
3m
2. 3 m x3 m
La superficie total de la vivienda.
largo
16 50
800 cm
8m
ancho
14 50
700 cm
7m
8 m x7 m
56 m 2
Tareas 22-04-2015 2A: todas las actividades de la página 180
Tareas 22-04-2015 2B: encontrar tres mapas, uno con cada escala (numérica, gráfica, unidad)
Tareas 06-05-2015 2B: todas las actividades de la página 180
8.5 Teorema de Tales
Tareas 22-04-2015 2A: todas las actividades de la página 181
Tareas 07-05-2015 2B: todas las actividades de la página 181
8.6 Semejanza de triángulos
Tareas 05-05-2015 2A: todas las actividades de la página 182
Tareas 08-05-2015 2B: todas las actividades de la página 182
Ejemplo
1.
Observa y completa paso a paso.
Se trata de triángulos en posición de Tales, entonces son semejantes, por lo que se tiene que:
6
3
3 8
x
4
x
8
6
Propiamente resuelto, sería:
6
6 3
72 48 4
8 x 6 72 x
8
8 x
6
5
2.
Se trata de triángulos en posición de Tales, entonces son semejantes, por lo que se tiene que:
6
3
3 10
x
5
y
10
6
Propiamente resuelto, sería:
6 3
90 60 5
6
10 y 6 90 y
10 y
6
10
Dados los siguientes triángulos en posicion de Tales, calcula los lados desconocidos.
3.
Tenemos dos triángulos, AB´C´ y ABC, que tienen un ángulo común, siendo los lados B‘ C‘ y
BC paralelos. Entonces son triángulos que están en posición de Tales y son por ello
semejantes. En particular se tiene que:
8
6
10
a
9
b
8
6
8 9
a
12
a
9
6
6
10
9 10
b
15
9
6
b
En cada pareja de triángulos semejantes, calcula y completa:
a.
3
7. 5
3
7. 5
3
7. 5
4
x
4
x
5
y
5
y
x
x
4 7. 5
3
5 7. 5
3
10. 0
12. 5
b.
6
4
6. 4
4
6. 4
4
6. 4
8
x
8
x
6
y
6
y
x
y
6. 4 8
4
6. 4 6
4
12. 8
9. 6
c.
y
7
3
x
9. 1
11. 7
7
3
9. 1 3
x
3. 9
x
7
9. 1
y
7
11. 7 7
y
9. 0
9. 1
11. 7
9. 1
Tareas 06-05-2015 2A: todas las actividades de la página 183
Tareas 11-05-2015 2B: todas las actividades de la página 183
7.7 Aplicaciones de la semejanza de triángulos.
Tareas 06-05-2015 2A: todas las actividades de la página 184
Tareas 11-05-2015 2B: todas las actividades de la página 184
Ejemplo
1.
Rocío mide 1.70 m y comprueba que cuando su sombra mide 1.20 m, la sombra del árbol mide
4.80 m. ¿Cuál es la altura del árbol?
Gráficamente la situación es la siguiente:
7
2.
3.
Se trata de dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo igual (pues estamos
hablando de las sombras a la misma hora del día):
 ´
Entonces son triángulos semejantes por lo que en particular es cierto que:
a´
a
1. 7
a
1. 7 4. 8
a
6. 8 m
s
t
1. 2
4. 8
1. 2
Marcelo coloca una banderola de dos metros de altura, de forma que el extremo de su sombra
coincide con el extremo de la sombra del árbol. Teniendo en cuenta los datos de la ilustración,
calcula la altura del árbol.
Son dos triángulos rectángulos que están en posición de Tales pues comparten un ángulo
agudo, entonces son semejantes. En particular tenemos que:
2. 8
2
2 9. 1 6. 5 m
d
2. 8 6. 3
2. 8
d
El árbol mide 6.5 m
Una antena de comunicaciones se sostiene mediante cuatro cables que tienen la misma
inclinación. Tres de los cables están amarrados al suelo, y el cuarto, al techo de una caseta
como indica la figura. Con los datos de la ilustración, calcula la altura de la antena.
8
Esquemáticamente, la situación es la siguiente:
4.
Como todos los cables tienen la misma inclinación, los ángulos F y  son iguales (en los
triángulos ABC y BFC, el ángulo B es el mismo). Entonces tenemos dos triángulos rectángulos,
ABC y DEF, con un ángulo agudo igual. Por lo tanto son semejantes. En particular se tiene que:
BC
3
3 8
BC
12 m
8
8 6
2
La torre mide 12 m
Para calcular la altura de una torre, María clava en el suelo un listón de tres metros de altura y,
después, retrocede hasta que coinciden en la visual los extremos del listón y de la torre. A
continuación, toma las medidas que ves en la ilustración. Con esos datos resuelve el problema.
Los triángulos ABE y AB´E´ son rectángulos con un ángulo, Â, común. Entonces son
9
semejantes. En particular se cumple que:
30 2. 1
x 1. 6
32. 1 1. 4 1. 6 2. 1
AE´
B´E´
x
2. 1
3 1. 6
2. 1
BE
AE
La torre mide 23 m
Tareas 11-05-2015 2A: todas las actividades de la página 185
Tareas 13-05-2015 2B: todas las actividades de la página 185
23 m
8.8 Construcción de una figura semejante a otra
Tareas 12-05-2015 2A: todas las actividades de la página 186
Tareas 13-05-2015 2B: todas las actividades de la página 186
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1.
Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos:
b
3
Como tenemos un triángulo rectángulo sobre cuyos lados se construyen cuadrados de los
cuáles queremos calcular el área de uno conociendo las áreas de los otros dos, aplicaremos el
Teorema de Pitágoras. Es decir, el cuadrado de la hipotenusa sera igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
45 áreaB 60 áreaB 60 45 15 m 2
Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo o obtusángulo.
g 18cm, 80cm, 82cm
lado grande
82cm
lados pequeños 18cm, 80cm
4
Calculamos:
82 2 6724
18 2 80 2 6724
Las comparamos.
Como 6724 6724 entonces el triángulo es rectángulo.
Calcula el lado desconocido en cada triángulo:
10
Tenemos que calcular la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras.
b 2 a 2 c 2 20 2 15 2 400 225 625
b
625
25
Entonces b 25 m
Tenemos que calcular un cateto, aplicando el Teorema de Pitágoras.
a 2 b 2 c 2 65 2 b 2 16 2
b 2 4225 256 3969
11
8
b
3969
63
Entonces b 63 mm
Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro mide 28dam.
Gráficamente es:
Como conocemos el perímetro, cada uno de los lados mide 28
7dam
4
En el triángulo ABC podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular su diagonal pues
es un triángulo rectángulo.
c 2 a 2 b 2 7 2 7 2 49 49 98
c
98
9. 899 5
La diagonal mide 9.8995 dam.
Tareas 19-05-2015 2A: 9, 10, 12(a,d,b), 13, 14
11 Calcula la medida del lado de un rombo cuyas diagonales miden 1 dm y 2.4 dm.
12
El triángulo ABC es rectángulo por lo que podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.
b 2 a 2 c 2 1. 2 2 0. 5 2 1. 69
b
1. 69
1. 3
El lado del rombo mide 1.3 dm
12 Halla la longitud x en cada una de las siguientes figuras.
c
Como tenemos un hexágono regular, el radio y el lado del polígono miden lo mismo.Tenemos
el triángulo rectángulo ABC donde podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.
13
b2 x2 a2 22 x2 12
x2 4 1 3
x
3
1. 732 1
La apotema mide 1.7321 km
Se trata de la apotema pues es el segmento perpendicular a un lado por su punto medio: este
segmento pasa por el centro del polígono regular.
15 En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello,
tendrás que calcular la medida de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo,.....). Si no
es exacta, hállala con una cifra decimal.
Tenemos que Perímetro Perímetro cuadrado Perímetro círculo
Para calcular el primero me hace falta el lado del cuadrado.
Consideramos el triángulo ABC que es isósceles rectángulo. En el podemos aplicar el Teorema
de Pitágoras.
c 2 a 2 b 2 5 2 5 2 50
c
50
7. 071 1
El lado del cuadrado mide 7.1cm
Perímetro cuadrado 4 7. 1 28. 4 cm
Perímetro círculo 2 5 31. 416 31. 4 cm
Perímetro 28. 4 31. 4 59. 8 cm
Área área círculo - área cuadrado 78. 5 50. 4 28. 1c m 2
área círculo
5 2 25
78. 540 78. 5c m 2
2
área cuadrado 7. 1
50. 41 50. 4c m 2
Tareas 20-05-2015 2A: 16,17,18
Tareas 22-05-2015 2B: 16,17,18
19
14
En el triángulo ABC, como es rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para
calcular el cateto c.
b 2 a 2 c 2 20 2 16 2 c 2
c 2 400 256 144
c
144
12 c 12m
En el triángulo AEB, como es rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para
calcular el cateto f.
d 2 f 2 c 2 13 2 f 2 12 2
f 2 169 144 25
f
25
5 f 5m
En el triángulo BED, como es rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para
calcular el cateto e.
f2 32 e2 52 32 e2
e 2 25 9 16
e
16
4 e 4m
El perímetro es 20 13 4 3 16 56 m
Finalmente Àrea azul área triángulo grande área triángulo pequeño
126 6 132 m 2
16 5 12
área triángulo grande base altura
126 m 2
2
2
área triángulo pequeño 3 4
6 m2
2
Tareas 22-05-2015 2A: 20, 21, 22, 24
Tareas 22-05-2015 2B: 20, 21, 22, 24
25 Dibuja en tu cuaderno una figura como la siguiente y amplíala al doble de su tamaño
proyectándola desde el punto exterior O.
15
Desde O, trazar semirectas que pasen por los vértices de nuestro cuadrilátero. Elegir al azar
uno de esas semirectas y medir la distancia, por ejemplo, entre O y A. Despúes, sobre esa
misma semirecta, determinar otro punto, A´, a partir de A, cuya distancia también sea la
medida. Después, desde A‘, trazar paralelas a los lados que salen desde A para determinar
otros dos puntos, B´y D‘. Finalmente, desde uno de estos, por ejemplo B´, trazar una nueva
paralela al otro lado que llega a B, para determinar C´.
Tareas 26-05-2015 2A: 26, 27, 28
Tareas 27-05-2015 2B: 26, 27, 28
29 Explica por qué estos dos triángulos isósceles son semejantes.
Son dos triángulos isósceles cuyo ángulo desigual mide 20º. Entonces, los otros dos ángulos,
que son los iguales, médiran 180 20
80º.
2
Por lo tanto, tenemos dos triángulos cuyos ángulos respectivos son iguales, entonces son
semejantes.
Tareas 26-h05-2015 2A: 30
Tareas 27-05-2015 2B: 30
31 Explica por qué son semejantes dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual.
16
Al ser triángulos rectángulos, tienen un ángulo recto, es decir, de 90º. Por lo tanto, en los dos
triángulos, tendríamos dos ángulos que al sumarlos nos daría lo mismo, concluyendo que el
tercer ángulo es igual.
Por lo tanto, tenemos dos triángulos cuyos ángulos respectivos son iguales, entonces son
semejantes.
Tareas 26-05-2015 2A: 31 los dibujos,32, 33
Tareas 27-05-2015 2B: 31 los dibujos, 32, 33
34 Para determinar que la altura de un eucalipto es de 11 m, Carlos ha medido la sombra de este
(9.6 m) y la suya propia (1.44 m), ambas proyectadas por el Sol a la misma hora. ¿Cuánto
mide Carlos?
Al estar hablando de la sombra a la misma hora del día, los dos triángulos rectángulos tienen
un ángulo agudo igual (Ĉ Ĉ‘ (también podría ser  ‘ . Entonces son semejantes.
En particular, sus lados respectivos son proporcionales:
a
a
1. 44
9. 6
1. 44 11
c
1. 65 m
c
c
c
11
9. 6
Carlos mide 1.65 m
Tareas 27-05-2015 2A: 35
Tareas 28-05-2015 2B: 35
36 En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella que mide 1 m de altura en medio de una
cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí.
¿A qué distancia del suelo queda la estrella?
Vamos a trabajar en el triángulo rectángulo BGC, donde aplicaremos el Teorema de Pitágoras
17
para calcular el cateto BG.
2
2
2
2
BG GC
BC
BG
17 2 15 2 64
BG
64
8
El lado BG 8 m
La altura a la que está la estrella será 12 8 1
3m
Tareas 27-05-2015 2A: 37, 38
Tareas 28-05-2015 2B: 37, 38
39 Las medidas de un coche teledirigido de Fórmula 1, a escala 1:40, son 11.75 cm de largo, 5 cm
de ancho y 3 cm de alto. ¿Cuáles son las dimensiones reales del coche?
Como la escala es 1:40, esto quiere decir que 1 cm de la maqueta son 40 cm de la realidad.
Entonces:
11. 75 40 470. 0 cm
4. 7 m largo real
5 40 200 cm
2 m ancho real
3 40 120 cm
1. 2 m alto real
Tareas 27-05-2015 2A: 40
Tareas 28-05-2015 2B: 40
41 ¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el
agua)?
Consideramos los triángulos rectángulos FEG y GAD. Como estamos considerando un haz de
luz que sale de los ojos del chico reflejándose en el agua llegando hasta la punta de la torre, los
ángulos Ĝ, son iguales en esos dos triángulos. Por lo tanto, tenemos dos triángulos rectángulos
que tienen un ángulo agudo igual, entonces son semejantes. En particular los lados
respectivos son proporcionales:
BC
FE
1. 76
16
16 3. 3
DG
30. 0
3. 3
1. 76
EG
DG
DG
Entonces la distancia entre el chico y la base de la torre es 30 3. 3 33. 3 m
Tareas 29-05-2015 2A: 42, 43, 44
Tareas 28-05-2015 2B: 42, 43, 44
18