1. No category

UT1 DEFORMACION EN VIGAS
1A VIGAS CONTINUAS
Unidad Tematica 1
Vigas Continuas
Vigas Continuas
Competencias especificas
Resolver las reacciones y deformación en las
vigas continuas a través del método de la
ecuación de los tres momentos de continuidad
y aplicarlo en casos prácticos.
Parte 11
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
1.7 Vigas continuas.
RAx
Carga X
B
A
RAy
C
RBx
RBy
RAx
B
A
RAy
RBx
RBy
RC
a)
MC. Daniel Ramirez Villarreal
2
Los métodos de solución para estas vigas son:
Definición: Son aquellas que presentan tres o mas
apoyos y por lo tanto tres o mas reacciones incógnitas
las cuales no se resuelven por medio de las ecuaciones
de equilibrio directamente sino que se requiere otro
método de solución.
MA
Ingenieria de los Materiales
C
Rc
a) Ecuación de los tres momentos de continuidad
b) distribución de momentos (método de Cross)
El primer método relaciona los momentos flectores
en tres secciones o puntos sobre la longitud de la viga
dando lugar a la ecuación de los tres momentos de
continuidad
M1L1+ 2M2(L1+L2)+ M3L2+ 6Aa /L 1+ 6Ab/L2=6EI(h1/L1+ h3/L2) (1)
b)
Figura 1 Tipos de vigas continuas, a) empotrada y articulada.
b) simplemente apoyada
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
3
En el segundo método se tiene que suponer que en
cada claro se tiene empotrado sus extremos y se determinan
los momentos de empotramiento perfecto.
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
4
1.8 Calculo de las reacciones.
Obtención de la ecuación de los tres momentos para el
cálculo de reacciones de la viga mostrada
mostrada..
M1L1 + 2M2 (L1 + L2) + M3L2 + 6Aa /L 1 + 6Ab/L 2 = 6EI(h1/L1 + h3/L2)
1.- Considerar tres puntos que estarán sobre tres apoyo
Tarea VC
VC11-T: Investigar
Investigar la deducción de la ecuación de
los tres momentos para que lo explique en clase y el
método de Kross
Kross.. (Libro de Singer cap
cap.. 8)
consecutivos:
1
R1
Calculo de las reacciones.
CASO1
P(N)
W (N/m)
2
R2
a
b
3
R3
L1
L2
1er Tramo 2do Tramo
2. Resolver:
M1=0
M2 =?
M3=0
L1 =
L2=
Figura 2
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de Materiales. FIME-UANL
5
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
6
1
UT1 DEFORMACION EN VIGAS
1A VIGAS CONTINUAS
3. De la tabla 1 de casos de carga se busca la ecuación para el tipo
de carga y el término 6Aa / L 1 y 6Ab / L 2 para cada tramo en la
viga, aplicándolo al ejemplo resulta:
TABLA 1 Términos: 6Aa/L y 6Ab/L
W(N/m)
Para el
6Aa / L 1 = WL13 /4
Primer tramo
L1
Para el
a
P(N)
b
segundo tramo
6Ab / L 2=P b /L2 (L22 - b2 )
L2
Figura 3
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
7
Ingenieria de los Materiales
8
MC. Daniel Ramirez Villarreal
4. Para resolver la h1 y h3 se traza una línea horizontal
que pase por el punto 2, como se muestra en la figura 4.
luego, se busca la distancia de separación en el punto 1
entre la curva elástica y la línea horizontal
horizontal, siendo en
este caso igual a cero lo mismo se hace para el punto 3.
W (N/m)
1
P(N)
2
3
h1=0
Línea
horizontal
h3=0
L2
L1
1er
Tramo
2do
Tramo
Pag6-2AC1
Pag5-3AC2
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Figura 4
9
5. Sustituyendo el valor de h1 y h3 en el término de la
derecha de la ecuación de los tres momentos queda:
1.9
MC. Daniel Ramirez Villarreal
10
Calculo de deformaciones.
En este caso se aplicara la ecuación completa de los
tres momentos de continuidad descrita a continuación.
6EI(h1/L1 + h3/L2) =6EI(0/L1 + 0/L2 )=0
Una vez obtenido el valor de cada término de la
ecuación, se sustituyen quedando como sigue:
6.
M1L1 + 2M2 (L1 + L2) + M3L2 + 6Aa /L 1 + 6Ab/L 2 = 0
Ingenieria de los Materiales
(2)
M1L1 + 2M2 (L1 + L2) + M3L2 + 6Aa /L 1 + 6Ab/L
6EI(h1/L1 + h3/L2)
=
Deducción de la ecuación de la deformación para la
viga mostrada:
W (N/m)
Esta ecuación 2 se aplicara para el cálculo de las
reacciones en una viga continua, como se vera mas
adelante en los ejercicios resueltos.
2
P(N)
y
Figura 5
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de Materiales. FIME-UANL
11
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
12
2
UT1 DEFORMACION EN VIGAS
1A VIGAS CONTINUAS
1. Considerar tres puntos consecutivos siendo uno de ellos
el punto donde se quiere resolver la deformación.
2. Resolviendo cada uno de los términos del lado izquierdo de la
ecuación de los tres momentos resulta:
M1=0
M3= valor M
L1 =
L2=
3. Con tabla 1 de casos de carga se busca la ecuación para el tipo
de carga y el término 6Aa / L 1 o 6Ab / L 2
para cada tramo
en la viga, aplicándolo al ejemplo resulta:
P(N)
W (N/m)
h1=y
M2 =?
h3=y
y 2
1
Línea
horizontal
3
Primer tramo:
w (N/m)
6Aa / L1 = w L13 /4
L1
L1 L2
1er
2do
Tramo Tramo
Segundo tramo:
Figura 6
Ingenieria de los Materiales
13
4. Para resolver la h1 y h3 se traza una línea horizontal
que pase por el punto 2, como se muestra en la figura 7.
Luego, se busca la distancia vertical entre el punto 1 en la
curva elástica y la línea horizontal,
horizontal siendo en este caso
igual a la deformación y, lo mismo se hace para el
punto 3.
W (N/m)
1
y 2
6Ab / L 2 = wL23 /4
L2
MC. Daniel Ramirez Villarreal
h1=y
w(N/m)
P(N)
h3=y
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
14
5. Sustituyendo el valor de h1 y h3 en el término de la
derecha de la ecuación de los tres momentos queda:
6EI(h1/L1 + h3/L2) = 6EI(yy/L1 + y/L2)
Una vez obtenido el valor de cada término de la
ecuación, se sustituyen quedando como sigue:
M1L1 + 2M2(L1+ L2) + M3L2 + 6Aa /L 1 + 6Ab/L 2 = 6EI(yy/L1 + y/L2)
Línea
horizontal
3
L1 L2
1er
2do
Tramo Tramo
Figura 7
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
6. Despejando la deformación incógnita
ecuación queda;
M1 + 2M 2 (L1 + L 2 ) + M 3 L2 + 6Aa/L1 + 6Ab/L 2
6(1/L1 + 1/L 2 )
EIy
15
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
16
la
= EIy
7. Sustituyendo todos los valores conocidos en esta
ecuación se obtiene la deformación en el punto
planteado en el problema.
2A-PARTE
Ingenieria de los Materiales
MC. Daniel Ramirez Villarreal
MC. Daniel Ramirez Villarreal
Ingenieria de Materiales. FIME-UANL
17
3