1. No category

278
Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
Problemas de optimización aplicados
4.5
Optimizar algo significa maximizar o minimizar uno de sus aspectos. ¿Cómo se pueden
determinar las dimensiones de un rectángulo con perímetro fijo y área máxima? ¿Qué forma debe tener una lata cilíndrica para que su producción resulte lo más barata posible ?
¿Qué cantidad de la producción es la más rentable? El cálculo diferencial es una herramienta poderosa para resolver problemas que requieren maximizar o minimizar una función. En esta sección resolveremos diversos problemas de optimización para negocios,
matemáticas, física y economía.
x
12
Ejemplos de los negocios y la industria
EJEMPLO 1
x
x
x
12
Fabricación de una caja
Se quiere hacer una caja abierta cortando pequeños cuadrados congruentes en las esquinas
de una lámina de hojalata que mide 12 por 12 pulgadas, y doblando los lados hacia arriba.
¿Qué tan grandes deben ser los cuadrados que se corten de las esquinas para que la caja
tenga la máxima capacidad posible?
(a)
Empezamos por hacer un planteamiento gráfico del problema (figura 4.32).
En la figura, los cuadrados de las esquinas tienen lados de x pulgadas. El volumen de la
caja es una función de esta variable:
Vsxd = xs12 - 2xd2 = 144x - 48x 2 + 4x 3 .
V = hlw
Como los lados de la lámina de hojalata tienen sólo 12 pulgadas de largo, x … 6 y el dominio de V es el intervalo 0 … x … 6 .
Una gráfica de V (figura 4.33) sugiere un valor mínimo de 0 en x = 0 y x = 6 y uno
máximo cerca de x = 2 . Para obtener más información, examinamos la primera derivada
de V respecto de x:
Solución
x
12 ⫺ 2x
12
12 ⫺ 2x
x
x
(b)
FIGURA 4.32 Una caja abierta, hecha al
cortar cuadrados en las esquinas de una
lámina de hojalata. ¿Qué tamaño de las
esquinas maximiza el volumen de la caja
(ejemplo 1)?
dV
= 144 - 96x + 12x 2 = 12s12 - 8x + x 2 d = 12s2 - xds6 - xd.
dx
De los dos ceros, x = 2 y x = 6 , solamente x = 2 está en el interior del dominio de la
función y es el único elemento de la lista de puntos críticos. Los valores de V en este punto crítico y en los extremos del intervalo son
Valor en el punto crítico: Vs2d = 128
Máximo
y
Volumen
2
6
Vs0d = 0,
Vs6d = 0 .
3
El volumen máximo es 128 pulg . Los cortes cuadrados deben medir 2 pulgadas por lado.
mín
mín
0
Valores en los extremos del intervalo:
y ⫽ x(12 – 2x)2,
0ⱕxⱕ6
x
NO ESTÁ A ESCALA
FIGURA 4.33 El volumen de la caja de la
figura 4.32 dibujado como la gráfica de
una función de x.
EJEMPLO 2
Diseño de una lata cilíndrica eficiente
Se le ha pedido que diseñe una lata con capacidad para 1 litro, con forma de un cilindro
circular recto (figura 4.34). ¿De qué dimensiones debe ser la lata para usar la menor cantidad posible de material?
Volumen de la lata: Si r y h se miden en centímetros, el volumen de la lata en
centímetros cúbicos, es
Solución
Área superficial de la lata:
pr 2h = 1000 .
A = 2pr + 2prh
2
()*
Tapas
circulares
()*
Pared
circular
1 litro = 1000 cm3
4.5 Problemas de optimización aplicados
2r
h
¿Cómo podemos interpretar la frase “menor cantidad posible de material”? En primer lugar, obviamos el espesor del material y el desperdicio en la fabricación, tal como se acostumbra. Después nos preguntamos cuáles son las dimensiones r y h que hacen el área superficial total tan pequeña como se pueda sin dejar de satisfacer la restricción pr 2h = 1000 .
Para expresar el área superficial como una función de una variable, resolvemos para
una de las variables en pr 2h = 1000 y sustituimos esa expresión en la fórmula del área
superficial. Es más fácil resolver para h:
h =
FIGURA 4.34 Esta lata de 1 litro usa la
mínima cantidad de material cuando
h = 2r (ejemplo 2).
279
1000
.
pr 2
En consecuencia,
A = 2pr 2 + 2prh
= 2pr 2 + 2pr a
= 2pr 2 +
1000
b
pr 2
2000
r .
Nuestra meta es encontrar un valor de r 7 0 que minimice el valor de A. La figura 4.35
sugiere que tal valor existe.
A
Lata alta
y delgada
Lata baja
y ancha
—— , r 0
A 2␲r 2 2000
r
Alto y delgado
mín
r
0
3
Bajo y ancho
FIGURA 4.35
hacia arriba.
500
␲
La gráfica de A = 2pr 2 + 2000>r es cóncava
Observe, a partir de la gráfica, que para r pequeña (un recipiente alto y delgado, como
una especie de tubo), el término 2000>r domina y A es grande. Para r grande (un recipiente bajo y ancho, como un molde para pizza), el término 2pr 2 domina y A es grande una
vez más.
Como A es diferenciable en r 7 0 , un intervalo sin extremos, sólo puede tener un valor mínimo donde la primera derivada es cero.
2000
dA
= 4pr dr
r2
0 = 4pr -
2000
r2
4pr 3 = 2000
r =
3
¿Qué pasa en r = 2
500>p?
3 500 L 5.42
A p
Hacer dA>dr = 0 .
Multiplicar por r 2 .
Resolver para r.
280
Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
La segunda derivada
4000
d 2A
= 4p +
2
dr
r3
es positiva en todo el dominio de A. Por lo tanto, la gráfica es siempre cóncava hacia arri3
500>p es un mínimo absoluto.
ba y el valor de A en r = 2
El valor correspondiente de h (después de realizar algunas operaciones algebraicas) es
h =
1000
500
= 2 3 p = 2r .
A
pr 2
La lata con capacidad para 1 litro que usa la menor cantidad de material tiene una altura
igual al diámetro, en este caso, con r L 5.42 cm y h L 10.84 cm .
Pasos para la resolución de problemas aplicados de optimización
1. Leer el problema. lea el problema hasta que lo entienda. ¿Qué datos se dan?
¿Cuál es la cantidad desconocida que hay que optimizar?
2. Hacer un dibujo: identifique con una etiqueta cualquier parte que pueda ser
importante para el problema.
3. Introducir variables: haga una lista de las relaciones que encuentre en el dibujo y en el problema como una ecuación o una expresión algebraica, e identifique la variable desconocida.
4. Escribir una ecuación para la cantidad desconocida: de ser posible, exprese
la incógnita como función de una sola variable o en dos ecuaciones con dos
incógnitas. Para ello puede ser necesaria una manipulación considerable.
5. Examinar los puntos críticos y los extremos del dominio de la incógnita: use
la información con que cuenta acerca de la forma de la gráfica de la función.
Emplee la primera y segunda derivadas para identificar y clasificar los puntos críticos de la función.
Ejemplos de matemáticas y física
EJEMPLO 3
Rectángulos inscribibles
Un rectángulo se inscribe en un semicírculo de radio 2. ¿Cuál es el área máxima que puede tener el rectángulo y cuáles son sus dimensiones?
y
Sean sx, 24 - x 2 d las coordenadas del vértice del rectángulo obtenido al colocar el círculo y el rectángulo en el plano coordenado (figura 4.36). La longitud, altura y
x 2 y2 4
⎛x, 兹4 x 2⎛ área del rectángulo pueden expresarse en términos de la posición x del vértice inferior de⎝
⎝
recho:
Solución
Longitud: 2x,
2
–2 –x
0
x 2
x
FIGURA 4.36 El rectángulo inscrito en el
semicírculo del ejemplo 3.
Altura: 24 - x2,
Área: 2x # 24 - x2 .
Observe que los valores de x tienen que estar en el intervalo 0 … x … 2 , donde está el
vértice seleccionado del rectángulo.
Nuestro objetivo es encontrar el valor máximo absoluto de la función
Asxd = 2x 24 - x 2
en el dominio [0, 2].