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Subgrupos discretos del grupo de
Heisenberg
Autor: Exequiel Aguirre
Directora: Dra. Linda V. Saal
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
Córdoba, Julio de 2014
FaMAF - UNC 2014
Resumen
La teorı́a de series de Fourier es la versión clásica del análisis armónico en
el toro, Rn /Zn , donde Zn denota el subgrupo discreto de Rn de las n-uplas de
números enteros.
Si en lugar de Rn , consideramos el grupo de Heisenberg 2n+1 dimensional
Hn , un tema de interés actual es desarrollar el análisis armónico asociado a Hn /Γ,
donde Γ denota un subgrupo discreto de Hn . Ver [Th]
El objetivo de este trabajo es estudiar la descripción hecha por R. Tolimieri
[To] de los subgrupos discretos del grupo de Heisenberg.
Palabras Clave: Heisenberg, lattice, grupos discretos
Código de clasificación: 22E40, 22E25
3
Índice
1. Introducción
5
2. Preliminares
2.1. Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Grupo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
8
3. Automorfismos del grupo de Heisenberg
3.1. Descripción del grupo de automorfismos . . . . . . . . . . . . . .
8
9
4. Descripción de lattices en el grupo de Heisenberg
4
10
Notación
GL(2n, R)
hn
Hn
An
ψ
h = (x, y,t) = (v,t)
Γ
[Γ, Γ]
L
Z
< v1 , ..., vn >
Γ(l)
β(Γ)
1.
Grupo simpléctico
Álgebra de Heisenberg
Grupo de Heisenberg
Grupo de automorfismos de hn
Forma bilineal, antisimétrica, no degenerada en R2n
h ∈ Hn , x, y ∈ Rn , v ∈ R2n , t ∈ R
Subgrupo discreto de Hn
Subgrupo conmutador de Γ
Conjunto de todos los lattices de Hn
Centro de Hn
Z-módulo generado por los elementos v1 , ..., vn
Grupo generado por (e1 , 0)...(en , 0), (l1 en+1 , 0), ..., (ln e2n , 0)
Real positivo unı́vocamente determinado,
tal que Γ ∩ Z = {(0, β(Γ)m) : m ∈ Z}
Introducción
El estudio de los subgrupos discretos de un grupo de Lie aparece en áreas
centrales de la matemática, tales como geometrı́a diferencial y algebraica, análisis
armónico, y teorı́a de números ( formas automorfas.).
En este trabajo se estudian los subgrupos discretos del grupo de Heisenberg
Hn , siguiendo la descripción hecha por R. Tolimieri en [To]. La misma se basa
en la obtención de ciertos subgrupos discretos canónicos, para luego probar que
cualquier otro está en la órbita de uno de ellos, bajo la acción del grupo de automorfismos de Hn .
Para tal fin en la sección 3 de este trabajo se describe este grupo de automorfismos .
En nuestro caso particular, el estudio de lattices Γ en Hn , está motivado por
su conexión al análisis armónico. Como una aplicación de interés mencionamos
la descomposición en representaciones irreducibles de la representación regular a
derecha de Hn en L2 (Γ/Hn ), pudiendo calcularse explı́citamente sus multiplicidades. ( Ver [Fo] ,[Th]).
5
2.
Preliminares
2.1.
Formas bilineales
En esta sección describimos la forma canónica de una forma bilineal, antisimétrica, no degenerada sobre un espacio vectorial real V de dimensión finita.
Recordamos que una tal forma bilineal ψ : V ×V → R es antisimétrica si ψ(v, w) =
−ψ(w, v) ∀v, w ∈ V y se dice no degenerada si ψ(v, v0 ) = 0 ∀v0 ∈ V ⇒ v = 0 y
ψ(v, v0 ) = 0 ∀v ∈ V ⇒ v0 = 0
Definición 1 Un plano hiperbólico para una forma antisimétrica es un espacio
vectorial de dimensión 2 no degenerado, i.e. ψ|P es no degenerada.
Definición 2 Decimos que un espacio vectorial V es hiperbólico si se puede escribir como suma ortogonal (directa ) de planos hiperbólicos
Teorema 1 Sea V, un espacio vectorial real de dimensión finita, ψ una forma
bilineal, antisimétrica, no degenerada, ψ : V ×V 7→ R. Entonces V es un espacio
hiperbólico y dim(V) es par.
Demostración: Como ψ es no degenerada entonces podemos asumir que ψ 6= 0.
Existen entonces, ẽ1 y f1 no nulos, tales que ψ(ẽ1 , f1 ) = c 6= 0.
Definimos, e1 := ẽc1 entonces, ψ(e1 , f1 ) = 1.
Notar que e1 y f1 , son linealmente independientes, pues si e1 = c f1 con c 6= 0,
entonces ψ(e1 , f1 ) = ψ(c f1 , f1 ) = 0.
Sea P1 el espacio vectorial generado por los elementos e1 , f1 .
Dado que ψ(e1 , f1 ) = 1 y ψ es antisimétrica, tenemos que:
ψ(e1 , e1 ) = 0
ψ( f1 , f1 ) = 0
ψ( f1 , e1 ) = −1
Por lo que,
ψ|P1
0 1
=
−1 0
Se ve ası́ que ψ|P1 es no degenerada ⇒ P1 es un plano hiperbólico.
6
Afirmación 2: Se tiene que V = P1 ⊕ P1⊥
donde P1⊥ = {α ∈ V : ψ(α, β) = 0 ∀ β ∈ P1 } .En efecto, sea v cualquier elemento en V. Definimos
v1 := ψ(v, f1 )e1 − ψ(v, e1 ) f1
v2 := v − v1
Notar que v1 ∈ P1 y v2 ∈ P1⊥ , pues
ψ(v2 , e1 ) = ψ(v, e1 ) − ψ(v1 , e1 ) =
ψ(v, e1 ) − [ψ(v, f1 )ψ(e1 , e1 ) + ψ(v, e1 )ψ( f1 , e1 )] =
ψ(v, e1 ) − ψ(v, e1 ) =0.
Análogamente ψ(v2 , f1 ) = 0.
Además, P1 ∩ P1⊥ = {0}, pues si ṽ ∈ P1 ∩ P1⊥ , entonces
ψ(ṽ, v1 ) = 0 ∀v1 ∈ P1
ψ(ṽ, v2 ) = 0 ∀v2 ∈ P1⊥ ,
con lo cual, ψ(ṽ, v) = 0 ∀v ∈ V = P1 + P1⊥
Hemos visto que, V = P1 ⊕ P1⊥ , con P1⊥ = {v ∈ V : ψ(v, e1 ) = 0 = ψ(v, f1 )}.
Por inducción, aplicamos la hipótesis a ψ|P⊥ obteniendo los pares (ei , fi ) con
1
i ∈ N.
Como V tiene dimensión finita, existe un n ∈ N tal que β = {e1 , f1 , ..., en , fn }
es una base de V . En esta base,


0 1
−1 0





0
1




−1 0
ψ=



.
.


.



0 1 
−1 0
y se ve que la dim(V ) es par.
De ahora en adelante, sea ψ : R2n × R2n 7→ R dada por
ψ((x, y), (x0 , y0 )) = y.x0 − x.y0 ,
donde x, y, x0 , y0 ∈ Rn con x.y el producto escalar usual de Rn .
7
2.2.
Grupo de Heisenberg
Definición 3 Denotaremos con hn el álgebra de Heisenberg,definida sobre Cn ×
R con el corchete de Lie dado por
[(v,t), (v0 , s)] = (0, ψ(v, v0 )),
donde ψ(v, v0 ) = Im(v.v0 ).
Definición 4 El grupo de Heisenberg es como variedad subyacente Cn × R, con
ley de grupo dada por
1
(v,t)(v0 , s) = (v + v0 ,t + s + ψ(v, v0 )),
2
según la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.
Observación: El grupo de Heisenberg Hn , también puede ser visto como Rn ×
Rn × R munido de la operación de grupo definida por:
1
(x, y,t)(x0 , y0 , s) = (x + x0 + y + y0 ,t + s + ψ((x, y), (x0 , y0 ))),
2
donde x, x0 , y, y0 ∈ Rn , s,t ∈ R.
El centro de Hn viene dado por Z=(0,t), t ∈ R.
Es inmediato ver que la aplicación exponencial exp : hn 7→ Hn es la identidad.
Definición 5 Recordemos que, dados dos elementos g, h en un grupo G, el conmutador de g y h es [g, h] := ghg−1 h−1 .
Llamaremos subgrupo conmutador [G, G] al grupo generado por todos los
conmutadores.
Notemos que, dados g = (v,t), h = (v0 , s) ∈ Hn
1
1
[g, h] = ghg−1 h−1 = (v+v0 ,t +s+ ψ(v, v0 ))(−v−v0 , −t −s+ ψ(v, v0 )) = (0, ψ(v, v0 ))
2
2
3.
Automorfismos del grupo de Heisenberg
Definición 6 Recordemos que un automorfismo α : hn 7→ hn es un isomorfismo
lineal tal que
α([(v,t), (v0 , s)]) = [α(v,t), α(v0 , s)]
8
Sea A ∈ GL(2n, R) tal que ψ(v, v0 ) = ψ(Av, Av0 ), y Φ : hn 7→ hn la aplicación
que tiene como matriz asociada
A 0
[Φ] =
,
0 1
entonces Φ es un automorfismo pues,
dado que como A ∈ GL(2n, R) Φ es biyectiva y además,
Φ([(v,t), (v0 , s)]) = Φ(0, ψ(v, v0 )) =
(0, ψ(v, v0 )) = (0, ψ(Av, Av0 )) =
[(Av,t), (Av0 , s)] = [Φ(v,t), Φ(v0 , s)].
Esta última observación motiva la siguiente definición.
Definición 7 Definimos el grupo simpléctico Sp(2n, R) como ,
Sp(2n, R) = {A ∈ GL(2n, R) : ψ(v, v0 ) = ψ(Av, Av0 )∀v, v0 ∈ Cn }.
Observemos que este es el subgrupo de automorfismos que actúan trivialmente en
el centro.
3.1.
Descripción del grupo de automorfismos
Sea An el grupo de automorfismos de hn . Todo α ∈ An viene en principio dada
por una transformación lineal R2n+1 en R2n+1 ,
A c
α=
,
b a
con A ∈ R2n × R2n , a ∈ R, b, c ∈ R2n .
El hecho de que α es un autormofismo, nos brinda más información sobre
estos elementos.
Sabemos que, α(h) ∈ Z∀h ∈ Z , donde Z denota el centro de Hn . Esto nos
indica que c = 0. Además, dado que α es inyectiva, a 6= 0.
Sobre A tenemos la condición aψ(v, v0 ) = ψ(Av, Av0 ), pues
(0, ψ(Av, Av0 )) = [α(v,t), α(v0 , s)] = α[(v,t), (v0 , s)] = (0, aψ(v, v0 )).
Además, dado que α es invertible, A ∈ GL(2n, R).
9
Ahora veamos el caso en que a > 0.
Si definimos δa (v,t) := (av, a2t), tenemos que
A 0
S 0 I 0
α=
= δa1/2
,
b a
0 1 b̃ 1
con b̃ = ab y S tal que S(v) = a−1/2 A(v). De esta última condición sobre S, se sigue
que S ∈ Sp(2n, R).
Para el caso, donde a < 0, introducimos θ(v,t) := (v, −t).
Dado que θ = θ−1 ,
A 0
A 0
à 0
α=
= θθ
=θ
.
b a
b a
b −a
Dado que α y θ son automorfismos, θα lo es. Además −a > 0, por lo que tenemos
que θα es un automorfismo como el visto en el caso anterior, y por ende,
S 0 I 0
α = θδ(−a)1/2
.
0 1 b̃ 1
Observemos que
b̃ no hay ninguna condición, y que por lo tanto el grupo
sobre
I 0
es un subgrupo abeliano de An isomorfo a R2n .
generado por
b̃ 1
4.
Descripción de lattices en el grupo de Heisenberg
Definición 8 Recordemos que una lattice de Cn es un subgrupo discreto D de Cn
tal que Cn /D es compacto.
Definición 9 Llamaremos una lattice de Hn , a un subgrupo discreto Γ de Hn tal
que Hn /Γ es compacto.
Notemos, que Γ ∩ Z es un subgrupo discreto, no trivial, de Z y por ende existe
un único real positivo β(Γ) tal que:
Γ ∩ Z = {(0, β(Γ)m : m ∈ Z}.
Consideremos π : Hn → Cn definida por π(v,t) = v entonces π(Γ) es una lattice
de Cn .
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Además, el hecho de que
[Γ, Γ] ⊆ Γ ∩ Z = {(0, β(Γ)m : m ∈ Z}
impone algunas condiciones especiales a π(Γ). Sean h = (v,t), g = (v0 , s) ∈ Γ,
entonces [h, g] = h−1 g−1 hg = (0, ψ(v, v0 )) y por ende ψ(v, v0 ) ∈ β(Γ)Z. Es más,
despues veremos que ψ(π(Γ), π(Γ)) = l1 β(Γ)Z para un entero positivo l1 . Esto
motiva la siguiente definición:
Definición 10 Llamaremos a una lattice D de Cn lattice de Heisenberg, cuando ψ(D, D) = rZ para algún r > 0. Denotaremos al conjunto de las lattices de
Heisenberg por HL(Cn ).
Lema 1 Si una lattice D de Cn satisface que ψ(D, D) ⊆ lZ, l > 0, entonces existe
un entero positivo l1 tal que ψ(D, D) = ll1 Z, es decir D ∈ HL(Cn ).
Demostración: Sin pérdida de generalidad podemos asumir que l=1, pues si
l 6= 1, definimos f : D 7→ D̃ por f (d) := d √1 y luego ψ(D̃, D̃) ⊆ Z
l
Sea l1 el menor entero positivo para el cual existen v1 , v01 ∈ D tal que, l1 =
ψ(v1 , v01 ). Definimos < v1 , v01 >⊥ = {v ∈ D : ψ(v, v1 ) = ψ(v01 , v) = 0}
Afirmación 1: D =< v1 , v01 > ⊕ < v1 , v01 >⊥ . En efecto, sea v ∈ D,
por el algoritmo Euclideo, ψ(v1 , v) = ml1 + r con m, r ∈ Z y 0 ≤ r < l1 ⇒
r = ψ(v1 , v) − ml1 = ψ(v1 , v) − mψ(v1 , v01 ) = ψ(v1 , v − mv01 )
Luego r = 0, por la elección de l1 , esto es ψ(v1 , v − mv01 ) = 0
De esta forma v − mv01 ∈< v1 >⊥ . Analogamente, v − m0 v1 ∈< v01 >⊥ con
m0 ∈ Z.
Notar que,
ψ(v − (mv01 + m0 v1 ), v1 ) = ψ(v − mv01 , v1 ) + ψ(−m0 v1 , v1 ) = 0 =
ψ(v01 , v − (mv01 + m0 v1 )) = ψ(v01 , v − m0 v1 ) + ψ(v01 , −mv01 ) ∴
v − (mv01 + m0 v1 ) ∈< v1 , v01 >⊥
Finalmente, para cualquier v ∈ D, v = v − (mv01 + m0 v1 ) + (mv01 + m0 v1 )
Afirmación 2: l1 |ψ(v, v0 ) ∀v, v0 ∈< v1 , v01 >⊥ .
Pues, ψ(v, v0 ) = ml1 + r con m, r ∈ Z y 0 ≤ r < l1 ⇒
r = ψ(v, v0 ) − mψ(v1 , v01 ) = ψ(v, v0 ) − mψ(v1 , v01 ) + ψ(v1 , v0 ) + ψ(v, −mv01 ) =
ψ(v + v1 , v0 − mv01 ) ⇒ r=0 (por la elección de l1 )
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Finalmente afirmamos que ψ(D, D) = l1 Z
⊇)Esta inclusión es inmediata: pues si m ∈ Z ⇒ ψ(v1 , mv01 ) = ml1
⊆) Esta contención se sigue de la bilinealidad de la ψ y la afirmación 2.
Notar que el lattice original ψ(D, D) = ll1 Z
Lema 2 Un D ∈ HL(Cn ) se puede escribir como una suma directa ψ−ortogonal :
D =< v1 , v01 > ⊕ < v2 , v02 > ... < vn , v0n > de Z-módulos bidimensionales < v j , v0j >.
Sea l j = ψ(v j , v0j ). Entonces la descomposición puede ser tomada de forma tal que
l
l j ∈ R>0 y j+1
l j ∈ Z.
Es más, estos l j están unı́vocamente determinados por D.
Demostración: Por el lema 1 sabemos que existen l1 entero no negativo y l ∈ R
tales que ψ(D, D) = ll1 Z. Sin pérdida de generalidad podemos asumir l=1. Luego
existe v1 , v01 ∈ D tal que l1 = ψ(v1 , v01 ).
Sea P1 :=< v1 , v01 > el Z-módulo bidimensional generado por v1 , v01 .
Notar que
0 l1
ψ|<v1 ,v01 > =
−l1 0
En la prueba del lema 1 vimos que D =< v1 , v01 > ⊕ < v1 , v01 >⊥ .
Como ψ(P1⊥ , P1⊥ ) ⊆ l1 Z podemos usar recursivamente el mismo razonamiento
anterior para obtener los pares (v j , v0j ), j = 2...m tales que D =< v1 , v01 > ⊕ <
v2 , v02 > ... < vm , v0m >
m
2n
2(n−m)
Si m < n ⇒ R2n /D = R2n / ⊕m
i=1 Pi w ⊕i=1 (R /Pi ) ⊕ R
2n
Luego R /D no serı́a compacto , absurdo! pues D es un lattice.
Veamos que l j |l j+1 .
Ya vimos que D = P1 ⊕ P2 ⊕ ... ⊕ Pj ⊕ P⊥
j .
0
0
l j+1 = ψ(v j+1 , v j+1 ) = mψ(v j , v j ) + r ⇒
r = ψ(v j+1 , v0j+1 ) − mψ(v j , v0j ) + 0 + 0
= ψ(v j+1 , v0j+1 ) − mψ(v j , v0j ) + ψ(v j+1 , −mv0j ) + ψ(v j , v0j+1 )
= ψ(v j+1 + v j , v0j+1 − mv0j )
con (v j+1 + v j ), (v0j+1 − mv0j ) ∈ Pj ⊕ P⊥
j ⇒ r = 0 pues l j es el más pequeño de
⊥
⊥
ψ(Pj ⊕ Pj , Pj ⊕ Pj )
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Queda por ver la unicidad.
Primero veamos que l1 es único. Supongamos que existe un l˜1 tal que:
ψ(D, D) = l˜1 Z ⇒ l˜1 |l1 y l1 |l˜1 ∴ l˜1 = l1
La prueba continua por inducción sobre la dimensión de D.
Para Dim(D)=2 la prueba resulta de la unicidad de l1
Dado n ∈ N , supongamos que los li son únicos para los lattice de Heisenberg
de dimensión 2n-2. Para D con dimensión 2n, definimos
D̃ := D/(v1 Z ⊕ v01 Z)
D̃ es un lattice de Heisenberg, de dimensión 2n-2, por lo que sus 2 ≤ li ≤ n asociados son únicos (por hipótesis inductiva). Además el l1 es único por lo visto en
el primer párrafo de la unicidad.
Corolario 1 πL = HL(Cn )
Demostración: ⊆) Sea Γ ∈ L
[Γ, Γ] ⊆ Γ ∩ Z ⇒ es un subgrupo discreto de Z(' R)
Además, (0, ψ(π(Γ), π(Γ))) = {(0, ψ(π(h), π(h0 ))) : h, h0 ∈ Γ} = [Γ, Γ] ⊆ (0, β(Γ)Z)
Entonces tenemos que:
ψ(π(Γ), π(Γ)) ⊆ β(Γ)Z
ψ(π(Γ), π(Γ)) es un lattice de Cn
Con lo cual, estamos en condiciones de aplicar el lema1, y concluir que
ψ(π(Γ), π(Γ)) = l1 β(Γ)Z ∴ π(Γ) ∈ HL(Cn )
⊇) D ∈ HL(Cn ) ⇒ D =< v1 , v01 > ⊕...⊕ < vn , v0n > por (2)
Definimos Γ como el grupo generado por
(v1 , 0), (v2 , 0), ..., (vn , 0), (v01 , 0), (v02 , 0), ..., (v0n , 0).
Más explicitamente, Γ = {(∑ni=1 ai vi + bi v0i , 12 ml1 ) : ai , bi , m ∈ Z}. Observemos
que Γ satisface la condición adicional: [Γ, Γ] = Γ ∩ Z
Es inmediato ver que Γ es un subgrupo discreto y que Hn /Γ es compacto.
Corolario 2 Sea Γ ∈ L entonces, ψ(π(Γ), π(Γ)) = l1 β(Γ)Z
13
Demostración: Por el corolario anterior, D = π(Γ) ∈ HL(Cn ) ∴ ψ(D, D) = l1 β(Γ)Z
Ejemplo 1 Definimos,
Zn# := {` = (l1 , l2 , ..., ln ) ∈ Nn : l j |l j+1 }
Sea e j , 1 ≤ j ≤ 2n, la base canónica de R2n . Se ve fácilmente que ψ(e j , e j+n ) =
1 para j = 1, ..., n. Para `, definimos:
D(`) :=< e1 , ....en , l1 en+1 , l2 en+2 ..., ln e2n >
Observación: En el lema 2 vimos que si D(`) ∈ HL(Cn ) entonces admitı́a una
descomposición de la forma < v1 , v01 > ⊕... < vn , v0n >= D(`)
En el ejemplo anterior, vi = ei y v0i = li ei+1
Teorema 2 Para cada D ∈ HL(Cn ) existe un único ` ∈ Zn# , un único l ∈ R>0 y un
α ∈ SP(2n, R) tal que:
D = α(l 1/2 D(`))
Demostración: Si D ∈ HL(Cn ),entonces ψ(D, D) = ll1 Z, con l ∈ R>0 y l1 ∈ N
1
D =< v1 , v01 > ⊕...⊕ < vn , v0n > con los números natuPor el lema 2, D̃ := l 1/2
rales li = ψ(vi , v0i ) univocamente determinados.
Definimos ` := (l1 , ..., ln ) ∈ Z#n
Sea α la transformacion lineal sobre R2n definida por,
α(e j ) = v j ,
v j+1
α(e j+n ) =
,
lj
con j=1,...,n.
Es fácil ver que ψ(αek , αek+n ) = ψ(ek , ek+n ), luego α ∈ SP(2n, R).
Por lo cual D̃ = α(D(`))
1
Pero entonces, D̃ = l 1/2
D = α(D(`)) ⇒ D = α(l 1/2 D(`))
Definición 11 Llamaremos Γ(`) al grupo generado por,
(e1 , 0), (e2 , 0), ..., (en , 0), (l1 en+1 , 0), (l2 en+2 , 0), ..., (ln e2n , 0),
con ` = (l1 , ...ln ) ∈ Z#n .
14
Corolario 3 Sea Γ ∈ L(Hn ) tal que [Γ, Γ] = Γ ∩ Z. Entonces existe un único ` ∈
Z#n , un único l > 0 y α ∈ Sp(2n, R) tal que:
Γ = δ 1 α(Γ(`))
l2
Demostración: Recordemos que [Γ, Γ] = {(0, ll1 m) : m ∈ Z}.
Sea D := π(Γ) = α(l 1/2 D(`)). Sea
α 0
Γ(`).
Γ̃ = δl 1/2
0 1
Con Γ̃ asi definida, tenemos que,
α 0
π(Γ̃) = π(δl 1/2
Γ(`)) = l 1/2 α(π(Γ(`))) = l 1/2 α(D(`)) = D = π(Γ)
0 1
[Γ̃, Γ̃] = {(0, ll1 m) : m ∈ Z},
por lo que concluimos que Γ̃ = Γ.
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Referencias
[Fo] Folland G. “Compact Heisenberg Manifolds as CR Manifolds”,The Journal
of Geometric Analysis, Vol. 14 N. 3, 2004.(521-532)
[Ho] Hoffman K.,Kunze R. “Linear Algebra”,Prentice-Hall, 1973
[Hu] Hungerford T. W. “Algebra”,Graduate Text in Mathematics, V. 73,Springer,
2003
[La] Lang S. “Algebra”,3. ed., Springer, 2004
[Th] Thangavelu S. “Harmonic analysis on Heisenberg nilmanifolds”.Revista de
la Unión Matemática Argentina,V. 50, N. 2 , 2009. (75-93)
[To] Tolimieri R. “Heisenberg manifolds and Theta functions”, Trans. of the
A.M.S Vol 239, 1978. (293-319)
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