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UT2 ELEMENTOS CURVOS
3A Ecuacion de Winkler
Unidad temá
temática 2
Elementos Curvos a Flexió
Flexión
Forma exacta. Ecuació
Ecuación de Winkler
2A. Parte
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2.2 Deducció
Deducción de la relació
relación cargacarga-esfuerzo de flexió
flexión
2.2.1 Forma exacta. Ecuación de Winkler
se considera como hipótesis:
que la viga curva sometida a flexión pura, sus secciones
planas permanecen planas después de la flexión.
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En la figura 2. La sección cd gira con respecto a la sección ab.
Desplazándose hacia c’d’ .
Sαe
c’
Ley de Hooke
S=Ee
δe = δf
d’
δ=
SL
E
SeLe SfLf
=
E
E
Figura 2 Porció
Porción de viga curva
Donde; S Esfuerzo normal (MPa),
e Deformació
Deformación unitaria (mm/mm
(mm/mm))
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E Modulo elá
elástico (GPa
(GPa))
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Figura 2. Porción de Viga curva
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Si;
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Villarreal
SeLe SfLf
=
E
E
Si la longitud Le >Lf
como es el esfuerzo en la fibra e?
Se =
( Sf ) L f
Le
Se < Sf
Sf . > Se
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Por lo que la distribución del esfuerzo es no-lineal y la
línea neutra tendería a desplazarse hacia el centro de
curvatura desde el c.g. como se muestra en la figura 3.
Exterior
c.g.
Figura 3
Distribució
Distribución de
esfuerzos a flexió
flexión
E.N. desplazado
Se
Sf
Interior
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a)
Determinación de la relación carga -esfuerzo
ecuación de Winkler
Considerando dos secciones adyacentes ab y cd en la
figura 4 siendo;
dθ Angulo formado antes de la flexión
ydφ Rotación de cd, desplazamiento o deformación
angular de la fibra g.
e Desplazamiento del eje neutro con respecto al
centro de gravedad
R Radio de curvatura con respecto al centro de
curvatura.
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a)
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Determinación de la relación carga -esfuerzo
ecuación de Winkler
ydφ
L
g
Figura 3 segmento de elemento curvo
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Analizando el alargamiento de la fibra g y su longitud inicial
L=
=(R(R-e + y) dθ la deformación unitaria será:
ε=
δ
L
=
ydφ
( R − e + y ) dθ
(2.1)
Aplicando la ley de Hooke, el esfuerzo realizado por la fibra resulta:
S = Eε =
y
Edφ
dθ R − e + y
(2.2)
Considerando la condición de equilibrio en la dirección normal
resulta:
∑
Fn = 0
Edφ
ydA
∫ SdA = dθ ∫ R − e + y = 0
(2.3)
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Simplificando la ecuación queda:
Edφ
ydA
ydA
=0
∫ SdA = dθ ∫ R − e + y = 0 ∫
R−e+ y
(2.4)
Donde e es la única incógnita a resolver, por lo que se hará un
cambio de variable, siendo v la distancia desde el elemento dA al
centro de curvatura O, por lo que y = v-(R-e), rescribiendo la
ecuación anterior resulta:
ydA
∫ R−e + y =∫
v − (R − e)
dA
dA= ∫ dA− (R − e)∫ = 0
v
v
Y despejando e:
e = R −
∫
(2.5)
A
dA
v
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(2.6)
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Considerando la condició
condición de equilibrio suma de momento se tiene:
∑
M = 0
M - Mr = 0
M = Mr
Sustituyendo SdA de la ecuació
ecuación 2.3 se tiene:
M = ∫ ySdA =
Edφ
y 2 dA
∫
dθ R − e + y
(Ec. 2.7)
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Si; y =(R(R-e + y) - (R(R-e) y sustituyéndola en uno de los dos
factores y del numerador la ecuación resulta:
y2dA
ydA
∫ R −e + y = ∫ ydA−(R − e)∫ R −e + y
(2.8)
De la ecuación anterior la primera integral del segundo
miembro de la ecuación, representa el momento está
estático de la
secció
sección A con respecto a la línea neutra, o sea Ae, y la segunda
integral es nula [ver ecuación (2.4)], por lo que la ecuación 2.7
queda:
Edφ M
=
dθ
Ae
(2.9)
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Al sustituir esta ecuación en la (2.2) del esfuerzo resulta:
S = Eε = (
y
y
Edφ
M
M y
)
=
=
dθ R − e + y Ae R − e + y Ae v
Quedando la ecuación Winkler del esfuerzo normal en la
fibra:
S=
M y
Ae v
(2.10)
Conclusió
Conclusión; se puede obtener de la ec.
ec. 2.6 y 2.10 la
distancia de separació
separación e entre el cg.
cg. y la línea neutra,
neutra, y el
esfuerzo a flexió
flexión, en vigas curvas.
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