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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Elasticidad
5.1 Bases Atómicas del Comportamiento Elástico
5.1.1 Energía y Fuerza de Enlace
La Energía Potencial V de un par de átomos puede expresarse como una función de la
distancia de separación entre ellos, r:
V 
A B

rn rm
A, B son constantes de proporcionalidad para atracción y repulsión.
m, n son exponentes que determinan la variación apropiada de V con r.
La fuerza de atracción y repulsión que existe entre dos átomos se obtiene de
F 
F 
Por tanto:
V
r
nA mB

r n 1 r m1
Redefiniendo constantes:
nA  a
n 1  N
F 
mB  b
m 1  M
a
b
 M
N
r
r
Fuerza
Energía Potencial
Repulsión V  B
rm
r0
V 
A B

rn rm
V 
Atracción
distancia
interatómica
F
Repulsión
distancia
interatómica
r0
F 
A
rn
b
rM
a
b

rN rM
Mínimo
Atracción
Figura 1. Diagramas de energía potencial y fuerza de interacción frente a la distancia interatómica.
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5-1
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
La separación de equilibrio entre dos átomos r0, está dada por el valor de r que
corresponde al mínimo de energía potencial.
La fuerza neta es cero para r = r0 y un desplazamiento en cualquier dirección provocará
la acción de fuerzas que restauran el equilibrio.
Por lo tanto los átomos en una red cristalina tienden a estar arreglados en un patrón
definido, con respecto a sus vecinos.
Las deformaciones macroscópicas elásticas son el resultado de un cambio en el
espaciado interatómico.
Por lo tanto, las deformaciones se pueden expresar como:
r  r0
r0

  2V
 F 

  E   2
 r  r r0
 r


 r r0
F 
a
rN
Fuerza
F 
a
b
 M
N
r
r
r
r0
dF
dr
Figura 2. Diagrama de fuerza frente a distancia interatómica.
Ind.
5-2
Recordar que
F  kr
y
  E
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V
r0
r
F
Rep ulsión
r
V
0
r
Atracción
Figura 3. Diagramas de energía potencial y fuerza de interacción frente a la distancia interatómica.
Observaciones.
De los análisis anteriores se desprende que:
a) F es cero a la distancia de separación r0
b) Si los átomos son alejados o acercados una distancia r  r0 , aparece una fuerza que
se opone a este cambio en la distancia.
c) La fuerza es aproximadamente proporcional a r - r0 si r - r0 es pequeño, tanto en
tensión como en compresión.
d) La rigidez (stiffness) del enlace es
S
F
 2V
 2
r
r
e) Cuando la perturbación es pequeña, S es constante e igual a
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5-3
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
  2V
S 0   2
 r


 r  r0
De esto se deduce que el enlace se comporta de manera elástica – lineal.
Esto significa que la fuerza entre pares de átomos, separados una distancia r es
F  S 0 r  r0 
r0
F
F
r
Figura 4. Esquema de las fuerzas de interacción entre dos átomos.
Dado un sólido con un número muy grande de pares de átomos por plano la fuerza por
unidad de área será:   NS0 r  r0 
N: Nº de enlaces/área =
1
r02
r02 : área promedio por átomo
Si r-r0 se divide por r0
n 
S0 se calcula a partir de
r  r0
r0

 
S0
n
r0

E
S0
r0
 2V
r 2
La curva de esfuerzo versus deformación en compresión es la extensión de la curva a
tracción.
5-4
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad

Zona
Elástica

Zona
Elástica
Figura 5. Diagrama  -  para un material en general.
5.1.2 Propiedades que dependen del enlace
a) La fuerza del enlace (temperatura de fusión) es proporcional a la profundidad del
pozo de potencial.
b) El coeficiente de expansión térmica está relacionado con la asimetría de la curva de
energía potencial versus distancia interactiva.
c) El módulo de Young, es inversamente proporcional al radio de curvatura del
mínimo de la curva de energía potencial versus distancia interatómica.
Ejercicio: En los siguiente ejemplos ordenar los materiales por punto de fusión,
coeficiente de dilatación lineal y módulo de Young.
V
V
r
r
V
V
r
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Figura 6. Diversos casos de curva de
energía
potencial versus difracción
interatómica.
r
5-5
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Tabla 1. Propiedades de diversos materiales.
Elemento
Coeficiente de
dilatación lineal
(1/° C)
Temperatura de
fusión(°C)
Módulo de Young
(GPa)
Pb
29,3X10-6
327,4
14
Zn
39,7X10-6
419,5
43
Mg
26,1X10-6
650
41
Al
23,6X10-6
660
69
Ag
19,6X10-6
960,8
76
Cu
16,4X10-6
1083
124
Fe
12,2X10-6
1536,5
196
Cr
6,2X10-6
1875
289
W
4,6X10-6
3410
406
5.2 Introducción a la teoría de la elasticidad
En la teoría elástica existen dos requerimientos:
i)
La teoría debe predecir la conducta de los materiales bajo la acción de las fuerzas
aplicadas.
ii) La teoría debe ser simple de tal manera que la matemática pueda ser aplicada en un
amplio rango de problemas para permitir la solución de las ecuaciones planteadas.
Para cada tipo de esfuerzo existe una deformación correspondiente.
La propiedad que le permite a un cuerpo recuperar su forma inicial, al dejar de actuar la
carga, se denomina ELASTICIDAD.
Un cuerpo es perfectamente elástico si recupera completamente su forma inicial.
5.3 Supuestos de la teoría de la elasticidad
En la teoría de la elasticidad se asume que el material es:
i)
Perfectamente elástico
ii)
Continuo
iii)
Homogéneo (las propiedades son las mismas en todos los puntos)
iv)
Isotrópico (todas las propiedades son iguales en todas las direcciones alrededor
de un punto dado).
5-6
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
El material, desde el punto de vista atómico dista mucho de cumplir estas condiciones
Ej. Materiales Anisótropos  Laminados  Texturas
5.4 Formulación tensorial de la ley de Hooke
  C
La ley de Hooke se puede generalizar como
Esto debe interpretarse como una consecuencia de la aseveración siguiente:
extensión es proporcional a la fuerza”
“La
En notación de subíndice, se puede escribir:
 ij  Cijkl  kl
Cijkl : Es un tensor de cuarto orden y representa una constante elástica (34 = 81
componentes)
Dado que
i)
El tensor esfuerzo es simétrico  ij   ji  Cijkl  C jikl
6·3·3 = 54 componentes.
ii) El tensor deformación es simétrico
 kl   lk  36 componentes
iii) Aplicando el teorema de reciprocidad.
 ij
 kl


 kl
 Cijkl  Cklij  21 componentes.
 ij
Indicación: Un tensor de orden 2 y dimensión n posee n2 elementos. Al ser simétrico
n( n  1)
el número de componentes es
2
iv) Planos de simetría.
  x   C11 C12
  
  y   C12 C22
   .
 z
 yz   .
   .
 xz  
   C
.
 xy   16
.
.
.
.
.
.
C16   x 
 
  y 
  
 z 
  yz 
  
 xz 
C66   xy 
Al existir un plano de simetría xy
C14 = C15 = C24 = C25 = C16 = C56 = 0
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5-7
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Al existir un plano de simetría yz
C46 = C26 = C34 = C35 = C36 = C45 = 0
Un tercer plano de simetría no agrega nada nuevo por tanto, con dos o tres simetrías, se
tiene
0
0 
 C11 C12 C13 0


0
0 
 C12 C 22 C 23 0
C
C 23 C 33 0
0
0 
 13

0
0 C 44 0
0 
 0
 0
0
0
0 C55 0 


 0

0
0
0
0
C
66


9 Ctes.
Esto quiere decir que para materiales ortótropos (3 planos de simetría), Cijkl se reduce a
nueve constantes.
v) Isotropía: Mismo comportamiento en todas las direcciones
La base del comportamiento isotrópico es que al rotar el sólido, deben preservarse las
propiedades. En la figura 7 se muestran tres giros posibles que pueden imponerse al
sólido.
y
I
y
y
x'
y'
II
y'
x
y'
z
x
x'

z
z
z'
III
Figura 7. Giros para un material isótropo.
CASO I: Giro respecto del eje x
1 0 0


Matriz de Transformación a    0 0 1 
0 1 0


5-8
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x
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Nota:
Cada
elemento
de
la
matriz
de
transformación
aij  cosx' i , x j  en que la (’) se usa para denotar el nuevo eje.
por ejemplo
corresponde
a11  cosx' , x   1
a13  cosx' , z   0
a32  cosz' , y   1
  x  xy  xz 


 ij   xy  y  yz 


 xz  yz  z 
 x

 'ij   a  ij a     xz

 xy
 xz
z
  yz
  xy 

  yz 
 y 
 x

 'ij   a  ij a T     xz
 
 xy
 xz
z
  yz
  xy 

  yz 
 y 
T
  x   C11 C12 C13 0
  
  y   C12 C 22 C 23 0
  C
C 23 C33 0
z
     13
 yz   0
0
0 C 44
  
0
0
0
 xz   0

 
0
0
0
 xy   0
0   x 
 
0   y 
0   z 
 
0   yz 
 
0   xz 
C 66   xy 
(1)
0
0   x 
  x   C11 C12 C13 0

 


0
0   z 
  z   C12 C22 C23 0
   C
C23 C33 0
0
0   y 
 y    13


0
0 C44 0
0    yz 
   yz   0
   0
0
0
0 C55 0    xy 
 xy  


    0
0
0
0
0 C66   xz 
 xz  
(2)
de (1)
 x  C11 x  C12 y  C13 z
0
0
0
0
C55
0
de (2)
(*)
 x  C11 x  C12 z  C13 y (**)
de (*) y (**) se tiene C12 = C13
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5-9
a
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
 y  C12 x  C22 y  C23 z (***)
 z  C13 x  C23 y  C33 z
 z  C12 x  C22 z  C23 y (****)

 y  C13 x  C23 z  C33 y
(***) con  

 
C22  C33
 yz  C44 yz
 yz  C44 yz
 xz  C55 xz
 xy  C55 xy
 xy  C66 xy
 xz  C66 xz
 C55  C66
CASO II: Giro respecto del eje z
 0 1 0


Matriz de transformación a     1 0 0 
 0 0 1



C11  C 22
C13  C 23
C 44  C55
La matriz de coeficientes queda
0
0  A
 C11 C12 C12 0

 
0
0  B
 C12 C11 C12 0
C
C12 C11 0
0
0  B
 12

0
0 C 44 0
0  0
 0
 0
0
0
0 C 44 0   0

 
 0
0
0
0
0 C 44   0

0

A B 0 0 0
B A 0 0 0

0 0 C 0 0
0 0 0 C 0

0 0 0 0 C 
B B
0
0
CASO III. Giro con respecto al eje z en un ángulo  cualquiera
a   
cos
  sen 
 cos

  sen 
sen    x  xy  cos


cos  xy  y  sen 
  ' xy   y   x 
5 - 10
sen  

cos  
 sen     ' x  ' xy 


cos   ' xy  ' y 
sen 2
  xy cos 2
2
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Además, al aplicar la matriz de coeficientes
 xy  C xy
 x  A x  B y   z 
 y  A y  B x   z 

  ' xy  B  A x   A  B  y
 sen22  C

 

 

 
Además 


 
 '  
xy

 
xy
cos 2











C   ' xy 
  ' xy  C ' xy
pero
 ' xy   y   x 
 B  A x   y 
sen2
  xy cos 2
2
sen 2
sen 2
 C xy cos 2  C  y   x 
 C xy cos 2
2
2
 C  A B
Esto significa que al haber una relación entre C, A, y B, el número de constantes
independientes es únicamente dos.
5.5 Constantes de Lamé  , 
De acuerdo a lo deducido anteriormente, las dos constantes independientes pueden ser 
y , las que se denominan constantes de Lamé. Por lo tanto, se puede definir:
C  2
B
A    2
 x    2  x   y   z
 xy  2 xy
 z   x   y    2  z
 xz  2 xz
 yz  2 yz
 y   x    2  y   z
O bien, escrito en forma indicial:
 ij   kk  ij  2 ij
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5 - 11
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
5.6 Relación entre los coeficientes elásticos y los valores obtenidos experimentalmente
En tracción, se puede plantear
 x  E x
 y   x
en que  es el coeficiente de Poisson
 z   x
A partir de la última ecuación de la sección anterior, se puede plantear que:
 ij 
Si i = j, se tiene
con lo cual
 kk 
Por tanto
 ij 
 kk 
1

 ij 
 kk  ij
2
2
1

 kk 
·3 kk
2
2
 kk
2 1  3 
2 

 kk
1

 ij 
 ij
2
2 2 1  3 

2 

Finalmente :
 ij 
1

 ij 
 kk  ij
2
2 2  3 
En el caso de un ensayo de tracción  y   z  0
i jx
por lo que
x 
1

x 
x
2
2 2   3 
x 
1  2   3    
1

 x   x
2   2   3  
E
E
5 - 12
 2  3 
 
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Lo cual de una relación entre las constantes de Lamé y el módulo de elasticidad
 y z  0
Dado que
(tracción uniaxial)
y  

x
2  2   3 
z  

x
2  2   3 
x 
2   
x
2  2   3 
Así, el módulo de Poisson, se puede plantear como:
y



    
x
2   
2(    )
lo cual entrega una relación entre los constantes de Lamé y el módulo de Poisson.
En un ensayo de cortadura simple, se cumple que:
 xy  0
ya que  ij 
 xy  G xy
 xy 
 xy
2
  xy  2G  xy
1

 ij 
 kk  ij
2
2 2  3 
 xy
  xy  2 xy
2
entonces
 xy 

G
y
dado
que
 xy  2G xy
que es la relación entre el módulo de corte y la constante de Lamé 
5.7 Relación entre E y v y las constantes de Lamé
A partir de las relaciones anteriores se puede demostrar que


E
1   1  2 
E
21   
G
E
21   
Esta última ecuación permite demostrar que G<E.
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5 - 13
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
En notación indicial, se puede escribir:
 ij   kk  ij  2  ij
 ij 
E
E
 kk  ij 
 ij
1   1  2 
1 
 ij 
1 

 ij   kk  ij
E
E
Finalmente  ij en función de E y 
1
 x   y   z 
E
1
 y   y    x   z 
E
1
 z   z    x   y 
E
x 
 xz 
 yz 
 xy 
 xz
G
 yz
G
 xy
G
Estas son las relaciones de Hooke más aplicadas, conviene recordarlas
5.8 Módulo compresibilidad
El módulo de compresibilidad se define como
K
m
v
V
Corresponde al cambio de volumen en un material al aplicársele una carga.
V  0
Si
K 
V  
K 0

 m  2 1 


3 
2  3
 m  K  m 
2 
3 m
3
5.9 Energía de deformación
Sea un sólido que en t  0 está sin deformar. Considérese el sólido en t  dt

 u

Si u es el desplazamiento u  dt es el desplazamiento final.
t
Considerar dW : Incremento de trabajo, dW puede deberse a fuerzas de superficie o
fuerzas de volumen.
5 - 14
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
ui 
ui
dt  ui  ui dt
t
  ij i dA ui dt  xi dV ui dt
trabajo

desplaz.

dF
dWu
dWu
  ij j dA u i  xi dV u i
dt
dW
   ij j u i dA   xi u i dV
dt
A
V
 ij , j  xi  0
Teorema de Gauss
 

F
F

d
S

d
F
i

S
 dV   xii dV
dW
   ij ui , j dV     ij , j ui dV
dt
V
   ij ui , j dV    ijij dV
V

V
dW
   ijij dV
dt
V
Densidad de energía de deformación
dU 0
  ijij  dU 0   ij d ij
dt
dU 0   ij d ij  2 ij  3 m ij d ij
 2 ij d ij  3 m ij d ij
 2 ij d ij  9 m d m
 ij
t
 dU
0
0



0
 U 0   ij ij  9 2  m2
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5 - 15
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
  ij

3 m
9
1
U 0   

 ij  ij   m2   ij  ij
2
2
 2 2 2  3  
1
 U 0   ij ij
2
5 - 16
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Ejercicios resueltos
1. Se considera un prisma regular cuyo material tiene un módulo de elasticidad
E  2,8  105 kg / cm 2 y coeficiente de Poisson v = 0,1. La longitud del lado de la
sección recta es a = 20 cm. En ambas bases del prisma se colocan dos placas
perfectamente lisas y rígidas de peso despreciable, unidas entre sí mediante cuatro
cables de sección 1 cm2 y módulo de elasticidad E1  2  10 6 kg / cm 2 de longitudes
iguales a la altura del prisma l = 1 m, simétricamente dispuestos como se indica en la
figura. Sobre las caras laterales opuestas del prisma se aplica una fuerza de
compresión uniforme p  750 kg / cm 2 .
p
a
a
a) Calcular la tensión  en los cables.
El alargamiento en la dirección del eje z provocado por la compresión p sobre las
caras laterales somete a tracción a los cables que, a su vez, por el principio de acción y
reacción, comprime al prisma en la dirección del eje z con una fuerza de valor 4 a1 .
Las tensiones normales en las caras del prisma son:
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5 - 17
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
 nx  0
 ny   p
a 2 nz  4 a1 y Fprisma = Fcable
  nz  
4 a1
(1)
a2
Al ser las placas perfectamente rígidas, son iguales los alargamientos unitarios de
los cables y del prisma en la dirección del eje z.
El alargamiento unitario en los cables es (dirección z)


E1
(2)
Mientras que el correspondiente a la dirección longitudinal del prisma,
reemplazando (1,a,b,c) en (3) queda.
z 
1
1  4 a

 nz    nx   ny     2 1   p  (3)
E
E
a



Igualando ambas expresiones (2) = (3)
  z 

E

1  4 a1

 2  4 p
E
a

Se obtiene la expresión de la tensión en los cables.
 
 p a 2 E1
a 2 E  4 E1 a1
Sustituyendo valores se tiene:

0,1  750  20 2  2  10 6  kg 
kg
 2   500 2
5
2
6
2,8  10  20  4  2  10  1  cm 
cm
b) Calcular las tensiones principales en el prisma.
Las direcciones principales en todos los puntos del prisma coinciden con las
direcciones de los ejes del sistema de referencia adoptado. Por lo tanto, los valores de las
tensiones principales son:
5 - 18
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
 nx  0
 ny   p
 nz  
4 p E1
a E  4 E1 r1
2
Sustituyendo valores:
 nx  0
 ny  750 kg cm 2
 
4  0,1  750  2  10 6  1  kg 
kg
 2   5 2
5
2
6
2,8  10  10  4  2  10  1  cm 
cm
Ordenando de mayor a menor, se tiene:
1  0
 2  5 kg cm 2
 3  750 kg cm 2
c) Calcular la variación de volumen experimentada por el prisma.
La deformación cúbica unitaria es:
e  x y z 
1
 nx   ny   nz 1  2    1  0,27505  5  2,157 10 3
E
2,8  10
La variación de volumen experimentada por el prisma es:
V  eV  86,28cm 3
2.
Dos paralelepípedos A y B de distinto material y de las mismas dimensiones
a  b  c, se colocan a uno y otro lado de una placa rígida y lisa adosados a ella por sus
caras a  c, de tal forma que en sus ejes de simetría perpendiculares a dichas caras sean
coincidentes (ver figura). Ambos paralelepípedos, junto con la placa se introducen en
una ranura de anchura igual a dos veces la longitud de la arista b más el espesor de la
placa. Las paredes de la ranura son planas, rígidas y perfectamente lisas. Los
paralelepípedos A y B se calientan, experimentando incrementos de temperatura T1 y T2
respectivamente. Conociendo los módulos de elasticidad E1 y E2, los coeficientes de
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5 - 19
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
dilatación lineal 1 y  2 y los coeficientes de Poisson v1 y v2 de los bloques A y B
respectivamente, se pide:
a) Las tensiones principales en ambos bloques
b) Las variaciones de longitud de las aristas de los mismos
c) Calcular la variación de volumen de los dos bloques si ambos tienen las dimensiones
20  30  20 cm y cada uno de ellos las siguientes características:
Cuerpo A (acero)
Cuerpo B (aluminio)

0,117  104 º C 1
0,234  104 º C 1
E
2  106 Kgf / cm2
0,69  106 Kgf / cm2
v
0,25
0,23
T
60
50
z
a
T1
a
b
c
A
T2
b
c
B
y
x
Ayuda: para resolver el problema se deben utilizar las leyes de Hooke
generalizadas, teniendo en cuenta las dilataciones térmicas, es decir, debe sumar "T " a
las deformaciones principales.
5 - 20
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
a) Los incrementos de temperatura producen dilataciones en todas las direcciones. El
alargamiento en las direcciones del eje y está impedido para ambos bloques, lo cual
crea tensiones  ny en los mismos.
Ecuaciones a utilizar:






x 
1
 nx    ny   nz   T
E
y 
1
 ny    nx   nz   T
E
z 
1
 nz    nx   ny   T
E
 xy 
 xy
G
;  xz 
 xz
G
;  yz 
 yz
G
Distinguiremos con el superíndice 1 a las componentes de las matrices de tensiones y de
deformación del cuerpo A, y con el superíndice 2 las correspondientes al cuerpo B.
Como la deformación sólo está impedida en la dirección del eje y, tenemos:
1
2
1
2
1
2
 ny
 0 ;  ny
 0 ;  nx
  nx
  nz
  nz
0
 1xy   xy2   1xz   xz2   1yz   yz2  0
Además, las figuras imponen las siguientes condiciones
1
2
 ny
  ny
 1y   y2  0
De las ecuaciones de Hooke, se deduce:
 1y 
1 1
 ny  1T1
E1
 y2 
1 2
 ny   2T2
E2
Teniendo en cuenta la relación anterior, se tiene:
 1y   y2  0 
1
2
 ny
  ny

1
1 1
 ny  1T1   ny2   2T2
E2
E1
1T1   2T2
E1  E2
E1E2
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5 - 21
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
1
2
 ny
 960   ny
Cuerpo A
Cuerpo B
1   2  0
1   2  0
 3  960
kgf
cm 2
 3  960
kgf
cm 2
b) Las variaciones de longitud de las aristas de los bloques vienen dadas por:
Cuerpo A
Cuerpo B
a  a 1x
a  a x2
b  b 1x
b  b x2
c  c 1x
c  c x2
Cuerpo A


 1x 
1
 1 ny  1T1  8,22  10 4
E1
 1y 
1
 ny  1T1  2,22  10 4
E1
 1z 
1
 1 ny  1T1  8,22  10 4
E1
 


Cuerpo B


 x2 
1
 2 ny   2T2  1,49  103
E2
 y2 
1
 ny   2T2  2,22  10 4
E2
 z2 
1
 2 ny   2T2  1,49  103
E2
 
5 - 22


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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Cuerpo A
Cuerpo B
a  8,22  104 a
a  1,49  103 a
b  2,22  104 b
b  2,22  104 b
c  8,22  104 c
c  1,49  103 c
c) Calcular la variación de volumen si ambos tienen las mismas dimensiones.
20  30  20 cm
Volumen del Cuerpo A inicial = Volumen del Cuerpo B inicial
V  12000 cm3
Cuerpo A
a  20
a  0,016
a*  20,016
b  30
b  0,007
b*  30,007  VA*  12022 cm3
c  20
c  0,016
c*  20,016
 VA  22 cm3
Cuerpo B
a  20
a  0,030
b  30
b  0,007
c  20
c  0,030
a*  20,03
b*  29,993  VB *  12033,2 cm3
c*  20,03
 VB  33,2 cm3
Demostrar que las tensiones hidrostáticas no cambian el lugar de fluencia.
Recordar:
dU 0   ij d ij  Densidad de energía de deformación.
Ahora Trabajo Plástico Total
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5 - 23
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
dWP   ij d ijP
 ij   ij ' ij h
dWP  ( ij ' ij h )d ijP
dWP   ij ' d ijP   ij h d ijP
dWP   ij ' d ijP   h ij d ijP
1 i  j
0 i  j
 ij  
dWP   ij ' d ijP   h d iiP
donde:
d ijP  Deformación Plástica
d iiP  0 , ya que la deformación plástica ocurre sin cambio de volumen.
 dWP   ij ' d ijP   ij d ijP
 La tensión hidrostática no produce trabajo plástico.
En el interior de un cilindro de acero, absolutamente rígido, de radio interno r = 0,1
m, se introduce un cilindro de caucho del mismo radio (coeficiente de Poisson 0.4),
según se indica en la figura. Mediante una fuerza de 2 toneladas que actúa sobre un
pistón de peso y rozamiento despreciables colocado sobre el caucho, se comprime éste.
Calcular la presión entre la goma y el acero.
3.-
F
5 - 24
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Solución
 nz  
Eje Z
F
A
2
El área donde actúa la fuerza es  ·r
 nz  
2000 Kg
F
Kg · f

 6.37
2
2
2
 ·r
 ·(10) cm
cm 2
x  y  0
 nx  P
Eje X
 ny  P
Eje Y
Luego
x 


1
 nx    ny   nz   0
E
  P  nz  6.37
Reemplazando los valores  nx  P , ny
,
tenemos que:
P  0.4P  6.37   0
P  0.4 P  2.548  0
0.6 P  2.548
P  4.25
Kg · f
cm 2
4.- Un cubo metálico que tiene una longitud de arista a = 25 cm se sumerge en el mar a
una
profundidad
z
=
800
m.
Conociendo
el
módulo
de
elasticidad
E  2,1  10 6 Kgf / cm 2 , el coeficiente de Poisson v y el valor de la densidad del agua de
mar 1025 Kg/m3, se pide:
a) La representación del estado de esfuerzos usando el círculo de Mohr.
a = 25 cm.
z = 800 m.
E  2,1  10 6 Kgf / cm 2 ,
v = 0,3
La presión hidrostática es p  gz  1025 Kg / m3  9,81 m / s 2  800 m
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5 - 25
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Kgm
2
Kg
 8,0442  106
 8,0442  106 s 2
2
ms
m
Kgf
Kgf
 82
2
m
cm 2
 820.000
El estado tensional del cubo a partir del círculo de Mohr queda:

82
82

Kgf
cm 2
Dado que es sólo un punto.
b) Direcciones principales.
Cualquier dirección es principal.
c) La variación que experimenta el cubo sumergido.

1
 1  v 2   3 , pero  1   2   3  
E
 
 
1
 1  v  2    1  2v    p 1  2v 
E
E
E
82
1  2  0,3  1,56  10 5
2,1  10 6
La deformación unitaria es  1   2   3  3 
V
 V  3V
V
V  3  1,56  10 5  253  0,73 cm 3
5 - 26
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
5.- Un bloque de aluminio es comprimido entre paredes de acero perfectamente rígidas y
lisas (= 0.3; E=6000 Kg/mm2). Determinar:
a) Las dimensiones del agujero si las presiones laterales no deben exceder de 2 kg/mm2
b) El cambio de volumen del bloque.
c) Las deformaciones normal y cizallante en un plano cuya normal es
.
nˆ 
1
i  2 j  2k 
3
z
P=12 Ton
50
mm
y
y
50
mm
30 mm
x
a)
z 
 12000
 8kP / mm 2
50 * 30
 x   y  2kP / mm2
x 
 2  0,3 * (2  8)
1
x


6000
6000 30
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5 - 27
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Luego,
y 
x  0,005mm
lx  30,005mm
 2  0,3 * (2  8)
1
y


6000
6000 50
y  0,0083mm
ly  50,0083mm
b)
Se tiene
1
6000
x  y 
z 
 8  0,3 * (2  2)  6,8

6000
6000
por lo tanto
V 
V
1
 4,8
 2 x   z 
(2  6,8) 
V0
6000
6000
 4,8
(50 * 30 * 50)  60mm3
6000
c)
0 
1 0

1 
1
 ij 
0  ; nˆ  (iˆ  2 ˆj  2kˆ)
0 1
6000 
3

 0 0  6,8 
0  1
1 0
 1 
 1 

1 
1 
 
0  *  2 
0 1
 2 
6000 
 3   18000   13,6 
 0 0  6,8   2 




 
2
1
188,96
(iˆ  2 ˆj  13,6kˆ);  
18000
(18000) 2

 n    nˆ 
1
1
(iˆ  2 ˆj  13,6kˆ) * (iˆ  2 ˆj  2kˆ)
18000
3
 n  4,111*10 4

2
5 - 28

;
 n 2  1,69 *10 7
2
   n 2  6,438 *10 4
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
6.- El esquema muestra una configuración en la cual un material A se comprime con 20 MPa.
Este material está inserto dentro de una matriz hecha de un material B, que también puede
deformarse. A su vez, todo el conjunto está inserto dentro de un marco de paredes infinitamente
rígidas. ¿Cuál es el módulo de elasticidad que debe tener el material B para que el material A no
se deforme en la dirección vertical?
y
A
x
20 MPa
z
B
Pared infitamente rígida
A
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Pared infitamente rígida
5 - 29
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad

Como las paredes son infinitamente rígidas, entonces la deformación
total, por el eje X, será cero, por lo que se tiene que:
 total  0
X
 A   B
X
X





1
1
  x A   A   YA   Z A  
  X B   B   YB   Z B
EA
EB
 EB 


A
A
 x   A   Y   Z
A


(*1)
Pero al no aplicarse ninguna tensión directamente sobre B, entonces
Y  0
B


 E A   X B   B   YB   Z B

(*2)
Como el material A no debe deformase en Y se tiene entonces que:



1
  YA   A   X A   Z A  0
EA
 Y  A   X   Z   0
A
A
A
Pero al no deformarse por Y, entonces  YA  0
(*3)
Por lo que se tiene que:
 X   Z
A

(*4)
A
Ahora analizando el dibujo:
 Z   Z
A
B
 X   X
A
B
Por lo que se tiene que:
5 - 30
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
 Z  20MPa
A
 X  20MPa
A
 Z  20MPa
(*5)
B
 X  20MPa
B

Ahora reemplazando (*2),(*3),(*4) y (*5) en (*1) se tiene que:
EB  E A 
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1   B 
1   A 
5 - 31