1. Healthcare

Números reales
Medidas y errores
Magnitudes muy
pequeñas
Distribución de
temperaturas
Descripción de
reacciones químicas
La base de todo
magina un mundo sin árboles, o un cielo sin nubes o un
mar sin olas. No es algo tan lejano, mira la imagen de la
izquierda, puedes ver uno de los árboles desecados de
Decid Vlei, en Namibia. No hace falta ponerse tan serios,
pero... ¿Te imaginas un mundo sin móviles, sin internet ni
televisión, donde no puedas mandar fotos a tus amigos ni
saber dónde están para quedar con ellos? ¿Yun mundo en el
que no se pueda viajar? No parece divertido, ¿a que no?
¿Y un mundo sin números? Si esta posibilidad no te asusta
tanto como las anteriores piensa un poco y recapacita, por­
que los números se esconden detrás de más cosas de las que
tú te crees. Quizá pienses que basta con saber contar, pero
para el desarrollo de la ciencia y de la técnica necesitamos
otros tipos de números que nos permitan expresar y mani­
pular con facilidad las cantidades que miden las distancias
y los tiempos, los pesos, las concentraciones y, en general,
todas las propiedades de la materia y de los objetos. Incluso
tendremos que contar con estos números para darle una
oportunidad a nuestro maltratado planeta...
I
Los números reales permiten expresar cantidades y mag­
nitudes y compararlas, así como el grado de aproxima­
ción o la incertidumbre con los que medimos las cosas.
La representación decimal de los números reales posibi­
lita trabajar con magnitudes inimaginablemente grandes
o pequeñas (piensa en los tamaños de una galaxia o un
virus) y operar con ellas con facilidad y rapidez (¿te ima­
ginas una calculadora con números romanos?).
Las funciones y fórmulas que usan números reales son
básicas para describir el mundo físico: el movimiento y el
reposo, la distribución de las temperaturas de los cuer­
pos, las reacciones químicas, la evolución de la economía
o de las poblaciones de una especie amenazada, etc.
Los números reales son fundamentales para la ingeniería
y para ciencias sociales como la economía.
Si has pensado un poco en lo anterior seguro que tendrás
respuesta para las siguientes cuestiones:
Piensa ejemplos de cantidades que no podamos expresar
con los números naturales y de cantidades que no pode­
mos expresar con los números enteros. ¿Hay magnitudes
que no sea posible expresar con fracciones?
¿Sabrías diseñar una piscina con proporciones áureas?
¿Nos basta con los enteros para describir la forma de
cualquier objeto? ¿Y con las fracciones?
¿Sabrías describir de forma precisa el ritmo con el que
crece la cantidad de bacterias en un cultivo?
Si quieres averiguar la respuesta a estas preguntas y apren­
der más, sigue leyendo.
^ smSaviadigifal.com
Desarrollos en
ingeniería
i
po n t e a pu n to
Recuerda lo que sabes sobre números reales.
9
Números reales
• Los números naturales, N = {0 , 1, 2, 3...}, se pueden sumar y multiplicar, pero no siempre se
pueden restar o dividir.
• Los números enteros, Z = {... -2, -1, 0, 1, 2...}, se pueden sumar, multiplicar y restar, pero no
siempre dividir.
• Los números racionales, Q , se caracterizan porque se pueden obtener como cociente de dos
números enteros (conjunto Z ).
Q en en c u e n ta
Así, cualquier fracción con denominador no nulo representa un número racional.
El símbolo e significa pertenencia a
x e Q o existen m y / i e Z tales que x = — (n * 0)
un conjunto. Por ejemplo para indicar
que x es un número racional se puede
e sc rib irx e Q .
'
n
Expresiones asociadas a un número racional
Los números racionales también pueden expresarse mediante números decimales, basta con efec­
tuar la división del numerador entre el denominador de la fracción asociada a él. El resultado puede
ser:
• Un número decimal exacto, con un número finito de cifras decimales.
• Un número decimal periódico, con un número infinito de cifras decimales, en el que a partir de
un cierto lugar se repite una secuencia fija de cifras. Las cifras decimales que no se repiten for­
man el anteperíodo y la secuencia que repite se denomina período.
tjem p lo sv
149
--- = 7,45
20
Decimal exacto con parte entera 7 y parte decimal 45.
127
—
-^- = 11,54 Decimal periódico puro con parte entera 11 y período 54.
349
~ ^ = 2,326 Decimal periódico mixto con parte entera 2, anteperíodo 32 y período 6.
Cualquier número decimal exacto o periódico es un número racional y podemos expresarlo en forma
de fracción, denominada fracción generatriz.
• Si es un decimal exacto, en el numerador de la fracción generatriz aparecen las cifras del número
decimal sin coma, y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales
haya.
• Si es decimal periódico, se distingue entre puro y mixto.
;iH en en cuenta
Para determinar la fracción genera­
triz de un número periódico se puede
usar la siguiente regla, que se deduce
de los ejemplos de la tabla.
cifras del número sin coma ni periodo - cifras situadas antes del periodo________
tantos nueves como cifras tenga el periodo y
tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo
x = 11,54
x = 2,326
x = 11,54
102x = 232,6
102x = 1154,54
10-102x = 2326,6
99x = 1143
900x=2094
_ 1143 _ 127
_ 2094 _ 349
X~ 99 ~ 11
900 _ 150
l . ° Si es mixto se multiplica x por 10", donde n es el
número de cifras del anteperíodo. Si es puro se pasa
al siguiente paso.
2 .° Se multiplica por 10 ", donde m es el número de cifras
del período. De esa manera, el primer período pasa a
ser parte entera.
3.o Se restan las expresiones obtenidas en 1 y 2.
4.o Se despeja.
Todo número racional puede escribirse en forma decimal exacta o periódica o en forma de
fracción.
10
Números reales
Los números con expresiones decimales como los siguientes:
1,010 010 001 000 010 0...
-25,101 112 131415...
72 = 1,414 213 56...
tienen un número infinito de cifras, pero no presentan período. Esto implica que no son números
racionales y, por tanto, no pueden expresarse como una fracción.
Los números cuya expresión decim al es ilim itada y no periódica se denominan números
irracionales, L
Ejemplo >
Son números irracionales los siguientes:
Raíces no exactas de números enteros: 7 3 , 7 5 , 7 8
Expresiones decimales infinitas cuyas cifras no siguen ningún período aunque pueden
presentar otro tipo de regularidad: 23,110 100 100 010 000... o 0,112 233 445 5...
Números importantes en matemáticas como:
71= 3,141592 65...
e = 2,718 28182...
cl>= 7 ± 7 7 = 1,618033 98...
2
La unión de los conjuntos formados por los números racionales y por los números irracionales
se denomina conjunto de los números reales. Este conjunto se representa con la letra IR .
V
Q
Propiedades de la suma y del producto de números reales
V3
7.5
R
La suma y el producto de dos números reales es siempre otro número real.
Suma
-3
^
Producto
Conmutativa: a + b = b + a
Conmutativa: ab = ba
Asociativa: a+ (b + c) = (a + b) + c
Asociativa: a(bc) = ( ab)c
Elemento neutro: a + 0 = o
Elemento neutro: lo = a
Elemento opuesto: o + (-o) = 0
Elemento inverso: o-— =1 c o n o ^ O
1
o
Distributiva del producto respecto de la suma: ci{b + c) = ab + ac
EJERCICIO RESUELTO
a) 2 es natural, entero, racional y real.
Clasifica los siguientes
números indicando a qué
b) -3 es entero, racional y real.
conjuntos pertenecen.
2.
c) 0,232323... es racional y real.
a) 2
c) 0,232323...
b) -3
d) 0,12112111211112...
d) 0,121121112... es irracional y real
Halla la fracción irreducible que corresponde a los siguientes
a)
25,25
b) 25,25
4.
Razona con ejemplos si son ciertas o falsas las siguientes afir­
maciones.
números racionales.
c) 25,25
d) 25,25 + 25,2525.25
a) La suma de dos irracionales es siempre irracional.
b) El producto de dos irracionales es siempre irracional.
3.
Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado.
5. Se quiere vallar un campo rectangular. Se sabe que uno de sus
15
a)
1+
b)
1
i +i2
14
lados mide tres quintas partes de la medida del otro y la diago­
nal mide 30 m. Si un metro de valla cuesta 25 € y se desperdi­
cia un 10 % del material empleado, calcula el precio que se
deberá pagar.
11
Ordenación en R . Desigualdades
Dados dos números reales a y ó, se dice que
a < b si y solo si b - a es positivo o cero.
La relación < es una relación de orden total en IR , ya que cumple las siguientes propiedades:
• Reflexiva: o < a
• Antisimétrica: si a < ó y ó <a => a = b
• Transitiva: s i o < ó y ó < c = > a < c
La relación es total, ya que para todo par de números o y ó se verifica que o bien a<b o bien b<o.
Tipos de desigualdades entre números reales
• El número real
a es menor o igual que el número b:
a<b
• El número real
a es mayor o igual que el número b:
a>b
2>
1
• El número real
o es menor que el número b:
a<b
2<
5
• El número real
a es mayor que el número b:
a>b
-3 < -3
-3> -5
Propiedades de las desigualdades
• Si se suma el mismo número real en ambos miembros de una desigualdad, no varía su sentido.
2
< 5 => 2 + (- 3 ) < 5 + (- 3 ) => -1 < 2
• Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por cualquier número real posi­
tivo, no cambia su sentido.
2> -3= > 2-8> -3-8= > 16> -24
• Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por cualquier número negativo,
cambia el sentido de la misma.
2
< 4 => 2 •(- 2 ) > 4 •(- 2 ) => -4 > - 8
EJERCICIOS RESUELTOS
Sean o y ó dos números reales
1
1
1 ó 1
. ó
-< ó- =>1<-=>1- < —
0
a
ó 0 ó
a
positivos. Si a<b, demuestra
que el inverso de o es mayor o
,i< ±
b
a
igual que el inverso de b.
Sean o y ó dos números reales positivos.
7. Demuestra que la semisuma de
dos números reales positivos es
Utilizando el hecho que el cuadrado de cualquier número real es positivo:
superior o igual a la raíz
( \fci —\íb) >0 =¡>{\¡a) +{\fb) -2\fa\fb > 0=»o + ó>2\/a\/ó =>^-í-^>\/o6
cuadrada de su producto.
2
EJERCICIOS PROPUESTOS ,
8.
Ordena de menor a mayor en cada caso.
68
25 '
b)
9.
14
27
5 y 10
1,23; 1,23 y 1,23
. Tres números reales positivos o, b y c pueden representar las
medidas de los tres lados de un triángulo si y solo si verifican
c)</4.</3 y>/2
que la suma de los dos menores es mayor que el mayor. Indi­
ca los valores que puede tomar a para que los números natu­
d) 2,9 ; 3 y 3,01
rales o, 2o+ 1 y 10 sean las medidas de un triángulo.
Sean o y ó dos números reales negativos. Si a < ó, demuestra
Sean p, q y M números reales positivos con q < 100. Demues­
que el inverso de o es mayor o igual que el inverso de ó. ¿Qué
tra que el número obtenido al aumentar M en un p % y, poste­
riormente, disminuir el resultado en un q % , es mayor que M
pasaría si o fuera negativo y ó positivo?
10. A partir del desarrollo de ( x - y ) 2, siendo x e y dos números
X
V
reales y xy> 0, demuestra que — + — >2.
y x
si y solo si:
100q
p > ---- —
100 -q
La recta real. Representación gráfica
Se considera una recta en la que se han marcado dos puntos: uno que representa el número 0 y otro,
a su derecha, que representa el número 1.
—i----1
---- 1
---- 1
---- 1
---- 1
--- i—
0
1
Se verifica que:
• Cada punto de la recta se corresponde con un número real.
• A cada número real le corresponde uno y solo uno de los puntos de la recta.
Por tanto, existe una correspondencia perfecta entre los puntos de la recta y los números reales.
Esta recta recibe el nombre de recta real.
Representación de los números enteros
Para representar números enteros se lleva la distancia entre 0 y 1 tantas veces como sea preciso
sobre la recta, hacia la derecha si el número es positivo o hacia la izquierda si es negativo. Tam­
bién se puede utilizar el compás para obtener el opuesto del correspondiente número entero.
Representación de los números racionales
Los números racionales se representan dividiendo segmentos de la recta en partes iguales con la
ayuda del teorema de Tales.
Representación de números irracionales
Solo algunos números irracionales pueden ser representados en la recta real con regla y com ­
pás, como por ejemplo, las raíces cuadradas de los números naturales, usando el teorema de
Pitágoras o el teorema de la altura.
Ejemplo ►
O GeoGebra
Representa \Í5 en la recta real.
Basta notar que \Í5 = V 4 + 1 = V 22+ 12 ; enton­
Entra en smSaviadigital.com y re­
presenta más números reales.
ces, 75 es la hipotenusa de un triángulo rec­
tángulo de catetos 2 y 1.
0
2 V5
EJERCICIOS RESUELTOS
Representa \/l3 y J 2 6 en la
13 = 9 + 4 = 32+ 22
26 = 25 + l = 52+ l 2
recta real. Para ello, escribe
previamente los números 13 y
26 como suma de dos
cuadrados.
Representa ^
en la recta
real.
V2V3
1
EJERCICIOS PROPUESTOS
15. Representa en la recta real los siguientes números.
a) 5
c) -2
--6* Representa en la recta real:
a) V Í7
b) V29
c) V ñ
d) V 2Ö
Números reales
13
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real o coincide con él mismo si es positivo o cero, y es igual a
su opuesto si es negativo. Se representa por \a\.
| a
si
a> 0
\-a
si
a <0
El valor absoluto de un número coincide siempre con el de su opuesto.
,
1- 41=4 ,131 = 3,
El valor absoluto de un número real es también la distancia entre el punto que representa ese nú-
i*
H--1
--1
--1
--1
--1
--1
--1
--1
--1
--1
--t—
-4
0
3
mero y el cero en la recta real.
’
La distancia entre dos puntos en la recta real es: d (a,b) = \b-a\ con a, b e R
■
16 —(—3)1 =191=9
■
La distancia entre los números -3 y 6 es |ó —( —3 )| =|9| = 9 unidades.
—i— i— i— i— i— i— i— i— i— i— i— i—
-3
0
6
Propiedades del valor absoluto
• ja |> 0 para cualquier número real o
O GeoGebra
• \ab\ =|o|¡b| para cualesquiera números reales o y
En smSaviadigital.com dibuja más
desigualdades con valor absoluto.
b
• Desigualdad triangular: \o + b\ <|o|+|/)| para cualesquiera números reales
ay b
EJERCICIOS RESUELTOS
Haz las siguientes
operaciones.
a) |2||-3|=2-3=6
d) |2+ (-3 )|= |-l| = l
a) |2||-3|
b) |2(-3)|=|-6| = 6
e> |2|—|—3|| =(2—3| =|—1| = 1
c) |2|+|-3| = 2 + 3 = 5
0 - |- 2 |- |3 |— 12-3|— 1-1| = -1
b)
d) |2 + (-3)|
|2(-3)|e) ||2|-|-3||
0|2|+ |-3|
f) -||-2|-|3||
Desarrolla la expresión
Se aplica la definición de valor absoluto a esta expresión y se obtiene:
x+|x-2| y calcúlala para los
.
, íx + x - 2
si x - 2 > 0
Í2 x - 2
x + x - 2 \= <
=<
\x —(x —2) si x - 2 < 0
[ 2
casos x = -2 , x = O y x = 3 .
Para x = -2: 2
19.
Desarrolla el valor de la
Para x = 0: 2
x>2
si
x<2
Para x = 3: 2-3 —2 = A
Se aplica la definición por separado a los dos valores absolutos que aparecen:
expresión |x + l| + | x - 3 | .
f
x+1
|x + l| = <
l —(x + 1)
si
x + l> 0
f x + 1 si
X>-1
si
x + l< 0
l- x - 1
si
X < —1
1 ^-3
x —31
1= <
l- ( x - 3 )
si
x - 3 > °_ |
x-3
si
x >3
si
x —3 < 0 _ 1—x + 3
si
x< 3
í - x - l - x + 3 si
Al sumar:
20.
si
x < —1
í -2x + 2
si
x < —1
4
si
- l< x < 3
1 2x-2
si
x>3
|x + l|+ |x-3 | = \ x + l - x + 3
si
- l< x < 3 = i
[x + l + x - 3
si
x> 3
Desarrolla el valor de las siguientes expresiones.
Desarrolla el valor de las siguientes expresiones.
a) 2x-3+|2x-3|
a) |x+2|+|x-3|
b) 2—3x—12—3x|
Calcula el valor de las expresiones anteriores para los casos
x = - 2 , x = O y x = 3.
14 Unidad 1
b) x+|x + 2|+|x + 3|
Calcula el valor de las expresiones anteriores para los casos
x = -2, x = 0 y x = 3.
Intervalos y entornos
La relación de orden permite definir algunos subconjuntos de números reales que tienen una inter­
(-2, 3)
pretación geométrica sencilla en la recta real.
-2
0
Intervalos
• Intervalo abierto (o, b) = {x e R , a<x<b]
----- o
• Intervalo cerrado [fl,6 ] = { x e M , a<x<b)
----- •-
1-2,3)
o
-2
o
0
Además, se pueden considerar otros intervalos.
Semiabiertos o semicerrados.- incluyen solo uno de los extremos,
(o, b] ----- c--------------- •----o
b
[o, b) ----- •---------
a
(-2,3]
b
-2
0
Semirrectas: determinadas por un número real y todos los números mayores o menores que él.
(o, +°°)
[o, + °°)
(-oo, o)
(—oo, o j
(—2, +°°)
-2
0
Entornos
Se llama entorno abierto de centro el número real a y radio r> 0, y se denota por £(o, r), al
conjunto de todos los números reales x que distan de a menos que r:
E(o, r) = (a - r, a + r) «
{ x e l , \x-o\<r]
a-r
a +r
-1
0
Se llama entorno cerrado de centro el número real o y radio r> 0 , y se denota por £|o, r], al
1
£(1.2)
conjunto de todos los números reales x que distan de o menos o igual que r:
_ jr _
~
a +r
o- r
—
•—
i
£[1.2]
E*(a, r), y que incluye todos los puntos de un entorno excepto el centro.
o- r
E*(a, r) = (a - r, a + r )- {a \
i—
3
r
r
También se puede considerar el entorno reducido de centro el número real o y radio r> 0 , que se
denota por
-■o
,,TT
r
E[a,r\ = \a-r,a + r\<=$ {x<=R,\x-a\<r}
0
E*(a, r)
a +r
EJERCICIOS RESUELTOS
22.
23.
Dados los intervalos
La unión u de dos conjuntos está formada por todos los elementos que pertenecen por lo menos a
¿ = (- 4 ,3 ), fl = (- 2,A] y
uno de los dos conjuntos. Así, A u f í = (-4, A] y A k j C = ( - ° ° , 3 ).
C = (-°o,2 ] indica qué
conjuntos determinan: A u f i ,
La intersección n
A n B , AuC y A n C .
vez. Entonces, A n B = (- 2, 3) y A n C = (- 4 , 2]
Expresa mediante un intervalo
Se trata de los números que no pertenecen al entorno abierto de centro -2 y radio 3.
el conjunto de números reales
de dos conjuntos está formada por los elementos que pertenecen a ambos a la
Por tanto: |x + 21> 3 => x e ( - ° ° , —5 ] u [ l , + ° ° )
x tales que |x +2| >3 .
EJERCICIOS PROPUESTOS
24.
Dados A = (2 ,4 ), fi = (- 2 ,4 ] y C = [-3, + ° ° ) , calcula:
a)
A
u
B
k j
C
b) A n f i n C
c
)
M n fiju f
d) ( A u B ) n C
25. Expresa como entorno los intervalos (-5,2) y [-5,2]
26.
Expresa mediante intervalos y gráficamente los siguientes
conjuntos de números reales.
a)
|x —2|<2
b )|x + 3 |> l
sm Saviad ig ital.co m
p r a c t ic a
c )|x + l|< 2
Trabaja con la recta real.
15
Aproximaciones y errores
Muchos números racionales y todos los irracionales tienen su expresión decimal formada por infini­
tas cifras decimales. Esto plantea dificultades al operar con ellos. Además, los instrumentos de
medida introducen errores en la medición.
El problema se soluciona utilizando aproximaciones decimales que posean el número finito de ci­
fras que se considere adecuado.
Aproximar un número real es sustituirlo por otro racional con un número finito de cifras deci­
males. Se dice que una aproximación es por defecto o truncamiento cuando se sustituye el
número original por otro menor que él, y por exceso cuando es mayor.
Siempre se emplean las mejores aproximaciones a un orden dado. En ellas, todas sus cifras coinci­
den con las del número original hasta llegar a la correspondiente al orden señalado si la aproxima­
ción es por defecto, y a una unidad mayor si es por exceso.
J S en en cuenta
Ejem plo ►
Para redondear un número a una cier­
ta cifra decimal, se desprecian todas
las siguientes a esa cifra.
Unidad
- Si la primera cifra despreciada es
inferior a 5, se toma como redondeo
la aproximación por defecto.
- Si la primera cifra despreciada
es igual o superior a 5, se toma la
aproximación por exceso.
Las diferentes aproximaciones para >¡3 = 1,73205... hasta las milésimas son:
Décima
Centésima
Milésima
1,732
1,733
Defecto
1
1,7
1.73
Exceso
2
1,8
1.74
Errores absoluto y relativo de una aproximación
Al utilizar una aproximación de un número real se comete un error.
El error absoluto, Ea, de una aproximación es el valor absoluto de la diferencia entre el verda­
dero valor del número real y la aproximación.
El error relativo, f , de una aproximación es el cociente entre el error absoluto y el verdadero
valor.
O GeoGebra
Entra en sm Saviadigital.com y es­
tudia errores absolutos y relativos.
Para acotar el error relativo, habitualmente se utiliza el cociente entre el error absoluto y la aproxi­
mación por defecto.
El error absoluto al aproximar \¡3 por 1,732 es E, = |\/3 —1,7321= 0,0 0 0 0 5 0 8 0 7 ...
EJERCICIOS RESUELTOS
28.
Calcula las mejores
Se construye la siguiente tabla:
aproximaciones por defecto y
por exceso, y el redondeo del
73
numero — = 1,216 66... con
60
ninguna, una, dos y tres cifras
decimales significativas.
29.
Unidad
Décima
Centésima
Milésima
Defecto
1
1,2
1.21
1,216
Exceso
2
1.3
1.22
1,217
Redondeo
1
1.2
1.22
1,217
Acota el error relativo
El error absoluto es Ea = |7t-3,142| =|3,141592...-3,142| = 0,000 407... y el relativo,
cometido al utilizar 3,142
E
0,000407...
Er = — = ----- = 0,0001296... Por tanto, la cota del error resulta del orden del 0,01 % .
como aproximación de n.
ti
3,141
EJERCICIOS PROPUESTOS
30.
Calcula las mejores aproximaciones por defecto y por exceso
y el redondeo de \Í2 a la unidad, la centésima y la diezmilésima.
Halla aproximaciones por defecto y exceso con una, dos y tres
cifras decimales de:
a)
75
b) je
Halla los errores absoluto y relativo que se cometen al utili-
Utilizando las aproximaciones anteriores calcula el valor de
zar 1,7 como aproximación de — .
\Í5 + n . ¿En cuál de ellas el error absoluto es mayor?
Notación científica
Para resolver e interpretar situaciones relacionadas con las ciencias de la naturaleza y la tecnología,
en ocasiones es necesario utilizar números muy grandes o muy pequeños.
En particular, muchas magnitudes relacionadas con la astronomía están representadas por cantida­
des enormes. Por ejemplo, la distancia media entre el Sol y la Tierra:
150 000 000 km = 1,5 •108 km = 1,5 •10n m
Otras, relacionadas con la física atómica, lo están por cantidades ínfimas, como la masa del elec­
trón: 9.1-10'31 kg= 9,1 -10~28 g.
Un número escrito en notación científica se compone de dos factores:
• Una parte decimal con un número finito de cifras decimales y con una única cifra entera no
nula.
• Una potencia de 10.
La notación científica se utiliza para sim plificar la lectura y la escritura y para facilitar los cálculos
La nebulosa cabeza de caballo, es una
nube de gas fría y oscura, situada a
unos 1500 años luz de la Tierra, es de­
cir, aproximadamente a 1,23 ■10' km.
con este tipo de números.
EJERCICIOS RESUELTOS
Escribe en notación científica:
a) Mínima distancia en metros
entre la Tierra y Marte:
a) 5,9-10'° m
b) 209-1,66-10’27 = 3,47-10'25 urna
59 millones de kilómetros.
b) Masa de un átomo de
polonio: 209 urna.
(1 uma= 1,66-10~27 kg)
24.
Realiza las siguientes
a) 24 500-120000000 = 2,45-10M.2-108 = 2,94-1012
operaciones y da el resultado
en notación científica.
b) 12 000 000 0 0 0 :4 0 0 0 = 1,2-1010:4 •103= 0,3 •107= 3 •106
a) 24500-120000000
c) 0,0035:0,000000007 = 3,5-10‘3:7-10'9 =0,5-106 = 5-105
b) 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 :4 0 0 0
d) 1,23 •10u - 2,6-1012
c) 0,0035:0,000000007
123-1012-2,6-lQ 12
120,4 -1012
4-10'6
4-KT6
0,000004
= 30.1-1018= 3.01-1019
d) 1,23-lQ19-2,6-lQ 12
0,000004
EJERCICIOS PROPUESTOS
35.
Calcula las siguientes operaciones y da el resultado en nota­
36.
Un átomo de hidrógeno (H) tiene una masa de 1,66 •10
g
ción científica.
aproximadamente.
a) 0,00048+ 0,000059
a) ¿Cuántos átomos de H se necesitan para obtener 20 kg de ese
gas?
b) 3 5 0 00 0 0 0 -72 0 0 0 0 0 0 0
b) ¿Cuál es, aproximadamente, la masa de 2,524 •10'
c) 250000-5.5-105
átomos
de H?
d) 0 ,0 0 0 0 0 015:0,000003
c) Si 2 g de hidrógeno molecular ocupan un volumen de 22,4 L a
0 °C y a la presión de 1 atm, ¿cuántas moléculas de hidrógeno
e) 1.2-108+ 50 0 0-2,4-105
contendría un recipiente de 5 L en estas condiciones?
2,2-lQ9 -7,8-lQ8
7,1 -1011
0,00 016(25-103+ 20 0 0)
g)
0,002 5
ÍO 23-5,5-10~12
h) 3,5-1022+ 4,3-1021
37.
La masa de la Tierra es de 5,97 •10
kg, y la de Plutón, de
1,29- IO 22.
a) ¿Cuál es la relación entre ambas masas?
b) Suponiendo que ambos cuerpos fueran esferas perfectas con
radios de 6371 y 1160 km, respectivamente, calcula la densi­
dad aproximada de cada uno de ellos.
17
Radicales
J O en en cuenta
Los radicales son raíces indicadas y
no calculadas. Al igual que las frac­
ciones, se utilizan para evitar mane­
jar expresiones decimales ilimitadas.
La raíz enésima de un número real
a es un número b tal que b" = o.
Un número real puede tener dos, una o ninguna raíces reales. Para indicar las raíces enésimas
del número
A se emplean los radicales de índice n y radicando A. Según los valores de n y de
A se utilizan distintas expresiones radicales para dichas raíces basadas en el símbolo VA :
Radicando
índice
Par
Número de
Expresiones
raíces reales
radicales
'■ÍÁ o +^ÍA
V l6 = 2 ya que 2" = 16
- ü
-VÜ6 =-2 yaque (- 2 )4=16
Dos opuestas
A> 0
impar
Una positiva
Par
Sin raíz real
Impar
Una negativa
<¡6A = 4 ya que 4' = 64
<ÍA
?Ia
'<J- 64 no es real porque ningún
no es real
número al cuadrado es negativo.
<f = -ïl\Â\
V-8 = -\/8= -2 ya que (- 2 )' = -8
>4<0
/4 = 0
Ejemplo
Una igual a 0
ñ/ó
\/o =0 ya que 0 =0
=0
Las raíces de índice par de un número positivo, \ÍÁ y -\IA se expresan con la notación ±>¡A .
J O en en cuenta
La definición de un radical como una
potencia de exponente fraccionario
asegura que se sigan cumpliendo,
para este tipo de exponentes, las pro­
piedades conocidas de las operacio­
nes con potencias.
Un radical puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario: \¡AP = An
Propiedades y operaciones con radicales
Siempre que existan los radicales de ambos miembros, se cumple que:
Propiedad
Prueba
on
af/ T =Aap=Á'p = 4 ^
1. Si A > 0, v /T = V / F
2.
i—
f~A 4 b = \nlAB
=
rI, ïf _ J À
J 3 en en cuenta
Todas las propiedades y operaciones
con radicales son válidas si tienen
sentido los dos miembros de cada
igualdad. Por ejemplo, calcular:
( V ^ ) 2= V Í6
no es válido porque se parte de un
radical sin solución en R como es
¿ 4 .
Vfl
Ejemplo
n
a
11
* lï= Î725 ‘ = 7 F = V 8
1
Bn =(AB)~n =?¡ÁB
A
An
i
(¿ y
>Iâ tfâ* = \/â n/Ó*" = \/p
i—
Ja
»B
V *1
77
4. \ R a =”Í a
x/V2 =
y/^A = ( a * ) =A ™ =nnsÍA
----------------------1
5. ( ^ > ) m= ^ / / r
( G r T = [ ( # * 1 - a* - t i r
( V ? ) * = V2IF = 26 = 64
La propiedad 1 permite hallar radicales equivalentes a uno dado y se aplica para poder utilizar
las propiedades 2 y 3, tal y como se indica en los ejemplos. Otras aplicaciones de las propiedades
son:
• Extracción e introducción de factores en un radical
Ar^Ap = Í A ^
Ejemplos >
18
3/160* =
Ar^
= \ IU Y <ÍaY =^ArnAp = !ÍÁ r p
^2V=2o ^
x 2V ? =
$¡(x2f x3 = ^
• Suma de radicales
C ZZ3
■ ■
mm
Los radicales solo se pueden sumar usando su aproximación decimal excepto si son semejantes,
esto es, si pueden escribirse con igual índice y radicando.
Para calcular raíces de cualquier índi­
ce podemos utilizar A para elevar a
Ejemplo► 77+2777-781 = 77+277M 7 ? =77+4^3-377=277
-
una fracción, 7"~ o similares.
Racionalización de denominadores
Racionalizar una expresión que tenga radicales en el denominador es encontrar otra equivalente
que solo tenga, a lo sumo, radicales en el numerador. Algunos casos particulares son:
• Cuando el denominador contiene un radical en un único sumando. En este caso, se multiplica y
divide por un radical adecuado para que desaparezca. Es más fácil hacer los cálculos si se descom­
pone previamente ese radicando del denominador.
3 ___3
277
2 # "
3 <l¥ _ 377 _ 377 _ 377
27777
27 7
2-2
4
• Cuando el denominador es un binomio con radicales de orden 2. En este caso, se multiplica y di­
vide por el conjugado del denominador.
2_ M 2 - ß ) ^ 2j-2(2-j2}_ = M
=
2+ 77
(2 + V2X2-V 2)
4-2
2_j-2) = 2 r 2 _2
2
EJERCICIO RESUELTO
38.
Simplifica las siguientes
a) ^2^7/8 = ^ 2 \ t 7 7 = \¡2\l\l2l>-23 = ^ 7 7 = n/ n/27-26 = '7Í7 = 2I77
expresiones.
b)
77
_
77[(2+77)+77]
_ 277 +2+ 7Ï7
W 2+72-Æ = [(2 + Æ)-V6][(2+V2)+V6] = (2+V2)i -(Æ )! =
77
2+77-77
_ 277+2+277
4+2+477-6
2V2-+2+2V3 _
477
77 +1+ 77 77 _ 2+77+77
277
77
4
EJERCICIOS PROPUESTOS
39.
41.
Simplifica las siguientes expresiones.
a) 7 7 + - 7 8 - - 7 Î8
2
4
b) Vl44cr -2.1— o + 77o
16
d)
e)
Halla una expresión más simple para las siguientes.
7o
72 + 78
a)
770+77
o" 7 7 ( 7 7 ) 3
42.
7Ö
11+77
7o
7o
b)
| 7o
1-77
Racionaliza los siguientes denominadores.
5
c)
78 +2\/32+2n/Í28
72
f)
<Ja \Ja} 7o Jl_
a)
277
5
e)
c)
277+1
3
\ja\J7
b)
40.
7o
72+277 77-277
2V 5
d)
77-277
f)
77
277-377
277-377
78 - 777
Opera y simplifica las siguientes expresiones.
43. ^
a) 128'+162'
b) V 2V 2W
s m S a v ia d ig ita l.c o m
practica
Opera más radicales y
practica la racionalización.
Números reales
19
Logaritmos
Para poder despejar el exponente de una potencia, es necesario definir una nueva operación arit­
mética: el logaritmo.
Se llama logaritmo en base o (o > 0 y o
1) de un número positivo
N al exponente x al que se
debe elevar o para obtener el número N.
logo N = x <=>ax-N
• Los logaritmos en base 10 se denominan logaritmos decimales. Su escritura se abrevia omitien­
do la base: log10 3 = log 3
• Los logaritmos en base el número e= 2,71828... se llaman logaritmos neperianos. Se designan
por In o L o Ln.
Propiedades de los logaritmos
John Neper(1550-1617)
Matemático escocés que estableció por
primera vez los logaritmos. Tomó el tér­
mino logaritmo de las palabras griegas
logos (razón) y arithmos (números).
• En cualquier base, el logaritmo de 1 vale 0:
logD1 = 0
o° = 1 <=>log01 = 0
o del número o vale 1:
• El logaritmo en base
logna = 1
o1 =OO log.0 =1
• En cualquier base, el logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los
logaritmos de dichos números:
loga(AB) = lognA +logaB
En efecto:
{og0A = x
ax= A
oB = y
=*ay =B
l°g Á A B) = z
■a a - a
■a
-a
x + y = z => log0A + log(J B = \oga{ AB)
ay = AB
• En cualquier base, el logaritmo del cociente de dos números positivos es igual a la diferencia de
los logaritmos de dichos números:
log0 A —log0B
Demostración:
log0/J = x
a* = A
log0fi = y
ay =B
= o =>a ~y = o' = > x - y = z=> logc ¿ - lo g Dfí = !oga| -
B
• En cualquier base, el logaritmo de una potencia de base positiva es igual al producto del expo­
nente por el logaritmo de la base:
log0M ) n =/7log0 A
En efecto:
\ogaA = x
1
logo04") = yJ
20
a* = A
ciy =An
=${axY = ay =*anx= ay
n\ogC!A = ioga( AY
Cambio de base
La calculadora científica y muchos programas informáticos solo proporcionan logaritmos neperianos y logaritmos decimales. La fórmula del cambio de base permite calcular un logaritmo en cual­
Con la calculadora podemos hallar
directamente logaritmos decimales y
neperianos.
quier base mediante logaritmos en otra base diferente.
log aN =
log„ N
log,o
Se demuestra teniendo en cuenta que x = log,, N <=>ax= N y tomando logaritmos en base b:
log6a ' = log6N=>x logs o = log, N => x =
log bo
=> logr N =
logóo
EJERCICIOS RESUELTOS
Calcula log 0,0001 y
________
log 0,0001 = x => 10' = 0,0001 =>x = -4
lo g vU O O l •
________
3
log V 0 0 0 1 = X => 10' = n/o ÓOI = 10“ 1 => X =
3
2
log 200 = log (2 ■100) = log 2 + log 100 = 0,301 + 2 = 2,301
Tomando log2 = 0,301,
calcula: log 200, log 5, log 8 y
10
log 5 = log —
log v2 .
= log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699
log 8 = log 2' = 3 log 2 = 3-0,301 = 0,903
log \¡2 = log 21= ^ log 2 =
46.
Escribe en forma algebraica
la expresión log /4 = 3log 2 —
= 0,1505
g y2
log A = log 2 - log x3+ log y - log z = log 8y - log x z = log
8 y2
=> A = —j—
- 3logx + 2 lo g y - 4 lo g z .
Halla el valor de la expresión
log ^- + l°g \¡a
— 21----- — donde o ^ l .
loga-logo
Si log2x = 5
, halla:
log ^2+ log n/o
-2logo+ ^ logo
j^-2+3 jlogo
lo g o - lo g a1
logo-3logo
-2logo
a) log„x =
a) log,x
b) log32x-tog,8-log2x2
log, 4
b) log5^25
d) log9 n/3
6
2
b) log32x-log, 8-log,x;
c )lo g 7^
-2
log,,* _ 5
Aplicando la definición, halla el valor de los logaritmos:
a) log3 V27
5
Í 2 S ^ . ! £ I ¿ . 2 i o g , , = - ! 2 S ¿ •2log2x =
log2 32 log2x
log232
5
Escribe en forma algebraica las siguientes expresiones.
a) log A = 2 + 2 log x - log y
e) log3 3\Í3
g )lo g 30,3
f) logj V8
h )lo g 80,125
b) logfí = 3(logx - 1 ) —2 (1 —log y )
2
c) logC = 2 lo g V x - lo g x - lo g y + 3log^/y
d) log D = log x3+ 3 log y - log x
50. Tomando log 2 = 0,301 y log 3 = 0,477, halla:
a) log3 8
b) log 60
51. Toma logaritmos en la expresión A = (x')\
c) log \J0,012
Halla el valor de los siguientes logaritmos utilizando para
ello la calculadora.
a) log3 21
b) log001 12
c) lo g ^ l9
21
Aplicaciones de los logaritmos
Crecimiento exponencial
Para estudiar el crecimiento de algunas poblaciones se pueden utilizar modelos de crecimiento
exponencial.
Si se considera, por ejemplo, una población inicial de 10 000 bacterias que se duplica cada día:
• Al cabo de un día habrá 10 000 -2 = 20 000.
• Al cabo de 2 días habrá 20 000 •2 = 40 000 = 10 000 •22.
• Al cabo de 3 días habrá 40 000 •2 = 80 000 = 10 000 •23.
En estas condiciones y considerando que hubieran pasado t días, el número de bacterias vendría
dado por la expresión: P= 10 000 •2'
Si el crecimiento de una población inicial de P() individuos verifica que, en cada período de
Bacteria de salmonela al microscopio.
tiempo, la población se multiplica por una constante k, entonces, el número de individuos en la
población después de t períodos de tiempo es:
P = P0k‘
Interés compuesto
El modelo de crecimiento aplicado al capital depositado en una entidad financiera es exponencial.
Cada período de tiempo, los intereses generados pasan a formar parte del capital principal, que,
en consecuencia, aumenta su capacidad de generar intereses. Si el período es de un año, se dice
que la capitalización es anual; si es de un mes, mensual, etc.
Una cantidad inicial C() colocada al r % anual se convierte al cabo de t años en un capital acu­
mulado de:
C = C j 1+
lOOn
donde n es el número de capitalizaciones que se producen durante un año.
E]"en
Halla el capital acum ulado al colocar 1200 € a un 3 % durante 4 años.
C = 1200 • 1,03" = 1350,61 €
si la capitalización es anual.
(
0,03 V
C. —1 2 0 0 1 1 + — — I
si la capitalización es mensual.
12
= 1352,79 €
Desintegración radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran a mayor o menor velocidad según sus características. Esta
velocidad se puede medir mediante el denominado período de semidesintegración, es decir, me­
diante el tiempo que una cierta masa inicial de dicha sustancia tarda en reducirse a la mitad.
Si se cuenta con m{) g de una sustancia radiactiva que tiene un período de semidesintegración
de d años, al cabo de t años su masa se habrá reducido a:
t
ln2(
m = m00,5d =moe d
Calcula el tiempo que tardará una muestra rad iactiva en reducirse a la centésima
Bidón para el almacenamiento de resi­
duos radioactivos.
O GeoGebra
Entra en sm Saviadigital.com y re­
suelve problemas usndo logaritmos.
22
parte si su período de sem idesintegración es de 14 días.
Se busca que m = 0,01mQ. Aplicando la ecuación a la unidad de masa, será:
—
t
0,01mQ= m00,5d =>0,01 = 0,5U‘ =>log0,01 = — log0,5=>
=>-2 = — log0,5=>f= 1A(~ 2 ) = 93 años
14 6
log 0,5
El pH de las disoluciones
La magnitud que mide el nivel de acidez de una disolución se llama pH y se define con la fórmula:
pH = - lo g [H 3O f ]
siendo fH3O ‘ I el valor de la concentración de iones hidronio en mol/L. Las disoluciones muy ácidas
tienen pH cercano a 0; las muy básicas, cercano a 14, y las neutras, cercano a 7.
Calcula el pH de una disolución de am oniaco (b á sica ) que contiene una concen tra­
Papel indicador del pH.
ción de iones hidronio de IH 30 J = 7,95-10 12 mol/L.
El pH tiene un valor de -log [H 3CT| = —log (7 ,9 5 -10 ""') = 11,1.
El precio de un coche de
La ecuación que hay que utilizar es la misma que en el caso del interés compuesto, pero consideran­
cierta marca disminuye con el
do intereses negativos (amortización). Así, se tiene:
paso del tiempo de forma que
cada año el valor se reduce en
4000 = 18000 1-
un 25 % . Un coche de dicha
marca tiene un precio inicial
25
100
= 18000-0,75' =>0,75' =
4000
2
18000
9
Tomando logaritmos:
de 18 000 € y una persona
que lo ha adquirido quiere
log ^
que le abonen 4000 € por él
Iog0,75: = log —
cuando lo cambie. ¿Cuántos
años podrá disfrutar del
coche?
Halla el período de
semidesintegración del yodo
Mog0.75 = log^=> t = — — —
9
log 0,75
5.23
La persona que ha adquirido el coche debe cambiarlo a los 5 años.
1
1
1
La masa final debe ser m=—m0 =>-mc = m00,5d =>—= 0,5d . Tomando logaritmos:
8
131, si se sabe que una
muestra ha tardado 24 días en
8
1
1 24
log - = log 0 ,5 (l => log — = —
8
8 d
reducirse a su octava parte.
8
1
l*° 8 2
log —=> c/ = 2 4 ----- =>
2
. 1
lo g -
log^
d = 24---- — =>d =
días
3 log ^
57.
Si el pH de la sangre es 7,4,
Sustituyendo en la expresión del pH: 7,4 = —loglH.O* ] => —7,4 = log[H.O’ ]
¿cuál es la concentración de
iones de hidronio de la sangre?
Aplicando la definición de logaritmo: [H.0*] = 10
En un cultivo de bacterias, el número se duplica cada dos
59.
“ =3,98-10 ’ mol/L
Se depositan en un banco 5000 € durante 2 años. El banco
días. Un día se contabilizan 3000 bacterias.
informa de que el interés es del 3,5 % anual.
a) Calcula el número de bacterias que habrá 15 días después.
a) Calcula el capital acumulado suponiendo que la capitaliza­
ción es anual.
b) ¿Cuántos días han de pasar para que haya el triple de bacte­
rias? ¿Y si el número inicial fuera de 6000 bacterias?
b) ¿A cuánto asciende si es mensual?
c) Se supone que la población se estabiliza al alcanzar las
c) ¿Cuál sería el capital acumulado con una capitalización diaria?
20 000 bacterias. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para ello?
d) Interpreta los resultados obtenidos.
58.
Cierta sustancia radiactiva tiene un período de semidesintegra­
ción de 1600 años. Calcula la cantidad de masa a la que se habrá
reducido 1 kilogramo de esta sustancia al cabo de 10 000 años.
60.
s m S a v ia d ig ita l.c o m
practica
Trabaja con los loga­
ritmos y sus aplicaciones.
23
Resumen
Números reales
Representación
IR
Reales
I
I
Racionales Q
Irracionales!
0
Enteros Z
-3
1
0
1
3
Decimales
— I
Enteros
Negativos
Naturales N
N cZ cO c:
1A
2
3
Intervalos, semirrectas y entornos
-O
a
a
b
[a,b1
b
(a, b)
C—
—O..... »
a
a
b
(-00, o]
[o. b)
(o, ó|
r
a
Eia. r)
a +r
a-r
a
E\a, r]
a +r
—o
0
a
a)
r
a
b
a- r
(a, -h»)
[a, +°°)
r
a
E*(a, r)
a +r
Distancia
Valor absoluto
a
si
a >0
-o
si
o< 0
c/(o,ó) = |ó-o| cona.be
Errores
Error relativo E =
Error absoluto E = |valor real - valor aproximado!
r
valor real
aproximación por defedo
Potencias y radicales
JÑ = An
ïf = x<=>xn= A
Propiedades de las potencias
Propiedades de los radicales
( o " ) 'W
n
— = o"-"’
(ab)" = anb"
am
a° = 1
( nY
(ï)
= ïI â ê
a-n= —
an
(V > F 7 = V / r
■ \[a \[b = '<
ía b
\ !¡ÍÁ _ ß
! Vß
Vß
nn
=V
0'<[a ± byfÁ = (a±b)y/Á
= n'<ÍA
AP <J7 = s/zT77
Logaritmos
tog0N = X
Propiedades
logno = l
log0(/4fî) = log0A + log¡; B
l°Sa| g | = lOg0/i-lOg0fî
Crecimiento exponencial: P = PJ<'
A
log aN =
log JV
l°g 6 °
2A
o* =N
Aplicaciones
log01 = 0
log„(A ’) = nlogn/l
<=>
Interés compuesto: C = C I 1 +
100n
Desintegración radiactiva: m = m00,5l1 =m0e
pH de las disoluciones p H = - lo g [H ;0 ‘ ]
d>
EJERCICIOS R E S U E L T O S
Numeros reales
Demostración de una igualdad
característica
61.
N = 0,9
Operaciones con números
periódicos
0,9 + 0,09 + 0,009 = 1 + 0,1 + 0,01 = 1,11
Se calculan las fracciones generatrices de los números decimales que aparecen en el primer miem­
bro de la igualdad y se simplifica la expresión mediante cálculos.
Demuestra que:
2,03-1,75 _
2,03-1,75 _ 1
0,827
203-20
175-1
183
174
90
99
90
99 ^ 30
827-8
0,827
~
990
3
Demostración de que la suma de
dos irracionales puede ser entera
63.
=>/V = 1
Razonando de forma similar, se tiene:
0,9 + 0,09 + 0,009
62.
9N = 9
Restando:
Demuestra que 0,9 = 1 y
calcula el valor de:
ION = 9,9
Si A/= 0,9:
6 1_58
91
33 = 330 = 1
819
91
91
3
990
110
110
Se eleva al cuadrado:
( n/ó + 4 n/2 + V 6 -4 V 2 ) =(x/ó + 4V2) + ( x/ó - 4 n/2 ) +2(V6+ 4 n/2 )( n/ó —4V2 ) =
Demuestra que la expresión
= 6 + 4 7 2 + 6 - 4 7 2 + 2 (7 3 6 - 1 6 - 2 ) = 12 + 2736-32 =12 + 2-2 = 16
V 6 + 4 n/2 + \/6 —4 V 2 da como
resultado un número entero.
Calcula ese valor.
Demostración de propiedades
de números reales
La expresión es igual a 4, ya que su valor es positivo y su cuadrado vale 16.
Sean o y ó dos números reales positivos diferentes.
1
1 , 1 , 1
a b
(a +b)\ - + - \= a-- +a- —+ b-- + b-- = 2 + - + \a b J
a
b
a
b
b a
/
v
64.
Dados dos números reales
positivos diferentes,
Para calcular los dos últimos sumandos:
demuestra que el producto de
(o - bY > 0 => a ’ + b2- 2ab > 0 =¿>o? + b? > lab =>
7
su suma por la suma de sus
+^-~>2=$ — + -^->2=» y + ~ > 2
ab
ab ab
b a
inversos es mayor que 4.
Aunque se desconoce el valor de los dos últimos sumandos, sí se sabe que este es mayor que 2.
Luego:
,
v
Representación de números
reales
65.
Representa en la recta real el
número \/3 + 2
72 .
, J 1
{a
^3
1)
1
1
. 1
, 1
b)
a
b
a
b
_
o
b
b
a
_
_
.
+272 =7l+ 2 + 2-l-72 =V(i +72)' =1 + 72
Para representar \Í2 se aplica el teorema de Pitágoras: 72 =12+ 12.
Luego se añade el 1.
25
Potencias y radicales
Se factorizan los
Operaciones de potencias con
exponente entero
I
66.
Escribe como producto de dos
potencias cada expresión.
a)
V5020 -16“12
• =
210 ^20
,4-i-12
,3-45-10+48
23
^-5
ç; 3+12-20 _
(2-5*)2 .(2‘ )
1
b)
103-8"15-256
/ - j \6
\-1 5
103-8"15-256
a)
183-(-8) 7-6¿
=
V27i’ -144'2
V50^-16"12
23•36•2~21•2l>■
3/l
32)3-(23r 7-(2-3)A
36 -2"8-3'
(33; M 2 4- 3 T 2
-23-21+4+8
n6+4-6+4
= -2-6-3£
183-(-8)-7.6*
b)
144"
Operaciones con potencias de
Se obtienen las fracciones algebraicas de los números decimales que aparecen y se calculan las po­
exponente decimal
tencias de exponente fraccionario.
67.
Calcula el valor de:
a) 32a* + 271¿
247
32*° + 2 7 ~ = (32)1 + (27)f = (25)s +(33)f _ 22+ 35 _ 4 + 243 _ 247 _
~
247
“
247
1
1
“
247
“
247 “
247
“ 247 _1
32°* + 27lë
a)
1
247
16-1
__
__
b) 8a3 + 64a16 =8^+64 90 = 83+ 64^ = ^23 + ^26 =2 + 2 = 4
b) 80'3+ 64°'1¿
Operaciones con radicales
2-3\Í2
68.
Opera y simplifica las
a)
= V 2V 2 = \ / V F T = r f? = V8
\¡2+2\¡2
siguientes expresiones.
3\/5
5\/3
/—
3 V5 >/3
—T=r----- p +V15 = — — = ■
5V3 3V5
5 V3V3
5V Î 5
3 Æ
15
Demostración de igualdades sin
operar
lÎÆ
J
15
/—
■- ■-+ V15
=— Æ
15
a) Si se elevan al cuadrado los dos miembros de la igualdad, se obtiene que:
W l2 - 2 V ñ ) = 12-2Vñ
69.
5 V3 V5
3 V5 V5
y
( V ñ - l ) 2= l l + l - 2 V ñ = 1 2 - 2 V lI
Comprueba, sin resolver, las
Como los dos miembros de la igualdad inicial son positivos y sus cuadrados son iguales, se verifi­
igualdades:
ca la igualdad propuesta.
a) V 12-
2Æ
=Æ - 1
b) Si se elevan al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene el mismo resultado
b) V 6 - 2 V 5 = 1 - V s
por tanto, no se verifica la igualdad propuesta.
Simplificación de expresiones
radicales
tfcb
70.
Simplifica:
1
4b _
2
^ b ^ $0» ^ 2</q18¿ W
2V 7
”
1
= ^ g 18+16-* ó6+12+12 = 2V ¡ 3°Ó3° = ab2
^ ¥
26 Unidad 1
6-2\ÍS .
Sin embargo, los dos miembros no son iguales ya que el primero es positivo y el segundo negativo,
= abVró
2x/ 7
2¿ 12
EJERCICIO S RESUELTOS
Racionalización de
denominadores
2
l+\¡3 + \¡2
71.
2 [ ( l + V 3 ) - V 2]
_
Racionaliza: --- —— —
1+V3+V2
2 + 2 V 3 - 2 V 2 _ 2+ 2n/3-2 n/2
[(l-t- >/3 ) h- n/2 ][(l-H \/3)—72]
1+ 2V3+3 —2
2 + 2V3
_ 1+ n/3-V2 _ il + \Í3 - \¡2){l- síi) _ 2 + V2-Vó
1 + V3
(l
n/3 )(1
—n/3 )
2
Logaritmos
Cálculo de logaritmos a partir
de uno conocido y aplicando las
propiedades
a) log 0,0625 = log
625 = log— = log 2'* = -4log2 = -4-0.301 = -1,204
10000
16
5
b) log 5,625= l o g ^ ^ = l o g ^ = log45-log8 = log(3' -5)-log2' =
72. Tomando log 2 = 0,301 y que
10
log 3 = 0,477, calcula:
= 2log3 + log5-3log2 = 2-0,477 + lo g y - 3 - 0 ,3 0 1 =
a) log 0,0625
b) log 5,625
= 0,954 + log 10 - log 2 - 0,903 = 0,954 + 1 - 0,301 - 0,903 = 0,75
c) log2 45
log 45 _ log3‘ +log5 _ 2log3 + logl0-log2 _ 1,653 _
log 2
Demostración de que todo
número real positivo puede
expresarse empleando logaritmos
log2
log 2
‘ ) => log0x = log„A/•log„o = logaN =>x = N
Demuestra que a'os° N = N y
(
1 V°g?3 _ 1
12 J
( i Vogj3
calcula el valor de
0.301
Sea x = a' "'1,v. Tomando logaritmos en base o en los dos miembros:
lognx = log0(o
73.
^
-
_ i
logí3 3
" 2
Aplicaciones de los logaritmos
Estimación de poblaciones
Podría pensarse que es el mismo criterio, ya que las proporciones en tos periodos son las mismas.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que, en cada periodo de cálculo, se considera como cantidad
74.
La población inicial de
inicial las bacterias existentes más las aparecidas en el periodo anterior, lo que hace que los porcen­
bacterias de un cultivo es de
tajes se calculen sobre cantidades iniciales diferentes en cada caso.
4000. Para estimar la
Los patrones de crecimiento son diferentes. Para cada caso, serían:
población que habrá al cabo
de 120 días, se utilizan tres
I.
f =—
= 10; ¿t = l + —
=>P = 4000-1.2010 = 24 767 bacterias
II.
r=—
= 20: ^ = 1 + —
=>P = 4000-1.10'° = 26 910 bacterias
criterios:
I. Que cada 12 días aumenten
en un 20 % .
II. Que cada 6 días aumenten
en un 10 % .
III. Que cada 3 días aumenten
en un 5 % .
12
6
100
100
III. í = — = 40; k = l + — =>P = 4000-1,054° = 28160 bacterias
3
100
En resumen, no es el mismo criterio.
¿Crees que, en realidad, se tra­
ta del mismo criterio?
Cálculo del pH
75.
Si se tienen 1,25 •10 1moles
Se calculan los moles/litro: [hijo* ]=
1 25-10"3
’ ^ ^— = 2,5-10‘ 3 mol/L
de lH 30 +] en 500 mL de una
disolución de ácido
Se calcula el pH: pH = -log[H :0* ] = —log2,5-10“ =2,6
clorhídrico, ¿cuál es el pH de
la misma?
27
A C T IV ID A D E S
85.
Expresa mediante un intervalo los siguientes conjuntos de
números reales x y represéntalos en la recta real.
Números reales
76.
a)
Escribe dos números comprendidos entre:
, 19
20
a) — y —
23 y 23
M
b) y22
1
2
<y
b) |2x + 6 1< 1
c) |x I< ~
Aproximaciones y errores
y 7T
86.
77.
x—
Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.
En el caso de los racionales, indica su expresión mediante
Da la expresión aproximada que se pide en cada caso.
23
a) — por exceso con tres cifras decimales
una fracción irreducible.
b) 71 + 7125 por defecto con dos cifras decimales
a) 12,121 314 15...
d) 1,010 010 001...
b) 12,121 212...
e) 1,123 123 123...
c) 12,012 121 2...
f) 0,001 002 003 004...
c) 2tc — 1 redondeado a tres cifras decimales
87.
78. Clasifica estos números indicando a qué conjuntos numéri­
mación del número áureo 0 =
cos pertenecen.
a) 25,012 345 6 ...
c ) -4
e) 2
g) - 7 o ,0625
b) 25,425 252 5...
d) y
o Æ5
h)
—
5
9
Calcula el valor de las expresiones y expresa el resultado me­
81. Representa los siguientes números reales.
d) 76
Notación científica
89.
Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en
notación científica.
a) 108-4-106
e) 0,000 06:45 000 000
b) 0,000 25-0,0015
f) 0,0025-10"13:10~23
c) 235 000-0,000 25
g)
d) 15 000 000:45 000
h)
1,2 ■108-1,5 •107+ 6 •109
e) 77
■>7
82.
aproximaciones por defecto y por exceso del producto 3k \Í3 .
226
25,01
c) 75
Escribe las aproximaciones hasta las milésimas, por exceso y
Acota el error absoluto cometido en ambos casos.
diante números decimales periódicos.
, 2,23 + 2,232323...
,.
a) --- y y y ----b) 1 + 1,12 + 1,12 + 1,12
«-I
el número racional
por defecto, de los números 73 y 3tt . Posteriormente obtén
13
Ordena de menor a mayor estos números.
25,0111...
1+75
1,618.
88.
79.
Acota el error relativo que se comete al tomar como aproxi-
f) 78
Indica qué números reales representan los puntos A y B de la
figura.
0,000003
7 -10~2° + 5 •10~18
0 ,0 0 0 0 0 00 0 4
Potencias y radicales
90. Sim plifica las expresiones siguientes.
a)
33W5 722+ 5
h) \¡3\¡3J3
2(- 3 )- 5
2 _ | | V - a í ) '1
2--
b)
2 V 2
3 V Y 4 x"3
c)
Valor absoluto e intervalos
d)
83. Desarrolla las siguientes expresiones.
a) |2x-4| + x
c) |x —1| +|x +1|
b) |x|+|2x|
d) x+|x|+|x + 2|
84. Dados los conjuntos A = (-2, + °o ), fi = (- 2 ,0 ] y C = [0 ,4 )
calcula A u B k j C y A n B n C .
28
.. 7x77
2-V 3-3
27-15(-75)40
])^ r
k) 1 6 '+ 927"2
4535( —15)60
e) 7 3 + 2 7 2 7 - T Î2
l) 7 8 1 7 + 2 0 7 7
f) ^390 625 a5blé
m)
g) 7x 7x 7 7
71 7 f
91.
Opera y simplifica.
Toma logaritmos decimales en las siguientes igualdades y de­
sarrolla las expresiones.
a) (- 2 )° + (- 2 )1+ (- 2 )2+...+(- 2 )8
3
a) P = 10x yz3
d) x = ahbic~2
, , n 100x2
b) 0 = ----x +y
,
^7
e) y = ---
b) 7 7 8 0 - 1 ^ 7 0 7 - 7 7
c) 2 (2 - 3 V 2 )2+ (2 - 3 V 2 )(2 + 3 V 2 )
92.
b)
o
d)
ovo
3y
e)
27 y 2
c)
r,
{m +2n)n7
f) xy =
o r - J 2xY
V 3z3
Racionaliza los denominadores.
a)
ax
77
99.
g)
1+77
277
1-77-77
1+77
77+77+77
77+77
77+77+77
h)
77-77
x+2
óT ó
277+2
277+377
m-2n
Expresa el valor de E en cada caso sin que aparezcan logarit­
mos.
a) log £ = 2 —2log x + logy —5log¿
b) logF = 3log2-4logx + 3logy-2logz
c) logf = lo g (x - 2 y ) + log(x + y )
d) log/f = 3log(x + 1 0 )- log — -— + log—
Logaritmos
. Con la ayuda de la calculadora, obtén aproximaciones deci­
males hasta las milésimas de los siguientes logaritmos.
93. Aplicando la definición, calcula el valor de los siguientes logaritmos.
a) log2i
d) log l V27
3
g) log ? (2 77)
b) log,-^
e) log ^ (2 7 7 )
h) lo g ,777
c) log— -—
6 1000
f > '°SV3 ( i )
a) log3 20
d) log ^ 3
b) log, 7
-
e)
log2 77
O lognc 60
f)
log^77
2
0
0
0
0
r-H
O
O
Ö
DO
_o
Síntesis
101. a) Demuestra que la suma de un número real positivo más su
inverso es superior o igual a 2.
94.
Calcula, si es posible, el valor dex en cada una de las siguien­
b) ¿En qué caso es exactamente 2?
tes expresiones.
8
e) log,
b) log_3x = 9
f) log,2 = x
log3-81 = x
d) log¡ x=-2
c)
g)
h)
c) Sin utilizar la calculadora, demuestra que:
log2 3 + log3 2 > 2
77=0
a) logr = —3
102. Calcula el valor de x en cada una de las expresiones dadas a
log3x= - l
log,o'' =x
1Î
0
continuación.
a) log - x + log - x2= 9
a
b) log1 x-logL x4 •log±
95.
Considerando log2 = 0,301, log3 = 0,477
y lo g /<= 0,778,
calcula los siguientes logaritmos.
96.
27
x2= -1
81
10: . Clasifica los siguientes números reales.
a)
log50
d)
b)
log0,3
e)log2777
c) log, 3
9
-log28
log7177
o 75-|ob;1°
Tío
10
i-íl
c)
0 log 7,2
Tomando log3 2 = 0,631 y log3 5 = 1,465, calcula el valor del
b)
logaritmo en base 3 de 150.
Calcula, el valor de x en cada caso.
a) 2500 = 2000-1,05*
e) 3-10~5 = 2~50*
b) 20 = logx5 +15
f) ln— = -ln2
2e
c) 2-106 = x12
g) log, 5 + 1 = log, 2
d) 0,025 = 0,5e*
h) ln3e2x = 2
-2\
32+2
10
(i+77)
8
3+77
77-1
7
d) \ 2 J2 Jlo g
0,16
1 1 n-2
10'
Calcula el valor de:
a) log,
b)
1677
7177+777
-log (iog2VVv?
0 7( 2+77 r loS3d) J
log2 + log4 + log8
log2
29
105. Para o y ó positivos y diferentes de la unidad, demuestra
que log0b■
logfto = 1.
113. El nivel de intensidad del sonido puede ser expresado en
donde [3 es el
V' o,
número de decibelios del sonido, / es la intensidad del soni­
decibelios mediante la fórmula [3 = lOlog
do estudiado medido en vatios/m2 e I 0 indica la intensidad
Cuestiones
del sonido mínimo que puede ser oído por el ser humano
106. Indica, razonadamente, si las siguientes afirmaciones son
(1CT12 vatios/m2)
a) Calcula los decibelios (dB) de una conversación normal que
verdaderas o falsas.
a) La suma de dos números irracionales es siempre un número
presenta una intensidad de 10
vatios/m2.
b) ¿Cuántos decibelios corresponden al sonido mínimo que
irracional.
b) La suma de un número irracional con uno racional da como
puede oír el ser humano?
c) ¿Cuál es la intensidad en vatios/cnr del umbral de dolor en
resultado un número irracional.
c) La suma de dos números racionales puede ser irracional.
el oído humano sabiendo que se corresponde con 120 dB?
d) Un sonido es de 30 dB. ¿Cuántas veces es más intenso que
107. Con la ayuda de ejemplos estudia si siempre se verifican las
siguientes relaciones.
\a+ b\>\a\+\b\
un sonido de 20 dB? ¿Y si se compara un sonido de 40 dB
con uno de 30 dB?
|o-ó| <|o|-|ó|
114. La población de bacterias inicial de un cultivo es de 6000.
Se estima que dicha población aumenta en un 100 % cada 4
108. Encuentra el error en el siguiente razonamiento.
días. Calcula la población que habrá a los 12 días.
a) Si se cambia la estimación de crecimiento y se supone que
16>8=>2 >2 =>-t > - t => -
> -
=>
cada dos días aumenta en un 50 % , ¿cuál será la población
a los 12 días?
log, -
> lo g J -
=>3logJ -
> 4 lo g J -
y simplificando: 3 > 4
b) ¿Y si se supone que cada día aumenta en un 25 % ?
115. Javier pretende colocar césped artificial en un jardín cua­
drado, sabiendo que su lado tiene una longitud, en metros,
109. Representa en la recta real el conjunto de valores reales x
tales que
1
2x--
<1 y determínala mediante un intervalo.
comprendida entre 15 y 16.
El coste de cada metro cuadrado de dicho césped asciende a
30 €
y
10 cent ,
y
el presupuesto con el que cuenta es de
7000 € .
Calcula los costes máximo y mínimo, y decide si habrá pre­
Problemas
supuesto para la obra.
116. El área de un cuadrado es de 10,5 cm2. Calcula las áreas de
110. Al realizar una encuesta en una localidad sobre el número
de ordenadores por vivienda, se observó que exactam en­
sus círculos inscrito y circunscrito, redondeando los resulta­
dos con dos cifras decimales.
te el número de encuestados que contestaron que había
más de un ordenador en su casa era el 40,454 545...% del
117. Se han obtenido experimentalmente las siguientes fórmu­
total.
las, que expresan el porcentaje P de altura de los niños de 6
¿Cuántas personas formaban parte de la muestra si se sabe
a 15 años de edad, en relación con la altura media de un
que eran menos de 300?
adulto:
Para niñas, P = 3 1 ,l In (e d a d )+ 16,3
111. Juan ha comprado 2,320 kg de patatas a 0,65 €/kg, 4,035 kg
de naranjas a 2,15 €/kg, y 1,475 kg de manzanas, a
3,25 €/kg. Al hacer la cuenta, se debe redondear a los cén­
timos de euro.
a) ¿A cuánto ascenderá dicha cuenta si primero se suman los
precios y después se redondea el precio total?
b) ¿Y si se hace a la inversa; es decir, se redondea cada precio
parcial y después se suman los redondeos?
c) ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio total al reali­
zar la cuenta de la segunda forma con respecto a la primera
Para niños, P - 18,6 In(edad) + 37
a) Calcula el porcentaje de altura de los niños de 6, 10 y 15
años de edad.
b) ¿Qué edad aproximada se puede esperar que, según este
modelo, tenga una niña con 75 % de altura media de la
edad adulta? ¿Y un niño?
c) Si este modelo fuera válido para los varones de 6 a 18
años, ¿qué edad tendrían al alcanzar la altura máxima del
100 % ? Analiza el resultado.
manera?
112. La máxima distancia de la Tierra a la Luna es de 4,07 108 m
y el radio de la Luna mide 1737,5 km. Calcula la distancia de
la Tierra a la Luna tomando como unidad el diámetro de la
Luna.
118. Demuestra que el número áureo 0 =
guientes propiedades.
a) O = 0 + 1
b) 0 - 1 = —
O
I + n/5
2
verifica las si-
c) O =
0+ 1
0-1
€ 5 ZnEC2H
119. La escala cromática del piano está formada por las doce no­
12 ' . En la tabla aparecen las medidas de una niña y de una torre.
tas (doce semitonos) que aparecen en la figura.
Altura
Real
Obtenida con instrumento de medida
92 cm
90 cm
38 m
37 m
Indica cuál de las dos medidas ha sido más precisa y justifi­
ca tu respuesta.
125 . Se llama unidad astronómica (UA) a la distancia media que
separa la Tierra del Sol y que equivale a 1,49598 •108 km.
*
i-*
a) Sabiendo que el 1 de enero la distancia entre la Tierra y el Sol
i
es de 1,471 •108 km, exprésala en unidades astronómicas.
El número de vibraciones por segundo de cada nota es igual
b) Sabiendo que la distancia media entre Júpiter y el Sol es de
al producto del número de vibraciones de la nota anterior
por el número irracional
5,2 UA, exprésala en kilómetros.
'\¡2 .
a) Encuentra una expresión que determine el número de v i­
braciones por segundo según el lugar que ocupe en la es­
cala (por ejemplo el Do ocupa el lugar 0 y el Si bemol el
lugar 10 y el Si el 11) y suponiendo que el número de v i­
braciones por segundo que corresponden a la nota Do es n.
b) Escribe las vibraciones por segundo correspondientes a
cada nota, sabiendo que las correspondientes a La son 440.
120. En una disolución de 5 L de HCIO, hemos encontrado 0,2
moles de iones hidronio.
a) Calcula cuál es el pH de la disolución anterior.
b) Si queremos que el pH de la disolución anterior quede mul­
tiplicado por 2, ¿cuántos litros de disolución necesitaría­
mos?
121. Un automóvil que costó 14425 € se deprecia un 15 % anual.
Demuestra que si a, b y c son números positivos y diferen®
tes, entonces se verifica la siguiente desigualdad.
a) ¿Cuánto valdrá a los 6 años?
b) ¿Cuántos años deben pasar para que su valor sea inferior a
3600 € ?
127 . Calcula de forma exacta el número irracional que representa
122. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50 % .
®
la relación entre la diagonal de un pentágono regular y su
lado. Comprueba que se trata del número áureo.
Si en el momento inicial había 100 conejos:
a) ¿Cuántos habrá al cabo de 10 años?
A
b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de
30 000?
c) Si debido a una enfermedad, la tasa de crecimiento cayera al
10 % , ¿cuánto tiempo tardaría la población inicial en triplicarse?
123. Debido a una fuerte crisis económica, el valor de una vivien­
da, cuando han pasado t años desde su adquisición, es
V=ké". La vivienda se compró por 350000 € , y a los 5 años
valía 225000 € .
a) Calcula el valor áe ky o..
Para ello, sigue los siguientes pasos:
b) Calcula el valor de la vivienda a los 20 años si se sigue la
misma depreciación.
a) Demuestra que los triángulos DFC y DBG son semejantes cal­
culando sus ángulos.
c) ¿Cuánto tiempo debe pasar desde la compra para que el va­
b) Demuestra que el triángulo BFC es isósceles.
lor de la vivienda se haya reducido a la tercera parte?
d) Un trabajador que gana el salario medio puede comprar una
c) Aplicando el teorema de Tales, halla la relación entre los la­
vivienda de 90 metros cuadrados. Si el salario medio aumenta
dos que corresponden a la diagonal y el lado del pentágono.
un 3 % cada año, al cabo de 10 años, ¿cuál será la superficie
de la vivienda que podría comprar el mismo trabajador? (Su­
pon que el resto de sus condiciones de vida no han variado).
128 . Racionaliza el denominador de la expresión: — ?—
•
2-\¡2
31
ENTORNO MATEMÁTICO
,
» Una piscina con estética
Mario y Priscila son una pareja muy moderna, con un buen nivel económico, una buena vida social y una familia envidiable; pero
últimamente se encuentran algo aburridos. Deciden gastarse la herencia de la tía Edurne en la construcción de una piscina en la
azotea de su ático del centro de la ciudad. Pero, ¡claro!, no puede ser una piscina cualquiera.
Priscila se acuerda de haber leído que las proporciones para que un rectángulo sea lo más
estético posible son aquellas que si al rectángulo total le quitas un cuadrado de lado la
dimensión menor, el rectángulo pequeño que queda es proporcional a dicho rectángulo
inicial. Esta propiedad, si mal no recuerda, la cumplen objetos tan cotidianos como el DNI
o las innumerables tarjetas del banco con las que cuentan.
Mario no se lo cree mucho y mide su carnet de identidad. Resulta tener
8,6 cm de largo por
5,4 cm de ancho. Haz tú las cuentas que creas convenientes para comprobar si efectiva­
mente Mario tiene o no razón.
La piscina que quieren construir debe tener estas estéticas proporciones y su
//
dimensión mayor debe ser de 2 + 2 V¡5 m. Además, quieren poner una franja de
ESPAÑA
1,5 m de césped artificial alrededor de todo el perímetro.
-..DOCUMENTO-NACIONAL DE IDENTIDAD
NW >11:10:
ALVAREZ
HUMOVEUSC
PEDROSO
MARI O J O S E
me
i>: c»>. :>:
M
ESP
nouHuo«tv:
2 9 10 1 9 7 7
a) Calcula la dimensión menor de la piscina.
b) Calcula el área de césped que quieren poner.
A AC 1 10265
111)90»ISTI
25 01 2 0 1 2
c) Calcula el tiempo que tardarán en llenar la piscina si la altura en todos sus pun­
tos es de \¡5 metros y el grifo surte 30 L cada minuto.
DNI NÚM.
71263371Z
» Pinturas prehistóricas
La conservación en buenas condiciones de las pinturas prehistóricas de las
cuevas exige, entre otros aspectos, el control de la temperatura en el interior
de la gruta.
Para que dicha temperatura se mantenga entre unos límites aceptables, un
equipo de ingenieros ha ideado un sistema de compuertas en el pasadizo que
da la entrada a la cueva. La longitud total de dicho pasadizo se dividirá en
compartimentos de 30 m de largo separados por puertas de cierre hermético
de forma que la temperatura de cada compartimento será un 5 % más baja que
la temperatura del compartimento inmediatamente anterior.
a) Calcula la temperatura del cuarto compartimento sabiendo que
en el primero hay 25 °C.
b) Calcula la temperatura en el octavo compartimento si en el quinto
hay 21 °C. En este caso, ¿cuál será la temperatura del primer com­
partimento?
c) Diseña una hoja de cálculo en la que se obtengan las temperatu­
ras de los compartimentos en relación con la temperatura inicial.
d) ¿Cuántos compartimentos se han debido construir para que la
temperatura del último baje por primera vez a la cuarta parte de
la temperatura del compartimento inicial? En este caso, ¿cuál es
la longitud total del pasadizo de entrada?
32 Unidad 1
AUTOEVALUACIÓN
Comprueba que has aprendido
1. Calcula el valor y simplifica.
a)
6.
b)
1, 222...
2+
7.
1
3+
4+ 5
2.
Halla los errores absoluto y relativo que se cometen al utili­
zar 2,5 como aproximación de 2,5 .
2,4555... + 2,555...
Sim p lifica las siguientes expresiones.
a)
10~2il -5"12-8'
25'
b)
Vs + J2Ó
, \¡68 y %/l2 en la recta real.
Representa los números
8.
Racionaliza los denominadores y simplifica todo lo que pue­
das las expresiones resultantes.
3.
Desarrolla la expresión:
2V3-1
a) — j= ~
V54
1
N
b)
1
%/54
c)
V54
2 V 3 -1
2x---- 3 x + -
2
2
4.
9.
jx eK/|x + 2| < l } u { x eR/|x-5| < l[
5.
Calcula el valor de x en:
Expresa mediante unión de intervalos el conjunto:
3) l0§^ ^ = X
La masa de la Tierra es aproximadamente 6 •10‘ 4kg, la de un
10.
log,i
4
c) log!
¿4 - 2 '
3
Sabiendo que log 2 = 0, calcula, en función de o el valor de
1log---50 .
átomo de oxígeno, aproximadamente 2,65 •10 Mg y la de Jor­
0,08
ge, 75 kg. Calcula las relaciones entre las masas de la Tierra
y de Jorge, y entre las masas de Jorge y del átomo de oxígeno.
b)
11.
¿Cuál es mayor?
Calcula el tiempo necesario para que un capital colocado al
5 % de interés anual compuesto aumente en un 50 % .
s m S a v ia d ig ita l.c o m valora lo aprendido
>Comprueba tus respuestas.
Relaciona y contesta
»Elige la única respuesta correcta en cada caso
1. Si o y ó son números reales estrictamente positivos y diferen­
tes de la unidad, la expresión -—
6.
vale:
1 + log 0b
A.
B. log0+b(ab)
lo g ^ j
C. logab{ab)
»Elige la relación correcta entre las dos
afirmaciones dadas
Sean los subconjuntos M = [ - 2 , 3 ) u [ 6 , 8 ) , N = [ l, 5 ] u ( 7 ,9 )
y P = [l, 3 ) u ( 7 , 10].
D. 1
Se consideran las afirmaciones:
1. El número real x pertenece al conjunto ( M u W ) n ( M u P ) .
2. Sean o y ó dos números reales no nulos y tales que o = b j 3 . El
valor de
a-b
f
1 3b-a J
2. El número realx pertenece al conjunto [-2, 3 ) u ( 6 , 9 ).
es:
B. V3
A. 3
A. 1 <=>2
C. o + óV3
D. 3-\¡3
B. 1 => 2 pero 2 =£>1
C. 1 y 2 son excluyentes entre sí.
82^ °. ,125’ = x , entonces
B. 2
A. -1
Si l°
D. Nada de lo anterior
el valor de xn es:
C .- 3
D. x"
»Señala, en cada caso, las respuestas correctas
4. Las siguientes igualdades son ciertas para cualesquiera valo­
»Señala el dato innecesario para contestar
7. Se desea saber el rédito al que hay que colocar una capital a
interés compuesto para que se doble. Para ello se dan los
datos:
res reales estrictamente positivos:
1. El capital invertido asciende a 1200 € .
A. a(b‘] = (ab)c
C. (ab)c =(ac)"
2. El tiempo que va a durar la inversión es de doce años.
B. a* =(abY
D. o(í,t)= oc
3. La capitalización será mensual.
A. Puede eliminarse el dato 1.
5. El número J ^ + V 2 + J | - V 2
pertenece al conjunto:
B. Puede eliminarse el dato 2.
C. Puede eliminarse el dato 3.
A.
N
B. Z
C. Q
D. R
D. No puede eliminarse ningún dato.
33