1. Healthcare

 EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS I 1. Halla el conjugado, el opuesto y el módulo de cada uno de los siguientes números complejos: a. 3 + 𝑖 c. −5 b. −2 + 2𝑖 d. − 3𝑖 2. Dados los números complejos 𝑧 = 5 + 7𝑖 y − 3 + 2𝑖, halla: a. z + z’ c. z · z’ · z b. z – z’ d. z’-­‐1 3. Calcula m y n para que sea cierta la igualdad: (3m + 2i) – (5 – 2ni) = 2 – 6i. 4. Efectúa las siguientes operaciones con números complejos: a.
b.
!!!!!
!!
c. 𝑖 !"#" d. (1 − 2𝑖)! !!!!
! ! !! !!
e. 2z − 5z f. z · z’ e.
! !
!
−
!!
!
!
!!
f. (3 + 𝚤) 5. Resuelve la ecuación: 𝑧 ! − 2𝑧 ! + 4𝑧 − 8 = 0 6. Representa los afijos de los siguientes números complejos: a. 5 – 7i b. –3 + 4i c. 3i d. –2i 7. Escribe los complejos opuestos de los siguientes números complejos: !
a. 2 + 3i c. − ! + 4𝑖 b. 2 – 7i d. 3 – 11i e. −1 − 2i f. 7 + 3i e. 7 f. –5i 8. Halla los conjugados de los siguientes complejos: !
a. 3 – 2i c. –5i e. 21 − ! i !
b. –7 + 5i d. − ! + 2i f. 3i 9. Dado el número complejo z = –1 + i: a. Calcula el módulo de los siguientes complejos: z, −z, z, −z, iz, −iz, iz, −iz . b. Representa sobre el plano los afijos de los complejos del apartado a. 10. Calcula las siguientes sumas: a. (2 − 3i) + (−2 + 6i) d. ( 3 + 2i) + (1 − 5i) b. (6 + 4i) + (−3 − 2i) e. i + (2 + 5i) !
!
f. 7 + (−10 + 3i) c. ( + i) + (−2 + i) !
!
11. Halla las siguientes diferencias: a.
b.
c.
2 − 3i − (−2 + 6i) 6 + 4i − (−1 − 2i) !
!
!
−3 − ! i − (! + ! i) 12. Realiza los siguientes productos: a. 2 − 3i · (−2 + 6i) b. 6 + 4i · (−1 − 2i) !
!
!
c. −3 − ! i · (! + ! i) 13. Calcula el inverso de los siguientes complejos: a. 2 − 5𝑖 b. −7 + 3𝑖 c. −4 − 2i 14. Calcula los siguientes cocientes: a. 2 − 3i ∶ (−2 + 6i) b. 6 + 4i ∶ (−1 − 2i) !
!
!
c. −3 − ! i : (! + ! i) 15. Halla las siguientes potencias de i: d.
3 + 2i − (1 − 5i) !
e. 2i − 3 − (7 + ! i) f. −3i − (2i + 3) d.
3 + 2i · (1 − 5i) !
e. 2i − 3 · (7 + ! i) f. −3i · (2i + 3) d. −7i !
!
e. ! − ! i f.
2 − 3i d.
3 + 2i ∶ (1 − 5i) !
e. 2i − 3 ∶ (7 + ! i) f. −3i ∶ (2i + 3) a. i!" c. i!"#$ !"#
b. i d. i!!" 16. Calcula las potencias de exponente 2, 3 y 4 de los siguientes números complejos: a. 1 + 𝑖 b. 2 + 3𝑖 17. Realiza las siguientes operaciones con complejos: a.
b.
1 + 𝑖 ! : (4 + 𝑖) !
+ 5𝑖 ! !!
c. 1 − 𝑖 d. −2 + 𝑖 c.
d.
𝑖 ! + 𝑖 !!" ! !! ! !!! !"
!!!
!
18. Calcula: !
a. (−𝑖)!"# d. ! !! b. 𝑖 !!"# e. (𝑖 !"#$!%&"'( )! !"
c. (−𝑖) !!
f. (!!)!!! 19. Representa en el plano complejo los conjuntos de números que cumplen las siguientes condiciones: a. 𝑧 = 3 !
b. 𝑧 · 𝑧 = 9 e. ! = −1 c. 𝑅𝑒 𝑧 = −5 !
f. ! = 𝑖 d. 𝐼𝑚(𝑧) = 3 20. Para cada uno de los siguientes números complejos, encuentra una ecuación cuadrática con coeficientes reales de la que sea solución: a. 5𝑖 b. 2 − 𝑖 21. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: c. −1 − 3𝑖 !
!
d. ! + ! 𝑖 a. 𝑥 ! + 16 = 0 c. 𝑥 ! + 6𝑥 + 25 = 0 !
b. 𝑥 − 4𝑥 + 53 = 0 d. 16𝑥 ! + 16𝑥 + 13 = 0 22. Resuelve la siguiente ecuación: 𝑖𝑥 ! − 2 + 2𝑖 𝑥 + 2 − 𝑖 = 0 !!!
23. Halla x para que el cociente !!! sea un número complejo cuyo afijo se encuentra en la bisectriz del primer y tercer cuadrante. !!!
24. Calcula x de manera que !!! sea: a. Igual a 1 + 2i. b. Un número real. c. Un número imaginario puro. !!!
25. Calcula el cociente !!! y determina el valor de a para que el módulo del mismo sea 2. 26. Halla dos números cuyo cociente sea imaginario puro y cuya suma sea 5, sabiendo que el módulo del dividendo es doble del módulo del divisor. 27. Dados los números complejos 2 – mi y 3 – ni, halla los valores que deben tener m y n para que el producto de los complejos dados sea igual a 8 + 4i. 28. Un cuadrado tiene su centro en el origen de coordenadas y un vértice en el punto (4, 0). Determina los complejos cuyos afijos sean los otros tres vértices. 29. Halla dos números complejos sabiendo que su suma es 1 + 6i y que el cociente de los mismos es un número imaginario puro. Además, la parte real de uno de los sumandos es la unidad negativa. 30. Halla dos números complejos tales que su suma es un imaginario puro, su producto es –8 y su cociente es 8. (Hay dos soluciones). 31. Demuestra que 1 + −3 − 1 − −3 = 2𝑖 !!
!
32. Sea 𝑧 = ! + ! 𝑖: a. Comprueba que 𝑧 = 1 y que 𝑧 ! = 𝑧. b. Deduce que 𝑧 ! =1. c. Calcula 𝑧 !""# . 33. Resuelve: a. 𝑥 + 2 − 3𝑖 = 4 + 𝑖 b. 1 − 𝑖 𝑥 + 5 − 4𝑖 = 0 34. Halla todas las soluciones, reales o imaginarias: !
c. 𝑥𝑖 + 7 − ! 𝑖 = 0 d. 𝑖𝑥 − 7 = 0 𝑥 ! − 2𝑥 + 5 = 0 e. 𝑥 ! − 6𝑥 + 9 = 0 𝑥 ! + 𝑥 − 6 = 0 f. 𝑥 ! + 2𝑥 + 5 = 0 !
4𝑥 − 8𝑥 + 5 = 0 g. 𝑥 ! − 2 5𝑥 + 6 = 0 !
3𝑥 + 6𝑥 = 0 h. 𝑥 ! + 5𝑥 + 1 = 0 35. Comprueba que 1 + i es solución de la ecuación 𝑥 ! − 3𝑥 ! + 4𝑥 − 2 = 0. 36. Sean z1 y z2 dos números imaginarios puros. Di cuántos de estos cuatro números también son imaginarios puros: a. z1 + z2 b. z1 – z2 c. z1 ·∙ z2 d. z1 : z2 a.
b.
c.
d.