1. Healthcare

9.
Números y
figuras
Matemáticas 3º ESO
320
1.
Generalización
2.
Secuencias y sucesiones
3.
Sumas de sucesiones



Cercos
Escaleras
Escuadras
4.
Resolución de problemas
5.
Fórmulas
Números y figuras
1. Generalización

CUADRADOS Y RECTÁNGULOS
Material: gran número de cuadrados de cuatro colores para cada estudiante.
Construye con estas piezas cuatro figuras, cada una de un color y que tengan forma de cuadrado o
de rectángulo, con la condición de que con las cuatro figuras podamos, a su vez, construir una figura
única de cuatro colores que tenga forma de cuadrado o rectángulo.
¿Qué condiciones tienen que cumplir los lados de las figuras que has construido para que podamos
construir un cuadrado con las cuatro?.
Si construyes con las piezas cuatro cuadrados iguales, cada uno de un color, resultaría
siempre posible construir con los cuatro cuadrados un cuadrado de cuatro colores y de lado
doble, o un rectángulo.
La forma de la figura resultante no depende solamente de la forma de las cuatro figuras.
Si dos figuras de las cuatro son dos cuadrados con un vértice en común, siempre podemos
construir un cuadrado que tenga de lado la suma de los lados de los dos cuadrados
añadiendo dos rectángulos iguales.
Las cuatro figuras tienen un vértice en común.
Si construimos dos cuadrados y los situamos con un lado común, obtenemos un cuadrado
añadiendo dos rectángulos.
321
Matemáticas 3º ESO
Si ponemos la condición de que las cuatro figuras tengan un vértice común, la solución más
interesante puede que sea considerar el problema resuelto. En este caso, si partimos de un
cuadrado o de un rectángulo, podemos descomponer de varias formas los lados de la figura
en una suma de dos sumandos y quedará así la figura descompuesta en cuatro figuras:
d
ad
bd
c
ac
bc
a
b
Con esta actividad puedes obtener una demostración geométrica de la propiedad
distributiva del producto de números naturales:
a + bc + d  ac + ad + bc + bd
y también el cuadrado de una suma:
a + b2  a2  2ab + b2
El cuadrado de una suma no es igual a la suma de los cuadrados.
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero mas el doble del primero por el
segundo más el cuadrado del segundo.

DILATACIONES
1) Imagina que dilatas un cuadrado de lado desconocido a, hasta que aumentas su lado en b.
¿Qué relación hay entre los rectángulos dibujados (incluidos el cuadrado antiguo y el nuevo)?.
322
Números y figuras
2) Imagina que dilatas un cubo de lado desconocido a, hasta que aumentas su lado en b.
¿Qué relación hay entre los paralelepípedos obtenidos (incluidos el cubo antiguo y el nuevo)?.

ÁREA Y VOLUMEN
Calcula el volumen de los siguientes sólidos. Calcula también la suma de las áreas de todas sus
caras.

ÁREA Y VOLUMEN DEL CUBO
1) Calcula el volumen de los dos cubos de la siguiente figura. Calcula también la suma de las áreas
de todas sus caras.
2) ¿Cuántas veces es mayor el volumen del cubo grande que el del cubo pequeño?. ¿Y el área?.
3) Al doblar el tamaño de la arista de un cubo, ¿qué aumenta más, el área o el volumen?.
323
Matemáticas 3º ESO

NÚMEROS IMPARES
Imagina los impares consecutivos. Elévalos al cuadrado. Réstalos. ¿Qué sale?. ¿Hay alguna ley
general?.
Parecen los múltiplos de 8. ¿Por qué?.
¿Es válido para toda pareja de impares consecutivos?; por ejemplo, -7 y –5.
Recuerda que a + b2  a2  2ab + b2 (cuadrado de una suma) y que a - b2  a2  2ab + b2
(cuadrado de una diferencia). Recuerda también la expresión de dos números impares
consecutivos: 2n - 1 y 2n + 1 .

ÁNGULOS INTERIORES
¿Cuál es el valor de la suma de los ángulos interiores de un polígono de 3, 4, 5, ..., n lados?.

ÁNGULOS RECTOS
1) ¿Cuál es el máximo número de ángulos rectos que se pueden formar con 2, 3, 4, 5, .., n palillos?.
2) ¿Cuál es el máximo número de ángulos rectos que puede tener un polígono?.
324
Números y figuras

DIAGONALES
¿Cuál es el número de diagonales de un polígono de n lados?.

PUNTOS Y RECTAS
Dados dos puntos, hay una recta que pasa por ellos; con 3 puntos no alineados se determinan 3
rectas, como puedes observar en la siguiente figura:
a) Haciendo los dibujos correspondientes, completa la siguiente tabla, de forma que nunca tres
puntos estén alineados:
Número de puntos
2
3
Número de rectas que determinan
1
3
4
5
6
b) ¿Puedes dar una expresión que relacione el número de puntos y el de rectas que determina?.
325
Matemáticas 3º ESO

CÍRCULOS
Material: Gran número de círculos de colores variados para cada alumno.
Construye figuras semejantes a la del dibujo siguiente, más grandes, y expresa las relaciones y
regularidades que observes en dichas figuras, contando el número de círculos que las forman.
a) ¿Hay figuras simétricas?.
b) Cada línea tiene un número distinto de círculos. Hay dos líneas que tienen más círculos que
todas las demás. ¿Qué líneas?.
c) ¿Qué forma tienen todas las figuras?.
Observa que cada figura tiene el perfil de un cuadrado. Contando el número de círculos de
cada línea, podemos hallar la suma de los números naturales consecutivos.
En general, si consideramos que el cuadrado tiene de lado n+1 círculos, se cumple:
1+ 2 + 3+...+n + (n +1) + n+...+3 + 2 +1 =  n +1
2
de donde:
21+ 2 + 3+...+n   n +1   n +1  1+ 2 + 3+...+n =
2
1+ 2 + 3+...+n =
 n +1 n +1-1
2

n n +1
2

 n +1 2   n +1
2
n2  n
.
2
Si el cuadrado tiene de lado n círculos, se cumple (observa la figura):
1  2  3... n -1 
n2  n
2
1  2  3... n -1  n =
326
de donde
n2  n
n2  n
n=
2
2
o también
Números y figuras
2. Secuencias y sucesiones

DE DOS COLORES
Material: gran número de cuadrados del mismo tamaño y de dos colores para cada estudiante.
Construye cuadrados más y más grandes, utilizando estas piezas con la condición de que se siga
siempre una misma regla.
Analiza los distintos procedimientos que puedes seguir en la construcción de las piezas:

Dejando huecos y sin dejar huecos.

Considerando un cuadrado con una sola pieza.

Eligiendo entre cuadrados de n-1, n y n+1 piezas de lado.

Estableciendo una regla para los cuadrados que tengan de lado un número par de piezas y otra
para los de un número impar.
Utiliza distintas estrategias para construir las figuras:

Distinguir entre las opciones “uno si, uno no” y “la mitad”.

Distinguir líneas notables, como las diagonales, filas, columnas.

Distinguir reglas para n par y para n impar.

Trazar distintos tipos de cercos, distintos tipos de escuadras, distintos tipos de escaleras.

SERIES CON DOS COLORES
En cada una de las series de figuras que siguen:
a) Enuncia la regla que se sigue en cada caso.
b) Expresa, en su caso, para cuadrados de lados 1, 2, 3, ... , (n – 1), n, (n + 1), el número de piezas
de cada uno de los colores que hay en cada figura.
1) MITADES
327
Matemáticas 3º ESO
2) LÍNEAS
3) UNO SÍ, UNO NO

CERCOS
En cada una de las figuras que siguen:
a) Enuncia la regla que se sigue en cada caso.
b) Expresa, para cuadrados de lados 1, 2, 3, ..., n, el número de piezas de cada uno de los colores
que hay en cada figura.
328
Números y figuras
Observa que se pueden utilizar distintos métodos para contar las piezas de un cerco:
Un cerco es la diferencia de dos cuadrados.
Si un cerco tiene n piezas en cada lado, tendrá 4n 4 piezas, ya que las esquinas se
habrán contado dos veces.
Un cerco es el conjunto de cuatro piezas, dos a dos iguales.
Un cerco es la suma de cuatro piezas iguales.
Un cerco es la suma de dos piezas iguales.
El cerco de la figura anterior tiene 7 piezas por lado. Por lo tanto, tendrá:
7 2  5 2  4  7  4  2  7  2  5  6  4  2 12
En general, el número de piezas de un cerco de lado n será:
n 2  n - 22  2n + 2n - 2  4n - 4 = 4n - 1  2n + n - 2
Por lo tanto, un cerco con n piezas en cada lado está formado siempre por un número par
de piezas.
Distinguiremos ahora los cercos con o sin pieza central:
1) Sin pieza central, los cercos de un color serán:
er
El 1 cerco tendrá 4 piezas, con 2 piezas de lado.
El 2º cerco tendrá 20 piezas, con 6 piezas de lado.
... ... ... ... ...
El n-ésimo cerco tendrá  2n + 2   2n  8n + 4 piezas.
2
2
2) Con pieza central, los cercos de un color serán:
er
El 1 cerco tendrá 8 piezas, con 3 piezas de lado.
El 2º cerco tendrá 24 piezas, con 7 piezas de lado.
El n-ésimo cerco tendrá 2n + 12  2n - 12  8n piezas.
329
Matemáticas 3º ESO

SECUENCIAS NUMÉRICAS
1) Observa la siguiente colección de figuras, construidas con palillos:
....
y completa la siguiente tabla:
Número de cuadrados
1
2
3
Número de palillos
4
7
10
4
.....
n
2) Observa la siguiente colección de figuras obtenidas a partir de fichas de dominó:
y completa la siguiente tabla:
Lugar que ocupa la ficha
1
2
3
4
......
Valor de la ficha
1
3
5
0
......
Las colecciones: 4, 7, 10, 13, ... y 1, 3, 5, 0, ... son secuencias numéricas o sucesiones.
En la sucesión 4, 7, 10, 13, ..., se dice que 4 es el primer término de la sucesión, 7 es el
segundo término, 10 es el tercer término, etc.
Para hallar cualquier término de la sucesión debes conocer la regla de formación de la
secuencia. En este caso, la regla de formación es:
El primer término es 4. Se repite: cada término se obtiene sumando tres al término anterior.
3) Halla la regla de formación de las siguientes sucesiones y halla para cada una su término décimo:
a) 7’5, 8’5, 9’5, 10’5, ...
b) 100, 50, 25, ...
c) 5, 8, 11, 14, ...
d) 2’5, 2’5, 2’5, ...
e) 1’5, 3, 4’5, 6, ...
f) 1, 2, 3, 4, ...
4) Halla los seis primeros términos de las sucesiones cuya regla de formación es:
a) El primer término es 10. Se repite: cada término se obtiene multiplicando por 10 el anterior.
b) El primer término es 1. Se repite: cada término se obtiene multiplicando por 0’1 el anterior.
5) Halla los quince primeros términos de la sucesión que viene expresada por la siguiente tabla:
Lugar
1
2
3
4
.....
Término
6
7
8
9
.....
¿Cuál es el término que ocupa el lugar 1000?
330
Números y figuras

ESCALERAS
Considera las siguientes escaleras:
La primera escalera tiene un perímetro igual a 4. Calcula el perímetro de la 2ª, 3ª, 4ª y 10ª. ¿Cuál es
el perímetro de la escalera que ocupa el lugar n?.

TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS
Observa la sucesión de triángulos equiláteros, en los que cada vez el lado es la mitad y el lado del
triángulo grande mide 1 metro.
a) Calcula los perímetros de los 4 primeros triángulos.
b) Establece una regla que relacione el perímetro con el orden del triángulo.
c) Calcula el perímetro del triángulo de orden 10. ¿Cuál es el perímetro del triángulo de orden n?.

REGLAS DE FORMACIÓN
1) Para cada una de las siguientes sucesiones, busca la regla de formación:
a) 1, 2, 4, 8, 16, ... b) 10, 13, 16, 19, 21, ... c) 100, 95, 90, 85, ...
d) 1, 4, 9, 16, 25, ...
2) Para cada una de las siguientes reglas, expresa los diez primeros términos de la sucesión:
Regla 1:
El primer término es 2 y los demás se obtienen sumándole cinco unidades al anterior.
Regla 2:
Cada término se consigue multiplicando por cinco el lugar que ocupa y restándole tres
unidades.
3) Intenta hallar las reglas de formación de las siguientes sucesiones:
a) 1, 3, 6, 10, ...
b) 2, 5, 10, 17, 26, ...
331
Matemáticas 3º ESO

CÓDIGOS
1) Busca los diez primeros términos de las sucesiones cuyas reglas de formación están dadas de la
siguiente forma:
a) El primer término es 30 y los demás se obtienen restándole al anterior una unidad.
b) A cada término se le suman dos unidades para obtener el siguiente. El primero es 15.
2) Expresa los diez primeros términos de la sucesión cuya regla es:
a) Cada término se consigue elevando al cuadrado el lugar que ocupa y sumándole una unidad.
b) Cada término se obtiene elevando al cuadrado el lugar que ocupa y multiplicándolo por 2.
c) Cualquier término es igual a – 15.
3) Dadas las sucesiones siguientes, busca y explica las reglas de formación:
a) 1, 2, 0, 2, - 1, 2, - 2, 2, - 3, ...
b) 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, ...
4) Siendo n la variable que expresa el lugar que ocupa cualquier término de la sucesión, expresa los
diez primeros términos de la sucesión cuya regla, en lenguaje algebraico, es:
a) 2n - 1

b) 3n 5
c) n 2  1
d) n + 12
MÁQUINAS
1) El siguiente diagrama corresponde a una máquina que produce la sucesión cuyos primeros tres
términos son 8, 10 y 12.
Explica su funcionamiento y determina los quince primeros términos de la sucesión. ¿Cuándo
terminaría la máquina de darnos términos?. Expresa la regla de formación de los términos dela
sucesión.
2) Dados los diagramas:
332
Números y figuras
a) Calcula los diez primeros términos de las sucesiones que producen cada una de ellas.
b) ¿Sería 105 un término de las sucesiones que se van a producir?. Razona la respuesta.
c) Busca dos números que sean términos de las sucesiones que producen las dos primeras
máquinas y otros dos que no lo sean de ninguna de ellas dos.
3) Dibuja el diagrama de la máquina que fabrica las siguientes sucesiones. Busca y explica la regla
de formación de ellas.
a) 10, 9, 8, 7, 6, ...
b) 8, 10, 12, 14, ...
Determina para cada una tres números que sean términos y otros tres que no lo sean.
4) Inventa máquinas que fabriquen sucesiones. Explica lo que haces y determina las sucesiones
que surjan de dichas máquinas.
5) Expresa la regla de formación y el diagrama de las siguientes sucesiones:
a) 0, 3, 6, 9, 12, ...
b) 1, 3, 5, 7, ...
c) 3, 5, 7, 9, ...
d) 2, 4, 6, 8, ...
e) – 10, - 7, - 4, -1, 2, ...
f) 2, 2, 2, 2, ...
g) 100, 96, 92, 88, ...
h) 4, 9, 16, 25, ...
i) 1, - 2, 3, - 4, ...
j) 7’1, 9’4, 11’7, 14, ...
k) 1, 0, - 1, 1, 0, - 1, 1, ...
6) En cada una de las sucesiones anteriores, determina tres números que sean términos de ella (a
partir del décimo) e intenta expresar, en lenguaje algebraico, su regla de formación.

FIGURAS
1) Partimos de la circunferencia C-1 que tiene 2 cm de radio y vamos trazando circunferencias cada
vez mayores como nos indica la siguiente figura. ¿Qué longitud tendría la circunferencia C-20?.
¿Y la circunferencia C-300?.
333
Matemáticas 3º ESO
2) Partimos del triángulo equilátero ABC cuyo lado mide 100 m. Vamos trazando paralelas medias y
consiguiendo así triángulos cada vez más pequeños: T-1, T-2, T-3, ... ¿Qué perímetro tiene el
triángulo T-5?. ¿Y el triángulo T-100?.
.

SECUENCIAS
1) Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:
a) 3 n
b) 2 n – 3
2
c) – n
2
d) (- n) +1
e) ( 1)
2n+3
f)
1
2n - 1
2) Encuentra una fórmula que exprese las siguientes secuencias:

a) 1, 4, 7, 10, ...
b) 2, 1, 0, 1, 2, ...
d) 2, 12, 36, 80, ...
e)
1 2 3
, , , ...
2 3 4
c) 4, 1, 2, 5, ...
f)
3 4 5
, , , ...
2 3 4
SUCESIONES
A continuación tienes un montón de sucesiones de números. Si las estudias con detenimiento, podrás
descubrir diferencias y semejanzas entre ellas.
1) Clasifica dichas sucesiones.
2) Busca una fórmula para cada sucesión.
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
c) 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...
d) –7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ...
d) 25, 21, 17, 13, 9, 5, ... e) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
334
g)
7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, ... h)
6’3, 9’9, 13’5, 17’1, ...
i)
–1, -5, -9, -13, -17, ...
2, 6, 12, 20, 30, 42, ...
j)
Números y figuras
Ayuda: Una buena guía para la clasificación es hallar la diferencia entre cada dos términos,
las diferencias entre los términos de la sucesión de diferencias, etc. Por ejemplo:
Sucesión:
1
Diferencias primeras:
Diferencias segundas:

3
2
5
2
0
7
2
0
9
2
0
11
2
0
2
0
13 ...
....
...
MÁS SUCESIONES
1) A continuación tienes el comienzo de una sucesión formada por números enteros. ¿Serías capaz
de decir el número que ocupa el lugar 198?.
1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, ...
2) Completa los cuatro números que faltan:
1’6,
0’8,
0’4, ______ , ______ , ______ , ______ .
3) Este es un cuadrado unidad.
Su superficie vale 1.
Utilizando el centro como apoyo construimos otro más pequeño dentro.
¿Cuánto vale su superficie?. Utiliza números decimales.
Si continuamos haciendo cada vez lo mismo, ¿cuánto valdrán las superficies de los nuevos
cuadrados?.
335
Matemáticas 3º ESO
4) En la siguientes tiras coloca los números que faltan en las casillas vacías:
1
10 13 16
6
12 14 16
1
4
16 25
49
5)
Si escribimos ordenadamente los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... el que ocupa la primera
posición es el 3, el que ocupa la segunda es el 6, el que ocupa la quinta es el 15,... ¿Cuál es el
que ocupa la posición n?.
6)
Hemos escrito ordenadamente los números pares, de menor a mayor:
2, 4, 6, 8, 10, 12, ....
El número par que ocupa el lugar n es 2n. ¿Cuál es el número par que ocupa el lugar 5?. ¿Y el
lugar 30?. ¿Y el lugar 1000?.
3. Sumas de sucesiones

SUCESIONES ARITMÉTICAS
Mozart fue un niño prodigio, pero Wagner no lo fue. Igual ocurre con los matemáticos, unos destacan
desde niños y otros no. Uno de los más precoces fue Gauss, uno de los matemáticos más
importantes de la historia. Cuando aún era un chaval, un amigo de su padre le propuso que sumara
rápidamente los números naturales del 1 al 100. Gauss fue listo y lo hizo de esta manera:
y como hay 50 parejas la suma será 50  101 = 5050.
Utiliza este método de Gauss para hacer otras sumas:
1) Suma los números naturales desde el 1 hasta el 800.
2) ¿Qué ocurre si en lugar de haber un número par de sumandos hay un número impar?. Haz la
suma de los números naturales desde el 1 hasta el 725.
3) Observa que el método sirve aunque los números no vayan de 1 en 1 si no, por ejemplo, de 4 en
4. Suma los doscientos primeros términos de la sucesión: 7, 11, 15, 19, 23, 27, ...
336
Números y figuras
4) Suma los 87 primeros términos de la sucesión: 2, 5, 8, 11, 14, ...
5) Ahora vamos a tomar n términos. Como no nos dicen cuál es el primero, lo llamaremos a 1 . Como
no nos dicen cuál es el que ocupa el lugar n, lo llamaremos a n . Si llamamos S n a la suma de
todos ellos, encuentra la expresión de S n .
Observa que la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética de primer
término a 1 y término enésimo a n viene dada por la fórmula:
S n  a1  a n  

n
2
SUMA CERCOS
Calcula la suma de las piezas de los dos colores en una figura con n cercos de colores alternados. Es
decir, calcula las siguientes sumas:
a)
4  8  12  16  20  24  28  ... (sin pieza central)
b)
8  12  16  20  24  ... (con pieza central)
337
Matemáticas 3º ESO

ESCALERAS
En cada una de las figuras que siguen:
a) Enuncia la regla que se sigue en cada caso.
b) Expresa, para figuras de lados 1, 2, 3, ..., n, el número de piezas que hay en cada figura.
Las figuras en escaleras que proceden de distintos cuadrados, permiten distinguir en cada
cuadrado dos escaleras ligeramente distintas:
Una tiene un peldaño más que la otra. En un cuadrado de lado n, tendremos una escalera
de 1+2+3+...+n piezas y otra escalera de 1+2+3+...+(n – 1) piezas.
Suponiendo que cada escalera sea de un color, el cálculo del número de piezas de cada
color se puede efectuar de muchos modos:
(1+ 2 + 3 + ... + n) + (1+ 2 + 3+ ... + (n -1)) = n 2
de donde
n2 - n
2
o también aplicando esta expresión general, cambiando n – 1 por n:
21+ 2 + 3+...+ n -1   n = n 2
1  2  3... n =
338
es decir 1  2  3... n -1 
 n +1 2   n +1
2
(1)
Números y figuras
Uniendo dos escaleras iguales, cada una de un color, en lugar de un cuadrado resulta un
rectángulo. En este caso, el rectángulo tiene n(n+1) piezas.
El número de piezas de cada escalera será: 1+ 2 + 3 + 4 + ... + n =
De las expresiones (1) y (2) deducimos que:
n(n + 1)
2
(2)
n + 12  n + 1  n 2  n  n(n + 1)
2
2
2
2
También podemos construir escaleras con peldaños de distintos colores. En este caso
tendremos sumas con un número par o impar de peldaños:
1  3  5  7  ... suma de los impares consecutivos
2  4  6  8  ... suma de los pares consecutivos.
Observando la figura, se cumple que:
1 2  3  4  5  ...  n = 1+ 3 + 5 + 7 + ...  2  4  6  8  ...
339
Matemáticas 3º ESO
Supongamos que construimos escaleras con peldaños que difieren en más de una pieza. Si
todos los peldaños tienen el mismo número de piezas, se pueden encajar dos escaleras
iguales de las formas que se indican a continuación:
Si n es el número de piezas del último peldaño y p el número de peldaños, n/p será el
er
número de piezas del 1 peldaño.

n
 n + p
p
n(p + 1)

Entonces el número de piezas de la escalera será:
o bien
, según que
2
2
utilices una u otra de las figuras anteriores.
Si las escaleras anteriores tuviesen una pieza en el 1
utilizando las dos estrategias anteriores.
er
peldaño, no podríamos encajarlas
En este caso, si n es el número de piezas del último peldaño y p el número de peldaños,
las expresiones anteriores serían correctas solo si n = p.

ESCUADRAS
En cada una de las figuras que siguen:
a) Enuncia la regla que se sigue en cada caso.
b) Expresa, para figuras de lados 2, 3, ..., n, el número de piezas que hay en cada figura.
340
Números y figuras
Escuadras sencillas
1) Una escuadra tiene un número impar de piezas.
Si un cuadrado tiene n piezas de lado, la escuadra del borde tiene 2 n -1  1  2n -1 piezas y
el cuadrado que la completa tiene  n -1 piezas.
2
Si el cuadrado tiene de lado n+1 piezas, la escuadra tendrá 2n+1 piezas.
Por lo tanto, un número impar tiene por expresión general 2n -1 ó 2n +1 , según empecemos
a contar en 1 o en 0.
2) Un número impar es la diferencia de dos cuadrados consecutivos:
2n + 1 = n + 12  n 2
2n - 1 = n 2  n - 12
341
Matemáticas 3º ESO
3) Un rectángulo de altura 1 y de un número impar de lado, siempre se puede convertir en
una escuadra.
7 1  2  3  1
En general, m  1 = 2 
m -1
1
2
4) La suma de impares consecutivos que empiecen por 1, es un cuadrado.
1 1
1 3  2 2
1 3  5  3 2
1 3  5  7  4 2
1 3  5  7  ...  2n - 1  n 2
5) Estudiemos el caso en que una escuadra esté formada por un número impar de piezas, y
que este número, a su vez, sea un cuadrado.
Por ejemplo, 9  2  4  1  5 2  4 2 , de donde 3 2  5 2  4 2 .
En general, si 2n + 1 = a 2 , como 2n + 1 = n + 12  n 2  a 2 , se deduce que n + 12  a 2  n 2 .
Es decir, que tenemos una terna pitagórica n + 1, n, a con n =
342
a2 1
.
2
Números y figuras
Podemos obtener otras ternas pitagóricas. Por ejemplo, si a=5, entonces n =
25 - 1
 12 y
2
n+1=13. Por lo tanto, 132  5 2  122 . De donde 13,12, 5 es una terna pitagórica, en la que
hay dos enteros consecutivos.
De esta forma, empezamos con el cuadrado de cualquier número impar (a = 3, 5, 7, 9, 11,
...) y obtenemos los otros dos elementos de la terna procediendo siempre del mismo modo.
Otro ejemplo más:
si a = 11, entonces a 2  121 2  60  1  612  602 , con lo que
 61, 60, 11 es una terna pitagórica.
Escuadras de anchura a
2
1) Una escuadra de anchura a se puede descomponer en un cuadrado de a piezas más
dos trozos iguales de ab piezas, con b = n – a piezas.
Una escuadra de amplitud a se puede convertir en un rectángulo de lados (n+b) y (n – b),
con b = n – a y como se observa en el dibujo n + b n - b  n 2  b 2 .
Luego, una escuadra de anchura a es la diferencia de dos cuadrados:
n2  b2
Calcular el número de piezas de una escuadra de amplitud a nos permite hacer una
demostración geométrica de que n + b n - b  n 2  b 2 .
Es decir: “el producto de suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados”.
343
Matemáticas 3º ESO
2) Dado un rectángulo de lados M y N, ¿siempre se puede convertir en una escuadra de
amplitud a?.
Observemos el dibujo:
La respuesta es afirmativa, si los lados del rectángulo cumplen unas ciertas condiciones, es
decir:
M=n+b=b+a+b=2b+a
y
N=a
y además M y N tienen la misma paridad.
Veamos todos los casos posibles:
n
a
b
M
N
par
par
par
par
impar
impar
impar
impar
par
impar
par
par
impar
par
impar
impar
par
impar
en ese caso se cumple: n 2  b 2  n + b a = n + b n - b
3) Ternas pitagóricas
En las ternas pitagóricas consideradas anteriormente, dos de los números de la terna eran
consecutivos. ¿Hay ternas pitagóricas más generales?.
Si un cuadrado formado por c
2
piezas, se puede transformar en un rectángulo con
dimensiones de la misma paridad, entonces se cumple que: c 2  n + b n - b  n 2  b 2 y la
terna c, b, n es una terna pitagórica. Veamos como:
2
Si r es un divisor de c y tiene la misma paridad que
rectángulo de lados
escuadra.
344
c2
entonces podemos construir un
r
c2
2
y r. Este rectángulo tendrá c piezas y lo podemos convertir en una
r
Números y figuras

1  c 2

 r  y c 2  r + b2  b 2 . Por lo tanto, la terna pitagórica

2  r


 2

 2

c, b, n es c, b, r + b ; y como r + b = r + 1   c  r   1   c  r  , la terna es finalmente:
2
r
2
r




 1  c2
 1  c2

 c,  
(P)
 r ,  
 r 
 2  r
 2  r






144
2
 36 y 4 tienen la
Por ejemplo, 12 = 144. Un divisor de 144 es el 4. Se cumple que
4
1  144
1  144


 4   16 y  
 4   20 , junto con el
misma paridad. Entonces los números  
2  4
2  4


2b + r =
c2
r
de donde b =
12 forman la terna pitagórica 12,16, 20 . Este ejemplo puede dar la sensación de que no se
ha obtenido nada relativamente nuevo, porque como la terna 3, 4, 5 ya la teníamos antes y
como la terna 3k, 4k, 5k con k natural será igualmente pitagórica, resulta que 12,16, 20 lo
es. Podemos preguntarnos, pues, de nuevo, si realmente hemos obtenido en la expresión
(P) ternas que no tuviésemos ya.
La respuesta es afirmativa. Y para verlo utilizaremos otro ejemplo:
Si c 2  6400 y r = 20 (que es un divisor de 6400), entonces:
c2
 320
r
c2
 r = 340
r

1  c 2

 r   170


2
r


c = 80
c2
 r = 300
r

1  c 2

 r   150

2  r


con lo que tenemos la terna 80,150,170 , que nos da la terna 8, 15,17 que, como puedes
ver, no contiene dos números consecutivos.
345
Matemáticas 3º ESO

CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Material: Gran número de triángulos rectángulos de plástico de distintos colores para cada alumno.
Con este material construye distintos tipos de figuras con o sin huecos, utilizando dos, tres, cuatro,
cinco, seis, ... triángulos rectángulos.
En esta actividad las figuras obtenidas son escuadras y puedes utilizar escuadras de distintos
colores.
a) Construye triángulos que tengan la misma forma que el triángulo de la pieza original. ¿Puedes
construir triángulos que tengan una forma diferente de la pieza original?.
b) ¿Puedes construir figuras con distintos tipos de huecos?.
c) ¿Puedes construir figuras que contengan triángulos y cuadrados?.
d) ¿Puedes construir cuadrados que tengan de lado la hipotenusa del triángulo de la pieza?.
e) ¿Puedes construir molinetes?
346
Números y figuras
f)
Construye las siguientes sucesiones de figuras:
1) TRIÁNGULOS SIN HUECOS
Observa que en cada figura hay 1, 4, 9, ..., n piezas.
Si llamamos 1 a la longitud de uno de los catetos de la escuadra, ¿cuántas piezas tiene un
triángulo de 25 unidades en el cateto?. ¿Qué valores puede tomar n?.
2) TRIÁNGULOS CON HUECOS
¿Cuántas piezas sólidas hay en cada figura?. ¿Cuántos huecos hay en cada figura?.
3) CUADRADOS
347
Matemáticas 3º ESO
¿Cuántas piezas hay en cada cuadrado?.

TRIÁNGULOS Y CUADRADOS
Construye las siguientes figuras utilizando triángulos de plástico. ¿Puedes demostrar el teorema de
Pitágoras con ayuda de este material?.
4. Resolución de problemas

MONEDAS
Imagina que tienes una moneda de euro y quieres rodearla con otras iguales, de forma que todas la
toquen y se toquen entre sí, sin superponerse. ¿Cuántas monedas crees que necesitarías?.
Compruébalo con monedas reales.
¿Cuántas monedas necesitarías si intentaras rodear este primer cerco de manera análoga, para
formar un segundo cerco?.
¿Cuántas necesitarás cuando hayas hecho 3, 4 o más cercos?.
¿Qué pasaría si las monedas fuesen de diez céntimos?.
348
Números y figuras

CUADRADOS
Imagina un cuadrado. ¿Cuántos cuadrados del mismo tamaño necesitas para rodearlo
completamente?.
¿Cuántos cuadrados necesitarías para rodear esta primera capa de cuadrados?.
¿Cuántos cuadrados hay en la capa n-ésima?.

TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS
Imagina un triángulo equilátero. ¿Cuántos triángulos equiláteros del mismo tamaño necesitas para
rodear al anterior?.
Seguramente se habrá formado otro triángulo equilátero de mayor tamaño. ¿Cuántos triángulos de su
tamaño necesitas para rodearlo completamente?. ¿Y del tamaño inicial?.
¿Cuántos triángulos del tamaño inicial hay en la capa n?.

NÚMEROS TRIANGULARES Y CUADRADOS
a) Los números 1, 3, 6, 10, 15, ... se pueden representar gráficamente de la siguiente forma:
.
Los griegos les llamaron números triangulares. Escribe más números triangulares. Averigua si
son triangulares los números 33 y 44.
349
Matemáticas 3º ESO
b) Los números que corresponden a las siguientes figuras se llaman números cuadrados.
Escribe más números de esta clase. ¿Son el 24 y el 81 números cuadrados?.

EL HOTEL DE LOS LÍOS
Un hotel tiene infinitas puertas numeradas así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Todas ellas están abiertas. Pero
llega alguien y comenzando desde el principio las cierra ordenadamente de 2 en 2, la 2, la 4, la 6,
etcétera. Contento de su hazaña se va a dormir. Pero otro viene después que decide cambiar la
posición de las puertas de 3 en 3; empieza también por el principio y yendo de 3 en 3 la que está
abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Divertido también por lo que ha hecho se va a dormir.
Sin embargo, otro viene después y comenzando también desde el principio, va cambiando la posición
de las puertas de 4 en 4; de manera que la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre.
Cuando termina, viene otro que altera la posición de las puertas de 5 en 5; abre las cerradas y cierra
las abiertas. Y luego otro que hace lo propio, pero de 6 en 6. Y luego otro de 7 en 7. Y así hasta el
infinito, porque en el hotel había infinitos bromistas.
Tu, que eres el conserje del hotel, estás durmiendo tan tranquilo y no te has enterado de todos estos
líos. ¿Qué puertas crees que estarán abiertas y qué puertas estarán cerradas cuando te despiertes
por la mañana?.
350
Números y figuras

PUNTOS Y POLÍGONOS
El polígono dibujado sobre esta trama 44 tiene 7 lados; pero en esta trama se pueden dibujar otros
polígonos que tengan más lados. ¿Cuál es el mayor número de lados que puede tener un polígono
con vértices en puntos de la trama?. Generaliza a otras tramas: 55, 66, nn.


CERILLAS
1
2
3
4
3 cerillas
9 cerillas
18 cerillas
30 cerillas
5
10
15
n
¿cuántas cerillas?
¿cuántas cerillas?
¿cuántas cerillas?
¿cuántas cerillas?
UNA MESA DE BILLAR
Se tiene una mesa de billar en la que a y b son números enteros. La mesa tiene agujeros en las
esquinas A, B, C, D. Se lanza una bola desde A formando un ángulo de 45 grados como se indica en
la figura.
¿A cuántos cuadraditos-unidad habrá cortado la trayectoria de la bola hasta que se meta por el primer
agujero que encuentre?. ¿Por qué agujero entrará?.
351
Matemáticas 3º ESO
5. Fórmulas

INFLUENCIA DISTINTA
Las fórmulas que siguen contienen dos o más variables, además de números. Tu trabajo consiste en
descubrir si la influencia de las variables que entran en juego en cada fórmula es igual o distinta. En
este último caso, ¿qué variable tiene más influencia?. Esto significa analizar si aumentos iguales en
las variables producen resultados iguales en la fórmula.
1) Paralelogramo:
2) Triángulo
área = b  h
área =
3) Trapecio:
área =
4) Corona circular:

a+b
h
2
área =   R 2  r 2
5) Paralelepípedo recto:

6) Cilindro:
área = 2  r  r + h
área = 2ab + 2ac + 2bc
volumen = a  b  c

b
h
2
volumen =   r 2  h
LEE Y CALCULA
Di que operaciones hay que realizar para calcular las siguientes expresiones y en qué órden hay que
hacerlas.
1) 4 (x + 2)
2) 5 x
3) y – 4
6) 7 (6 – 2 z)
7) 4 (9 x – 2)
8)
y-x
z
Calcula el valor de cada una de ellas si x = 3, y = 15, z = 2.
352
4) 3 + 2 x
9)
y
z+x
5) 5 z – 8
Números y figuras

AVERIGUA
¿Qué podrías decirnos sobre la a, u, m y r, si te facilitamos la siguiente información?.
1) a + 5 = 8
2) u = v + 3
v=1
3) m = 3 n + 1
n=4
4) r = s + t
r + s + t = 30
5) a + b = 43
a+b+2=?
6) e + f = 8
e+f+g=?

MOGOLLÓN DE FÓRMULAS
Calcula el valor de las siguientes expresiones si r = 2, s = 5, t = 7, u = 0, v = 1 y w = 8.
1) r  s
2) t  u
3) w – v  r
4) v + t  s
5) 3 r + 3 s
6) 3 s – 2 r
7) w  t – 5 s
8) s  w + v  r
9) 4 v  (r + t)
10) 5 t  (w + u)
11)
w +r
t -r
12)
15)
r +s
 r  w u
tv
16) r  w + r  s - (t + u + v)
13) sw - t  

ur
v
14) r + w  
vt
s+r
w+v
s-r
DE COMPRAS
Si en la compra de un artículo tenemos un 10 por 100 de descuento significa esto que tendremos que
10 P
pagar por él un valor que se obtiene de la expresión P donde P representa el precio inicial de
100
dicho artículo.
a) Utiliza la calculadora para hallar lo que tendremos que pagar por 2 artículos cuyos precios
iniciales son de 1200 y 5800 ptas, respectivamente.
b) Escribe una expresión parecida a la anterior que sirva para calcular un recargo del 20%.
c) Agrupa los términos en P para cada una de las expresiones anteriores. ¿Qué porcentaje del
precio inicial, P, se paga cuando hay un descuento del 10%?. ¿Y si a P se le aplica un recargo
del 20%?.
d) Utiliza la calculadora para hallar lo que hay que pagar, incluido el recargo del 20%, por una casa
cuyo valor es de 12750000 ptas. Para ello, toma la expresión reducida que has hallado en el
apartado anterior.
353
Matemáticas 3º ESO

PRESIÓN SANGUÍNEA
E
,
20
donde E representa la edad en años. Utiliza esa expresión para estimar la presión sanguínea de una
persona de 20 años, una de 40 años y una de 60 años.
La presión sanguínea normal en una persona sana se puede estimar mediante la expresión 11

VELOCIDAD CONSTANTE
Un automóvil recorre un trayecto entre dos puntos de una autopista a velocidad constante. La
distancia que separa dichos puntos viene dada por la fórmula d = v  t, donde v es la velocidad y t el
tiempo empleado en recorrerla. Calcula la distancia d si:
a) La velocidad ha sido de 100 km/h y el tiempo empleado
1
hora.
2
b) La velocidad 80 km/h y el tiempo 1 hora.

PULGADAS
La siguiente fórmula convierte pulgadas a centímetros: l = 2’54 p
donde l es una longitud en
centímetros y p la misma longitud medida en pulgadas. Halla en centímetros la longitud de:
a) 100
pulgadas. b) 40 pulgadas.

CILINDRO
V = r 2 h
El volumen de un cilindro viene dado por la fórmula:
donde r es el radio de la base
y h la altura del cilindro. Halla el volumen de un cilindro cuyo radio mide 2 centímetros y cuya altura
mide 6 cm.
354
Números y figuras

PÉNDULO
El tiempo, medido en segundos, que tarda un péndulo en ir y volver está dado por la fórmula
l
, donde l representa la longitud del péndulo. A T se le llama periodo del péndulo. Halla
10
el período de un gran péndulo de 40 metros.
T = 2π 

TEMPERATURAS
Las temperaturas se miden en grados Celsius o en grados Fahrenheit (esta última escala es de uso
corriente en los países anglosajones). La fórmula para pasar de la escala Celsius a la escala
Fahrenheit es la siguiente:
F=
9  C + 160
5
donde C representa los grados Celsius y F los grados Fahrenheit. Halla una fórmula que permita
pasar de grados Fahrenheit a grados Celsius.

MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética de tres números a, b y c es M =
a+b +c
.
3
a) Halla la media aritmética de los números 10, 14 y 7.
b) Despeja b en términos de a, c y M.
c) Si la media es 5 y dos de los números son 7 y 9, ¿cuál es el tercer número?.
355
Matemáticas 3º ESO

DESPEJA LETRAS
En cada una de las siguientes fórmulas despeja la letra (variable) indicada:
L
V
despeja V
b) S = 2 r h
c) V = Vo  a  t
despeja a
d) D = F +
a) P =

despeja h
N C
10
despeja C
VIAJE DE ESTUDIOS
Al contratar un viaje de estudios, la agencia exige en depósito una cantidad A que no podrá retirarse
aunque la excursión no se realice; además, se debe depositar una décima parte del coste total del
viaje. Si a la suma de las dos cantidades anteriores le llamamos D, ésta se puede expresar mediante
la fórmula:
D=A+
nC
10
donde n representa el número de viajeros y C el coste del viaje para cada uno de ellos.
1) Si la cantidad A fuese de 50000 ptas, y el coste por alumno de 40000 ptas, ¿qué depósito habría
que hacer para contratar un viaje de 50 alumnos?.
2) Si suponemos que el depósito D pagado por un colegio ha sido de 230000 ptas, ¿cuántos
alumnos pueden viajar?.

DESPEJA
Despeja las letras indicadas en cada una de las expresiones siguientes:
a) V = Vo  a  t , despeja Vo y t
b) d = z + 2 m , despeja m.
c) A = π  a  b , despeja b
d) I =
e) S = 2π r t , despeja r y t
.
V
, despeja V y R.
R
f) A = a + b + c , despeja a y b.
g) T = p  h + 2a , despeja h y a.
h) S =
i) R = r  1+ at , despeja r y a.
j) h =
356
1
A + a b , despeja a y b.
2
1 1
 , despeja a y b.
a b
Números y figuras

EXPRESIONES
1) Calcula las siguientes expresiones:
7 + a 5  b 
a + b 8 + c  
4  a + b  
x + y  7 
5  b 5  b 
a + 3 a - 3 
2) Realiza una comprobación gráfica de la expresión: ab + c   a  b + a  c

FIGURAS
1) Las dos figuras ilustran una demostración gráfica de una igualdad. ¿De qué igualdad se trata?.
2) Podemos formar figuras rectangulares con un número par de círculos. Continua.
Recordemos la definición de Euclides: “Un número es par cuando se puede dividir en dos
mitades”. De cada uno de los dos rectángulos anteriores podemos obtener por descomposición
dos triángulos. ¿Qué resultados obtienes?
357
Matemáticas 3º ESO
358