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UT2
2A
ELEMENTOS CURVOS
Ecuacion de Wilson-Quereau
Unidad temá
temática 2
Elementos Curvos a Flexió
Flexión
•Forma aproximada. Ecuació
Ecuación de Wilson
3A. Parte
1
2.3 Forma aproximada. Ecuación de Wilson
En la figura 2. La sección cd gira con respecto a la sección ab.
Desplazándose hacia c’d’ .
c’
Sαε
δ
S= Eε
Ley de Hooke
δe = δf
d’
δ =
Figura 2 Porció
Porción de viga curva
SL
E
SeLe SfLf
=
E
E
2
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Donde; S Esfuerzo normal (MPa),
e Deformació
Deformación unitaria (mm/mm
(mm/mm))
E Modulo elá
elástico (GPa
(GPa))
Si;
SeLe SfLf
=
E
E
Si la longitud Le >Lf
como es el esfuerzo en la fibra e?
Se =
( Sf ) Lf
Le
Se < Sf
Sf > Se
3
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Ecuacion de Wilson-Quereau
La distribución del esfuerzo es no-lineal y la línea
neutra tendería a desplazarse hacia el centro de curvatura
desde el c.g.
Exterior
c.g.
c.g.
E.N. desplazado
Se
Figura 3
Distribució
Distribución de
esfuerzos a flexió
flexión
Sf
Interior
4
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2.3 Forma aproximada. Ecuación de Wilson
Fue presentada por Wilson y Quereau, esta basada en la
formula de flexión multiplicada por un factor de corrección por
curvatura K de acuerdo a la fibra que se estudie si es la exterior o la
interior con respecto al eje neutro, que coincide con el cg. de la
superficie.
S=K
Mc
I
(2.11)
Los valores de K dependen de la relación de R/c
Donde R es el radio de curvatura desde su centro al cg. de la
superficie y C es la distancia hacia la fibra interior desde el centro
de gravedad cg.
5
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Tabla 2.1 Factores de corrección K por curvatura
Circulo o elipse
Rectángulo
Otras secciones
(valores medios)
R/c
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
3.0
4.0
6.0
8.0
10.0
20.0
Interior
3.41
2.40
1.96
1.75
1.62
1.33
1.23
1.14
1.10
1.08
1.03
Exterior
0.54
0.60
0.65
0.68
0.71
0.79
0.84
0.89
0.91
0.93
0.97
Interior
1.89
2.13
1.79
1.63
1.52
1.30
1.20
1.12
1.09
1.07
1.04
Exterior
0.57
0.63
0.67
0.70
0.73
0.81
0.85
0.90
0.92
0.94
0.96
Interior
Exterior
Si la sección es
asimétrica R/c se
refiere a la fibra
interior
1.63
0.74
1.36
0.81
1.25
0.86
1.16
0.90
1.12
0.93
1.10
0.94
1.05
0.95
En la tabla 2.1 se muestra los factores de corrección K para
algunas superficies. Para valores de R/c mayores de 20
6
considere la K = 1.
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Ecuacion de Wilson-Quereau
Ejemplo 1: el anillo circular mostrado en la figura 2.1 tiene una
sección rectangular de 100 mm de ancho por 50 mm de espesor.
Determinar los esfuerzos en AB y CD aplicando:
a) la forma aproximada
b) la forma exacta
Confrontar los valores
obtenidos en A y B
mediante la aplicación
de las ecuaciones
exacta y aproximada.
7
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1. Diagrama de cuerpo libre. Análisis de equilibrio de
fuerzas.
Por equilibrio analizando la
parte inferior:
A
B
Pr
Mr
A
B
P
M
P
L= 50+100=150 mm
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66
135
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2. Efectos de la carga sobre la secció
sección transversal
Por
equilibrio :
Pa
Pr
Mr
B
A
B
M
E. N.
Mf
A
P
M f = 150(50)=7500 KNKN-mm
L= 50+100=150 mm
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P a = - 50KN
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3. Aplicación del método aproximado de Wilson
Obteniendo los valores Ki y Ke
Con el radio de curvatura:
R = 100 + 50 = 150 mm.
mm.
R/c = 150/50 = 3 de la tabla 2.1
Ki = 1.30
c
Ke = 0.81.
0.81.
y
B
A
c.c.
c.c.
R
2.12.1- El momento flector y la fuerza axial en la secció
sección AB con
respecto a su cg. es:
M f = 150(50)=7500 KNKN-mm
P a = - 50KN
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4. Calculo de los esfuerzos en la sección A-B
a) Forma aproximada, ecuació
ecuación de flexió
flexión de Wilson y Quereau:
SA = Ki
Mc 1.30(7500 x10 3 )50
=
= 117 MPa
I
4.166(10 6 )
SA = 117MPa(COMPRESION) f .Interior
SB = Ke
Mc 0.81(7500 x10 3 )50
=
= 72.9MPa
I
4.166 x10 6
SB = 72.9MPa (TENSION ) F .Exterior
138
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5.Calculando el Esfuerzo axial en los punto A y B en la
secció
sección transversal
SA = SB = −
Pa − (50)(103 )
=
= −10 MPa
A
5000
6. Calculando el Esfuerzo resultante en los punto A y B
en la secció
sección transversal:
SA = −
Pa
MC
− Ki
= −10 −117 = −127MPa
A
I
SB = −
Pa
MC
+ Ke
= −10 + 72.9 = +62.9MPa
A
I
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7 Distribución de los esfuerzos resultantes
Figura 2.2 Distribución de esfuerzos en sección AB.
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8. Aplicación de la Ecuación de Winkler
Figura 2.1 Anillo circular
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Figura 2.3 Ubicación del eje
centroidal y el eje neutro 141
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Aplicando la ecuació
ecuación Winkler (2.6) para calcular
el desplazamiento e:








 bh


v2 
A
e = R −
= R −

v2
 = R −  h / loge 
dA
v1 
bdv


∫ v  
 ∫ v

v1


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Sustituyendo los valores numé
numéricos
e =150−
100
100
= 150−
= 150−144.3 = 5.7mm
loge (200/100)
0.6931
e = 5.7 mm
143
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8.1 Calculo de los esfuerzos de flexió
flexión en A y B con
ecuació
ecuación de Winkler:
M y

σ
=
•

Ae v 
7500
(0.050 − 0.0057)
•
(0.050 × 0.100)(0.0057)
0.100
= 117 MPa, compresion
7500
(0.050 + 0.0057)
•
σB =
(0.050 × 0.100)(0.0057)
0.200
= 73.3MPa, tension
σA =
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71
144
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8.2. Calculando el Esfuerzo axial en los punto A y B en
la secció
sección transversal
SA = SB = −
Pa − (50)(103 )
=
= −10MPa
A
5000
8.3 Calculando el Esfuerzo resultante en los punto A y B
en la secció
sección transversal:
SA = −
Pa My
−
= −10 − 117 = −127 MPa
A Aev
SB = −
Pa My
+
= −10 + 73.3 = +63.3MPa
A Aev
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Resultados por la teoría de Winkler:
σ B = +63.3MPa
σ A = −127 MPa
Por la teoría de Wilson:
σ A = −127 MPa
σ B = +62.9 MPa
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9. Calculo de los esfuerzos de flexió
flexión en C y D
Esta sección esta a 30 grados de la sección A -B
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10. Aná
Análisis de fuerzas Por equilibrio :
La sección C-D esta a 30 grados de la sección A -B
Pr = P = 50KN
Z
PZ
Py = Pr sen30o
Pr
30o
Mr
PY
Y
D
= (50)(0.5)=25 KN
30o
Pz= Pr cos30o
C
L
=(50)(0.866)=43.3KN
X
L= 50+100=150 mm
M
Mr = M = PzL
P
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(43.3)(150)=6495 KNKN-mm
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11. Identificació
Identificación de los efectos de fuerzas en la secció
sección CD
Z
Py = V =25 KN
PZ
Fuerza cortante
30o
Pz= Fa= 43.3KN
Mr
30o
Y
Fuerza Axial
C
PY
D
Mr = Mf =6495 KNKN-mm
X
Momento Flector
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12. Calculo de esfuerzos en la secció
sección CC-D:
V =25 KN
Esfuerzo cortante
τ=
Fa= 43.3KN
Esfuerzo Axial
(Compresió
(Compresión)
V
(25)103 N
N
=
=5
A (100)50mm 2
mm 2
σ=
Z
Fa
Fa (−43.3)103 N
N
=
= (−)8.66
A (100)50mm 2
mm 2
30o
Mf
Y
V
D
30o
Mf =6495 KNKN-mm
C.C.
Esfuerzo de Flexió
Flexión
C
σ=
X
Mc (6495)103 (50)
N
=
= ±77.94
1
I
mm 2
50(100)3
150
12
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13. Distribució
Distribución de esfuerzos en la secció
sección CC-D:
Z
Esfuerzo cortante
PZ
Mr
PY
Y
C
D
30o
Esfuerzo Axial
30o
C
D
C
D
X
Esfuerzo de Flexió
Flexión
D
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C
151
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14. Calculo de esfuerzos resultantes en la secció
sección CC-D:
Considere la concentración de esfuerzos por curvatura
K en la fibra exterior D e interior C.
Ki = 1.30
y
Ke = 0.81.
0.81.
Fa
Mc 

σ = − A ± K I 
σ D = ( −)
σ C = ( −)
Fa
Mc
N
+ (+ ) K e
= −8.66 + (0.81)(77.94) = ( + ) 54.47
A
I
mm 2
Fa
Mc
N
+ (+) K e
= −8.66 + (−)(1.3)(77.94) = (−) 109.98
A
I
mm 2 152
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15 Distribución de los esfuerzos resultantes
Figura 2.4 Distribución de esfuerzos en sección CD.
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