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Subdirección de Educación
Departamento de Educación Contratada
Colegio CAFAM “Santa Lucia”
Saber - Saber: Identificar métodos de solución de ecuaciones de distinto orden.
Saber - Hacer: Resolver diferentes situaciones problema haciendo uso de ecuaciones.
Saber - Ser: Profundizar y manejar la solución de una ecuación.
Docente: John Alexander Gaona
Pensamiento: Lógico Matemático
Asignatura: Matemáticas 9°
Diofanto de Alejandría Nacido en Alejandría. Es considerado
"el padre del álgebra".
Nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la
que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de
problema:
Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su
niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una
séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de
la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo
esto se deduce su edad.
¿Cuántos Años Vivió Diofanto?
Prerrequisitos y preconceptos:
ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores
conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden
ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes
ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los
valores que se pretende hallar.
Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se
cumple. Por lo general, los problemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o más ecuaciones, sin embargo no todas las
ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada
NUEVA INFORMACIÓN:
PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER ECUACIONES
1) Se Quitan denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los dos miembros de la ecuación por un múltiplo
común de los denominadores, preferiblemente su mínimo común múltiplo.
2) Quitan paréntesis, si los hay.
3) Pasan los términos en x a un miembro y los números al otro miembro.
4) Simplificar cada miembro.
5) Despejar la x. Se obtiene así, la solución.
6) Comprobación: Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que coinciden los
resultados más internos.
NOTA
El error más frecuente es NO cambiar los signos de la expresión que aparecen detrás de un número.
ACTIVIDADES PRIMER PERIODO
T. INDIVIDUAL
Hacer uso de los pasos sugeridos anteriormente para resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
1
10
2
11
12
3
4
13
5
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6
15
7
8
9
REFINAMIENTO: REALIZAR EL PROCESO
1. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos
tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?
2. Un examen consta de 20 cuestiones. Cada cuestión correcta se valora con 3 puntos, y cada cuestión incorrecta se resta 2 puntos.
Si al final de la prueba el alumno consiguió 30 puntos. ¿Cuántas cuestiones contestó correctamente y cuantas no?
3. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la ed ad del padre tres veces mayor que la
edad del hijo?
4. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
5. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
6. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y
mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?
7. Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5
partes. Calcula la capacidad del bidón.
8. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
9. Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la
primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que
le queda. Se pide:
1 Litros de gasolina que tenía en el depósito.
2 Litros consumidos en cada etapa.
10. En una librer ía, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras
partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?
11. La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las dece nas y la menor la de las unidades.
El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?
12. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años
la edad del padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.
13. Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo
por separado si uno es el doble de rápido que el otro?
14. Halla el valor de los tres ángulos de un triángu lo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más
que B.
1) Busca un número sabiendo que si se le divide entre 3 y al resultado se le suma 2 se obtiene 5.
2) La suma de dos números consecutivos es 47. ¿Cuáles son los números?
3) La suma de tres números consecutivos es 48. ¿Cuáles son los números?
4) La suma de dos números es 25 y uno de ellos es 15 unidades mayor que el otro. ¿Cuáles son los números?
5) El perímetro de un rectángulo es 12 metros, si su base mide 4 metros. ¿Cuánto mide la altura?
6) En un rectángulo la base mide el triple que la altura y su perímetro es 32 metros. ¿Cuánto miden la base y la altura?
7) En un triángulo cada lado mide 6 cm más que el otro, si su perímetro es de 39 cm. ¿Cuánto mide cada lado del triángulo?
8) La suma de cuatro números pares consecutivos es 60 ¿Cuáles son los números?
9) En un rectángulo la base mide el doble que la altura y su perímetro es 132 metros. ¿Cuánto miden la base y la altura ?
10) El perímetro de un rectángulo es 168 metros, si su base es 4 metros mayor que su altura ¿Cuánto miden la base y la altura del
rectángulo?
11) La mitad de un número más el triple del mismo número da 14 ¿Cuál es el número?
12) Busca un número sabiendo que si se le multiplica por 4 y al resultado se le resta 10 se obtiene 14.
13) Averigua la solución de las ecuaciones:
1
2
3
SEGUNDO PERIODO
Los pasos necesarios para resolver, por diferentes métodos, un sistema de ecuaciones con dos incognitas
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Despejar en ambas ecuaciones
la misma incógnita.
Igualar los valores de la
incógnita despejada.
Resolver la ecuación con una
incógnita y encontrar su valor.
Sustituir este valor en
cualquiera de las ecuaciones
originales para hallar el valor
de la otra incógnita.
Comprobar los valores
encontrados sustituyéndolos
en las dos ecuaciones
originales.
MÉTODO POR
SUSTITUCIÓN
Se despeja una incógnita
(forever alone) en una de las
ecuaciones
Se sustituye la expresión
gorda de esta incógnita en la
otra ecuación, obteniendo una
ecuación con una sola
incógnita.
MÉTODO POR REDUCCIÓN
Se preparan las dos
ecuaciones, multiplicándolas
cada una por los números que
convenga.
Se resta con la intención de
desaparecer una de las
incógnitas.
Se resuelve la ecuación
resultante.
Se resuelve la ecuación.
El valor obtenido se sustituye
en la ecuación en la que
aparecía la incógnita
despejada.
Los 2 valores obtenidos
constituyen una causa con la
solución del sistema.
El valor obtenido se sustituye
en una de las ecuaciones
lineales y se resuelve.
Los valores obtenidos
constituyen la solución del
sistema.
NIVELACIÓN SEGUNDO PERIODO
Hacer uso de los pasos sugeridos anteriormente para resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
REFINAMIENTO: REALIZAR EL PROCESO
T. INDIVIDUAL
Construcción en Pequeño Grupo:
1 Resuelve
por
sustitución,
T. GRUPAL
igualaci ón,
sistema:
2
3 Halla las soluciones del sistema:
reducción
y
gráficamente
el
4 Resueve:
5 Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente el sistema:
6 Resuelve el sistema:
7 Halla las soluciones del sistema:
Problema nº 1.- Calcula un número sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que, si invertimos el orden de dichas cifras, el
número obtenido es 36 unidades mayor que el inicial.
Problema nº 2.-
tro. ¿Cuánto miden sus tres ángulos?
Problema nº 3.- La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 255 km. Un coche sale de A hacia B a una velocidad de 90 km/h. Al
mismo tiempo, sale otro coche de B hacia A a una velocidad de 80 km/h. Suponiendo su velocidad constante, calcula el tiempo que
tardan en encontrarse, y la distancia que ha recorrido cada uno hasta el momento del encuentro.
Problema nº 4.- Halla un número de dos cifras sabiendo que la primera cifra es igual a la tercera parte de la segunda; y que si
invertimos el orden de sus cifras, obtenemos otro número que excede en 54 unidades al inicial.
Problema nº 5.- La base mayor de un trapecio mide el triple que su base menor. La altura del trapecio es de 4 cm y su área es de 24
cm2. Calcula la longitud de sus dos bases.
Problema nº 6.- La razón entre las edades de dos personas es de 2/3. Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es la edad de cada una
ellas?
Problema nº 7.-Un número excede en 12 unidades a otro; y si restáramos 4 unidades a cada uno de ellos, entonces el primero sería
igual al doble del segundo. Plantea un sistema y resuélvelo para hallar los dos números.
Problema nº 8.- El perímetro de un triángulo isósceles es de 19 cm. La longitud de cada uno de sus lados iguales excede en 2 cm al
doble de la longitud del lado desigual. ¿Cuánto miden los lados del triángulo?
Problema nº 9.- Pablo y Alicia llevan entre los dos 160 €. Si Alicia le da 10 € a Pablo, ambos tendrán la misma cantidad. ¿Cuánto
dinero lleva cada uno?
Problema nº 10.- La suma de las tres cifras de un número capicúa es igual a 12. La cifra de las decenas excede en 4 unidades al doble
de la cifra de las centenas. Hallar dichos números.
Socialización al Gran Grupo: Un integrante de cada grupo realizará una exposición de algún problema teniendo en cuenta los
procedimientos sugeridos durante el desarrollo de la guía.
Verificación: Revisar si fueron superadas las posibles dificultades que se pueden presentar de manera individual
Reflexión: Mostrar la importancia que tiene, el tema en la vida cotidiana para la solución de problemas, y como se puede extender
su estudio en otras áreas del conocimiento.
Regulación: Establecer mecanismos de control (quiz, talleres, trabajos en clase y tareas) que permitan identificar las dificultades de
los estudiantes para nivelarlas, y dejar actividades de refuerzo para disipar completamente las dudas.
WEBGRAFIA:
http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad
https://www.youtube.com/watch?v=C-tCCuaRU5Q
https://www.youtube.com/watch?v=jSZWvCh2PqI
http://www.slideshare.net/jeidokodfs/mtodos-de-solucin-para-ecuaciones-2x2
http://www.amolasmates.es/pdf/ejercicios/3_ESO/Ejercicios%20de%20sistemas%20de%20ecuaciones.pdf
RECAPITULACIÓN
SOCIALIZACIÓN
Socialización al Gran Grupo: Un integrante de cada grupo realizara exposición de algún problema y cuenta las dificultades
que se les presentaron durante el desarrollo de la guía.
Verificación: Revisar si todos los estudiantes tuvieron las mismas dificultades de manera individual y si las lograron solucionar
en grupo.
Reflexión: Identificar el alcance de las competencias propuestas en el plan de estudios, enlazándolas con el proyecto
aprendizaje colaborativo.
Regulación: Establecer mecanismos de control (quiz, talleres, ..) que permita identificar las dificultades de los estudiantes
para nivelar dichas dificultades