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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERIA
EXAMEN : PRIMER EXAMEN PARCIAL (2015-1).
PROFESOR : ING. GUILLERMO CASAR MARCOS.
MATERIA : PROBABILIDAD (GRUPO 29).
NOMBRE DEL ALUMNO : ___________________________________
1. Las mediciones de las propiedades de algunas aguas subterráneas poco profundas
en un sistema acuífero, dan la conductividad eléctrica (en microsiemens por
centímetro), que para 25 muestras son:
2099
1528
2030
1350
1018
384
1499
461
1500
1260
1265
1375
1324
949
810
522
1213
1488
900
1215
1186
1257
557
673
717
Considerando 5 intervalos, 0.5 y mediante una tabla de frecuencias, Calcule:
a) Moda
b) Calcule el segundo cuartil.
c) Calcule el coeficiente de variación.
n = 25 => + 0.5
Valor máximo + 0.005 = 2099 + 0.5 = 2099.5
Valor Mínimo – 0.005 = 384 – 0.5 = 383.5
Rango = 2099.5 – 383.5 = 1,716
Amplitud = 1,716 / 5 = 343.2
INTERVALO
DE CLASE
383.5 – 726.7
726.7 – 1,069.9
1,069.9–1,413.1
1,413.1–1,756.3
1,756.3–2,099.5
MARCA
DE CLASE
555.1
898.3
1,241.5
1,584.7
1,927.9
a) Moda = a + Δx [
d1
fi
fi*
Fi
%
6
4
9
4
2
1/25
9/25
9/25
4/25
2/25
1/25
10/25
19/25
23/25
25/25
0% - 4%
4% - 40%
40% - 76%
76% - 92%
92% - 100%
5
] = 1,069.9 + 343.2 [
d2 + d1
5+5
b)
fractil = a + ∆x
n (x fracción) – ( ∑ f )a
-----------------------------(f) fractil
C2 = 1,069.9 + 343.2
25(0.5) - 10
----------------9
c)
Coeficiente de Variación : cv = Sx/µ
] = 1,241.5
= 1,165.23
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∑ xi fi
555.1(6) + 898.3(4) + 1,241.5(9) + 1,584.7(4) + 1,927.9(2)
28,291.9
µ1 = ---------- = ------------------------------------------------------------------------ = ----------- =
∑ fi
25
25
µ1 = 1,131.676
∑ ( xi - µ )2 fi
(555.1-1,131.676)2(6) + (898.3-1,131.676)2(4) +
Sx = -------------------- = -------------------------------------------------------------------------------n
25
2
(1,241.5-1,131.676)2(9) + (1,584.7-1,131.676)2(4) + (1,927.9-1,131.676)2(2)
---------------------------------------------------------------------------------------------- =
1’994,639.303 + 217,857.4295 + 92,143.8167 + 789,908.5578 + 1´240,577.114
= ---------------------------------------------------------------------------------------------------- =
25
4´409,916.826
Sx = --------------------- = 176,396.673
25
2
Sx2 = 173,405.0488
Sx = 419.9960393
cv = Sx/µ
419.9960393
Cv = -------------------- = 0.371127459
1,131.676
2. A cierto evento asisten 30 personas y se elegirá aleatoriamente a cinco para recibir
premios. Estos últimos son iguales, así que el orden en que se elige a las personas
no es importante. ¿Cuántos grupos diferentes de cinco personas se pueden elegir?
Combinaciones
n=30 & r=5
30¡
C530 = ----------------- = 142,506
5¡ ( 30 – 5 )¡
3. Cinco salvavidas están disponibles para la guardia de un sábado por la tarde. Hay
tres estaciones salvavidas. ¿De cuántas maneras se pueden elegir y organizar los
tres salvavidas entre las estaciones?
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Se usa el principio fundamental del conteo. Hay cinco maneras de elegir a un
salvavidas para que ocupe la primera estación, luego cuatro de elegir a un salvavidas
para que ocupe una segunda estación y por último tres para elegir un salvavidas que
ocupe la tercera estación. El número total de permutaciones de los tres salvavidas
elegidos entre los cinco es:
Ordenaciones : n = 5 & r = 3
5¡
5¡
5x4x3x2x1
O53 = ----------- = ------ = ---------------------- = (5)(4)(3) = 60
(5 – 3)¡
2¡
2x1
5¡
4¡
3¡
O51 x O41 x O31 = ----------- + ----------- + ---------- = (5)(4)(3) = 60
(5 – 1)¡ (4 – 1)¡
(3 – 1)¡
4. Una muestra aleatoria de 200 adultos se califica en la siguiente tabla por sexo y
por su nivel de educación:
EDUCACION
HOMBRE
MUJER
PRIMARIA
38
45
SECUNDARIA
28
50
UNIVERSITARIO
22
17
a) La persona sea hombre, dado que la persona tiene educación secundaria.
b) La persona no tiene grado universitario, dado que la persona es mujer.
Probabilidad Condicional
P(HS)
a) P(H/S) =
28
28
=
P(S)
=
28 + 50
P(M PS)
b) P(M/PS) =
= 0.3589 = 35.89%
78
45+50
=
P(PS)
95
=
38+45+28+50
= 0.59 = 59%
161
5. Clientes que compran cierta marca de automóvil pueden pedir un motor en
cualquiera de tres tamaños. De todos los automóviles vendidos, 45% tiene el motor
más pequeño, 35% tamaño mediano y 20% más grande. Los automóviles en una
prueba de emisiones dentro de los dos años de su compra fallan 10% con el motor
más pequeño, mientras que el 12% de los de tamaño mediano y 15% de los de
motor más grande.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil elegido aleatoriamente pueda
fallar en una prueba de emisiones dentro de los dos primeros años?
b) Si elije un automóvil que falla en la prueba de emisiones, ¿cuál es la
probabilidad de que sea un automóvil con motor pequeño?
a) Sea B el evento de que un automóvil falle en una prueba de emisiones dentro de
los dos primeros años. Sea A1 el evento que es un automóvil con un motor
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pequeño, A2 el evento que un automóvil tiene un motor mediano y A3 el evento
que un automóvil tiene un motor grande. Entonces :
P(A1) = 0.45 ;
P(A2) = 0.35 ;
P(A3) = 0.20
La probabilidad de que un automóvil falle una prueba, dado que tiene un motor
pequeño, es de 0.10, es decir P(B/A1) = 0.10, de manera similar P(B/A2) = 0.12 y
P(B/A3) = 0.15 y por la ley de probabilidad total:
P(B) = P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) + P(B/ A3) P(A3) =
P(B) = (0.1)(0.45) + (0.12)(0.35) + (0.15)(0.2) = 0.117 = 11.7%
b) Sea B el evento que un automóvil falla en una prueba de emisiones. Sea A1 el
evento que un automóvil tiene un motor pequeño, A2 el evento de que lo tiene
mediano y A3 que su motor es grande. Se desea encontrar P(A1/B).
P(A1) = 0.45 ;
P(B/A1) = 0.1
P(A2) = 0.35 ;
P(A3) = 0.20
;
P(B/A2) = 0.12
;
P(B/A3) = 0.15
Por la regla de Bayes:
P(B/A1) P(A1)
P(A1/B) = --------------------------------------------------------------- =
P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) + P(B/ A3) P(A3)
(0.1)(0.45)
P(A1/B) = ------------------------------------------------ = 0.385 = 38.5%
(0.1)(0.45) + (0.12)(0.35) + (0.15)(0.2)
comprobación:
(0.12)(0.35)
P(A2/B) = ------------------------------------------------ = 0.35897 = 35.897%
(0.1)(0.45) + (0.12)(0.35) + (0.15)(0.2)
(0.15)(0.2)
P(A1/B) = ------------------------------------------------ = 0.2564 = 25.64%
(0.1)(0.45) + (0.12)(0.35) + (0.15)(0.2)
∑=1